第56章生成・消滅演算子 — 調和振動子を代数で解く

56.1 粒子の数が変わる世界 — なぜ第二量子化なのか

56.1.1 波動関数を毎度出さなくても — 粒子の数で状態を言い表す

これまでの章では，粒子の状態を波動関数で表してきた．粒子が 1 個なら $\psi(x)$，電子が 2 個なら $\Psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2)$，$N$ 個なら $\Psi(\bm{x}_1,\dots,\bm{x}_N)$ である（第33章）．多粒子の状態をこのように波動関数で扱うと，粒子が増えるにつれて式はたちまち扱いにくくなる．しかも同種の粒子は互いに区別できないので，「何番目の粒子がどこにいるか」という情報の大半は，もともと不要なものである．本当に必要なのは，「どの状態（軌道）に，粒子が何個いるか」だけのはずである．

多粒子の状態を扱うとき，波動関数を毎回書き出さなくても，「粒子の数と，その変化」を記述することで扱いがずっと便利になることが多い．そのために使われるのが，粒子の生成演算子と消滅演算子である．次の 3 つの場面を考えてみよう．

• Fermi 粒子（電子など）を扱うときは，粒子の数そのものが変わることは少ない．けれども，電子の励起状態を考えるときには，電子の消滅と正孔の生成を考えなければならない．たとえば，軌道 $i$ にいた電子が，空いている軌道 $a$ に移る励起は，「軌道 $i$ の電子を 1 個消し，軌道 $a$ の電子を 1 個作る」と言い換えられる．軌道 $i$ に残った「穴」が正孔（hole）である．
• Bose 粒子（光子やフォノンなど）では，粒子の数の変化が常に起こる．熱い物体は光子を出し続け，冷たい物体は光子を吸う．結晶の温度が上がることは，フォノンの数が増えることである．そのため，生成・消滅演算子がその記述で重要な役割を果たす．
• この道具の威力は，この部の後半に進むほど実感できるだろう．Hartree–Fock 近似で苦労した 2 電子間の Coulomb 相互作用が 1 行で書けること，Fermi 海に電子・正孔対をつくる励起，自然放出の導出などである．

56.1.2 粒子の数が変わると，波動関数の定義域が変わってしまう

波動関数には，粒子の数が変わる現象をそのままでは書けない理由がある．$N$ 個の粒子の波動関数 $\Psi(\bm{x}_1,\dots,\bm{x}_N)$ は，$N$ 個の座標の関数である．$N=1$ なら 1 つの座標（3 次元空間の点）の関数，$N=2$ なら 2 つの座標（6 次元の点）の関数，…と，$N$ が変わるたびに関数の入力になる空間，すなわち定義域が変わる．$N=1$ の波動関数と $N=2$ の波動関数は，同じ関数の空間にはいない．

そのため，光が吸収されて粒子の数が $N$ 個から $N-1$ 個に変わる過程を，1 つのハミルトニアンのもとでの，1 つの関数空間の中の時間変化として書くことができない．必要になるのは，$N=0,1,2,\dots$ のすべての場合の状態を 1 つにまとめた空間（Fock 空間．第57章）と，その空間の中で粒子を 1 個増やしたり減らしたりする演算子である．後者が，生成演算子と消滅演算子である．

状態の書き方も変わる．軌道 1，2，3 があるとして，「軌道 1 に粒子が 2 個，軌道 2 に 0 個，軌道 3 に 1 個」という状態を，占有数の並びで $\ket{2,0,1}$ と書くことにする．粒子の総数は $2+0+1=3$ である．粒子を 1 個消せば $\ket{2,0,0}$ や $\ket{1,0,1}$ になり，1 個作れば $\ket{2,1,1}$ などになる．どの場合も，状態は「整数の並び」で書かれたままで，変数の数も関数の空間も変わらない．これが，第二量子化の言葉（占有数表示）の基本的な発想である．

56.1.3 粒子の数が変わる現象 — 「消す」と「作る」で書く

材料の性質を決めている，粒子の数が変わる現象をいくつか見よう（図56.1）．

• (a) 半導体による光の吸収：バンドギャップより大きなエネルギー $\hbar\omega$ をもつ光子が 1 個吸収されると，価電子帯の電子が 1 個，伝導帯に移る．光子が 1 個消え，価電子帯の電子が 1 個消え（価電子帯に正孔が 1 個できる），伝導帯に電子が 1 個作られる．光子の消滅演算子を $\hat{a}$，電子の生成・消滅演算子を $\hat{c}^\dagger$，$\hat{c}$ と書くと，この過程は $\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm{c}}^{\dagger}\,\hat{c}_{\mathrm{v}}$ という積で表される（添字 c は伝導帯，v は価電子帯．積は右の演算子から順に作用する）．
• (b) 半導体の発光（LED）：伝導帯の電子と価電子帯の正孔が再結合して，光子が 1 個作られる．伝導帯の電子が消え，価電子帯に電子が作られて正孔が埋まる．演算子では $\hat{a}^\dagger\,\hat{c}_{\mathrm{v}}^{\dagger}\,\hat{c}_{\mathrm{c}}$ である．(a) と (b) は，互いにエルミート共役（消す↔作る）の関係にある．
• (c) フォノンの放出：結晶の中を運動する電子が，状態 $k$ から状態 $k'$ に移りながら，格子振動の量子（フォノン）を 1 個放出する．電子の消滅と生成，フォノンの生成が同時に起こる．演算子では，フォノンの生成演算子を $\hat{b}^\dagger$ として $\hat{b}^\dagger\,\hat{c}_{k'}^{\dagger}\,\hat{c}_{k}$ である．電気抵抗の温度変化も，Raman 散乱（散乱光のエネルギーが変わる現象．56.7.3 節）も，超伝導の引力も，この形の過程から出てくる．
• (d) 電子・陽電子の対生成（第XI部）：エネルギーが $2m_{\mathrm{e}}c^2\approx1.02\ \mathrm{MeV}$ 以上の光子（$\gamma$ 線）が原子核の近くを通ると，光子が 1 個消え，電子と陽電子が 1 個ずつ生まれる．この場合は電子の数さえも変わる．

演算子の記号は先取りで，意味は今はわからなくてよい．要点は，どの現象も「消す」「作る」の 2 つの操作の組み合わせで書けることである．波動関数を使うと，$N$ が変わるたびに別の関数を考えなければならなかったが，この言葉を使うと，上の (a)〜(c) の現象（図56.1）は同じ形の式で並べて書ける．(d) も，電子と陽電子の生成演算子と光子の消滅演算子の積で書けるが，第XI部で扱う．この章では，その 2 つの操作（$\hat{a}$ と $\hat{a}^\dagger$）を，もっとも簡単な系である調和振動子で手に入れる．

56.1.4 「第二量子化」という名前と歴史

「第二量子化」という名前は難しそうに聞こえるが，この章の中身は，調和振動子を微分方程式なしで解く代数の方法と，「何個入っているか」を数える言葉のふたつである．名前の由来を整理しておこう．

歴史を簡単に振り返っておく．生成・消滅演算子を使う方法は，Dirac（ディラック）が 1927 年に，電磁場を調和振動子の集まりとして量子化し，光子の放出・吸収を書き表したのが最初である．Dirac はこの方法で，Einstein の自然放出の係数 $A$ を導いた（第60章）．その後，Jordan（ヨルダン）と Wigner（ウィグナー）が 1928 年に，Fermi 粒子に対して反交換関係に従う演算子を導入した．Pauli の排他原理が，演算子の代数の性質として自然に出てくる．さらに Fock（フォック）が 1932 年に，粒子数の異なる状態をまとめて扱う空間（Fock 空間）を定式化した．これらの成果が，現在の多体量子論の標準の言語となっている．

56.2 調和振動子のハミルトニアンを因数分解する

56.2.1 もう一度，Schrödinger 方程式から — 位置と運動量の 2 乗の和

質量 $m$，角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子の時間を含まない Schrödinger 方程式は，第13章で見たとおり

