第64章空孔理論と反粒子 — 負エネルギー解の読み方と Klein のパラドックス

64.1 負エネルギー解の困難と Dirac の海 — 「穴」としての陽電子

第62章で得た自由粒子の解をもう一度まとめよう．運動量 $\bm{p}$ の平面波解は，$E=+E_p$ の 2 つ（$u(\bm{p},\uparrow)$，$u(\bm{p},\downarrow)$）と $E=-E_p$ の 2 つ（$w(\bm{p},\uparrow)$，$w(\bm{p},\downarrow)$）であり，$E_p=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ である（本章でも $m$ は電子の質量 $m_{\mathrm e}$ を表す）．この節では，まず負エネルギー解を「無かったこと」にできない理由を 2 つ示し（64.1.1），次に Dirac が与えた読み替え（64.1.2〜64.1.4）と，その材料工学での類似物（64.1.5），そして実際に対を作るのに必要なエネルギー（64.1.6）を調べる．

64.1.1 負エネルギー解を捨てられない 2 つの理由

負エネルギーの解を，「物理的でないから」という理由で方程式の解から除いてしまえばよいのではないか．そう考えたくなるが，それはできない．理由は 2 つある．

この混ざり具合を見積もってみよう．空間に局在した電子の波動関数として，上 2 成分だけが $0$ でない状態 $\psi=(\chi\,\phi(\bm{x}),\ 0)^{\mathsf T}$（$\chi$ は 2 成分のスピン状態，$\phi(\bm{x})$ は位置の関数）を考える．非相対論的な電子の波動関数（Schrödinger 方程式の解）に，小さい成分としてゼロを付け加えた，もっとも素朴な 4 成分の状態である．運動量 $\bm{p}$ の成分について，負エネルギーの空間への射影演算子は $P_-=\dfrac12\left(1-\dfrac{H(\bm{p})}{E_p}\right)$ である（$H(\bm{p})$ の固有値は $\pm E_p$ だけなので，$H/E_p$ の固有値は $\pm1$ であり，$P_-$ は $-E_p$ の固有空間への射影になる．逆の符号では $P_+=\tfrac12(1+H/E_p)$ で，$P_++P_-=1$）．その期待値は，$\braket{\psi}{\beta\psi}=+1$（上 2 成分だけの状態では $\beta=+1$），$\braket{\psi}{\bm{\alpha}\psi}=0$（$\alpha_i$ は上 2 成分と下 2 成分をつなぐ非対角ブロックなので，下 2 成分が $0$ の状態では $\psi^\dagger\alpha_i\psi=0$）より，

である．運動量 $\bm{p}$ の成分の $W(\bm{p})$ の割合が負エネルギーの解になっている．これは第62章の小成分の重み（62.5.3 節の $\abs{u_B}^2$）と同じ形である．$\abs{\bm{p}}\ll mc$ では $W\approx p^2/(4m^2c^2)$ である（$E_p\approx mc^2+p^2/2m$ を代入した）．

64.1.2 Dirac の海

Dirac は 1930 年に，この 2 つの困難を 1 つの仮定で解決しようとした．電子は Pauli の排他原理に従う Fermi 粒子である（第23章 23.4，AD 03 第52章 52.4）．1 つの状態には電子は 1 個しか入れない．そこで次の仮定をおく．

この仮定のもとでは，理由 2 の困難が消える．正エネルギーの電子が負エネルギーの状態へ落ちようとしても，そこはすでに電子で満たされているので，Pauli の排他原理により落ちられないのである．原子の 1s 電子がそれ以上落ちないことと，同じ理屈である（$1\mathrm{s}$ には 2 個までの電子しか入れず，それ以上の電子は $2\mathrm{s}$ などに入る）．

無限個の電子が詰まった海という描像は奇妙に見える．しかし，「観測されるのは真空からのずれだけである」という前提のもとでは，海の全体がもつ電荷・エネルギー・運動量は（無限大であっても）一様な背景であり，たとえば海の電荷は一様な正電荷の背景と打ち消されていると考えて，基準（$0$）に選べばよい（金属の電子の議論で，電子の海の負電荷を，陽イオンの一様な正電荷が打ち消すとして「ジェリウム模型」を使うのと同じ考え方である）．運動量は，$\bm{p}$ と $-\bm{p}$ の電子が対で詰まっているので，海全体では $0$ になる．スピンも $\uparrow$ と $\downarrow$ が対なので $0$ である．

海に電子を 1 個入れることは，正エネルギーの状態に電子を置くことに等しく，これが普通の電子である．一方，次のような変化も起こりうる．光子が負エネルギーの状態にある電子を正エネルギーの状態まで持ち上げる．すると，もとの負エネルギーの状態に空きができる．この空きを「穴」とよぶ．図64.1 で，Dirac の海の様子を，半導体の価電子帯と並べて描いた．

64.1.3 穴の量子数 — 取り去った電子と逆の符号

穴は，どんな量子数をもつ粒子として観測されるだろうか．真空を基準（エネルギー，運動量，スピン，電荷のすべてが $0$）とする．その真空から，エネルギー $-E_p$，運動量 $\bm{p}$，スピンの $z$ 成分 $S_z=+\hbar/2$（$\uparrow$），電荷 $-e_0$ をもつ電子 1 個を取り去ると，残りの状態の全量は，真空の値から取り去った電子の値を引いたものになる．

まとめたものが表64.1 と図64.2 である．質量が電子と同じで電荷が逆の，スピン 1/2 の粒子が現れる．これが陽電子（positron，反電子）である．負エネルギー状態の電子の「不在」は，正エネルギーの陽電子の「存在」として観測される．

64.1.4 Dirac の陽子説から陽電子の予言へ

当初，Dirac はこの穴を「陽子」と考えた（1930 年）．当時，知られていた正電荷の粒子は陽子だけだったからである．そうすれば，新しい粒子を仮定しなくても電子と陽子だけで物質が説明できる．しかし，この考えにはすぐに問題が指摘された．Oppenheimer（オッペンハイマー，1930 年）は，もし穴が陽子なら，水素原子の中の電子は穴に落ちて消滅してしまうので，原子の寿命は極端に短くなると指摘し，Tamm（タム）も同じ指摘をした．さらに Weyl（ワイル，1931 年）は，この理論の対称性から，穴の質量は電子の質量と正確に等しくなければならないと論じた（実際，上の導出で質量は $m$ と決まる）．陽子の質量は電子の約 1836 倍であり，一致しない．こうして Dirac は 1931 年に，電子と同じ質量で正電荷の新しい粒子（当時の呼び方で anti-electron）の存在を予言した．この予言は翌 1932 年，Anderson が宇宙線の霧箱写真の中に陽電子を見つけて（64.3 節）確かめられた．

64.1.5 価電子帯の正孔との類推

Dirac の真空は，半導体や絶縁体の基底状態ととてもよく似ている．半導体の価電子帯はほぼ電子で満たされていて，伝導帯は空である．価電子帯の電子を光や熱で伝導帯に励起すると，電子が抜けた価電子帯に正孔（hole）ができる．正孔は，「抜けた電子とは逆の符号の運動量・スピン・電荷をもつ準粒子」として振る舞う（第41章 41.6，第57章 57.7）．これは上の定理64.1 とまったく同じ規則である．Dirac の海が価電子帯，正エネルギーの連続が伝導帯に，負エネルギーと正エネルギーの間のギャップ $2mc^2$ が禁制帯 $E_g$ に対応する．

