第24章昇降演算子と角運動量の行列表示

24.1 昇降演算子の定義と交換関係 — 「はしご」の演算子

24.1.1 はしごの発想

球面調和関数 $Y_l^m$ は，$l$ を 1 つ決めると $m=l,l-1,\dots,-l$ の $2l+1$ 個ある．$\hat{L}_z$ の固有値は $m\hbar$ だから，これらは $\hat{L}_z$ の値が $\hbar$ ずつ違う，$2l+1$ 段の「はしご」をなしている（図24.1）．このはしごの段を 1 つ上がる操作，1 つ下がる操作を，それぞれ演算子として作れないだろうか．もし作れれば，最上段（または最下段）を 1 つ知るだけで，残りの段がすべて作れる．調和振動子でも同じことをした：$\hat{a}^\dagger$ を作用させるとエネルギーがちょうど $\hbar\omega$ だけ上がり，$\hat{a}$ を作用させると下がった（第13章 13.8）．角運動量の場合，はしごの段は $\hat{L}_z$ の固有値であり，段の間隔は $\hbar$ である．

この節では，まず昇降演算子を定義し，その交換関係を導く．交換関係が計算の要（かなめ）である．なぜなら，「$m$ を 1 つ上げる」という性質そのものが，交換関係 $\comm{\hat{L}_z}{\hat{L}_+}=\hbar\hat{L}_+$ の言い換えだからである．計算に使う出発点は，第21章で導いた角運動量の 3 つの交換関係である．

ここで $\comm{\hat{A}}{\hat{B}}=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ は交換子，$\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z$ は Hermite 演算子である．式 \eqref{eq:24-comm3} の右辺は，添字 $x\to y\to z\to x$ と巡回する形になっている．また，$\comm{\hat{B}}{\hat{A}}=-\comm{\hat{A}}{\hat{B}}$ だから，たとえば $\comm{\hat{L}_z}{\hat{L}_y}=-i\hbar\hat{L}_x$，$\comm{\hat{L}_y}{\hat{L}_x}=-i\hbar\hat{L}_z$ である．

24.1.2 昇降演算子の定義

$\hat{L}_+$ と $\hat{L}_-$ は Hermite 演算子ではない．$\hat{L}_x,\hat{L}_y$ が Hermite 演算子で，虚数単位 $i$ が随伴（$\dagger$）をとると $-i$ になるから，

となる．つまり $\hat{L}_+$ と $\hat{L}_-$ は互いのエルミート共役である（複素数でいえば $z=x+iy$ と $\bar{z}=x-iy$ の関係）．Hermite 演算子でないので，$\hat{L}_\pm$ は測定できる物理量ではない．固有値が実数になる保証もない．これらはあくまで，状態を別の状態へ移す「道具」である．

24.1.3 交換関係

$\hat{L}_+$，$\hat{L}_-$ は $\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$ で表されるので，$\hat{L}_z$ とは可換ではない（$\hat{L}_z$ は $\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$ のどちらとも可換でないから）．どれだけ可換でないかを計算する．出発点は，交換子の定義に従って積を展開することである．

24.1.4 「昇降」の意味 — $m$ を 1 つ上げる・下げる

式 \eqref{eq:24-zpm} の最初の 2 式が，$\hat{L}_\pm$ を「昇降演算子」とよぶ理由である．

もう 1 つ大事なことがある．$\hat{L}^2$ は $\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z$ のどれとも可換である（第22章）から，$\hat{L}_\pm$ とも可換である：

ゆえに，$\hat{L}_\pm$ を作用させても $\hat{L}^2$ の固有値 $l(l+1)\hbar^2$ は変わらない．すなわち，昇降演算子は「$l$ を変えずに，$m$ だけを 1 つ動かす」演算子である．$\hat{L}_+\psi$ は，$\hat{L}^2$ の固有値 $l(l+1)\hbar^2$，$\hat{L}_z$ の固有値 $(m+1)\hbar$ をもつ．

24.1.5 $\hat{L}^2$ と昇降演算子の関係

$\hat{L}_-\hat{L}_+$ と $\hat{L}_+\hat{L}_-$ を，前項の展開の結果に，交換関係 $\comm{\hat{L}_y}{\hat{L}_x}=-i\hbar\hat{L}_z$ を代入して整理する．

右の式は，上の 2 つの積 $\hat{L}_+\hat{L}_-$，$\hat{L}_-\hat{L}_+$ を足すと $\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2$ の 2 倍になる（$\comm{\hat{L}_y}{\hat{L}_x}$ を含む項が打ち消す）ことから出る．式 \eqref{eq:24-L2-ladder} は，24.3 節で「はしごの端で止まる」条件から $\hat{L}^2$ の固有値を決めるときに，決定的な役割を果たす．

24.1.6 直交座標での昇降演算子

$\hat{L}_x=-i\hbar\bigl(y\,\partial_z-z\,\partial_y\bigr)$，$\hat{L}_y=-i\hbar\bigl(z\,\partial_x-x\,\partial_z\bigr)$（第21章）を式 \eqref{eq:24-Lpm-def} に代入すると，昇降演算子の直交座標での形が得られる．

この形を使うと，$l=1$（p 軌道）のはしごが，微分をほとんど使わずに作れる．p 軌道の 3 つの基本関数は，$z$，$x+iy$，$x-iy$ である（第16章 16.6 の実軌道 $\mathrm{p}_x,\mathrm{p}_y,\mathrm{p}_z$ と，そこから作る複素軌道 $\mathrm{p}_x\pm i\mathrm{p}_y$）．$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ は $\hat{L}_\pm$ の作用で変わらないので（$\hat{\bm{L}}$ は角度にしか作用しない），$Y_1^m\propto(\text{上の 3 つ})/r$ に対して作用は次のようになる．

関連シミュレーター：はしごを上り下りしながら係数を確かめるには リー群シミュレーター ③ 既約表現と多重項．

24.2 極座標での昇降演算子と球面調和関数 — $\hat{L}_\pm Y_l^m$ の計算

前節では，昇降演算子が $\hat{L}_z$ の固有値を $\hbar$ だけ動かすことを，交換関係から示した．では，球面調和関数 $Y_l^m(\theta,\varphi)$ に $\hat{L}_\pm$ を作用させると，具体的にどんな関数になるのか．この節では，$\hat{L}_\pm$ を極座標 $(\theta,\varphi)$ の微分演算子で書き，$Y_l^m$ に実際に作用させて，次の結果を導く：$\hat{L}_\pm Y_l^m=\hbar\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}\,Y_l^{m\pm1}$．はしごの各段の間の「つなぎの係数」$\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}$ が具体的に決まる．

24.2.1 昇降演算子の極座標形

第21章で，$\hat{L}_x$ と $\hat{L}_y$ を極座標で表した：

ここで $\theta$ は $z$ 軸からの角（天頂角），$\varphi$ は方位角である．係数の $-\hbar/i$ は，分母の $i$ を上に上げると $-\hbar/i=-\hbar\cdot(-i)=i\hbar$ である（$1/i=-i$）．この形を式 \eqref{eq:24-Lpm-def} に代入する．

24.2.2 球面調和関数の式と $P_l^m$

$\hat{L}_\pm$ を $Y_l^m$ に作用させるために，$Y_l^m$ の式を書いておく．導出は第14章と第22章にあるので，ここでは結果を使う．

階乗の比は $(l-\abs{m})!/(l+\abs{m})!$ である（分子が $l-\abs{m}$）ことに注意する．これは，$\int\abs{Y_l^m}^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\varphi=1$ の規格化から決まる．

式 \eqref{eq:24-Ylm} の $\theta$ を含む部分は，Legendre 陪関数（associated Legendre function）で書ける．$x=\cos\theta$ とおくと，Legendre 多項式の Rodrigues の公式 $P_l(x)=\dfrac{1}{2^ll!}\dfrac{\dd^l}{\dd x^l}(x^2-1)^l$（大学数学 第40章 40.5）を $\abs{m}$ 回微分すれば，

と書ける．$(1-x^2)^{\abs{m}/2}=\sin^{\abs{m}}\theta$ で，$(\cos^2\theta-1)^l=(x^2-1)^l$ である．本書の $P_l^m$ は，Condon–Shortley の位相 $(-1)^m$ を含まない定義である．また，指数 $m$ が $m<0$ でも $P_l^{m}=P_l^{\abs{m}}$ と約束する．さらに，$P_l^{m}$ の上付き添字が $l$ を超えると，$l+\abs{m}$ 階の微分が $2l$ 次の多項式を $2l+1$ 回以上微分することになり，$P_l^{m}=0$（$m>l$）である．すると，$Y_l^m$ は次のように書ける：

$N_{lk}$ は規格化定数である．$l\le2$ の具体形は次のとおりである（$\sin\theta\ge0$，$0\le\theta\le\pi$）．

また，$Y_l^m$ は $\varphi$ に $e^{im\varphi}$ の形で依存するので，$\varphi$ での偏微分は簡単である：

24.2.3 $P_l^m$ の $\theta$ 微分

$\hat{L}_\pm$ には $\partial_\theta$ が含まれるので，$P_l^m(\cos\theta)$ を $\theta$ で微分する必要がある．$m\ge0$ の場合に計算する（$m<0$ は $P_l^{\abs{m}}$ で同じ計算）．合成関数の微分により，

である．$0\le\theta\le\pi$ で $\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\ge0$ を使った．次に，$x$ による微分を積の微分の公式で行う．式 \eqref{eq:24-Plm} の右辺で，$(1-x^2)^{m/2}$ の微分は $\dfrac{m}{2}(1-x^2)^{m/2-1}(-2x)=-\dfrac{mx}{1-x^2}(1-x^2)^{m/2}$ だから，

第 2 項の微分は 1 階増えて $l+m+1$ 階になった．式 \eqref{eq:24-Plm} の $m$ を $m+1$ にすると $P_l^{m+1}=\dfrac{(1-x^2)^{(m+1)/2}}{2^ll!}\dfrac{\dd^{\,l+m+1}}{\dd x^{\,l+m+1}}(x^2-1)^l$ だから，第 2 項は $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}P_l^{m+1}(x)$ に等しい．よって

