第61章Klein–Gordon 方程式 — 相対論的な波動方程式の最初の試み

61.1 なぜ相対論的な量子力学が要るのか — Schrödinger 方程式の限界と第XI部の地図

61.1.1 Schrödinger 方程式は何を仮定していたか

Schrödinger 方程式は，粒子のエネルギーと運動量の関係 $E=p^2/2m+V$ に，対応原理の置き換え $E\to i\hbar\,\partial/\partial t$，$\bm{p}\to-i\hbar\nabla$ を行ってつくった（第9章 9.1）．その結果が

である．この式には，古典物理の仮定がはっきり二つ入っている．第一に，運動エネルギーを Newton 力学の $p^2/2m$ で書いたこと．これは，粒子の速さ $v$ が光速 $c$ よりずっと小さいときの近似で，特殊相対論では運動エネルギーは $T=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-mc^2$ であり，$p\ll mc$ のときだけ $p^2/2m$ に近づく（AD 03 第57章 57.6）．第二に，方程式が時間については 1 階，空間については 2 階の微分しか含まないこと．相対論では時間と空間は Lorentz 変換で混ざり合い，対等に扱われるはずだから，この非対称は相対論と相容れそうにない．以下で，この「相容れなさ」を具体的に確かめよう．

61.1.2 Galilei 変換では形を保ち，Lorentz 変換では保たない

座標系 S に対して，座標系 S′ が $x$ 軸方向に一定の速さ $v$ で動いているとする．Galilei 変換は $x'=x-vt$，$t'=t$ である（AD 03 第54章 54.1）．自由粒子（$V=0$）の 1 次元の Schrödinger 方程式を考える．S′ で観測する人が，波動関数 $\Psi'(x',t')$ が

を満たすと記述したとき，S で観測する人は同じ状態をどのような波動関数で記述し，その波動関数は S でも同じ形の方程式を満たすだろうか．

次に，Lorentz 変換 $x'=\gamma_{\mathrm L}(x-vt)$，$t'=\gamma_{\mathrm L}(t-vx/c^2)$，$\gamma_{\mathrm L}=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ を同じ方程式に適用してみる（AD 03 第54章 54.5．Lorentz 因子は本書では $\gamma_{\mathrm L}$ と書く．61.1.6 節）．連鎖律により，

である．したがって

となり，S′ で書いた方程式の右辺には，もとの方程式になかった $\partial_{x'}\partial_{t'}$ の項と，時間の 2 階微分 $\partial_{t'}^2$ の項が現れる．位相因子 $e^{i\theta}$ を掛けても，現れるのは 1 階以下の微分の項（$\Psi'$ の係数の項）だけで，$\partial_{t'}^2$ の項は消せない．つまり，Schrödinger 方程式は Lorentz 変換では形を保てない． 平面波でも確かめられる．平面波 $e^{i(kx-\omega t)}$ の位相は観測者によらない値（スカラー）なので，$(\omega/c,\,k)$ は $(ct,\,x)$ と同じ Lorentz 変換を受ける 2 成分の量で，その間には $\omega^2/c^2-k^2$ が不変に保たれるという関係がある．もし Schrödinger 方程式が形を保つなら，S の平面波 $(\omega,k)$ も S′ の平面波 $(\omega',k')$ も放物線 $\omega=\hbar k^2/2m$ の上になければならない．ところが放物線の上では $\omega^2/c^2-k^2=\hbar^2k^4/(4m^2c^2)-k^2$ が $k$ とともに変わり，これが $k$ と $k'$ で等しくなるのは $k'=\pm k$ のときだけである．よって $v\ne0$ の Lorentz 変換とは両立しない．形が保たれるのは $c\to\infty$ の極限（$\gamma_{\mathrm L}\to1$，$v/c^2\to0$）だけで，そこでは Lorentz 変換が Galilei 変換に一致する（AD 03 第54章 54.6）．

61.1.3 相対論の効きめの物差し — 1s 電子の速さ $v/c=Z\alpha$

相対論が効くかどうかは，粒子の速さが光速の何割かで決まる．原子の中の電子の速さを見積もろう．原子番号 $Z$ の水素型原子の 1s 状態のエネルギーは $E_{1\mathrm{s}}=-Z^2\times13.606\ \mathrm{eV}$ で，これは $-\tfrac12Z^2\alpha^2m_{\mathrm e}c^2$ と書ける．ここで

は微細構造定数（fine-structure constant）で，電子と原子核の間の電磁相互作用の強さを表す無次元の数である．（添字のない $\alpha$ は本書ではこの定数を表す．Dirac 行列 $\alpha_i$ やスピン関数 $\alpha$ とは別のものである．61.1.6 節の囲みで整理する．）

Coulomb ポテンシャルの中の束縛状態では，ビリアル定理（第17章 17.4）により運動エネルギーの平均値は $\expval{T}=-E_{1\mathrm{s}}=\tfrac12Z^2\alpha^2m_{\mathrm e}c^2$ である．これを $\tfrac12m_{\mathrm e}\expval{v^2}$ と等しいとおくと $\expval{v^2}=Z^2\alpha^2c^2$，すなわち 1s 電子の速さ（2 乗平均の平方根）は

となる．$Z$ が大きい原子ほど，内側の電子は光速に近い速さで動く．表61.1 に代表的な元素の値を示す．$\gamma_{\mathrm L}=1/\sqrt{1-(Z\alpha)^2}$ は Lorentz 因子で，質量が静止質量の何倍に見えるかを表す．

61.1.4 電子線の波長 — 加速電圧が高いと相対論が必要になる

もう一つの具体例として，電子顕微鏡の電子線を考える．電子を電圧 $U$ で加速すると，運動エネルギーは $T=e_0U$ になる．de Broglie の関係 $\lambda=h/p$ に入れる運動量 $p$ を，非相対論では $p=\sqrt{2m_{\mathrm e}T}$ と書いたが（第6章 6.3），相対論では全エネルギー $E=T+m_{\mathrm e}c^2$ と運動量が $E^2=(pc)^2+(m_{\mathrm e}c^2)^2$ の関係にある（AD 03 第57章 57.5）．これから $(pc)^2=(T+m_{\mathrm e}c^2)^2-(m_{\mathrm e}c^2)^2$，すなわち