64.1.6 対生成のしきい値

真空中で 1 個の光子が電子・陽電子の対に変わる過程 $\gamma\to\mathrm{e^+e^-}$ は，エネルギーと運動量を同時に保存することはできない．光子の 4 元運動量の大きさの 2 乗は $(E_\gamma/c)^2-\abs{\bm{p}_\gamma}^2=0$（質量ゼロ）だが，対の不変質量は少なくとも $2m$ だからである（AD 03 第57章 57.7 の 2 体崩壊の議論と同じ論法）．そこで，質量 $M$ の原子核などの近くで，反跳を与える相手がいる場合を考える．光子のエネルギーが最小になるのは，生成後に $\mathrm{e^+}$，$\mathrm{e^-}$，原子核がすべて同じ速度で進む場合である（AD 03 第57章 57.8 の方法）．

64.1.7 空孔理論の限界 — 「発見的な地図」として

Dirac の海は，陽電子の存在を予言した点で大きな成功を収めたが，そのままの形で最終的な理論にはならなかった．

• 無限に多い電子の海：海の電荷・エネルギーは無限大である．真空を基準にとって引き算すれば済むと述べたが，これは理論の整合性の問題（無限大の処理）であり，第65章で見る場の量子論の正規積（normal ordering）という操作に置き換えられる．
• 電子と陽電子の非対称性：空孔理論では電子は「粒子」，陽電子は「穴」と，役割が非対称に見える．実際の自然界では，両者は完全に対等である．
• ボソンには使えない：Pauli の排他原理が効かないボソン（Klein–Gordon 方程式の粒子，たとえば $\pi^+$ 中間子）には，海を埋めて落ちられなくするという論法が使えない．しかし，ボソンにも反粒子がある（$\pi^+$ に対する $\pi^-$，$W^+$ に対する $W^-$）．

この 3 つの問題は，場の量子論で粒子と反粒子を対等に扱う生成・消滅演算子の言葉で整理される（第65章）．空孔理論は，その結論（反粒子が存在する）を発見的に導くための地図と考えればよい．ただし，「負エネルギー状態がすべて埋まっている」という描像は，半導体の価電子帯のように，固体中の電子と正孔の話にはそのまま現実の意味をもつ．

関連シミュレーター：Relativistic-QM-derivation §3（Dirac 方程式：負エネルギー解，Dirac の海，反粒子）．材料計算の立場からの Dirac 方程式とスピノルの紹介は，マテリアル計算科学（AD 05）の第7章（7.10）にある．

64.2 電荷共役 — 「穴」は反粒子である

64.1 節では，穴の量子数を「海から取り去った電子の量子数の符号を反転したもの」として求めた．しかし，陽電子を本格的に扱うには，穴の波動関数が必要になる．陽電子が電磁場の中でどう運動するかは，陽電子の波動関数が満たす方程式で決まる．この節では，負エネルギー解 $\psi$ から，電荷が逆の粒子の正エネルギー解 $\psi^c$ を機械的に作る操作（電荷共役，charge conjugation）を導く．結論は，「電荷 $q$ の電子の負エネルギー解の不在」と「電荷 $-q$ の粒子の正エネルギー解」が，同じ 1 つの対応でつながることである．

64.2.1 電磁場の中の Dirac 方程式と複素共役

電荷 $q$ の粒子が電磁場（スカラーポテンシャル $\varphi_{\mathrm{el}}$，ベクトルポテンシャル $\bm{A}$）の中にあるとき，運動量を最小結合 $\hat{\bm{p}}\to\hat{\bm{p}}-q\bm{A}$ に，エネルギーを $i\hbar\,\partial_t\to i\hbar\,\partial_t-q\varphi_{\mathrm{el}}$ に置き換える（電子は $q=-e_0$．第63章）．ハミルトニアン形では

である．4 元ポテンシャル $A^\mu=(\varphi_{\mathrm{el}}/c,\ \bm{A})$（$A_\mu=(\varphi_{\mathrm{el}}/c,\ -\bm{A})$，AD 03 第58章 58.4）を使うと，式 \eqref{eq:64-dirac-H} は共変形

に書ける．実際，式 \eqref{eq:64-dirac-em} を展開すると $i\hbar\gamma^0\dfrac1c\partial_t\psi+i\hbar\gamma^k\partial_k\psi-q\gamma^0\dfrac{\varphi_{\mathrm{el}}}{c}\psi+q\gamma^kA^k\psi-mc\psi=0$ である．左から $c\gamma^0$ を掛けて $\gamma^0\gamma^0=1$，$\gamma^0\gamma^k=\alpha_k$，$\gamma^0=\beta$ を使い，$-i\hbar\partial_k=\hat{p}_k$ と書き直して整理すると，式 \eqref{eq:64-dirac-H} になる．

式 \eqref{eq:64-dirac-em} の複素共役をとってみよう．$\partial_\mu$，$A_\mu$，$q$，$m$，$c$，$\hbar$ は実数（または実数の演算子）なので，変わるのは $i\to-i$ と，$\gamma^\mu\to\gamma^{\mu*}$，$\psi\to\psi^*$ だけである：

この式の $\gamma^{\mu*}$ を $\gamma^\mu$ に戻して，「電荷が逆の粒子の方程式」の形にしたい．そのために，$\gamma^{\mu*}$ を $-\gamma^\mu$ に変換する行列が必要になる．

式 \eqref{eq:64-dirac-conj} に左から $\gamma^2$ を掛け，$\psi^*$ の前に $(\gamma^2)^{-1}\gamma^2=1$ を挿入して式 \eqref{eq:64-g2} を使う．たとえば $\gamma^2\bigl(-i\hbar\gamma^{\mu*}\partial_\mu\bigr)(\gamma^2)^{-1}\gamma^2\psi^*=-i\hbar\,(-\gamma^\mu)\partial_\mu\,(\gamma^2\psi^*)=i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu(\gamma^2\psi^*)$ となる．同様に $-q\gamma^{\mu*}A_\mu\to+q\gamma^\mu A_\mu$，$-mc$ は変わらないので，

を得る．$\gamma^2\psi^*$ に定数因子（位相）をかけても方程式は変わらないので，慣習として $i$ を掛けて次のように定義する．

これが求めていたものである．電荷 $q=-e_0$ の電子の方程式の解 $\psi$ から，電荷 $+e_0$ の粒子の方程式の解 $\psi^c$ ができる．とくに，$\psi$ が電子の負エネルギー解なら，$\psi^c$ は電荷 $+e_0$ の粒子の正エネルギー解になる．これを自由粒子で確かめよう．負エネルギー解 $\psi=w\,e^{i(\bm{p}\cdot\bm{x}+E_pt)/\hbar}$ の複素共役は $w^*e^{-i(\bm{p}\cdot\bm{x}+E_pt)/\hbar}=w^*e^{i[(-\bm{p})\cdot\bm{x}-E_pt]/\hbar}$ で，時間依存性が $e^{-iE_pt/\hbar}$（正エネルギー），空間依存性が運動量 $-\bm{p}$ の平面波である．つまり $\psi^c$ は，運動量 $-\bm{p}$，エネルギー $+E_p$ の解になる．これは 64.1 節の穴の量子数（エネルギーと運動量の符号の反転）と一致している．こうして，「穴の波動関数」は，取り去った電子の波動関数の電荷共役 $\psi^c$ として与えられる．