これに $-\sqrt{1-x^2}$ を掛けて，$x=\cos\theta$，$\sqrt{1-x^2}=\sin\theta$ に戻すと，

となる．整理すると次の公式が得られる．

符号は $-P_l^{m+1}$ であることに注意する（$+$ ではない）．この負号は次に見るように，$Y_l^{m+1}$ の位相因子 $(-1)^{m+1}$ と結びついて，最終結果の係数を正の実数にする．

24.2.4 上昇演算子を $Y_l^m$ に作用させる

まず $m\ge0$ とする．式 \eqref{eq:24-Ylm-N} で $\abs{m}=m$，位相 $(-1)^m$ である．式 \eqref{eq:24-Lpm-polar} の $\hat{L}_+$ に，$\partial_\varphi Y_l^m=imY_l^m$（式 \eqref{eq:24-dphiY}）を使うと，$i\cot\theta\cdot\partial_\varphi$ の部分は $i\cot\theta\cdot im=-m\cot\theta$ になる：

（$e^{i\varphi}$ と $e^{im\varphi}$ の積が $e^{i(m+1)\varphi}$ になった：$m\to m+1$）．波括弧の中は式 \eqref{eq:24-dPlm} の左辺そのものである．

波括弧の中に，式 \eqref{eq:24-dPlm} の導出の途中の形 $\partial_\theta P_l^m=m\cot\theta\,P_l^m-P_l^{m+1}$ を代入すると，$m\cot\theta\,P_l^m$ の項が，$\theta$ 微分から出る項と $\varphi$ 微分から出る項（$-m\cot\theta\,P_l^m$）の 2 か所に現れて打ち消し合い，$-P_l^{m+1}$ だけが残る：

したがって，

一方，$Y_l^{m+1}=(-1)^{m+1}N_{l,m+1}P_l^{m+1}(\cos\theta)e^{i(m+1)\varphi}$ である（$m+1\ge0$）．したがって，$\hat{L}_+Y_l^m$ は $Y_l^{m+1}$ に比例し，比例係数は規格化定数の比 $N_{lm}/N_{l,m+1}$ である：

（$(l-m)!/(l-m-1)!=l-m$，$(l+m+1)!/(l+m)!=l+m+1$ を使った）．結局，

を得る．$m=l$ のときは $P_l^{l+1}=0$（$2l$ 次の多項式を $2l+1$ 回微分する）だから $\hat{L}_+Y_l^l=0$ で，これは係数の $\sqrt{(l-l)(2l+1)}=0$ と整合している．はしごの最上段より上には行けない．

24.2.5 下降演算子を $Y_l^m$ に作用させる

次に，$m\le0$ とする．$\abs{m}=-m$ で位相因子は $1$ だから，$Y_l^m=N_{l\abs{m}}P_l^{\abs{m}}(\cos\theta)e^{im\varphi}$ である．式 \eqref{eq:24-Lpm-polar} の $\hat{L}_-$ に作用させる．$\partial_\varphi Y_l^m=imY_l^m$ から，$i\cot\theta\cdot\partial_\varphi\to i\cot\theta\cdot im=-m\cot\theta=\abs{m}\cot\theta$ となり，

である（$e^{-i\varphi}e^{im\varphi}=e^{i(m-1)\varphi}$：$m\to m-1$）．式 \eqref{eq:24-dPlm} で $m\to\abs{m}$ とした $\partial_\theta P_l^{\abs{m}}=\abs{m}\cot\theta\,P_l^{\abs{m}}-P_l^{\abs{m}+1}$ を波括弧に代入すると，

となり，ここでも $\cot\theta$ の項が打ち消し合う（$\hat{L}_+$ でも $\hat{L}_-$ でも，$\cot\theta$ の項は消える）．$\abs{m-1}=\abs{m}+1$（$m\le0$）だから，

である．$Y_l^{m-1}=N_{l,\abs{m}+1}P_l^{\abs{m-1}}e^{i(m-1)\varphi}$（$m-1<0$ なので位相因子は $1$）と見比べ，係数は $N_{l\abs{m}}/N_{l,\abs{m}+1}=\sqrt{(l-\abs{m})(l+\abs{m}+1)}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}$ となる（$\abs{m}=-m$）．

$m=-l$ のときは係数が $\sqrt{0\cdot(2l+1)}=0$ で，はしごの最下段より下には行けない．

24.2.6 残りの範囲の $m$ — 随伴を使う

（初めて読むときは，次の定理24.2 の結果だけ読んで先へ進んでよい．$m<0$ の $\hat{L}_+$ と $m>0$ の $\hat{L}_-$ の導出は，あとで戻ってきて確かめればよい．）

式 \eqref{eq:24-Lp-Y} は $m\ge0$ で，式 \eqref{eq:24-Lm-Y} は $m\le0$ で導いた．残りの範囲 —— $m<0$ での $\hat{L}_+$，$m>0$ での $\hat{L}_-$ —— は，$\hat{L}_+^\dagger=\hat{L}_-$（式 \eqref{eq:24-Lpm-dagger}）から出る．$\hat{L}_x,\hat{L}_y$ は球面上の積分 $\braket{f}{g}=\int f^*g\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\varphi$ について Hermite だから，$\braket{f}{\hat{L}_+g}=\braket{\hat{L}_-f}{g}$ が成り立つ．

係数はすべて正の実数である．Condon–Shortley の位相 $(-1)^{(m+\abs{m})/2}$ は，まさにこの性質が成り立つように $Y_l^m$ どうしの相対位相をそろえる約束であり，$\hat{L}_\pm$ の行列要素を実数にしてくれる（24.3 節，24.4 節）．図24.1 は $l=2$ の場合に，式 \eqref{eq:24-Lpm-Y} の係数をはしごとして描いたものである．

関連シミュレーター：球面調和関数の複素形と実数形の関係は 行列の対角化シミュレーター ① 球面調和関数．

24.3 交換関係だけから導く角運動量の一般論 — $j$ は半整数でもよい

前節では，軌道角運動量の固有関数 $Y_l^m$ に昇降演算子を作用させて，係数 $\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}$ を得た．しかし，この計算は $Y_l^m$ の具体的な形（Legendre 陪関数）を使っており，第23章で導入したスピンには使えない．スピン $\tfrac12$ の波動関数は，座標 $\theta,\varphi$ の関数ではなく，2 成分の列ベクトルだからである．しかも，スピンでは量子数が半整数（$\tfrac12$）になるが，軌道では整数だけだった．この違いはどこから来るのか．

実は，角運動量の量子化は，$\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z$ の交換関係だけから導ける．座標表示も微分方程式も要らない．この節では，昇降演算子を使ってそれを示す．その結果，$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots$ という「許される値の全リスト」と，$\hat{J}_\pm$ の係数の一般の形が得られる．軌道角運動量，スピン，そして次章で扱う軌道とスピンの合成が，すべてこの 1 つの理論の特殊例になる．

24.3.1 出発点 — 交換関係だけを仮定する

ひとつ断っておく．同じ $\hat{\bm{J}}^2$，$\hat{J}_z$ の固有値をもつ状態が，ほかの量子数（水素原子の主量子数 $n$ や，多電子系の状態の違い）によって複数あってもよい．そのときは，それらの量子数を固定した部分空間の中で以下の議論をすればよい．$\hat{J}_\pm$ は $\hat{J}^2$ と可換なので，同じ部分空間の中で働く．

$\hat{\bm{J}}^2$ を $\hat{J}^2$ と略記する．式 \eqref{eq:24-Jcomm} は，軌道角運動量 $\hat{\bm{L}}$（第21章），スピン $\hat{\bm{S}}$（第23章 23.3 節，23.6 節），そして 2 つの角運動量の和 $\hat{\bm{J}}=\hat{\bm{L}}+\hat{\bm{S}}$（第25章）のどれもが満たす共通の性質である．$\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}$ という「軌道」の意味は，ここでは使わない．

24.1 節の計算は，$\hat{L}$ を $\hat{J}$ に読み替えても，交換関係 \eqref{eq:24-Jcomm} だけを使っていたから，そのまま成り立つ．整理すると，次の 3 つが使える．

2 番目の $\comm{\hat{J}^2}{\hat{J}_i}=0$ は，第22章で $\hat{L}$ について示した．念のため $\hat{J}_z$ について確かめておく（$\comm{\hat{A}^2}{\hat{C}}=\hat{A}\comm{\hat{A}}{\hat{C}}+\comm{\hat{A}}{\hat{C}}\hat{A}$ を使う）：

（$\comm{\hat{J}_x}{\hat{J}_z}=-i\hbar\hat{J}_y$，$\comm{\hat{J}_y}{\hat{J}_z}=i\hbar\hat{J}_x$ を使った．4 項のうち $\hat{J}_x\hat{J}_y$ を含む 2 項と $\hat{J}_y\hat{J}_x$ を含む 2 項がそれぞれ打ち消し合う．）

$\hat{J}^2$ と $\hat{J}_z$ は可換なので，同時固有状態が存在する．その固有値を，$\hbar^2$，$\hbar$ を単位にして次のようにおく：

$a$，$b$ は実数（Hermite 演算子の固有値）である（ほかの量子数があるときは，それらを固定して $\ket{a,b}$ と略記する）．$a$ が $j(j+1)$ の形になり，$b$ が $m$ になることを，これから導く．

24.3.2 段を上がる・下がる

24.1.4 節と同じ論法で，$\hat{J}_\pm\ket{a,b}$ は $\hat{J}^2$ の固有値が同じ $a\hbar^2$ で，$\hat{J}_z$ の固有値が $(b\pm1)\hbar$ の固有状態である（$\hat{J}_\pm\ket{a,b}\ne0$ のとき）：

$\hat{J}_\pm$ を何度も作用させれば，$b$ が $\hbar$ ずつ増える（減る）状態の列 $\cdots,\ket{a,b-1},\ket{a,b},\ket{a,b+1},\cdots$ が作れる．この列はどこまで続くのか．

