量子力学 — 目次 発展教材 AD 04　全65章＋付録2つ

量子力学— 前期量子論から相対論的量子力学まで，材料工学を学ぶ人のための量子力学 —

本書は，望月泰英の手書きノート『物理学ノート 量子力学』3冊をもとに，大学の物理学科で学ぶ量子力学を基礎から一冊にまとめた教材である． ノートの公理・定義・導出・計算例・図・疑問と考察は一つも省かずに収め，そのうえで量子力学を基礎からしっかり理解したいと願う材料工学の学生（早熟な高校生を含む）が一人で読めるように， 新しい記号の読み方，式変形の行間，具体的な数値の例と図を補った．ノートに書かれていない内容でも教科書として欠かせないもの（Morse ポテンシャルの厳密解，縮退のある摂動論，Roothaan–Hall 方程式， 群論と田辺–菅野図，時間依存摂動論と線形応答，場の演算子，Dirac 方程式 など）は，章を立てて補った．

章立ては物理学の歴史に沿っている．黒体放射・光電効果・Bohr 模型・物質波という「量子論の黎明期」から始め，Schrödinger 方程式で井戸・調和振動子・水素原子・Morse ポテンシャルを丁寧に解き， 角運動量とスピン，摂動論と変分原理を経て，多電子系の Hartree–Fock 近似と化学結合・バンド，無機材料でおなじみの $t_{2g}$・$e_g$ を生む配位子場理論へ進む． 最後に，励起状態と光を扱う時間依存の量子力学，粒子数が変わる世界を記述する第二量子化，そして相対論的量子力学へと至る． 各節には途中式を省略しない例題を，各章末には演習問題を置いた．例題には，半導体の量子井戸・量子ドット，STM，錯体や宝石の色，分子の赤外吸収，電子顕微鏡など，材料科学の題材を多く使っている．

必要な数学は姉妹編「大学数学（AD 02）」，古典物理は「大学基礎物理学（AD 03）」の該当節へのリンクで補える． また本書は，「マテリアル計算科学（AD 05）」「固体物理学（AD 06）」「密度汎関数理論（AD 07）」「線形応答理論（AD 08）」「素粒子物理学（AD 09）」へ進むための土台を兼ねている．

読み方
  • 第I部（量子力学の世界へ入る前に）は数式をほとんど使わずに量子力学の不思議さを描く．まずここを読んで全体の見通しを得るとよい．
  • 第II部（量子論の黎明期）から第IV部（軌道とスピンの角運動量）までが量子力学の骨格である．順に読むことを勧める．
  • 第V部（摂動論）・第VI部（変分原理）は近似の方法で，第VII部（多電子系）・第VIII部（配位子場理論）の土台になる．材料の電子状態・計算科学に進む人は第V部から第VIII部を続けて読むとよい．
  • 第IX部（時間依存の量子力学）と第X部（第二量子化）は光と物質の相互作用・線形応答・多体問題への入口，第XI部（相対論的量子力学）は素粒子物理学への入口である．
  • 物理定数・単位・記号は付録Bで引ける．演習問題の解答は付録Aにある．
第I部 量子力学の世界へ入る前に
  1. 第1章量子力学はなぜ難しいのか — 古典物理の常識が通じない世界 「量子力学は難しい」の正体 — 古典物理の常識が破れる四つの場所，ミクロの世界のものさし — 長さ・エネルギー・作用の尺度，量子力学が説明する身の回りの材料の性質，本書の見取り図 — 十一の部と姉妹編
  2. 第2章量子力学への素朴な問い — 波長・確率・粒子と波・温度 電子を 1 個ずつ通す二重スリット実験，問い 1 — de Broglie の式の $\lambda$ は何の波長か，問い 2 — 運動量の確率密度はないのか，問い 3 — 粒子性と波動性，問い 4 — 波動関数の温度依存性と，広がりがなぜ必要か，四つの問いはどこで解決されるか — 第II部以降への地図
第II部 量子論の黎明期
  1. 第3章黒体放射と量子の発見 — Wien・Rayleigh–Jeans・Planck 熱放射と黒体 — 光る物体と空洞放射，Wien の変位則 — 温度とスペクトルのピーク，古典論の破綻 — Rayleigh–Jeans の式と紫外破綻，Planck の量子仮説と放射式，Planck の式から導く法則と応用
  2. 第4章光の粒子性 — 光電効果と光子 光電効果の実験事実 — 光を当てると金属から電子が飛び出す，古典的な波の描像との矛盾，Einstein の光子説 — 仕事関数と光電方程式，光子のエネルギーと運動量 — Planck–Einstein の関係，応用 — X 線・光電子分光・太陽電池
