第12章トンネル効果 — 階段・障壁ポテンシャル

12.1 古典と量子 — しみ出しからトンネルへ

12.1.1 古典力学の答え — 運動エネルギーは負にならない

粒子が 1 次元の $x$ 軸上を，ポテンシャルエネルギー $V(x)$ の中で動くとする．摩擦がなければ，全エネルギー（力学的エネルギー）$E$ は一定で，

である（$m$ は粒子の質量，$p$ は運動量）．運動エネルギー $p^2/2m$ は，実数の運動量 $p$ の 2 乗だから $0$ 以上でなければならない．したがって古典力学の粒子が存在できるのは，$V(x)\le E$ を満たす場所だけである．$V(x)\gt E$ の場所では式 \eqref{eq:12-energy} の右辺が負になり，運動エネルギーが負という不可能な事態になるので，粒子は決してそこに入れない．$V(x)=E$ となる点を転回点（turning point）という．丘に向かって転がるボールは，転回点で速さが $0$ になり，そこから引き返す．

たとえば，原点に置かれた点電荷（電荷 $+Q$ の粒子に引力を及ぼす負の電荷）が，図12.1 のような谷型のポテンシャル $V(x)$ をつくっているとしよう．実際の Coulomb ポテンシャルは原点で発散して底がないが，ここでは底の丸い谷で表す．全エネルギー $E$ が谷の底のすぐ上にある粒子が動けるのは，$V(x)\le E$ を満たす狭い範囲 $\abs{x}\le x_{\mathrm t}$ だけである（$x=\pm x_{\mathrm t}$ が転回点）．その外側へ出ようとすると $V(x)\gt E$ の領域に入ってしまい，運動エネルギーが負になるからである．これが古典力学の答えであり，図12.1 (a) の「この範囲から外へは出られない」に当たる．

12.1.2 量子力学の答え — 壁の中にも波動関数がある

ところが量子力学では，全エネルギー $E$ がポテンシャルエネルギー $V$ より低い（つまり，運動エネルギーが負になるはずの）場所にも，粒子が見いだされる．これが図12.1 (b) である．不思議な現象に思えるが，Schrödinger 方程式を書いてみると，実は当たり前の帰結だとわかる．時間を含まない Schrödinger 方程式（第9章 9.2）

を，ポテンシャルが一定値 $V$ の領域で見よう．右辺の係数 $E-V$ の符号で，解の形がまったく変わる．

• $E\gt V$（古典的に許される領域）：$k=\sqrt{2m(E-V)}/\hbar$ とおくと $\psi''=-k^2\psi$．解は $e^{\pm ikx}$（振動する波）．波数 $k$ が運動量 $\hbar k$ に対応する．
• $E\lt V$（古典的に禁じられた領域）：$\kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar$ とおくと $\psi''=+\kappa^2\psi$．解は $e^{\pm\kappa x}$（指数関数的に増減する）．$\kappa$ を減衰定数とよぶ．

禁じられた領域でも，方程式は $\psi\equiv0$ を強制しない．有限の高さの壁の中では，$\psi$ は $e^{-\kappa x}$ のように急速に小さくなるが，$0$ にはならない．Born（ボルン）の確率解釈により，$\abs{\psi}^2\dd x$ は粒子を見いだす確率だから，壁の中にも粒子が見いだされる確率がある．これは前章の有限井戸で見たしみ出し（第11章 11.1）と同じ現象である．壁が無限に高い（$V_0\to\infty$，$\kappa\to\infty$）ときだけ，しみ出しの深さ $1/\kappa$ が $0$ になり，第10章の $\psi=0$ になる．

壁が十分に薄ければ，どうなるだろうか．しみ出した波が壁を抜けきったところで，そこは $V=0$ の自由な領域だから，$\psi$ はふたたび $e^{ikx}$ という進行波になる．壁の向こう側には，小さいが確かに，右へ進む波が残る．粒子が壁にトンネルを掘って通り抜けたように見えるので，これをトンネル効果という．つまりトンネル効果は，しみ出しが壁を貫くほど薄いときに起こる，しみ出し効果の延長線上の現象であり，本質的には同じものである．