24.3.3 はしごの端 — $b$ には上限がある

$\hat{J}^2-\hat{J}_z^2=\hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2$ の期待値を $\ket{a,b}$ でとる．なお $\norm{\psi}^2=\braket{\psi}{\psi}$ は，ベクトル $\ket{\psi}$ の長さの 2 乗（ノルムの 2 乗）で，0 以上の実数である．

である（$\hat{J}_x$ は Hermite なので $\bra{a,b}\hat{J}_x^2\ket{a,b}=\norm{\hat{J}_x\ket{a,b}}^2\ge0$）．よって $b^2\le a$，すなわち $-\sqrt{a}\le b\le\sqrt{a}$：$b$ は有限の範囲にしか入れない．上がり続けることはできないから，$\hat{J}_+$ を作用させて $0$ になる状態が，必ずどこかに存在する．その $b$ の最大値を $j$ と書く：

この式に左から $\hat{J}_-$ を作用させ，式 \eqref{eq:24-J-tools} の $\hat{J}_-\hat{J}_+=\hat{J}^2-\hat{J}_z^2-\hbar\hat{J}_z$ を使うと，

であり，$\ket{a,j}\ne0$ だから $a=j(j+1)$ を得る．これで，$\hat{J}^2$ の固有値が $j(j+1)\hbar^2$ の形になる理由がわかった：$j(j+1)$ は「はしごの最上段が $j$」という意味である．

24.3.4 はしごの下端と量子化

下向きも同様である．$b$ の最小値を $b_{\min}$ とすると $\hat{J}_-\ket{a,b_{\min}}=0$．これに $\hat{J}_+$ を作用させ，$\hat{J}_+\hat{J}_-=\hat{J}^2-\hat{J}_z^2+\hbar\hat{J}_z$ を使うと

となる．この 2 次方程式 $b_{\min}^2-b_{\min}-j(j+1)=0$ の解は $b_{\min}=-j$ と $b_{\min}=j+1$ である．後者は $b_{\min}\le j$ に反するので，$b_{\min}=-j$．

結局，$b$ は $-j$ から $j$ まで，$\hat{J}_\pm$ の作用で 1 ずつ変わりながら並ぶ．なぜ $2j$ が整数になるのか，順を追って確かめる．$b$ は $\hat{J}_\pm$ を 1 回作用させるたびにちょうど $\pm1$ しか変わらず，$\hat{J}_+$ を作用させ続けた列が止まる（$\hat{J}_+\ket{a,b}=0$ になる）のは $b=j$ のときだけである（$\hat{J}_+\ket{a,b}=0$ なら，上と同じ計算で $a=b(b+1)$ となる．$a=j(j+1)$ なので $b=j$ か $b=-j-1$ だが，後者は $b_{\min}=-j$ より下でありえない）．したがって，最下段 $b_{\min}=-j$ に $\hat{J}_+$ を $n$ 回作用させたものは $b=-j+n$ で，これが最上段に一致して止まるので $-j+n=j$，すなわち $2j=n$ である．ゆえに $2j$ は0 以上の整数でなければならない．

式 \eqref{eq:24-Jpm-ket} で $j=l$，$\ket{l,m}\equiv Y_l^m$ とおくと，前節の結果 \eqref{eq:24-Lpm-Y} に一致する．前節では Legendre 陪関数の計算を必要としたのに，この節では交換関係と $\hat{J}^2$ の式（\eqref{eq:24-J-tools}）だけで同じ係数が出た．同じ式は，スピン $\tfrac12$（$j=\tfrac12$）にも使える：$m=\tfrac12$ の状態 $\alpha=\ket{\tfrac12,\tfrac12}$，$m=-\tfrac12$ の状態 $\beta=\ket{\tfrac12,-\tfrac12}$ について，係数 $\sqrt{\tfrac12\cdot\tfrac32-(-\tfrac12)(\tfrac12)}=\sqrt{\tfrac34+\tfrac14}=1$ だから，$\hat{S}_+\beta=\hbar\alpha$，$\hat{S}_-\alpha=\hbar\beta$ となる．これは第23章の式（$\hat{S}_\pm$ の行列）の係数が「$\hbar$（根号が 1）」であった理由である．

24.3.5 図で見る許される $(j,m)$

図24.2 のように，整数の $j$ では $m=0$ を含む奇数本，半整数の $j$ では偶数本の準位が並ぶ．$2j+1$ を「多重度」とよぶ．$j=\tfrac12$ の 2 本がスピン $\tfrac12$ の「上向き・下向き」，$j=1$ の 3 本が p 軌道の $m=1,0,-1$ に対応する．交換関係だけからは，$j=\tfrac12,\tfrac32,\dots$ も許される．

24.3.6 軌道角運動量では整数だけ — $e^{im\varphi}$ の一価性

それでは，なぜ軌道角運動量 $\hat{\bm{L}}$ には整数の $l$ しか現れないのか．答えは，波動関数が 1 価（single-valued）でなければならないことにある．$\hat{L}_z=-i\hbar\,\partial/\partial\varphi$ の固有関数は $e^{im\varphi}$ の形で，方位角 $\varphi$ が $2\pi$ 増えると空間の同じ点に戻る．したがって，波動関数は $\varphi\to\varphi+2\pi$ で同じ値をもたなければならない（第21章で環の上の粒子に課した周期境界条件と同じ）．

24.3.7 $\hat{J}_x$，$\hat{J}_y$ の期待値と最小不確定性状態

（この小節は発展的な内容である．初めて読むときは，式 \eqref{eq:24-Jx2} の結果だけ読んで先へ進んでよい．）

$\ket{j,m}$ では $\hat{J}_z$ は確定値 $m\hbar$ をもつ．このとき $\hat{J}_x$，$\hat{J}_y$ はどうなっているか．$\hat{J}_x=\tfrac12(\hat{J}_++\hat{J}_-)$ は $m$ を $\pm1$ 動かすので，$\ket{j,m}$ に作用させると $\ket{j,m\pm1}$ になり，$\bra{j,m}$ との内積は 0：

である．次に 2 乗の期待値を求める．$\hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2=\hat{J}^2-\hat{J}_z^2$ から $\expval{\hat{J}_x^2}+\expval{\hat{J}_y^2}=\bigl[j(j+1)-m^2\bigr]\hbar^2$．一方，$\hat{J}_+^2+\hat{J}_-^2=2(\hat{J}_x^2-\hat{J}_y^2)$（展開すると $\hat{J}_x\hat{J}_y+\hat{J}_y\hat{J}_x$ の項が打ち消す）であり，$\hat{J}_\pm^2$ は $m$ を $\pm2$ 動かすから，$\expval{\hat{J}_x^2}-\expval{\hat{J}_y^2}=0$．したがって，

である．$\Delta J_x=\Delta J_y=\hbar\sqrt{[j(j+1)-m^2]/2}$ だから，積は $\Delta J_x\,\Delta J_y=\dfrac{j(j+1)-m^2}{2}\hbar^2$ となる．他方，Robertson の不等式（第8章 8.6）は $\Delta J_x\,\Delta J_y\ge\tfrac12\abs{\expval{\comm{\hat{J}_x}{\hat{J}_y}}}=\tfrac12\hbar\abs{\expval{\hat{J}_z}}=\dfrac{\abs{m}}{2}\hbar^2$ を与える．等号が成り立つ条件は $j(j+1)-m^2=\abs{m}$，すなわち $(j-\abs{m})(j+\abs{m}+1)=0$，$\abs{m}=j$ である．

関連シミュレーター：$j$ の異なる多重項（$j=\tfrac12,1,\tfrac32,\dots$）のはしごと，$\hat{J}_\pm$ の係数は リー群シミュレーター ③ 既約表現と多重項，交換関係から $j$ が決まる仕組みの詳しい説明は リー群とリー代数（導出） にある．

24.4 角運動量の行列表示 — $l=1$ の $3\times3$ 行列

ここまで，$\hat{L}_\pm$ は「関数を関数へ移す」微分演算子として扱った．しかし，$\hat{L}_z$，$\hat{L}_\pm$ を $Y_l^m$ に作用させた結果（式 \eqref{eq:24-Lpm-Y}）を見ると，作用の結果はいつも $Y_l^m$ たちの定数倍である．$l$ を 1 つ固定すると，関数は $2l+1$ 個の $Y_l^m$ だけで閉じている．そこで，$Y_l^m$ を「基底ベクトル」，演算子を「基底ベクトルへの作用のしかたを並べた表」と見れば，演算子は $(2l+1)\times(2l+1)$ の行列になる．微分の計算を，行列の掛け算に置き換えられるのである．この見方は，1925 年に Heisenberg，Born，Jordan が作った「行列力学」の出発点でもある．

24.4.1 演算子を行列で表す

$l$ を固定し，基底として $Y_l^m$（$m=l,l-1,\dots,-l$）の $2l+1$ 個をとる．演算子 $\hat{A}$（$\hat{L}^2$，$\hat{L}_z$，$\hat{L}_\pm$ など）を $Y_l^m$ に作用させた結果は，$Y_l^{m'}$ の 1 次結合になる．展開係数は，正規直交性 $\braket{Y_l^{m'}}{Y_l^{m}}=\delta_{m'm}$ を使って，$Y_l^{m'}$ との内積として取り出せる．その係数を並べたものが行列要素である：

ここで $\ket{l,m}\equiv Y_l^m$ である．行列 $A$ の第 $m$ 列は，$\hat{A}Y_l^m$ を基底で展開したときの係数を縦に並べたものである（大学数学 第11章 11.4 の表現行列と同じ）．以下では，表現行列を演算子と同じ記号 $\hat{L}_z$ などで書く．

$Y_l^m$ は $\hat{L}_z$ の固有関数で，異なる固有値に属する固有関数は直交する（Hermite 演算子の一般的な性質．第9章 9.6 節）．すなわち $Y_l^m$（$m=0,\pm1,\dots,\pm l$）は，異なる $m$ で互いに直交する．この性質を使って，次のように列ベクトルを割り当てる．

