第3章黒体放射と量子の発見 — Wien・Rayleigh–Jeans・Planck

3.1 熱放射と黒体 — 光る物体と空洞放射

3.1.1 熱い物体は光る — 熱放射

電気ストーブのヒーターは，温度が上がると暗い赤色に光る．白熱電球のフィラメントは約 $2800\ \mathrm{K}$（$\mathrm{K}$ は絶対温度の単位，$0\ ^\circ\mathrm{C}=273.15\ \mathrm{K}$）まで熱せられて，黄白色に光る．太陽の表面（約 $5800\ \mathrm{K}$）は白く輝く．このように，物体は温度が高いと光を出す．これを熱放射（thermal radiation）という．しかも，光って見えるのは高温の物体だけではない．人間の体（約 $310\ \mathrm{K}$）も，目に見えない赤外線を出していて，サーモグラフィはそれを撮影する装置である．つまり，すべての物体は，その温度に応じた電磁波を出している．

温度を上げていったとき，物体が出す電磁波は，次の 2 つの点で変化する．第 1 に，出る光の総量が増える．第 2 に，光の成分（どの振動数の光がどれだけ含まれるか）が変わり，低温では赤外線が多く，温度が上がるにつれて可視光の割合が増え，赤，橙，黄，白へと色が変わっていく．この「振動数ごとの光のエネルギー」が，温度の上昇に従ってどのようになるのかを知るために行われたのが，黒体放射の実験である．この章の目標は，この実験結果を説明する理論を組み立てることである．そして，その過程で，古典物理学（Newton 力学・Maxwell の電磁気学・Boltzmann の統計力学）の限界が見つかり，量子力学が生まれる．

3.1.2 スペクトル密度 $U(\nu)$ — 何を測っているのか

まず，測る量をはっきり決めよう．熱放射の実験では，空洞（壁で囲まれた空間）の中を満たす電磁波を考える．電磁波は，単位体積あたりいくらのエネルギーをもっているか．さらに，そのエネルギーは，どの振動数の電磁波が担っているか．これを表すのが次の量である．

$U(\nu)$ に $\dd\nu$ を掛けて初めてエネルギー（の密度）になる点に注意してほしい．$U(\nu)$ 自体は「振動数の幅 $1\ \mathrm{Hz}$ あたり」の量であり，$\nu$ で積分すると全エネルギー密度になる．同様に，波長で数える量 $U_\lambda(\lambda)$（単位波長あたり）も後で使う（3.2 節）．この量は AD 02 では $E(\nu)$，AD 03 では $u(\nu,T)$ と書かれていたものと同じである．

3.1.3 黒体 — 光を完全に吸収する理想物体

実験では，物質の種類によって放射の強さが違っては困る．どんな物体でも，光を出すと同時に外から来た光を吸収したり反射したりするので，「物体が出す光」を測っても，その物体の性質（表面が白いか黒いか，など）が混ざってしまう．そこで，物質の細かい性質によらない「理想物体」を考える．

吸収率（入射した光のうち吸収される割合）を $\mathcal{A}(\nu,T)$ と書くと，黒体では，すべての振動数で $\mathcal{A}=1$ である．「黒体」という名前は，外から来た光を全部吸収する（反射しない）ことに由来する．黒体が黒く見えるとは限らないことに注意しよう．黒体が高温になれば，自分で光を出して赤や白に輝く．太陽は，ほぼ黒体とみなせる天体の代表である．黒体は光を反射しないという点で黒いだけで，出す光の色は温度で決まる．

3.1.4 実験の目的 — 箱に開けた小さな穴

それでは，黒体を実際にどうやって作るのか．実験の目的とその論法を，順を追って整理しよう．

1. 黒体も物体であるから，熱をもっていれば電磁波を放出する．
2. そして黒体は，すぐにその電磁波を吸収する．
3. ⇩　すると，放射量と吸収量がつり合う平衡状態になる．
4. ⇩　これを利用して，黒体（に近い）の箱に穴を開けて，そこからの平衡状態の電磁波を調べる．

図3.1 は，この実験の考え方を表している．内側の壁が光をよく吸収する箱を熱すると，壁が電磁波を出し，その電磁波は箱の中で反射を繰り返しながら，また壁に吸収される．温度が上がると（図3.1 の (b)），より多くの電磁波が放出され，同時に吸収され続ける．放出される量と吸収される量がつり合ったとき，箱の中の電磁波は温度 $T$ の熱平衡状態にある．

箱の壁に小さな穴を開け，そこから漏れ出る電磁波を分光器で調べれば，箱の中の平衡状態の電磁波のスペクトルがわかる．穴が十分小さければ，穴から漏れる電磁波は箱の中の平衡をほとんど乱さない．しかも，この穴自体が黒体の役割を果たす．穴から入った光は，箱の内側の壁で何度も反射しながら少しずつ吸収され，穴から再び出てくる前にほとんどが吸収されてしまう．外から見ると，穴は「入った光を全部吸収する」，つまり黒体である．この空洞放射（cavity radiation）が，黒体放射の実験に使われる．

3.1.5 Kirchhoff の熱放射の法則 — 黒体のスペクトルは物質によらない

ここで大切な疑問が出る．空洞放射のスペクトルは，空洞を作る材料や形によって違わないのだろうか．もし違うなら，「黒体放射のスペクトル」という普遍的な関数を探す意味がない．この疑問に答えたのが，1859 年から 1860 年にかけての Kirchhoff の考察である．

Kirchhoff の法則から，次の 2 つのことがわかる．(1) 黒体放射のスペクトル $U(\nu,T)$ は，材料によらない普遍的な関数である．したがって，「この関数を求めよ」という問題が，物理学の重要な問題として成り立つ．(2) 一般の物体の放射発散度は $M=\varepsilon\,M_{\mathrm{bb}}$ と書ける．ここで $\varepsilon=\mathcal{A}$ は放射率（emissivity，真空の誘電率 $\varepsilon_0$ とは別の量）で，$0\le\varepsilon\le1$ である．よく光を吸収する物体ほどよく光る．逆に，光をよく反射する物体（磨いた金属）は，光りにくい．

1899〜1900 年に，Lummer（ルマー）と Pringsheim（プリングスハイム）らが，電気炉で加熱した空洞の穴から出る放射を高い精度で測定し，$U(\nu,T)$ の実験曲線を与えた．次節ではその結果を見る．