  3. 第5章原子の構造と前期量子論 — 原子スペクトルと Bohr 模型 原子模型の変遷 — Thomson から Rutherford へ，原子スペクトル — Balmer と Rydberg の式，Bohr の原子模型（1913），Franck–Hertz の実験 — エネルギー準位の直接の証拠，Bohr–Sommerfeld の量子条件と対応原理，前期量子論の限界 — 波動力学へ
  4. 第6章Compton 散乱と物質波 — 光子の運動量から de Broglie の仮説・電子回折へ 光子の運動量の証拠 — Compton 散乱（1923），de Broglie の仮説（1924）— 粒子も波である，電子の波長の求め方 — 加速電圧から波長へ，Bohr の量子条件を定在波として読む，電子の回折 — Davisson–Germer と G. P. Thomson，応用 — 電子顕微鏡・電子回折・中性子回折
  5. 第7章スリットを通る電子 — 波動性と確率 実験の設定 — 幅 2a のスリットに電子線を当てる，単スリットの確率分布を導く，質量を変えると何が起こるか — 粒子の波動性の考察，二重スリット — 確率の和と確率振幅の和，1 個ずつ届く電子は何をしているのか，近似はどこまで使えるか — Fraunhofer 近似と Fresnel 数（発展）
  6. 第8章量子力学の公理 — Born の確率解釈・交換関係・不確定性原理 Born の確率解釈 — 波動関数と確率密度，期待値 — 離散から連続へ，そして量子力学へ，物理量と測定 — 固有値・固有関数・波動関数の収縮，位置と運動量の交換関係 — 量子力学の第2原理，分散と標準偏差 — 「ばらつき」を測る，不確定性原理の導出 — Robertson の不等式，不確定性関係の意味 — Heisenberg の思考実験と測定の擾乱，量子力学の第3原理と，時間・エネルギーの不確定性，公理のまとめ — 量子力学の骨組みと第II部のふりかえり
第III部 Schrödinger 方程式
  1. 第9章Schrödinger 方程式 — 波動関数と演算子 物質波から Schrödinger 方程式へ，演算子と固有値問題 — 運動量・エネルギー・ハミルトニアン，確率の保存則 — 確率の流れと連続の式，Ehrenfest の定理 — 波束は Newton の運動方程式に従うか，定常状態と重ね合わせ，波動関数の条件と Hermite 演算子
  2. 第10章無限井戸型ポテンシャル — 箱の中の粒子 1 次元の無限井戸 — 境界条件から量子化へ，規格化と Dirac 記法 — 内積・直交性・固有関数の性質，2 次元・3 次元の箱 — 変数分離と縮退，井戸の中の粒子の期待値 — 位置・運動量・運動エネルギー，時間を含む Schrödinger 方程式 — 定常状態と重ね合わせ，運動量表示 — 井戸の中の波動関数の Fourier 変換，周期境界条件と状態密度 — 自由電子の Fermi エネルギー，材料への応用 — 共役色素・量子井戸・量子ドット
  3. 第11章有限井戸型ポテンシャル — しみ出しと束縛状態 有限井戸の Schrödinger 方程式 — 3 つの領域の解としみ出し，接続条件と量子化条件 — $4\times4$ の行列式から，図解法と束縛状態 — 準位・波動関数・状態の数，半導体量子井戸 — 有効質量と発光，$\delta$ 関数の井戸と 2 つの井戸 — 結合と反結合
  4. 第12章トンネル効果 — 階段・障壁ポテンシャル 古典と量子 — しみ出しからトンネルへ，階段ポテンシャル — 反射と透過の基本，障壁の透過率 — エネルギーが障壁より低いとき，エネルギーが障壁より高いとき — 共鳴と反射，厚い障壁の近似と WKB 近似の入口，α 崩壊の理論 — Gamow 因子，材料・デバイスへの応用 — STM・トンネルダイオード・フラッシュメモリ
  5. 第13章調和振動子 — 級数解法と Hermite 多項式 調和振動子とは — 底の近くはどれも放物線，無次元化と遠方の振る舞い，級数解法とエネルギーの量子化，波動関数のグラフと古典的な描像，零点エネルギーと不確定性原理，期待値の計算，運動量表示 — 調和振動子の Fourier 変換，発展・橋渡し — 代数的解法・分子振動・フォノン
  6. 第14章3 次元の Schrödinger 方程式 — 変数分離と球対称の井戸 3 次元の Schrödinger 方程式と直方体の箱 — 縮退と「なぜ球座標か」，球対称の無限井戸 — 問題の設定と球座標，変数分離 — 3 本の常微分方程式へ，動径方程式 — Bessel の方程式・球 Bessel 関数・遠心力ポテンシャル，角度方程式 — Legendre 陪関数と球面調和関数，球対称の無限井戸の解 — 境界条件・準位・規格化，応用と発展 — 量子ドット・魔法数・有限球井戸・3 次元調和振動子