24.4.2 $\hat{L}^2$ と $\hat{L}_z$ の行列

まず，$\hat{L}^2Y_l^m=l(l+1)\hbar^2Y_l^m$ は，すべての $m$ について係数が同じ $l(l+1)\hbar^2$ である．これを行列で表すと，対角成分がすべて $l(l+1)\hbar^2$ の対角行列，すなわち単位行列の定数倍になる：

ここで $E_{2l+1}$ は $(2l+1)\times(2l+1)$ の単位行列である．基底ベクトルの割り当て \eqref{eq:24-basis-vec} のもとで，行列 \eqref{eq:24-L2-mat} を各列ベクトルに掛けると $l(l+1)\hbar^2$ 倍になるから，$\hat{L}^2Y_l^m=l(l+1)\hbar^2Y_l^m$ が表現できている．

次に，$\hat{L}_zY_l^m=m\hbar\,Y_l^m$ だから，$\hat{L}_z$ は対角成分に $m\hbar$ を上から並べた対角行列で表される：

$\hat{L}_zY_l^m=m\hbar\,Y_l^m$ が成り立つことは，$\hat{L}_z$ の第 $k$ 対角成分（$m=l-k+1$ に対応）を，第 $k$ 成分だけが $1$ の列ベクトルに掛けると，$m\hbar$ 倍されることからわかる．

24.4.3 昇降演算子の行列と $l=1$

昇降演算子は少し複雑なので，$l=1$ の場合を先に考えてから一般化する．基底は $Y_1^1,Y_1^0,Y_1^{-1}$ の 3 個で，式 \eqref{eq:24-Lpm-Y} より係数は $\sqrt{(1-m)(1+m+1)}$，$\sqrt{(1+m)(1-m+1)}$ である．

$l=1$ のとき，$m=1,0,-1$ に対する 6 つの式は次のとおりである：

（$m=0$ で $\sqrt{(1-0)(1+0+1)}=\sqrt2$，$m=-1$ で $\sqrt{(1+1)(1-1+1)}=\sqrt2$，$m=1$ で $\sqrt{(1-1)(3)}=0$，$\hat{L}_-$ では $m=1$ で $\sqrt{(1+1)(1-1+1)}=\sqrt2$，$m=0$ で $\sqrt{1\cdot2}=\sqrt2$，$m=-1$ で $0$．）基底の列ベクトルは

である．これらの式を満たす行列は，$\hat{L}_+Y_1^0=\sqrt2\hbar\,Y_1^1$ から第 2 列が $(\sqrt2\hbar,0,0)^{\mathsf T}$，$\hat{L}_+Y_1^{-1}=\sqrt2\hbar\,Y_1^0$ から第 3 列が $(0,\sqrt2\hbar,0)^{\mathsf T}$，第 1 列は $0$ とわかるから，

である．$\hat{L}_+$ は対角線のすぐ上の斜めだけに，$\hat{L}_-$ はすぐ下の斜めだけに成分をもつ．$\hat{L}_-=\hat{L}_+^\dagger$（転置して複素共役）が確かめられる．

24.5 $l=2$ の行列と $\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$ — 一般の $l$ へ

24.5.1 $l=2$ の昇降演算子の行列

$l=1$ で行列の作り方がわかったので，$l=2$（d 軌道，5 個の基底 $Y_2^2,Y_2^1,Y_2^0,Y_2^{-1},Y_2^{-2}$）で同じことをする．式 \eqref{eq:24-Lpm-Y} の係数 $\sqrt{(l-m)(l+m+1)}$ を $l=2$ で各 $m$ について計算すると，$m=1$：$\sqrt{1\cdot4}=2$，$m=0$：$\sqrt{2\cdot3}=\sqrt6$，$m=-1$：$\sqrt{3\cdot2}=\sqrt6$，$m=-2$：$\sqrt{4\cdot1}=2$，$m=2$：$\sqrt{0\cdot5}=0$．$\hat{L}_-$ の係数 $\sqrt{(l+m)(l-m+1)}$ は，$m=2$：$\sqrt{4\cdot1}=2$，$m=1$：$\sqrt{3\cdot2}=\sqrt6$，$m=0$：$\sqrt{2\cdot3}=\sqrt6$，$m=-1$：$\sqrt{1\cdot4}=2$，$m=-2$：$0$ である．したがって，$l=2$ の作用は次の 10 個の式になる．

行列は，第 $m$ 列に $\hat{L}_\pm Y_2^m$ の展開係数を並べて作る．$\hat{L}_+$ は $m\to m+1$，つまり列 $m$ の 1 つ上の行に成分が入るので，対角線のすぐ上の斜めに $2\hbar,\sqrt6\hbar,\sqrt6\hbar,2\hbar$ が並ぶ：

この行列を式 \eqref{eq:24-basis-vec}（$l=2$ で 5 成分）の列ベクトルに掛けると，式 \eqref{eq:24-l2-ten} がすべて再現される．たとえば $\hat{L}_+Y_2^0$ は，$Y_2^0=(0,0,1,0,0)^{\mathsf T}$ を掛けると $\hat{L}_+$ の第 3 列がそのまま取り出されて $(0,\sqrt6\hbar,0,0,0)^{\mathsf T}=\sqrt6\hbar\,Y_2^1$ となる．

$l=1$ と $l=2$ の行列のパターンを図24.3 に示す．

24.5.2 $\hat{L}_x$ と $\hat{L}_y$ の行列

定義 \eqref{eq:24-Lpm-def} の逆，$\hat{L}_x=\tfrac12(\hat{L}_++\hat{L}_-)$，$\hat{L}_y=\tfrac{1}{2i}(\hat{L}_+-\hat{L}_-)$ を使うと，$\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$ の行列は，$\hat{L}_\pm$ の行列の和と差から作れる．

まず $\hat{L}_z$ の行列を $l=1,2$ について書いておく（式 \eqref{eq:24-Lz-mat} で $l=1,2$）：

対角成分の下半分は負（$-\hbar$，$-2\hbar$）であることに注意する．次に $l=1$ の $\hat{L}_x,\hat{L}_y$ は，式 \eqref{eq:24-l1-pm} から，$\hat{L}_x=\dfrac12\begin{pmatrix}0&\sqrt2\hbar&0\\\sqrt2\hbar&0&\sqrt2\hbar\\0&\sqrt2\hbar&0\end{pmatrix}$，$\hat{L}_y=\dfrac{1}{2i}\begin{pmatrix}0&\sqrt2\hbar&0\\-\sqrt2\hbar&0&\sqrt2\hbar\\0&-\sqrt2\hbar&0\end{pmatrix}$ であり，$\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ で括り出すと，

を得る．$l=2$ では，式 \eqref{eq:24-l2-pm} から，$\hat{L}_x=\dfrac{\hbar}{2}\bigl(\text{対称三重対角}\bigr)$，$\hat{L}_y=\dfrac{\hbar}{2i}\bigl(\text{反対称三重対角}\bigr)$ で（三重対角行列とは，対角成分とそのすぐ隣の斜めの成分だけが $0$ でない行列），成分は $2,\sqrt6,\sqrt6,2$ である：

$\hat{L}_x$ は実対称行列である．$\hat{L}_y$ は，実の反対称行列に純虚数 $1/i=-i$ を掛けたものである．たとえば $l=1$ で $(\hat{L}_y)_{12}=-\dfrac{i\hbar}{\sqrt2}$，$(\hat{L}_y)_{21}=+\dfrac{i\hbar}{\sqrt2}$ で，互いに複素共役である（$(\hat{L}_y)_{21}=(\hat{L}_y)_{12}^*$）．どちらも Hermite 行列（$A^\dagger=A$）になっている．物理量を表す演算子が Hermite 演算子であることの，行列での現れである．

24.5.3 $\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2$ は行列でも成り立つか

演算子で成り立つ関係式は，行列にしても成り立つはずである．実際に確かめてみよう．$\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2$ が $l(l+1)\hbar^2E_{2l+1}$（式 \eqref{eq:24-L2-mat}）になるか．

この関係は，$l=2,3,\dots$ でも成り立つ．一般の $l$ での理由は次のとおりである．式 \eqref{eq:24-L2-ladder} により $\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2=\tfrac12(\hat{L}_+\hat{L}_-+\hat{L}_-\hat{L}_+)$．行列 \eqref{eq:24-Lpm-elem} を使うと，$\hat{L}_+\hat{L}_-$ と $\hat{L}_-\hat{L}_+$ はどちらも対角行列になる（$\hat{L}_-$ で $m\to m-1$ と下がり，$\hat{L}_+$ で $m-1\to m$ と元に戻るから）．対角成分（第 $m$ 成分）はそれぞれ

である．平均をとると $\dfrac{\hbar^2}{2}\bigl[(l^2+l-m^2+m)+(l^2+l-m^2-m)\bigr]=\hbar^2\bigl[l(l+1)-m^2\bigr]$．これに $\hat{L}_z^2$ の対角成分 $m^2\hbar^2$ を足すと，$l(l+1)\hbar^2$ で，$m$ によらない．これで，$\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=l(l+1)\hbar^2E_{2l+1}$ が一般の $l$ で示された．

24.5.4 一般の $j$ の行列とトレース

（トレースの計算は初めて読むときは飛ばしてよい．$j=\tfrac12$ の行列と，式 \eqref{eq:24-Jpm-ket} から一般の $j$ の行列が作れることだけを押さえて先へ進めばよい．）

