第8章量子力学の公理 — Born の確率解釈・交換関係・不確定性原理

8.1 Born の確率解釈 — 波動関数と確率密度

8.1.1 実験事実から出発する — 波動関数は「見いだされやすさ」を表す

第2章 2.1と第7章で見たことを，もう一度まとめておく．電子を 1 個ずつスリットに向けて飛ばすと，1 個の電子は検出面上のただ 1 点に，粒として現れる．どの点に現れるかは，装置と初期条件をどれだけ正確に整えても予言できない．ところが，同じ実験を何千回もくり返して現れた点を集めると，濃淡のはっきりした縞ができる．その縞の濃さは，波動関数 $\psi(x)$ から計算した $\abs{\psi(x)}^2$ に比例する．「1 回ごとの結果は予言できないが，たくさん集めた分布は予言できる」——これが量子力学の予言の形である．

この状況を，もう少し単純な例で確かめておこう．幅 $L$ の無限井戸の中の粒子（第10章）の $n=2$ の状態は，$\psi_2(x)=\sqrt{2/L}\,\sin(2\pi x/L)$（$0\le x\le L$）である．この状態に用意した電子の位置を，1 回ごとに準備をやり直して $N$ 回測ったとしよう．図8.1は，測定位置を 20 個の区間に分けて数えた結果（計算機で乱数を発生させた模擬データ）である．$N=50$ ではでこぼこだが，$N=5000$ になると，ヒストグラムは $\abs{\psi_2(x)}^2$ の曲線に重なる．

この事実を，量子力学の最初の公理として，次のように述べる．

ここで $\psi^*$ は $\psi$ の複素共役（$\psi=u+iv$ なら $\psi^*=u-iv$）であり，$\abs{\psi}^2=\psi^*\psi=u^2+v^2\ge0$ は実数である．波動関数そのものは複素数で，直接測定することはできない．測定にかかるのは，2 乗して実数にした $\abs{\psi}^2$ だけである．

8.1.2 確率密度と確率

公理8.1の言葉を式で書き直す．粒子が区間 $a\le x\le b$ に見いだされる確率は，$\abs{\psi}^2$ をその区間で積分したものである．

ここで大切なのは，$\abs{\psi(x)}^2$ が「確率」ではなく「確率の密度」であることである．細い針金の質量密度が，それだけでは質量（グラム）でなく，長さを掛けてはじめて質量になるのと同じように，$\abs{\psi(x)}^2$ に区間の長さ $\dd x$ を掛けてはじめて確率になる．特に，1 点にちょうど見いだされる確率は $0$ である．

8.1.3 波動関数の規格化

粒子は，宇宙のどこかには必ず存在する．したがって，全空間で確率密度を足し合わせた（積分した）ものは，ちょうど $1$ にならなければならない．

規格化の具体的な手順を確認しておく．Schrödinger 方程式は $\psi$ について線形で同次な方程式なので，$f$ が解なら，定数倍 $cf$ も解である．そこで，方程式から求まった解 $f$ に定数 $N$ を掛けた $\psi=Nf$ が規格化されているように $N$ を選ぶ．$N$ を実数の正の数にとることにすれば，

である．この $N$ を規格化定数という．ただし，この手順が使えるのは，積分 $\int\abs{f}^2\dd\tau$ が有限の値になるとき（$f$ が二乗可積分であるとき）に限られる．なお，$N$ に絶対値 $1$ の複素数（位相因子）を掛けても規格化は保たれる．次に述べるとおり，全体の位相は確率に影響しないので，通常は実数の正の $N$ をとる．

8.1.4 確率振幅と位相 —— $\abs{\psi}^2$ だけでは決まらない情報

波動関数 $\psi$ は複素数であり，$\abs{\psi}^2$ だけが確率を与える．そのため，$\psi$ に絶対値 $1$ の複素数 $e^{i\alpha}$（$\alpha$ は実数）を掛けても，確率密度は変わらない．

つまり，波動関数の全体の位相は，測定にかからない．$\psi$ と $e^{i\alpha}\psi$ は同じ状態を表す．一方，2 つの波動関数の相対位相は，測定にかかる．二重スリットで，スリット 1 とスリット 2 を通ってきた波の振幅を $\psi_1$，$e^{i\delta}\psi_2$（$\delta$ は 2 つの経路の位相差）とすると，検出面上の確率密度は

となり，第3項（干渉項）は $\delta$ に依存する．足し合わされるのは確率 $\abs{\psi_1}^2$，$\abs{\psi_2}^2$ ではなく確率振幅 $\psi_1$，$\psi_2$ であり，確率は足し合わせた後で 2 乗してはじめて得られる．これが，量子力学の確率が古典的な確率と決定的に異なる点である．そのため，$\psi$ は「確率振幅」（probability amplitude）とも呼ばれる．

8.1.5 規格化できない波動関数 —— 平面波

すべての波動関数を規格化できるわけではない．運動量が $p=\hbar k$ に確定した自由粒子の平面波 $\psi(x)=e^{ikx}$ を考えよう．$\abs{\psi}^2=1$ は $x$ によらず一定なので，$\int_{-\infty}^{\infty}\abs{\psi}^2\dd x=\infty$ となり，どんな定数を掛けても $1$ にならない．したがって，平面波は，厳密には（公理8.1の意味での）状態を表さない．実際の粒子は，空間のどこかに広がった有限の大きさの波束（8.5 節の Gauss 波束など）であり，平面波は「幅が非常に大きい波束」という理想化である．理想化された平面波も，計算の道具としては不可欠である．平面波を使うときは，次の 2 つの方法のどちらかで，大きさを決める．

• 箱規格化：長さ $L$ の箱（周期境界条件）の中だけに粒子がいるとして，$\psi=L^{-1/2}e^{ikx}$ とおく．$\int_0^L\abs{\psi}^2\dd x=1$ となる（第10章 10.7で使う）．
• 連続規格化：$\psi_p(x)=(2\pi\hbar)^{-1/2}e^{ipx/\hbar}$ とおく．このとき，$\int\psi_{p'}^*\psi_p\dd x=\delta(p-p')$ となる（$\delta$ は Dirac のデルタ関数．大学数学 第30章 30.3）．2 乗の積分は有限でなく $\delta(0)$ となるが，$p$ で積分（重ね合わせ）してはじめて意味をもつ．

以下，特に断らない限り，波動関数は規格化されているものとする．

8.1.6 運動量の確率密度

第2章 2.3で問うた「位置に確率密度があるなら，運動量の確率密度もあるのか」に，ここで答えておく．位置の波動関数 $\psi(x)$ を Fourier 変換した運動量表示の波動関数を，本書の規約（第2章の式）で

と書くと，$\abs{\phi(p)}^2\dd p$ が，運動量が $p$ から $p+\dd p$ の間にある確率である（公理8.1と同じ形の主張．次の 8.3 節で，これが測定の公理から自然に出てくることを見る）．$\psi$ が規格化されていれば，Parseval の等式 $\int\abs{\phi}^2\dd p=\int\abs{\psi}^2\dd x=1$ により，$\phi$ も自動的に規格化されている．Parseval の等式は，Fourier 変換で「2 乗の積分」が変わらないという事実で，次のように示せる．式 \eqref{eq:8-phi} の $\phi$ とその複素共役を掛けて $p$ で積分し，$\dfrac{1}{2\pi\hbar}\displaystyle\int e^{ip(x-x')/\hbar}\dd p=\delta(x-x')$（デルタ関数．大学数学 第30章 30.3）を使うと，$\displaystyle\int\abs{\phi}^2\dd p=\iint\psi^*(x)\,\psi(x')\,\delta(x-x')\dd x\dd x'=\int\abs{\psi}^2\dd x$ となる．波動関数（の Fourier 変換）$\psi\leftrightarrow\phi$ は，同じ状態の「位置で見た姿」と「運動量で見た姿」である．