64.2.2 静止系の例 — スピン↑の負エネルギー電子の不在

もっとも簡単な例として，静止系（$\bm{p}=0$）を調べる．第62章（62.5.1 節）の負エネルギー解 $u^{(3)}=(0,0,1,0)^{\mathsf T}$（$E=-mc^2$，$\Sigma_z=+1$，すなわちスピン $\uparrow$）に，時間依存性 $e^{+imc^2t/\hbar}$ を付ける．その電荷共役は，式 \eqref{eq:64-cc} の成分表示で，$\psi=(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_4)^{\mathsf T}=(0,0,1,0)^{\mathsf T}e^{imc^2t/\hbar}$ に対し

となる．$\psi^c$ は $\beta=\mathrm{diag}(1,1,-1,-1)$ の固有値 $+1$，つまりエネルギー $+mc^2$ の解で，$\Sigma_z=-1$（スピン $\downarrow$）である．すなわち，スピン $\uparrow$ の負エネルギー電子の不在は，スピン $\downarrow$ の陽電子として観測される．これは表64.1 のスピンの反転（$\uparrow\to\downarrow$）と一致している．

64.2.3 $v$ スピノル — 陽電子の平面波

陽電子の平面波解として標準的に使われるのは，電子の解 $u$ から電荷共役で作る $v$ スピノルである．運動量 $\bm{p}$，スピン $s$ の電子の正エネルギーの解 $u(\bm{p},s)$ に対し，

と定義する．$u(\bm{p},s)\,e^{i(\bm{p}\cdot\bm{x}-E_pt)/\hbar}$ の電荷共役は $v(\bm{p},s)\,e^{-i(\bm{p}\cdot\bm{x}-E_pt)/\hbar}$ で，これは電子の方程式の負エネルギー解（エネルギー $-E_p$，運動量 $-\bm{p}$）である．この負エネルギー状態の不在が，運動量 $\bm{p}$，エネルギー $+E_p$，スピン $s$ の陽電子である．ラベル $(\bm{p},s)$ は，陽電子の物理的な運動量とスピンを表す．第62章の $w$ との関係は，$v(\bm{p},\uparrow)=w(-\bm{p},\downarrow)$，$v(\bm{p},\downarrow)=-w(-\bm{p},\uparrow)$ である（位相の取り方による符号の違いを除く．演習64.3 で数値的に確かめる）．すなわち $v(\bm{p},s)$ は，運動量 $-\bm{p}$，スピン $-s$ の負エネルギー電子の状態で，それを取り去った穴が，運動量 $\bm{p}$，スピン $s$ の陽電子である．素粒子物理学（AD 09 第9章 9.3，9.4）の $v(p,s)$ は，本書の $v$ に $\sqrt{2E_p}$（規格化の違い．第62章の注意を参照）を掛けたものである．

64.2.4 Feynman–Stückelberg の解釈 — 時間を逆行する電子

もう 1 つの読み方がある．負エネルギーの電子の波動関数は $e^{-iEt/\hbar}$ で $E=-E_p\lt 0$ なので，$e^{+iE_pt/\hbar}$ のように時間とともに「逆回り」に位相が変わる．これは，時間を反転させた $t\to-t$ で正エネルギーの解に見える．そこで Stückelberg（シュトゥッケルベルク，1941 年）と Feynman（ファインマン，1949 年）は，次のように解釈した．負エネルギーの電子が時間をさかのぼって進むことは，正エネルギーの反粒子（陽電子）が時間を順行して進むことと同じである．電荷 $-e_0$ の粒子が時間を逆向きに進むとき，時間の順向きにはこれは電荷 $+e_0$ が進むのと同じだからである．図64.3 で，時空図（縦軸が時間）の上に描いた．

この見方では，対生成（光子が電子と陽電子に変わる）は，「時間を逆行していた電子が，時刻 $t_1$ で向きを変えて順行する」ことに見える．対消滅は，その逆である．素粒子物理学で使う Feynman 図では，反粒子の線は，粒子の線の矢印を逆向きにして描く（AD 09 第9章 9.4，第8章）．

電荷共役 $\mathcal{C}$ は，粒子と反粒子を入れ替える操作である．質量とスピンは不変で，電荷やその他の加法的な量子数（たとえばレプトン数やバリオン数）が反転する．Lorentz 不変な局所的場の量子論は，$\mathcal{C}$（電荷共役），$\mathcal{P}$（空間反転），$\mathcal{T}$（時間反転）の 3 つを合わせた変換（CPT）について不変であり（CPT 定理），その結果，粒子と反粒子は質量と寿命が正確に等しい．フェルミオンと反フェルミオンは内部パリティが逆になる（電子と陽電子の対は，軌道角運動量 $0$ のときパリティが $-1$）．これらの対称性の詳細は素粒子物理学（AD 09 第6章）で扱う．

64.2.5 電場の中の陽電子 — ポテンシャルの符号が変わる

電荷共役の結果，$\psi^c$ の方程式 \eqref{eq:64-dirac-c} では，電磁ポテンシャルとの結合の符号が反転する．たとえば静電ポテンシャルエネルギーが $V=q\varphi_{\mathrm{el}}$ から $V\to-V$ に変わる．電子は原子核の引力（$V\lt 0$）を受けて束縛状態をつくるが，陽電子は原子核から斥力を受ける．原子核が正電荷であることを考えれば当然である．この単純な違いが，陽電子の物質中での振る舞い（64.3 節の陽電子消滅分光）と，$\beta^+$ 崩壊の性質を決める．

関連シミュレーター：Relativistic-QM-derivation §3.3（Dirac の海と「電子＆正孔」）．

64.3 陽電子の発見・対消滅・材料への応用

Dirac の予言（1931 年）は，まもなく実験で確かめられた．この節では，陽電子の発見の歴史，対消滅の運動学，そして材料工学でも使われる応用（PET，陽電子消滅分光，ポジトロニウム）を扱う．Dirac 理論で導いた「陽電子は電子と同じ質量・逆の電荷をもち，電子に出会うと消滅する」という抽象的な話が，病院の検査機器や材料の欠陥評価の実際の方法になる過程を見よう．

64.3.1 Anderson による陽電子の発見（1932 年）

Anderson（アンダーソン，Caltech）は，宇宙線の研究のために，強い磁場（約 $1.5\ \mathrm{T}$）をかけた霧箱（cloud chamber．過飽和の蒸気の中を荷電粒子が通ると，その飛跡に沿って水滴ができて，写真に撮れる装置）を使っていた．1932 年に，霧箱の中に置いた厚さ約 $6\ \mathrm{mm}$ の鉛の板を通り抜ける粒子の飛跡の写真で，正電荷で，質量が電子と同程度の粒子の飛跡を見つけた．結果は 1932 年に Science 誌の短報で発表され（C. D. Anderson, Science 76, 238 (1932)），1933 年に Phys. Rev. に詳しく報告された（C. D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)）．