式 \eqref{eq:24-Jpm-ket} は $j$ が半整数でもそのまま使えるから，$l$ を $j$ に，$Y_l^m$ を $\ket{j,m}$ に置き換えれば，どんな $j$ でも $(2j+1)\times(2j+1)$ の行列が作れる．基底の並びは $m=j,j-1,\dots,-j$，$\hat{J}_z=\hbar\,\mathrm{diag}(j,j-1,\dots,-j)$，$\hat{J}_+$ は対角線の 1 つ上に $\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}$ を並べた行列，$\hat{J}_-=\hat{J}_+^\dagger$ である．$j=\tfrac12$ なら，基底 $\ket{\tfrac12,\tfrac12}=\alpha$，$\ket{\tfrac12,-\tfrac12}=\beta$ で，式 \eqref{eq:24-Jpm-ket} の係数は $\sqrt{\tfrac34-(-\tfrac12)(\tfrac12)}=1$ だから， $$ \hat{J}_+=\hbar\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad \hat{J}_-=\hat{J}_+^\dagger=\hbar\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad \hat{J}_x=\tfrac12(\hat{J}_++\hat{J}_-)=\frac\hbar2\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \hat{J}_y=\tfrac{1}{2i}(\hat{J}_+-\hat{J}_-)=\frac{\hbar}{2i}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\frac\hbar2\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} $$ となり，第23章の Pauli 行列（$\hat{S}_x=\tfrac\hbar2\sigma_x$，$\hat{S}_y=\tfrac\hbar2\sigma_y$，$\hat{S}_z=\tfrac\hbar2\sigma_z$）に一致する．$j=1$ なら式 \eqref{eq:24-l1-pm}，\eqref{eq:24-Lxy-l1} である．対角成分の 2 乗の和（トレース）は，$\displaystyle\sum_{m=-j}^{j}m^2=\frac{j(j+1)(2j+1)}{3}$ から次のとおりになる：

$j=1$ で $2\hbar^2$，$j=2$ で $10\hbar^2$，$j=\tfrac12$ で $\tfrac12\hbar^2$ である．また $\Tr\hat{J}^2=j(j+1)(2j+1)\hbar^2$ で，$\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z$ は対等だから $\Tr\hat{J}_x^2=\Tr\hat{J}_y^2=\Tr\hat{J}_z^2=\tfrac13\Tr\hat{J}^2$ でもある．

関連シミュレーター：行列の見た目（基底の選び方）と対角化は 行列の対角化シミュレーター ① 球面調和関数．

24.6 $\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$，$\hat{L}_z$ の固有値と固有ベクトル — $l=1$

行列にした最大の利点は，固有値問題が「行列式を 0 とおく」という機械的な計算になることである．$\hat{L}_z$ の固有関数は $Y_l^m$ だとわかっているが，では $\hat{L}_x$ や $\hat{L}_y$ の固有値・固有関数はどうなるか．3 つの成分は互いに可換でないので，同時に確定はできない．しかし，1 つの成分だけなら測れる．$\hat{L}_x$ を測ったとき，どんな値が，どんな確率で出るのか．この節では，$l=1$（p 軌道）の $3\times3$ 行列で，この問いに答える．

24.6.1 固有値の求め方

演算子（行列）$A$ の固有値を $\lambda$，固有ベクトルを $\psi$ とすれば $A\psi=\lambda\psi$，すなわち

である．固有ベクトル $\psi$ は零ベクトルであってはならない（$\psi\ne\bm{0}$）．もし行列 $A-\lambda E$ に逆行列があれば，左から掛けて $\psi=\bm{0}$ となってしまうから，$A-\lambda E$ には逆行列が存在しない．逆行列が存在しないことは，行列式が $0$ であることと同値である（大学数学 第12章 12.1）．したがって，

が，固有値 $\lambda$ を決める条件（永年方程式，特性方程式）である．$\det(\lambda E-A)=0$ としてもよい．$\lambda E-A=-(A-\lambda E)$ で，$n\times n$ 行列では行列式が $(-1)^n$ 倍になるだけだから，方程式の解は同じである．固有値が求まれば，それぞれの固有値を $A\psi=\lambda\psi$ に代入して，固有ベクトルを決める．固有ベクトルは定数倍の自由度があるので，長さ $1$ に規格化する．

24.6.2 $\hat{L}_x$ の固有値と固有ベクトル（$l=1$）

式 \eqref{eq:24-Lxy-l1} の $\hat{L}_x$ に対して，固有値を $l_x$ と書く．式 \eqref{eq:24-secular} は，$a=\hbar/\sqrt2$ とおいて，

である．第 1 行で展開する（大学数学 第8章 8.4）：

（$2a^2=\hbar^2$ を使った）．したがって $l_x\bigl(l_x^2-\hbar^2\bigr)=0$ で，$\hat{L}_x$ の固有値は

である．$\hat{L}_z$ の固有値 $m\hbar=\hbar,0,-\hbar$ と同じ 3 つの値が，$\hat{L}_x$ にも現れた．3 つの軸に区別はない（空間の等方性）ので，当然である．次に，固有ベクトル $\alpha$（$l_x=\hbar$），$\beta$（$l_x=0$），$\gamma$（$l_x=-\hbar$）を求める（この節の $\alpha,\beta,\gamma$ は 3 つの固有ベクトルの名前であって，スピン関数の $\alpha,\beta$ とは別のものである）．

基底 $Y_1^1,Y_1^0,Y_1^{-1}$ に対応させて関数の形に戻すと，$\hat{L}_x$ の固有値 $+\hbar,0,-\hbar$ に対応する，$x$ 方向の角運動量演算子の正規直交基底の関数が得られる：

固有値の異なる固有ベクトルは直交する．たとえば $\alpha\cdot\beta=\tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt2}+0+\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac1{\sqrt2}\bigr)=0$，$\alpha\cdot\gamma=-\tfrac14+\tfrac12-\tfrac14=0$，$\beta\cdot\gamma=-\tfrac{1}{2\sqrt2}+0+\tfrac{1}{2\sqrt2}=0$（成分がすべて実数なので複素共役は不要）．$\hat{L}_x$ が Hermite 行列であることの帰結である．

24.6.3 $\hat{L}_y$ の固有値と固有ベクトル（$l=1$）

式 \eqref{eq:24-Lxy-l1} の $\hat{L}_y=\dfrac{\hbar}{\sqrt2\,i}\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$ を，$\dfrac1i=-i$ を使って成分で書くと，$\hat{L}_y=\dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}$ である．$\hat{L}_y$ を一般のベクトルに作用させると

となる．固有値は，$\det\bigl(l_yE-\hat{L}_y\bigr)$ から求める．$b=i\hbar/\sqrt2$ とおくと $\hat{L}_y$ の $(1,2)$，$(2,3)$ 成分は $-b$，$(2,1)$，$(3,2)$ 成分は $+b$ だから，

（第 1 行で展開した）．$b^2=-\hbar^2/2$（隣り合う成分の積 $(\hat{L}_y)_{12}(\hat{L}_y)_{21}=(-b)(b)=\hbar^2/2$ が 2 か所）だから，$\hat{L}_x$ の場合と同じく $l_y^3-\hbar^2l_y=l_y\bigl(l_y^2-\hbar^2\bigr)=0$ となり，$l_y=0,\pm\hbar$ である．

$y$ 方向の角運動量演算子に対応する正規直交基底の関数は，次のようになる．

24.6.4 $\hat{L}_z$ の固有値と固有ベクトル（$l=1$）

$\hat{L}_z=\hbar\,\mathrm{diag}(1,0,-1)$ は最初から対角行列である：

固有ベクトルは，$\hat{L}_z\alpha=\hbar\alpha$ から $\hbar\alpha_1=\hbar\alpha_1$，$0=\hbar\alpha_2$，$-\hbar\alpha_3=\hbar\alpha_3$ となり $\alpha_2=\alpha_3=0$，$\alpha=(1,0,0)^{\mathsf T}$（$\alpha_1=t=1$）．$\hat{L}_z\beta=0$ から $\hbar\beta_1=0$，$0=0$，$-\hbar\beta_3=0$（第 3 式は $\hat{L}_z$ の $(3,3)$ 成分が $-\hbar$ だから $-\hbar\beta_3=0\cdot\beta_3$）で $\beta=(0,1,0)^{\mathsf T}$．$\hat{L}_z\gamma=-\hbar\gamma$ から $\hbar\gamma_1=-\hbar\gamma_1$，$0\cdot\gamma_2=-\hbar\gamma_2$，$-\hbar\gamma_3=-\hbar\gamma_3$ で $\gamma_1=\gamma_2=0$，$\gamma=(0,0,1)^{\mathsf T}$．3 つは，$Y_1^1,Y_1^0,Y_1^{-1}$ そのものである．$\hat{L}_z$ については，基底として選んだ $Y_l^m$ が固有関数だから，最初から互いに直交している．

24.6.5 固有関数は実軌道の何か — p 軌道との対応

$\hat{L}_x$ や $\hat{L}_y$ の固有関数は，見た目は複雑だが，実数の p 軌道で書くと簡単な形になる．表24.1 の $Y_1^m$ を，デカルト座標で $\mathrm{p}_x=\sqrt{\tfrac{3}{4\pi}}\dfrac{x}{r}$，$\mathrm{p}_y=\sqrt{\tfrac{3}{4\pi}}\dfrac{y}{r}$，$\mathrm{p}_z=\sqrt{\tfrac{3}{4\pi}}\dfrac{z}{r}$ と書くと（第16章 16.6），$Y_1^1=-\dfrac{\mathrm{p}_x+i\mathrm{p}_y}{\sqrt2}$，$Y_1^0=\mathrm{p}_z$，$Y_1^{-1}=\dfrac{\mathrm{p}_x-i\mathrm{p}_y}{\sqrt2}$ である（$\sqrt{3/8\pi}=\tfrac{1}{\sqrt2}\sqrt{3/4\pi}$）．これを式 \eqref{eq:24-Lx-eigfun}，\eqref{eq:24-Ly-eigfun} に代入して整理すると，表24.2 が得られる．

たとえば $\psi_{x,0}=\dfrac{1}{\sqrt2}\bigl(Y_1^1-Y_1^{-1}\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt2}\Bigl(-\dfrac{\mathrm{p}_x+i\mathrm{p}_y}{\sqrt2}-\dfrac{\mathrm{p}_x-i\mathrm{p}_y}{\sqrt2}\Bigr)=\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot\dfrac{-2\mathrm{p}_x}{\sqrt2}=-\mathrm{p}_x$ である．この表から，次のことが読み取れる．