である．エネルギー固有値を $E_n$，固有関数を $\psi_n$ と書くときは，この章でも調和振動子の約束どおり $n=0,1,2,\dots$（基底状態が $n=0$）とする．運動量演算子は，位置表示で $\hat{p}=\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\dd}{\dd x}=-i\hbar\dfrac{\dd}{\dd x}$ である．これを 2 回作用させると $\hat{p}^2=\left(\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\dd}{\dd x}\right)^2=-\hbar^2\dfrac{\dd^2}{\dd x^2}$ なので，式 \eqref{eq:56-tise} の運動エネルギーの項は $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\dd^2}{\dd x^2}=\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\dd}{\dd x}\right)^2$ と書き換えられる．すなわち

である．左辺の括弧の中はハミルトニアン $\hat{H}$ であり，「運動量の 2 乗」と「位置の 2 乗」の和の形をしている．この形に，次のアイデアを使う．

56.2.2 因数分解 — 行を飛ばさずに

位置表示で計算する．記号を短くするために，演算子

を導入する（$\hat{A}$ は $x$ と同じ長さの次元をもつ演算子である．$\hat{A}=\hat{p}/m\omega$ にほかならない）．このとき $\hat{A}^2=\dfrac{1}{m^2\omega^2}\left(\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\dd}{\dd x}\right)^2$ である．まずハミルトニアンを，$\dfrac12m\omega^2$ をくくり出して書き直す．

（1 行目から 2 行目への変形では，$\dfrac{1}{2m}=\dfrac12m\omega^2\cdot\dfrac{1}{m^2\omega^2}$ を使った．）次に，$(x+i\hat{A})(x-i\hat{A})$ を，演算子の積の順序を保ったまま展開する．

ここで $(i\hat{A})(-i\hat{A})=-i^2\hat{A}^2=\hat{A}^2$ を使った．交換子 $\comm{\hat{A}}{x}$ は，任意の関数 $f(x)$ に作用させて計算する．積の微分法則 $\dfrac{\dd}{\dd x}(xf)=f+x\dfrac{\dd f}{\dd x}$ より，

となる．よって $i\comm{\hat{A}}{x}=\dfrac{\hbar}{m\omega}$ であり，

が得られる．数のときの $a^2+b^2=(a+ib)(a-ib)$ に，定数 $-\hbar/m\omega$ の余りがついた形である．これを式 \eqref{eq:56-fact1} に代入して，$\dfrac12m\omega^2\cdot\dfrac{\hbar}{m\omega}=\dfrac{\hbar\omega}{2}$ に注意すると，

となる．続いて，$i\hat{A}=i\cdot\dfrac{1}{m\omega}\cdot\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\dd}{\dd x}=\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\dd}{\dd x}$（$i$ が約分される）を使って $x\pm i\hat{A}$ を微分の形に直し，さらに $\dfrac12m\omega^2=\hbar\omega\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{m\omega}{\hbar}=\hbar\omega\cdot\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\cdot\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}$ と分けて，2 つの因子に 1 つずつ配る．

最後の行の 2 つの因子に名前をつけたのが，次の定義の $\hat{a}$ と $\hat{a}^\dagger$ である．

56.2.3 消滅演算子と生成演算子の定義

式 \eqref{eq:56-fact4} の 2 つの因子に名前をつけよう．$\hat{A}=\dfrac{\hat{p}}{m\omega}$（$\hat{p}=\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\dd}{\dd x}$ だから）なので，$x\pm i\hat{A}=\hat{x}\pm\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}$ と書ける．位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ を使って，次のように定義する．

$\hat{a}$ は「エー・ハット」，$\hat{a}^\dagger$ は「エー・ダガー」と読む．「消滅」「生成」の名前の意味は，56.3 節と 56.4 節で，$\hat{a}$ が量子を 1 個消し，$\hat{a}^\dagger$ が 1 個作ることを確かめたときに明らかになる．次元を確かめておこう．$\sqrt{m\omega/\hbar}$ は $1/(\text{長さ})$ の次元（第13章の $1/x_0$），$\hat{x}$ は長さの次元をもつので，$\hat{a}$ と $\hat{a}^\dagger$ は無次元である．

56.2.4 逆に，$\hat{x}$ と $\hat{p}$ を $\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ で書く

式 \eqref{eq:56-adef} の 2 式を足したり引いたりすると，$\hat{x}$ と $\hat{p}$ を $\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ で書き直せる．和は $\hat{a}+\hat{a}^\dagger=2\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\,\hat{x}$，差は $\hat{a}-\hat{a}^\dagger=2\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\cdot\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}$ である．それぞれ $2\sqrt{m\omega/2\hbar}$ を移項して整理する．

式 \eqref{eq:56-xp-a} の係数に名前をつけておくと便利である．

とおくと，$\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$，$\hat{p}=-i\,p_{\mathrm{zp}}(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)$ である．$x_{\mathrm{zp}}$ は零点揺らぎの大きさ（zero-point length）で，基底状態の位置の標準偏差 $\Delta x$ に等しいことが 56.4 節でわかる．第13章で使った長さの単位 $x_0=\sqrt{\hbar/m\omega}$ とは $x_0=\sqrt{2}\,x_{\mathrm{zp}}$ の関係にある．また，$x_0$ で測った無次元の座標 $\xi\equiv x/x_0=\sqrt{m\omega/\hbar}\,x$（第13章の $X$，AD 02 第46章 46.1 の無次元化と同じ量）を使うと，$\dfrac{\dd}{\dd x}=\dfrac{1}{x_0}\dfrac{\dd}{\dd\xi}$，$\dfrac{\hbar}{m\omega}=x_0^2$ なので，式 \eqref{eq:56-adef-x} は

という簡単な形になる（実際，$\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\,x=\dfrac{\xi}{\sqrt2}$，$\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\cdot\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\dd}{\dd x}=\dfrac{x_0}{\sqrt2}\cdot\dfrac{1}{x_0}\dfrac{\dd}{\dd\xi}$）．以後，位置表示の計算にはこの形を使う．公式56.1 をハミルトニアンに代入すれば，$\hat{H}$ を生成・消滅演算子だけで書き換えることができる（次節．演習56.1）．

56.2.5 古典力学の複素振幅との対応

$\hat{a}$ が何者なのかを，古典力学と比べて確かめよう．古典力学の調和振動子の運動方程式は，$\dot{x}=\dfrac{p}{m}$，$\dot{p}=-m\omega^2x$ である（AD 03 第7章 7.1）．位置と運動量から，無次元の複素数

を作る．これは，式 \eqref{eq:56-adef} の $\hat{x},\hat{p}$ を古典的な数 $x,p$ に置き換えたもの，つまり $\hat{a}$ の古典版である．時間微分を計算する．運動方程式を使って，

となる（最後の等号は，$-i\omega\cdot\dfrac{ip}{m\omega}=\dfrac{p}{m}$ を確かめればよい）．この 1 階の微分方程式の解は，

である．つまり，複素平面の上で $\alpha$ は，原点を中心とする円の上を，角速度 $\omega$ で時計回りに回る（図56.2）．実部は位置 $x$ に，虚部は $p/m\omega$ に比例するので，これは $(x,p/m\omega)$ の位相空間での円運動，つまり単振動にほかならない．半径の 2 乗は

で，エネルギーは $E=\hbar\omega\abs{\alpha}^2$ と書ける．つまり古典的には，$\abs{\alpha}^2$ は「エネルギーが $\hbar\omega$ の何倍か」を表す．この章の最後には，これが「量子の個数」という意味になる．

量子力学では，$x,p$ が演算子 $\hat{x},\hat{p}$ になり，$\alpha$ が演算子 $\hat{a}$ になる．古典力学では $\alpha^*\alpha$ も $\alpha\alpha^*$ も同じ数 $\abs{\alpha}^2$ だが，演算子では $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ と $\hat{a}\hat{a}^\dagger$ は同じではない．この差が何になるかを，次の節で計算しよう．

56.3 交換関係と数演算子

56.3.1 生成・消滅演算子の交換関係 $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$

$\hat{a}\hat{a}^\dagger$ と $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ の差，すなわち交換子 $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}$ を計算する．結果は，驚くほど簡単な数になる．