なぜ，陽子でも電子でもない「正電荷の軽い粒子」だと言えたのだろうか．荷電粒子が磁場 $B$ に垂直に運動すると，Lorentz 力が向心力になって円運動し，その半径 $r$ は運動量 $p$ と $p=e_0Br$ で結ばれる．つまり飛跡の曲がり方から運動量がわかり，曲がる向きから電荷の符号がわかる．鉛の板を通ると粒子はエネルギーを失って減速するので，板を通った後の飛跡のほうが曲率が大きい．これで，粒子がどちら向きに進んだかが決まり，さらに磁場の向きと曲がる向きから電荷の符号が決まる．質量は，飛跡に沿った電離の密度（水滴の濃さ）と曲率の関係から決まる．同じ運動量なら，重い粒子ほど速さがずっと遅く，単位長さあたりの電離が濃く，飛程が短くなる．

64.3.2 Blackett–Occhialini による確認と Nobel 賞

1933 年には，Blackett（ブラケット）と Occhialini（オッキアリーニ）が，Geiger–Müller 計数管（荷電粒子が通ると電気パルスを出す検出器）を上下に置き，宇宙線が通った瞬間にだけ霧箱を作動させる方法で，多数の飛跡を効率よく撮影した（P. M. S. Blackett and G. P. S. Occhialini, Proc. R. Soc. Lond. A 139, 699 (1933)）．その写真に，1 点から電子と陽電子が対になって出てくる対生成のシャワーが写っており，陽電子が Dirac の理論どおりの粒子であることが確かめられた．Dirac は 1933 年に Schrödinger とともに，Anderson は 1936 年に Hess（宇宙線の発見者）とともに，Nobel 物理学賞を受賞した．

64.3.3 対消滅の運動学

陽電子は物質中で電子に出会うと消える．対消滅（pair annihilation）である．もっとも典型的なのは，2 個の光子を放出する過程 $\mathrm{e^+}+\mathrm{e^-}\to\gamma+\gamma$ である．

3 個の光子への消滅は，運動量保存則だけでは禁止されない．しかし，次項のポジトロニウムで見るように，電子と陽電子のスピンが平行（三重項）の場合には，電荷共役対称性（C 不変性）のために 2 光子への消滅が禁じられ，3 光子になる．

低速の陽電子と電子の 2 光子消滅の速さは，Dirac（1930 年）の計算で，電子密度 $n_{\mathrm{e}}$ の物質中で（スピンを平均すると）$\lambda\approx\pi r_{\mathrm e}^2c\,n_{\mathrm{e}}$ となる（$r_{\mathrm e}=e_0^2/(4\pi\varepsilon_0mc^2)=2.818\ \mathrm{fm}$ は古典電子半径）．すなわち陽電子の寿命 $1/\lambda$ は，電子密度に反比例する．これが，64.3.6 節の陽電子消滅寿命法で「電子密度の低い空孔では寿命が長くなる」理由である（実際には陽電子が電子を引き寄せるため，消滅率はこの値より数倍大きくなる）．

たとえば Al は，1 原子あたり価電子が 3 個で，原子数密度が $6.03\times10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ なので，自由電子密度は $n_{\mathrm e}=1.8\times10^{29}\ \mathrm{m^{-3}}$ である．$\lambda=\pi r_{\mathrm e}^2c\,n_{\mathrm e}=\pi\times(2.818\times10^{-15}\ \mathrm{m})^2\times2.998\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\times1.8\times10^{29}\ \mathrm{m^{-3}}=1.35\times10^{9}\ \mathrm{s^{-1}}$ で，寿命は $1/\lambda\approx0.74\ \mathrm{ns}$ となる．実測されるバルクの Al の陽電子寿命は約 $0.16\ \mathrm{ns}$ で，この見積もりの約 $1/4.6$ である．正電荷の陽電子が周りの電子を引き寄せ，陽電子の位置の電子密度が自由電子の平均値より約 $4.6$ 倍に増えている（増強）ことが，主な理由である（内殻電子との消滅も少し加わる）．

64.3.4 運動する電子との消滅 — Doppler 広がりと角度のずれ

物質中の陽電子は，数 ps のうちに周りの電子と衝突してエネルギーを失い，ほぼ静止（熱運動の程度）して消滅する．一方，消滅の相手の電子は，Fermi 運動量 $p_{\mathrm F}=\hbar k_{\mathrm F}$ 程度の運動量をもって動いている．その運動量が，2 個の光子に反映される．

この式の意味は，陽電子が静止した探針になって，電子の運動量を測っていることである．光子のエネルギー $511\ \mathrm{keV}$ のまわりの広がりは，電子の運動量の 1 成分の分布（運動量分布の射影）を直接表す．自由電子気体（Fermi 球が一様に満たされている）なら，Fermi 球を $z$ 軸に射影した分布は $p_{\mathrm L}$ の逆放物線 $\propto p_{\mathrm F}^2-p_{\mathrm L}^2$ になり，端が $\pm p_{\mathrm F}c/2$ である．

64.3.5 ポジトロニウム — 電子と陽電子の水素原子

陽電子が消えるまでに，電子と陽電子が Coulomb 引力で束縛状態をつくることがある．これがポジトロニウム（positronium，Ps）で，陽子のかわりに陽電子を核にもつ「水素原子」である．Ps の質量は電子と陽電子が同じなので，換算質量は $\mu=\dfrac{m\cdot m}{m+m}=\dfrac{m}{2}$ になる．水素原子の結果（第15章）で，エネルギー準位は換算質量に比例し（$E_n=-\dfrac{\mu e_0^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}$），Bohr 半径は換算質量に反比例する（$a=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{\mu e_0^2}$）．したがって，核の質量が無限大の水素（$\mu=m$）に対して，Ps では準位が 1/2 倍，半径が 2 倍になる．

Ps には，電子と陽電子のスピンの組み合わせで 2 種類ある．スピンが反平行の一重項（$S=0$）を para-ポジトロニウム（p-Ps），平行の三重項（$S=1$）を ortho-ポジトロニウム（o-Ps）という．両者のエネルギーは，超微細相互作用により，o-Ps が p-Ps より約 $8.4\times10^{-4}\ \mathrm{eV}$（約 $203\ \mathrm{GHz}$）高い．真空中の寿命は，p-Ps が約 $125\ \mathrm{ps}$（2 光子に消滅），o-Ps が約 $142\ \mathrm{ns}$（3 光子に消滅）で，約 1100 倍も違う．

64.3.6 材料工学への応用

PET（陽電子放出断層撮影）

陽電子消滅分光 — 空孔型欠陥を見る

64.3.7 陽電子の得かた

陽電子源には，次のものがある．(i) $\beta^+$ 崩壊する放射性同位体．PALS で使う $^{22}\mathrm{Na}$（半減期 $2.6$ 年，$\beta^+$ の最大エネルギー $0.546\ \mathrm{MeV}$）が代表で，PET では $^{18}\mathrm{F}$（最大エネルギー $0.634\ \mathrm{MeV}$）や $^{11}\mathrm{C}$，$^{15}\mathrm{O}$ などの短寿命の核種を加速器で作る．(ii) 高エネルギーのガンマ線や電子が重い原子核の場で起こす対生成（64.1.6 節）．加速器や原子炉の強いガンマ線から，大強度の陽電子ビームを得ている．(iii) 宇宙線（Anderson の発見）．また，陽電子を減速して（金属の表面で放出される低速の陽電子を使う，あるいは磁場で集めて）単色のビームにすることで，材料の表面や薄膜の欠陥を調べることもできる．