である．$T\ll2m_{\mathrm e}c^2$ なら括弧の中は 1 に近く，非相対論の式 $\lambda_{\mathrm{nr}}=h/\sqrt{2m_{\mathrm e}T}$ に戻る．つまり補正の大きさは $T/(2m_{\mathrm e}c^2)$ で決まる．非相対論の波長の数値は，$T=e_0U$ を $\lambda_{\mathrm{nr}}=h/\sqrt{2m_{\mathrm e}T}$ に入れ，$h$，$m_{\mathrm e}$，$e_0$ の値を代入して $\lambda_{\mathrm{nr}}=h/\sqrt{2m_{\mathrm e}e_0U}=1.2264\ \mathrm{nm}/\sqrt{U/(1\ \mathrm{V})}$ となる．速さは $\beta=v/c=pc/E$，Lorentz 因子は $\gamma_{\mathrm L}=1+T/(m_{\mathrm e}c^2)$ で，$p=\gamma_{\mathrm L}\beta m_{\mathrm e}c$ だから $\lambda=h/(\gamma_{\mathrm L}\beta m_{\mathrm e}c)$ とも書ける．

61.1.5 相対論的な方程式への 3 つの道 — 第XI部の地図

関係式 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ から出発して，Schrödinger 方程式をつくったのと同じやり方で波動方程式をつくるには，次の 3 つの考え方がある．

1. 2 乗のまま演算子にする：$E\to i\hbar\partial_t$，$\bm{p}\to-i\hbar\nabla$ を $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ にそのまま代入する．得られるのが Klein–Gordon 方程式で，本章で扱う．時間について 2 階の方程式で，スピン $0$ の粒子に対応する．
2. 平方根を行列でとる：$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ の平方根を，行列 $\bm\alpha$，$\beta$ を使って $E=c\bm\alpha\cdot\bm{p}+\beta mc^2$ と，$\bm{p}$ の 1 次式にする．時間について 1 階の Dirac 方程式になり，スピン $1/2$ が自動的に入る（第62章・第63章）．
3. 粒子数が変わる世界として捉え直す：どちらの方程式も，1 個の粒子の波動関数の方程式として読むと，負のエネルギーの解が現れる．これは，相対論では粒子が生成・消滅する（エネルギー $2mc^2$ 以上あれば粒子と反粒子の対ができる）ことの現れで，波動関数ではなく場の演算子で理論を書く必要がある（第64章・第65章）．第X部の生成・消滅演算子の考え方がここで生きる．

図61.2 に，第XI部全体の地図を示す．

61.1.6 第XI部の記号の約束

61.2 Klein–Gordon 方程式をつくる — $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ の演算子化

61.2.1 関係式を演算子に置き換える

Schrödinger 方程式は，関係式 $E=p^2/2m+V$ の両辺を波動関数に作用させ，$E\to i\hbar\partial_t$，$\bm{p}\to-i\hbar\nabla$ とすることでつくった．同じことを相対論の関係式

に対して行ってみよう（$m$ は粒子の質量，$p=\abs{\bm{p}}$）．$E^2$ は「$E$ を 2 回作用させる」こと，$p^2=\bm{p}\cdot\bm{p}$ は「$\bm{p}$ を 2 回作用させて内積をとる」ことだから，$E^2\to(i\hbar\partial_t)^2=-\hbar^2\partial_t^2$，$p^2\to(-i\hbar\nabla)\cdot(-i\hbar\nabla)=-\hbar^2\nabla^2$ となり，

が得られる．両辺を $\hbar^2c^2$ で割って移項すると

である．各項の次元は $[\psi]/\mathrm{m}^2$ に揃っている（$m^2c^2/\hbar^2=(m c/\hbar)^2$ は $(\mathrm{kg\cdot m/s}\,/\,\mathrm{J\,s})^2=\mathrm{m}^{-2}$）．

同じ式を，相対論の 4 元形式で書くともっと簡潔になる．4 元運動量は $p^\mu=(E/c,\bm{p})$ で，関係式 \eqref{eq:61-disp-class} は $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ と同じことである（AD 03 第57章 57.5）．置き換えの規則は，成分で書けば $E/c\to i\hbar\,\dfrac1c\partial_t$，$\bm{p}\to-i\hbar\nabla$ である．$\partial^\mu=\left(\dfrac1c\partial_t,\,-\nabla\right)$ だから，これは 1 行で $p^\mu\to i\hbar\,\partial^\mu$ と書ける．すると $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ は $-\hbar^2\partial_\mu\partial^\mu\psi=m^2c^2\psi$，すなわち $-\hbar^2\Box\psi=m^2c^2\psi$ となる．

この方程式は，Klein，Gordon，Fock らが 1926 年に，Schrödinger の論文の直後に独立に提案した．（Schrödinger 自身も，非相対論の方程式をつくる前にこの形を考えたが，水素原子の微細構造に合わなかったので，いったん放棄したといわれる．その理由は 61.5 節で明らかになる．）

この方程式は Lorentz 不変である．$\Box=\partial_\mu\partial^\mu$ は 4 元ベクトル同士の内積だからスカラー演算子で，Lorentz 変換しても形が変わらない（AD 03 第58章 58.2）．したがって，波動関数 $\psi$ がスカラー関数（座標系を変えても値が変わらない：$\psi'(x')=\psi(x)$）であれば，式 \eqref{eq:61-kg} はどの慣性系でも同じ形になる．スカラーであるということは，向きの情報をもたないこと，つまりスピン $0$ の粒子を記述することを意味する．電気的に中性な粒子（$\pi^0$）には実数値の $\psi$ を使うこともできるが，荷電粒子（$\pi^\pm$）では複素数値をとる．