この関係は，$\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$ と同じ内容の，$\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ 版である．実際，逆向きにもたどれる．公式56.1 から，$\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=-i\,x_{\mathrm{zp}}p_{\mathrm{zp}}\comm{\hat{a}+\hat{a}^\dagger}{\hat{a}-\hat{a}^\dagger}$ で，$\comm{\hat{a}+\hat{a}^\dagger}{\hat{a}-\hat{a}^\dagger}=-\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}+\comm{\hat{a}^\dagger}{\hat{a}}=-2\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}$ なので（$\comm{\hat{a}}{\hat{a}}=0$，$\comm{\hat{a}^\dagger}{\hat{a}}=-\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}$ を使った），$\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ と $x_{\mathrm{zp}}p_{\mathrm{zp}}=\hbar/2$ から

が得られる．つまり $\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$ と $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ は同値である．交換関係は，量子力学の第2原理（第8章）であった．それが，調和振動子では「$\hat{a}$ と $\hat{a}^\dagger$ の順序を入れ替えると 1 だけずれる」という形で現れている．

56.3.2 ハミルトニアンを $\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a}$ で書く

式 \eqref{eq:56-aadag} と式 \eqref{eq:56-adaga} を，今度は足すと，第 2 項が打ち消し合う．

（最後の等号は，$\dfrac{m\omega}{\hbar}=\dfrac{2}{\hbar\omega}\cdot\dfrac12m\omega^2$ と $\dfrac{m\omega}{\hbar}\cdot\dfrac{1}{m^2\omega^2}=\dfrac{2}{\hbar\omega}\cdot\dfrac{1}{2m}$ による．）右辺の括弧の中はハミルトニアン $\hat{H}$ なので，

である．調和振動子の Schrödinger 方程式は，次のように表現できる．

式 \eqref{eq:56-Hsym} は，$\hat{a}$ と $\hat{a}^\dagger$ の順序に左右されない，対称な形である．古典力学の $E=\hbar\omega\abs{\alpha}^2=\hbar\omega\cdot\dfrac{\alpha^*\alpha+\alpha\alpha^*}{2}$ に，$\alpha\to\hat{a}$ と置き換えて，$\alpha^*\alpha$ と $\alpha\alpha^*$ の両方の順序の平均をとったものになっている．交換関係 $\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ を使うと，次節で見るように，$\hat{H}$ は「$\hat{a}^\dagger\hat{a}$ を含むだけの形」に書き直せる．

56.3.3 数演算子 $\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a}$

式 \eqref{eq:56-adaga} の第 2 項を，交換関係を使って具体的な数にしよう．

ここで $\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=-\dfrac{\hbar}{i}$（$=i\hbar$）なので，第 2 項は $\dfrac{1}{2\hbar}\cdot i\cdot\left(-\dfrac{\hbar}{i}\right)=-\dfrac12$ となる．第 1 項は，$\dfrac{m\omega}{2\hbar}\hat{x}^2=\dfrac{1}{\hbar\omega}\cdot\dfrac12m\omega^2\hat{x}^2$，$\dfrac{m\omega}{2\hbar}\cdot\dfrac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}=\dfrac{1}{\hbar\omega}\cdot\dfrac{\hat{p}^2}{2m}$ と書き直すと，ハミルトニアンを $\hbar\omega$ で割ったものになる．よって

である．同じ計算を式 \eqref{eq:56-aadag} の $\hat{a}\hat{a}^\dagger$ について行うと，第 2 項が $+\dfrac12$ になり，$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\dfrac{\hat{H}}{\hbar\omega}+\dfrac12$ を得る．この 2 つの式から，次の定義を行う．

調和振動子のエネルギー固有値は，第13章で級数解法により求めたとおり $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ で，固有関数を $\psi_n$ とするとその Schrödinger 方程式は

である．これを式 \eqref{eq:56-Nham} に使って，$\hat{N}\psi_n$ を計算する．

すなわち，

である．数演算子 $\hat{N}$ の固有値は，調和振動子の量子数 $n$ そのものである．

$\hat{N}$ と $\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ の交換関係も，$\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ と，交換子の積の公式 $\comm{\hat{A}\hat{B}}{\hat{C}}=\hat{A}\comm{\hat{B}}{\hat{C}}+\comm{\hat{A}}{\hat{C}}\hat{B}$（右辺を展開すると $\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{A}\hat{C}\hat{B}+\hat{A}\hat{C}\hat{B}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}$ となり，左辺に一致する）から 1 行ずつ出る．

（1 行目の $\comm{\hat{a}^\dagger}{\hat{a}}=-\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=-1$ は，$\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ から出る．）$\hat{H}=\hbar\omega(\hat{N}+\tfrac12)$ なので，$\comm{\hat{H}}{\hat{a}}=-\hbar\omega\,\hat{a}$，$\comm{\hat{H}}{\hat{a}^\dagger}=\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger$ も得られる．ここまでの結果をまとめておこう．

56.3.4 代数だけで，固有値が $0,1,2,\dots$ になる

第13章では，べき級数が有限項で切れる条件から $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ が出た．交換関係 \eqref{eq:56-key1} だけを使うと，微分方程式を一度も解かずに，数演算子 $\hat{N}$ の固有値が $0,1,2,\dots$ の整数に限られることが示せる．規格化された固有関数 $\chi$ が $\hat{N}\chi=\nu\chi$ を満たすとして（$\nu$ は今のところ未知の数），次の 4 つの段階で進む．

もっとも低い状態は，$\hat{a}\chi_0=0$ を満たす．つまり，「消滅演算子で消せる量子が残っていない状態」が基底状態である．これが，調和振動子がエネルギー $\tfrac12\hbar\omega$ より下には降りられない理由である．なお，上向きには止まらない．56.4 節で，$\hat{a}^\dagger\chi$ は固有値が 1 つ上がり，しかも決して $0$ にならないことを示す．この議論で使ったのは，状態が規格化できること（ノルムが有限で正）と交換関係だけである．

56.3.5 Fermi 粒子の場合は？ — 2 準位系で見る反交換関係

Bose 粒子の $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ に対して，Fermi 粒子の消滅演算子 $\hat{c}$ は，$\acomm{\hat{c}}{\hat{c}^\dagger}=\hat{c}\hat{c}^\dagger+\hat{c}^\dagger\hat{c}=1$ を満たす．もっとも簡単な場合として，軌道が 1 つだけで，電子が「いない（状態 $\ket{0}$）」か「いる（状態 $\ket{1}$）」かの 2 つの状態だけをもつ系を考えよう．この 2 つの状態を縦ベクトルで $\ket{0}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，$\ket{1}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ と表すと，電子を消す演算子 $\hat{c}$（$\hat{c}\ket{1}=\ket{0}$，$\hat{c}\ket{0}=0$）と，作る演算子 $\hat{c}^\dagger$ は，行列で

と書ける（$\hat{c}\ket{1}$ は $\hat{c}$ の第 2 列 $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\ket{0}$ である）．積を計算すると

となり，$\acomm{\hat{c}}{\hat{c}^\dagger}=1$ が確かめられる．一方，交換子は $\hat{c}\hat{c}^\dagger-\hat{c}^\dagger\hat{c}=\mathrm{diag}(1,-1)$ で，$1$ にはならない．さらに $\hat{c}^2=0$，$(\hat{c}^\dagger)^2=0$（同じ軌道に電子を 2 個入れることはできない）で，$\hat{N}^2=\hat{N}$ から固有値は $0$ か $1$ だけである．これが Pauli の排他原理の，演算子の言葉での表現である．

行列表示や多数の軌道への拡張，Pauli 原理からの導出は第57章で行う．この章では，Bose 粒子の $\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ に話を絞る．

56.4 はしごを上り下りする — 生成・消滅演算子の作用

56.4.1 $n=1$ の波動関数に $\hat{a}^\dagger$ と $\hat{a}$ を作用させてみる

生成・消滅演算子が，調和振動子の波動関数に実際に何をするのかを，もっとも簡単な例で見てみよう．第13章の結果から，$n=0,1,2$ の規格化された固有関数は，位置表示で次のとおりである．