関連シミュレーター：Relativistic-QM-derivation §3.3．陽電子消滅分光の応用は，素粒子物理学（AD 09）の第16章（16.5 陽電子消滅分光）でも扱う．

64.4 Klein のパラドックス — 高いポテンシャルの壁が透明になる

負エネルギー解は，数学的な副産物ではなく，方程式が実際に予言する物理だということを，もっとも鮮やかに示す現象がKlein のパラドックス（Klein paradox，O. Klein, Z. Phys. 53, 157 (1929)）である．Schrödinger 方程式では，粒子のエネルギー $E$ より高い階段ポテンシャルに電子が当たると，電子は全反射される（階段の向こうでは波動関数が指数関数的に減衰する．第12章 12.2）．Dirac 方程式で同じ問題を解くと，階段が十分に高いとき（$V_0\gt E+mc^2$），電子は階段を高さによらずに透過する．階段を高くするほど電子が止まりやすくなるはずなのに，止まらない．この節では，この問題を 1 次元の Dirac 方程式で最後まで計算し，負エネルギー解と対生成の関係，Sauter の臨界電場を調べる．

64.4.1 1 次元の Dirac 方程式と階段ポテンシャル

粒子が $x$ 軸方向だけに動く場合を考える．このとき，Dirac 方程式の 4 成分は，次のように 2 成分に簡単になる．スピンの $x$ 成分 $\Sigma_x$ は $\hat{H}=c\,\alpha_x\hat{p}_x+\beta mc^2+V(x)$ と可換である（$\comm{\alpha_x}{\Sigma_x}=0$ で，$\beta$ と $V$ は $\Sigma_x$ と可換．第62章 62.5.4 節の $\comm{\alpha_i}{\Sigma_j}=2i\sum_k\varepsilon_{ijk}\alpha_k$ で $i=j=x$ とおくと $0$）．そこで $\Sigma_x=+1$ の状態だけを考える．スピン状態を $\sigma_x\chi_+=\chi_+$ を満たす 2 成分スピノル $\chi_+$ とし，$\psi=\begin{pmatrix}f(x)\chi_+\\g(x)\chi_+\end{pmatrix}$ とおくと，$\alpha_x\psi=\begin{pmatrix}\sigma_x\,g\,\chi_+\\\sigma_x\,f\,\chi_+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g\,\chi_+\\f\,\chi_+\end{pmatrix}$，$\beta\psi=\begin{pmatrix}f\chi_+\\-g\chi_+\end{pmatrix}$ である．つまり，2 成分の関数 $\begin{pmatrix}f\\g\end{pmatrix}$ に対して，$\alpha_x$ は $\sigma_x$，$\beta$ は $\sigma_z$ として作用する．したがって，1 次元の Dirac ハミルトニアンは，$2\times2$ の行列を使って

と書ける（この $\sigma_x,\sigma_z$ は軌道の自由度でなく，$f$ と $g$ の 2 成分に作用する Pauli 行列）．$\Sigma_x=-1$ の状態では $\alpha_x\to-\sigma_x$ となるが，2 成分関数 $(f,g)^{\mathsf T}$ に $\sigma_z$ によるユニタリー変換を施すと（$\sigma_z\sigma_x\sigma_z=-\sigma_x$，$\sigma_z\sigma_z\sigma_z=\sigma_z$），$-c\sigma_x\hat{p}+\sigma_zmc^2+V$ が $\Sigma_x=+1$ の場合のハミルトニアン \eqref{eq:64-H1d} と同じ形になるので，同じ結果が得られる．確率密度と確率の流れは，2 成分の波動関数 $\psi=(f,g)^{\mathsf T}$ に対して $\rho=\psi^\dagger\psi=\abs{f}^2+\abs{g}^2$，$j=c\,\psi^\dagger\sigma_x\psi=2c\,\mathrm{Re}(f^*g)$ である（第62章の $\rho=\psi^\dagger\psi$，$\bm{j}=c\,\psi^\dagger\bm{\alpha}\psi$ で $\alpha_x\to\sigma_x$）．

ポテンシャルは階段：

とする．$V_0=q\varphi_{\mathrm{el}}$ は，電子（電荷 $q=-e_0$）に対する静電ポテンシャルエネルギーで，$V_0\gt 0$ は，電子にとって上り階段（電位が低い側）である．左（$x\lt0$）から，エネルギー $E$（$E\gt mc^2$）の電子が入射する．方程式 $\hat{H}\psi=E\psi$ を成分に分けて書くと，

である．$V$ が一定の領域での平面波解 $\psi=\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}e^{ipx/\hbar}$ を式 \eqref{eq:64-comp} の 2 番目に入れると $(E-V+mc^2)\,a=c\,p$，すなわち

である．1 番目の式からは $(E-V-mc^2)=c\,p\,a$ が出る．両者をかけ合わせると（$a=cp/(E-V+mc^2)$ を代入して）$(E-V-mc^2)(E-V+mc^2)=c^2p^2$，すなわち

を得る．これは，運動エネルギー $E-V$ に対する相対論の関係 $(E-V)^2=p^2c^2+m^2c^4$ そのものである．

この平面波の速度を，確率の流れ $j$ と密度 $\rho$ から求めておこう．$j/\rho=\dfrac{2c\,a}{1+a^2}$ である．式 \eqref{eq:64-a} を代入し，$(E-V+mc^2)^2+p^2c^2=2(E-V)(E-V+mc^2)$ （式 \eqref{eq:64-p2} を使う）を使うと $\dfrac{2a}{1+a^2}=\dfrac{2cp(E-V+mc^2)}{(E-V+mc^2)^2+p^2c^2}=\dfrac{cp}{E-V}$ となるので，

である．これは，第62章の群速度の式 $v=pc^2/E$ で $E\to E-V$ としたもので，$E-V\lt 0$ の場合（負エネルギー）には，速度の向きが運動量 $p$ の向きと逆になる．この事実が，Klein 領域での解の選び方のカギになる．

64.4.2 境界条件と反射率・透過率

左（$x\lt0$，$V=0$）では，入射波と反射波の重ね合わせ，右（$x\gt0$，$V=V_0$）では透過波だけを置く（右から入射する波はない）．$a=\dfrac{cp}{E+mc^2}$，$a'=\dfrac{cp'}{E-V_0+mc^2}$ として，

とする．ここで $p=\sqrt{E^2-m^2c^4}/c\gt 0$，$p'$ は式 \eqref{eq:64-p2} の $V=V_0$ の場合 $p'^2c^2=(E-V_0)^2-m^2c^4$ の解（符号はあとで決める）である．反射波は $p\to-p$ に対応するので，$a\to-a$ となる．