関連シミュレーター：確率の期待値 — サイコロの目から $|\psi|^2$ まで．確率密度と期待値の関係を，サイコロから波動関数まで段階的に確かめられる．

8.2 期待値 — 離散から連続へ，そして量子力学へ

波動関数の $\abs{\psi}^2$ が確率密度だとわかったので，次に，「粒子の位置の平均値は何か」という問いに答えたい．一般に，確率的に決まる量の平均値を期待値（expectation value）という．この節では，まず高校で習った離散的な期待値から出発し，区分求積法（積分の定義）を経由して，連続的な確率変数の期待値 $\int xP(x)\dd x$ を導く．その後で，これが量子力学の期待値の式に一直線につながることを見る．数学の側面は，姉妹編 AD 02 の第14章でも扱った．この節では，量子力学で使う形に合わせて，順に書き直す．

8.2.1 離散的な確率変数の期待値

この節の $E$ は，Expectation（期待値）の頭文字であり，エネルギーではない．式 \eqref{eq:8-Ediscrete} は，値 $x_k$ を確率 $p_k$ で重みづけして足した加重平均である．たとえばサイコロでは $x_k=k$，$p_k=1/6$ だから $E[X]=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5$ である．3.5 の目は決して出ないので，期待値は「1 回の試行で得られる値」ではなく，「多数回の試行の平均」である．測定値が 1 回ごとにばらつき，多数回の測定の分布が確率密度で決まる様子は，第1章 1.1の図1.4 に示した．$n$ 個の値の和として表した期待値を，$E_n$ と添字を付けて書くこともある（8.2.2 節と例題8.4 の $E_n$ は，区間を $n$ 等分して和をとったものである）．量子力学では，$E$ の代わりに $\langle X\rangle$（角括弧）と書く習慣がある．以下，量子力学の期待値には $\langle\ \rangle$ を使う．

8.2.2 連続的な確率変数へ — $n$ 等分から区分求積法へ

離散の式 \eqref{eq:8-Ediscrete} から連続の式 \eqref{eq:8-Econt} が出てくる筋道を，具体的に追いかけよう．ある区間 $0\le x\le L$ で確率変数（たとえば粒子の位置）を定義する．この区間を $n$ 等分して，各小区間の右端の値で代表させれば，確率変数は

という $n$ 個の離散的な値をとる，と考えることができる．$k$ 番目の値 $\dfrac{k}{n}L$ をとる確率（$k$ 番目の小区間に位置がある確率）を $p_k$ とすれば，確率の和は $1$ であり，期待値は式 \eqref{eq:8-Ediscrete} より

となる．ここで $n\to\infty$ の極限をとる．小区間が限りなく細かくなり，離散的な値の集まりが連続的な値になる．この極限が積分で表せるのは，区分求積法のおかげである．

確率密度 $P(x)$ を使えば，$k$ 番目の小区間に位置がある確率は，高さ $P\!\left(\dfrac{k}{n}L\right)$（確率密度），幅 $\dfrac{L}{n}$ の細長い長方形の面積，すなわち

で与えられる（図8.2 (a)．図では，各長方形の高さを $P_1,P_2,\dots,P_n$ と書いた）．これを式 \eqref{eq:8-Esum} の $\sum p_k=1$ に代入して，$n\to\infty$ とすると，区分求積法の式 \eqref{eq:8-riemann}（$f=P$）により，確率密度の規格化条件が得られる．

これは，波動関数の規格化 $\int\abs{\psi}^2\dd x=1$（式 \eqref{eq:8-norm}）で $P=\abs{\psi}^2$ とおいたものにほかならない．同様に，期待値の式 \eqref{eq:8-Esum} に式 \eqref{eq:8-pk} を代入して $n\to\infty$ とすると，被積分関数 $f(x)=xP(x)$ について区分求積法が使えて，

を得る．これが，連続的な確率変数をもったときの期待値である．

8.2.3 量子力学の期待値 —— 確率密度の間に演算子をはさむ

連続的な期待値の式 \eqref{eq:8-EcontL} に，確率密度 $P(x)=\abs{\psi(x)}^2$ を代入すると，粒子の位置の期待値は

となる（積分範囲を全範囲に広げた．$0\le x\le L$ の外で $P=0$ とみなせば同じである）．最後の形では，確率密度 $\psi^*\psi$ の 2 つの $\psi$ の間に，座標 $x$ を掛ける演算子 $\hat{x}$ が挟まっている．運動量の期待値も同じ形の式で書けるとするのが，次の公理である．ここで演算子（operator）とは，関数を別の関数に変える操作のことである．「$x$ を掛ける」「$x$ で微分する」がその例で，操作を表す記号にハット（$\hat{\ }$）を付けて，$\hat{x}$，$\hat{p}$ のように書く．

なぜ運動量が微分の形をしているのかは，平面波に作用させるとわかる．平面波 $e^{ikx}$ に $-i\hbar\,\dd/\dd x$ を作用させると，$-i\hbar\cdot ik\,e^{ikx}=\hbar k\,e^{ikx}$ となり，波数 $k$ の平面波が，運動量 $p=\hbar k$（de Broglie の関係，第6章 6.2）の状態として現れる．$\hat{p}$ の導入の詳しい経緯は，第9章 9.2で扱う．

式 \eqref{eq:8-expval} を，位置と運動量について具体的に書けば，

である．左辺の $\langle x\rangle$，$\langle p\rangle$ には，ハット（$\hat{\ }$）が付かない．期待値は（測定値と同じ）ただの実数であり，演算子ではないからである．本書では，演算子にはハット，数（$c$ 数）にはハットなしという約束を，全巻で守る．

運動量の期待値の式が，実際に「運動量の確率密度による平均」と一致することを確かめておこう．運動量の確率密度は $\abs{\phi(p)}^2$（式 \eqref{eq:8-phi}）なので，$\langle p\rangle$ は $\int p\abs{\phi(p)}^2\dd p$ に等しいはずである．

公理8.2は，1 回の測定の値ではなく，同じ状態に用意した多数の粒子（アンサンブル）について測った値の平均を与える．また，規格化されていない波動関数 $\psi$ に対しては，$\langle A\rangle=\dfrac{\int\psi^*\hat{A}\psi\dd\tau}{\int\psi^*\psi\dd\tau}$ と，分母で割る．なお，期待値が実数になること（測定値は実数）は，演算子 $\hat{A}$ がエルミートであることから従う（8.3 節と 8.4 節）．