61.2.2 換算 Compton 波長 — 方程式に現れる長さ

式 \eqref{eq:61-kg} の質量の項に現れる $mc/\hbar$ は，長さの逆数の次元をもつ．そこで

とおく．$\bar{\lambda}_{\mathrm C}$ は換算 Compton 波長（reduced Compton wavelength）で，Compton 散乱（第6章 6.1）に現れた Compton 波長 $\lambda_{\mathrm C}=h/(mc)$ を $2\pi$ で割ったものである．電子では $\bar{\lambda}_{\mathrm C}=3.8616\times10^{-13}\ \mathrm{m}=386.16\ \mathrm{fm}$（$\lambda_{\mathrm C}=2.4263\ \mathrm{pm}$）となる．これを使うと方程式は $(\Box+\kappa^2)\psi=0$ と書ける．

$m\to0$（$\kappa\to0$）の極限では，$\Box\psi=0$，つまり波動方程式 $\dfrac{1}{c^2}\partial_t^2\psi=\nabla^2\psi$ に戻る．これは光（電磁波）が満たす方程式で（AD 03 第42章 42.3，AD 02 第43章 43.1），速さ $c$ で伝わる波を表す．質量 $m$ は，この波動方程式に $\kappa^2\psi$ という「復元力」の項を付け加えたものと見ることができる．

61.2.3 非相対論の極限 — Schrödinger 方程式が戻ってくる

Klein–Gordon 方程式は，粒子の速さが遅い極限で Schrödinger 方程式になるはずである．それを確かめよう．粒子の全エネルギーは静止エネルギー $mc^2$ と，残りの部分 $\varepsilon$（非相対論のエネルギー）の和 $E=mc^2+\varepsilon$ である．定常状態の波動関数の時間依存性 $e^{-iEt/\hbar}$ は $e^{-imc^2t/\hbar}\,e^{-i\varepsilon t/\hbar}$ と分けられるので，前者の速い位相（角振動数 $\omega_0=mc^2/\hbar$．電子では $7.76\times10^{20}\ \mathrm{s^{-1}}$）を先に取り出して，

とおく．$\phi$ は，時間変化の角振動数が $\omega_0$ よりずっと小さい，すなわち $\abs{\hbar\,\partial_t\phi}\ll mc^2\abs{\phi}$（運動エネルギーが静止エネルギーよりずっと小さい）関数で，非相対論の波動関数に当たる．

式 \eqref{eq:61-nr} の右辺の第 1 項は，自由粒子の Schrödinger 方程式の右辺そのものである．第 2 項が相対論の補正である．その大きさを，上の条件を使って見積もろう．$\phi\propto e^{-i\varepsilon t/\hbar}$ とすると $\hbar^2\partial_t^2\phi=-\varepsilon^2\phi$，$i\hbar\partial_t\phi=\varepsilon\phi$ なので，第 2 項と左辺の比は $\dfrac{\hbar^2\partial_t^2/(2mc^2)}{i\hbar\partial_t}\sim\dfrac{\varepsilon}{2mc^2}$，すなわち（運動エネルギー）/（静止エネルギーの 2 倍）程度の小ささである．これを落とせば $i\hbar\partial_t\phi=-(\hbar^2/2m)\nabla^2\phi$，つまり自由粒子の Schrödinger 方程式が得られる．静止エネルギーの位相因子 $e^{-imc^2t/\hbar}$ を外すことは，エネルギーの原点を $mc^2$ だけずらして，非相対論のエネルギー $\varepsilon$ だけを数えることに当たる（エネルギーの原点が任意であることは第9章 9.5で見た）．

61.2.4 静的な解 — 質量が決める力の到達距離

時間変化のない（$\partial_t=0$）解を探す．式 \eqref{eq:61-kg} は

となる．球対称な解 $\Phi(r)$ を求めよう．球対称関数のラプラシアンは，$\nabla^2\Phi=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\dd}{\dd r}\left(r^2\dfrac{\dd\Phi}{\dd r}\right)=\dfrac{\dd^2\Phi}{\dd r^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{\dd\Phi}{\dd r}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd^2(r\Phi)}{\dd r^2}$ と書ける（AD 02 第44章 44.4）．最後の等号は $(r\Phi)''=r\Phi''+2\Phi'$ から確かめられる．そこで $f(r)=r\Phi(r)$ とおくと，式 \eqref{eq:61-static} は $f''=\kappa^2f$ となり，一般解は $f=Ae^{-\kappa r}+Be^{\kappa r}$ である．遠方で 0 に近づく解を選ぶと $B=0$ で，

を得る．これは Yukawa（湯川）型のポテンシャルである．指数関数の因子のために，$r$ が $1/\kappa=\hbar/(mc)$ の程度より大きくなると急速に 0 になる．したがって，質量 $m$ の粒子が「媒介する」力の到達距離は $\hbar/(mc)$ である．$m\to0$（$\kappa\to0$）では $\Phi=A/r$，点電荷の Coulomb ポテンシャルに一致する（質量ゼロの光子が媒介する電磁気力が遠くまで届く理由）．

式 \eqref{eq:61-static} は原点以外でしか成り立たない（$A/r$ は原点に源をもつ）．点状の源を原点におくと方程式は $(\nabla^2-\kappa^2)\Phi=-4\pi g\,\delta^3(\bm{r})$ となり（$\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^3(\bm{r})$），解は $\Phi=g\,e^{-\kappa r}/r$ である．Coulomb の場合（$\kappa=0$）に点電荷が $1/r$ のポテンシャルをつくるのと同じ関係で，質量 $m$ の場は，源から距離 $r$ にある別の粒子に $e^{-\kappa r}/r$ 型のポテンシャルエネルギーを与える（第65章）．

湯川秀樹は，1935 年に核力の到達距離（約 $2\ \mathrm{fm}$）から，質量が電子の約 200 倍（$\hbar c/(2\ \mathrm{fm})\approx100\ \mathrm{MeV}$）の粒子が核力を媒介するという考えを提案した．実際の荷電 $\pi$ 中間子の質量は $139.57\ \mathrm{MeV}/c^2$（電子の約 273 倍）で，到達距離は $\hbar c/(m_\pi c^2)=197.327/139.57\ \mathrm{fm}=1.41\ \mathrm{fm}$ である（核力の到達距離の見積りが粗いので，予言と実測は数割ずれる）．$\pi$ 中間子は 1947 年に宇宙線の中に発見された．詳しい計算は AD 03 の例題（第58章 例題58.21）にあり，光子交換による電磁気力と弱い力への拡張は第65章で扱う．また，遮蔽された Coulomb ポテンシャル（金属中の Thomas–Fermi 遮蔽，電解質中の Debye 遮蔽）も同じ $e^{-r/\ell}/r$ の形をしており，物質の中でも同じ数学が現れる．