  7. 第15章水素原子（1）— Schrödinger 方程式を解く 水素原子の問題 — 2 体問題から 1 体問題へ，変数分離 — 3 本の常微分方程式，方位角方向の方程式 — 周期条件と磁気量子数，天頂角方向の方程式 — Legendre の陪微分方程式，動径方向の方程式 — 級数解と量子化条件，エネルギー準位 — 縮退・Bohr 模型・スペクトル・Moseley 則，解の全体像 — 規格化定数と Laguerre 多項式の規約
  8. 第16章水素原子（2）— オービタルの式と形 量子数とオービタルの名前 — 一般解のまとめと節の数，s 軌道 — 1s，2s，3s，p 軌道 — 2p，3p，d 軌道 — 3d と魔法角，f 軌道 — 4f，波動関数の表と実数のオービタル，波動関数の直交性，直交性と選択則 — 物理的な意味
  9. 第17章水素原子（3）— 電子はどこにいるか 運動エネルギーと運動量の期待値 — 1s 軌道，2pz 軌道と 3dz² 軌道 — 一般の $n$，$Z$ へ，運動量の分布 — 1s 軌道の Fourier 変換，ビリアルの定理，電子の位置 $\expval{r}$ — 積分公式と 1s，2s，2p，3s 軌道，動径分布関数と球面分布関数，最大確率半径 — 最も見いだされやすい距離，$\expval{r}$ の一般公式と他の期待値
  10. 第18章遮蔽と浸透 — 水素様イオンから多電子原子へ 水素様イオン — 核電荷 $Z$ によるスケーリング，動径分布関数が語る「浸透」— 2s は 2p より核に近づく，遮蔽と実効核電荷 — 殻定理から $Z_{\mathrm{eff}}(r)$ へ，Slater の規則 — 実効核電荷を足し算で見積もる，軌道エネルギーの順序と量子欠損 — 水素の縮退が解ける，材料の中の遮蔽と浸透 — ランタノイド収縮・4f 電子・重い元素
  11. 第19章分子の振動 — 調和振動子の応用 2 原子分子は「ばねでつながれた 2 つの球」— 換算質量と調和近似，赤外スペクトルとばね定数 — 波数から結合の硬さを読む，同位体効果と零点エネルギー，運動量表示 — 分子の振動の Fourier 変換，分子振動と温度 — 量子の「凍結」
  12. 第20章Morse ポテンシャル — 非調和な振動と解離 調和近似の限界と Morse ポテンシャル，Schrödinger 方程式の変数変換 — 指数関数を変数にする，束縛状態の厳密解 — Laguerre の陪多項式とエネルギー準位，束縛状態の数と解離エネルギー — $D_{\mathrm e}$ と $D_0$，振動スペクトルと Birge–Sponer 外挿，非調和性の帰結と材料への応用
第IV部 軌道とスピンの角運動量
  1. 第21章角運動量演算子と回転運動 古典の角運動量から量子力学の演算子へ，球座標での角運動量演算子，角運動量の交換関係と「同時に確定できない」こと，環の上の粒子 — 2 次元の回転，ベンゼンの $\pi$ 電子と環状分子，球面上の粒子 — 3 次元の回転
  2. 第22章球面調和関数と角運動量の量子化 $\hat{\bm{L}}^2$ の極座標表示 — 展開・相殺・恒等式，球面調和関数と $\hat{\bm{L}}^2$ の固有値 — $\hat{\bm{L}}^2Y=l(l+1)\hbar^2Y$，複素の $Y_l^m$ と実軌道 — 測定値と軌道角運動量の凍結，角運動量演算子の交換子 — $\hat{\bm{L}}^2$ は 3 つの成分すべてと可換，量子化された角運動量とベクトル模型，剛体回転子と分子の回転スペクトル，中心力場の中の角運動量 — 有効ポテンシャルと s，p，d，f 軌道
  3. 第23章スピン — 電子のもう一つの角運動量 軌道運動と磁気モーメント — 円形電流から Bohr 磁子へ，Zeeman 効果と Stern–Gerlach の実験 — 軌道だけでは説明できない「2 本」，スピン角運動量の導入，Fermi 粒子と Bose 粒子，スピン座標とスピン関数，スピン演算子の行列表示，Pauli 行列，スピン軌道関数 — 2 成分の波動関数，磁場中の電子スピン — ESR・NMR・磁性材料