8.2.4 期待値は「もっとも出やすい値」ではない

期待値と，確率がもっとも大きい値（最頻値）は，一般には別のものである．サイコロの期待値 $3.5$ は，決して出ない目である．図8.2 (b) の $P(x)=3x^2/L^3$ でも，確率密度が最大になる位置は $x=L$ だが，期待値は $\frac{3}{4}L$ である．量子力学の重要な例は，水素原子の基底状態（1s）である．電子を核から距離 $r$ と $r+\dd r$ の間の球殻に見いだす確率は，$\abs{\psi_{1s}}^2\cdot4\pi r^2\dd r$ で，動径分布は $P(r)=\dfrac{4r^2}{a_0^3}e^{-2r/a_0}$（第17章）である．これを微分して $0$ とおくと，もっとも見いだされやすい距離（最確半径）は $r=a_0$ であるが，期待値は，$\langle r\rangle=\displaystyle\int_0^{\infty}rP(r)\dd r=\dfrac{4}{a_0^3}\displaystyle\int_0^{\infty}r^3e^{-2r/a_0}\dd r=\dfrac{4}{a_0^3}\cdot3!\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^4=\dfrac{3}{2}a_0$ と，$a_0$ より大きい．分布が右に長い裾をひくためである．

また，$\psi$ が演算子 $\hat{A}$ の固有関数（$\hat{A}\psi=a\psi$，$a$ は固有値）であれば，$\langle A\rangle=\int\psi^*(a\psi)\dd\tau=a\int\abs{\psi}^2\dd\tau=a$ となり，期待値は固有値そのものである．このとき，物理量 $A$ の測定値は 1 回ごとにばらつかず，いつも $a$ である（8.3 節）．

箱の中の粒子の位置・運動量の広がりの詳しい計算は，8.5 節で行う．期待値を第III部で使うときの計算の道具は，第10章 10.4にまとめてある．関連シミュレーター：確率の期待値と，量子力学の「平均値」 — サイコロの目から $\langle x\rangle=\int\psi^*\hat{x}\psi\,\dd x$ まで．サイコロの期待値から，量子力学の $\langle x\rangle$ までを順に解説している．

8.3 物理量と測定 — 固有値・固有関数・波動関数の収縮

公理8.1は，位置を測ったときの結果の確率を与える．では，運動量やエネルギーなど，位置以外の物理量を測ったときは，どのような値が，どのような確率で得られるのか．第2章で予告したとおり，この問いの答えが「固有値・固有関数・測定」の一般論である．期待値の公理8.2を，より詳しい主張（測定値の分布そのもの）に拡張することになる．この節は，量子力学の測定の規則をまとめた重要な節であり，8.4 節以降の交換関係と不確定性原理の意味を理解するための土台でもある．

8.3.1 固有値方程式

演算子 $\hat{A}$ が，ある関数 $u$（$u\not\equiv0$）に作用して，$u$ の定数倍を与えるとき，すなわち

と書けるとき，$u$ を $\hat{A}$ の固有関数（eigenfunction），定数 $a$ を $u$ に対応する固有値（eigenvalue）という．式 \eqref{eq:8-eigen} を固有値方程式という．行列の固有値問題 $A\bm{v}=\lambda\bm{v}$（大学数学 第12章 12.1）の，関数に対する版である（関数は，無限に多くの成分をもつベクトルと考えられる）．固有値は，$\hat{A}$ ごとに決まる特別な数であり，波動関数に依存しない．

例を挙げる．(i) 運動量演算子 $\hat{p}=-i\hbar\,\dd/\dd x$ の固有関数は平面波である：$\hat{p}\,e^{ikx}=\hbar k\,e^{ikx}$（8.2 節の例題8.5）．固有値 $\hbar k$ は，連続的に変化するすべての実数値をとる．(ii) 座標演算子 $\hat{x}=x\times$ の固有値方程式 $x\,u(x)=x_0u(x)$，すなわち $(x-x_0)u(x)=0$ は，$x\ne x_0$ で $u=0$ を要求する．$x=x_0$ に鋭いピークをもつデルタ関数 $u(x)=\delta(x-x_0)$ が，固有関数（固有値 $x_0$）の役割を果たす．デルタ関数は通常の意味の関数ではなく，規格化もできない（$\int\delta^2\dd x=\infty$）ので，平面波と同じく理想化された固有関数である．(iii) エネルギーの演算子（Hamilton 演算子）$\hat{H}$ の固有値方程式 $\hat{H}\psi=E\psi$ が，時間を含まない Schrödinger 方程式である（第9章）．箱の中の粒子の $\hat{H}$ の固有値 $E_n=n^2h^2/(8mL^2)$ は，とびとびの値である．

8.3.2 エルミート演算子

物理量の測定値は実数でなければならない．そこで，測定値（固有値）が必ず実数になるような演算子だけが，物理量に対応するとする．そのための十分条件を与えるのが，エルミート性である．

行列でいえば，エルミート行列 $H^\dagger=H$（$H_{ij}=H_{ji}^*$）にあたる．$\hat{x}$ は，$x$ が実数（$x^*=x$）なので，$\displaystyle\int f^*(xg)\dd\tau=\int(xf)^*g\dd\tau$ が成り立ち，式 \eqref{eq:8-herm} を満たす．$\hat{p}$ がエルミートであることは，部分積分で示され，8.4 節の例題8.8 で確かめる．エルミート演算子の固有値と固有関数には，次の性質がある．

固有値が同じで異なる固有関数（縮退，第10章 10.3）がある場合でも，それらの 1 次結合を適当にとれば直交する関数の組にできる（Gram–Schmidt の直交化）．以下では，簡単のため，固有値に縮退がない場合を主に考える．固有関数は規格化しておく．こうして，$\hat{A}$ の固有関数の組 $\{u_n\}$ を，規格直交系（orthonormal system）

にとることができる．$\delta_{mn}$ は Kronecker のデルタである．たとえば，箱の中の粒子の固有関数 $\psi_n=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ は，$\int_0^L\psi_m\psi_n\dd x=\delta_{mn}$ を満たす（三角関数の直交性．大学数学 第27章 27.2）．

8.3.3 測定の公理

物理量 $A$ に対応するエルミート演算子 $\hat{A}$ の固有関数の組 $\{u_n\}$（固有値 $a_n$）は，任意の波動関数を展開できるだけの数がそろっているとする（完全性．たとえば，箱の中の粒子の $\{\psi_n\}$ で任意の波動関数を展開することは，Fourier 級数の展開にあたる．大学数学 第28章）．すると，任意の状態 $\psi$ は，固有関数の 1 次結合として

と書ける．展開係数は，両辺に $u_m^*$ を掛けて全範囲で積分し，式 \eqref{eq:8-orthonormal} を使うと，$\int u_m^*\psi\dd\tau=\sum_nc_n\delta_{mn}=c_m$ から，

と求まる．$\psi$ が規格化されていることから，$1=\int\psi^*\psi\dd\tau=\sum_m\sum_nc_m^*c_n\int u_m^*u_n\dd\tau=\sum_n\abs{c_n}^2$，すなわち

が成り立つ．$\abs{c_n}^2$ を足すとちょうど $1$ になることは，これが確率であることを示唆する．これを公理にする．

固有値が連続的な場合（位置，運動量）は，和が積分に，確率が確率密度になる．位置の測定では，固有関数 $\delta(x-x_0)$ に対する展開係数は，$\int\delta(x-x_0)\psi(x)\dd x=\psi(x_0)$ だから，位置が $x_0$ の近くで得られる確率密度は $\abs{\psi(x_0)}^2$ である．これは公理8.1（Born の確率解釈）そのものである．運動量の測定では，固有関数 $u_p=(2\pi\hbar)^{-1/2}e^{ipx/\hbar}$（固有値 $p$）に対する展開係数が $\int u_p^*\psi\dd x=\phi(p)$（式 \eqref{eq:8-phi}）となり，運動量が $p$ の近くで得られる確率密度は $\abs{\phi(p)}^2$ である．8.1.6 節で予告した運動量の確率密度は，この規則から出てくる．すなわち，公理8.1は公理8.3の位置の場合であり，測定の公理はそれを一般の物理量に広げたものである．