• $\hat{L}_z$ の固有値 $0$ の状態は $\mathrm{p}_z$，$\hat{L}_x$ の固有値 $0$ の状態は $\mathrm{p}_x$，$\hat{L}_y$ の固有値 $0$ の状態は $\mathrm{p}_y$（それぞれ全体の位相因子を除く）．実数の p 軌道 $\mathrm{p}_x,\mathrm{p}_y,\mathrm{p}_z$ は，「その軸のまわりの角運動量が 0」の状態で，軸のまわりを回っていない．
• 固有値 $\pm\hbar$ の状態は，軸に垂直な 2 つの p 軌道を $\pm i$ の位相で組み合わせたもの（たとえば $\hat{L}_z=\pm\hbar$ は $\mathrm{p}_x\pm i\mathrm{p}_y$）で，軸のまわりを $\pm$ の向きに回る（位相 $e^{\pm i\varphi}$ が軸のまわりに 1 周で $2\pi$ 回る）．
• 3 つの軸の結果は，添字を $x\to y\to z\to x$ と巡回させれば互いに移り合う（$\mathrm{p}_x,\mathrm{p}_y,\mathrm{p}_z$ が等価であることの反映）．

図24.4 の中段と下段は，上段を $90^\circ$ 回したものになっている．$\hat{L}_x$ の固有状態は，「量子化軸を $z$ から $x$ に取り替えた」状態にほかならない．ただし，1 つの状態で $\hat{L}_z$ と $\hat{L}_x$ を同時に確定させることはできない（$\comm{\hat{L}_z}{\hat{L}_x}\ne0$）．実際，どの固有ベクトルも，別の軸の固有ベクトルとは一致しない．

24.6.6 測定してどの値がどんな確率で出るか

状態 $\psi$ で $\hat{L}_x$ を測ったとき，固有値 $l_x$ が得られる確率は，$\psi$ を $\hat{L}_x$ の固有ベクトルで展開したときの係数の 2 乗 $\abs{\braket{\psi_{x,l_x}}{\psi}}^2$ である（第8章 8.3 節）．行列と列ベクトルでは，それは固有ベクトルと $\psi$ の内積の絶対値の 2 乗である．

関連シミュレーター：スピン 1/2 の場合の固有ベクトルは 行列の対角化シミュレーター ② Pauli 行列 で，球面調和関数の場合は ① 球面調和関数 で，基底の取り替えにともなって行列の非対角成分が消える様子を確かめられる．

24.7 スピン $\tfrac12$ の固有値問題 — 符号と虚数の意味

前節では $j=l=1$ の $3\times3$ 行列を扱った．最も簡単な角運動量は，$j=\tfrac12$ のスピンである．第23章で，スピン角運動量の成分は $2\times2$ 行列（24.5.4 節で $j=\tfrac12$ として式 \eqref{eq:24-Jpm-ket} から作った行列と同じもの）

で表されることを見た（第23章 23.6，23.7）．基底は $\alpha=\ket{\uparrow}=(1,0)^{\mathsf T}$（$\hat{S}_z=+\tfrac\hbar2$，上向き），$\beta=\ket{\downarrow}=(0,1)^{\mathsf T}$（$\hat{S}_z=-\tfrac\hbar2$，下向き）である．この節では，これら 3 つの行列の固有値と固有ベクトルを求める．行列が $2\times2$ なので，$l=1$ より計算はずっと簡単だが，得られる固有ベクトルの「符号」や「虚数」に，重要な意味がある．

24.7.1 $\hat{S}_x$ の固有値と固有ベクトル

$\hat{S}_x\eta=\lambda\eta$ を満たす $\lambda$ と 2 成分の列ベクトル $\eta=(a,b)^{\mathsf T}$（スピン関数．記号 $\chi$ は第VII部でスピン軌道に使うので，固有ベクトルには $\eta$ を使う）を求める．成分で書くと

$\eta\ne\bm{0}$ の条件は，係数行列の行列式が $0$ であることである（式 \eqref{eq:24-secular}）：

である（$\hat{S}_z$ の固有値と同じ値で，どの軸でも $\pm\tfrac\hbar2$ の 2 通りである）．

• [i] $\lambda=\tfrac\hbar2$：第 1 行は $-\tfrac\hbar2a+\tfrac\hbar2b=0$，すなわち $b=a$．$a=t$ とおいて $\begin{cases}a=t\\b=t\end{cases}$．規格化 $\abs{\eta}^2=2t^2=1$ より $t=1/\sqrt2$：$\ \eta_{+x}=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$．
• [ii] $\lambda=-\tfrac\hbar2$：第 1 行は $\tfrac\hbar2a+\tfrac\hbar2b=0$，すなわち $b=-a$．$\begin{cases}a=t\\b=-t\end{cases}$，$2t^2=1$ より $\eta_{-x}=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$．

24.7.2 $\hat{S}_y$ の固有値と固有ベクトル

$\hat{S}_y\psi=\lambda\psi$，$\psi=(a,b)^{\mathsf T}$．

（$(-i)(i)=-i^2=1$ より $\bigl(-\tfrac{i\hbar}2\bigr)\bigl(\tfrac{i\hbar}2\bigr)=\tfrac{\hbar^2}{4}$）．よって $\lambda=\pm\dfrac\hbar2$．

• [i] $\lambda=\tfrac\hbar2$：第 2 行は $i\tfrac\hbar2a-\tfrac\hbar2b=0$，すなわち $b=i\,a$．$\begin{cases}a=t\\b=it\end{cases}$，規格化 $\abs{a}^2+\abs{b}^2=t^2+t^2=1$ より $t=1/\sqrt2$：$\ \eta_{+y}=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$．（第 1 行は $-\tfrac\hbar2a-i\tfrac\hbar2b=-\tfrac\hbar2a-i\tfrac\hbar2\cdot ia=-\tfrac\hbar2a+\tfrac\hbar2a=0$ で整合している．）
• [ii] $\lambda=-\tfrac\hbar2$：第 2 行は $i\tfrac\hbar2a+\tfrac\hbar2b=0$，すなわち $b=-i\,a$．$\eta_{-y}=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$．

複素数の列ベクトルでは，長さの 2 乗は $\abs{a}^2+\abs{b}^2$（複素共役をとって掛ける）であることに注意する．$\abs{1}^2+\abs{i}^2=2$ だから，$1/\sqrt2$ で規格化される．

24.7.3 $\hat{S}_z$ の固有値と固有ベクトル

$\hat{S}_z\zeta=\lambda\zeta$：$\begin{pmatrix}\hbar/2-\lambda&0\\0&-\hbar/2-\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\bm{0}$．行列式 $\bigl(\tfrac\hbar2-\lambda\bigr)\bigl(-\tfrac\hbar2-\lambda\bigr)=\bigl(\lambda-\tfrac\hbar2\bigr)\bigl(\lambda+\tfrac\hbar2\bigr)=0$ より $\lambda=\pm\tfrac\hbar2$．

• [i] $\lambda=\tfrac\hbar2$：第 2 行は $-\hbar b=0$，すなわち $b=0$．規格化して $a=1$：$\ \zeta=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\alpha$．
• [ii] $\lambda=-\tfrac\hbar2$：第 1 行は $\hbar a=0$，すなわち $a=0$，$b=1$：$\ \zeta=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\beta$．

この $\alpha$，$\beta$ が，前章までの $\hat{S}_z$ の固有関数（上向き，下向き）である．結果を表にまとめる（すべて全体の位相を除く）．

24.7.4 符号と虚数の意味 — 問いに答える

「上向き」と「下向き」の 2 つの状態に，複素数の相対位相をつけて重ね合わせるだけで，$z$ 軸以外のあらゆる向きのスピンが表せる．これは，光の偏光（直線偏光 $(1,\pm1)/\sqrt2$ と円偏光 $(1,\pm i)/\sqrt2$）とまったく同じ数学である．一般の向きは 24.9 節で扱う．

24.7.5 逐次 Stern–Gerlach 実験

固有ベクトルの意味を，Stern–Gerlach 装置（第23章 23.2 節）を続けて並べた思考実験で確かめよう．$z$ 方向の不均一な磁場をかけた装置 SG$_z$ は，スピンを $\hat{S}_z$ で測って，上向き（$+\tfrac\hbar2$）のビームと下向き（$-\tfrac\hbar2$）のビームに分ける．$x$ 方向の磁場の装置 SG$_x$ は，$\hat{S}_x$ で測って $\pm\tfrac\hbar2$ に分ける．そして，各装置で一方のビームだけを取り出すことにする．

この思考実験を図24.5 に示す．

24.8 基底変換と Pauli 行列

前節で求めた $\hat{S}_x$ の固有ベクトル $\eta_{\pm x}$ は，$z$ 軸を量子化軸とする表現（$\hat{S}_z$ が対角になる表現）では，成分が $(1,\pm1)/\sqrt2$ という「斜めの」形をしていた．では，「$x$ 軸を量子化軸として，$\hat{S}_x$ が対角に見える表現」に乗り換えるには，どうすればよいか．この節では，Pauli 行列 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ を使って，基底の取り替え（基底変換）を具体的に行う．行列が「基底を選んだときの顔つき」であることを，$2\times2$ の例で体験しよう．

24.8.1 $\sigma_x$ を対角にする行列 $U$

$x$ 方向のスピンを表す Pauli 行列 $\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$（$\hat{S}_x=\tfrac\hbar2\sigma_x$）の固有値と固有ベクトルは，24.7.1 節より

である．この 2 つの固有ベクトルを列に並べた行列 $U$ を作る：

$U$ の第 1 列が $\eta_{+x}$，第 2 列が $\eta_{-x}$ である．これは，行列の対角化で「固有ベクトルを並べた行列」（大学数学 第12章 12.3）にほかならない．この $U$ の逆行列を求める．行列式は $\det U=\tfrac12\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot1\bigr)=-1$，2 次の行列 $\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ の逆行列は $\dfrac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}$ だから（余因子行列を使った公式，大学数学 第9章 9.1），

