第60章光子とフォノン — 場の量子化と粒子数が変わる過程

60.1 結合振動子から基準モードへ — 格子振動の量子化とフォノン

第56章で解いた調和振動子は，1 個の質点がばねにつながれた系だった．結晶の中の原子は，まわりの原子とのあいだに働く力で平衡の位置に束縛されているので，小さな変位の範囲では，1 個 1 個が調和振動子に似ている．しかし，原子は孤立していない．ある原子が動けば，隣の原子との間隔が変わり，その原子にも力がはたらく．つまり，$N$ 個の調和振動子が互いにばねでつながっている．この状況を，もっとも簡単な形——一直線に並んだ原子の鎖——で調べよう．

60.1.1 原子の鎖の運動方程式

エネルギーは，運動エネルギーと，隣どうしのばねに蓄えられるエネルギーの和である：

ばねの伸びは $u_{n+1}-u_n$ なので，後半はばね 1 本あたり $\tfrac12K(\text{伸び})^2$ を足したものである．原子 $n$ には，右のばね（伸びが $u_{n+1}-u_n$ なら右向きに $K(u_{n+1}-u_n)$ の力）と左のばね（伸びが $u_n-u_{n-1}$ なら左向きに $K(u_n-u_{n-1})$ の力）がはたらくから，運動方程式は

である．$n=0,1,\dots,N-1$ の $N$ 本の式が，$u_{n\pm1}$ を通して互いにからみ合っている．これを解くために，$a\to0$ の極限で弦の波動方程式になる（大学数学 第43章 43.2）ことを思い出し，波の形の解 $u_n=A\,e^{i(kna-\omega t)}$ を試そう．位置 $x=na$ での平面波 $e^{i(kx-\omega t)}$ を，原子の位置でだけ評価したものである．

周期境界条件 $u_{n+N}=u_n$ は，$e^{ikNa}=1$ を要求する．よって波数 $k$ はとびとびの値

に限られる．さらに，$k$ と $k+2\pi/a$ は，原子の位置 $x=na$ では $e^{i(2\pi/a)na}=e^{2\pi in}=1$ となって区別がつかない（波長が原子の間隔より短い波は，格子の上では，もっと長い波と同じ変位を与える）．そこで，独立な $k$ は $-\pi/a\lt k\le\pi/a$（第 1 Brillouin ゾーン）の $N$ 個だけで，$N$ 個の原子の運動の自由度の数 $N$ と一致する．

分散関係 \eqref{eq:60-disp} の形を見ておこう（図60.2(a)）．長波長（$ka\ll1$）では $\sin(ka/2)\approx ka/2$ だから，

と $\omega$ が $k$ に比例し，$v$ は音の速さである（連続体の弦の波と同じ．AD 03 53.7 の固体の格子振動の音速）．ところが $k$ が大きくなると，曲線は直線から離れて平らになり，ゾーンの端 $k=\pi/a$ で最大値 $\omega_{\max}=2\sqrt{K/M}$ をとる．群速度 $\dd\omega/\dd k=a\sqrt{K/M}\cos(ka/2)$ は端で $0$ になり，その波は進まない定在波である（図60.1(c)）．波長が原子の間隔の 2 倍（$2a$）より短い波は存在しないので，振動数に上限がある．これは連続体の弦にはなかった，原子が離散的に並んでいることの効果である．なお，電子の波に対するバンド $E(k)=\alpha+2\beta\cos ka$（第41章 41.2 節）も，同じ格子の上の波なので，$k$ の周期性とゾーン端での平らな形は共通である．

60.1.2 基準座標 — 結合した振動子が独立な振動子になる

式 \eqref{eq:60-chain-eom} の解 $e^{i(kna-\omega t)}$ は，$N$ 個の原子がある決まった位相関係で一斉に振動する運動で，基準モード（normal mode）とよばれる（図60.1）．一般の運動は，これらのモードの重ね合わせである．この事実を，エネルギーの式 \eqref{eq:60-chain-H} が「独立な調和振動子の和」に書き直せることとして，きちんと確かめよう．座標と運動量の Fourier 変換（基準座標と，それに共役な運動量）を

で定義する（$k$ は式 \eqref{eq:60-k} の $N$ 個の値）．逆変換は

である．これらが逆変換になっているのは，離散的な直交関係

による（等比級数の和の公式．大学数学 第28章 28.3）．$u_n$ は実数だから，\eqref{eq:60-QP} から $Q_{-k}=Q_k^*$，同様に $P_{-k}=P_k^*$ である．

式 \eqref{eq:60-Hk} は，質量 $M$，角振動数 $\omega_k$ の調和振動子のエネルギー $\dfrac{p^2}{2M}+\dfrac12M\omega^2q^2$ を，$k$ ごとに足したものである．$k$ と $-k$ の 2 つのモードは，$Q_{-k}=Q_k^*$ なので，実数の座標 2 個（$Q_k$ の実部と虚部．進行波 $e^{ikna}$ を，定在波 $\cos kna$ と $\sin kna$ に分けたもの）に対応する．結合していた $N$ 個の原子の運動は，互いに独立な $N$ 個の調和振動子に分解された．これが，「場の量子化」の第 1 歩である．

60.1.3 量子化 — フォノンの生成・消滅演算子

古典的には独立な調和振動子になったのだから，量子化は第56章の繰り返しである．原子の変位 $u_n$ と運動量 $p_n$ を演算子 $\hat{u}_n$，$\hat{p}_n$ に格上げし，正準交換関係

を要求する．基準座標の演算子を式 \eqref{eq:60-QP} と同じ形 $\hat{Q}_k=N^{-1/2}\sum_n\hat{u}_ne^{-ikna}$，$\hat{P}_k=N^{-1/2}\sum_n\hat{p}_ne^{-ikna}$ で定義すると，式 \eqref{eq:60-orth} から，$\hat{Q}_k$ と $\hat{P}_{k'}$ の交換関係が

と決まる（$k$ は $2\pi/a$ の整数倍を除いて決まるので，$\delta_{k,-k'}$ は $k\equiv-k'\ (\mathrm{mod}\ 2\pi/a)$ の意味である．ゾーン端 $k=\pi/a$ では $-k\equiv k$ なので，$\hat{Q}_{\pi/a}$ は実の（エルミートな）演算子になる）．$\hat{Q}_k^\dagger=\hat{Q}_{-k}$，$\hat{P}_k^\dagger=\hat{P}_{-k}$ なので，同じことは $\comm{\hat{Q}_k}{\hat{P}_{k'}^\dagger}=i\hbar\,\delta_{kk'}$ とも書ける．つまり $k$ ごとに，$\hat{Q}_k$ と $\hat{P}_k^\dagger$ が正準共役の対になる．ハミルトニアンは，式 \eqref{eq:60-Hk} の $\abs{P_k}^2=P_k^\dagger P_k$ などを演算子に置き換えて $\hat{H}=\sum_k\left[\hat{P}_k^\dagger\hat{P}_k/2M+\tfrac12M\omega_k^2\hat{Q}_k^\dagger\hat{Q}_k\right]$ である．

ここで，$\omega_k=0$ の $k=0$ のモードだけは別扱いにする．$\hat{P}_0=N^{-1/2}\sum_n\hat{p}_n$ は鎖全体の運動量（の $1/\sqrt N$ 倍）で，$k=0$ の項は復元力をもたない重心の運動エネルギー $\hat{P}_0^\dagger\hat{P}_0/2M$ だけである（図60.1(a)）．これは振動ではないので，以下では $k\ne0$ の $N-1$ 個のモードだけを考える（$N$ を偶数とすると，これは $\pm k$ の対 $(N-2)/2$ 組と，実の座標 1 個のゾーン端 $k=\pi/a$ からなる．実の自由度の数は $2\times(N-2)/2+1=N-1$ である）．$k\ne0$ に対して，第56章の $\hat{a}=\sqrt{m\omega/2\hbar}\,(\hat{x}+i\hat{p}/m\omega)$ と同じ形の演算子を定義する：

式 \eqref{eq:60-Hph} は，各 $k$ について第56章の $\hat{H}=\hbar\omega(\hat{N}+\tfrac12)$ そのものである．数演算子 $\hat{N}_k=\hat{a}_k^\dagger\hat{a}_k$ の固有値 $n_k=0,1,2,\dots$ が，モード $k$ の量子の個数である．これがフォノンである．状態は占有数の組 $\ket{\{n_k\}}=\prod_k\dfrac{(\hat{a}_k^\dagger)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}\ket{0}$（第57章．ここの $\ket{0}$ は「どのモードにもフォノンがいない真空」）で，エネルギーは $E=\sum_k\hbar\omega_k(n_k+\tfrac12)$ である．

式 \eqref{eq:60-u} の右側の項 $\hat{a}_k^\dagger e^{-ikna}$ は，左側の項 $\hat{a}_ke^{ikna}$ のエルミート共役（hermitian conjugate．h.c. と略記する）である．$\hat{u}_n$ がエルミート演算子なので，和の中には必ずこの組が現れる．式 \eqref{eq:60-u} の変位の展開を見ると，$\hat{a}_k$ の係数は $1/\sqrt{\omega_k}$ に比例する．ばねが柔らかい（$\omega_k$ が小さい）モードほど，同じ量子数でも大きく動く．また，$1/\sqrt N$ があるので，1 個のフォノンによる原子 1 個あたりの変位は，結晶が大きいほど小さい．

60.1.4 零点振動と熱振動 — 原子はどれだけ揺れているか

式 \eqref{eq:60-u} を使うと，原子 1 個の変位の 2 乗平均 $\expval{u_n^2}$ が計算できる．$\hat{u}_n^2$ を展開すると，$\hat{a}_k\hat{a}_{k'}$ や $\hat{a}_k^\dagger\hat{a}_{k'}$（$k\ne k'$）の項が出るが，熱平衡の状態や $\ket{\{n_k\}}$ では，異なるモードの演算子の積の期待値は $0$ になる（各モードが独立に占有されている）ので，残るのは同じモードの組だけで

である（$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ と，$2\bar{n}+1=\dfrac{e^{x}+1}{e^{x}-1}=\coth\dfrac{x}{2}$，$x=\hbar\omega/k_{\mathrm B}T$ を使った）．右辺の $\tfrac12$ に当たる $\bar{n}_k=0$ の部分が零点振動で，絶対零度でも原子が揺れ続けることを表す．これは，第13章 13.5 節で見た調和振動子の零点エネルギーと不確定性原理（原子を格子点に閉じ込めると運動量が $0$ にならない）の帰結である．全モードの振動数をひとつの値 $\omega_{\mathrm E}$ で置き換える Einstein 模型（AD 03 第51章 51.2）では，$k$ の和が $N$ 個の等しい項になり

となる．$T\to0$ では $\coth\to1$ で零点振動の値 $\hbar/2M\omega_{\mathrm E}$，高温では $\coth(x/2)\to2/x$ で $\expval{u^2}\to k_{\mathrm B}T/M\omega_{\mathrm E}^2$（古典的な等分配．ばねのエネルギー $\tfrac12M\omega_{\mathrm E}^2\expval{u^2}=\tfrac12k_{\mathrm B}T$）になる．