61.3 平面波解・分散関係・負エネルギー — 放物線が双曲線になる

61.3.1 平面波解と分散関係

自由粒子の Klein–Gordon 方程式 \eqref{eq:61-kg-explicit} を，平面波

で解く（$N$ は定数）．微分はそれぞれ $\partial_t\to-i\omega$，$\nabla\to i\bm{k}$ だから，$\partial_t^2\to-\omega^2$，$\nabla^2\to-k^2$ で，

となる．$E=\hbar\omega$，$\bm{p}=\hbar\bm{k}$ と読むと，次の分散関係を得る．

Schrödinger 方程式の平面波では $\hbar\omega=\hbar^2k^2/2m$ と，$\omega$ が $k$ の放物線で，$\omega\ge0$ の 1 本の枝しかなかった．Klein–Gordon 方程式は時間について 2 階なので，$\omega$ の 2 乗の方程式となり，$\omega$ の符号が $\pm$ の2 本の枝が現れる．分散関係を図61.4 に示す．正エネルギー枝（青）は，$E^2/(mc^2)^2-(pc/mc^2)^2=1$ を満たす双曲線の上半分で，$p\to0$ で $E\to mc^2$（静止エネルギー），$p\to\infty$ で漸近線 $E=pc$（質量ゼロの粒子の関係）に近づく．負エネルギー枝（赤）はその符号を反転したものである．二つの枝の間には $-mc^2\lt E\lt mc^2$ のギャップがあり，その幅は $2mc^2$（電子では $1.022\ \mathrm{MeV}$）である．

低運動量 $p\ll mc$ では，二項展開 $\sqrt{1+x}=1+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^2}{8}+\cdots$（$x=(p/mc)^2$）により，

となる．第 1 項は静止エネルギー，第 2 項は Schrödinger 方程式の運動エネルギー，第 3 項は質量速度補正（速いほど質量が増えて運動エネルギーが減る補正）である（AD 03 第57章 57.6）．つまり，放物線が双曲線に「曲げられた」のが Klein–Gordon 方程式で，その違いは $p\sim mc$ あたりから目立ち始める（図61.4(b)）．

61.3.2 群速度と位相速度

波束の動きを考える（AD 03 第17章 17.5）．位相速度は $v_{\mathrm{ph}}=\omega/k$，群速度は $v_{\mathrm g}=\dd\omega/\dd k$ である．式 \eqref{eq:61-disp} の正の枝で，$E=\hbar\omega$，$p=\hbar k$ に対して，位相速度は $v_{\mathrm{ph}}=E/p$．群速度は，$E^2=p^2c^2+m^2c^4$ の両辺を $p$ で微分して $2E\,\dfrac{\dd E}{\dd p}=2pc^2$ より，$v_{\mathrm g}=\dfrac{\dd E}{\dd p}=\dfrac{pc^2}{E}$ となる．両者の積は

である．相対論の運動量 $p=\gamma_{\mathrm L} mv$，エネルギー $E=\gamma_{\mathrm L} mc^2$ を代入すると $v_{\mathrm g}=\gamma_{\mathrm L} mvc^2/(\gamma_{\mathrm L} mc^2)=v$ となり，波束の速さは粒子の速さ $v\lt c$ に等しい．位相速度は $v_{\mathrm{ph}}=c^2/v\gt c$ で，光速より大きい．非相対論の Schrödinger 方程式では $v_{\mathrm{ph}}=v/2$（第9章 9.1）だったのが，相対論では $c^2/v$ と，まったく違う値になる．

61.3.3 非相対論の近似は，どのくらい良いか

非相対論の運動エネルギー $p^2/2m$ に，真の運動量 $p$ を入れたときの誤差を調べよう．$(pc)^2=T(T+2mc^2)$（式 \eqref{eq:61-lam}）から

なので，$p^2/2m$ は真の運動エネルギー $T$ の $\left(1+T/2mc^2\right)$ 倍で，相対誤差はちょうど $T/(2mc^2)$ である．この相対誤差は，運動エネルギーが静止エネルギーの 2 倍に比べて小さいかどうかだけで決まる．

61.3.4 負エネルギー枝をなぜ捨てられないのか

式 \eqref{eq:61-disp} の負の枝 $E=-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\le-mc^2$ は，エネルギーが $-mc^2$ より下に限りなく下がっていく．これが物理的な状態だとすると，1 個の粒子の量子力学としては基底状態（エネルギー最低の状態）がないことになる．どの正エネルギー状態も，もし光子などを放出するチャンネルがあれば，負エネルギー状態へ，次々と落ちていけてしまう．負の枝を「物理的でないから捨てる」ことはできないだろうか．実は，Klein–Gordon 方程式が時間について 2 階であることが，それを許さない．

一般の自由な解は，両方の枝の重ね合わせ

である（第 1 項が正エネルギー，第 2 項が負エネルギー）．初期時刻 $t=0$ の条件として，$\psi$ だけでなく $\partial_t\psi$ も独立に与えなければならない（2 階の微分方程式だから）．それぞれの Fourier 成分を $\tilde\psi_0(\bm{k})$，$\tilde{\dot\psi}_0(\bm{k})$ とおくと，$t=0$ で $\tilde\psi_0=a+b$，$\tilde{\dot\psi}_0=-i\omega_k(a-b)$ だから，

となる．$b=0$（負エネルギー成分がない）になるのは，$\tilde{\dot\psi}_0=-i\omega_k\tilde\psi_0$ という特別な関係が成り立つときだけで，$\psi$ と $\partial_t\psi$ を独立に指定できる以上，一般の初期条件では両方の枝が必ず現れる．Schrödinger 方程式は時間について 1 階なので $\psi(t=0)$ だけで時間発展が決まり，このような問題はなかった．