となる．$U^{-1}=U$（$U^2=E$）で，$U$ は実対称なので，$U^\dagger=U^{\mathsf T}=U$ でもある．

次に，固有ベクトルそのものを新しい基底で表す．$\eta_{+x},\eta_{-x}$ に $U$ を掛けると，

となる．これはまさに，新しい基底で表した「$x$ 方向のスピンの固有ベクトル」である．新しい表現では，$x$ 向きのスピンの固有ベクトルが，$z$ 向きのスピンで $\alpha=(1,0)^{\mathsf T}$，$\beta=(0,1)^{\mathsf T}$ が果たしていた役割を担う．表現が変わっても物理的な状態は同じで，見え方（成分）が変わっただけである．

24.8.2 一般のユニタリ基底変換

この操作を一般化しておく．基底を別の正規直交基底に取り替える行列 $U$（列が新しい基底ベクトル）はユニタリ行列，すなわち $U^\dagger U=E$（$U^{-1}=U^\dagger$）である．状態と演算子の表現は次のように変わる：

本節の $U$ は実対称で $U^{-1}=U^\dagger=U$ なので，$\psi'=U\psi$ とも書ける（上の $U\eta_{+x}$ の計算）．変換 \eqref{eq:24-basis-change} で，物理的な内容は変わらない：

• 固有値問題の保存：$A\psi=\lambda\psi$ なら，左から $U^\dagger$ を掛けて $U^\dagger A\psi=\lambda U^\dagger\psi$．$UU^\dagger=E$ を挟むと $\bigl(U^\dagger AU\bigr)\bigl(U^\dagger\psi\bigr)=\lambda\bigl(U^\dagger\psi\bigr)$，すなわち $A'\psi'=\lambda\psi'$．固有値 $\lambda$ は変わらない．
• 期待値と内積の保存：$\psi'^\dagger A'\phi'=\psi^\dagger UU^\dagger AUU^\dagger\phi=\psi^\dagger A\phi$．測定で出る確率・期待値は基底の取り方によらない．
• 交換関係の保存：$\comm{A'}{B'}=U^\dagger AUU^\dagger BU-U^\dagger BUU^\dagger AU=U^\dagger\comm{A}{B}U$．$\comm{A}{B}=i\hbar C$ なら $\comm{A'}{B'}=i\hbar C'$ である．

$A'$ が対角行列になるように $U$ を選ぶことが「対角化」である．本節の $U$ は，$\sigma_x$ を対角にする $U$ である．

24.8.3 $\sigma_y$ と $\sigma_z$ は何に変わるか

基底を取り替えると，$\sigma_x$ だけでなく $\sigma_y,\sigma_z$ の表現も変わる．新しい基底で 3 つの Pauli 行列がどうなるかを計算しておく．

24.8.4 幾何学的な意味 — $x$ 軸と $z$ 軸の入れ替え

$U^{-1}\sigma_xU=\sigma_z$，$U^{-1}\sigma_zU=\sigma_x$，$U^{-1}\sigma_yU=-\sigma_y$ という結果は，「$x$ 軸と $z$ 軸を入れ替え，$y$ 軸を裏返す」変換である（図24.6）．これは，$x$ 軸と $z$ 軸の間の $45^\circ$ の方向 $\bm{n}=(\bm{e}_x+\bm{e}_z)/\sqrt2$ の軸のまわりに空間を $180^\circ$ 回すことにほかならない．実際，$U=\dfrac{\sigma_x+\sigma_z}{\sqrt2}=\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ で，24.9 節で導く回転演算子の式で回転角を $\Theta=\pi$ とおくと $e^{-i\pi\bm{n}\cdot\bm{\sigma}/2}=-i\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}=-iU$ なので，$U$ は $\bm{n}$ のまわりの $\pi$ 回転（に位相因子 $i$ を掛けたもの）である．

関連シミュレーター：基底を取り替えて非対角成分が消える様子は 行列の対角化シミュレーター ② Pauli 行列 — 量子化軸を変える（本節と同じ内容）で動かして確かめられる．

24.9 任意の向きのスピンと Bloch 球 — 回転演算子と $4\pi$ 周期

ここまでで，スピン $\tfrac12$ の 3 つの軸 $x,y,z$ の固有ベクトルが求まった．では，$z$ 軸からも $x$ 軸からも斜めの，任意の向き $\bm{n}$ を向いたスピンの状態は，どんな 2 成分ベクトルで表されるか．答えは，状態を球面上の点として表す Bloch 球の言葉で，きれいにまとまる．そして，その球面上でスピンを回す演算子（回転演算子）を作ると，スピンには「$2\pi$ 回転すると符号が反転する」という奇妙な性質があることがわかる．

24.9.1 任意の向き $\bm{n}$ のスピンの固有ベクトル

向きを表す単位ベクトルを，天頂角 $\theta$（$z$ 軸からの角）と方位角 $\varphi$ で $\bm{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$ とする．この方向のスピン成分の演算子は $\hat{S}_n=\bm{n}\cdot\hat{\bm{S}}=\dfrac\hbar2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ で，行列は

である（右辺の $(1,2)$ 成分は $\sin\theta\cos\varphi-i\sin\theta\sin\varphi=\sin\theta\,e^{-i\varphi}$）．固有値は，$\det\bigl(\bm{n}\cdot\bm{\sigma}-\lambda E\bigr)=(\cos\theta-\lambda)(-\cos\theta-\lambda)-\sin^2\theta=\lambda^2-\cos^2\theta-\sin^2\theta=\lambda^2-1=0$ から $\lambda=\pm1$，すなわち $\hat{S}_n=\pm\dfrac\hbar2$ である．どの向きの成分を測っても，値は $\pm\tfrac\hbar2$ の 2 通りだけである（第23章の $(\bm{\sigma}\cdot\bm{n})^2=E$ と同じ結果）．

特別な場合を確かめておく．$\theta=0$（$+z$）：$(1,0)^{\mathsf T}=\alpha$．$\theta=\pi$（$-z$）：$(0,e^{i\varphi})^{\mathsf T}$．位相因子 $e^{i\varphi}$ を除いて $\beta=(0,1)^{\mathsf T}$．$\theta=\tfrac\pi2$（赤道）で $\varphi=0,\tfrac\pi2,\pi,\tfrac{3\pi}2$：$(1,e^{i\varphi})/\sqrt2=\eta_{+x},\eta_{+y},\eta_{-x},\eta_{-y}$（表24.4）．24.7 節の結果がすべて含まれる．

24.9.2 Bloch 球

スピン $\tfrac12$ の任意の状態は $a\alpha+b\beta=(a,b)^{\mathsf T}$（$\abs{a}^2+\abs{b}^2=1$）である．全体の位相因子は物理的な意味がないので，$a$ を正の実数にとると，$a=\cos\tfrac\theta2$（$0\le\theta\le\pi$），$b=e^{i\varphi}\sin\tfrac\theta2$ と書ける（$\varphi$ は $b$ の位相）．つまり，どんな状態も式 \eqref{eq:24-spinor-n} の $\ket{+\bm{n}}$ の形で，ある向き $\bm{n}$ を向いたスピンの状態である．スピンの向き $\bm{n}$ は，単位球面上の 1 点で表される．この球を Bloch（ブロッホ）球（Bloch sphere）という（図24.7）．

• 球面上の点 ⟷ 向き：状態 $\ket{+\bm{n}}$ の期待値は $\expval{\bm{\sigma}}=\bm{n}$（Bloch ベクトル）．表24.3 の最右列のとおり，$\alpha$ は $(0,0,1)$，$\eta_{+x}$ は $(1,0,0)$ である．
• 直交する状態 ⟷ 球の反対側の点：$\ket{+\bm{n}}$ と $\ket{-\bm{n}}$ は直交（$\braket{+\bm{n}}{-\bm{n}}=0$）で，球面の正反対の点に対応する．$\alpha\perp\beta$，$\eta_{+x}\perp\eta_{-x}$ である．
• 角度が半分になる：状態ベクトルの角 $\tfrac\theta2$ は，球の上の角 $\theta$ の半分である．たとえば $\alpha$ と $\beta$ は，球の上では $180^\circ$ 離れているが，状態ベクトルとしては（複素 2 次元空間で）$90^\circ$ で直交している．

2 つの状態のあいだの確率は，球面上の角だけで決まる．状態 $\ket{\psi}$ の Bloch ベクトルを $\bm{m}$ とする（$\expval{\bm{\sigma}}=\bm{m}$）．$\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値は $\pm1$ なので，$\bm{n}$ 方向で測って $+1$ が得られる確率を $P_+$，$-1$ の確率を $P_-$ とすると $\expval{\bm{n}\cdot\bm{\sigma}}=P_+-P_-=2P_+-1$．一方 $\expval{\bm{n}\cdot\bm{\sigma}}=\bm{n}\cdot\bm{m}=\cos\Omega$（$\Omega$ は $\bm{n}$ と $\bm{m}$ のなす角）だから，

である．とくに $\ket{\psi}=\alpha$（$\bm{m}=\bm{e}_z$）を，$z$ 軸から角 $\theta$ の方向 $\bm{n}$ で測ると，$\Omega=\theta$ で $P(\uparrow_{\bm{n}}\,|\,\alpha)=\cos^2\dfrac\theta2$，$P(\downarrow_{\bm{n}}\,|\,\alpha)=\sin^2\dfrac\theta2$ となる（図24.8(a)）．$\theta=0$ で $1$，$\theta=90^\circ$ で $\tfrac12$（$x$ 方向で測ると $+x$ と $-x$ が半々．24.7 節の結果），$\theta=180^\circ$ で $0$ である．

24.9.3 回転演算子と $4\pi$ 周期

スピンの向きを，軸 $\bm{n}$ のまわりに角 $\Theta$ だけ回す演算子は，角運動量が回転を生み出す演算子であることから，

と書ける（軌道角運動量では $\exp(-i\Theta\hat{L}_z/\hbar)Y_l^m=e^{-im\Theta}Y_l^m$ と同じ形）．行列の指数関数は，べき級数 $e^X=\sum_kX^k/k!$ で定義される．$(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=E$ なので，偶数次のべきは $E$，奇数次のべきは $\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ になり，$\cos$ と $\sin$ の級数にまとまる：