  4. 第24章昇降演算子と角運動量の行列表示 昇降演算子の定義と交換関係 — 「はしご」の演算子，極座標での昇降演算子と球面調和関数 — $\hat{L}_\pm Y_l^m$ の計算，交換関係だけから導く角運動量の一般論 — $j$ は半整数でもよい，角運動量の行列表示 — $l=1$ の $3\times3$ 行列，$l=2$ の行列と $\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$ — 一般の $l$ へ，$\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$，$\hat{L}_z$ の固有値と固有ベクトル — $l=1$，スピン $\tfrac12$ の固有値問題 — 符号と虚数の意味，基底変換と Pauli 行列，任意の向きのスピンと Bloch 球 — 回転演算子と $4\pi$ 周期
  5. 第25章角運動量の合成と $\hat{\bm{L}}\cdot\hat{\bm{S}}$ の固有値問題 軌道とスピンの合成 — 全角運動量 $\hat{\bm{J}}=\hat{\bm{L}}+\hat{\bm{S}}$，合成角運動量の交換関係 — $\hat{\bm{J}}$ も角運動量である，$\hat{\bm{L}}\cdot\hat{\bm{S}}$ の必要性と昇降演算子による書き換え，p オービタルへの $\hat{\bm{L}}\cdot\hat{\bm{S}}$ の作用 — $6\times6$ 行列，p オービタルの対角化 — $j=\tfrac32$ と $j=\tfrac12$，d オービタルへの $\hat{\bm{L}}\cdot\hat{\bm{S}}$ の作用 — $10\times10$ 行列，一般の $l$ の固有値公式 — f 軌道と分裂のパターン，Clebsch–Gordan 係数と 2 つのスピン $\tfrac12$ — 一重項・三重項とヘリウム原子
  6. 第26章スピン軌道相互作用の物理と磁場中の原子 静止系の磁場と Thomas 因子 — スピン軌道相互作用の起源，水素様原子のスピン軌道分裂と $Z^4$ 則，微細構造とアルカリ原子の二重線，磁場中の原子 — Landé の $g$ 因子と異常 Zeeman 効果，弱い磁場から強い磁場へ — Paschen–Back 効果，X 線スペクトルと XAS・XPS に現れる $2p$ のスピン軌道分裂，材料の中のスピン軌道相互作用
第V部 摂動論
  1. 第27章時間に依存しない摂動論 — 非縮退の 1 次・2 次摂動 摂動とは何か — 解ける問題からの小さなずれ，$\lambda$ による展開と次数ごとの方程式，1 次摂動 — エネルギーと波動関数，1 次摂動の応用 — 井戸の壁ぎわの段差，2 次摂動 — 準位の反発と基底状態の低下，2 次摂動の応用 — 振動子・原子・量子井戸・分子間力，摂動級数の収束と適用限界
  2. 第28章縮退のある摂動論 — Stark 効果と Zeeman 効果 縮退があると何が困るか — 分母が 0 になる，縮退のある摂動論 — 縮退した部分空間での対角化，2 準位系と準位の反発 — 二つの摂動論をつなぐ厳密解，Stark 効果 — 電場の中の水素原子，Zeeman 効果 — 磁場の中の原子，縮退の解け方と対称性 — 配位子場・Jahn–Teller 効果・バンドへの予告
  3. 第29章摂動論で解くヘリウム原子とリチウム原子 ヘリウム原子のハミルトニアンと摂動の選び方，電子間反発の積分 $\langle 1/r_{12}\rangle$ を実際に計算する，ヘリウム原子の基底状態のエネルギーと He 型イオン，リチウム原子 — 3 電子の摂動計算，Pauli の排他原理を守る配置と励起状態 — 交換積分の登場，1 次摂動の限界と，遮蔽から変分法へ
第VI部 変分原理
  1. 第30章変分原理 — エネルギーの上限を探す 変分原理とは — 解けない問題を上から押さえる，変分原理の証明 — 固有関数で展開する，試行関数の選び方と変分法の実際，δ 関数ポテンシャルと Gauss 型の試行関数，水素原子と Gauss 関数，励起状態への拡張と変分原理の限界
  2. 第31章変分法で解くヘリウム原子と線形変分法 ヘリウム原子と試行関数 — 遮蔽された核電荷 $Z'$，期待値を 3 つの部分に分けて計算する，平方完成と $Z'=Z-5/16$ — 遮蔽の定量化，電子相関と Hylleraas 型の改良，数学の道具 — 行列式が 0 であることの意味，線形変分法（Rayleigh–Ritz 法）と永年方程式，2 基底の例 — 結合と反結合，準位反発
  3. 第32章Gauss 関数でつくる試行関数 — STO-1G とヘリウム原子 Gauss 関数と規格化 — 2 通りの「1」，STO-1G の考え方 — 重なりを最大にする，重なり積分を計算する — 平方完成・誤差関数・部分積分，$S(\alpha)$ の完成と最適な $\alpha$ — STO-2G，STO-3G と原点の電子密度，Gauss 関数 1 本でヘリウム原子の全エネルギー，STO-nG と Gauss 積の定理 — なぜ Gauss 関数を使うのか