結論として，Klein–Gordon 方程式を「1 個の粒子の波動関数の方程式」として読むと，負エネルギーと，次節で見る負の確率密度という 2 つの問題が避けられない．これらは，第64章の Dirac の海（空孔理論）と反粒子の考えと，第65章の場の量子化によって解決される．関連シミュレーターの相対論的量子力学シミュレーターの ①「3 つの方程式 — 分散関係」で，Schrödinger 方程式の放物線と，Klein–Gordon・Dirac の双曲線（正負の 2 本の枝）を並べて比べられる．

61.4 連続の式と確率密度の困難 — 負の「確率」の正体

61.4.1 Schrödinger 方程式の確率と，Klein–Gordon 方程式の場合

Schrödinger 方程式では，確率密度 $\rho=\abs{\Psi}^2$ と確率の流れ $\bm{j}=\dfrac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)$ が連続の式 $\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{j}=0$ を満たし，全確率 $\int\abs{\Psi}^2\dd^3r$ が時間によらなかった（第9章 9.3）．これは，方程式が $\partial_t\Psi$ を $\Psi$ だけで決めてくれるからである．Klein–Gordon 方程式 \eqref{eq:61-kg-explicit} は時間の 2 階微分を含むので，同じ $\abs{\psi}^2$ では連続の式が成り立たない（61.4.3 節で反例を見る）．そこで，2 階微分が打ち消し合うような組み合わせを探す．それは次の導出のとおり，$\psi^*$ を掛けた方程式と $\psi$ を掛けた複素共役の方程式の差である．

61.4.2 連続の式の導出

実数であることは，$z=\psi^*\partial_t\psi$ とおくと $\psi\,\partial_t\psi^*=z^*$ なので $\rho=\dfrac{i\hbar}{2mc^2}(z-z^*)=\dfrac{i\hbar}{2mc^2}\cdot2i\operatorname{Im}z=-\dfrac{\hbar}{mc^2}\operatorname{Im}z$ となることからわかる（$\bm{j}$ も同様）．規格化の因子 $1/(2mc^2)$ は，後で見るように非相対論の極限で $\rho\to\abs{\phi}^2$ となるように選んである．4 元ベクトルの形で書けば，$j^\mu=(c\rho,\bm{j})=\dfrac{i\hbar}{2m}\left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\,\partial^\mu\psi^*\right)$ であり，連続の式は $\partial_\mu j^\mu=\dfrac{1}{c}\partial_t(c\rho)+\nabla\cdot\bm{j}=0$ である．

61.4.3 平面波と重ね合わせで見る「負の確率」

61.4.4 困難の正体

以上をまとめると，Klein–Gordon 方程式では，$\abs{\psi}^2$ は正だが保存せず，保存する $\rho$ は正とは限らない．しかも，時間について 2 階なので $t=0$ で $\psi$ と $\partial_t\psi$ を独立に選べるから，たとえば $\partial_t\psi(\bm{r},0)=is\,\psi(\bm{r},0)$（$s\gt0$ の定数）と選ぶと $\rho=-\dfrac{\hbar}{mc^2}\operatorname{Im}(\psi^*\partial_t\psi)=-\dfrac{\hbar s}{mc^2}\abs{\psi}^2\lt0$ となり，初期時刻から負の密度を作れる．よって，$\rho$ を「粒子が見つかる確率密度」と解釈することはできない．「確率が負になる」とは，$\abs{\psi}^2$ が負になるという意味ではなく（それは常に 0 以上），保存される量 $\rho$ が負になりうるという意味である．これが，Klein–Gordon 方程式を 1 個の電子の方程式として使えないもう一つの理由である（主な理由は 61.5 節の微細構造の不一致である）．Dirac が 1928 年に別の方程式を探した動機の一つも，この問題にあった．原因は，方程式が時間について 2 階であることにある．

61.4.5 Pauli–Weisskopf の読み替え

1934 年に Pauli と Weisskopf は，$\rho$ を確率密度ではなく電荷密度（を $q$ で割ったもの）と読むことを提案した．粒子の電荷を $q$ とすると，$q\rho$ は電荷密度，$q\bm{j}$ は電流密度であり，連続の式 \eqref{eq:61-continuity} は電荷の保存則そのものである．$\rho\gt0$ の解（正エネルギー）は電荷 $q$ の粒子，$\rho\lt0$ の解（負エネルギー）は電荷 $-q$ の反粒子を表すと読む（演習61.4）．保存するのは「粒子の数」ではなく，「粒子の数 $-$ 反粒子の数」（電荷）である．こう読み替えると，Klein–Gordon 方程式は，スピン $0$ の荷電粒子（$\pi^\pm$，$K^\pm$ 中間子など）を正しく記述する方程式として復活する．ただしこれは 1 個の粒子の波動関数の理論ではなく，粒子と反粒子が生成・消滅する場の理論としての読み方であり，第65章で完成する．

Klein–Gordon 方程式には，スピンが入る余地がない（$\psi$ はスカラー）．電子のスピンをどう理論に入れるかは，1927 年に Pauli が $2\times2$ の行列 $\bm\sigma$ を手で導入し，1928 年に Dirac が時間について 1 階の方程式から自然に導いた（第62章）．

61.5 電磁場中の Klein–Gordon 方程式と水素型原子 — スピンがないと何が合わないか

61.5.1 最小結合 — 電磁場の入れ方

電荷 $q$ の粒子が電磁場（スカラーポテンシャル $\varphi_{\mathrm{el}}$，ベクトルポテンシャル $\bm{A}$）の中を動くとき，古典的な相対論では全エネルギーと運動量が $E\to E-q\varphi_{\mathrm{el}}$，$\bm{p}\to\bm{p}-q\bm{A}$ と置き換わり，関係式は $(E-q\varphi_{\mathrm{el}})^2=c^2(\bm{p}-q\bm{A})^2+m^2c^4$ になる（AD 03 第58章 58.4，58.8．4 元ベクトルでは $p^\mu\to p^\mu-qA^\mu$，$A^\mu=(\varphi_{\mathrm{el}}/c,\bm{A})$）．この置き換えを最小結合（minimal coupling）という．量子力学では，これに $E\to i\hbar\partial_t$，$\bm{p}\to\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla$ を適用して，Klein–Gordon 方程式は