60.1.5 フォノンの数は保存しない

調和近似（ばねのエネルギーを $u$ の 2 次式としたこと）では，各モードは互いに独立で，$\hat{H}$ は各 $\hat{N}_k$ と交換する：$\comm{\hat{H}}{\hat{N}_k}=0$．フォノンは，生まれも消えもせず，互いにすり抜ける．しかし，実際のばねは完全な Hooke 則に従わない．原子が近づけば強く反発し，遠ざかれば弱くなるので，ポテンシャルには $u$ の 3 次以上の項（非調和項）がある．たとえば，$\hat{H}_3=\kappa_3\sum_n(\hat{u}_{n+1}-\hat{u}_n)^3$ は，式 \eqref{eq:60-u} を代入すると，$\hat{a}_{k_1}^\dagger\hat{a}_{k_2}^\dagger\hat{a}_{k_3}$ のような，フォノンを 1 個消して 2 個つくる（あるいは 2 個消して 1 個つくる）項を含む．エネルギーと結晶運動量が保存される範囲（$\omega_{k_3}=\omega_{k_1}+\omega_{k_2}$，$k_3=k_1+k_2$ または $k_1+k_2+2\pi m/a$）でだけ起こる．すなわち，非調和項がある系では，フォノンの数そのものは保存しない．これは，熱膨張（温度が上がるとフォノンが増え，非調和項のために原子間距離の平均が伸びる）と熱伝導（調和近似のフォノンは互いに散乱せず，熱の流れは減衰しない．非調和項があっても，結晶運動量を保存する通常の衝突だけでは，熱の流れは減らない．熱抵抗を作るのは，結晶運動量が逆格子ベクトルの分だけ変わる Umklapp 過程と，不純物・欠陥・表面による散乱である）の起源である．

数が保存しない，つまり $\hat{N}_k$ と交換しない項があるからこそ，「フォノンが出たり消えたりする」現象が起きる．60.5 節では，電子がフォノンを出す過程と，光の散乱でフォノンが生まれる過程を調べる．次の節では，もう 1 つの代表的な Bose 粒子，光子の場合を調べよう．

60.2 電磁場の量子化 — 光子と真空の揺らぎ

電磁場も，1 次元の原子鎖と同じ構造をもつ．空間の各点の電場と磁場の値は，無限個の変数である．しかし，平面波のモードに分解すると，各モードは互いに独立な調和振動子になる．光子は，そのモードの量子である．この節では，古典電磁気学の結果（AD 03 第42章 42.3，42.5）から出発する．

60.2.1 箱の中の電磁場のモード展開

電荷も電流もない真空を考える．第52章でも使った Coulomb ゲージ（スカラーポテンシャル $0$，$\nabla\cdot\bm{A}=0$）を選ぶと，電場と磁束密度はベクトルポテンシャル $\bm{A}(\bm{r},t)$ から

と決まり，$\bm{A}$ は波動方程式 $\nabla^2\bm{A}-c^{-2}\partial_t^2\bm{A}=0$ を満たす．空間を，1 辺 $L$，体積 $V=L^3$ の箱に区切り，周期境界条件（格子振動と同じ）を課すと，波数ベクトルは $\bm{k}=\dfrac{2\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)$（$n_x,n_y,n_z$ は整数）の離散的な値をとる．各 $\bm{k}$ について，角振動数は $\omega_{\bm{k}}=c\abs{\bm{k}}$ である．$\nabla\cdot\bm{A}=0$ は，平面波 $e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}$ では $\bm{k}\cdot\bm{e}=0$ を意味する．つまり，電磁波は横波で，$\bm{A}$ の向き（偏光ベクトル $\bm{e}$）は $\bm{k}$ に垂直な 2 方向のどちらかである．$\bm{k}$ に垂直な 2 つの実の単位ベクトル $\bm{e}_{\bm{k}1},\bm{e}_{\bm{k}2}$（互いに直交）を選び，偏光の番号を $\lambda=1,2$ とする．一般の解は，モード $(\bm{k},\lambda)$ の重ね合わせで

と書ける（c.c. は複素共役．$\bm{A}$ が実数であるために加える）．$A_{\bm{k}\lambda}$ は複素数の振幅で，この和は，すべての $\bm{k}$（$\bm{k}$ と $-\bm{k}$ を別々に数える）とすべての $\lambda$ にわたる．式 \eqref{eq:60-EBA} から，各項の寄与は

である（$\nabla\to i\bm{k}$，$-\partial_t\to i\omega$）．この展開から，電磁場のエネルギー $H=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\displaystyle\int\left(\bm{E}^2+c^2\bm{B}^2\right)\dd^3r$（AD 03 42.5）を計算しよう．

式 \eqref{eq:60-Hcl} は，モード $(\bm{k},\lambda)$ ごとの和で，$A_{\bm{k}\lambda}(t)=A_{\bm{k}\lambda}\,e^{-i\omega t}$ の大きさ $\abs{A_{\bm{k}\lambda}}$ は時間によらない．これを調和振動子と読むには，複素振幅 $A_{\bm{k}\lambda}$ の実部と虚部を座標と運動量とみなせばよい．エネルギー $2\varepsilon_0V\omega^2\abs{A}^2$ を，調和振動子の形 $\tfrac12(p^2+\omega^2q^2)$ に合わせたいので，係数を $2\sqrt{\varepsilon_0V}$ とおく：

とおくと，$A_{\bm{k}\lambda}\,e^{-i\omega t}$ の時間変化から $\dot{q}=p$ となり（実部 $\Real(Ae^{-i\omega t})$ の時間微分が $\omega\Imag(Ae^{-i\omega t})$），エネルギーは $H_{\bm{k}\lambda}=2\varepsilon_0V\omega^2\abs{A}^2=\dfrac12\left(p^2+\omega^2q^2\right)$ となる．これは，質量 $1$，角振動数 $\omega_{\bm{k}}$ の調和振動子のエネルギーである（$q$ の次元は $\sqrt{\mathrm{kg}}\,\mathrm{m}$）．こうして，電磁場は，$(\bm{k},\lambda)$ で番号づけられた独立な調和振動子の集まりになった．空間の各点の $\bm{E},\bm{B}$ という無限個の変数が，モードごとの振動子の 2 つずつの変数 $(q,p)$ で置き換わったのである．

60.2.2 量子化 — 光子の生成・消滅演算子

あとは第56章の量子化を，各モードに適用するだけである．各モードは，エネルギー $\hbar\omega$ の量子（光子）を入れるバケツと思ってよい（図60.3）．$q_{\bm{k}\lambda}$，$p_{\bm{k}\lambda}$ を演算子とし，$\comm{\hat{q}}{\hat{p}}=i\hbar$ とおき，$\hat{a}=\dfrac{\omega\hat{q}+i\hat{p}}{\sqrt{2\hbar\omega}}$（質量 $1$ の振動子の $\hat{a}=\sqrt{m\omega/2\hbar}\,(\hat{x}+i\hat{p}/m\omega)$）を定義する．逆に $\omega q+ip=2\sqrt{\varepsilon_0V}\,\omega A$ だから，$A_{\bm{k}\lambda}=\dfrac{\omega q+ip}{2\omega\sqrt{\varepsilon_0V}}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2\varepsilon_0V\omega}}\,\hat{a}$ である．すなわち，振幅 $A_{\bm{k}\lambda}$ を $\sqrt{\hbar/2\varepsilon_0V\omega_{\bm{k}}}\;\hat{a}_{\bm{k}\lambda}$ に置き換え，c.c. を $\hat{a}_{\bm{k}\lambda}^\dagger$ に置き換える．あとで求める真空の電場の大きさを先に言っておくと，体積 $1\ \mathrm{\mu m^3}$ の箱の波長 $500\ \mathrm{nm}$ のモードで，約 $1.5\times10^{5}\ \mathrm{V/m}$ と意外に大きい（例題60.4）．

式 \eqref{eq:60-Eop} の電場は，式 \eqref{eq:60-Aop} を $-\partial_t$ で微分したものである（式 \eqref{eq:60-EBexp} の $i\omega$ が，$\sqrt{\hbar/2\varepsilon_0V\omega}\times i\omega=i\sqrt{\hbar\omega/2\varepsilon_0V}$ になった）．時間依存 $e^{-i\omega t}$ は，Heisenberg 表示（第50章 50.3 節）での $\hat{a}(t)=\hat{a}\,e^{-i\omega t}$ で，第56章の $\hat{x}(t)$ と同じである．式 \eqref{eq:60-Hphoton} は，古典の計算（導出）と同じ手順を，演算子の順序を保って行うと，$\hat{H}=\sum\dfrac{\hbar\omega}{2}(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^\dagger)$ となり，$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ で得られる．$\bm{k}$ と $-\bm{k}$ の交差項が消えることは，古典の場合と同じ理由で成り立つ．

（$\hat{\bm{E}}\times\hat{\bm{B}}$ の計算は，エネルギーの場合と同様に，$\bm{k}$ の同じモードどうしの積だけが残る．古典の場合は，$\bm{E}\times\bm{B}$ に式 \eqref{eq:60-EBexp} を代入して $2\varepsilon_0V\omega\abs{A}^2\,\bm{k}$ を得る（$\bm{e}\times(\bm{k}\times\bm{e})=\bm{k}$ を使う）．これは，$\abs{a}^2=2\varepsilon_0V\omega\abs{A}^2/\hbar$ を光子の個数に当たる量として $\hbar\bm{k}\,\abs{a}^2$ と書ける．）

多数のモードをまとめて扱うときは，$\bm{k}$ の和を積分に置き換える．$\bm{k}$ は 1 辺 $2\pi/L$ の立方体に 1 個ずつ並ぶから，$\sum_{\bm{k}}\to V\displaystyle\int\dfrac{\dd^3k}{(2\pi)^3}$ である．偏光 2 つを含めた角振動数が $\omega\sim\omega+\dd\omega$ の間にあるモードの数は，$2\times V\dfrac{4\pi k^2\dd k}{(2\pi)^3}$（$k=\omega/c$）$=\dfrac{V\omega^2}{\pi^2c^3}\dd\omega$ である（AD 03 53.2 の空洞内のモードの数え上げと同じ．たとえば $V=1\ \mathrm{\mu m^3}$ では，波長 $500\ \mathrm{nm}$ の近く，波長の幅 $1\ \mathrm{nm}$ の範囲に，モードは約 $0.4$ 個しかない）．

60.2.3 真空の揺らぎ — 光子が 1 個もいなくても電場は揺れている

真空 $\ket{0}$（すべてのモードの光子数が $0$ の状態．$\hat{a}_{\bm{k}\lambda}\ket{0}=0$）の電場を調べよう．簡単のために，1 つのモード $(\bm{k},\lambda)$ だけに注目し，場所を決めて（位相 $\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t=\vartheta$），式 \eqref{eq:60-Eop} の 1 つのモードの項を

と書く（偏光の向きの成分）．真空では，$\hat{a}\ket{0}=0$ と $\bra{0}\hat{a}^\dagger=0$ から，$\expval{\hat{E}}=\mel{0}{\hat{E}}{0}=0$ である．しかし 2 乗の期待値は

である（括弧の 2 乗は $\hat{a}^2e^{2i\vartheta}-\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}+(\hat{a}^\dagger)^2e^{-2i\vartheta}$ で，真空では $\hat{a}^2$，$(\hat{a}^\dagger)^2$，$\hat{a}^\dagger\hat{a}$ の期待値が $0$ になり，$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ から $\mel{0}{\hat{a}\hat{a}^\dagger}{0}=1$ である．$(i)^2=-1$ と $-\hat{a}\hat{a}^\dagger$ の符号が打ち消し合って $+E_{\mathrm{vac}}^2$ が残る）．つまり，真空でも電場は平均が $0$ で，2 乗平均が $E_{\mathrm{vac}}^2$ の揺らぎをもつ．これは，調和振動子の基底状態で $\expval{x}=0$ だが $\expval{x^2}=\hbar/2m\omega\ne0$ であること（第13章，第56章）の，電磁場での現れである．

光子が $n$ 個あるときは，$\mel{n}{\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a}}{n}=2n+1$ なので $\expval{\hat{E}^2}=E_{\mathrm{vac}}^2(2n+1)$ となる．熱平衡では $n\to\bar{n}$ で $E_{\mathrm{vac}}^2(2\bar{n}+1)$，振幅 $\alpha$ のコヒーレント状態では $\expval{\hat{E}}=-2E_{\mathrm{vac}}\Imag(\alpha e^{i\vartheta})$ すなわち振幅 $E_0=2E_{\mathrm{vac}}\abs{\alpha}$ の古典的な波になる．後者から，古典的な振幅 $E_0$ の単色の波の光子数は $\abs{\alpha}^2=E_0^2/4E_{\mathrm{vac}}^2=\varepsilon_0VE_0^2/2\hbar\omega$ で，エネルギー $\hbar\omega\abs{\alpha}^2=\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V$ は，古典電磁気学の平均エネルギー密度 $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ に体積 $V$ をかけたものと一致する．