（$(-i)^k$ は偶数 $k=2p$ で $(-1)^p$，奇数 $k=2p+1$ で $(-1)^p(-i)$ になる．これは $\cos x=\sum(-1)^px^{2p}/(2p)!$，$\sin x=\sum(-1)^px^{2p+1}/(2p+1)!$ の級数）．よって，次の結果を得る．

$\hat{R}_z(\Theta)$ を状態 $(1,e^{i\varphi})^{\mathsf T}/\sqrt2$ に作用させると，$e^{-i\Theta/2}(1,\ e^{i(\varphi+\Theta)})^{\mathsf T}/\sqrt2$．全体の位相 $e^{-i\Theta/2}$ を除けば，相対位相が $\varphi\to\varphi+\Theta$ となる．24.7 節の結果（相対位相 ＝ 方位角）から，これはスピンの向きを $z$ 軸のまわりに角 $\Theta$ だけ回したことにほかならない．一般に，$\hat{R}_{\bm{n}}(\Theta)$ は Bloch ベクトルを $\bm{n}$ のまわりに（右ねじの向きに）角 $\Theta$ だけ回す．たとえば $y$ 軸まわりの $\pi/2$ 回転は $\hat{R}_y(\tfrac\pi2)=\dfrac{1}{\sqrt2}\bigl(E-i\sigma_y\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ で，$\alpha=(1,0)^{\mathsf T}$ に作用させると $(1,1)^{\mathsf T}/\sqrt2=\eta_{+x}$ になる（$z$ 向きが $x$ 向きに回る）．

関連シミュレーター：スピノルの符号と $4\pi$ 周期，中性子干渉計の強度 $I=\cos^2(\theta/4)$ は リー群シミュレーター ② SU(2) と SO(3) で動かして確かめられる．

24.9.4 磁場中の電子スピン — Larmor 歳差

回転演算子は，磁場中のスピンの時間発展そのものである．電子スピンの磁気モーメントは $\hat{\bm{\mu}}=-g_s\mu_{\mathrm B}\hat{\bm{S}}/\hbar$（第23章）で，磁場 $\bm{B}=B\,\bm{n}$ の中でのエネルギーは $\hat{H}=-\hat{\bm{\mu}}\cdot\bm{B}=\dfrac{g_s\mu_{\mathrm B}B}{\hbar}\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{S}}=\dfrac{\hbar\omega_{\mathrm L}}{2}\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ である．ここで

とおいた．時間発展演算子は $e^{-i\hat{H}t/\hbar}=\exp\!\bigl(-\tfrac{i\omega_{\mathrm L}t}{2}\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}\bigr)=\hat{R}_{\bm{n}}(\omega_{\mathrm L}t)$ で，式 \eqref{eq:24-Rdef} で $\Theta=\omega_{\mathrm L}t$ とした回転演算子である．すなわち，スピンは磁場の向きの軸のまわりを角速度 $\omega_{\mathrm L}$ で歳差運動する．これを Larmor 歳差（Larmor precession），$\omega_{\mathrm L}$ を Larmor 角振動数という．周波数は $\nu_{\mathrm L}=\omega_{\mathrm L}/2\pi=g_s\mu_{\mathrm B}B/h$ で，$g_s=2.0023$，$\mu_{\mathrm B}/h=13.996\ \mathrm{GHz/T}$ から，約 $28.02\ \mathrm{GHz/T}$ である．これは第23章の ESR の共鳴周波数（$\hbar\omega_{\mathrm L}$ が Zeeman 分裂の大きさ）と同じものである．また，$2\pi/\omega_{\mathrm L}$ の時間で状態が $-1$ 倍になり，$4\pi/\omega_{\mathrm L}$ で元に戻る．

24.10 まとめと演習

24.10.1 まとめ

• 昇降演算子：$\hat{L}_\pm=\hat{L}_x\pm i\hat{L}_y$（$\hat{L}_+^\dagger=\hat{L}_-$）．交換関係 $\comm{\hat{L}_z}{\hat{L}_\pm}=\pm\hbar\hat{L}_\pm$，$\comm{\hat{L}_+}{\hat{L}_-}=2\hbar\hat{L}_z$ から，$\hat{L}_\pm$ は $\hat{L}_z$ の固有値を $\pm\hbar$ だけ動かす（$m\to m\pm1$）．$\comm{\hat{L}^2}{\hat{L}_\pm}=0$ なので $l$ は変わらない．$\hat{L}^2=\hat{L}_-\hat{L}_++\hat{L}_z^2+\hbar\hat{L}_z=\hat{L}_+\hat{L}_-+\hat{L}_z^2-\hbar\hat{L}_z$．
• 極座標形：$\hat{L}_+=\hbar e^{i\varphi}(\partial_\theta+i\cot\theta\,\partial_\varphi)$，$\hat{L}_-=\hbar e^{-i\varphi}(-\partial_\theta+i\cot\theta\,\partial_\varphi)$．直交座標では $\hat{L}_+=\hbar\{z(\partial_x+i\partial_y)-(x+iy)\partial_z\}$．
• 球面調和関数への作用：$\hat{L}_\pm Y_l^m=\hbar\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}\,Y_l^{m\pm1}$（係数は正の実数．Condon–Shortley 位相の意味）．$m=l$ で $\hat{L}_+$，$m=-l$ で $\hat{L}_-$ が $0$．
• 一般論：交換関係だけから $j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots$，$m=-j,\dots,j$（$2j+1$ 個），$\hat{J}_\pm\ket{j,m}=\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1}$．軌道では $e^{im\varphi}$ の一価性から整数のみ，スピンでは半整数も可．$\ket{j,m}$ で $\expval{\hat{J}_x}=\expval{\hat{J}_y}=0$，$\expval{\hat{J}_x^2}=\expval{\hat{J}_y^2}=[j(j+1)-m^2]\hbar^2/2$，$\ket{j,\pm j}$ は最小不確定性状態．
• 行列表示：$Y_l^m$（$m=l,\dots,-l$）を基底に，$\hat{L}^2=l(l+1)\hbar^2E_{2l+1}$，$\hat{L}_z=\hbar\,\mathrm{diag}(l,\dots,-l)$，$\hat{L}_+$ は対角線の 1 つ上に $\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}$（$l=1$：$\sqrt2,\sqrt2$；$l=2$：$2,\sqrt6,\sqrt6,2$），$\hat{L}_-=\hat{L}_+^\dagger$．$\hat{L}_x=(\hat{L}_++\hat{L}_-)/2$，$\hat{L}_y=(\hat{L}_+-\hat{L}_-)/2i$．$\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=l(l+1)\hbar^2E$ と交換関係は行列でも成り立つ．
• 固有値と固有ベクトル（$l=1$）：$\det(A-\lambda E)=0$ から $\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z$ ともに $0,\pm\hbar$．$\hat{L}_x$：$(\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac12)$，$(\tfrac1{\sqrt2},0,-\tfrac1{\sqrt2})$，$(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}2,-\tfrac12)$．$\hat{L}_y$：$(\tfrac12,\tfrac{i}{\sqrt2},-\tfrac12)$，$(\tfrac1{\sqrt2},0,\tfrac1{\sqrt2})$，$(\tfrac12,-\tfrac{i}{\sqrt2},-\tfrac12)$．固有値 $0$ の固有関数は $\mathrm{p}_x,\mathrm{p}_y,\mathrm{p}_z$，$\pm\hbar$ は軸に垂直な 2 つの p 軌道の $\pm i$ 結合．$\mathrm{p}_z$ で $\hat{L}_x$ を測ると $\pm\hbar$ が $\tfrac12$ ずつ．
• スピン $\tfrac12$：$\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z$ の固有値は $\pm\tfrac\hbar2$，固有ベクトルは $(1,\pm1)^{\mathsf T}/\sqrt2$，$(1,\pm i)^{\mathsf T}/\sqrt2$，$(1,0)^{\mathsf T}$，$(0,1)^{\mathsf T}$．成分は確率振幅で，打ち消し合うのではない．相対位相 $\varphi$ がスピンの方位角を表す（$e^{i\varphi}=1,i,-1,-i$ が $+x,+y,-x,-y$）．逐次 Stern–Gerlach（$z\to x\to z$）で強度 $I_0/8$，途中を外すと $0$．
• 基底変換：$U=(1,1;1,-1)/\sqrt2$ で $U^{-1}\sigma_xU=\sigma_z$，$U^{-1}\sigma_zU=\sigma_x$，$U^{-1}\sigma_yU=-\sigma_y$，$U\eta_{\pm x}=(1,0)^{\mathsf T},(0,1)^{\mathsf T}$．一般のユニタリ $U$ で $A'=U^\dagger AU$，$\psi'=U^\dagger\psi$．固有値・期待値・交換関係は不変．
• 任意の向きと Bloch 球：$\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値は $\pm1$，固有ベクトルは $(\cos\tfrac\theta2,\,e^{i\varphi}\sin\tfrac\theta2)^{\mathsf T}$．状態は Bloch 球面上の点．$P=\cos^2(\Omega/2)$．回転演算子 $\hat{R}_{\bm{n}}(\Theta)=\cos\tfrac\Theta2\,E-i\sin\tfrac\Theta2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$，$\hat{R}(2\pi)=-E$，$4\pi$ 周期．中性子干渉計 $I/I_0=\cos^2(\Theta/4)$．Larmor 歳差 $\omega_{\mathrm L}=g_s\mu_{\mathrm B}B/\hbar$．

関連シミュレーター：リー群 ② SU(2) と SO(3)，③ 既約表現と多重項，行列の対角化 ① 球面調和関数，② Pauli 行列．次章では，軌道の $\hat{\bm{L}}$ とスピンの $\hat{\bm{S}}$ を合わせた $\hat{\bm{J}}=\hat{\bm{L}}+\hat{\bm{S}}$ に，この章の一般論を適用する．

24.10.2 演習問題

24.10.3 参考文献