調べる状況を決めよう．図12.2 のように，粒子が左から $x$ 軸の正の向きに進み，$0\le x\le L$ にある高さ $V_0$ の壁（ポテンシャル障壁，potential barrier）にぶつかる．ポテンシャルは

で，粒子のエネルギーは $E\lt V_0$ である（12.4 節では $E\gt V_0$ も扱う）．古典力学の答えは「$x=0$ で完全に跳ね返される」である．量子力学の答えを，波の言葉で先に眺めておこう．

左側には，障壁へ向かう入射波と，障壁から戻る反射波が重なっている．障壁の中では波は減衰する．そして右側には，小さな振幅の透過波が続く．透過波の振幅が小さいのは，障壁の中で減衰したからである．次節以降で，この絵を式にして，入射・反射・透過の割合を計算する．

12.1.3 エネルギー保存則との折り合い

12.1.4 トンネル効果が現れる場面 — 実験事実と歴史

細かい計算に入る前に，トンネル効果が実際に働いている場面を，先に眺めておこう．どれも後の節で数値まで計算する．

歴史を簡単にたどっておく．トンネル効果は，量子力学ができた直後の 1920 年代後半に，いくつかの場所で同時に見いだされた．固体でトンネル効果を利用した装置は 20 世紀後半に実現した．年代順に，表12.1 にまとめる．

12.2 階段ポテンシャル — 反射と透過の基本

障壁の問題（12.3 節）は，領域が 3 つあって少し込み入っている．そこで，まず境目が 1 つだけの最も単純なポテンシャル，階段ポテンシャル（potential step）で，波の反射と透過をどう数えるかを整理しよう．ここで得る道具（境界条件の立て方，確率の流れによる反射率と透過率の定義）は，障壁でもそのまま使う．

12.2.1 階段ポテンシャルと $E\gt V_0$ の解

ポテンシャルを

とし，左（$x\lt0$）から粒子が入射する．まず粒子のエネルギーが階段より高い場合（$E\gt V_0$．$V_0$ は正でも負でもよく，$V_0\gt0$ は上り階段，$V_0\lt0$ は下り階段である）を考える．古典力学では，粒子は $x=0$ で減速（$V_0\lt0$ なら加速）するだけで，必ず $x\gt0$ に進む．量子力学ではどうなるだろうか．

各領域で式 \eqref{eq:12-tise} を解く．$x\lt0$ では $V=0$ だから，$k_1=\sqrt{2mE}/\hbar$ とおいて $\psi''=-k_1^2\psi$．$x\gt0$ では $V=V_0$ だから，$k_2=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$ とおいて $\psi''=-k_2^2\psi$ である．波数 $k_1$ は，次節の障壁の $k_0=\sqrt{2mE}/\hbar$ と同じ量である．時間依存性を含めると $\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}$ なので，$e^{ikx}\,e^{-iEt/\hbar}=e^{i(kx-\omega t)}$（$\omega=E/\hbar$）は右向きに進む波，$e^{-ikx}\,e^{-iEt/\hbar}$ は左向きに進む波である．したがって，

と書ける．$A$ は入射波（右向き），$B$ は反射波（左向き）の振幅である．$x\gt0$ には，右向きの透過波 $C$ だけを置く．左向きの波 $e^{-ik_2x}$ は，右の無限遠から粒子が入射してくることを意味するが，そのような状況は考えていないからである．

次に，$x=0$ での境界条件を課す．$V$ が有限の高さの階段なので，$\psi$ と $\psi'$ は境目で連続でなければならない（第9章 9.6.3 節の定理9.3(i)．11.2 節の定理11.2 と同じ結論である．式 \eqref{eq:12-tise} を $x=-\varepsilon$ から $x=+\varepsilon$ まで積分して $\varepsilon\to0$ とすると，右辺が $0$ に近づく，というのが導出の要点である）．