となる．この形は，$\psi\to e^{iq\chi/\hbar}\psi$，$\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\chi$，$\varphi_{\mathrm{el}}\to\varphi_{\mathrm{el}}-\partial_t\chi$ というゲージ変換（$\chi(\bm{r},t)$ は任意のスカラー関数．電場 $\bm{E}$ と磁束密度 $\bm{B}$ は変わらない．AD 03 第58章 58.8）に対して形を保つ．

非相対論の極限も，61.2.3 節と同じ手順で確かめられる．$W=i\hbar\partial_t-V$ とおき，$\psi=e^{-imc^2t/\hbar}\phi$ を入れると $i\hbar\partial_t\psi=e^{-imc^2t/\hbar}\left(mc^2+i\hbar\partial_t\right)\phi$ なので $W\psi=e^{-imc^2t/\hbar}\left(mc^2+W\right)\phi$ で，式 \eqref{eq:61-kg-em} の左辺は $e^{-imc^2t/\hbar}\left(mc^2+W\right)^2\phi$ になる．右辺の $m^2c^4\phi$ と左辺の $m^2c^4\phi$ は打ち消し合い， $$ 2mc^2\,W\phi+W^2\phi=c^2\left(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}\right)^2\phi $$ が残る．$W\phi$ は運動エネルギーの程度で $2mc^2$ よりずっと小さいので，左辺第 2 項を落として $2mc^2$ で割ると，$i\hbar\partial_t\phi=\left[(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2/2m+V\right]\phi$，つまり電磁場中の Schrödinger 方程式に戻る．

原子核（電荷 $Ze_0$）が作る静電場の中の電子（$q=-e_0$）では，$\bm{A}=\bm{0}$，$\varphi_{\mathrm{el}}=Ze_0/(4\pi\varepsilon_0r)$ なので，

である（$e_0^2/(4\pi\varepsilon_0)=\alpha\hbar c$ を使った）．以下では，この $V$ の中のスピン $0$ の粒子の固有値問題を解く．ただし，電子はスピン $1/2$ なので，以下の結果は「電子の方程式」としては正しくない．実際にこの方程式が適用できるのは，$\pi^-$ 中間子や $K^-$ 中間子が原子核に捕えられてできる中間子原子のように，スピン $0$ で負電荷の粒子である．ここでは，「スピンがないと何が合わないか」を知るための教材として扱う．

61.5.2 動径方程式と固有値

定常状態 $\psi=e^{-iEt/\hbar}R(r)Y_l^m(\theta,\varphi)$ を式 \eqref{eq:61-kg-em} に代入すると，$(i\hbar\partial_t-V)^2\psi=(E-V)^2\psi$ となり，

である．$\nabla^2(RY_l^m)=\left[\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd^2(rR)}{\dd r^2}-\dfrac{l(l+1)}{r^2}R\right]Y_l^m$（第14章と同じ）だから，$u(r)=rR(r)$ とおいて $\hbar^2c^2$ で割ると，

を得る．水素原子の動径方程式（第15章 15.5）$u''+\left\{\dfrac{2m(E-V)}{\hbar^2}-\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right\}u=0$ と似ているが，$E-V$ が 2 乗で入っている．式 \eqref{eq:61-Vcoul} を入れて $(E-V)^2=\left(E+\dfrac{Z\alpha\hbar c}{r}\right)^2=E^2+\dfrac{2EZ\alpha\hbar c}{r}+\dfrac{(Z\alpha\hbar c)^2}{r^2}$ を展開すると，

となる．束縛状態は $\abs{E}\lt mc^2$ なので $\kappa_b^2\gt0$ とした．（この $\kappa_b$ は 61.2.2 節の $\kappa=mc/\hbar$ とは別の量で，束縛状態の減衰定数である．$\eta$ は長さの逆数の次元をもつ量で，速さの比 $\beta=v/c$ とは無関係である．）

重要なのは，$1/r^2$ の項の係数が $l(l+1)$ から $l(l+1)-(Z\alpha)^2$ に変わっただけだということである．そこで，実数 $l'$ を

と定義する（$l'^2+l'-\left[l(l+1)-(Z\alpha)^2\right]=0$ の 2 根のうち，$Z\alpha\to0$ で $l$ に近づく根を選んだ．もう一方の根 $-\tfrac12-\sqrt{\cdots}$ では $R=u/r$ が原点で $r^{-l-1}$ 程度（$l=0$ では $r^{-1+(Z\alpha)^2}$）に強く発散する．水素原子で $r^{-l-1}$ の解を除いたのと同様に，これは物理的な解から除外する）．すると式 \eqref{eq:61-radial2} は，水素原子の動径方程式の $l$ を非整数の $l'$ に置き換えたものにほかならない．

$Z\alpha\ll1$ で展開しよう．まず $\sqrt{(l+\tfrac12)^2-(Z\alpha)^2}=(l+\tfrac12)\left[1-\dfrac{(Z\alpha)^2}{2(l+1/2)^2}-\cdots\right]$ より $\delta_l\approx\dfrac{(Z\alpha)^2}{2l+1}=\dfrac{(Z\alpha)^2}{2(l+1/2)}$．したがって $\dfrac{(Z\alpha)^2}{(n-\delta_l)^2}\approx\dfrac{(Z\alpha)^2}{n^2}\left(1+\dfrac{2\delta_l}{n}\right)$ で，$x=\dfrac{(Z\alpha)^2}{n^2}\left(1+\dfrac{2\delta_l}{n}\right)$ として $(1+x)^{-1/2}=1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3x^2}{8}-\cdots$ を使うと，$(Z\alpha)^4$ の項までで