第VII部 多電子系の量子力学
  1. 第33章多電子系の波動関数 — 原子単位・Born–Oppenheimer 近似・Hartree 積・Slater 行列式 ヘリウム原子の方程式と原子単位，多原子系のハミルトニアンと Born–Oppenheimer 近似，断熱近似とポテンシャルエネルギー面，Hartree 積 — 電子間相互作用がないとき，同種粒子の区別不能性と Pauli の排他原理，Slater 行列式
  2. 第34章多電子原子 — 電子配置・項記号・Hund の規則 中心力場近似と電子配置 — 構成原理と周期表，電子状態の名前 — LS 結合と項記号 ${}^{2S+1}L_J$，微視的状態の数え上げ — $M_L$–$M_S$ 表，スピン軌道相互作用 — $J$ への分裂と Landé の間隔則，電子間反発が項を分ける — Slater–Condon の規則と Racah パラメータ，Hund の規則 — 基底項を決める，原子の磁気モーメントと材料 — Landé の $g$ 因子
  3. 第35章Hartree–Fock 近似のエネルギー — 基底状態・励起状態と Coulomb 積分・交換積分 スピン軌道で書く 2 電子系 — 記号・準位図・ハミルトニアン，基底状態のエネルギー期待値，Coulomb 積分 $U$ と交換積分 $J$ — 定義・性質・他書との対応，基底状態はただ 1 つか — $\Phi_{\mathrm g}$ と $\Phi_{\mathrm g'}$，励起状態の Hartree–Fock 近似 — 直交性と非対角要素，励起状態のエネルギーと一重項・三重項の分裂，一般の Slater 行列式のエネルギー — Slater–Condon の規則と電子相関
  4. 第36章Hartree–Fock 方程式 — 変分から Fock 演算子と Koopmans の定理へ Hartree 積から Hartree 方程式へ — 平均場と自己相互作用，Hartree–Fock 微積分方程式 — Coulomb 項と交換項，変分原理と Lagrange の未定乗数法 — 線形変分の復習，スピン軌道の変分から Hartree–Fock 方程式へ，Fock 演算子と軌道エネルギー — Koopmans の定理
  5. 第37章自己無撞着場（SCF）と Roothaan–Hall 方程式 — 基底関数展開から計算化学へ 自己無撞着場（SCF）— 解を使って方程式を作り直す，基底関数展開と閉殻分子の Hartree–Fock エネルギー，Roothaan–Hall 方程式 $FC=SC\varepsilon$ の導出，手で解く水素分子 — 最小基底 STO-3G の RHF，SCF の実際 — HeH$^+$ の反復と収束，Hartree–Fock の限界 — 電子相関，DFT と姉妹編への橋渡し — Kohn–Sham 方程式も同じ形
  6. 第38章化学結合（1）— 原子価結合法と混成軌道 原子価結合法 — 水素分子の単結合，スピン波動関数と Pauli の原理 — 電子対はなぜ反平行か，3 重結合 — 窒素分子，原子価結合法の欠点 — 結合角・昇位・σ 結合しか表せないこと，sp³ 混成軌道 — メタンと正四面体，sp² 混成軌道 — エチレンとグラファイト，sp 混成軌道 — アセチレン，混成の一般論 — 結合角から混成比を決める
  7. 第39章化学結合（2）— 分子軌道法・水素分子イオン・重なり積分 分子軌道法の考え方 — 電子は分子全体に広がる，水素分子イオン $\mathrm{H_2^+}$ の Schrödinger 方程式，LCAO 近似と規格化 — 結合性軌道と反結合性軌道，重なり積分の計算 — 同焦点楕円体座標，$\mathrm{H_2^+}$ のエネルギー — 永年方程式と結合エネルギー，Gauss 関数による重なり積分，Gauss 関数による運動エネルギーと，そのほかの積分
  8. 第40章化学結合（3）— 等核 2 原子分子の分子軌道と Hückel 法 等核 2 原子分子の MO 図 — 原子軌道の組合せ規則，$\mathrm{H_2}$ から $\mathrm{Ne_2}$ まで — 結合次数・結合長・磁性，異核 2 原子分子 — 共有結合とイオン結合，Hückel 法 — π 電子系の分子軌道，分子から結晶へ — 共役鎖の長さを伸ばす