3.2 Wien の変位則 — 温度とスペクトルのピーク

3.2.1 実験の結果 — 穴から漏れる電磁波の分布

3.1 節の方法で，黒体の穴から漏れ出る電磁波を分光器で調べると，図3.2 のような分布が得られる．縦軸は，振動数が $\nu$ 付近の電磁波が運ぶエネルギー密度 $U(\nu)$，横軸は振動数 $\nu$ である．温度の異なる 3 本の曲線（$1000\ \mathrm{K}$，$1500\ \mathrm{K}$，$2000\ \mathrm{K}$）を重ねてある．穴から出る光の強さは，空洞の中のスペクトル密度 $U(\nu)$ に比例する（比例係数 $c/4$ は 3.5.2 節で導く）ので，測定される曲線の形は $U(\nu)$ と同じである．なお，図3.2 の曲線は，実測の曲線をよく再現する 3.4 節の式から計算して描いた．

実験結果である分布からわかることは，次のとおりである．

• どの温度でも，スペクトルは $\nu=0$ から立ち上がり，1 つのピークをもったのち，高振動数側でゆるやかに減少する．
• 温度が上がると，どの振動数でも $U(\nu)$ は大きくなり（曲線どうしは交わらない），放出される光の総量が増える．
• 温度上昇にともなって，放出される光のスペクトルのピークが高振動数側に移動する．

赤熱した鉄が，温度が上がると橙，黄，白へと色を変えるのは，最後の点，ピークの移動の現れである．図3.2 の温度範囲では，ピークは赤外領域にあるが（$1000\ \mathrm{K}$ で $\nu\approx5.9\times10^{13}\ \mathrm{Hz}$，$2000\ \mathrm{K}$ で $1.2\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$，可視光は $4\times10^{14}$〜$8\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$），高振動数側の裾が可視域にかかり，その分だけ赤く見える．

3.2.2 Wien の変位則 — ピークの波長は温度に反比例する

Wien（ヴィルヘルム・ウィーン）は，この結果をもう一歩進めて，ピークの位置が温度とどう関係するかを調べた．分光器の実験では，スペクトルを波長 $\lambda$ の関数として測ることが多いので，波長で数えたスペクトル密度を導入する．

物体が放出する光のスペクトル密度 $U_\lambda$ が最も大きくなる波長 $\lambda_m$ は，絶対温度 $T$ に反比例する．この関係は，Wien が 1893 年に熱力学の議論から導いたもので（3.2.4 節），比例定数 $b$ の値は実験で決まり，その後 Lummer と Pringsheim による空洞放射の測定や Paschen（パッシェン）らの測定で確かめられた．

温度が 2 倍になれば，ピークの波長は半分になる．図3.2 の曲線の「変位」（ずれ）が温度に比例（波長では反比例）して起こることから，変位則（displacement law）と呼ばれる．この $b$ は，3.5.1 節で Planck の式から $b=hc/(4.9651\,k_{\mathrm{B}})$ と導かれる（1893 年の Wien の議論では，比例定数 $b$ の値は実験で決めるほかなかった）．

3.2.3 $\nu_m=c/\lambda_m$ の意味 — 波長で見るか，振動数で見るか

式 \eqref{eq:3-wien} を変形して，波長 $\lambda_m$ の光の振動数 $\nu_m=c/\lambda_m$ を求めると

となる．$c/b=1.0346\times10^{11}\ \mathrm{Hz/K}$ なので，$\nu_m$ は温度に比例する．これは，温度が上がるほどピークの光の振動数が高くなることを表す．ただし，この式の $\nu_m$ の意味には注意が必要である．

この違いを図3.3 で見よう．太陽の表面温度に近い $T=5772\ \mathrm{K}$ の黒体について，波長基準のスペクトル $U_\lambda(\lambda)$ と，振動数基準のスペクトル $U(\nu)$ を波長 $\lambda=c/\nu$ の軸に写したものを，それぞれの最大値で規格化して重ねてある．前者のピークは $502\ \mathrm{nm}$，後者のピークは $c/\nu_{\max}=883\ \mathrm{nm}$ にあり，まったく違う位置にある．

3.2.4 Wien の理論的考察と Wien の輻射式

Wien は，1893 年に熱力学から次の議論を行った．空洞を断熱的に膨張・圧縮させると（壁が動くとき，反射する光は Doppler 効果で振動数がずれる），スペクトルは次の形をしていなければならないことを示した．

ここで $f$ は，$\nu/T$ だけの関数である（Wien の変位則の理論的な形）．この形を認めれば，式 \eqref{eq:3-wien} が導かれる．

スケーリング形 \eqref{eq:3-wien-scaling} だけからは，関数 $f$ の形も，定数 $y_*$（つまり $b$ の値）も決まらない．そこで Wien は 1896 年に，壁の分子が Maxwell の速度分布に従い，放射の振動数が分子の速さと結びつくという仮定から，$f$ を指数関数とする式を導いた（当時は $h$ も $k_{\mathrm{B}}$ も放射の理論に登場しておらず，下の $A_{\mathrm{W}}$，$\beta$ は実験で決める定数として扱われた）：

これが Wien の輻射式である．あとで見るように，$A_{\mathrm{W}}=8\pi h/c^3$，$\beta=h/k_{\mathrm{B}}$ とおけば，3.4 節で導く Planck の式の高振動数側の極限に一致する（このとき指数因子 $e^{-\beta\nu/T}=e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}$ は Boltzmann 因子にほかならない）．ただし，$h$ を含むこの解釈は Planck 以後の理解であって，1896 年の Wien はまだ知らなかった．Paschen（パッシェン）らによる短波長側（$1$〜$8\ \mathrm{\mu m}$ の赤外線）の精密な測定は，Wien の式によく合った．ところが，測定が長波長側に伸びると，式 \eqref{eq:3-wien-law} は実験からずれてくることがわかった（3.3.3 節）．

関連シミュレーター：Planck の公式（温度と光の色）．温度を入れると，黒体のスペクトルと目に映る色が表示される．

3.3 古典論の破綻 — Rayleigh–Jeans の式と紫外破綻

3.3.1 電磁波は古典的な波か — 熱放射のスペクトルの矛盾

ここまでは実験の話だった．次に，この実験結果を理論で説明できるかを考える．

Maxwell の方程式から，真空中の電場と磁場の振動が空間を伝わる波動，すなわち電磁波の解をもつことが予言される（導出は AD 03 第42章 42.3 節）．電磁波は 1888 年に Hertz（ヘルツ）が実験で発生・検出し，光は電磁波の一種であることが確立した．光は干渉や回折を起こす連続的な波である，というのが 19 世紀末の物理学の確固とした描像であった．

しかし，電磁波が古典的な波動であるという描写が破綻していることに気づいたのは，熱せられた物体の発する電磁波（熱輻射）のスペクトルに関する矛盾からだった．3.1 節のとおり，$U(\nu)=g(\nu)\langle E\rangle$（モードの数 × 1 モードの平均エネルギー）だから，古典物理学の 2 つの柱，つまり波としての電磁波（Maxwell）と熱平衡の統計（Boltzmann）だけを使えば，$U(\nu)$ が計算できるはずである．その計算を実際に行った Rayleigh（レイリー）と Jeans（ジーンズ）の結果が，次の式である．