60.2.4 発展：零点エネルギーが力を生む — Casimir 効果

式 \eqref{eq:60-Hphoton} の零点エネルギー $\sum_{\bm{k}\lambda}\tfrac12\hbar\omega_{\bm{k}}$ は，モードの数が無限にあるので，そのままでは発散する．高い振動数のモードまで足せば，何桁でも大きくなる．たとえば，波長 $500\ \mathrm{nm}$ より長い波長（波数 $k_{\mathrm c}=2\pi/500\ \mathrm{nm}$ より小さい波数）のモードだけを足しても，真空のエネルギー密度は，状態の数え上げ（60.2.2 節の $V\omega^2\dd\omega/\pi^2c^3$）から $\displaystyle\int_0^{k_{\mathrm c}}\frac{\hbar ck}{2}\cdot\frac{k^2}{\pi^2}\dd k=\frac{\hbar c\,k_{\mathrm c}^4}{8\pi^2}\approx10\ \mathrm{J/m^3}$ にもなる（$1\ \mathrm{L}$ あたり $0.01\ \mathrm{J}$）．しかし，私たちの日常では，エネルギーは基準（真空）からの差だけが意味をもち，一様な零点エネルギーは，何の効果も示さない．

ところが，零点エネルギーが，場所によって違うと，その差が力になる．真空中に，2 枚の理想的な導体の平らな板を，間隔 $\ell$ で平行に置く．導体の表面では電場の平行成分が $0$ なので，板の間の電磁場のモードは，波数ベクトルの板に垂直な成分が $k_z=n\pi/\ell$（$n=0,1,2,\dots$．ただし $n=0$ は偏光が 1 つだけ）の値に限られる．外側の真空には制限がない．板の間と外側で，零点エネルギーの和が違い，その差（発散の部分は打ち消し合い，有限の値が残る）が板を引き寄せる．Casimir（カジミール）が 1948 年に導いた結果を，導出を省いて引用する：

式 \eqref{eq:60-Casimir} の導出では，発散する和を，板の間と外側で差をとりながら正則化する必要がある（正則化の方法によらず有限の値が決まる）．ここでは，詳細は量子場の理論の教科書にゆずる．力は $\hbar c$ に比例し，古典論では $\hbar\to0$ で消えるので，純粋に量子的な力である．この力は，1997 年に Lamoreaux が，球面（曲率半径の大きいレンズ）と平板のあいだの力として，間隔 $0.6$〜$6\ \mathrm{\mu m}$ の範囲で，理論と約 $5\ \%$ の精度で測定した（球面と平板の配置では，力の大きさを与える式が平行板の式 \eqref{eq:60-Casimir} と係数の違う形になり，測定値は球と板の配置に換算した理論値と比べる）．

この節で，電磁場も「無限個の調和振動子」であることを見た．光子の数 $n_{\bm{k}\lambda}$ が，空洞の電磁場の状態を指定する．次の節では，これらのモードに平均して光子が何個いるかを調べる．

60.3 光子とフォノンの統計 — 熱平衡・コヒーレント・Fock

フォノンも光子も，モードごとに調和振動子の量子だから，温度 $T$ の熱平衡にある結晶や空洞では，各モードに平均して何個かの量子がいる．この節では，モードごとの平均個数 $\bar{n}$ を導き，Planck の放射式を「1 モードの個数 $\times$ モードの数」として組み立て直し，さらに光の状態には，同じ平均個数でも熱，コヒーレント，Fock という 3 つの顔があることを比べる．

60.3.1 熱平衡の個数分布と分散 — 化学ポテンシャルが $0$ の Bose 分布

温度 $T$ の熱平衡で，モード（角振動数 $\omega$）に $n$ 個の量子が入っている確率は，Boltzmann 因子 $e^{-E_n/k_{\mathrm B}T}$（$E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$．零点エネルギーは共通因子）に比例する．第56章 56.7 節で求めたように，$x=e^{-\hbar\omega/k_{\mathrm B}T}$（$0\lt x\lt1$）として

である（幾何分布）．平均の個数と分散は，$Z$ から作る方法で，まとめて求まる．$\bar{n}=\sum_nnP(n)=\dfrac{1}{Z}x\dfrac{\dd Z}{\dd x}$ で，$Z=1/(1-x)$ より $\dfrac{\dd Z}{\dd x}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$ だから

である．分散は，$D=x\,\dd/\dd x$ とおくと $\bar{n}=Z^{-1}DZ$，$\expval{n^2}=Z^{-1}D^2Z$ だから，$\expval{n^2}-\bar{n}^2=Z^{-1}D^2Z-\left(Z^{-1}DZ\right)^2=D\left(Z^{-1}DZ\right)=D\bar{n}=x\dfrac{\dd\bar{n}}{\dd x}$ となる（$D(Z^{-1}DZ)=Z^{-1}D^2Z-Z^{-2}(DZ)^2$ を使った）．$\bar{n}=x/(1-x)$ を微分して $x\dfrac{\dd\bar{n}}{\dd x}=x\cdot\dfrac{1}{(1-x)^2}=\dfrac{x}{1-x}\cdot\dfrac{1}{1-x}$，$\dfrac{1}{1-x}=\bar{n}+1$ より

である．分散は，$\bar{n}$ が大きいと平均のほぼ 2 乗（標準偏差が平均程度）になる．$\bar{n}$ の項は，量子がばらばらの粒子として入っているときの揺らぎ（Poisson 分布．後出のコヒーレント状態），$\bar{n}^2$ の項は，たくさんの波が干渉する波動的な揺らぎである．Einstein は 1909 年に，黒体放射のエネルギーの揺らぎがこの 2 つの項をもつことを示し，光が粒子と波の両方の性質をもつことを主張した．

60.3.2 Planck の公式を組み立て直す

空洞を満たす熱放射のエネルギー密度は，「角振動数 $\omega$ のモードの 1 個あたりの平均エネルギー $\hbar\omega\,\bar{n}(\omega)$」に，単位体積・単位角振動数あたりのモードの数 $\dfrac{\omega^2}{\pi^2c^3}$（偏光 2 つを含む．60.2.2 節）をかけたものである：

これが Planck の放射式である．Planck が 1900 年に，空洞の壁の振動子のエネルギーを $\hbar\omega$ の整数倍と仮定して導いた平均エネルギー $\hbar\omega/(e^{\hbar\omega/k_{\mathrm B}T}-1)$（AD 02 第49章 49.4，本書第3章 3.4 節）は，現在では「モードに入っている光子の平均の個数 $\bar{n}$ に，1 個のエネルギー $\hbar\omega$ をかけたもの」と読める．モードの数の数え上げは，AD 02 49.5 と AD 03 53.2 で行ったものと同じである．零点エネルギーの項は，足すと発散するうえ，温度によらないので，熱放射のスペクトルには現れない．

式 \eqref{eq:60-planck} の 2 つの極限は，$\bar{n}$ の 2 つの極限に対応する（図60.4(b)）．

• $\hbar\omega\ll k_{\mathrm B}T$：$\bar{n}\approx\dfrac{k_{\mathrm B}T}{\hbar\omega}-\tfrac12$ で，1 モードあたりのエネルギー $\hbar\omega\bar{n}\approx k_{\mathrm B}T$（古典的な等分配）．$u(\omega)\approx\dfrac{\omega^2k_{\mathrm B}T}{\pi^2c^3}$（Rayleigh–Jeans）．光子がモードにたくさんいて，古典的な波として扱える領域．
• $\hbar\omega\gg k_{\mathrm B}T$：$\bar{n}\approx e^{-\hbar\omega/k_{\mathrm B}T}\ll1$ で，$u(\omega)\approx\dfrac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}e^{-\hbar\omega/k_{\mathrm B}T}$（Wien）．モードには光子が 1 個入っているかどうかという，粒子的な領域．

全エネルギー密度は $\displaystyle\int_0^\infty u(\omega)\dd\omega=\dfrac{\pi^2k_{\mathrm B}^4T^4}{15\hbar^3c^3}=\dfrac{4\sigma_{\mathrm{SB}}}{c}T^4$（Stefan–Boltzmann の法則．AD 03 53.5）で，$300\ \mathrm{K}$ では $6.1\times10^{-6}\ \mathrm{J/m^3}$，光子数の密度は $\dfrac{2\zeta(3)}{\pi^2}\left(\dfrac{k_{\mathrm B}T}{\hbar c}\right)^3=5.5\times10^{14}\ \mathrm{m^{-3}}$（$2.725\ \mathrm{K}$ の宇宙マイクロ波背景放射では $4.1\times10^{8}\ \mathrm{m^{-3}}$，つまり $1\ \mathrm{cm^3}$ あたり約 $410$ 個）である．

この分解は，第52章の Einstein の論法とも結びつく．式 \eqref{eq:60-planck} で $\bar{n}=1$ とおいた放射密度 $u_1(\omega)=\hbar\omega^3/\pi^2c^3$ が，Einstein の係数の比 $A_{21}/B_{21}$ である（第52章 52.5.2 節）．すなわち，$A_{21}=B_{21}u_1(\omega)$：自然放出は，各モードに光子が 1 個ずついるときの誘導放出と同じ速さである．この「$1$」の量子力学的な意味を，60.4 節で明らかにする．

関連シミュレーター：Planck の公式（温度と光の色）．導出の解説はPlanck の公式はどこから来るのか．

60.3.3 光子数の分布の 3 つの顔 — 熱・コヒーレント・Fock

同じ平均の光子数でも，光の状態の種類によって，光子の個数の分布（$n$ 個の光子が見つかる確率 $P(n)$）は大きく違う．1 つのモードの代表的な 3 つの状態を比べよう（図60.4(a)）．

• 熱（thermal）状態：熱平衡にある光（太陽，電球，蛍光灯の 1 つのモード）．$P(n)=\dfrac{\bar{n}^n}{(1+\bar{n})^{n+1}}$（幾何分布，式 \eqref{eq:60-thermalP}）．$n=0$ が最も確率が高く，単調に減る．分散 $\bar{n}+\bar{n}^2$．
• コヒーレント（coherent）状態 $\ket{\alpha}$：理想的なレーザー光（第56章 56.6 節）．$P(n)=e^{-\abs{\alpha}^2}\dfrac{\abs{\alpha}^{2n}}{n!}$（Poisson 分布，$\bar{n}=\abs{\alpha}^2$）．分散 $=\bar{n}$．
• Fock（光子数）状態 $\ket{n_0}$：光子が厳密に $n_0$ 個の状態（単一光子源の $n_0=1$ など）．$P(n)=\delta_{n,n_0}$．分散 $=0$．

3 つの状態の違いは，分散だけでなく，2 つの光子が同時に見つかる確率 $g^{(2)}(0)=\dfrac{\expval{n(n-1)}}{\bar{n}^2}$ にも表れる．熱状態では $\expval{n(n-1)}=2\bar{n}^2$ で $g^{(2)}(0)=2$，コヒーレント状態では $\expval{n(n-1)}=\abs{\alpha}^4$ で $1$（Poisson 分布に共通），Fock 状態 $\ket{n_0}$ では $n_0(n_0-1)/n_0^2=1-1/n_0$ である．

熱状態の光は，光子が時間的に「群がって」届く（bunching）．Hanbury Brown と Twiss が 1956 年に，熱光源の光を 2 つの検出器で受けて，強度の揺らぎに正の相関があることを示したのは，この効果（$g^{(2)}(0)=2$）である（彼らはこの方法で星の大きさも測った）．レーザー光は，光子がばらばらに，互いに無関係に届く．単一光子源からは，2 個の光子が同時に出ることがなく，$g^{(2)}(0)\lt1$ となる．光子 1 個を数える実験で，光源の種類を見分けられる．