（$\psi_2$ は，第13章の一般式 $\psi_n=\left(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\dfrac{H_n(\xi)}{\sqrt{2^n\,n!}}\,e^{-\xi^2/2}$（$\xi=\sqrt{m\omega/\hbar}\,x$）に $H_2(\xi)=4\xi^2-2$ を入れたもので，$\dfrac{4\xi^2-2}{\sqrt{8}}=\dfrac{1}{\sqrt2}\left(2\xi^2-1\right)$ である．）

生成演算子を作用させる．$\psi_1$ に，位置表示の生成演算子 $\hat{a}^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\dd}{\dd x}\right)$ を作用させる．積の微分法則より $\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x\,e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\right)=e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}-\dfrac{m\omega}{\hbar}x^2e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$ である．また，$\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\cdot\sqrt{\dfrac{2m\omega}{\hbar}}=\dfrac{m\omega}{\hbar}$ なので，

となる．1 行目から 2 行目への変形では，括弧の中の $-\dfrac{\hbar}{m\omega}\cdot\left(-\dfrac{m\omega}{\hbar}x^2\right)=+x^2$ が最初の $x^2$ と足されて $2x^2$ になり，$-\dfrac{\hbar}{m\omega}$ が残る．3 行目では $\dfrac{m\omega}{\hbar}$ を括弧の中に入れた．最後の等号は，式 \eqref{eq:56-psi1} の $\psi_2$ の形と見比べればよい．

消滅演算子を作用させる．逆に，$\psi_1$ に消滅演算子 $\hat{a}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\dd}{\dd x}\right)$ を作用させると，微分の符号が変わるだけで，

となる．今度は，$x^2$ の項が $x^2-x^2=0$ と打ち消し合い，$\dfrac{m\omega}{\hbar}\cdot\dfrac{\hbar}{m\omega}=1$ のかたちの定数項だけが残る．$\psi_1$ が $\psi_0$ に変わった．

この結果から，次のことがわかる．$\hat{a}^\dagger$ を作用させると，波動関数は隣の（1 つ上の）準位の関数 $\psi_2$ に，$\hat{a}$ を作用させると 1 つ下の準位の関数 $\psi_0$ に変わる．すなわち，Bose 粒子である量子の個数が 1 個増える（減る）と，波動関数の形が，その個数に対応する隣の関数に変わっている（図56.3）．係数には注意しよう．$\hat{a}^\dagger\psi_1$ は $\psi_2$ ではなく $\sqrt{2}\,\psi_2$ であり，$\hat{a}\psi_1=1\cdot\psi_0$ の係数は $1$ である．この係数が一般にどうなるかが，次の定理である．

56.4.2 定理：$\hat{a}^\dagger\psi_n=\sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}$，$\hat{a}\psi_n=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}$

式 \eqref{eq:56-adag-psi1}，\eqref{eq:56-a-psi1} は，$n=1$ のときのこの定理そのものである．一般の $n$ に対する証明は，次のように進める．まず，$\hat{a}^\dagger\psi_n$ が「固有値 $n+1$ の固有関数」であることを示す．

この証明で，「$\hat{a}^\dagger$ を作用させると $\hat{N}$ の固有値が 1 だけ上がる」ことはわかった．しかし，定理の主張はそれより強い．次の 2 点が，まだ示されていない．

• 固有値が $n+1$ の固有関数は $\psi_{n+1}$ だけ（定数倍を除いて 1 つだけ）なのか．別の関数が同じ固有値をもつ可能性はないか（非縮退性）．
• 係数が $\sqrt{n+1}$，$\sqrt{n}$ になるのはなぜか．固有値の議論は，$\hat{a}^\dagger\psi_n$ が $\psi_{n+1}$ の何倍かまでは教えてくれない．

56.4.3 もっとスマートな方法

証明の（その 1）は，$\hat{a}^\dagger\hat{a}=\hat{a}\hat{a}^\dagger-1$ を使う，少し回りくどいものだった．交換関係 \eqref{eq:56-Nad} $\comm{\hat{N}}{\hat{a}^\dagger}=\hat{a}^\dagger$ を使うと，もっとすっきり書ける．そして残りの 2 点も，簡単な議論で片づく．

56.4.4 基底状態を 1 階の微分方程式で求める

はしごの一番下の段 $\psi_0$ は，$\hat{a}\psi_0=0$ で決まる．位置表示の式 \eqref{eq:56-a-xi} を使うと，これは

という1 階の微分方程式である．Schrödinger 方程式は 2 階の微分方程式だったので，階数が 1 つ下がったことになる．変数分離すると $\dfrac{\dd\psi_0}{\psi_0}=-\xi\,\dd\xi$ で，両辺を積分して $\ln\psi_0=-\dfrac{\xi^2}{2}+\text{定数}$，すなわち $\psi_0=C\,e^{-\xi^2/2}$ を得る．規格化条件 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\abs{\psi_0}^2\dd x=C^2\,x_0\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}\dd\xi=C^2x_0\sqrt{\pi}=1$（$x=x_0\xi$，$x_0=\sqrt{\hbar/m\omega}$，Gauss 積分 $\int e^{-\xi^2}\dd\xi=\sqrt{\pi}$）より，$C=(\pi x_0^2)^{-1/4}=\left(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}$ となる：

これは，第13章で 2 階の微分方程式をべき級数で解いて得た基底状態（AD 02 第46章 46.2 でも導いた）に一致する．しかも，積分（部分積分や級数の打ち切り条件の議論）を一度もせずに，$e^{-\xi^2/2}$ が出てきた．また，1 階の方程式 \eqref{eq:56-psi0-ode} の解は，定数倍を除いてただ 1 つなので，56.4.3 節で使った $\hat{a}\psi=0$ の解の一意性がここで保証される．

56.4.5 すべての $\psi_n$ を $\hat{a}^\dagger$ から作る — Hermite 多項式との対応

定理56.2 を $\psi_0$ から順にくり返すと，$\psi_1=\hat{a}^\dagger\psi_0$，$\psi_2=\dfrac{1}{\sqrt2}\hat{a}^\dagger\psi_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}^\dagger)^2\psi_0$，$\psi_3=\dfrac{1}{\sqrt3}\hat{a}^\dagger\psi_2=\dfrac{1}{\sqrt{3\cdot2}}(\hat{a}^\dagger)^3\psi_0$，…となる．一般には，$\sqrt{1\cdot2\cdot3\cdots n}=\sqrt{n!}$ を使って

である．真空（量子が 0 個の状態）に $\hat{a}^\dagger$ を $n$ 回かけて量子を $n$ 個作り，$\sqrt{n!}$ で規格化する．位置表示では，$(\hat{a}^\dagger)^n=2^{-n/2}\left(\xi-\dfrac{\dd}{\dd\xi}\right)^n$ なので，

となる．これを第13章の一般式 $\psi_n=\dfrac{C}{\sqrt{2^nn!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}$（第13章では無次元座標を $X$ と書いた．本章の $\xi$ と同じ量である）と比べると，次の式が成り立つことになる（下で確かめる）．