3.3.2 Rayleigh–Jeans の式

Rayleigh が $\nu^2T$ に比例する形を 1900 年に示し，Jeans が 1905 年に係数を正しく決めた．この式の導出（$8\pi\nu^2/c^3$ はどこから来て，$k_{\mathrm{B}}T$ はどこから来るのか）は 3.3.4 節と 3.3.5 節で行う．ここでは，この式の意味と単位を確認しておこう．$\dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}$ の単位は $\dfrac{\mathrm{s^{-2}}}{\mathrm{m^3\,s^{-3}}}=\mathrm{s\,m^{-3}}$ で，これに $k_{\mathrm{B}}T$（エネルギー，単位 $\mathrm{J}$）を掛けると $\mathrm{J\,s\,m^{-3}}$ となり，定義3.1 のスペクトル密度 $U(\nu)$ の単位に一致する．式のとおり，古典論の答えは温度に比例し，振動数の 2 乗に比例する．

3.3.3 実験との比較 — 紫外破綻

Rayleigh–Jeans の式を，実測のスペクトルと比べてみよう．図3.4 は，$T=3000\ \mathrm{K}$ の空洞放射について，Rayleigh–Jeans の式（破線），Wien の式（点線），そして実測を再現する Planck の式（実線，3.4 節）の 3 つを重ねたものである（左は普通の目盛り，右は両対数の目盛り）．

図3.4 からわかることをまとめる．

• 低振動数側（遠赤外）：Rayleigh–Jeans の式は実測によく合う．Rubens（ルーベンス）と Kurlbaum（クルルバウム）が 1900 年に，波長が数十 $\mathrm{\mu m}$ の遠赤外線で行った測定でも確かめられた．Wien の式（傾き $3$ の直線）は実測からずれていく．
• 高振動数側（可視・紫外）：Wien の式は実測によく合うが，Rayleigh–Jeans の式は実測を大きく上回り，$\nu$ とともにいくらでも増える．

Rayleigh–Jeans の式の困難は，全振動数にわたって足し合わせたときに明白になる．全エネルギー密度は

と，無限大に発散してしまう．有限の温度の空洞が，無限のエネルギーをもつことになる．これは明らかに現実と矛盾する．高振動数（紫外側）で問題が起きるので，この困難を紫外破綻（ultraviolet catastrophe，Ehrenfest（エーレンフェスト）が 1911 年に名付けた）という．古典物理学（電磁波が連続的な波であり，エネルギーは連続的な値をとってよいとする描像）の内部に，解決できない矛盾があったのである．

3.3.4 Rayleigh–Jeans の式の導出（その 1）— モードの数を数える

式 \eqref{eq:3-rj} を導こう．式の構造は $U(\nu)=g(\nu)\langle E\rangle$ である．まず，係数 $g(\nu)=8\pi\nu^2/c^3$，すなわち，単位体積あたり，振動数が $\nu$ から $\nu+\dd\nu$ の間にある電磁波のモード（独立な定在波）の数を数える．ここでの考え方は，弦楽器の弦の定在波（AD 03 第11章 11.7 節）を 3 次元に拡張したものである．詳しい計算は AD 02 第49章 49.5 節と AD 03 第53章 53.2 節にもあるが，ここでも最初から行う．

空洞と境界条件．1 辺 $L$ の立方体の空洞（体積 $V=L^3$）を考える．壁は電気をよく通す金属で，壁の上では電場の壁に平行な成分が $0$ になる．この境界条件を満たす電磁波は，向かい合う壁の間に半波長の整数倍がちょうど入るような定在波に限られる．弦の定在波と同様に，波数ベクトルの各成分は次のようになる．長さ $L$ の弦の両端（$x=0$，$x=L$）を固定すると，定在波は $\sin(k_xx)$ で，$x=L$ で $0$ になる条件 $\sin(k_xL)=0$ から $k_xL=\pi n_x$（$n_x=1,2,\dots$）となる．3 次元では，各方向の因子の積の形になる．たとえば電場の $x$ 成分は $E_x\propto\cos(k_xx)\sin(k_yy)\sin(k_zz)$ のように，壁に平行な方向（$y$，$z$）には $\sin$ で壁の上を $0$ にし，壁に垂直な方向（$x$）には $\cos$ をとる．$y$ 成分 $E_y$ は $\sin(k_xx)\cos(k_yy)\sin(k_zz)$，$z$ 成分 $E_z$ は $\sin(k_xx)\sin(k_yy)\cos(k_zz)$ の形になる．$E_y$，$E_z$ には $\sin(k_xx)$ が，$E_x$，$E_z$ には $\sin(k_yy)$ が，$E_x$，$E_y$ には $\sin(k_zz)$ が現れるので，対向する壁（$x=L$，$y=L$，$z=L$）の上で $0$ になる条件は，方向ごとに $\sin(k_xL)=0$，$\sin(k_yL)=0$，$\sin(k_zL)=0$ となる．結局

と，とびとびの値だけをとる．波数の大きさは $k=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}=\dfrac{\pi}{L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ である（波数 $k=2\pi/\lambda$ は，単位長さあたりの位相の進み［$\mathrm{rad/m}$］で，本書では添字なしの $k$ を波数に，Boltzmann 定数には $k_{\mathrm{B}}$ を使って区別する）．光の分散関係 $\omega=ck$ すなわち $2\pi\nu=ck$ より，振動数 $\nu$ は $\nu=\dfrac{ck}{2\pi}=\dfrac{c}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ となる．そこで

とおく．電磁波は横波（電場が進行方向に垂直，AD 03 第42章 42.4 節）なので，同じ波数ベクトルに対して，独立な偏光（電場の振動方向）が2 通りある（電場の振幅 $(E_1,E_2,E_3)$ が $\bm{k}$ に垂直，すなわち $k_xE_1+k_yE_2+k_zE_3=0$ を満たすという条件で，3 つの振幅のうち独立なものが 2 つに減る）．結局，図3.5 の格子点，すなわち整数の組 $(n_x,n_y,n_z)$ 1 個ごとに，独立な定在波（モード）が 2 個ある．

結果 \eqref{eq:3-g} には空洞の大きさ $L$ が含まれていない．モードの密度は，空洞の形や大きさによらず，体積だけで決まる（$L$ が波長より十分大きいとき）．なお，$n_x,n_y,n_z$ のどれかが $0$ の波も，偏光の数を 1 つ減らした形で存在するが，そうしたモードの数は体積でなく表面積に比例し，マクロな空洞では無視できる．さらに，周期境界条件（$e^{ik_xL}=1$ など，AD 03 53.2 節）で数えても，同じ結果になる．$g(\nu)\propto\nu^2$ の意味は，振動数が高いほど，波長が短く，同じ体積に入る定在波の種類が多い，ということである．