フォノンについても，同じ 3 つの分類が成り立つ．結晶の熱平衡（熱状態）では $\bar{n}$ が式 \eqref{eq:60-nbar-th}，超短パルス光で駆動した格子振動（コヒーレントフォノン）はコヒーレント状態である（60.6 節）．次の節では，光子の数を変える原子を登場させる．

60.4 光と物質の相互作用 — 二準位原子と 1 つの光子モード

第52章では，光を古典的な電磁波として，原子が光を吸収・誘導放出する速さを計算し，自然放出の速さは Einstein の熱平衡の論法から決めた．光を量子化した今，原子と光子の間でのエネルギーのやりとりを，1 つのハミルトニアンで書ける．まず，もっとも簡単な場合——原子の 2 つの準位と，電磁場の 1 つのモード——を，厳密に解こう．

60.4.1 電気双極子相互作用と Jaynes–Cummings 模型

原子と電磁場の相互作用は，第52章の電気双極子近似で，原子の電気双極子モーメント演算子 $\hat{\bm{d}}$（電子では $\hat{\bm{d}}=-e_0\hat{\bm{r}}$）と，原子の位置での電場 $\hat{\bm{E}}$ の結合 $\hat{H}_{\mathrm{int}}=-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}$ である（光の波長が原子の大きさよりずっと長いので $e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}\approx1$）．今は，$\hat{\bm{E}}$ を式 \eqref{eq:60-Eop} の量子化された場の演算子とする．

原子は 2 つの準位だけをもつとする：基底状態 $\ket{\mathrm{g}}$（エネルギー $-\tfrac12\hbar\omega_0$）と励起状態 $\ket{\mathrm{e}}$（$+\tfrac12\hbar\omega_0$）．遷移の角振動数 $\omega_0$ である．$\sigma_z$，$\sigma_\pm$ に当たる演算子を

と定義する（Pauli 行列と同じ代数．$\hat{\sigma}_+$ が原子を励起，$\hat{\sigma}_-$ が脱励起）．原子だけのエネルギーは $\hat{H}_{\mathrm A}=\tfrac12\hbar\omega_0\hat{\sigma}_z$ である．原子の固有状態は定まったパリティをもち，双極子演算子 $\hat{\bm{d}}$ は奇パリティだから，対角成分 $\mel{\mathrm{e}}{\hat{\bm{d}}}{\mathrm{e}}=\mel{\mathrm{g}}{\hat{\bm{d}}}{\mathrm{g}}=0$ で，$\mel{\mathrm{e}}{\hat{\bm{d}}}{\mathrm{g}}$ だけが残る（第52章 52.4 節の選択則）．光の偏光方向への成分を $d=\mel{\mathrm{e}}{\bm{e}\cdot\hat{\bm{d}}}{\mathrm{g}}$ とし，$\ket{\mathrm{e}}$ の位相を選んで $d$ を実数にする．すると，$\bm{e}\cdot\hat{\bm{d}}=d\,(\hat{\sigma}_++\hat{\sigma}_-)$ となる．

電磁場は 1 つのモード（角振動数 $\omega$，光子の演算子 $\hat{a}$）だけを考える（高い $Q$ 値の共振器がこのモードだけを閉じ込める）．位相を選び直して（$\hat{a}$ に位相因子をかけて），原子の位置での電場を $\hat{E}=E_{\mathrm{vac}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$，$E_{\mathrm{vac}}=\sqrt{\hbar\omega/2\varepsilon_0V}$（式 \eqref{eq:60-Evac}）と書く（定在波の共振器では，原子の位置での電場の大きさは，モード関数の値で決まる．ここでは進行波の大きさ $E_{\mathrm{vac}}$ をそのまま用いた目安である）．すると

である．$g$（角振動数の次元）は，原子と真空の電場の結合の強さである（次元の確認：$d\,E_{\mathrm{vac}}$ は $\mathrm{C\,m}\times\mathrm{V/m}=\mathrm{C\,V}=\mathrm{J}$ だから，$g=dE_{\mathrm{vac}}/\hbar$ は $\mathrm{J/(J\,s)}=\mathrm{s^{-1}}$）．展開すると 4 つの項が出る．$\hat{\sigma}_+\hat{a}$（光子を 1 個吸収して原子が励起される）と $\hat{\sigma}_-\hat{a}^\dagger$（原子が脱励起して光子を 1 個出す）は，エネルギー保存にかなった「共鳴的な」項である．残りの $\hat{\sigma}_+\hat{a}^\dagger$（原子が励起して，光子も増える）と $\hat{\sigma}_-\hat{a}$ は，エネルギーが $\hbar(\omega_0+\omega)$ 程度も合わない項で，相互作用表示（第50章）では，$\hat{\sigma}_+(t)=\hat{\sigma}_+e^{i\omega_0t}$，$\hat{a}(t)=\hat{a}\,e^{-i\omega t}$ なので，$\hat{\sigma}_+\hat{a}$ は $e^{i(\omega_0-\omega)t}$（共鳴の近くではゆっくり変わる），$\hat{\sigma}_+\hat{a}^\dagger$ は $e^{i(\omega_0+\omega)t}$（速く振動する）となり，速い項は平均すると消える．そこで，これらを落とす回転波近似（rotating-wave approximation）を行う．$g\ll\omega$ で共鳴の近く（$\abs{\omega_0-\omega}\ll\omega$）なら，非常によい近似である（60.4.3 節の数値では $g/\omega\sim10^{-6}$）．

$\hat{\sigma}_+\hat{a}$ と $\hat{\sigma}_-\hat{a}^\dagger$ は，光子の数と原子の励起の数を合わせた「励起の総数」$\hat{N}_{\mathrm{ex}}=\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{\sigma}_+\hat{\sigma}_-$ を変えない（片方を 1 つ増やして，もう片方を 1 つ減らす）．実際，$\comm{\hat{a}^\dagger\hat{a}}{\hat{\sigma}_+\hat{a}}=-\hat{\sigma}_+\hat{a}$，$\comm{\hat{\sigma}_+\hat{\sigma}_-}{\hat{\sigma}_+\hat{a}}=+\hat{\sigma}_+\hat{a}$ より $\comm{\hat{N}_{\mathrm{ex}}}{\hat{H}_{\mathrm{JC}}}=0$ である．したがって，$\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ は $\hat{N}_{\mathrm{ex}}$ の値ごとの小さな部分空間に分かれる．$\hat{N}_{\mathrm{ex}}=n+1$ の部分空間は，$\{\ket{\mathrm{e},n},\ket{\mathrm{g},n+1}\}$ の 2 つの状態で張られる（原子が励起して光子が $n$ 個か，原子が基底状態で光子が $n+1$ 個か）．$\hat{N}_{\mathrm{ex}}=0$ は $\ket{\mathrm{g},0}$ だけで，これは結合の影響を受けない．

60.4.2 $2\times2$ の問題 — 行列要素 $\hbar g\sqrt{n+1}$

$\{\ket{\mathrm{e},n},\ket{\mathrm{g},n+1}\}$ での $\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ の行列を求めよう．対角成分は $\mel{\mathrm{e},n}{\hat{H}_{\mathrm{JC}}}{\mathrm{e},n}=\tfrac12\hbar\omega_0+n\hbar\omega$，$\mel{\mathrm{g},n+1}{\hat{H}_{\mathrm{JC}}}{\mathrm{g},n+1}=-\tfrac12\hbar\omega_0+(n+1)\hbar\omega$．非対角成分は，$\hat{a}\ket{n+1}=\sqrt{n+1}\ket{n}$（第56章の定理56.2）から

である（$\hat{\sigma}_-\hat{a}^\dagger$ の項は $\ket{\mathrm{e},n}$ から $\ket{\mathrm{g},n+1}$ への行列要素を与えない）．離調 $\Delta=\omega_0-\omega$ を使って，行列は次のようになる．

2 次の対称行列の固有値問題だから，固有値は $\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega\pm\dfrac{\hbar}{2}\sqrt{\Delta^2+4g^2(n+1)}$ である（対角成分の差 $\hbar\Delta$ と非対角成分 $-\hbar g\sqrt{n+1}$ の 2 乗の和の平方根）．共鳴（$\Delta=0$）では，行列は $-\hbar g\sqrt{n+1}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ だけが残り，固有値と固有ベクトルは次のようになる．

結合がないときは，$\ket{\mathrm{e},n}$ と $\ket{\mathrm{g},n+1}$ は同じエネルギーで縮退していた（原子が励起して光子が $n$ 個のときと，原子が基底状態で光子が 1 個多いときのエネルギーが，共鳴では等しい）．縮退した 2 状態の間に非対角成分があると，縮退が解けて，和と差の組み合わせ（「原子と光子が混ざった状態」．ドレスト状態）になる．これは，2 つの等しい振り子をばねでつなぐと，同位相の振動と逆位相の振動に分かれること，あるいは水素分子イオンの結合性・反結合性軌道（第39章）と同じ構造である．分裂の大きさ $2\hbar g\sqrt{n+1}$ が，光子の数の平方根で増えることが特徴である．

$n=0$ の分裂 $2\hbar g$ は，光子が 1 個もない真空の中でも起こる．励起状態の原子が，真空の電場と結合して，$\ket{\pm,0}$ の 2 つのドレスト状態に分かれたものである．これが真空 Rabi 分裂で，分光で観測すると，2 本の線に分かれたスペクトルとして現れる（共振器の損失より $g$ が大きいときに見える．1990 年代の共振器 QED の実験と，半導体微小共振器の励起子–光子結合で観測された）．

60.4.3 Rabi 振動と，光子数の分布による collapse と revival

共鳴で，原子が励起状態，光子が $n$ 個の状態 $\ket{\mathrm{e},n}$ から出発する．$\ket{\mathrm{e},n}=(\ket{+,n}+\ket{-,n})/\sqrt2$ だから，時間発展は，2 つの固有状態に位相因子 $e^{-iE_{\pm,n}t/\hbar}$ をかけて

である（$\ket{+,n}$ と $\ket{-,n}$ の位相因子 $e^{\mp ig\sqrt{n+1}t}$ を足し引きすると，$\cos$ と $i\sin$ が出る）．原子が励起状態にいる確率は

で，Rabi 角振動数 $\Omega_n=2g\sqrt{n+1}$ で，原子が励起状態と基底状態の間を往復する．原子が光子を出して基底状態になり（$\ket{\mathrm{g},n+1}$），それを再び吸収して励起状態に戻る．これを量子 Rabi 振動という（第51章 51.3 節の Rabi 振動の量子版）．$n=0$ のときの $P_{\mathrm e}(t)=\cos^2(gt)$ は，光子が 1 個もない空洞の中で，励起状態の原子が光子を 1 個出して（自然放出），それを再び吸収することをくり返す真空 Rabi 振動で，周期は $\pi/g$ である（図60.6(a)）．

初めの光がコヒーレント状態のとき — collapse と revival．

初めの状態が $\ket{\mathrm{e}}\otimes\ket{\alpha}$（原子が励起状態，光がコヒーレント状態 $\ket{\alpha}$．光子数の分布は平均 $\bar{n}=\abs{\alpha}^2$ の Poisson 分布）のとき，光子数 $n$ の成分 $P(n)=e^{-\bar{n}}\bar{n}^n/n!$ が，それぞれの Rabi 角振動数 $\Omega_n=2g\sqrt{n+1}$ で独立に振動する．観測される励起確率は，その重ね合わせ