固有値に縮退がある場合．固有値 $a_n$ に $g_n$ 個の固有関数 $u_{n,1},\dots,u_{n,g_n}$（互いに直交し，規格化されているとする）が属するときは，展開を $\psi=\sum_n\sum_{j=1}^{g_n}c_{n,j}\,u_{n,j}$ と書く．公理8.3 (b)，(c) は，次のようになる．$a_n$ が得られる確率は $\displaystyle\sum_{j=1}^{g_n}\abs{c_{n,j}}^2$ であり，$a_n$ が得られた直後の状態は，$a_n$ に属する成分 $\sum_jc_{n,j}u_{n,j}$ を規格化したもの（$\sum_jc_{n,j}u_{n,j}$ を $\sqrt{\sum_j\abs{c_{n,j}}^2}$ で割ったもの）である．ほかの固有値に属する成分は消える．縮退は，後の章の $p$ 軌道，$d$ 軌道や角運動量の状態で日常的に現れるので，覚えておいてほしい．

公理8.3と，期待値の公理8.2は，互いに矛盾しない．実際，$\hat{A}u_n=a_nu_n$ を式 \eqref{eq:8-expand} に使って，式 \eqref{eq:8-orthonormal} を適用すると

となる．右辺は，「値 $a_n$ を確率 $\abs{c_n}^2$ で重みづけ平均したもの」，つまり離散的な期待値の定義 \eqref{eq:8-Ediscrete} そのものである．期待値の公理8.2は，測定の公理8.3から導かれる．

8.3.4 波動関数の収縮 —— 測定のあとの状態

公理8.3 (c) は，測定によって状態が変わることを述べている．図8.4は，$L=1\ \mathrm{nm}$ の箱の中の電子が，波動関数 $\psi=\frac{3}{5}\psi_1+\frac{4}{5}\psi_2$（$\psi_1,\psi_2$ は最低の 2 準位の固有関数）で表される状態にあるとき，エネルギーを測る例である．エネルギーの演算子 $\hat{H}$ の固有関数は $\psi_n$（固有値 $E_n=n^2E_1$）だから，展開係数は $c_1=\frac{3}{5}$，$c_2=\frac{4}{5}$，測定値は $E_1$ か $E_2$ のどちらかで，確率は $\abs{c_1}^2=0.36$ と $\abs{c_2}^2=0.64$ である．$E_2$ が得られたら，測定直後の状態は $\psi_2$ になる．そのあと，ただちにもう一度エネルギーを測れば，今度は確率 $1$ で $E_2$ が得られる．$E_1$ が得られたら，状態は $\psi_1$ になる．

8.4 位置と運動量の交換関係 — 量子力学の第2原理

ここまでの公理8.1〜8.3は，波動関数 $\psi$ から「何が，どんな確率で測定されるか」を読み取る規則だった．次の公理は，位置と運動量という 2 つの演算子が，たがいにどのような関係にあるかを定める．これが，量子力学を古典力学から区別する決定的な規則であり，不確定性原理の源である．

8.4.1 交換子と第2原理

ここで，$\hat{A}\hat{B}$ は「先に $\hat{B}$ を作用させ，次に $\hat{A}$ を作用させる」という意味である．普通の数の掛け算では $ab=ba$ で，順序に意味はない．しかし，演算子（たとえば，関数を微分する，関数に $x$ を掛ける）では，順序を変えると結果が変わることがある．たとえば，関数 $f(x)$ に，(i) 先に $x$ を掛けて次に微分すると $\dfrac{\dd}{\dd x}(xf)=f+xf'$，(ii) 先に微分して次に $x$ を掛けると $xf'$ で，両者は $f$ だけ違う．この違いが，量子力学の交換関係の源である．

8.4.2 位置表示で確かめる — $\hat{p}=-i\hbar\,\dd/\dd x$ を使って

第9章で導入する位置表示では，$\hat{x}$ は「$x$ を掛ける」，$\hat{p}$ は「$-i\hbar$ 掛ける $x$ での微分」である．この表示で公理8.4が成り立つことを，任意の（微分可能な）関数 $f(x)$ に作用させて確かめよう．$\hat{x}\hat{p}f$ は，先に $\hat{p}$ を作用させ，次に $x$ を掛けたもの，$\hat{p}\hat{x}f$ は，先に $x$ を掛け，次に微分したものである．

$xf'$ の項が打ち消し合い，$f$ に比例する項だけが残った．$f$ は任意だったので，演算子の等式 $\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$ が示された．この計算からわかるとおり，交換関係が $0$ でないのは，「$x$ を掛ける」という操作が微分の対象に含まれる（積の微分則で $f$ が余分に出る）ためである．

8.4.3 交換子の公式

公理8.4だけを出発点として，$\hat{x}$ と $\hat{p}$ の多項式の交換子を計算する道具が，次の公式である．関数に作用させる計算より，見通しがよく，間違いが少ない．

公式8.1 (iii) と公理8.4 を使うと，次の結果がただちに得られる（$i\hbar$ は数なので，どの演算子とも可換である）．

同様にして，帰納法で $\comm{\hat{x}}{\hat{p}^{\,n}}=i\hbar\,n\,\hat{p}^{\,n-1}$，$\comm{\hat{x}^n}{\hat{p}}=i\hbar\,n\,\hat{x}^{n-1}$ が示せる（$n\to n+1$：$\comm{\hat{x}}{\hat{p}^{\,n+1}}=\comm{\hat{x}}{\hat{p}^{\,n}}\hat{p}+\hat{p}^{\,n}\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar n\hat{p}^{\,n}+i\hbar\hat{p}^{\,n}=i\hbar(n+1)\hat{p}^{\,n}$）．交換子が「微分」のように働くことがわかる：$\comm{\hat{x}}{f(\hat{p})}=i\hbar f'(\hat{p})$，$\comm{\hat{p}}{g(\hat{x})}=-i\hbar\,g'(\hat{x})$．特に，Hamilton 演算子 $\hat{H}=\dfrac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})$ について，$\hat{x}$ は $V(\hat{x})$ と可換だから，

となる．これらは，8.8 節の期待値の時間変化の例題と，第9章 9.4 節の Ehrenfest の定理に使う．

8.4.4 $\hat{p}$ がエルミートであること

運動量の期待値が実数になるためには，$\hat{p}$ がエルミート演算子（定義8.4）でなければならない．この性質を，部分積分で確かめよう．

8.4.5 可換な演算子は同時に確定でき，非可換な演算子はできない

交換子が $0$ であるかどうかは，2 つの物理量を同時に確定できるかどうかを決める．

この定理は，測定の公理8.3から，次のような物理的意味をもつ．$\hat{A}$ と $\hat{B}$ が可換であれば，$A$ を測ったあとの状態 $u_n$ は $B$ の固有関数でもあるので，続けて $B$ を測ると，確率 $1$ で $B$ の固有値 $b_n$ が得られる．$A$ と $B$ の両方が，同時に確定した値をもつことができ，測定の順序も関係ない．非可換の場合は，$A$ を測ったあとの状態は $B$ の固有状態ではないので，続けて $B$ を測ると値がばらつく．しかも，そのとき状態が $B$ の固有関数に変わってしまうので，$A$ の値もばらつくようになる．位置 $x$ と運動量 $p$ は，この関係にある．第1章 1.1 で予告した「位置と運動量を同時に確定できない」ことの，数学的な意味である．