3.3.5 Rayleigh–Jeans の式の導出（その 2）— 1 つのモードの平均エネルギー

次に，$\langle E\rangle$，つまり 1 つのモードが平均でもつエネルギーを古典統計力学で求める．

1 つのモードは調和振動子である．空洞の中の 1 つの定在波を考えよう．その電場の大きさは $\cos\omega t$ に比例して，磁場の大きさは $\sin\omega t$ に比例して時間とともに振動し，電場のエネルギーと磁場のエネルギーが交互に入れ替わる（AD 03 第42章 42.5 節）．これは，ばねにつながれた質点の単振動で，運動エネルギーとばねの位置エネルギーが交互に入れ替わるのとまったく同じ構造である（AD 03 第7章 7.2 節）．したがって，1 つのモードのエネルギーは，質量 $m$，角振動数 $\omega=2\pi\nu$ の調和振動子と同じ形になる．このことを，次のように確かめる．モードの電場のエネルギーを $W_{\mathrm{E}}$，磁場のエネルギーを $W_{\mathrm{M}}$ とする．電場の大きさ（の振幅）を $a(t)=a_0\cos\omega t$，磁場の大きさ（の振幅）を $b(t)=b_0\sin\omega t$ とすると，エネルギーは場の大きさの 2 乗に比例するので $W_{\mathrm{E}}=\kappa_{\mathrm{E}}\,a^2$，$W_{\mathrm{M}}=\kappa_{\mathrm{M}}\,b^2$（$\kappa_{\mathrm{E}}$，$\kappa_{\mathrm{M}}$ は空洞の体積と定数 $\varepsilon_0$，$\mu_0$ で決まる正の定数）である．全エネルギー $\kappa_{\mathrm{E}}a_0^2\cos^2\omega t+\kappa_{\mathrm{M}}b_0^2\sin^2\omega t$ が時間によらず一定であるためには（エネルギー保存），$\kappa_{\mathrm{E}}a_0^2=\kappa_{\mathrm{M}}b_0^2$ でなければならない．そこで，電場に比例する量 $p\equiv\sqrt{2m\kappa_{\mathrm{E}}}\,a$ と，磁場に比例する量 $q\equiv\sqrt{2\kappa_{\mathrm{M}}/(m\omega^2)}\,b$ を定義すると（$m$ は任意の正の定数），$W_{\mathrm{E}}=p^2/2m$，$W_{\mathrm{M}}=\frac12m\omega^2q^2$ となり，全エネルギーは

で書ける．ここで $q$ は一般化座標（振動の大きさを表す変数で，位置 $x$ とは限らない），$p$ は $q$ に共役な運動量である（質点の振動なら $q$ は位置，$p$ は運動量．電磁波の場合，$q$ と $p$ は上のように磁場と電場の振幅に比例する変数で，$m$ は形式的な定数であり，最終結果には現れない）．実際，$\kappa_{\mathrm{E}}a_0^2=\kappa_{\mathrm{M}}b_0^2$ から，$p=p_0\cos\omega t$，$q=q_0\sin\omega t$ の振幅の間に $p_0=m\omega q_0$ が成り立ち，$\dot q=\omega q_0\cos\omega t=p/m$，$\dot p=-\omega p_0\sin\omega t=-m\omega^2q$ となる．これは調和振動子の運動方程式（Hamilton の方程式）そのものである．結論に必要な性質だけを取り出せば，モードのエネルギーが2 つの変数の 2 乗の和で，角振動数 $\omega$ で振動する（したがって，次の統計平均に等分配則が使える）ということである．

Boltzmann 分布による平均．温度 $T$ の熱平衡では，状態 $(q,p)$ が実現する確率密度は Boltzmann 因子 $e^{-E/k_{\mathrm{B}}T}$ に比例する（AD 03 第50章 50.1 節）．よって，エネルギーの期待値（統計平均）は次のとおりである．

ここで，$q$ と $p$ の積分は，どちらも $-\infty$ から $\infty$ まで行う．エネルギー $E$ は連続的な値をとってよい，というのが古典論の前提である．

この結果には，質量 $m$ も角振動数 $\omega$ も現れない．$p^2$ の項と $q^2$ の項がそれぞれ $\dfrac12k_{\mathrm{B}}T$ を分けもち（エネルギー等分配則，AD 03 第50章 50.7 節），合わせて $k_{\mathrm{B}}T$ となる．つまり，古典論では，振動数が低いモードでも高いモードでも，どのモードも同じ平均エネルギー $k_{\mathrm{B}}T$ をもつ．

これで部品が揃った．単位体積あたりの，振動数が $\nu$ から $\nu+\dd\nu$ の間のエネルギーは，モードの数 \eqref{eq:3-g} と 1 モードの平均エネルギー $k_{\mathrm{B}}T$ の積で

となり，Rayleigh–Jeans の式 \eqref{eq:3-rj} が得られた．

3.4 Planck の量子仮説と放射式

3.4.1 Planck の公式と量子仮説 — 結論を先に

Rayleigh–Jeans の式の困難を解決した式を，先に掲げる．

この式は，次の仮説から導かれる．

古典論では，エネルギー $E$ は連続的な値をとってよかった．この仮説は，それを離散的な値に置き換えるという，たったそれだけの変更である．この変更が，Rayleigh–Jeans の式の困難をどのように解消するかを，式を 1 行も飛ばさずに確かめよう．数学的な側面は AD 02 第49章 49.4 節と AD 03 第53章 53.3 節でも扱っている．

3.4.2 積分から和へ

3.3.5 節では，古典的な統計力学で，$E=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac12m\omega^2q^2$ の系（$p$：運動量，$q$：一般化座標）のエネルギー期待値を

と書き，$\langle E\rangle=k_{\mathrm{B}}T$ を得た．しかし今回，エネルギーは連続でなく，$E=nh\nu$（$n=0,1,2,\dots$）の値しかとれない．エネルギーが連続的な値をとるときは，$(q,p)$ 平面での連続的な積分を行ったが，エネルギーがとびとびの値 $E_n=nh\nu$ だけなら，Boltzmann 因子 $e^{-E_n/k_{\mathrm{B}}T}$ を重みとして，許される値 $E_n$ についての和をとるべきである．すなわち