  9. 第41章分子軌道から結晶のバンドへ（1）— 1 次元原子鎖・状態密度・有効質量・電気伝導 原子を並べると準位は帯になる — $N$ 個の準位と $4|\beta|$ の窓，単一原子鎖のバンド $E(k)=\alpha+2\beta\cos ka$ — Bloch 和と周期境界条件，$s$ 軌道と $p$ 軌道のバンド — 結合性・反結合性とバンド幅，状態密度 — なぜバンドの端に準位が溜まるのか，LCAO と自由電子論 — $\alpha$，$\beta$ の意味と有効質量，曲率が質量を決める — 電子と正孔，半導体の有効質量・移動度の実例，電気伝導度 — 群速度・占有のずれ・Drude の式，バンド図の物質構造的理解 — 半分詰めの鎖・電子が動くこと・Peierls 転移
  10. 第42章分子軌道から結晶のバンドへ（2）— 2・3 次元格子のバンド図と p 軌道のバンド 正方格子の LCAO — 2 次元の Bloch 和，2 次元結晶のバンド図 — Γ → X → M → Γ の経路，3 次元結晶のバンド — 単純立方格子，2 次元・3 次元の状態密度 — van Hove 特異点，p 軌道のバンド — σ 型と π 型の重なり，バンドの分裂と対称性 — 配位子場理論との対応，直接遷移と間接遷移 — 反転対称性は決め手か，発展：ハニカム格子とグラフェン — Dirac 円錐
第VIII部 配位子場理論
  1. 第43章結晶場の中の d 電子 — 水素様の 3d 軌道と点電荷モデル 遷移金属の色と磁性はなぜ $t_{2g}$・$e_g$ で語られるか — 出発点の実験事実と設定，核電荷 $Ze_0$ の水素様原子の Schrödinger 方程式 — 変数分離と $R=S/r$，動径方程式の級数解 — 主量子数の導入とエネルギーの $Z^2$ 依存，遷移金属イオンの 3d 軌道 — 大きさと形，配位子がつくる静電ポテンシャル — 点電荷と多重極展開
  2. 第44章立方対称場中の 1 個の d 電子 — $t_{2g}$ と $e_g$ への分裂 立方対称場中の 1 個の電子 — 八面体に並んだ 6 個の点電荷，立方対称ポテンシャルの展開 — $x^4+y^4+z^4-\tfrac35r^4$，5×5 の永年方程式 — $e_g$ と $t_{2g}$ への分裂と $Dq$，$Dq$ の大きさ — 見積りと実測，八面体以外の配位 — 立方体・四面体・正方平面，正方ひずみと Jahn–Teller 効果
  3. 第45章群論で見る配位子場 — 点群・指標表・既約表現 縮退は対称性から生まれる — $[\hat{H},\hat{R}]=0$，点群と対称操作 — $O_h$，$T_d$，$D_{4h}$，$C_{3v}$，表現・指標・既約表現，Mulliken 記号の読み方，d 軌道の変換性から $t_{2g}$ と $e_g$ を導く，対称性の低下と Jahn–Teller 効果，射影演算子と配位子の対称適合軌道（SALC），直積・選択則・$(t_{2g})^2$ の項
  4. 第46章$d^n$ 配置と配位子場 — 高スピン・低スピン，CFSE，スピネルのサイト選択 電子を $t_{2g}$ と $e_g$ に詰める — $d^n$ 配置の一覧，Hund の規則と $\Delta_o$ の競合 — 対形成エネルギーと高スピン・低スピン，配位子場安定化エネルギー（CFSE）— 二重こぶ，分光化学系列 — $\Delta_o$ の大きさを決めるもの，磁気モーメント — スピンのみの値と軌道角運動量の消失，スピネルの四面体席・八面体席の選択
  5. 第47章多電子項と田辺–菅野図 — Racah パラメータと多重項の分裂 1 電子の描像では足りない — $d^2$ の 45 状態，自由イオンの項と Racah パラメータ，配位子場による項の分裂 — 弱場・強場・相関図，田辺–菅野図の作り方と読み方，Racah パラメータと共有結合性 — 電子雲拡大効果，スピン軌道相互作用と Kramers 縮退（発展）
  6. 第48章d–d 遷移と色 — ルビーとエメラルド，そして配位子場理論 光の吸収と色 — 補色・Lambert–Beer の法則・振動子強度，選択則 — スピン・Laporte・振電相互作用・電荷移動，錯体の色を読む — 吸収スペクトルから $\Delta_o$ と $B$ を決める，ルビーとエメラルド — 同じ $\mathrm{Cr^{3+}}$ が赤と緑になる理由，配位子場理論 — 分子軌道の見方，第VIII部のまとめ — 材料の中の $t_{2g}$・$e_g$
第IX部 時間依存の量子力学