となる．第 2 項 $-\tfrac12(Z\alpha)^2mc^2/n^2=-13.606\ \mathrm{eV}\times Z^2/n^2$ は Bohr の準位（第15章 15.6），第 3 項が相対論による補正（微細構造）で，$l$ が小さいほど深く（負に大きく）なる．補正の大きさは Bohr の準位の $(Z\alpha)^2$ 倍程度である．ただし，これが実際の（スピン $1/2$ の）電子の微細構造と合わないことを，次で示す．

図61.6 からわかるように，Klein–Gordon 方程式の 1s の束縛エネルギーは，大きな $Z$ で Bohr の値をはるかに超えて増える．また，式 \eqref{eq:61-lprime} の平方根の中 $(l+\tfrac12)^2-(Z\alpha)^2$ は，$l=0$ では $Z\alpha\gt1/2$，すなわち $Z\gt1/(2\alpha)=68.5$ で負になり，$l'$ が複素数になる．この場合，$u\propto r^{l'+1}$ は原点で $r^{1/2}\cos(\cdots\ln r)$ のように無限に振動し，粒子が中心に「落ちこむ」不安定性が現れる（演習61.8）．Dirac 方程式では，同じ問題は $Z\alpha=1$（$Z=137$）まで現れない．

61.5.3 水素原子 $n=2$ — スピンがないと何が合わないか

水素（$Z=1$）の $n=2$ の準位を，式 \eqref{eq:61-Enl-expand} の $(Z\alpha)^4$ の項で見よう．Bohr の $n=2$ の準位を基準に，

である．差は $E_{2s}-E_{2p}=-\left(\dfrac{39}{384}-\dfrac{7}{384}\right)\alpha^4mc^2=-\dfrac{1}{12}\alpha^4mc^2$．$\alpha^4mc^2=1.449\times10^{-3}\ \mathrm{eV}$ だから，$-1.208\times10^{-4}\ \mathrm{eV}$，周波数に直すと（$h$ で割る）$-29.2\ \mathrm{GHz}$ である．つまりKlein–Gordon 方程式は，2s が 2p より $29.2\ \mathrm{GHz}$ 低いと予言する．

実験はまったく異なる．後の章で示す Dirac 方程式の結果は，式 \eqref{eq:61-Enl-expand} の $l$ を全角運動量 $j$ に置き換えた $E_{nj}=mc^2\left[1-\dfrac{(Z\alpha)^2}{2n^2}-\dfrac{(Z\alpha)^4}{2n^3}\left(\dfrac{1}{j+1/2}-\dfrac{3}{4n}\right)+\cdots\right]$ で，$n=2$ では $2\mathrm{s}_{1/2}$ と $2\mathrm{p}_{1/2}$ がともに $j=1/2$ で縮退したまま（$-\tfrac{5}{128}\alpha^4mc^2$），$2\mathrm{p}_{3/2}$（$j=3/2$，$-\tfrac{1}{128}\alpha^4mc^2$）がそれより $\dfrac{1}{32}\alpha^4mc^2=10.95\ \mathrm{GHz}$ だけ上にある．実験では，$2\mathrm{p}_{3/2}$ は $2\mathrm{p}_{1/2}$ より約 $10.97\ \mathrm{GHz}$ 上，$2\mathrm{s}_{1/2}$ は $2\mathrm{p}_{1/2}$ より約 $1.06\ \mathrm{GHz}$（Lamb シフト．1947 年に Lamb と Retherford がマイクロ波の実験で測定した．第65章の QED で説明される）だけ高い．図61.7 に，4 つの結果を並べた．

61.6 自然単位系 $\hbar=c=1$ と AD 09 への橋 — 単位を消して式を見やすくする

61.6.1 $\hbar=c=1$ とは

相対論的量子力学の式には，$\hbar$ と $c$ がいたるところに現れる．素粒子物理学では，$\hbar=c=1$ とおいて，これらを式から消す自然単位系（natural units）を使うのが標準である（AD 03 第58章 58.1）．$c=1$ とは，長さを光が進む時間で測る（時間と長さの次元が同じになる）ということで，$E=mc^2$ は $E=m$，$E^2=p^2c^2+m^2c^4$ は $E^2=p^2+m^2$ となり，エネルギー・質量・運動量が同じ次元になる．$\hbar=1$ とは，$E=\hbar\omega$ から「エネルギー＝角振動数」，$\bm{p}=\hbar\bm{k}$ から「運動量＝波数」と見なすことである．その結果，質量・エネルギー・運動量・長さの逆数・時間の逆数のすべてが同じ次元になり，残る単位は一つだけで，通常は $\mathrm{eV}$（$\mathrm{MeV}$，$\mathrm{GeV}$）を使う．この単位系では，Klein–Gordon 方程式は

と書ける．式が簡潔になるだけでなく，「この量は質量の逆数だ」という次元の見通しが良くなる．

自然単位系と SI の間の換算は，$\hbar c$ と $\hbar$ で行う．

図61.8 は，本章に現れた長さを，対数軸に並べたものである．Bohr 半径 $a_0$，電子の換算 Compton 波長 $\bar{\lambda}_{\mathrm C}=\alpha a_0$，古典電子半径 $r_{\mathrm e}=\alpha\bar{\lambda}_{\mathrm C}=\alpha^2a_0$（$=2.82\ \mathrm{fm}$）は，それぞれ微細構造定数 $\alpha\approx1/137$ の倍率で並んでいる．重い元素の 1s 電子の軌道の大きさは $a_0/Z$ の程度に縮み，Au では平均半径が約 $0.9\ \mathrm{pm}$ である（非相対論の値 $3a_0/2Z\approx1.0\ \mathrm{pm}$ より相対論で約 12 % 小さい．この値は，第63章で導く Dirac 方程式の 1s 波動関数から求まる平均半径 $a_0(2\gamma+1)/(2Z)$，$\gamma=\sqrt{1-(Z\alpha)^2}$ である．この $\gamma$ は Lorentz 因子 $\gamma_{\mathrm L}$ とは別の量で，61.1.6 節の囲みを見よ）．