とすべきである（分子は「エネルギー $\times$ 重み」の和，分母は重みの和で，確率の合計を $1$ にするための規格化である）．

3.4.3 分母 — 等比級数

まず分母を計算する．$r=e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}$ とおくと，$h\nu\gt0$，$T\gt0$ だから $0\lt r\lt1$ で，分母は $\sum_{n=0}^\infty r^n$ という等比級数（公比 $r$）である．最初の $N+1$ 項の和 $S_N=1+r+r^2+\dots+r^N$ に $r$ を掛けて引くと，途中の項が打ち消し合って $(1-r)S_N=1-r^{N+1}$，すなわち $S_N=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}$ となる．$0\lt r\lt1$ では $r^{N+1}\to0$（$N\to\infty$）だから，

となる．例えば $h\nu/k_{\mathrm{B}}T=1$ のとき $r=e^{-1}=0.3679$ で，右辺は $1/(1-0.3679)=1.582$．左辺の最初の 6 項（$n=0$〜$5$）の和は $1+0.3679+0.1353+0.0498+0.0183+0.0067=1.578$ で，残りの項を足すと $1.582$ に近づく．

3.4.4 分子 — 微分のトリック

分子 $\sum_{n=0}^\infty nh\nu\,e^{-nh\nu/k_{\mathrm{B}}T}$ には，$n$ が掛かっているので，等比級数の公式が直接は使えない．ここで，次の「微分のトリック」を使う．$\beta\equiv\dfrac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$ とおくと（統計力学でよく使う記号である．$1/k_{\mathrm{B}}T$ を短く書くための置き換えにすぎない．以降，$x$ は無次元の $h\nu/k_{\mathrm{B}}T$ に使うので，$1/k_{\mathrm{B}}T$ には $\beta$ を使う．$\beta$ の代わりに $x$ とおいても計算は同じである），$e^{-nh\nu/k_{\mathrm{B}}T}=e^{-nh\nu\beta}$ である．これを $\beta$ で微分すると，指数関数の微分の公式 $\dfrac{\dd}{\dd\beta}e^{-a\beta}=-a\,e^{-a\beta}$ より，$a=nh\nu$ として，

となり，「$n$ を掛ける操作」が「$-\partial/\partial\beta$」で作れる．よって，

である（無限和と微分の交換：$\beta$ が $0$ より大きい範囲で級数とその項別微分が一様に収束するので，項別に微分してよい）．右辺の和は，式 \eqref{eq:3-geo} で $\beta=1/k_{\mathrm{B}}T$ とした $\dfrac{1}{1-e^{-h\nu\beta}}$ である．これを $\beta$ で微分するには，$\dfrac{\dd}{\dd\beta}(1-e^{-h\nu\beta})=h\nu\,e^{-h\nu\beta}$ に注意して，合成関数の微分 $\dfrac{\dd}{\dd\beta}\dfrac1{F}=-\dfrac{F'}{F^2}$ を使えばよい：

最後の等号で $\beta$ を $1/k_{\mathrm{B}}T$ に戻した．

この結果を数値で確かめよう．簡単のため $h\nu=1$（単位は任意），$\beta=1$ とすると，左辺は $\sum_{n=0}^\infty n\,e^{-n}=0+0.3679+2(0.1353)+3(0.0498)+4(0.0183)+5(0.0067)+6(0.0025)+7(0.0009)+\dots\approx0.921$．右辺は $\dfrac{e^{-1}}{(1-e^{-1})^2}=\dfrac{0.3679}{0.3996}=0.9207$ で，一致している．

3.4.5 割り算して完成 — 1 モードの平均エネルギー

式 \eqref{eq:3-Equantum} の分子（3.4.4 節）を分母（式 \eqref{eq:3-geo}）で割る．分母 $\dfrac{1}{1-e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}}$ で割るのは，$\left(1-e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}\right)$ を掛けるのと同じだから，分子の分母の 2 乗のうち 1 つが約分されて

となる．さらに，分子と分母に $e^{h\nu/k_{\mathrm{B}}T}$ を掛けると（分子は $e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}\cdot e^{h\nu/k_{\mathrm{B}}T}=1$，分母は $e^{h\nu/k_{\mathrm{B}}T}-1$ になる）

を得る．これが，量子仮説のもとでの 1 つのモードの平均エネルギーである．

3.4.6 Planck の式の完成 — 実験との一致

これで，Rayleigh–Jeans の式の $\langle E\rangle=k_{\mathrm{B}}T$ を，式 \eqref{eq:3-Eplanck} に置き換える準備ができた．空洞内の光のスペクトルは，モードの数 \eqref{eq:3-g} と平均エネルギー \eqref{eq:3-Eplanck} の積 $U(\nu)=g(\nu)\langle E\rangle$ で与えられるので

となり，公式3.2（式 \eqref{eq:3-planck}）が導かれた．

この式は，実験結果と驚くほど一致する．図3.2 の 3 本の曲線はすべてこの式から計算したもので，実測の曲線の形（ピークの位置，高さ，高振動数側でのゆるやかな減少）を再現している．Rubens と Kurlbaum の遠赤外線の測定，Lummer と Pringsheim の測定のいずれとも，Planck の式は，すべての振動数・温度で合った．この一致は，その後の測定でも精度を増している．たとえば，COBE 衛星（1989 年打ち上げ．1990 年に最初の結果が出て，1990 年代前半に精密化された）は，宇宙背景放射（3.5.4 節）のスペクトルが，Planck の式（$T=2.725\ \mathrm{K}$）と，スペクトルのピークの明るさの $5\times10^{-5}$ 以内で一致することを示した．Planck は，1900 年に実験データに合わせて定数 $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ の値を決め，$h\approx6.55\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$，$k_{\mathrm{B}}\approx1.346\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ を得た．現在の値（$h=6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$，$k_{\mathrm{B}}=1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$）と，それぞれ 1 %，3 % 程度しか違わない．

定量的な一致の例は 3.5 節で見る．Wien の変位則の定数 $b$ と Stefan–Boltzmann 定数 $\sigma_{\mathrm{SB}}$ という独立な 2 つの測定値から $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ が決まり（3.5.3 節），それが他の方法で測った値と一致する．また，$2.725\ \mathrm{K}$ の宇宙背景放射のスペクトル（3.5.4 節 (c)）は，Planck の式に精密に従う．

関連シミュレーター：Planck の公式（温度と光の色），Planck の公式の導出．

3.4.7 2 つの極限 — Rayleigh–Jeans と Wien

Planck の式は，Rayleigh–Jeans の式と Wien の式の両方を含んでいる．$x=h\nu/k_{\mathrm{B}}T$ とおくと，$U=\dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}\,k_{\mathrm{B}}T\cdot\dfrac{x}{e^x-1}$ と書けて，違いは因子 $\dfrac{x}{e^x-1}$ だけである（図3.6）．