  1. 第49章時間依存の Schrödinger 方程式 — 定常状態の重ね合わせと箱の中の波 なぜ時間を追うのか — 基底状態と励起状態，変数分離と定常状態，そして重ね合わせ，無限井戸の一般解と Fourier 級数 — 量子ビート，箱が広がったとき — 幅 $L$ から $2L$ へ，展開係数の計算，広がった箱の中の波 — 完全復活・鏡像・量子カーペット・突然近似，自由粒子の Gauss 波束 — 広がり続ける波
  2. 第50章時間発展演算子と 3 つの描像 — Schrödinger・Heisenberg・相互作用表示 時間発展演算子とユニタリ性 — Schrödinger 表示，Heisenberg 表示と Ehrenfest の定理 — 演算子が動く，Heisenberg 表示で解く — 自由粒子と調和振動子，エネルギーと時間の不確定性 — Mandelstam–Tamm の関係，相互作用表示と Dyson 級数 — 摂動だけを動かす，3 つの表示の比較と使い分け
  3. 第51章時間依存摂動論と Fermi の黄金律 — 遷移確率・Rabi 振動・断熱近似 遷移振幅の摂動展開と定数摂動 — 「準位のずれ」から「状態の乗り移り」へ，調和摂動と Fermi の黄金律 — 連続準位への遷移率，二準位系と Rabi 振動 — 共鳴して行き来する，突然近似・断熱近似と Berry 位相の入口（発展）
  4. 第52章光の吸収と放出 — 電気双極子近似・選択則・Einstein の係数・寿命と線幅 電磁場の中の電子 — 最小結合と相互作用ハミルトニアン，電気双極子近似 — 速度ゲージから長さゲージへ，遷移の速さ — 単色光と広帯域光の黄金律，選択則 — パリティ・角運動量・スピン，Einstein の係数 — 吸収・誘導放出・自然放出，励起状態の寿命とスペクトル線の幅
  5. 第53章誘導放出とレーザー，材料の光吸収スペクトル 光の増幅と反転分布 — 吸収と誘導放出の差し引き，レーザー — ルビー，Nd:YAG，半導体レーザー，吸収係数・モル吸光係数・振動子強度，半導体のバンド間遷移 — 直接遷移と間接遷移，遷移金属錯体の色と分子の赤外吸収
  6. 第54章線形応答と Kubo 公式の入口 — 応答関数・因果律・Kramers–Kronig・複素誘電率 外場に対する応答 — 古典の減衰振動子から量子へ，Kubo 公式 — 1 次摂動論から，Lehmann 表示，振動子強度と和則，因果律と Kramers–Kronig の関係，複素誘電率・屈折率・吸収，静的極限と 2 次摂動論，AD 08 への橋渡し
  7. 第55章伝搬関数と Green 関数への入口 — 遅延 Green 関数・局所状態密度・寿命 波動関数の伝搬関数 — 時刻 $0$ の波形から時刻 $t$ の波形へ，遅延 Green 関数 — 撃力への応答と因果律，エネルギー表示と局所状態密度 — $\hat{G}(E)=(E-\hat{H}+i\eta)^{-1}$，摂動展開・自己エネルギー・寿命 — Dyson 方程式，多体系への橋渡し — 第X部と線形応答理論（AD 08）へ
第X部 第二量子化
  1. 第56章生成・消滅演算子 — 調和振動子を代数で解く 粒子の数が変わる世界 — なぜ第二量子化なのか，調和振動子のハミルトニアンを因数分解する，交換関係と数演算子，はしごを上り下りする — 生成・消滅演算子の作用，行列で見る生成・消滅演算子と選択則，コヒーレント状態 — 古典的な振動にもっとも近い量子状態，$n$ は量子の個数 — フォノンと光子
  2. 第57章同種粒子と占有数表示 — Bose 粒子と Fermi 粒子の第二量子化 同種粒子の区別不能性と対称化の要請，交換孔 — 統計が生む「力ではない力」，占有数表示と Fock 空間，Bose 粒子の生成・消滅演算子，Fermi 粒子の生成・消滅演算子と反交換関係，Slater 行列式 $=\hat{c}^\dagger\hat{c}^\dagger\cdots\ket{0}$，励起状態を作る — 電子・正孔対の言葉
  3. 第58章1 体・2 体演算子と場の演算子 — 多体ハミルトニアンを書く 1 体演算子 — 粒子を 1 個だけ動かす $\hat{c}_i^\dagger\hat{c}_j$，1 体演算子の実例 — 粒子数・スピン・強束縛模型とベンゼン，2 体演算子 — なぜ添字は $l,k$ の順なのか，2 電子のエネルギー $U_{ab}-J_{ab}$ — ヘリウムの 1s2s と交換の効果，場の演算子 $\hat{\psi}(\bm{x})$ — 波動関数を演算子にする，平面波基底 — 運動量表示のハミルトニアンと Coulomb 相互作用，Hartree–Fock の第二量子化表現 — 3 行で書ける，運動方程式と Green 関数への入口