61.6.2 単位の復元 — 自然単位で書かれた結果を SI に戻す

自然単位で書かれた結果を通常の単位に戻すには，次の 3 段階の手順を使う．

1. 求めたい量の次元を決める（長さ，時間，エネルギー，速さなど）．
2. 次元がそろうように $\hbar$ と $c$ を補う．自然単位では，あらゆる量が「エネルギーの巾」で表されている．エネルギー $E$ を基準にすると，質量は $E/c^2$，運動量は $E/c$，長さは $\hbar c/E$，時間は $\hbar/E$，角振動数は $E/\hbar$，波数は $E/(\hbar c)$，速さは $c\times$（無次元数）である．
3. 数値は $\hbar c=197.327\ \mathrm{MeV\,fm}$ などで計算する．

61.6.3 本書の方針と AD 09 への橋

本書の第XI部は，ここまで $\hbar$ と $c$ を残して書いてきた（式の物理的な意味と次元を，目で確かめながら読めるようにするため）．第65章で場の量子論の入口に入る際に，自然単位系に切り替える．素粒子物理学（AD 09）は，最初から $\hbar=c=1$ で書かれている．Klein–Gordon 方程式は，AD 09 では「スカラー場 $\phi$ の方程式」として現れ（AD 09 第9章 9.1．Klein–Gordon 方程式の 2 つの困難），自然単位系の導入は AD 09 第1章 1.7 にある．記号の違い（波動関数 $\psi$ に対してスカラー場 $\phi$ を使うこと，電磁気の単位系が Heaviside–Lorentz 系で電気素量を $e_{\mathrm{HL}}=\sqrt{4\pi\alpha}=0.3028$ とすること，相対論的規格化 $\langle p|p'\rangle=2E_p(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{p}')$ を使うこと）は，第62章・第65章で断る．

電磁気の単位系の違いは次のとおりである．微細構造定数 $\alpha$ は単位系によらない値 $1/137.036$ で，SI では $\alpha=e_0^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)$，Gauss 単位系では $\alpha=e_{\mathrm G}^2/(\hbar c)$（自然単位で $\alpha=e_{\mathrm G}^2$），Heaviside–Lorentz 自然単位系では $\alpha=e_{\mathrm{HL}}^2/4\pi$ である．ここで $e_{\mathrm G}$，$e_{\mathrm{HL}}$ は各単位系での電気素量を表す記号で，SI の $e_0$ とは単位が異なる．本書は SI で書き，Coulomb エネルギーは $\alpha\hbar c/r$ の形にする．

61.7 まとめと演習

61.7.1 まとめ

• Schrödinger 方程式の限界：Galilei 変換では位相因子 $\exp[i(mvx-\tfrac12mv^2t)/\hbar]$ を付けて形が保たれるが，Lorentz 変換では $\partial_t^2$ や $\partial_x\partial_t$ の項が現れて形が保たれない．相対論の効きめの物差しは，1s 電子の速さ $v/c=Z\alpha$（Au で $0.58$，$\gamma_{\mathrm L}=1.22$）と，電子線の補正 $T/(2m_{\mathrm e}c^2)$（TEM の $200\ \mathrm{kV}$ で波長が約 9 % 変わる）．
• Klein–Gordon 方程式：$E^2=p^2c^2+m^2c^4$ に $E\to i\hbar\partial_t$，$\bm{p}\to-i\hbar\nabla$ を代入して $(\Box+m^2c^2/\hbar^2)\psi=0$．スカラー波動関数（スピン $0$）で Lorentz 不変．$\bar{\lambda}_{\mathrm C}=\hbar/(mc)$（電子で $386\ \mathrm{fm}$）が方程式の長さのスケールで，静的な解は Yukawa 型 $e^{-\kappa r}/r$（到達距離 $\hbar/mc$）．$\psi=e^{-imc^2t/\hbar}\phi$ とおくと，$i\hbar\partial_t\phi=-(\hbar^2/2m)\nabla^2\phi+(\hbar^2/2mc^2)\partial_t^2\phi$ となり，最後の項を落とすと Schrödinger 方程式．
• 分散関係：$\hbar\omega=\pm\sqrt{\hbar^2c^2k^2+m^2c^4}$（双曲線，漸近線 $E=\pm pc$，ギャップ $2mc^2$）．$p\ll mc$ で $mc^2+p^2/2m-p^4/8m^3c^2$．群速度 $v_{\mathrm g}=pc^2/E\lt c$，位相速度 $v_{\mathrm{ph}}=E/p\gt c$，$v_{\mathrm g}v_{\mathrm{ph}}=c^2$．負エネルギー枝は，時間について 2 階の方程式の初期条件 $(\psi,\partial_t\psi)$ から自動的に現れる．
• 連続の式：$\rho=\dfrac{i\hbar}{2mc^2}(\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^*)$，$\bm{j}=\dfrac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ が $\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{j}=0$ を満たす．平面波で $\rho=(E/mc^2)\abs{N}^2$ なので $E\lt0$ で $\rho\lt0$．$\rho$ は確率密度ではなく（電荷密度 $q\rho$ と読み替える：Pauli–Weisskopf），粒子と反粒子の差を数える．
• 水素型原子：最小結合 $(i\hbar\partial_t-V)^2\psi=[c^2(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2+m^2c^4]\psi$．Coulomb 場で $l\to l'$，$E_{nl}=mc^2[1+(Z\alpha)^2/(n-\delta_l)^2]^{-1/2}$．水素 $n=2$ で 2s が 2p より $29.2\ \mathrm{GHz}$ 低いと予言するが，実験は $2\mathrm{s}_{1/2}\approx2\mathrm{p}_{1/2}$，$2\mathrm{p}_{3/2}$ が $10.97\ \mathrm{GHz}$ 上で，スピンがないと合わない．
• 自然単位系：$\hbar=c=1$，$\hbar c=197.327\ \mathrm{MeV\,fm}$，$\bar{\lambda}_{\mathrm C}=1/m_{\mathrm e}=386.16\ \mathrm{fm}$，$a_0=1/(\alpha m_{\mathrm e})=268.17\ \mathrm{MeV}^{-1}$．SI への復元は，次元を決めて $\hbar$，$c$ を補う．

61.7.2 演習問題

61.7.3 参考文献