実際，$n=1$ では $\left(\xi-\dfrac{\dd}{\dd\xi}\right)e^{-\xi^2/2}=\xi e^{-\xi^2/2}+\xi e^{-\xi^2/2}=2\xi\,e^{-\xi^2/2}$ で $H_1=2\xi$ である．一般の $n$ でも次のように確かめられる．式 \eqref{eq:56-Hn} の右辺を $\tilde{H}_n(\xi)\equiv e^{\xi^2/2}\left(\xi-\dfrac{\dd}{\dd\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2}$ とおく．$\tilde{H}_0=1=H_0$ である．$\left(\xi-\dfrac{\dd}{\dd\xi}\right)^{n+1}e^{-\xi^2/2}=\left(\xi-\dfrac{\dd}{\dd\xi}\right)\left(\tilde{H}_ne^{-\xi^2/2}\right)=\left(\xi\tilde{H}_n-\tilde{H}_n'+\xi\tilde{H}_n\right)e^{-\xi^2/2}$ なので，$\tilde{H}_{n+1}=2\xi\tilde{H}_n-\tilde{H}_n'$ である．一方，Hermite 多項式 $H_n$ は，第13章 定理13.3 の (c) $H_n'=2nH_{n-1}$ と (d) $XH_n=\tfrac12H_{n+1}+nH_{n-1}$（本章の $\xi$ が第13章の $X$）から $H_{n+1}=2\xi H_n-2nH_{n-1}=2\xi H_n-H_n'$ を満たす．$\tilde{H}_n$ と $H_n$ は，同じ初期値 $H_0=1$ と同じ漸化式をもつので，数学的帰納法により，すべての $n$ で $\tilde{H}_n=H_n$ である（AD 02 第46章 46.2 の Hermite 多項式も同じ漸化式を満たす）．この漸化式を $H_0=1$ から使えば $H_1=2\xi$，$H_2=4\xi^2-2$，$H_3=8\xi^3-12\xi$，…となり，最高次の係数は常に正（$2^n$）で，第13章の規約と一致する．つまり，微分方程式を解く代わりに $(\hat{a}^\dagger)^n\psi_0$ を作ると，Hermite 多項式がひとりでに出てくる．これが，代数的な解き方の威力である．なお，第13章の 13.8.1 節では，同じ内容を Hermite 多項式の漸化式から逆向きにたどった．

56.4.6 期待値を代数で計算する — 積分を一度もしない

$\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ を使うと，$\expval{x^2}$ や $\expval{p^2}$ のような期待値が，積分なしで求まる（以下，期待値の記号 $\expval{\ }$ の中では演算子のハットを省き，$\expval{x^2}$ は $\expval{\hat{x}^2}$ の意味で書く）．公式56.1 の $\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$ を 2 乗すると，

である．$\ket{n}$ の期待値をとるとき，$\hat{a}^2$ は $\ket{n}$ を $\ket{n-2}$ に，$(\hat{a}^\dagger)^2$ は $\ket{n+2}$ に変えるので，$\ket{n}$ との内積は $0$ になる．残るのは $\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a}=2\hat{N}+1$ の項だけで，

を得る．$\expval{p^2}$ では $\hat{p}^2=-p_{\mathrm{zp}}^2(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)^2=p_{\mathrm{zp}}^2\left(-\hat{a}^2+\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a}-(\hat{a}^\dagger)^2\right)$ を使った．$\expval{x}$ と $\expval{p}$ は，$\hat{a}$ や $\hat{a}^\dagger$ 1 個を含むので $\ket{n\pm1}$ との内積になり，$0$ である．したがって，標準偏差は $\Delta x=\sqrt{\expval{x^2}}$，$\Delta p=\sqrt{\expval{p^2}}$ で，その積は

となる．$n=0$ のとき $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ で，不確定性原理の下限（第8章）に一致する（最小不確定性状態）．基底状態の位置の広がり $\Delta x=\sqrt{\hbar/2m\omega}$ が，$x_{\mathrm{zp}}$ の物理的な意味である．運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの期待値は，$\expval{T}=\dfrac{\expval{p^2}}{2m}=\dfrac{1}{2}\left(n+\dfrac12\right)\hbar\omega$，$\expval{V}=\dfrac12m\omega^2\expval{x^2}=\dfrac12\left(n+\dfrac12\right)\hbar\omega$ で，等しい（ビリアル定理，第13章）．

4 乗の期待値も，$\hat{x}$ が $\ket{n}$ を隣の状態へ動かす性質を使えば，簡単に求められる．$\hat{x}$ はエルミートなので $\expval{x^4}=\mel{n}{\hat{x}^2\hat{x}^2}{n}=\norm{\hat{x}^2\ket{n}}^2$ である．定理56.2 を使って $(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$ を 2 回作用させる．

となる．$\ket{n-2}$，$\ket{n}$，$\ket{n+2}$ は互いに直交するので，長さの 2 乗は係数の 2 乗の和である：

（$n(n-1)+(2n+1)^2+(n+1)(n+2)=n^2-n+4n^2+4n+1+n^2+3n+2=6n^2+6n+3$．）

56.5 行列で見る生成・消滅演算子と選択則

56.5.1 $\ket{n}$ を基底とした行列表示

固有関数 $\psi_n$ に対応するケットを $\ket{n}$ と書く．$\ket{n}$ は正規直交系，$\braket{m}{n}=\delta_{mn}$ である（第10章の表10.2）．これを基底にとると，演算子は行列で表せる（AD 02 第11章 11.4 の表現行列）．定理56.2 から，$\hat{a}\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1}$ の左から $\bra{m}$ をかけて，$\braket{m}{n-1}=\delta_{m,n-1}$ を使うと，行列要素は

である．行を $m$，列を $n$ として，$n=0,1,2,\dots$ の順に並べて書くと，

となる．$\hat{a}$ は対角線のすぐ上に $\sqrt1,\sqrt2,\sqrt3,\dots$ が並び，$\hat{a}^\dagger$ は対角線のすぐ下に並ぶ．$\hat{a}^\dagger$ は $\hat{a}$ の転置行列（実数なので，エルミート共役と同じ）である．$\hat{N}$ は対角行列 $\mathrm{diag}(0,1,2,\dots)$，ハミルトニアンは $\hat{H}=\hbar\omega\,\mathrm{diag}(\tfrac12,\tfrac32,\tfrac52,\dots)$ で，固有値問題が最初から「解けた」形（対角化された形）になっている．位置と運動量の行列は，公式56.1 から，

である．$\hat{x}$ は，対角線のすぐ上とすぐ下にだけ値が並ぶ3 重対角行列（対角成分は $0$）になる（図56.5）．

56.5.2 有限次元の行列では $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ は成り立たない

行列を扱うときの注意がある．$\hat{a}$ と $\hat{a}^\dagger$ を $N\times N$ の有限の行列で表そうとすると，交換関係 $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ は成り立たない．理由は，トレース（対角成分の和）を見ればわかる．任意の行列 $A$，$B$ に対して $\tr(AB)=\tr(BA)$ なので，交換子のトレースは $\tr(AB-BA)=0$ である．ところが，$N\times N$ の単位行列のトレースは $N\ne0$ である．したがって，$\comm{A}{B}=1$ を満たす有限次元の行列の組 $A$，$B$ は存在しない．同じ理由で，$\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$ も有限次元では成り立たない．位置と運動量の交換関係を表すには，無限次元の行列（または関数の空間）が必要である．

56.5.3 選択則 $\Delta n=\pm1$

位置演算子が $\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$ という形をしているので，式 \eqref{eq:56-xmel} のとおり，$\mel{m}{\hat{x}}{n}$ が $0$ でないのは $m=n\pm1$ のときだけである．具体的には，

である（第13章 13.8.1 節で Hermite 多項式の漸化式から求めた結果と同じものを，$\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$ だけで得たことになる）．たとえば $\mel{1}{\hat{x}}{0}=x_{\mathrm{zp}}$，$\mel{2}{\hat{x}}{1}=\sqrt2\,x_{\mathrm{zp}}$，$\mel{2}{\hat{x}}{0}=0$ で，$\mel{2}{\hat{x}}{1}/\mel{1}{\hat{x}}{0}=\sqrt2$ である．

光（電場）が振動子と相互作用するときの強さは，双極子モーメント $\hat{d}$ の行列要素 $\mel{m}{\hat{d}}{n}$ で決まる（第52章 52.2〜52.4 節）．分子の振動では，双極子モーメントは核間距離のずれ $x$ の関数 $d(x)=d_0+d_1x+\cdots$ なので，最低次の項 $\hat{d}\approx d_0+d_1\hat{x}$ を使う（$d_1=\dd d/\dd x$）．定数項 $d_0$ は $\mel{m}{d_0}{n}=d_0\delta_{mn}$ で状態を変えないので，遷移を起こすのは $d_1\hat{x}$ の項だけである．したがって，調和振動子の振動遷移には次の選択則が成り立つ．

この選択則は，電気双極子遷移の一般的な選択則（第52章 52.4 節）を調和振動子に適用した結果である．分子が赤外線を吸収するには，振動によって双極子モーメントが変化する（$d_1\ne0$）必要がある．H$_2$ や N$_2$ のような等核 2 原子分子は $d_1=0$ なので，赤外線を吸収しない（赤外不活性）が，Raman 散乱は起こす（56.7 節，第60章）．