Dirac 方程式は 1 階なので，階段 $x=0$ で波動関数 $\psi=(f,g)^{\mathsf T}$ の 2 成分が両方とも連続でなければならない．実際，式 \eqref{eq:64-comp} は $\hat{p}=-i\hbar\,\dd/\dd x$ を使うと $g'=\dfrac{i}{\hbar c}(E-V-mc^2)f$，$f'=\dfrac{i}{\hbar c}(E-V+mc^2)g$ と書ける．これを $x=-\varepsilon$ から $x=+\varepsilon$ まで積分すると，$g(\varepsilon)-g(-\varepsilon)=\dfrac{i}{\hbar c}\displaystyle\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}(E-V-mc^2)f\,\dd x$ で，$V$ は有限の高さの階段なので，右辺は $\varepsilon\to0$ で $0$ に近づく．$f$ についても同様である．したがって $f$，$g$ は $x=0$ で連続である（Schrödinger 方程式では $\psi$ と $\psi'$ が連続だったが，Dirac 方程式は 1 階なので，$\psi$ の 2 成分の連続を要求する）．

この形は，第12章の階段ポテンシャルの結果（定理12.1：$R=\left(\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2$，$T=\dfrac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}$）の，波数の比 $k_2/k_1$ を $\rho_{\mathrm K}$ に置き換えたものである．$\rho_{\mathrm K}=1$ なら反射はなく（$R=0$，$T=1$），$\rho_{\mathrm K}\to0$ または $\rho_{\mathrm K}\to\infty$ なら全反射に近づく．ただし，$\rho_{\mathrm K}$ の中の $p'$ の符号がどちらを選ぶべきかが，Schrödinger 方程式のときのように自明ではない．次項で決める．

64.4.3 3 つの領域と $p'$ の枝

式 \eqref{eq:64-p2} の $V=V_0$ の場合，$p'^2c^2=(E-V_0)^2-m^2c^4$ である．右辺の符号によって，次の 3 つの領域に分かれる．

(i) 通常の領域（$V_0\lt E-mc^2$）：$E-V_0\gt mc^2$ で，$p'$ は実数．$a'=\dfrac{cp'}{E-V_0+mc^2}$ の分母は正だから，流れが右向き（$v\gt 0$．式 \eqref{eq:64-vg}）になるのは $p'\gt 0$，すなわち $a'\gt 0$．$\rho_{\mathrm K}\gt 0$ で，Schrödinger 方程式の階段と同じ透過が起こる．$V_0=0$ なら $\rho_{\mathrm K}=1$ で $T=1$，$V_0\to E-mc^2$ で $p'\to0$，$\rho_{\mathrm K}\to0$，$T\to0$ である．

(ii) 減衰の領域（$E-mc^2\lt V_0\lt E+mc^2$）：$\abs{E-V_0}\lt mc^2$ で，$p'^2\lt 0$．$p'=i\hbar\kappa$（$\kappa\gt 0$ は実数）と置くと，透過波は $e^{ip'x/\hbar}=e^{-\kappa x}$ で指数関数的に減衰し，$x\to+\infty$ で有限な解はこれだけである（$e^{+\kappa x}$ は発散するので捨てる）．$a'$ は純虚数になり，$f^*g$ は純虚数，$j_{\mathrm T}=2c\,\mathrm{Re}(f^*g)=0$ で，透過する流れはない．$\abs{r}=\left|\dfrac{a-a'}{a+a'}\right|=1$ で全反射（$R=1$，$T=0$）である．壁の内側のエネルギーの「ギャップ」$-mc^2\lt E-V_0\lt mc^2$ に，入射粒子のエネルギーが入っている場合に当たる．

(iii) Klein 領域（$V_0\gt E+mc^2$）：$E-V_0\lt -mc^2$ で，$p'^2c^2=(E-V_0)^2-m^2c^4\gt 0$ となって，$p'$ は再び実数になる．Schrödinger 方程式の感覚では「障壁が高すぎて，粒子が入れない」と思うところだが，ここでは実の波数をもつ振動解がある．$p'$ の符号は，流れが右向き（$v\gt 0$）であるという条件で決める．式 \eqref{eq:64-vg} より $v=c^2p'/(E-V_0)$ で，$E-V_0\lt 0$ なので，$v\gt 0$ となるのは $p'\lt 0$ のときである．すなわち，

を選ぶ．このとき $a'=\dfrac{cp'}{E-V_0+mc^2}$ は，分母が負（$E-V_0+mc^2\lt 0$），分子も負（$p'\lt 0$）なので $a'\gt 0$ で，$\rho_{\mathrm K}\gt 0$，$0\lt T\lt 1$ である．波の位相は左向きに進む（$p'\lt 0$）のに，エネルギーは右向きに運ばれている．これは，負エネルギー状態の群速度が，運動量と逆向きになること（64.1 節の例題64.2）そのものである．

領域 (iii) の式 \eqref{eq:64-RT} を具体的に書くと，$p'=-\abs{p'}$，$E-V_0+mc^2=-(V_0-E-mc^2)$ なので $\rho_{\mathrm K}=\dfrac{\abs{p'}}{p}\cdot\dfrac{E+mc^2}{V_0-E-mc^2}$ である．$V_0\to E+mc^2$ では $\rho_{\mathrm K}\to\infty$（$T\to0$），$V_0\to\infty$ では $\abs{p'}c\to V_0-E\to\infty$ で，$\rho_{\mathrm K}\to\dfrac{E+mc^2}{pc}$，すなわち

である．$V_0$ を限りなく高くしても，壁は 0 にならない透過率をもつ．

64.4.4 解釈 — 壁の中の負エネルギー連続と対生成

領域 (iii) の透過波は何だろうか．壁の内側（$x\gt 0$）の電子のエネルギー帯を描いて考えよう（図64.5）．ポテンシャルが $V_0$ だけ持ち上がった $x\gt 0$ では，正エネルギーの連続は $E\ge V_0+mc^2$，負エネルギーの連続は $E\le V_0-mc^2$ に移り，その間にギャップ（幅 $2mc^2$）がある．入射電子のエネルギー $E$ は，$x\lt0$ では正エネルギーの連続の中にある．(i) では $x\gt 0$ の正エネルギーの連続にもある．(ii) では $x\gt 0$ のギャップの中にある（ここでは波は減衰する）．(iii) では，壁の内側の負エネルギーの連続の中にある（$E\le V_0-mc^2$ すなわち $V_0\ge E+mc^2$）．ここには進行波があって，入射した電子の波はこの負エネルギー状態につながる．

Dirac の海の描像では，これは次のように読み替えられる．壁の内側では，負エネルギーの状態はすべて電子で埋まっている（海）．入射電子が，すでに満たされた状態に入れるわけではない．むしろ，(iii) では，壁の内側（右側）の海の電子が，同じエネルギー $E$ をもつ，壁の外側（左側）の空いた正エネルギーの状態へ移ることができる．この電子が左側へ出てくると，右側の海には穴が残る．すなわち，壁の近くで，電子・陽電子の対が生成されうる．Klein 領域の透過率 $T\gt 0$ は，「壁の静電ポテンシャルが，真空から対を引き出す可能性がある」ことの，1 粒子理論の言葉での表現である（厳密な扱いは場の量子論で行う）．負エネルギー解を捨てると，この現象が記述できない．

64.4.5 Sauter の臨界電場 — 真空から対が生まれる条件

Klein 領域の透過を引き起こすには，壁の高さ $V_0$ が $2mc^2$ 程度（ギャップの幅）以上の落差を，Compton 波長程度の距離で作らなければならない．電荷 $e_0$ が一様な電場 $\mathcal{E}$ の中を距離 $\bar\lambda_{\mathrm C}$ だけ進むときのエネルギーの変化は $e_0\mathcal{E}\bar\lambda_{\mathrm C}$ で，これが $2mc^2$（電子・陽電子の対をつくるのに必要なギャップの幅）に等しいとき，電場は $2E_{\mathrm c}$ となる．ここで Sauter（ザウター，1931 年）の臨界電場（critical field）を