である．時刻 $0$ では，すべての $n$ の成分が位相 $0$ でそろっているので $P_{\mathrm e}=1$ である．$\bar{n}$ が大きいと，$P(n)$ は $n\approx\bar{n}\pm\sqrt{\bar{n}}$ に集中するので，Rabi 角振動数は $2g\sqrt{\bar{n}}$ のまわりに，幅 $2g\times\dfrac{\sqrt{\bar{n}}}{2\sqrt{\bar{n}}}=g$ 程度（$\sqrt{n+1}$ の $n$ による変化 $\dd\sqrt{n}/\dd n=1/2\sqrt{n}$ に，幅 $\sqrt{\bar{n}}$ をかけた）にばらつく．このため，時間 $t_{\mathrm{c}}\sim1/g$ のうちに，成分の位相がばらばらになり，和が打ち消し合って，振動が消えて $P_{\mathrm e}\approx\tfrac12$ に落ち着く（collapse）．

ところが，これで終わりではない．$\sqrt{n+1}$ は $n$ に対して離散的にしか変わらない（光子の数は整数）ので，隣り合う $n$ の Rabi 角振動数の差は $\Omega_{n+1}-\Omega_n\approx g/\sqrt{\bar{n}}$ で，ほぼ等間隔である．時刻 $t$ に，隣り合う成分の位相差 $(\Omega_{n+1}-\Omega_n)t$ が $2\pi$ になると，すべての成分の位相が再びそろう．この時刻は

で，そこで振動が復活する（revival）．これは $\bar{n}\gg1$ の近似である（隣り合う $n$ の Rabi 角振動数の差を $n=\bar{n}$ の近くで評価した）．$\sqrt{n+1}$ の $+1$ まで入れると，山の中心は $t_{\mathrm{rev}}\approx2\pi\sqrt{\bar{n}+1}/g$ の近くにくる．$\bar{n}=25$ では，式 \eqref{eq:60-trev} が $31.4/g$ なのに対し，和 \eqref{eq:60-Pe-coh} を数値で評価した最初の山の中心は $32.0/g$ で，差は約 $2\ \%$ である．復活した山は，その後だんだん低く広がりながら，2 倍，3 倍の時刻にも現れる（図60.6(b)）．collapse と revival は，光子の数が離散的であること（電磁場の量子化）の直接の帰結である．collapse は Cummings が 1965 年に示し，revival は Eberly，Narozhny，Sanchez-Mondragon が 1980 年に予言した．Rempe，Walther，Klein が 1987 年に，Rydberg 原子とマイクロ波共振器を使った 1 原子メーザーで観測した．光を古典的な場とする第51章の半古典論では，Rabi 振動はいつまでも減衰せず，collapse と revival は現れない．

60.4.4 吸収は $\sqrt{n}$，放出は $\sqrt{n+1}$ — 自然放出と誘導放出の量子力学的な起源

共鳴的な 2 つの項 $\hat{\sigma}_+\hat{a}$ と $\hat{\sigma}_-\hat{a}^\dagger$ の行列要素を，光子の個数の言葉で整理しよう．光子がモードに $n$ 個あるとき，

遷移の速さ（黄金律では行列要素の 2 乗に比例する．第51章）は，吸収が $n$，放出が $n+1$ に比例する．放出の $n+1$ は，$n$（誘導放出）$+\,1$（自然放出）と分けて読める．

• 誘導放出（$\propto n$）：すでにモードにいる光子の数に比例する放出．吸収の速さ（$\propto n$）と同じ係数なので，$B_{12}=B_{21}$（縮退がないとき）という Einstein の関係が，行列要素 $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ の対称性として出てくる．放出された光子は，すでにいる光子と同じモード（同じ向き，同じ偏光，同じ位相）に入る．これは Bose 粒子の性質 $\hat{a}^\dagger\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}$（同じ状態に入るほど入りやすい．第57章の Bose 増幅）で，レーザーの原理である．
• 自然放出（$n$ によらない $1$）：光子が 1 個もいない真空（$n=0$）でも起こる放出．古典電磁気学では，電磁場が $0$ のところにある原子は，何も感じないので，励起状態に居続ける．しかし，量子化された電磁場は，真空でも $E_{\mathrm{vac}}$ の揺らぎをもち（60.2.3 節），これが励起状態の原子に作用して光を出させる．自然放出は，真空の揺らぎによる誘導放出である．

Einstein は 1917 年に，熱平衡の論法で自然放出の係数 $A$ を導入した（第52章 52.5 節）が，なぜ自然放出が起こるのか，その速さは何か，は決められなかった．Dirac は 1927 年に，電磁場を量子化し，それを調和振動子の集まりとして原子と結合させることで，自然放出の速さを第一原理から導いた．これが，量子化された場の理論の最初の成果である．

60.4.5 自然放出率 $A$ の導出 — 量子化した電磁場から

真空の中の，励起状態 $\ket{\mathrm{e}}$ の原子が，光子を 1 個出して基底状態 $\ket{\mathrm{g}}$ になる速さを，Fermi の黄金律（第51章 51.2 節）で求めよう．今度は，1 つのモードではなく，自由空間のすべてのモード $(\bm{k},\lambda)$ を考える．始状態は $\ket{\mathrm{e}}\otimes\ket{0}$（光子なし），終状態は $\ket{\mathrm{g}}\otimes\ket{1_{\bm{k}\lambda}}$（モード $(\bm{k},\lambda)$ に光子が 1 個）で，終状態は連続的に分布している．

次元を確かめよう．$\omega_0^3\abs{\bm{d}}^2$ は $\mathrm{s^{-3}}\cdot\mathrm{C^2m^2}$，分母の $\varepsilon_0\hbar c^3$ は $\mathrm{C^2J^{-1}m^{-1}}\cdot\mathrm{J\,s}\cdot\mathrm{m^3s^{-3}}=\mathrm{C^2m^2s^{-2}}$（$\varepsilon_0$ の単位は $\mathrm{F/m}=\mathrm{C^2J^{-1}m^{-1}}$）だから，比は $\mathrm{s^{-1}}$ で，確かに率の次元である．

式 \eqref{eq:60-A} は，第52章の式（52.5.3 節の公式52.4）$A_{21}=\omega^3\abs{\bm{d}_{12}}^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3$ と完全に一致する．第52章では，Einstein の熱平衡の論法で $A_{21}=(\hbar\omega^3/\pi^2c^3)B_{21}$ を与え，黄金律で計算した $B_{21}=\pi\abs{\bm{d}_{12}}^2/3\varepsilon_0\hbar^2$ を掛けて求めた．今回は，熱平衡の論法を使わずに，電磁場の零点揺らぎだけから同じ結果を得た．また，第52章 52.5.3 節のイメージ「自然放出は，各モードに光子が 1 個ずついるときの誘導放出と同じ速さ」は，放出の速さ $n+1$ のうち，誘導放出の部分 $n$ と自然放出の部分 $1$ が，$n=1$ で等しくなることに対応する（$A=B_{21}u_1(\omega)$）．

60.5 粒子数が変わる過程 — 吸収・発光・フォノン放出・Raman 散乱

光子とフォノンの数が変わる現象を，これまでに学んだ演算子の言葉で整理しよう．電子の生成・消滅演算子 $\hat{c}^\dagger$，$\hat{c}$（第57章，第58章）と，光子の $\hat{a}^\dagger$，$\hat{a}$，フォノンの $\hat{b}^\dagger$，$\hat{b}$ を 1 つの項に掛け合わせると，「電子がどう動き，光子やフォノンが何個増減するか」がそのまま項の形に書かれる．

60.5.1 半導体の光の吸収と発光 — 電子・正孔対の生成と消滅

第52章では，電子と光の結合を，最小結合から出た $\hat{H}_1=(e_0/m_{\mathrm e})\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$ で表した．今度は，$\bm{A}$ を量子化された場 $\hat{\bm{A}}$（式 \eqref{eq:60-Aop}）にする．$\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$ は電子の 1 体演算子だから，第58章の $\sum\mel{i}{t}{j}\hat{c}_i^\dagger\hat{c}_j$ の形に直す．半導体の電子の状態を，価電子帯（$\mathrm{v}$）と伝導帯（$\mathrm{c}$）の Bloch 状態 $\ket{\mathrm{v},\bm{k}}$，$\ket{\mathrm{c},\bm{k}}$ で表し（第59章 59.4 節），価電子帯から伝導帯への遷移だけを取り出すと

となる．結合定数は，第52章の速度ゲージの式から $\mathcal{M}_{\bm{q}\lambda}=\dfrac{e_0}{m_{\mathrm e}}\sqrt{\dfrac{\hbar}{2\varepsilon_0V\omega_{\bm{q}}}}\,\mel{\mathrm{c}}{\bm{e}_{\bm{q}\lambda}\cdot\hat{\bm{p}}}{\mathrm{v}}$（右の行列要素は，バンド間の運動量の行列要素）で，$\sigma$ はスピンである．エネルギーが合わない項（$\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm v}^\dagger\hat{c}_{\mathrm c}$ など）は回転波近似で落とした．

• 吸収 $\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm c}^\dagger\hat{c}_{\mathrm v}$：光子を 1 個消し，価電子帯の電子を 1 個消して（価電子帯に正孔が 1 個できる），伝導帯に電子を 1 個つくる．つまり光子 $-1$，電子・正孔対 $+1$（図60.7(a)）．第59章では，価電子帯の電子の消滅 $\hat{c}_{\mathrm v,\bm{k}}$ を，正孔の生成 $\hat{h}_{-\bm{k},-\sigma}^\dagger$ と読めることを学んだ（$\hat{h}$ は正孔の演算子．Planck 定数ではない）．この読み方を使うと，吸収は $\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm c,\bm{k}+\bm{q}}^\dagger\hat{h}_{-\bm{k},-\sigma}^\dagger$，すなわち電子と正孔を同時に 1 個ずつつくる項である．
• 発光 $\hat{a}^\dagger\hat{c}_{\mathrm v}^\dagger\hat{c}_{\mathrm c}$：伝導帯の電子が価電子帯の空席（正孔）に落ちて，電子・正孔対が消え，光子が 1 個生まれる．光子 $+1$，電子・正孔対 $-1$（図60.7(b)）．発光ダイオード（LED）で光る過程は，この項の自然放出の部分（60.4.4 節の $n+1$ の $1$）である．すでに光子がたくさんいるモード（$n\gg1$）では，誘導放出の部分（$n$）が支配して，半導体レーザーになる（第53章）．

黄金律（第51章）では，遷移の速さは，行列要素の 2 乗と，エネルギー保存の $\delta$ 関数 $\delta\left(E_{\mathrm c}(\bm{k})-E_{\mathrm v}(\bm{k})-\hbar\omega\right)$ で決まる．光の波数 $\abs{\bm{q}}=2\pi/\lambda\sim10^7\ \mathrm{m^{-1}}$ は，Brillouin ゾーンの大きさ（$\sim10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}$）よりはるかに小さいので，遷移はほぼ同じ $\bm{k}$ の価電子帯から伝導帯へ「垂直に」起こる（$\bm{q}\approx0$．結晶運動量の保存）．したがって，吸収と発光のエネルギーは，バンドギャップ $E_{\mathrm g}$ 程度になる：$\hbar\omega\approx E_{\mathrm g}$（第53章 53.4 節の直接遷移）．