  4. 第59章電子ガスと Hubbard 模型 — Fermi 海・電子–正孔対・強い相関 自由電子ガスと Fermi 海 — $\ket{\mathrm{FS}}$ を書く，電子・正孔対励起 — Fermi 面のまわりの励起，Coulomb 相互作用する電子ガス — jellium と交換エネルギー，半導体の電子・正孔対と励起子，Hubbard 模型 — 強束縛と on-site Coulomb 斥力，Hubbard 模型の平均場 — 磁性と Mott 絶縁体
  5. 第60章光子とフォノン — 場の量子化と粒子数が変わる過程 結合振動子から基準モードへ — 格子振動の量子化とフォノン，電磁場の量子化 — 光子と真空の揺らぎ，光子とフォノンの統計 — 熱平衡・コヒーレント・Fock，光と物質の相互作用 — 二準位原子と 1 つの光子モード，粒子数が変わる過程 — 吸収・発光・フォノン放出・Raman 散乱，外力で駆動される振動子 — コヒーレント状態と線形応答への入口
第XI部 相対論的量子力学
  1. 第61章Klein–Gordon 方程式 — 相対論的な波動方程式の最初の試み なぜ相対論的な量子力学が要るのか — Schrödinger 方程式の限界と第XI部の地図，Klein–Gordon 方程式をつくる — $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ の演算子化，平面波解・分散関係・負エネルギー — 放物線が双曲線になる，連続の式と確率密度の困難 — 負の「確率」の正体，電磁場中の Klein–Gordon 方程式と水素型原子 — スピンがないと何が合わないか，自然単位系 $\hbar=c=1$ と AD 09 への橋 — 単位を消して式を見やすくする
  2. 第62章Dirac 方程式 — 1 階の方程式とスピン 1/2 Dirac の着想 — 時間も空間も 1 階にする，$\alpha_i$ と $\beta$ の代数 — なぜ $4\times4$ の行列でなければならないか，連続の式と正の確率密度 — 速度演算子 $c\,\bm{\alpha}$，共変形 — $\gamma$ 行列と Lorentz 共変性，自由粒子の解 — 静止系と運動系，スピンが自然に現れる — $\hat{\bm{J}}=\hat{\bm{L}}+\hbar\bm{\Sigma}/2$ の保存
  3. 第63章Dirac 方程式の非相対論的極限 — Pauli 方程式・g=2・水素の微細構造・重い元素の相対論効果 電磁場中の Dirac 方程式 — 最小結合とゲージ不変性，大成分と小成分 — Pauli 方程式と $g=2$，Foldy–Wouthuysen 変換とスピン軌道相互作用 — Thomas 因子の $\tfrac12$，質量速度項と Darwin 項 — 運動エネルギーの補正と s 準位の持ち上がり，水素の微細構造 — Dirac の厳密解との一致，重い元素の相対論効果と材料 — 金の色・水銀・鉛蓄電池・スピン軌道結合
  4. 第64章空孔理論と反粒子 — 負エネルギー解の読み方と Klein のパラドックス 負エネルギー解の困難と Dirac の海 — 「穴」としての陽電子，電荷共役 — 「穴」は反粒子である，陽電子の発見・対消滅・材料への応用，Klein のパラドックス — 高いポテンシャルの壁が透明になる，Zitterbewegung — 1 粒子描像の限界
  5. 第65章場の量子論と素粒子物理学への道 — 粒子数が変わる世界・QED の入口・固体の Dirac 電子 粒子数が変わる世界 — 場の演算子と反粒子，力は粒子の交換 — 光子交換・Coulomb・Yukawa・Rutherford 散乱，QED の入口 — Feynman 図・結合定数・Compton 散乱・$g-2$・Lamb シフト，固体の中の Dirac 電子 — グラフェン，素粒子物理学（AD 09）への橋渡し — 記号の対応と次に学ぶこと，本書の振り返り — 11 の部で何を学んだか
付録
  1. 付録A演習問題の解答 各章末の演習問題の完全な解答
  2. 付録B物理定数・単位・記号の一覧 物理定数（CODATA 2018），SI 単位と接頭語，ギリシャ文字の読み方，本書で使う記号と初出の章への索引

底本

東京理科大学 先進工学部 マテリアル創成工学科 望月研究室　発展教材 AD 04
← 教育コンテンツ（EDUCATION）に戻る