8.5 分散と標準偏差 — 「ばらつき」を測る

期待値は，測定値の「平均」を与えるが，測定値が平均のまわりにどれだけばらつくかは教えてくれない．たとえば，いつも $3.5$ を出す（そんなサイコロがあれば）装置と，普通のサイコロは，どちらも期待値が $3.5$ だが，前者はばらつきがまったくなく，後者は大きくばらつく．ばらつきを表す量が，分散と標準偏差である．不確定性原理でいう「不確定性」とは，この標準偏差のことである．

8.5.1 分散と標準偏差の定義

確率変数 $X$ の期待値を $\langle X\rangle$ とするとき，各値のずれ $X-\langle X\rangle$ の 2 乗の平均を分散（variance），その平方根を標準偏差（standard deviation）という．ずれを 2 乗するのは，正負のずれが打ち消し合わないようにするためである．量子力学では，物理量 $A$ の期待値 $\langle A\rangle$ は数であるから，「ずれ」を演算子 $\hat{A}-\langle A\rangle$ で表して，公理8.2の形（$\psi^*\ \cdot\ \psi$ で挟む）で 2 乗平均を計算する．

運動量の場合，$\langle p\rangle=\int\psi^*\hat{p}\psi\dd\tau$，位置の場合，$\langle x\rangle=\int\psi^*\hat{x}\psi\dd\tau$ であり，運動量の分散は $(\Delta p)^2=\int\psi^*(\hat{p}-\langle p\rangle)^2\psi\dd\tau$ である．これを展開して，次の重要な公式にする．

この公式 $(\Delta A)^2=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2$ は，確率論の「分散 $=$ 2 乗の平均 $-$ 平均の 2 乗」と同じ形である．たとえばサイコロでは，$\langle X^2\rangle=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6$，$\langle X\rangle^2=3.5^2=12.25$ だから $(\Delta X)^2=91/6-49/4=35/12$，標準偏差は $\Delta X=\sqrt{35/12}=1.708$ である．

この公式を使って，例題8.1 の $\psi=\ell^{-1/2}e^{-\abs{x}/\ell}$ の広がりを計算しておこう．$\psi$ は偶関数なので $\langle x\rangle=0$，$\langle x^2\rangle=2\cdot\dfrac{1}{\ell}\displaystyle\int_0^{\infty}x^2e^{-2x/\ell}\dd x=\dfrac{2}{\ell}\cdot2!\left(\dfrac{\ell}{2}\right)^3=\dfrac{\ell^2}{2}$ だから，$\Delta x=\dfrac{\ell}{\sqrt{2}}$．運動量は，$x\ne0$ で $\psi'=\mp\psi/\ell$（$\abs{\psi'}^2=\abs{\psi}^2/\ell^2$）を使うと，$\langle p^2\rangle=\hbar^2\displaystyle\int\abs{\psi'}^2\dd x=\dfrac{\hbar^2}{\ell^2}$ である．$\langle p\rangle=0$（$\psi$ が実数）なので，$\Delta p=\dfrac{\hbar}{\ell}$．この結果は，例題8.2 の $\phi(p)$ から $\langle p^2\rangle=\int p^2\abs{\phi}^2\dd p$ を計算しても得られる．したがって $\Delta x\,\Delta p=\dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}=0.707\,\hbar$ となる．なお，$x=0$ で $\psi$ は折れ曲がっており $\psi''$ に $\delta$ 関数が現れるが，$\hbar^2\int\abs{\psi'}^2\dd x$ の形を使えば，そのような点でも計算できる．

8.5.2 箱の中の粒子の $\Delta x$ と $\Delta p$

幅 $L$ の無限井戸の固有状態 $\psi_n(x)=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$（$n=1,2,\dots$）で，位置と運動量の広がりを計算しよう．位置の期待値は，$\abs{\psi_n}^2$ が中心 $x=L/2$ について対称なので $\langle x\rangle=L/2$ である．位置の 2 乗の期待値は，倍角の公式 $\sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2$ を使って

となる．第 2 の積分 $I_n=\int_0^Lx^2\cos(ax)\dd x$（$a=2n\pi/L$）を，部分積分を 2 回使って求める．まず $I_n=\left[\dfrac{x^2\sin ax}{a}\right]_0^L-\dfrac{2}{a}\displaystyle\int_0^Lx\sin ax\dd x$ で，境界項は $\sin(aL)=\sin2n\pi=0$ から $0$．次に $\displaystyle\int_0^Lx\sin ax\dd x=\left[-\dfrac{x\cos ax}{a}\right]_0^L+\dfrac{1}{a}\displaystyle\int_0^L\cos ax\dd x=-\dfrac{L}{a}+0$（$\cos(aL)=\cos2n\pi=1$，$\int_0^L\cos ax\dd x=\sin(aL)/a=0$）．したがって $I_n=-\dfrac{2}{a}\left(-\dfrac{L}{a}\right)=\dfrac{2L}{a^2}=\dfrac{2L\cdot L^2}{4n^2\pi^2}=\dfrac{L^3}{2n^2\pi^2}$ となり，

である（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ を使った）．運動量については，例題8.5 と同様に，$\psi_n$ が実数なので $\langle p\rangle=0$，$\hat{p}^2\psi_n=-\hbar^2\psi_n''=\hbar^2(n\pi/L)^2\psi_n$ より $\langle p^2\rangle=(n\pi\hbar/L)^2$ である．したがって $\Delta p=n\pi\hbar/L$ となり，積は

である．$n=1$ では $\hbar\sqrt{\pi^2/12-1/2}=\hbar\sqrt{0.8225-0.5}=0.568\,\hbar$，$n=2$ で $1.670\,\hbar$，$n=3$ で $2.627\,\hbar$ と，$n$ とともに増える（図8.5）．すべての $n$ で $\hbar/2$ を上回っている．位置の広がり $\Delta x=L\sqrt{1/12-1/(2n^2\pi^2)}$ は，$n\to\infty$ で $L/\sqrt{12}=0.2887\,L$（一様分布の標準偏差）に近づき，一方，運動量の広がりは $n$ に比例して増え続けるためである．

8.5.3 Gauss 波束の広がり

第2章 2.3で，Gauss 波束 $\psi\propto e^{-x^2/2\sigma^2}$ の運動量分布を Fourier 変換で求めた（定理2.1）．ここでは，同じ結果を，位置表示の積分だけで求め，さらに運動量の平均が $0$ でない波束（波数 $k_0$ で進む波束）に広げる．次の波動関数を考える．

Gauss 関数 $e^{-x^2/2\sigma^2}$ を包絡線とし，波数 $k_0$ の平面波 $e^{ik_0x}$ を掛けたものである（図8.6 (a)）．$\sigma$ は第2章と同じ量で，$\abs{\psi}^2$ の幅を決める．必要な Gauss 積分は $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/\sigma^2}\dd x=\sqrt{\pi}\,\sigma$ と $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-x^2/\sigma^2}\dd x=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\sigma^3$ である（大学数学 第7章 7.5）．