60.5.2 電子とフォノンの相互作用 — 電子がフォノンを出し入れする

結晶の中を動く電子は，格子の原子のつくる電位 $V(\bm{r}-\bm{R}_n)$ を感じている．原子が平衡の位置 $\bm{R}_n$ から $\bm{u}_n$ だけずれると，電位は $V(\bm{r}-\bm{R}_n-\bm{u}_n)\approx V(\bm{r}-\bm{R}_n)-\bm{u}_n\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)$ と変わる．第 2 項が電子と格子振動の結合 $\delta\hat{H}=-\sum_n\hat{\bm{u}}_n\cdot\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)$ である．これを第二量子化の形 $\sum\mel{\bm{k}'}{\delta h}{\bm{k}}\,\hat{c}_{\bm{k}'}^\dagger\hat{c}_{\bm{k}}$（第58章）に直そう．$\hat{\bm{u}}_n$ には，式 \eqref{eq:60-u} の展開（3 次元の各分枝について同じ形）$\hat{\bm{u}}_n=\sum_{\bm{q}}\bm{u}_{\bm{q}}\left(\hat{b}_{\bm{q}}\,e^{i\bm{q}\cdot\bm{R}_n}+\hat{b}_{\bm{q}}^\dagger\,e^{-i\bm{q}\cdot\bm{R}_n}\right)$ を代入する（$\bm{u}_{\bm{q}}=\sqrt{\hbar/2NM\omega_{\bm{q}}}\,\bm{e}_{\bm{q}}$，$\bm{e}_{\bm{q}}$ は偏極ベクトル．分枝の添字は省いた）．電子の Bloch 状態 $\ket{\bm{k}}$ は，格子ベクトル $\bm{R}_n$ だけずらすと位相 $e^{i\bm{k}\cdot\bm{R}_n}$ がかかるので，$\mel{\bm{k}'}{\nabla V(\bm{r}-\bm{R}_n)}{\bm{k}}=e^{i(\bm{k}-\bm{k}')\cdot\bm{R}_n}\,\bm{v}_{\bm{k}'\bm{k}}$ と書ける（$\bm{v}_{\bm{k}'\bm{k}}$ は原子 1 個の電位の勾配の行列要素で，$n$ によらない）．すると $n$ の和は $\sum_ne^{\pm i\bm{q}\cdot\bm{R}_n}e^{i(\bm{k}-\bm{k}')\cdot\bm{R}_n}$ で，式 \eqref{eq:60-orth} と同じ理由で，$\bm{k}'=\bm{k}\pm\bm{q}$（逆格子ベクトルの違いを除く）のときだけ $N$ になり，ほかは $0$ になる．つまり，$\hat{b}_{\bm{q}}$ には $\bm{k}'=\bm{k}+\bm{q}$ の散乱が，$\hat{b}_{\bm{q}}^\dagger$ には $\bm{k}'=\bm{k}-\bm{q}$ の散乱が付く．後者で $\bm{q}\to-\bm{q}$ と読み替えると，$\hat{b}_{-\bm{q}}^\dagger$ に $\bm{k}'=\bm{k}+\bm{q}$ が付くので，次の形の項が得られる．

$\mathcal{M}_{\bm{q}}$ は結合定数で，式 \eqref{eq:60-u} の零点振幅の係数 $\sqrt{\hbar/2NM\omega_{\bm{q}}}$ に，電子がイオンの変位から受ける力の行列要素 $\bm{v}_{\bm{k}+\bm{q},\bm{k}}\cdot\bm{e}_{\bm{q}}$（符号を除く）がかかったものである（音響フォノンでは $\mathcal{M}_{\bm{q}}\propto\sqrt{q}$，極性結晶の LO フォノンでは $\mathcal{M}_{\bm{q}}\propto1/q$ になる）．$\hat{c}_{\bm{k}+\bm{q}}^\dagger\hat{c}_{\bm{k}}$ は，電子の波数が $\bm{k}$ から $\bm{k}+\bm{q}$ に散乱されること，つまり第58章の密度演算子 $\hat{\rho}_{\bm{q}}$ の一部である．この電子の散乱が，フォノンの演算子を伴う．

• $\hat{b}_{\bm{q}}$（フォノン $\bm{q}$ を 1 個消す）：電子が，運動量 $\hbar\bm{q}$ のフォノンを吸収して，$\bm{k}\to\bm{k}+\bm{q}$．
• $\hat{b}_{-\bm{q}}^\dagger$（フォノン $-\bm{q}$ を 1 個つくる）：電子が，運動量 $-\hbar\bm{q}$ のフォノンを放出して，$\bm{k}\to\bm{k}+\bm{q}$（運動量保存 $\bm{k}=(\bm{k}+\bm{q})+(-\bm{q})$．図60.7(c)）．

この項は，電子の数を変えない（$\hat{c}^\dagger\hat{c}$ の形）が，フォノンの数を 1 個変える．遷移の速さは，黄金律により，吸収が $n_{\bm{q}}$，放出が $n_{\bm{q}}+1$ に比例する（表60.3 と同じ構造）．温度が絶対零度（$n_{\bm{q}}=0$）でも，エネルギーが足りていれば電子はフォノンを放出できる（自然放出に対応する $+1$）が，吸収はできない．エネルギー保存 $\varepsilon_{\bm{k}+\bm{q}}=\varepsilon_{\bm{k}}\pm\hbar\omega_{\bm{q}}$ と運動量保存（波数の差が $\bm{q}$）が，同時に成り立つ過程だけが起こる．

60.5.3 Raman 散乱 — Stokes は $\sqrt{n+1}$，anti-Stokes は $\sqrt{n}$

物質に単色の光（角振動数 $\omega_{\mathrm L}$）を当てると，ほとんどの光は同じ振動数で散乱される（Rayleigh 散乱）が，ごく一部は，振動数がわずかにずれた光になる．このずれが，物質の格子振動や分子の振動の振動数 $\Omega_{\mathrm v}$ に等しい．これが Raman 散乱で，1928 年に Raman と Krishnan が発見した（Raman は 1930 年にノーベル物理学賞を受賞）．量子力学的には，光子が 1 個散乱されるとき，格子振動の量子（フォノン）が 1 個増減する過程である．

• Stokes 散乱：フォノンを 1 個つくり，光子のエネルギーがその分だけ減る：$\hbar\omega_{\mathrm S}=\hbar\omega_{\mathrm L}-\hbar\Omega_{\mathrm v}$．
• anti-Stokes 散乱：すでにあるフォノンを 1 個消し，光子のエネルギーがその分だけ増える：$\hbar\omega_{\mathrm{aS}}=\hbar\omega_{\mathrm L}+\hbar\Omega_{\mathrm v}$．

この散乱は，電子の分極率が原子の位置によって変わることから起こる．フォノンのモードの変位を $\hat{X}=X_{\mathrm{zp}}(\hat{b}+\hat{b}^\dagger)$（$X_{\mathrm{zp}}=\sqrt{\hbar/2M\Omega_{\mathrm v}}$．式 \eqref{eq:60-u} と同じ形）とし，分極率を $\alpha_{\mathrm p}(\hat{X})=\alpha_{\mathrm p0}+\alpha_{\mathrm p}'\hat{X}$（$\alpha_{\mathrm p}'=\partial\alpha_{\mathrm p}/\partial X$）と展開すると，入射光の電場 $\bm{E}_{\mathrm L}$ が誘起する双極子モーメント $\alpha_{\mathrm p}\bm{E}_{\mathrm L}$ は，$\alpha_{\mathrm p0}\bm{E}_{\mathrm L}$（Rayleigh 散乱）に，$\alpha_{\mathrm p}'X_{\mathrm{zp}}(\hat{b}+\hat{b}^\dagger)\bm{E}_{\mathrm L}$ が加わる．光子の演算子で書けば，散乱の有効相互作用は

である（入射光子 $\hat{a}_{\mathrm L}$ を消し，散乱光子 $\hat{a}_{\mathrm s}^\dagger$ を 1 個つくる．回転波近似のようにエネルギー保存で選ばれる項を残す）．Stokes 散乱は $\hat{b}^\dagger$ の項，anti-Stokes 散乱は $\hat{b}$ の項で，フォノンのモードに $n$ 個のフォノンがあるとき，行列要素は第56章の定理56.2 から

である．散乱の強度は行列要素の 2 乗に比例し，熱平衡のフォノンの分布（式 \eqref{eq:60-thermalP}）で平均すると，Stokes が $\bar{n}+1$，anti-Stokes が $\bar{n}$ に比例する．したがって，強度比（散乱光の振動数に由来する因子を除く）は，厳密に

となる（$\bar{n}/(\bar{n}+1)=e^{-x}$ は，式 \eqref{eq:60-nbar-th} から $\bar{n}=1/(e^{x}-1)$，$\bar{n}+1=e^{x}/(e^{x}-1)$ で，$x=\hbar\Omega_{\mathrm v}/k_{\mathrm B}T$）．これは，Boltzmann 因子そのものである：anti-Stokes 線は，励起されたフォノンが熱で存在することを前提にするので，低温ほど弱くなる．Stokes 線は，フォノンが 0 個でも $\sqrt{0+1}=1$ で起こる．

第56章 56.7.3 節では，この比の温度変化を求めた（例題56.16）．ここではさらに，散乱光の振動数の補正を加えて，温度計として使える形にしよう．散乱光の強度は，双極子放射として，散乱光の角振動数 $\omega_{\mathrm s}$ の 4 乗に比例する（強度をエネルギーで測る検出器の場合．光子を数える検出器では，光子 1 個のエネルギーが $\omega_{\mathrm s}$ に比例する分だけ指数が 1 つ減って，3 乗で補正する．どちらを使うかで得られる温度が変わる．例題60.13 (3)）．anti-Stokes 線の方が振動数が高いので，その分だけ強められる．補正を含めて，実測される強度比は

である（$\tilde{\nu}_{\mathrm L}$ は入射光の波数，$\tilde{\nu}$ は Raman シフトの波数．いずれも $\mathrm{cm^{-1}}$．振動数 $\nu=c\tilde{\nu}$ と区別して，波数には波線をつける）．測定した強度比から温度を求められるので，これを Raman 温度計という（図60.8）．

60.5.4 保存する数と保存しない数

ここまでの項を並べると，保存則の規則がはっきりする．光子やフォノンの演算子は，式 \eqref{eq:60-Hsemi}，\eqref{eq:60-Hep}，\eqref{eq:60-HR} のように，$\hat{a}$ や $\hat{b}$ が単独で現れる．一方，電子の演算子は，$\hat{c}^\dagger\hat{c}$ のように，生成と消滅が対になって現れる．この違いが，数の保存を決める．

電子の数が保存することは，$\hat{H}$ が，すべての電子の演算子に同じ位相をかける変換 $\hat{c}_i\to e^{i\theta}\hat{c}_i$（$\hat{c}_i^\dagger\to e^{-i\theta}\hat{c}_i^\dagger$）で不変であること（$\mathrm{U}(1)$ 対称性）と同じである．$\hat{c}^\dagger\hat{c}$ の対では位相が打ち消される．この対称性が電荷の保存に当たる（Noether の定理）．一方，$\hat{a}\to e^{i\theta}\hat{a}$ とすると，$\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm c}^\dagger\hat{c}_{\mathrm v}$ は $e^{i\theta}$ がかかって不変でない．すなわち，光子には対応する対称性がなく，数が保存しない．なお，光の吸収で電子が価電子帯から伝導帯に移るだけなら，電子の総数は変わらない（電子・正孔対は電子が動いた結果）．電子の数が変わる過程は，電子と陽電子の対生成（第XI部）だけで，そこでも（電子の数）$-$（陽電子の数）は保存する．

数が保存しなくても，エネルギーと（結晶）運動量の保存は，各過程で成り立つ．図60.7(a) の吸収では，$\hbar\omega=E_{\mathrm c}-E_{\mathrm v}$ で，(c) のフォノン放出では，$\varepsilon_{\bm{k}}=\varepsilon_{\bm{k}+\bm{q}}+\hbar\omega_{\bm{q}}$ と $\bm{k}=(\bm{k}+\bm{q})+(-\bm{q})$ である．数が保存する量が多いほど，状態空間は小さく分かれる（Jaynes–Cummings 模型の $\hat{N}_{\mathrm{ex}}$ がその例）が，光子・フォノンを含む実際の系では，数ではなく，エネルギーと運動量が主な制約になる．