56.5.4 時間発展の予告 — $\hat{a}(t)=\hat{a}\,e^{-i\omega t}$

生成・消滅演算子を使うと，調和振動子の時間発展も 1 行で解ける．Heisenberg 表示（第50章）の運動方程式 $\dfrac{\dd\hat{A}_{\mathrm{H}}}{\dd t}=\dfrac{i}{\hbar}\comm{\hat{H}}{\hat{A}_{\mathrm{H}}}$ に，式 \eqref{eq:56-key1} から出る $\comm{\hat{H}}{\hat{a}}=-\hbar\omega\,\hat{a}$ を代入すると，

である．これは，古典力学の複素振幅の運動 $\alpha(t)=\alpha(0)e^{-i\omega t}$（式 \eqref{eq:56-alpha-t}，図56.2）の量子力学版にほかならない．位置は $\hat{x}_{\mathrm{H}}(t)=x_{\mathrm{zp}}\left(\hat{a}e^{-i\omega t}+\hat{a}^\dagger e^{i\omega t}\right)=\hat{x}\cos\omega t+\dfrac{\hat{p}}{m\omega}\sin\omega t$ となり，第50章 50.3 節で求めた結果と一致する（$e^{\mp i\omega t}=\cos\omega t\mp i\sin\omega t$ を代入し，$x_{\mathrm{zp}}(-i)(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)=\hat{p}/m\omega$ を使う）．

56.6 コヒーレント状態 — 古典的な振動にもっとも近い量子状態

ここまでの状態 $\ket{n}$ は，量子がちょうど $n$ 個入っている状態（Fock 状態，第57章）である．ところが，$\ket{n}$ には古典的な振動のイメージがない．$\expval{x}=0$ で，位置の期待値は時間とともに振動しない（$\hat{x}$ が $\ket{n}$ を $\ket{n\pm1}$ に変えるので $\expval{x}_n=0$）．古典的に「振幅 $A$ で $x=A\cos\omega t$ と振動する」状態に一番近い量子状態は，どのようなものだろうか．それが，古典力学の複素振幅 $\alpha$（式 \eqref{eq:56-alpha}）の量子版，すなわち $\hat{a}$ の固有状態である．

56.6.1 $\hat{a}$ の固有状態 — 定義と展開

$\ket{\alpha}$ を $\ket{n}$ で展開しよう．$\ket{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty c_n\ket{n}$ とおくと，定理56.2 より $\hat{a}\ket{\alpha}=\sum_nc_n\sqrt{n}\ket{n-1}=\sum_{n=0}^\infty c_{n+1}\sqrt{n+1}\ket{n}$（2 つ目の等号は $n\to n+1$ の置き換え）．一方，$\alpha\ket{\alpha}=\sum_n\alpha c_n\ket{n}$ なので，$\ket{n}$ の係数を比べて，$c_{n+1}\sqrt{n+1}=\alpha\,c_n$ すなわち $c_{n+1}=\dfrac{\alpha}{\sqrt{n+1}}c_n$ が得られる．これをくり返すと $c_n=\dfrac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}c_0$ である．規格化条件 $\sum_n\abs{c_n}^2=\abs{c_0}^2\sum_n\dfrac{\abs{\alpha}^{2n}}{n!}=\abs{c_0}^2e^{\abs{\alpha}^2}=1$ より，位相を適当に選んで $c_0=e^{-\abs{\alpha}^2/2}$ とする．

量子の個数が $n$ である確率は $P(n)=\abs{\braket{n}{\alpha}}^2=e^{-\abs{\alpha}^2}\dfrac{\abs{\alpha}^{2n}}{n!}$ で，これは平均 $\abs{\alpha}^2$ の Poisson 分布である．平均と分散は，$\hat{a}\ket{\alpha}=\alpha\ket{\alpha}$ と，その共役 $\bra{\alpha}\hat{a}^\dagger=\alpha^*\bra{\alpha}$ から，次のようにすぐ求まる．

（2 行目では $\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ を使った．）平均が $\abs{\alpha}^2$ で標準偏差が $\abs{\alpha}$，つまり揺らぎが平均の平方根になる．これは Poisson 分布の特徴で，量子がばらばらに，互いに無関係に入ってくる様子に対応する．比べて，熱平衡の分布（56.7 節）や，$\ket{n}$（$\Delta N=0$）とは異なる（図56.6(a)）．

56.6.2 最小不確定性と，古典的な振動

位置と運動量の期待値と揺らぎを計算しよう．$\hat{a}\ket{\alpha}=\alpha\ket{\alpha}$ より，$\hat{a}$ を含む期待値は $\alpha$ に，$\hat{a}^\dagger$ を含む期待値は $\alpha^*$ に置き換えられる．$\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$，$\hat{p}=-ip_{\mathrm{zp}}(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)$ より，

となる（$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ を使い，$\alpha^2+2\abs{\alpha}^2+\alpha^{*2}=(\alpha+\alpha^*)^2$ とまとめた）．したがって，$(\Delta x)^2=\expval{x^2}-\expval{x}^2=x_{\mathrm{zp}}^2\left[(\alpha+\alpha^*)^2+1\right]-x_{\mathrm{zp}}^2(\alpha+\alpha^*)^2=x_{\mathrm{zp}}^2$ である．同様に，$\hat{p}^2=-p_{\mathrm{zp}}^2(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)^2$（符号に注意）から $\expval{p^2}=p_{\mathrm{zp}}^2\left[-(\alpha-\alpha^*)^2+1\right]$，また $\expval{p}^2=-p_{\mathrm{zp}}^2(\alpha-\alpha^*)^2$ なので，$(\Delta p)^2=p_{\mathrm{zp}}^2$，すなわち $\Delta p=p_{\mathrm{zp}}$ となり，

である．コヒーレント状態の位置と運動量の広がりは $\alpha$ によらず真空 $\ket{0}$（$n=0$ の状態）と同じで，不確定性原理の下限 $\hbar/2$ を満たす．つまり，コヒーレント状態は，基底状態の Gauss 型の波束を，位相空間の中で $(\expval{x},\expval{p})$ に平行移動したものである．

時間発展を見よう．$\hat{H}=\hbar\omega(\hat{N}+\tfrac12)$ なので，$e^{-i\hat{H}t/\hbar}\ket{n}=e^{-i(n+\frac12)\omega t}\ket{n}$ である．式 \eqref{eq:56-coh} に作用させると，

となり，全体の位相因子を除いて，$\alpha$ が $\alpha(t)=\alpha e^{-i\omega t}$ に変わっただけのコヒーレント状態である．これは，古典力学の複素振幅の運動（式 \eqref{eq:56-alpha-t}，図56.2）そのものである．$\alpha=\abs{\alpha}e^{i\theta}$ とおくと，$\expval{x}(t)=2x_{\mathrm{zp}}\Real\left(\alpha e^{-i\omega t}\right)$ なので，

と，振幅 $\sqrt{2\hbar/m\omega}\,\abs{\alpha}$，角振動数 $\omega$ の単振動をする．

56.6.3 位置表示の波束 — 形を変えずに往復する

コヒーレント状態の波動関数を，位置表示で求めよう．$\hat{a}\psi_\alpha=\alpha\psi_\alpha$ に式 \eqref{eq:56-a-xi} を使うと，$\dfrac{1}{\sqrt2}\left(\xi+\dfrac{\dd}{\dd\xi}\right)\psi_\alpha=\alpha\psi_\alpha$，すなわち $\dfrac{\dd\psi_\alpha}{\dd\xi}=\left(-\xi+\sqrt2\,\alpha\right)\psi_\alpha$ という，$\hat{a}\psi_0=0$ と同じ形の 1 階の微分方程式である．積分すると $\psi_\alpha=C\exp\left(-\dfrac{\xi^2}{2}+\sqrt2\,\alpha\xi\right)$ で，平方完成して $-\dfrac{\xi^2}{2}+\sqrt2\alpha\xi=-\dfrac12\left(\xi-\sqrt2\alpha\right)^2+\alpha^2$ と書くと，$\abs{\psi_\alpha}^2$ は