• 低振動数の極限 $h\nu\ll k_{\mathrm{B}}T$（$x\ll1$）：$e^x-1=x+\dfrac{x^2}{2}+\dots\approx x$（AD 02 第4章 4.2 節の Maclaurin 展開）より，$\langle E\rangle\to\dfrac{h\nu}{x}=k_{\mathrm{B}}T$ となり，古典論の等分配則に一致する．したがって $$U(\nu)\to\frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_{\mathrm{B}}T\qquad\text{（Rayleigh–Jeans の式）}$$
• 高振動数の極限 $h\nu\gg k_{\mathrm{B}}T$（$x\gg1$）：$e^x\gg1$ だから $e^x-1\approx e^x$ で，$\langle E\rangle\to h\nu\,e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}$ となり， $$U(\nu)\to\frac{8\pi h}{c^3}\,\nu^3\,e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}\qquad\text{（Wien の式）}$$ となって，式 \eqref{eq:3-wien-law} で $A_{\mathrm{W}}=8\pi h/c^3$，$\beta=h/k_{\mathrm{B}}$ とおいたものに一致する．

境目は $h\nu\sim k_{\mathrm{B}}T$，すなわち $\nu\sim k_{\mathrm{B}}T/h=2.08\times10^{10}\ \mathrm{Hz/K}\times T$ である（$T=300\ \mathrm{K}$ で $6.3\times10^{12}\ \mathrm{Hz}$，波長にして約 $48\ \mathrm{\mu m}$）．高振動数側では，指数関数 $e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}$ が $\nu^3$ の増加を打ち消すので，紫外破綻は起こらない．実際，全エネルギー $\int U\,\dd\nu$ は有限になる（3.5.2 節）．

3.4.8 量子仮説の意味と限界

Planck 自身は，この仮説を，光そのもの（空洞の中の電磁波）ではなく，空洞の壁にある原子の「共鳴子」（光と振動数 $\nu$ でやりとりする調和振動子のモデル）のエネルギーに適用した．また，Planck が 1900 年に実際にたどった道は，本節の「Boltzmann 因子の平均」ではなく，エネルギー要素 $h\nu$ をいくつかの共鳴子に配る場合の数（Boltzmann のエントロピーの式 $S=k_{\mathrm{B}}\ln W$）を数えるものであった．しかし，結果として得られる平均エネルギーは，本節の式 \eqref{eq:3-Eplanck} に一致する．

本節の計算には，エネルギーが $E_n=nh\nu$（$n=0$ でエネルギー $0$）という単純化がある．Planck は 1911 年に，ゼロ点エネルギー $\tfrac12h\nu$ を含む $E_n=(n+\tfrac12)h\nu$ の形を考えた．現在の量子力学では，調和振動子の準位が $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ であることが，Schrödinger 方程式から導かれる（第13章）．ゼロ点エネルギーは $T$ によらない定数なので，放射の温度変化には影響しない．エネルギーが $h\nu$ の整数倍という Planck の仮説は，調和振動子の量子力学の準位が等間隔であることを，先取りしていたことになる．

Planck は，エネルギー量子 $h\nu$ を，壁と電磁波のエネルギーのやりとりの単位と考えていた．それに対して Einstein は 1905 年に，電磁波そのものが粒子（光量子）のように振る舞うと主張した．その論拠となったのが，Wien の式が成り立つ領域（高振動数，$h\nu\gg k_{\mathrm{B}}T$）の放射の熱力学である．次の導出が示すように，この領域の放射は，エネルギー $h\nu$ をもつ独立な粒子の理想気体とそっくりに振る舞う．

Einstein は，これを出発点として，光が $h\nu$ という単位のエネルギーをもつ粒子として振る舞うと考え，光電効果（第4章）を説明した．つまり，光子説は，やみくもに立てられた仮説ではなく，黒体放射の熱力学的な考察に基づいていた．さらに，$h$ は，Bohr の原子模型（第5章）では，角運動量の単位 $\hbar=h/2\pi$ として再び現れる．次章以降で，$h$ のさまざまな顔を見ていこう．

3.5 Planck の式から導く法則と応用

3.5.1 Planck の式から Wien の変位則を導く

3.2 節では，Wien の変位則を実験の法則として述べた．Planck の式があれば，それを導くことができ，比例定数 $b$ の値を $h$，$k_{\mathrm{B}}$，$c$ で表せる．数学的な側面は AD 03 第53章 53.4 節にもある．

振動数基準のピーク．$x=h\nu/k_{\mathrm{B}}T$ とおくと $\nu=(k_{\mathrm{B}}T/h)\,x$ で，Planck の式 \eqref{eq:3-planck} は

となる（$\nu^3=(k_{\mathrm{B}}T/h)^3x^3$）．係数は温度を固定すれば定数なので，$U$ のピークは $f(x)=\dfrac{x^3}{e^x-1}$ の最大点で決まる．商の微分の公式より

である．$x\gt0$ で $f'=0$ となるのは $3(e^x-1)=xe^x$，両辺を $e^x$ で割って

のときである（$x=0$ も解だが，$x\to0$ で $f\approx x^2$ は増加中なので最大点ではない）．この方程式は，式変形では解けない超越方程式である．そこで，$x_{k+1}=3(1-e^{-x_k})$ を繰り返す反復法で解く．$x_0=3$ から始めると，$x_1=3(1-e^{-3})=2.8506$，$x_2=3(1-e^{-2.8506})=2.8266$，$x_3=2.8224$，$x_4=2.8216$，$x_5=2.8215$，$\dots$ と収束して，

を得る（右辺の関数の傾き $3e^{-x}=0.18$ が $1$ より小さいので反復は収束する．Lambert（ランベルト）の $W$ 関数を使えば $x=3+W(-3e^{-3})$ と書ける）．したがって，振動数基準のピークの振動数は

である（$k_{\mathrm{B}}/h=2.0837\times10^{10}\ \mathrm{Hz/K}$）．これは 3.2 節のとおり，温度に比例する．図3.2 のピークは，この式で決まっている．

波長基準のピーク．波長基準のスペクトル密度は，式 \eqref{eq:3-Ulam} に $\nu=c/\lambda$ を代入して

となる．ここで $y=\dfrac{hc}{\lambda k_{\mathrm{B}}T}$ とおくと $\lambda=\dfrac{hc}{k_{\mathrm{B}}T\,y}$ で，$\dfrac{1}{\lambda^5}=\left(\dfrac{k_{\mathrm{B}}T}{hc}\right)^5y^5$ だから，$U_\lambda=\dfrac{8\pi(k_{\mathrm{B}}T)^5}{h^4c^4}\cdot\dfrac{y^5}{e^y-1}$ となる．ピークは $\dfrac{y^5}{e^y-1}$ の最大点で，先ほどと同様に微分して $0$ とおくと $5(e^y-1)=ye^y$，すなわち