60.6 外力で駆動される振動子 — コヒーレント状態と線形応答への入口

最後の節では，外から力を受けた調和振動子を調べる．これは，第56章で学んだコヒーレント状態がなぜ重要かを教えてくれる．古典的な力は，調和振動子をコヒーレント状態にする．また，材料の発光や吸収のスペクトルの形（Franck–Condon 則，Huang–Rhys 因子）は，この簡単な模型で理解できる．さらに，外力に対する振動子の応答は，第IX部（第54章）で学んだ線形応答と，姉妹編「線形応答理論（AD 08）」への入口である．

60.6.1 一定の力を受けた調和振動子 — 厳密に解ける

質量 $m$，角振動数 $\omega$ の調和振動子に，一定の力 $F$ がはたらく．位置エネルギーは $-F\hat{x}$ だけ加わるので，$\hat{H}=\dfrac{\hat{p}^2}{2m}+\tfrac12m\omega^2\hat{x}^2-F\hat{x}$ である．$\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$（$x_{\mathrm{zp}}=\sqrt{\hbar/2m\omega}$．第56章）を使い，定数 $\tfrac12\hbar\omega$ を省くと

である．$G$ は（符号つきの）エネルギーの次元をもつ結合の強さで（$F\,x_{\mathrm{zp}}$ の単位は $\mathrm{N\,m}=\mathrm{J}$），60.4 節の $g$（角振動数）とは別の量である．また，この節の $\alpha$ はコヒーレント状態の振幅で，60.5.3 節の分極率 $\alpha_{\mathrm p}$ や微細構造定数とは別の量である．このハミルトニアンは，1 次の項 $\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ をもち，もはや $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ だけではないが，平方完成で厳密に解ける．

基底状態の条件 $\tilde{a}\ket{\psi_0}=0$ は，$\hat{a}\ket{\psi_0}=\alpha\ket{\psi_0}$ と同じで，コヒーレント状態の定義（定義56.3）そのものである．式 \eqref{eq:60-nforce} の最後の等号は，$G=-Fx_{\mathrm{zp}}$ と $x_{\mathrm{zp}}^2=\hbar/2m\omega$ から $G^2/(\hbar\omega)^2=F^2\hbar/(2m\omega)/(\hbar\omega)^2=F^2/(2m\hbar\omega^3)$ である．古典的な確認をしよう．位置の期待値は，$\expval{\hat{x}}=2x_{\mathrm{zp}}\Real\alpha=2x_{\mathrm{zp}}^2F/\hbar\omega=F/m\omega^2$ で，古典的な平衡の位置 $x_0=F/m\omega^2$（力とばねの力のつり合い）に一致する．エネルギーの下がり $-G^2/\hbar\omega=-F^2/2m\omega^2$ も，古典的なポテンシャル $\tfrac12m\omega^2x^2-Fx$ の最小値 $-F^2/2m\omega^2$ に等しい．つまり，一定の力を受けた振動子の基底状態は，平衡の位置が $x_0$ だけずれた，同じ形の（Gauss 型の）波束である．これを元の振動子の量子の言葉で見ると，「量子が平均 $\abs{\alpha}^2=x_0^2/4x_{\mathrm{zp}}^2$ 個入った状態（コヒーレント状態）」になる．古典的な力が，位相のそろった多数の量子をつくった，と読める．

関連シミュレーター：調和振動子 ― ばねと波動関数（基底状態をずらしたコヒーレント状態と，生成・消滅演算子の動きを確かめられる）．

60.6.2 材料への応用 — Franck–Condon 則と Huang–Rhys 因子

発光材料の吸収・発光のスペクトルの形を，上の結果で理解できる．結晶の中の発光中心（色中心，蛍光体の添加イオン，錯体）では，電子が励起されると，まわりの原子の平衡位置が，結合の強さの変化のために $Q_0$ だけずれる．格子振動の 1 つのモードを取り出し，電子が基底状態にあるときのハミルトニアンを $\hat{H}_{\mathrm g}=\hbar\omega\hat{b}^\dagger\hat{b}$，励起状態にあるときを $\hat{H}_{\mathrm e}=E_{\mathrm{e}0}+\hbar\omega\hat{b}^\dagger\hat{b}+G(\hat{b}+\hat{b}^\dagger)$ とする．励起状態のハミルトニアンは，式 \eqref{eq:60-Hdrive} と同じ形で，「電子の励起が，振動子に力を加える」ことに当たる．したがって，励起状態の振動準位は，$\hat{b}$ を $\alpha$ だけずらした演算子 $\tilde{b}=\hat{b}-\alpha$ の固有状態 $\ket{m}_{\sim}$（$m$ 個の量子をもつ）で，$\alpha=-G/\hbar\omega$ である．

吸収の様子は，次のように分かる．光の吸収は，核が動かないうちに起こる（Franck–Condon の原理，第53章 53.5.2 節）ので，格子振動は，基底状態の振動の基底状態 $\ket{0}$ のまま，電子だけが励起される．$\ket{0}$ を励起状態の振動準位 $\ket{m}_{\sim}$ で展開すると，$\ket{0}$ は，励起状態の演算子 $\tilde{b}$ に対して固有値 $\hat{b}\ket{0}=0$，すなわち $\tilde{b}\ket{0}=-\alpha\ket{0}$ をもつコヒーレント状態である（振幅 $-\alpha$）．コヒーレント状態の展開（公式56.2）より，励起状態の準位 $m$ に遷移する確率（Franck–Condon 因子）は

の Poisson 分布である（図60.10）．第53章 53.5.2 節で導いた結果と同じである．吸収線は，振動準位 $m$ に対応して，エネルギー $E_0+m\hbar\omega$（$E_0$ は基底と励起の振動の基底状態どうしの遷移のエネルギー）に，強度 $P_m$ の線の系列として現れる．発光（励起状態の振動の基底状態から出る）では，対称に，エネルギー $E_0-m\hbar\omega$ に強度 $P_m$ の系列が現れる（図60.9）．

• ゼロフォノン線：$m=0$ の線（フォノンを出し入れしない遷移）で，強度 $P_0=e^{-S}$．$S$ が大きい（励起による格子のずれが大きい）と，ゼロフォノン線は急激に弱くなる．
• 平均のエネルギー：吸収線の平均のエネルギーは，Poisson 分布の平均 $\bar{m}=S$ より $E_0+S\hbar\omega$，発光は $E_0-S\hbar\omega$ である．吸収と発光の山の位置の差（Stokes シフト）は $2S\hbar\omega$．発光が吸収よりも低エネルギー側にずれる理由は，励起された格子が，平均 $S$ 個のフォノンを放出してエネルギー $S\hbar\omega$ を失ってから光るためである．
• $S$ と材料：$S\ll1$ のとき，ゼロフォノン線が支配的で鋭い線になる（ルビーの R 線が鋭いのは，${}^2E$ と ${}^4A_2$ がどちらも $t_{2g}^3$ の電子配置で，結合の長さがほとんど変わらない，つまり $S$ が小さいため．第48章）．$S$ が 1 より大きいと，多数の振動の線が重なった幅の広い帯になる（遷移金属錯体の d–d 遷移の吸収帯が広いのは，$e_g$ 電子が結合を弱めて $S$ が大きいため．第53章）．実際の材料では，格子振動の多数のモードが寄与するので，帯の形は Poisson 分布の系列の重ね合わせになる．

60.6.3 時間とともに変わる力 — Heisenberg 方程式とコヒーレント状態

力が時間に依存するとき，$\hat{H}(t)=\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger\hat{a}+f(t)\left(\hat{a}+\hat{a}^\dagger\right)$（$f(t)=-F(t)\,x_{\mathrm{zp}}$ はエネルギーの次元の関数）を解く．状態ベクトルの時間発展を追う代わりに，Heisenberg 表示（第50章 50.3 節）で演算子 $\hat{a}(t)$ の方程式を解くと，線形なので簡単に解ける．

式 \eqref{eq:60-at} は，「$\hat{a}(t)$ は，力がないときの解 $\hat{a}\,e^{-i\omega t}$ に，c 数 $\alpha(t)$ を加えたもの」という，力の効果が 1 つの関数 $\alpha(t)$ に詰まった形である．初めの状態が真空 $\ket{0}$（$\hat{a}\ket{0}=0$）なら，$\hat{a}(t)\ket{0}=\left(\hat{a}\,e^{-i\omega t}+\alpha(t)\right)\ket{0}=\alpha(t)\ket{0}$ だから，Heisenberg 表示の状態 $\ket{0}$ は $\hat{a}(t)$ の固有状態（固有値 $\alpha(t)$）である．すなわち，Schrödinger 表示では，時刻 $t$ の状態は，全体の位相を除いてコヒーレント状態 $\ket{\alpha(t)}$ で，量子の平均の個数は $\abs{\alpha(t)}^2$ である．

これは，光についても成り立つ．古典的な電流（アンテナの電流，レーザー媒質の巨視的な分極電流）は，電磁場の各モードに，力 $f(t)$ として作用する．電流と $\hat{\bm{A}}$ の結合 $-\int\bm{j}\cdot\hat{\bm{A}}\,\dd^3r$（式 \eqref{eq:60-Aop} の $\hat{a}+\hat{a}^\dagger$ に比例する）が，式 \eqref{eq:60-Hdrive} と同じ形だからである．したがって，古典的な電流が出す光は，コヒーレント状態である（Glauber）．これが，第56章 56.6 節で，レーザー光をコヒーレント状態として扱った理由である．一方，熱的な光は，たくさんの原子がそれぞれ無関係に光を出す（電流がランダムな位相をもつ）ので，コヒーレント状態の統計的な混合になる．

特別な場合として，一定の力 $f(t)=G$ を $t=0$ に突然かけると，$\alpha(t)=-\dfrac{i}{\hbar}G\dfrac{1-e^{-i\omega t}}{i\omega}=\alpha_{\mathrm s}\left(1-e^{-i\omega t}\right)$（$\alpha_{\mathrm s}=-G/\hbar\omega$ は式 \eqref{eq:60-Hsq} の静的な値）となる．振幅は，新しい平衡の値 $\alpha_{\mathrm s}$ のまわりを，半径 $\abs{\alpha_{\mathrm s}}$ の円を描いて回る．量子の個数は $\abs{\alpha}^2=2\abs{\alpha_{\mathrm s}}^2\,(1-\cos\omega t)$ で，時間平均は $2\abs{\alpha_{\mathrm s}}^2$ となり，ゆっくり力をかけたときの $\abs{\alpha_{\mathrm s}}^2$ の 2 倍になる．光の短いパルスで，結晶の格子振動が一斉に同じ位相で励起される現象（コヒーレントフォノン）は，この突然の力の例である．

60.6.4 線形応答 — 外力に対する位置の応答 $\chi(\omega)$

第54章の例題54.3では，量子調和振動子の応答関数を Kubo 公式から求めた．ここでは，同じ応答関数を，Heisenberg 方程式の厳密解 \eqref{eq:60-at} から別の道で導く．式 \eqref{eq:60-at} から，外力 $F(t)$ に対する位置の期待値 $\expval{\hat{x}}(t)$ を求めよう．$\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$ で，真空では $\expval{\hat{a}(t)}=\alpha(t)$ だから，$\expval{\hat{x}}(t)=2x_{\mathrm{zp}}\Real\alpha(t)$．$f=-Fx_{\mathrm{zp}}$ を式 \eqref{eq:60-at} に入れると $\alpha(t)=\dfrac{ix_{\mathrm{zp}}}{\hbar}\displaystyle\int_0^tF(t')e^{-i\omega(t-t')}\dd t'$ で，実部は $\Real\left[ie^{-i\omega(t-t')}\right]=\sin\omega(t-t')$ だから

（$2x_{\mathrm{zp}}^2/\hbar=1/m\omega$）である．これは，古典的な運動方程式 $m\ddot{x}=-m\omega^2x+F(t)$ の，$t=0$ で静止した状態からの解（Green 関数 $\sin\omega t/m\omega$ を使った形．AD 03 第7章 7.4）に等しい．$\hbar$ が消えている．ここで，振動子の固有角振動数を $\omega_0$，外力の角振動数を $\omega$ と書き分けて，式 \eqref{eq:60-xresp} を「過去の力の重み付きの和」の形