運動量の平均 $\hbar k_0$ は，$k_0$ によって決まるが，広がり $\Delta p$ は $k_0$ によらない．位置の広がりが大きい（$\sigma$ が大きい）ほど，運動量の広がりは小さい（図8.6 (b)，(c)）．積は，どんな $\sigma$ に対しても $\hbar/2$ で一定である．

8.6 不確定性原理の導出 — Robertson の不等式

ここまでで，必要な道具がそろった．位置と運動量の標準偏差 $\Delta x$，$\Delta p$（8.5 節）と，交換関係 $\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$（公理8.4）である．この 2 つを結びつけるのが，次の不等式である．この節では，まず結果を述べて不確定性原理を導き，そのあとで，その不等式の証明を，Schwarz の不等式から順に，1 行も省略せずに与える．

8.6.1 Robertson の不等式と不確定性原理

ここで注意する．交換子 $\comm{\hat{A}}{\hat{B}}$ の期待値をとらずに，$\abs{\comm{\hat{A}}{\hat{B}}}^2/4$ と書いてしまうと，一般には意味をもたない（交換子は演算子だから，絶対値の 2 乗も演算子になってしまう）．正しくは，式 \eqref{eq:8-robertson} のとおり，交換子を状態 $\psi$ で平均した数 $\langle\comm{\hat{A}}{\hat{B}}\rangle$ の絶対値をとる．位置と運動量の場合のように，交換子が数（$c$ 数）であれば，期待値をとっても値は同じで，$\langle i\hbar\rangle=i\hbar\int\psi^*\psi\dd x=i\hbar$ である．

この不等式は，「位置を正確に決めようとすると，運動量の広がりが大きくなる」（逆も同じ）ことを，定量的に述べている．その値 $\hbar/2$ は，測定器の性能によらない，量子力学の状態そのものの性質である．次節（8.7 節）で，測定の誤差との関係を議論する．

8.6.2 準備：Schwarz の不等式

式 \eqref{eq:8-robertson} を証明するために，関数の内積に関する基本的な不等式が必要である．ベクトル $\bm{a},\bm{b}$ の内積には $\abs{\bm{a}\cdot\bm{b}}\le\abs{\bm{a}}\abs{\bm{b}}$ という関係がある．同じ関係が，関数の内積 $\int f^*g\dd\tau$ でも成り立つ（大学数学 第27章 27.2）．

8.6.3 Robertson の不等式の証明

定理8.4 を，Schwarz の不等式を使って証明しよう．全体の筋道は，「$\Delta A$ と $\Delta B$ を，ある 2 つの関数 $f,g$ のノルムで表し，Schwarz の不等式で下から評価し，その内積を交換子の期待値と結びつける」ことである．

式 \eqref{eq:8-proof4} の中辺は，Schrödinger が 1930 年に示した，Robertson の不等式より強い不等式である．位置と運動量では，反交換子の期待値（$\psi$ の位置と運動量の相関を表す）を $0$ にできる状態があり，そのとき，等号が成立しうる（8.6.4 節）．歴史的には，Kennard（1927）が位置と運動量について $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ を証明し，Robertson（1929）が一般の $A,B$ に拡張し，Schrödinger（1930）が反交換子の項を加えた．不確定性原理は，位置と運動量に限らず，交換しない任意の 2 つの物理量の間に成り立つ．たとえば，角運動量の成分 $\hat{L}_x,\hat{L}_y$ は $\comm{\hat{L}_x}{\hat{L}_y}=i\hbar\hat{L}_z$ を満たすので，$\Delta L_x\,\Delta L_y\ge\dfrac{\hbar}{2}\abs{\langle L_z\rangle}$ となる（第21章）．一方，可換な物理量（たとえば $x$ と $p_y$）の間には，このような下限はない．

8.6.4 等号が成り立つ状態 —— Gauss 波束

不確定性原理 $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ の下限 $\hbar/2$ は，実際に達成できるのか．達成できるとすれば，どんな波動関数か．証明の各段の等号条件を追いかけると，答えが出る．式 \eqref{eq:8-proof4} で等号が成り立つのは，(a) Schwarz の不等式 \eqref{eq:8-proof2} で等号が成り立つ（$g=cf$），かつ (b) $\langle\acomm{\delta\hat{A}}{\delta\hat{B}}\rangle=0$ のときである．

この結果は，Fourier 変換 $\phi(p)$ の側からも確かめられる．式 \eqref{eq:8-min} の Gauss 波束の運動量表示を計算しよう．

8.7 不確定性関係の意味 — Heisenberg の思考実験と測定の擾乱

前節で証明した $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ は，「位置と運動量を，同時に，どんなに精密に測っても，$\hbar/2$ より小さい誤差の積は得られない」という意味だと，しばしば理解されている．これは半分正しく，半分まちがっている．「不確定性関係」と呼ばれる不等式には，性格の異なる 3 つの意味が混ざっており，区別して考えないと，誤解のもとになる．この節では，Heisenberg が不確定性関係を最初に見いだしたときの思考実験（$\gamma$ 線顕微鏡）を見たあとで，3 つの意味を整理する．

8.7.1 Heisenberg の $\gamma$ 線顕微鏡

1927 年，Heisenberg は，電子の位置を顕微鏡で観測する思考実験で，位置と運動量の同時測定の限界を議論した．電子の位置 $x$ を精密に見るには，波長 $\lambda$ の短い光（$\gamma$ 線）を電子に当て，散乱された光を，半角 $\varepsilon$ の開口をもつレンズで集めて像を作る（図8.8）．この配置で，何が起こるかを，2 つの段階で見積もる．

(1) 位置の精度．光学顕微鏡の分解能の限界（回折限界）は，波長 $\lambda$ と対物レンズの開口の半角 $\varepsilon$ で決まり，大まかには

である．波長が短く，開口が大きいほど，電子の位置を精密に決められる．そこで $\gamma$ 線のような波長の短い光を使う．

(2) 運動量の乱れ．光は，波長 $\lambda$ の光子として電子と衝突し，運動量 $h/\lambda$ をもっている（Compton 散乱，第6章 6.1）．電子の位置を見るには，散乱された光子が少なくとも 1 個，レンズに入らなければならない．図のように，光が左から水平に入射するとして，散乱された光子が進む向きがレンズの開口の中のどこかであれば，その光子の運動量の $x$ 成分は，$-(h/\lambda)\sin\varepsilon$ から $+(h/\lambda)\sin\varepsilon$ の間の，どれかの値である．光子は，どの向きに散乱されたのか，観測者にはわからない．したがって，電子が光子の衝突で受け取る運動量の $x$ 成分も，この範囲にわたって不確定である：

2 つを掛けると，$\lambda$ も $\varepsilon$ も消えて

が得られる．位置を精密に見よう（$\lambda$ を小さくしよう）とすると，光子の運動量が大きくなって，電子の運動量を大きく乱す．「見る」という行為が，見られる対象を乱す．これが，Heisenberg の議論の骨子である．

8.7.2 不確定性関係の 3 つの意味

Heisenberg の思考実験に出てくる「不確定さ」は，測定の誤差と擾乱であり，定理8.4 の $\Delta x$，$\Delta p$（状態の広がり）とは，本来は別の量である．整理すると，不確定性関係には，次の 3 つの意味がある（表8.1）．