である．反復法で $y_0=5$ から $4.9663,\ 4.9652,\ 4.9651,\dots$ と収束し，$y_\lambda=4.9651$ を得る．$y=\dfrac{hc}{\lambda k_{\mathrm{B}}T}=4.9651$ から，ピークの波長は $\lambda_m=\dfrac{hc}{4.9651\,k_{\mathrm{B}}T}$，すなわち $\lambda_mT=\dfrac{hc}{4.9651\,k_{\mathrm{B}}}$ である．これが Wien の変位則 \eqref{eq:3-wien} で，比例定数は

と，CODATA 推奨値 $2.897\,771\,955\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$ と一致する（$hc/k_{\mathrm{B}}=1.438\,777\times10^{-2}\ \mathrm{m\,K}$ を第 2 放射定数という）．$b$ は，Planck の式が含む定数 $h,\ k_{\mathrm{B}}$ の比 $h/k_{\mathrm{B}}$ だけで決まる．したがって，実験で $b$ を測ることは，$h/k_{\mathrm{B}}$ を測ることに等しい（3.5.3 節）．

3.5.2 Stefan–Boltzmann の法則

Planck の式を全振動数について積分すると，全エネルギー密度が得られる．紫外破綻のない有限の値になることを確かめよう．数学的な側面は AD 03 第53章 53.5 節にもある．$x=h\nu/k_{\mathrm{B}}T$ とおくと，$\nu^3\dd\nu=(k_{\mathrm{B}}T/h)^4x^3\dd x$ で，積分の範囲は $x$ でも $0\to\infty$ のままだから

となる．温度は積分の外に $T^4$ として出た．残る積分を求めよう．

これを上の式に代入すると，全エネルギー密度は

と，温度の 4 乗に比例する有限の値になる．Rayleigh–Jeans の式では無限大だった量が，Planck の式では有限になった．なお，室温 $T=300\ \mathrm{K}$ では $u=aT^4=6.1\times10^{-6}\ \mathrm{J/m^3}$ である（例題3.4）．

穴から出るエネルギーの流れ．実験で測れるのは，空洞の中のエネルギー密度ではなく，穴（または黒体の表面）から外へ出てくるエネルギーの流れ $j$（単位面積・単位時間あたり）である．空洞の中の光は等方的に，あらゆる向きに速さ $c$ で進んでいる．面積 $\dd A$ の穴に，穴の法線と角 $\theta$ をなす方向から向かう光を考える．時間 $\dd t$ の間に穴を通り抜けられるのは，穴を底面とし，光の来る向きに長さ $c\,\dd t$ の斜めの柱をとったとき，その中にあって穴に向かう光だけである．柱の体積は底面積 $\dd A$ に高さ $c\,\dd t\cos\theta$ を掛けた $\dd A\,c\,\dd t\cos\theta$ で，光は等方的なので，方向が立体角 $\dd\Omega$ の中にある光の割合は $\dd\Omega/4\pi$ である．通り抜けるエネルギーは $u\cdot\dd A\,c\,\dd t\cos\theta\cdot\dfrac{\dd\Omega}{4\pi}$ で，これを穴の外へ向かう半球について足し合わせる．極座標で $\dd\Omega=\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\varphi$（$\varphi$ は方位角）だから

で，穴を通るエネルギーは $u\,\dd A\,c\,\dd t\cdot\dfrac{\pi}{4\pi}=\dfrac{c}{4}u\,\dd A\,\dd t$ となる．したがって $j=\dfrac{c}{4}u$ である．これに式 \eqref{eq:3-u-aT4} を代入する．

$\sigma_{\mathrm{SB}}$ を Stefan–Boltzmann 定数という（本書では，第8章の Gauss 波束の幅 $\sigma$ と区別して，添字 SB をつける）．また，放射率 $\varepsilon$ の物体では $j=\varepsilon\sigma_{\mathrm{SB}}T^4$ である．次元の確認：$\dfrac{k_{\mathrm{B}}^4}{h^3c^2}$ の単位は $\dfrac{\mathrm{J^4K^{-4}}}{\mathrm{J^3s^3\cdot m^2s^{-2}}}=\mathrm{J\,K^{-4}\,s^{-1}\,m^{-2}}=\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ で，一致する．また，$a=4\sigma_{\mathrm{SB}}/c$ である．この $T^4$ の法則は，Stefan（シュテファン）が 1879 年に実験から見いだし，Boltzmann が 1884 年に熱力学と Maxwell の電磁気学（輻射圧）から理論的に導いた．係数 $\sigma_{\mathrm{SB}}$ が $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ で表されることは，Planck の式によって初めてわかった．

3.5.3 $b$ と $\sigma_{\mathrm{SB}}$ から $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ を決める

Planck の式には，2 つの未知の定数 $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ が含まれている．一方，実験で測れる量として，Wien の変位則の定数 $b$ と，Stefan–Boltzmann 定数 $\sigma_{\mathrm{SB}}$ の 2 つがある．3.5.1 節と 3.5.2 節の結果は，それらが $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ の異なる組み合わせで表されることを示している：

これは 2 つの式から 2 つの未知数 $h,\ k_{\mathrm{B}}$ を決める連立方程式である．Planck は 1900 年に，この方法で $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ を実験値から決めた（用いた実験値は，Kurlbaum（クルルバウム）による $\sigma_{\mathrm{SB}}$ と，Lummer と Pringsheim らによる $b$ である）．解き方は次のとおりである．第 1 式から $\dfrac{h}{k_{\mathrm{B}}}=\dfrac{4.9651\,b}{c}$．第 2 式は $\dfrac{k_{\mathrm{B}}^4}{h^3}=\dfrac{15\sigma_{\mathrm{SB}}c^2}{2\pi^5}$ と書け，左辺を $k_{\mathrm{B}}\left(\dfrac{k_{\mathrm{B}}}{h}\right)^3$ と分けて，第 1 式の $h/k_{\mathrm{B}}$ を使うと

となる．$h/k_{\mathrm{B}}$ に第 1 式の結果を代入して，$h$ と $k_{\mathrm{B}}$ を $b$，$\sigma_{\mathrm{SB}}$，$c$ だけで書いた閉じた形にすると

となる．こうして，実験で測れる 2 つの量から，$h$ と $k_{\mathrm{B}}$ が決まる．次元も確かめておく．$b/c$ の単位は $\mathrm{m\,K}/(\mathrm{m\,s^{-1}})=\mathrm{K\,s}$ で，$h/k_{\mathrm{B}}=\mathrm{J\,s}/(\mathrm{J\,K^{-1}})=\mathrm{K\,s}$ と一致する．また $\sigma_{\mathrm{SB}}c^2$ の単位は $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}\cdot\mathrm{m^2\,s^{-2}}=\mathrm{J\,s^{-3}\,K^{-4}}$ で，これに $(\mathrm{K\,s})^3$ を掛けると $\mathrm{J\,K^{-1}}$ となり，$k_{\mathrm{B}}$ の単位に一致する．