と定義する．$E_{\mathrm c}$ は，電荷 $e_0$ を電子の Compton 波長 $\bar\lambda_{\mathrm C}=\hbar/mc$ 動かすとき，静止エネルギー $mc^2$ を得る電場である．数値は，$E_{\mathrm c}=1.323\times10^{18}\ \mathrm{V/m}$ である．$E_{\mathrm c}$ 程度以上の電場では，真空から電子・陽電子の対が顕著に生成される．それより弱い電場でも対生成の確率は $0$ ではないが，次の見積もりで示すように，$\exp(-\pi E_{\mathrm c}/\mathcal{E})$ に比例して指数関数的に小さい．Schwinger（シュウィンガー，1951 年）は，一様な電場 $\mathcal{E}$ の真空での，単位体積・単位時間あたりの対生成の率が，$\mathcal{E}\ll E_{\mathrm c}$ で $\dfrac{(e_0\mathcal{E})^2}{4\pi^3\hbar^2c}\exp(-\pi E_{\mathrm c}/\mathcal{E})$（前因子は $\mathcal{E}^2$ に比例する）となることを厳密に示した（Schwinger 機構）．

関連シミュレーター：相対論的量子力学シミュレーター ②（箱の中の粒子．右下に Klein のパラドックスのエネルギー帯の図），Relativistic-QM-derivation §5．

64.5 Zitterbewegung — 1 粒子描像の限界

Klein のパラドックスは，静電ポテンシャルがあるときの 1 粒子描像の破れを示した．この節では，ポテンシャルが何もない自由な電子でも，1 粒子の描像が細かいスケールでは成り立たないことを示す．結論から言うと，Dirac 方程式に従う自由な電子の位置は，運動量が決まっていても，電子の Compton 波長 $\bar\lambda_{\mathrm C}=\hbar/mc$ 程度の振幅で，角振動数 $2E/\hbar$ で振動する．Schrödinger（1930 年）が見つけたこの運動を Zitterbewegung（ドイツ語で「震える運動」）とよぶ．

64.5.1 速度演算子の奇妙な固有値

第62章（62.3 節）で見たように，Dirac 方程式で位置の時間微分を Heisenberg の運動方程式で求めると，速度の演算子は $\dot{\hat{x}}_i=\dfrac{i}{\hbar}\comm{\hat{H}}{\hat{x}_i}=c\,\alpha_i$ である．そして $\alpha_i$ の固有値は $\pm1$ だけなので，速度を測ると，どの成分も $\pm c$ の値しか得られない．ところが，運動量 $p$ の平面波での速度の期待値は $\expval{c\,\alpha_i}=c^2p_i/E_p$ で，$c$ より小さい．これらはどう両立するのだろうか．答えは，演算子 $\alpha_i$ 自身が時間とともに変化して，平均すると $c^2p_i/E_p$ になることにある．以下で $\alpha_i$ の時間変化を解く．

64.5.2 Heisenberg の運動方程式を解く

自由粒子（$\hat{H}=c\,\bm{\alpha}\cdot\hat{\bm{p}}+\beta mc^2$）の場合を考える．以下では Heisenberg 描像の演算子を使う．$\hat{\bm{p}}$ と $\hat{H}$ は保存量（$\hat{H}$ と可換）で時間によらない．

64.5.3 静止した電子の震え

$\hat{\bm{p}}=0$ の状態（静止系）を調べよう．厳密には，$\bm{p}=0$ の平面波は規格化できず $\expval{x}$ が定義できない．以下では，$\bm{p}=0$ のまわりの狭い範囲に運動量が分布した（幅が $\bar\lambda_{\mathrm C}$ よりずっと広い）波束を考え，平均位置の変位を速度の期待値の積分 $\expval{x}(t)-\expval{x}(0)=c\int_0^t\expval{\alpha_x}\dd t'$ で求める．このとき式 \eqref{eq:64-x-t} は，$\hat{H}=\beta mc^2$ を使って

となる．角振動数は $\omega_{\mathrm{ZB}}=2mc^2/\hbar=1.553\times10^{21}\ \mathrm{s^{-1}}$，周期は $T_{\mathrm{ZB}}=2\pi/\omega_{\mathrm{ZB}}=4.05\times10^{-21}\ \mathrm{s}$，振幅は $\dfrac{\hbar c}{2mc^2}=\dfrac{\bar\lambda_{\mathrm C}}{2}=1.93\times10^{-13}\ \mathrm{m}$ である．具体的な状態で確かめよう．

64.5.4 震えの起源と限界 — 正負エネルギーの干渉

Zitterbewegung の振動数 $2E_p/\hbar$ は，正エネルギー $+E_p$ の成分と負エネルギー $-E_p$ の成分のエネルギー差 $2E_p$ を $\hbar$ で割ったものである．つまり，正エネルギーと負エネルギーの成分の干渉が，位置の振動を生む．干渉する相手がなければ，振動はない．実際，正エネルギーの空間への射影 $P_+=\tfrac12(1+\hat{H}/E_p)$ で速度の演算子を挟むと，

が成り立つ．証明：$P_+\alpha_iP_+=\tfrac14\bigl(\alpha_i+\tfrac{1}{E_p}(\hat{H}\alpha_i+\alpha_i\hat{H})+\tfrac{1}{E_p^2}\hat{H}\alpha_i\hat{H}\bigr)$．式 \eqref{eq:64-acomm} より $\hat{H}\alpha_i+\alpha_i\hat{H}=2cp_i$，$\hat{H}\alpha_i\hat{H}=(2cp_i-\alpha_i\hat{H})\hat{H}=2cp_i\hat{H}-\alpha_iE_p^2$ だから，$P_+\alpha_iP_+=\tfrac14\bigl(\alpha_i+\tfrac{2cp_i}{E_p}+\tfrac{2cp_i\hat{H}}{E_p^2}-\alpha_i\bigr)=\dfrac{cp_i}{2E_p}\Bigl(1+\dfrac{\hat{H}}{E_p}\Bigr)=\dfrac{cp_i}{E_p}P_+$．したがって，正エネルギー解だけの波束では $\expval{c\alpha_i}=c^2p_i/E_p$ の等速運動だけになり，Zitterbewegung は消える（図64.7 (a) の点線）．

では，負エネルギー成分を最初から除いてしまえばよいのか．64.1 節（例題64.1）で見たように，電子を狭い領域に局在させると，必ず負エネルギー成分が混ざる．とくに，位置を精度 $\bar\lambda_{\mathrm C}$ 以下で指定しようとすると（波束の幅 $d\lesssim\bar\lambda_{\mathrm C}$），負エネルギー成分の重みは $16\ \%$ 以上にもなる．位置演算子 $\hat{x}$ そのものが，正エネルギーと負エネルギーの状態を結びつける行列要素をもつ．正エネルギーの状態だけで位置を定義しようとしても（Newton–Wigner の位置演算子．正エネルギーの状態だけで位置の演算子を定義する標準的な方法で，前章の Foldy–Wouthuysen 変換で正負エネルギーを分離したときの「平均位置」とも結びつく），位置は $\bar\lambda_{\mathrm C}$ 程度の範囲でぼやけている．