(i) が，本章で証明した不確定性原理である．この意味の不確定性は，「測定器の性能が悪いから」生じるのではない．$\psi$ という 1 つの状態が，本質的に，位置についても運動量についても，ある広がりをもっている．位置の測定を完全に精密にしても（$\Delta x$ を測定誤差ゼロで測っても），広がり $\Delta x$ はなくならない．さらに，この式は，「位置を測定すると，運動量が乱される」ことを何も主張しない．(i) は，位置を測定する集団と運動量を測定する集団を別々に用意しても成り立つ．

8.8 量子力学の第3原理と，時間・エネルギーの不確定性

公理8.1〜8.4 が扱うのは，ある時刻の波動関数から何がわかるか，であった．残るのは，波動関数が時間とともにどう変化するか，という問いである．この規則が，量子力学の第3の公理（第3原理）である．この章では，その内容を予告として述べ，そこから直ちに出てくる結果（期待値の時間変化，エネルギーと時間の不確定性関係）を導く．Schrödinger 方程式の導出と，その解法は，次章以降（第9章，第III部）の主題である．

8.8.1 量子力学の第3原理 —— 時間発展の公理

この方程式の意味を，箇条書きで整理しておく．

• 決定論的な発展．時間について 1 階の微分方程式なので，ある時刻の $\Psi(\bm{r},0)$ を与えれば，以後の $\Psi(\bm{r},t)$ が一意に決まる．波動関数の時間変化は決定論的である．確率的なのは，測定のときだけである（公理8.3）．量子力学は，「決定論的な時間発展（公理8.5）」と「確率的な収縮（公理8.3）」の 2 つの規則をもつ．
• 線形性．方程式は $\Psi$ について線形なので，2 つの解の 1 次結合も解である（重ね合わせの原理）．エネルギー固有関数 $\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n$（時間を含まない Schrödinger 方程式）を使うと，一般の解は $\Psi(\bm{r},t)=\sum_nc_n\psi_n(\bm{r})e^{-iE_nt/\hbar}$ と書ける（第10章 10.5）．
• 確率の保存と，方程式の導出．$\int\abs{\Psi}^2\dd\tau$ が時間が経っても $1$ のままであること（確率の保存）と，平面波 $e^{i(kx-\omega t)}$ に $E=\hbar\omega$，$p=\hbar k$ を組み合わせて方程式の形を導くことは，第9章で行う（9.1 節，9.3 節）．

8.8.2 期待値の時間変化

公理8.5 と交換子を組み合わせると，物理量の期待値が時間とともにどう変わるかが，交換子だけで書ける．

特に，$\hat{A}$ が $\hat{H}$ と可換なら，$\langle A\rangle$ は時間によらない．$\hat{A}=\hat{H}$ とすれば，$\comm{\hat{H}}{\hat{H}}=0$ より，エネルギーの期待値は保存される．このように，「交換子が $0$ であること」が，「保存量であること」に対応する．古典力学で，Poisson 括弧が $0$ の量が保存量であること（AD 03 第46章 46.3）の量子力学版である．

8.8.3 エネルギーと時間の不確定性関係 —— 何が正しい意味か

位置と運動量の不確定性関係 $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ とよく並べて語られるのが，エネルギーと時間の不確定性関係 $\Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar/2$ である．しかし，この式は，位置と運動量の場合と同じ意味で成り立つ式ではない．8.6 節の証明では，2 つの物理量が，ともに演算子として交換関係をもつことを使った．ところが時間 $t$ は，Schrödinger 方程式の中で，粒子の状態とは別の，「時計が示す数」（パラメーター）として現れ，演算子ではない（Pauli は，エネルギーが下限をもつ系では，$\hat{H}$ と正準共役な時間演算子が存在しえないことを示した）．したがって，「時刻の広がり $\Delta t$」を，$\Delta x$ と同じように標準偏差として定義することはできない．エネルギーと時間の不確定性関係は，次の 2 つの，はっきりした意味で理解する．

8.8.4 意味 (1)：Mandelstam–Tamm の関係 —— 状態が変化するのに要する時間

$\Delta t_A$ は，物理量 $A$ の期待値が，その標準偏差 $\Delta A$ だけ変化するのに要する時間（の目安）である．言い換えれば，「状態が，$A$ から見て目に見えて変わるまでの時間」である．式 \eqref{eq:8-mt} は，エネルギーの広がり $\Delta E$ が小さい状態は，ゆっくりとしか変化できない，と主張する．極端な場合，$\Delta E=0$（エネルギー固有状態，定常状態）では，$\Delta t_A=\infty$，つまり期待値が時間変化しない．定常状態で $\abs{\Psi}^2$ が時間によらないこととつながっている．逆に，速く変化する状態（短い時間で $\langle A\rangle$ が変わる）は，エネルギーが広く分布した（多くの固有状態を含む）状態でなければならない．第10章 10.5で扱う箱の中の粒子の重ね合わせ状態の量子ビートは，その例である（例題8.19）．

8.8.5 意味 (2)：励起状態の寿命と自然幅

もう 1 つの重要な意味は，励起状態の寿命と，スペクトル線の幅の関係である．原子や分子の励起状態は，光を放出して基底状態に遷移するので，定常状態ではなく，有限の寿命 $\tau$ をもつ．励起状態にある確率は，時間とともに $e^{-t/\tau}$ の形に減少する（第52章）．確率が $\abs{\Psi}^2\propto e^{-t/\tau}$ なので，波動関数（確率振幅）は，中心のエネルギー $E_0=\hbar\omega_0$ の振動と，振幅の減衰の積として，$t\ge0$ で

と書ける．この波が含む振動数成分を求めるために，時間について Fourier 変換する（本書では，時間の Fourier 変換の核を $e^{+i\omega t}$ とする）．$t\lt0$ では $\Psi=0$ として，

である（指数の実部が正なので，$t\to\infty$ で 0 になる）．スペクトル強度は $\abs{A}^2$ で，

というLorentz 型（ローレンツ型）の分布になる（大学数学 第30章 30.5）．$\omega=\omega_0$ で最大値 $4\tau^2$，その半分になるのは，$(\omega-\omega_0)^2=(1/2\tau)^2$，つまり $\omega=\omega_0\pm1/2\tau$ のときで，全幅（半値全幅，FWHM）は $\Delta\omega=1/\tau$ である．エネルギー $E=\hbar\omega$，振動数 $\nu=\omega/2\pi$ で書けば，

である．これを，スペクトル線の自然幅（natural linewidth）という．寿命が短いほど，線は広がる．

8.8.6 Fourier 限界 —— 短いパルスは広いスペクトルをもつ

もう 1 つ，時間と振動数の広がりの関係が重要になるのが，フェムト秒レーザーのような短い光パルスである．時間幅 $\tau_p$ の光パルスは，多くの振動数の波の重ね合わせであり，Fourier 変換の性質により，スペクトル幅 $\Delta\nu$ が $\tau_p$ に反比例する．位置と波数の関係（AD 03 第17章 17.6）と同じである．光子のエネルギーは $E=h\nu$ なので，これは，$\Delta E\,\tau_p$ の関係でもある．Gauss 形のパルスで，具体的に計算しよう．電場の包絡線が $e^{-t^2/2s^2}$（強度は $I(t)\propto e^{-t^2/s^2}$），振動数 $\nu_0$ のパルス $\mathcal{E}(t)\propto e^{-t^2/2s^2}e^{-i\omega_0t}$ を考える．強度の半値全幅は，$e^{-(\tau_p/2)^2/s^2}=\frac12$ より $\tau_p=2s\sqrt{\ln2}$ である．$\mathcal{E}(t)$ の Fourier 変換は，Gauss 関数の変換（8.6 節と同じ公式）より $\int e^{-t^2/2s^2}e^{i(\omega-\omega_0)t}\dd t=\sqrt{2\pi}\,s\,e^{-(\omega-\omega_0)^2s^2/2}$ なので，スペクトル強度は $e^{-(\omega-\omega_0)^2s^2}$ で，半値全幅は $(\Delta\omega/2)^2s^2=\ln2$ より $\Delta\omega=2\sqrt{\ln2}/s$，$\Delta\nu=\dfrac{\Delta\omega}{2\pi}=\dfrac{\sqrt{\ln2}}{\pi s}$ である．積は