Planck は，こうして決めた $k_{\mathrm{B}}$ から，気体定数 $R$ を使って Avogadro 定数 $N_{\mathrm{A}}=R/k_{\mathrm{B}}$ を，さらに 1 mol あたりの電気量（Faraday 定数 $9.65\times10^4\ \mathrm{C/mol}$）を $N_{\mathrm{A}}$ で割って電気素量 $e_0$ を見積もった．当時の値 $k_{\mathrm{B}}=1.346\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ を使うと $N_{\mathrm{A}}\approx6.18\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$，$e_0\approx1.56\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ で，現在の値の $3\ \%$ 以内であった．熱放射の理論から，電気素量の大きさまで予言できたのである．

3.5.4 応用 — 太陽・地球・電球・宇宙背景放射・放射温度計

Stefan–Boltzmann の法則と Wien の変位則は，物体の温度と放射を結びつけるので，天文学から工学まで広く使われる．以下，4 つの例を，完全な数値計算で見よう．

(a) 太陽と地球のエネルギー収支．太陽の表面をほぼ黒体とみなすと，太陽が出す総エネルギー（光度）$L$ は，表面積 $4\pi R^2$ に $\sigma_{\mathrm{SB}}T^4$ を掛けたものになる．

(b) 白熱電球はなぜ効率が悪いか．白熱電球は，フィラメントの熱放射を使って光を出している．変位則（例題3.3）が示すとおり，$2800\ \mathrm{K}$ のフィラメントのピークは近赤外（$1.03\ \mathrm{\mu m}$）にあり，可視光（$380$〜$780\ \mathrm{nm}$）に入るのは放射のごく一部である．図3.8 は，$2800\ \mathrm{K}$（白熱電球），$5772\ \mathrm{K}$（太陽），$10000\ \mathrm{K}$（青白い星）の黒体放射を，波長を横軸に重ねたものである．縦軸には，波長あたりの放射発散度（単位波長・単位面積・単位時間あたりに放出するエネルギー）$M_\lambda=\dfrac{c}{4}U_\lambda$（分光放射発散度．単位は $\mathrm{W\,m^{-3}}$）をとった．振動数あたりの $M=\dfrac{c}{4}U$（3.1.5 節）に対応する，波長で数えた量である．

(c) 宇宙背景放射．宇宙全体には，あらゆる方向からほぼ一様に，マイクロ波の放射が届いている．これを宇宙マイクロ波背景放射（CMB）という．Penzias（ペンジアス）と Wilson（ウィルソン）が 1965 年に発見した．COBE 衛星（1989 年打ち上げ）は，1990 年の最初の結果に続く 1990 年代前半の精密な測定で，そのスペクトルが温度 $T=2.725\ \mathrm{K}$ の黒体放射と，スペクトルのピークの明るさの $5\times10^{-5}$ 以内（波長 $0.5\ \mathrm{mm}$ より長い領域での rms のずれ．Fixsen ら 1996）で一致することを示した．宇宙が約 $3000\ \mathrm{K}$ で，物質と光が分かれた（誕生後約 38 万年）ときの放射が，その後の宇宙の膨張で波長が約 1100 倍に引き伸ばされたものと解釈される．AD 03 第53章 53.6 節でも扱った．

(d) 二色放射温度計．3.1 節で述べたとおり，放射率 $\varepsilon\lt1$ の物体を放射温度計で測ると，温度を低く読む．そこで，2 つの波長での放射の強さの比から温度を決めるのが，二色放射温度計である．放射率が 2 つの波長で同じなら，比をとると $\varepsilon$ が消える．

3.6 まとめと演習

3.6.1 まとめ

• 熱放射と黒体：物体は温度に応じた電磁波を出す．黒体は入射する光を完全に吸収する理想物体で，壁に小さな穴を開けた空洞が黒体の役割をする．Kirchhoff の法則により，黒体放射のスペクトル $U(\nu,T)$ は物質によらない普遍関数である．$U(\nu)$ は単位体積・単位振動数あたりのエネルギーで，「モードの数 $g(\nu)$ $\times$ 1 モードの平均エネルギー $\langle E\rangle$」に等しい．
• Wien の変位則：$\lambda_mT=b=2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$．波長基準のピーク $\lambda_m$ と振動数基準のピーク $\nu_{\max}$ は同じ光でも一致しない（$c/\lambda_m=1.76\,\nu_{\max}$）．
• Rayleigh–Jeans の式：$g(\nu)=8\pi\nu^2/c^3$（定在波を数えて得られる）と，古典的な等分配則 $\langle E\rangle=k_{\mathrm{B}}T$ から $U=8\pi\nu^2k_{\mathrm{B}}T/c^3$．低振動数側で実験に合うが，高振動数で発散する（紫外破綻）．
• Planck の量子仮説：モードのエネルギーは $E=nh\nu$（$n=0,1,2,\dots$）．等比級数と微分のトリックで $\langle E\rangle=\dfrac{h\nu}{e^{h\nu/k_{\mathrm{B}}T}-1}$（Bose–Einstein 分布，$\mu=0$）を得て，$U(\nu)=\dfrac{8\pi h}{c^3}\dfrac{\nu^3}{e^{h\nu/k_{\mathrm{B}}T}-1}$．$h\nu\ll k_{\mathrm{B}}T$ で Rayleigh–Jeans，$h\nu\gg k_{\mathrm{B}}T$ で Wien の式になり，実験と驚くほどよく一致する．
• Planck の式から導かれる法則：Wien の変位則（振動数基準 $x=2.8214$，波長基準 $y=4.9651$，$b=hc/4.9651k_{\mathrm{B}}$），Stefan–Boltzmann の法則（$j=\sigma_{\mathrm{SB}}T^4$，$\sigma_{\mathrm{SB}}=2\pi^5k_{\mathrm{B}}^4/15h^3c^2$，$\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\dd x=\pi^4/15$）．実験値 $b$ と $\sigma_{\mathrm{SB}}$ から $h$ と $k_{\mathrm{B}}$ が決まる．
• 応用：太陽の光度と地球の平衡温度，白熱電球の効率（可視光は約 $10\ \%$），宇宙背景放射（$2.725\ \mathrm{K}$），二色放射温度計．
• 次章への橋渡し：$h$ は，この章では「モードのエネルギーの最小単位 $h\nu$」として現れた．次の第4章では，Einstein が，光そのものが $h\nu$ のエネルギーをもつ粒子（光子）であると考えて光電効果を説明する．第5章では，$h$ が原子の角運動量の単位として現れる．

3.6.2 演習問題

3.6.3 参考文献