となる（規格化を含めた．$\Real\alpha$ は $\alpha$ の実部で，$\abs{e^{-(\xi-a-ib)^2/2}}^2=e^{-(\xi-a)^2+b^2}$ の定数は規格化に吸収した）．基底状態の確率密度 $\abs{\psi_0}^2\propto e^{-\xi^2}$ を，中心が $\xi_c=\sqrt2\Real\alpha$ に動いたものである．時間が進むと $\alpha\to\alpha e^{-i\omega t}$ なので，$\xi_c(t)=\sqrt2\,\Real(\alpha e^{-i\omega t})=\sqrt2\,\abs{\alpha}\cos(\omega t-\theta)$ で，波束は形を変えずに中心だけが単振動する（図56.6(b)）．

自由粒子の Gauss 波束は，時間とともに広がる（第49章 49.6 節）．それに対して，調和振動子のコヒーレント状態は広がらずに古典的に振動する波束である．Schrödinger が 1926 年に，量子力学の波動関数から古典力学の振動を再現する波束として示したもので，調和ポテンシャルが位置の 2 次式であることから，Ehrenfest の定理（第50章 50.2 節）が $\expval{x}$ に対して厳密に古典的な運動方程式になることと対応している．

56.6.4 変位演算子と，非直交性

コヒーレント状態には，もう 1 つの見方がある．変位演算子（displacement operator）

を，真空 $\ket{0}$（$n=0$ の状態）に作用させたものが，コヒーレント状態 $\ket{\alpha}=\hat{D}(\alpha)\ket{0}$ である．$\hat{A}=\alpha\hat{a}^\dagger$，$\hat{B}=-\alpha^*\hat{a}$ とおくと，交換子 $\comm{\hat{A}}{\hat{B}}=-\abs{\alpha}^2\comm{\hat{a}^\dagger}{\hat{a}}=\abs{\alpha}^2$ は数（定数）なので，公式 $e^{\hat{A}+\hat{B}}=e^{\hat{A}}e^{\hat{B}}e^{-\comm{\hat{A}}{\hat{B}}/2}$ が使えて，$\hat{D}(\alpha)=e^{\alpha\hat{a}^\dagger}e^{-\alpha^*\hat{a}}e^{-\abs{\alpha}^2/2}$ となる．これを $\ket{0}$ に作用させると，$\hat{a}\ket{0}=0$ より $e^{-\alpha^*\hat{a}}\ket{0}=\ket{0}$ で，

となり，式 \eqref{eq:56-coh} に一致する（最後の等号は式 \eqref{eq:56-psin}：$(\hat{a}^\dagger)^n\ket{0}=\sqrt{n!}\ket{n}$）．すなわち，基底状態に「量子を，$\alpha^n/\sqrt{n!}$ の重みで，何個か重ねて加える」のがコヒーレント状態である．

異なる 2 つのコヒーレント状態の内積も，式 \eqref{eq:56-coh} から計算できる：

（$\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2-2\Real(\beta^*\alpha)=\abs{\alpha-\beta}^2$ を使った．）つまり，$\alpha\ne\beta$ でも内積は $0$ にならない．コヒーレント状態は互いに直交しないが，$\abs{\alpha-\beta}\gg1$ なら，ほとんど直交する．

56.7 $n$ は量子の個数 — フォノンと光子

56.7.1 $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ を「量子が $n$ 個」と読む

ここまでの結果を，物理の言葉で読み直そう．調和振動子のエネルギー $E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega$ は，「エネルギー $\hbar\omega$ の量子が $n$ 個」と「零点エネルギー $\tfrac12\hbar\omega$」の和である（図56.7）．零点エネルギーは，量子が 1 個もいなくても残る，振動子そのもののエネルギーである．$\hat{a}^\dagger$ は量子を 1 個増やし（エネルギーが $\hbar\omega$ だけ増える），$\hat{a}$ は 1 個減らす．準位が 1 段上がることは，量子が 1 個増えることである．これが，第二量子化の発想の核心である．

1 つの振動子は，どのような物理に対応するのか．格子振動では，$N$ 個の原子が連成して振動する結晶の運動は，互いに独立な調和振動子（基準振動，AD 03 第53章 53.7）の集まりに分解できる．1 つの基準振動（モード）のエネルギー量子がフォノンである．電磁場では，空洞の中の電磁波は，波数と偏光で決まる各モードが調和振動子になり，その量子が光子である（大学基礎物理学 第53章 53.10．量子化の詳細は第60章）．Planck が 1900 年に仮定した「振動子のエネルギーは $h\nu$ の整数倍」（第3章）が，ここでは $\hat{H}=\hbar\omega(\hat{N}+\tfrac12)$ という演算子の代数から導かれたことになる．

量子は，同じモードにいくつでも入れる．$\hat{a}^\dagger$ を何回でも作用させられ，$n$ に上限はない（$(\hat{a}^\dagger)^2\ne0$）．これは，Fermi 粒子の $(\hat{c}^\dagger)^2=0$（表56.1）と対照的で，Bose 粒子であることの表れである．また，振動子がエネルギーを吸収したり放出したりするとき，やり取りできるのは $\hbar\omega$ の整数倍に限られる．

56.7.2 熱平衡での量子の平均個数

温度 $T$ で熱平衡にある振動子の中に，量子が平均して何個いるかを計算しよう（第13章 13.8.3 節や AD 03 第51章 51.2 の Einstein 模型と同じ計算を，個数の言葉で書く）．$\beta=1/k_{\mathrm{B}}T$ とし，状態 $\ket{n}$ が現れる確率は Boltzmann 因子 $e^{-\beta E_n}\propto e^{-\beta\hbar\omega n}$（零点エネルギーは共通因子になる）に比例する．$x\equiv e^{-\beta\hbar\omega}$ とおくと，$0\lt x\lt1$ で，等比級数の和 $\sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$ より，

である（幾何分布．図56.6(a) の熱分布）．平均の個数 $\bar{n}=\sum_nn\,P(n)$ は，$\sum_{n=0}^\infty nx^n=x\dfrac{\dd}{\dd x}\sum_nx^n=x\dfrac{\dd}{\dd x}\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{(1-x)^2}$ を使って $\bar{n}=(1-x)\dfrac{x}{(1-x)^2}=\dfrac{x}{1-x}$，すなわち

である．これが Bose–Einstein 分布で，$\hbar\omega\ll k_{\mathrm{B}}T$ では $\bar{n}\approx k_{\mathrm{B}}T/\hbar\omega-\tfrac12$（古典的な極限．量子が多いので「個数」は連続量に近い），$\hbar\omega\gg k_{\mathrm{B}}T$ では $\bar{n}\approx e^{-\hbar\omega/k_{\mathrm{B}}T}\to0$（振動が「凍結」される）である．平均のエネルギーは $\hbar\omega(\bar{n}+\tfrac12)$ である．また，個数の分散は $\expval{n^2}-\bar{n}^2=\bar{n}(\bar{n}+1)$ となる（$\sum n^2x^n=x\dfrac{\dd}{\dd x}\dfrac{x}{(1-x)^2}=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ より）．コヒーレント状態の分散 $\bar{n}$ よりも大きい．

56.7.3 応用：Si の光学フォノンと Raman 散乱の温度計

Si 結晶の格子振動のうち，2 つの原子が逆向きに振動する光学フォノン（Brillouin ゾーンの中心 $\Gamma$ 点）の波数は $520.5\ \mathrm{cm^{-1}}$ である（室温）．光を当てて，散乱される光のエネルギーの変化を測る Raman 散乱で，この振動が観測される．この振動の量子（フォノン）のエネルギーは

である．Raman 散乱では，入射光が結晶に 1 回散乱されるとき，フォノンを 1 個作って入射光よりエネルギーが $\hbar\omega$ だけ低い光を出す過程（Stokes 散乱）と，すでにあるフォノンを 1 個消して $\hbar\omega$ だけ高い光を出す過程（anti-Stokes 散乱）がある．フォノンの生成・消滅演算子を $\hat{b}^\dagger$，$\hat{b}$ と書き（この 1 つのモードの量子数 $n$ に対して，$\hat{b}$ は本章の $\hat{a}$ と同じ性質をもつ），遷移の強さは行列要素の 2 乗に比例するので，