64.5.5 観測できるのか — トラップされたイオンと固体中の電子

自由な電子の Zitterbewegung は，振動数が $10^{21}\ \mathrm{Hz}$（周期 $4\times10^{-21}\ \mathrm{s}$），振幅が $2\times10^{-13}\ \mathrm{m}$ で，しかも干渉には $\pm E_p$ の両方の成分が必要で，電子を $\bar\lambda_{\mathrm C}$ 程度に局在させると対生成が起こる．したがって，自由電子では観測されていない．それでも，Dirac 方程式と同じ数学をもつ別の系で，Zitterbewegung を見る試みが行われている．Gerritsma らは，電磁場のトラップ（Paul トラップ）に閉じ込めた $\mathrm{Ca^+}$ イオン 1 個に，レーザーで内部状態（2 準位）と運動を結びつけた．こうして，Dirac 方程式と同じ形のハミルトニアンをイオンの系で作り，Zitterbewegung に相当する振動を実験的に観測した（R. Gerritsma et al., Nature 463, 68 (2010)）．このような量子シミュレーションでは，「光速」や「質量」に当たる量を，実験装置の量で自由に選べるので，観測可能な遅い時間スケールに変換できる．同様の試みは，冷却原子や光導波路の配列でも行われている．

関連シミュレーター：素粒子シミュレーター ①（原子をズームする．「真空中の電子」の「Dirac の震え」），elementary-particles-derivation §6.2（コンプトン波長と Zitterbewegung）．

64.6 まとめと演習

64.6.1 まとめ

• 負エネルギー解の読み方：負エネルギー解は，(i) 完全系の一部（局在した電子には必ず混ざる．上 2 成分だけの状態の負エネルギーの重みは $W(\bm{p})=(E_p-mc^2)/2E_p$），(ii) 光子放出で落ちる（基底状態がなくなる），の 2 つの理由で捨てられない．Dirac（1930 年）は，負エネルギーの状態が Pauli の排他原理のもとでみな電子で満たされた状態を真空（Dirac の海）とした．
• 穴と陽電子：海から電子を 1 個取り去った穴は，エネルギー・運動量・スピン・電荷の符号がすべて反転し，質量は電子と同じ粒子（陽電子）として観測される：$(E,\bm{p},S_z,Q)\to(-E,-\bm{p},-S_z,-Q)$．Dirac は最初は穴を陽子と考えたが，Oppenheimer と Weyl の指摘を経て 1931 年に陽電子を予言し，1932 年に Anderson が発見した．半導体の価電子帯と正孔に対応し，ギャップは $2mc^2=1.022\ \mathrm{MeV}$（Si の $E_g=1.12\ \mathrm{eV}$ の約 $9.1\times10^5$ 倍）．対生成のしきいエネルギーは $2mc^2(1+m/M)$（電子の場で $4mc^2$）．
• 電荷共役：$\psi^c=i\gamma^2\psi^*$．$\gamma^2\gamma^{\mu*}(\gamma^2)^{-1}=-\gamma^\mu$ から，電荷 $q$ の解 $\psi$ は電荷 $-q$ の解 $\psi^c$ に，負エネルギー解は正エネルギー解に移る．$\psi^{cc}=\psi$，確率密度は不変．静止系では $(0,0,1,0)^{\mathsf T}\to(0,-1,0,0)^{\mathsf T}$（スピン $\uparrow$ の負エネルギー電子の不在＝スピン $\downarrow$ の陽電子）．陽電子の平面波は $v(\bm{p},s)=i\gamma^2u^*(\bm{p},s)$．Feynman–Stückelberg の解釈では，負エネルギーの電子が時間を逆行することが，陽電子が時間を順行することに当たる．陽電子は核から斥力を受ける．
• 陽電子の発見と応用：Anderson（1932 年．Science 76, 238 (1932)，Phys. Rev. 43, 491 (1933)），Blackett–Occhialini（1933 年）．静止した対は $511\ \mathrm{keV}$ の光子 2 個（逆向き）に消滅し，運動する電子との消滅では $\Delta E=\pm p_{\mathrm L}c/2$（Al で $1.73\ \mathrm{keV}$），$\theta=p_{\mathrm T}/mc$．PET（$^{18}\mathrm{F}$，$109.8$ 分），陽電子消滅寿命法（空孔で寿命が長くなる），Doppler 広がり法．ポジトロニウムは $6.80\ \mathrm{eV}$，$105.8\ \mathrm{pm}$，p-Ps $125\ \mathrm{ps}$（2 光子），o-Ps $142\ \mathrm{ns}$（3 光子）．
• Klein のパラドックス：1 次元の Dirac 方程式の階段で $r=(a-a')/(a+a')$，$R=\bigl(\frac{1-\rho_{\mathrm K}}{1+\rho_{\mathrm K}}\bigr)^2$，$T=\frac{4\rho_{\mathrm K}}{(1+\rho_{\mathrm K})^2}$，$\rho_{\mathrm K}=\frac{p'}{p}\frac{E+mc^2}{E-V_0+mc^2}$．3 つの領域：(i) 通常，(ii) 減衰（$T=0$），(iii) Klein（$V_0\gt E+mc^2$，$p'\lt 0$ の枝を群速度で選び，$V_0\to\infty$ でも $T\gt 0$）．$E=2mc^2$，$V_0=4mc^2$ で $R=1/4$，$T=3/4$．壁の内側の負エネルギー連続へ海の電子が抜ける＝対生成．Sauter の臨界電場は $E_{\mathrm c}=m^2c^3/e_0\hbar=1.32\times10^{18}\ \mathrm{V/m}$で，レーザーの電場（$I=10^{22}\ \mathrm{W/cm^2}$ で $2.7\times10^{14}\ \mathrm{V/m}$）は約 $1/4800$．質量ゼロのグラフェンでは $T=1$．
• Zitterbewegung：Heisenberg 描像で $\alpha(t)$ と $x(t)$ を解くと，等速運動（速度 $c^2p/E$）に，角振動数 $2E/\hbar$ の振動が重なる．静止電子では $2mc^2/\hbar=1.553\times10^{21}\ \mathrm{s^{-1}}$，振幅 $\bar\lambda_{\mathrm C}/2=1.93\times10^{-13}\ \mathrm{m}$．起源は正負エネルギー成分の干渉で，正エネルギーだけの波束では消える．位置を $\bar\lambda_{\mathrm C}$ 以下で指定できない（1 粒子描像の限界）．自由電子では観測されていないが，トラップされたイオン（Gerritsma ら，2010 年）や，狭ギャップ半導体（InSb で周期 $24\ \mathrm{fs}$，振幅 $4\ \mathrm{nm}$）に類似がある．

次章（第65章）では，この章の結論（粒子と反粒子の対生成・対消滅，電子の位置の限界）を，粒子の数が変わる世界を記述する場の量子論の言葉で書き直す．Dirac 場 $\hat\psi=\sum\bigl[\hat{b}\,u\,e^{-ipx}+\hat{d}^\dagger v\,e^{ipx}\bigr]$ の $v$ が，この章の $v=i\gamma^2u^*$ である．

64.6.2 演習問題

64.6.3 参考文献