に書く．$K(\tau)$ は，$\tau$ 前に加えた撃力（$F(t')=\delta(t')$）が現在の位置を動かす大きさ（因果的な応答関数．$\tau\lt0$ では $0$）である．単色の力 $F(t)=F_0e^{-i\omega t}$ に対する応答は，$\expval{\hat{x}}=\chi(\omega)F_0e^{-i\omega t}$ と書け，$\chi(\omega)$ は $K$ の時間の Fourier 変換（時間の核 $e^{+i\omega\tau}$．第IX部と同じ規約）である．収束因子 $\omega\to\omega+i\eta$（$\eta\to+0$．過去に力を徐々に入れた）をつけて

である（積分は $\sin\omega_0\tau=(e^{i\omega_0\tau}-e^{-i\omega_0\tau})/2i$ と $\int_0^\infty e^{i(\Omega+i\eta)\tau}\dd\tau=i/(\Omega+i\eta)$ から，$\tfrac12\left[\dfrac{1}{\omega+\omega_0}-\dfrac{1}{\omega-\omega_0}\right]=\dfrac{\omega_0}{\omega_0^2-\omega^2}$）．

この計算の中で，$\hbar$ も，振動子の状態（真空か，熱平衡か）も，答えに入っていない．理由は，Heisenberg 表示の $\hat{x}(\tau)$ の交換子が，演算子でなく c 数だからである：$\hat{x}(\tau)=x_{\mathrm{zp}}\left(\hat{a}\,e^{-i\omega_0\tau}+\hat{a}^\dagger e^{i\omega_0\tau}\right)$ より

である．すなわち，応答関数は $K(\tau)=\dfrac{i}{\hbar}\theta(\tau)\,\expval{\comm{\hat{x}(\tau)}{\hat{x}(0)}}$ で，応答関数は，外力が加わる量 $\hat{x}$ の，異なる時刻の交換子の期待値である．これが第54章の Kubo 公式そのものである（第54章の例題54.3 と同じ結果を，ここでは Heisenberg 方程式から導いた）．調和振動子では，交換子が c 数なので，どんな状態でも同じ結果になり，応答は外力に対して厳密に線形である（量子論の結果が，古典的な運動方程式の結果と完全に一致する）．一般の系では，交換子が演算子になり，期待値が状態に依存し，高次の応答も現れる．

60.6.5 第IX部と AD 08 への橋渡し

この節で得たことを，次の 3 つにまとめる．(i) 古典的な力は，調和振動子を（広がらない）コヒーレント状態にする．(ii) 振動子の応答は，外力と結合する量の交換子の期待値で書ける（Kubo 公式の最も簡単な例．第54章 54.2 節）．(iii) 調和系（$\hat{H}$ が演算子の 2 次式）は，線形応答が厳密で，量子論と古典論が一致する．一般の多体系の応答関数（電子ガスの誘電関数や磁化率）は，この $K(\tau)$ を，$\hat{x}$ の代わりに密度やスピンの演算子で置き換え，基底状態（Fermi 海）での期待値をとったものである．その計算の道具が，遅延 Green 関数（第55章）と，第二量子化の言葉（第56〜59章）である．線形応答理論（AD 08）は，これらを使って，電子ガスの遮蔽，プラズモン，磁性，超伝導の応答を扱う（古典的な強制振動子の応答関数は第3章，Kubo 公式の導出は第7章）．光子とフォノンの場の量子化（この章）は，素粒子物理学（AD 09）の自由場 $=$ 調和振動子の集まりという出発点でもある．

60.7 まとめと演習 — 第X部のまとめ

60.7.1 まとめ

• 場の量子化＝基準モードの量子化．結合した $N$ 個の調和振動子（原子鎖）や，空間の各点に広がる電磁場は，Fourier 変換で互いに独立な調和振動子の集まりに分解される．各モードを第56章の方法で量子化すると，量子数 $n$ が「そのモードの量子の個数」になる．格子振動の量子がフォノン，電磁場の量子が光子である．
• 原子鎖．$\omega_k=2\sqrt{K/M}\,\abs{\sin(ka/2)}$，$\hat{H}=\sum_k\hbar\omega_k(\hat{a}_k^\dagger\hat{a}_k+\tfrac12)$，$\hat{u}_n=\sum_k\sqrt{\hbar/2NM\omega_k}\,(\hat{a}_ke^{ikna}+\mathrm{h.c.})$．Cu 型の鎖では $\omega_{\max}/2\pi=5.94\ \mathrm{THz}$（$24.6\ \mathrm{meV}$），$300\ \mathrm{K}$ で $\bar{n}=0.63$，零点振動 $4.2\ \mathrm{pm}$ が $300\ \mathrm{K}$ で $7.2\ \mathrm{pm}$．
• 電磁場．$\hat{\bm{A}}=\sum\sqrt{\hbar/2\varepsilon_0V\omega}\,[\bm{e}\,\hat{a}\,e^{i(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}+\mathrm{h.c.}]$，$\hat{H}=\sum\hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\tfrac12)$．真空の電場 $E_{\mathrm{vac}}=\sqrt{\hbar\omega/2\varepsilon_0V}$（$500\ \mathrm{nm}$，$1\ \mathrm{\mu m^3}$ で $1.50\times10^5\ \mathrm{V/m}$）．零点エネルギーの差が Casimir 力（$d=100\ \mathrm{nm}$ で $13.0\ \mathrm{Pa}$）を生む．
• 統計．熱平衡では $\bar{n}=1/(e^{\hbar\omega/k_{\mathrm B}T}-1)$，分散 $\bar{n}(\bar{n}+1)$（化学ポテンシャル $0$）．Planck の式 $=\hbar\omega\bar{n}\times$ モードの数．熱・コヒーレント・Fock の光子数分布の分散は，平均 $2$ で $6:2:0$．室温の赤外線（$10\ \mathrm{\mu m}$）で $\bar{n}=8.3\times10^{-3}$．
• 二準位原子と 1 モード．$\hat{H}_{\mathrm{int}}=-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}$ から，Jaynes–Cummings 模型 $\hat{H}_{\mathrm{JC}}=\tfrac12\hbar\omega_0\hat{\sigma}_z+\hbar\omega\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hbar g(\hat{\sigma}_+\hat{a}+\hat{\sigma}_-\hat{a}^\dagger)$．行列要素 $\hbar g\sqrt{n+1}$，$P_{\mathrm e}=\cos^2(g\sqrt{n+1}\,t)$．コヒーレント状態では collapse と revival（$t_{\mathrm{rev}}\approx2\pi\sqrt{\bar{n}}/g$，$\bar{n}\gg1$ の近似）．
• 吸収 $\sqrt{n}$，放出 $\sqrt{n+1}$．放出の $n+1$ は誘導放出 $n$ ＋ 自然放出 $1$．自然放出は真空の揺らぎによる誘導放出で，量子化した電磁場から $A=\omega_0^3\abs{\bm{d}}^2/(3\pi\varepsilon_0\hbar c^3)$ が導かれ，第52章の半古典論と一致する（水素 $2p\to1s$：$6.27\times10^{8}\ \mathrm{s^{-1}}$，$1.60\ \mathrm{ns}$）．
• 粒子数が変わる過程．$\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm c}^\dagger\hat{c}_{\mathrm v}$（吸収），$\hat{a}^\dagger\hat{c}_{\mathrm v}^\dagger\hat{c}_{\mathrm c}$（LED），$\hat{c}_{\bm{k}+\bm{q}}^\dagger\hat{c}_{\bm{k}}(\hat{b}_{\bm{q}}+\hat{b}_{-\bm{q}}^\dagger)$（電子・フォノン），Raman：Stokes $\sqrt{n+1}$，anti-Stokes $\sqrt{n}$，強度比 $\bar{n}/(\bar{n}+1)=e^{-\hbar\Omega_{\mathrm v}/k_{\mathrm B}T}$．電子数は保存し，光子数とフォノン数は保存しない．
• 駆動された振動子．$\hat{H}=\hbar\omega\hat{a}^\dagger\hat{a}+G(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$ は平方完成で厳密に解け，$E_n=n\hbar\omega-G^2/\hbar\omega$，基底状態はコヒーレント状態で $\expval{\hat{n}}=F^2/2m\hbar\omega^3$．Huang–Rhys 因子 $S$ で，発光・吸収の振動系列は Poisson 分布 $e^{-S}S^m/m!$，Stokes シフトは $2S\hbar\omega$．時間依存の力では $\hat{a}(t)=\hat{a}e^{-i\omega t}+\alpha(t)$，状態は常にコヒーレント状態．応答は $\chi(\omega)=1/[m(\omega_0^2-\omega^2)]$（$-F\hat{x}$ の結合．AD 08 の $+f\hat{B}$ とは符号が逆）．

60.7.2 第X部のまとめ — 第二量子化の 3 つの柱

第56章から本章までの 5 つの章は，1 つの話にまとめられる．波動関数の言葉（第一量子化）では，粒子の数 $N$ が決まった系の運動しか書けない．粒子の数を変数にした言葉が第二量子化で，次の 3 つの柱からなる．

1. 占有数表示（第57章）：状態を，各軌道（モード）に何個の粒子が入っているか $\ket{n_1,n_2,\dots}$ で指定する．粒子の区別がなくなることが，始めから表現に組み込まれている．
2. 演算子の代数（第56章，第57章）：粒子を 1 個つくる $\hat{a}^\dagger$（$\hat{c}^\dagger$）と消す $\hat{a}$（$\hat{c}$）だけで，すべての状態と演算子が書ける．Bose 粒子は交換関係 $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$（何個でも入る．行列要素 $\sqrt{n}$，$\sqrt{n+1}$），Fermi 粒子は反交換関係 $\acomm{\hat{c}}{\hat{c}^\dagger}=1$（Pauli の排他原理が $(\hat{c}^\dagger)^2=0$ の一行になる）．
3. 場の演算子と多体ハミルトニアン（第58章，第59章）：1 体演算子 $\sum t_{ij}\hat{c}_i^\dagger\hat{c}_j$，2 体演算子 $\tfrac12\sum v_{ijkl}\hat{c}_i^\dagger\hat{c}_j^\dagger\hat{c}_l\hat{c}_k$，場の演算子 $\hat{\psi}(\bm{r})$ で，電子ガス，Hubbard 模型，Hartree–Fock 近似をすべて同じ形に書ける．

この章は，この言葉が「粒子の数が変わる過程」で威力を発揮することを見た．光の吸収・発光，電子のフォノン放出，Raman 散乱は，$\hat{c}^\dagger\hat{c}$ に $\hat{a}$ や $\hat{b}$ を掛けた 1 つの項で書かれる．波動関数の言葉では，粒子の数が変わるたびに波動関数の定義域が変わってしまい，このような過程は扱えない（第56章 56.1 節）．

次の部と姉妹編へ．第XI部（相対論的量子力学）では，Klein–Gordon 方程式と Dirac 方程式の負エネルギー解の問題が，場の量子化（電子・陽電子の対生成，粒子の数が変わる世界）で解決されることを見る．この章で見た光子の場 $\hat{\bm{A}}$ の量子化は，その出発点になる．姉妹編の「線形応答理論（AD 08）」は，本章 60.6 節の応答関数 $\chi(\omega)$ と Kubo 公式を，電子ガスや磁性体に適用する．「素粒子物理学（AD 09）」は，自由場 $=$ 調和振動子の集まり（フォノン $\hat{b}_{\bm{q}}$，光子 $\hat{a}_{\bm{k}}$）から出発して，粒子の生成・消滅の過程を Feynman 図で計算する．「固体物理学（AD 06）」は，フォノンの分散と比熱（第13章，第14章），半導体の光吸収（第17章）を扱う．

60.7.3 演習問題

60.7.4 参考文献