である（定理56.2）．これを，熱平衡でのフォノンの分布（式 \eqref{eq:56-thermal-P}）で平均すると，強度は Stokes が $\bar{n}+1$，anti-Stokes が $\bar{n}$ に比例する．したがって，強度比（散乱される光の振動数の違いによる係数を除く）は

である（$\bar{n}+1=\dfrac{e^{x}}{e^{x}-1}$，$x=\hbar\omega/k_{\mathrm{B}}T$ を使うと，$\dfrac{\bar{n}}{\bar{n}+1}=e^{-x}$）．anti-Stokes 線は，あらかじめ励起されているフォノンが熱で存在することを必要とするので，低温ほど弱くなる．つまり Raman スペクトルの強度比から，試料の温度がわかる．これが「Raman 温度計」である（実際の測定では，式 \eqref{eq:56-raman} に散乱光の振動数による補正がつく．第60章で扱う）．

56.7.4 量子の数は保存しない — そして，次の章へ

この節で見た光子やフォノンの数は，保存しない．光を吸収すれば光子が消え，熱くなればフォノンが増える．一方，電子の総数は，光を吸収して電子・正孔対ができる場合も（電子が価電子帯から伝導帯へ移るだけなので）変わらない．電子の数が変わるのは，電子・陽電子の対生成のような相対論的な過程（第XI部）だけで，そこでも（電子の数−陽電子の数）は保存する．粒子の数が保存する・しないは，ハミルトニアンが数演算子と交換するかどうかで決まる．自由な調和振動子 $\hat{H}=\hbar\omega(\hat{N}+\tfrac12)$ は $\hat{N}$ と交換する（$\comm{\hat{H}}{\hat{N}}=0$）ので量子数 $n$ が保存するが，電子と光が相互作用する項，たとえば図56.1 の $\hat{a}\,\hat{c}_{\mathrm{c}}^\dagger\hat{c}_{\mathrm{v}}$ は，光子数の演算子 $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ と交換せず，光子数を変える．

これで，本章の目標である「1 個の調和振動子を，生成・消滅演算子と量子の個数で理解する」ことができた．しかし，まだ足りないものがある．(i) モードが 1 つではなく，たくさんある場合（多数の軌道，多数の波数）．(ii) 量子が Bose 粒子ではなく，Fermi 粒子（電子）の場合．(iii) これらを使って，電子間の相互作用や光との相互作用を書く方法．(i)，(ii) は次の第57章で，(iii) は第58章以降で学ぶ．

56.8 まとめと演習

56.8.1 まとめ

• 光の吸収・発光・フォノンの放出のように，粒子の数が変わる過程は，波動関数では 1 つの関数空間の中の変化として書けない（$N$ が変わると $\Psi(\bm{x}_1,\dots,\bm{x}_N)$ の定義域が変わる）．「消す」演算子と「作る」演算子で書くのが第二量子化の言葉である．名前は，第一量子化（$x,p\to\hat{x},\hat{p}$）の後に，波動関数そのものを場として量子化することに由来する（Dirac 1927，Jordan–Wigner 1928，Fock 1932）．
• 調和振動子のハミルトニアンは，$\hat{a}=\sqrt{m\omega/2\hbar}\,(\hat{x}+i\hat{p}/m\omega)$ と $\hat{a}^\dagger$ で因数分解でき，$\hbar\omega\,\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{H}+\tfrac12\hbar\omega$．余りの $\tfrac12\hbar\omega$ は，$\hat{x}$ と $\hat{p}$ が交換しないことの帰結（零点エネルギー）である．$\hat{x}=x_{\mathrm{zp}}(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)$，$\hat{p}=-ip_{\mathrm{zp}}(\hat{a}-\hat{a}^\dagger)$，$x_{\mathrm{zp}}=\sqrt{\hbar/2m\omega}$，$p_{\mathrm{zp}}=\sqrt{\hbar m\omega/2}$．
• $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ は $\comm{\hat{x}}{\hat{p}}=i\hbar$ と同値．Bose 粒子（ボソン）にだけ成り立ち，Fermi 粒子（フェルミオン）では反交換関係 $\acomm{\hat{c}}{\hat{c}^\dagger}=1$ になる．
• 数演算子 $\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a}$ を使うと $\hat{H}=\hbar\omega(\hat{N}+\tfrac12)$．$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{N}+1$ であり，順序を逆にすると数演算子にならない．$\comm{\hat{N}}{\hat{a}}=-\hat{a}$，$\comm{\hat{N}}{\hat{a}^\dagger}=\hat{a}^\dagger$ から，$\hat{a}^\dagger$ は $\hat{N}$ の固有値を 1 上げ，$\hat{a}$ は 1 下げる．$\hat{N}$ の固有値が非負なので，固有値は $0,1,2,\dots$ に限られる（微分方程式を解かない量子化）．
• $\hat{a}^\dagger\psi_n=\sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}$，$\hat{a}\psi_n=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}$，$\hat{a}\psi_0=0$．係数はノルム $\norm{\hat{a}^\dagger\psi_n}^2=n+1$ で決まり，位相は実数の正にとる．基底状態は 1 階の方程式 $\hat{a}\psi_0=0$ から出て，$\psi_n=(\hat{a}^\dagger)^n\psi_0/\sqrt{n!}$ が Hermite 多項式を与える．
• 期待値は積分を使わず代数で求まる：$\expval{x^2}_n=(n+\tfrac12)\hbar/m\omega$，$\expval{x^4}_n=(\hbar/2m\omega)^2(6n^2+6n+3)$，$\Delta x\,\Delta p=(n+\tfrac12)\hbar$．
• $\ket{n}$ を基底にすると，$\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$，$\hat{x}$ は無限次元の行列になる．有限次元では $\comm{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}=1$ は成り立たない（トレース）．$\hat{x}$ は隣の準位にしかつなげない（3 重対角）ので，電気双極子遷移の選択則は $\Delta n=\pm1$ で，CO の赤外吸収（$2143\ \mathrm{cm^{-1}}$，$4.67\ \mathrm{\mu m}$）はこの $n=0\to1$ 遷移である．
• コヒーレント状態 $\ket{\alpha}=e^{-\abs{\alpha}^2/2}\sum_n\alpha^n/\sqrt{n!}\,\ket{n}$ は $\hat{a}$ の固有状態．量子の個数は Poisson 分布（$\expval{N}=\abs{\alpha}^2$，$\Delta N=\abs{\alpha}$），$\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ で，形を変えずに古典的に単振動する波束である．レーザー光はほぼこの状態にある．
• $n$ は「エネルギー $\hbar\omega$ の量子（フォノン・光子）の個数」であり，$\psi_n(x)$ は「$n$ 個の粒子の波動関数」ではない．熱平衡の平均個数は $\bar{n}=1/(e^{\hbar\omega/k_{\mathrm{B}}T}-1)$．Si の光学フォノン（$520.5\ \mathrm{cm^{-1}}$，$64.5\ \mathrm{meV}$）では，$300\ \mathrm{K}$ で $\bar{n}=0.090$，Raman 散乱の anti-Stokes／Stokes は $\bar{n}/(\bar{n}+1)=e^{-\hbar\omega/k_{\mathrm{B}}T}=0.082$．

この章で，調和振動子という 1 つのモードについて，「量子を作る・消す」言葉を手に入れた．次の第57章では，モードが多数ある場合と，Fermi 粒子の場合に広げ，占有数表示と Fock 空間を導入する．この道具は，Hartree–Fock 近似で苦労した 2 電子間の相互作用を 1 行で書くこと（第58章），Fermi 海に電子・正孔対をつくる励起（第59章），自然放出や Raman 散乱を量子化された光とフォノンで導くこと（第60章）に，そして姉妹編の「線形応答理論（AD 08）」「固体物理学（AD 06）」「密度汎関数理論（AD 07）」へとつながる．

56.8.2 演習問題

56.8.3 参考文献