である．これが，Gauss 形のパルスの時間・帯域幅積（time–bandwidth product）である．半値全幅で測った積の値は，パルスの形ごとに決まる定数で，たとえば $\mathrm{sech}^2$ 形の強度では約 $0.315$ になる．したがって，$0.441$ は，どんな形のパルスにも通用する下限ではない．形によらず成り立つ下限は，標準偏差で測った幅の積 $\sigma_t\sigma_\omega\ge\frac12$ であり，等号は Gauss 形のときに成り立つ．与えられた形について，時間・帯域幅積が最小の値（Gauss 形なら $0.441$）に等しいパルスを，Fourier 限界（transform-limited）のパルスという．Gauss 形のパルスを標準偏差で測ると，強度分布の幅 $\sigma_t=s/\sqrt{2}$ とスペクトルの幅 $\sigma_\omega=1/(\sqrt{2}s)$ の積は，ちょうど $\sigma_t\sigma_\omega=1/2$，したがって $\sigma_E\sigma_t=\hbar/2$ となり，Gauss 波束の $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ とまったく同じ構造をもつ．

8.9 公理のまとめ — 量子力学の骨組みと第II部のふりかえり

8.9.1 量子力学の公理の一覧

この章で述べた 5 つの公理を，表8.2と図8.10にまとめる．量子力学の骨組みは，「状態を波動関数で表す」「物理量を演算子で表す」「測定の結果は固有値」「位置と運動量の交換関係」「時間発展は Schrödinger 方程式」という言葉で言い表せる．期待値の公理8.2は，測定の公理8.3から導かれる（式 \eqref{eq:8-expval-eig}）ので，独立な規則は数えなくてもよい．

8.9.2 第II部のふりかえり —— 実験事実から公理へ

第II部（第3章〜本章）は，1859 年の Kirchhoff の熱放射の法則から，1927 年の Heisenberg の不確定性関係まで（量子仮説は 1900 年の Planck）の歴史をたどった．表8.3に，各章の実験事実と，そこで登場した式を並べる．「エネルギーの量子」（$E=h\nu$）から，「物質波」（$p=h/\lambda$，$\lambda=h/p$），「波動関数の確率解釈」，「交換関係と不確定性」へと，古典物理の常識が，1 つずつ書き換えられてきたことがわかる．

8.9.3 この先へ

本章で導入した道具は，本書のあらゆる場所で使われる．規格化と期待値は第III部（箱，調和振動子，水素原子）と第V部，第VI部（摂動論と変分法）で，固有値と固有関数は第IV部（角運動量とスピン）で，交換関係は第IV部の角運動量 $\comm{\hat{L}_x}{\hat{L}_y}=i\hbar\hat{L}_z$ と第X部の生成・消滅演算子 $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ で，時間発展と期待値の時間変化は第IX部（時間依存の量子力学）で，再び登場する．また，第10章では，積分で書いてきた内積 $\int\psi^*\phi\dd\tau$ や期待値を，Dirac 記法（ブラとケット）で簡潔に書くことを学ぶ．姉妹編の「マテリアル計算科学（AD 05）」，「固体物理学（AD 06）」，「密度汎関数理論（AD 07）」，「線形応答理論（AD 08）」，「素粒子物理学（AD 09）」では，本章の公理が，それぞれの言葉で前提として使われる．

8.10 まとめと演習

8.10.1 まとめ

• 公理8.1（Born の確率解釈）：波動関数の絶対値の 2 乗 $\abs{\psi}^2$ は，位置の確率密度である．粒子はどこかに必ず見いだされるので，全範囲の積分は $1$（規格化）．体積要素は 1 次元で $\dd\tau=\dd x$，3 次元で $\dd x\,\dd y\,\dd z$（球座標で $r^2\sin\theta\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$）．全体の位相は測定にかからず，相対位相が干渉を生む．平面波は規格化できない理想化である．
• 期待値：離散の $\sum x_kp_k$ から，$n$ 等分と区分求積法で連続の $\int xP(x)\dd x$ を導く．量子力学では $\langle A\rangle=\int\psi^*\hat{A}\psi\dd\tau$（公理8.2）．期待値は，最頻値とも，1 回の測定の値とも別である．
• 測定（公理8.3）：測定値は演算子 $\hat{A}$ の固有値 $a_n$ だけ．確率は展開係数 $c_n=\int u_n^*\psi\dd\tau$ の $\abs{c_n}^2$．測定後の状態は $u_n$ に収縮する．エルミート演算子の固有値は実数，固有関数は直交する（定理8.1）．
• 交換関係（公理8.4，第2原理）：$\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$．右辺は数（$c$ 数）．位置表示 $\hat{p}=-i\hbar\,\dd/\dd x$ で，任意の関数に作用させて確かめられる．交換子の公式 $\comm{\hat{A}}{\hat{B}\hat{C}}=\comm{\hat{A}}{\hat{B}}\hat{C}+\hat{B}\comm{\hat{A}}{\hat{C}}$．可換なら同時に確定でき，非可換なら（$\hat{x}$ と $\hat{p}$ のように）できない．
• 分散と標準偏差：$(\Delta A)^2=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2$．$\Delta A=0$ となるのは固有状態．箱の中の粒子（$\Delta x\,\Delta p=\hbar\sqrt{n^2\pi^2/12-1/2}$）と Gauss 波束（$\Delta x=\sigma/\sqrt{2}$，$\Delta p=\hbar/\sqrt{2}\sigma$）で計算した．
• 不確定性原理：Schwarz の不等式から Robertson の不等式 $\Delta A\,\Delta B\ge\frac12\abs{\langle\comm{\hat{A}}{\hat{B}}\rangle}$（定理8.4）を証明し，$\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ を得た．等号を満たすのは Gauss 波束だけである（定理8.6）．
• 不確定性関係の 3 つの意味：状態の広がり（定理8.4），測定の誤差と擾乱（Heisenberg の $\gamma$ 線顕微鏡，小澤の関係），同時測定．混同しない．
• エネルギーと時間：時間は演算子でない．Mandelstam–Tamm の関係 $\Delta E\,\Delta t_A\ge\hbar/2$（定理8.7），励起状態の寿命と自然幅 $\Delta E=\hbar/\tau$（半値全幅），Fourier 限界 $\Delta\nu\,\tau_p=0.441$（Gauss パルス）．
• 第3原理（公理8.5）：波動関数の時間発展は $i\hbar\,\partial\Psi/\partial t=\hat{H}\Psi$．期待値の時間変化は $\dd\langle A\rangle/\dd t=(i/\hbar)\langle\comm{\hat{H}}{\hat{A}}\rangle$（8.8.2 節で導いた．Ehrenfest の定理としての扱いは第9章 9.4 節）．

8.10.2 演習問題

8.10.3 参考文献