比 $B/A$，$C/A$ は実数である．上り階段（$V_0\gt0$）では $k_2\lt k_1$ だから $B/A\gt0$（反射波は入射波と同じ符号，位相のずれなし），$C/A\gt1$ である．（下り階段 $V_0\lt0$ では $k_2\gt k_1$ で，$B/A\lt0$（反射波の位相が $\pi$ ずれる），$C/A\lt1$ となる．）とくに $V_0\gt0$ のとき，$\abs{C/A}^2=4k_1^2/(k_1+k_2)^2$ はつねに $1$ を超える．透過の「確率」が $1$ を超えるはずはないから，$\abs{C/A}^2$ を透過率と呼ぶことはできない．次項で，透過率を正しく定義する．

12.2.2 反射率と透過率 — 確率の流れで数える

「入射した粒子のうち，何割が反射され，何割が透過するか」は，単位時間に通過する粒子の数で数えなければならない．波動関数の 2 乗 $\abs{\psi}^2$ は確率密度（単位長さあたりの存在確率）であり，領域ごとに粒子の速さが違えば，同じ密度でも単位時間に通る粒子の数は違うからである．単位時間に，ある点を右向きに通過する確率が確率の流れ（probability current）$J$ である（第9章 9.3）．1 次元では

で与えられる．たとえば平面波 $\psi=Ce^{ikx}$ では，$\psi^*\psi'=ik\abs{C}^2$ なので $J=\dfrac{\hbar k}{m}\abs{C}^2=v\,\abs{C}^2$ である．「速さ $v=\hbar k/m$ × 確率密度 $\abs{C}^2$」という自然な結果で，流れは確率密度と速さの積になっている．

式 \eqref{eq:12-step-psi} の $x\lt0$ の波動関数では，入射波と反射波が重なっているので，そのまま \eqref{eq:12-J} に代入する．$\psi^*\psi'$ は

となる．最後の括弧は $z-z^*$（$z=B^*Ae^{2ik_1x}$）の形で純虚数だから，$ik_1$ 倍すると実数になり，虚部には寄与しない．したがって

を得る．$x\lt0$ の流れは，右向きの入射の流れ $\dfrac{\hbar k_1}{m}\abs{A}^2$ から，左向きの反射の流れ $\dfrac{\hbar k_1}{m}\abs{B}^2$ を引いたものである（干渉項は流れに寄与しない）．

階段ポテンシャルでは，$J_{\mathrm{in}}=\dfrac{\hbar k_1}{m}\abs{A}^2$，$J_{\mathrm{R}}=\dfrac{\hbar k_1}{m}\abs{B}^2$，$J_{\mathrm{T}}=\dfrac{\hbar k_2}{m}\abs{C}^2$ だから，

である．透過率には，波数の比 $k_2/k_1$（速さの比）がかかる．前項の結果 (c) を代入しよう．

結果を眺めよう．

• $E\gg V_0$ のとき，$k_2\to k_1$ で $R\to0$，$T\to1$．階段が粒子のエネルギーに比べて小さいと，反射はほとんど起こらない．
• $E\to V_0$（から上）のとき，$k_2\to0$ で $R\to1$，$T\to0$．$x\gt0$ での粒子の速さが $0$ に近づくと，透過はほとんど起こらない．
• $E\gt V_0$ でも，$R\ne0$ である．古典力学では，$E\gt V_0$ の粒子は必ず階段を越える（$T=1$）．量子力学で反射が起こるのは，波の性質による．屈折率が違う境目での光の反射（垂直入射で $R=\left(\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$），弦の線密度が違う境目での反射（AD 03「大学基礎物理学」14.2，14.3）と，まったく同じ形の式である．波数 $k$ が，屈折率 $n$ の役割をしている．

12.2.3 $E\lt V_0$ の階段 — 全反射としみ出し

次に，粒子のエネルギーが階段より低い場合（$0\lt E\lt V_0$）を考える．$x\lt0$ の解は前と同じ $Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}$（$k_1=\sqrt{2mE}/\hbar$）．$x\gt0$ では，式 \eqref{eq:12-tise} が $\psi''=\kappa^2\psi$（$\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$）となり，一般解は $Ce^{-\kappa x}+De^{+\kappa x}$ である．$e^{+\kappa x}$ は $x\to\infty$ で発散し，確率密度が無限に大きくなってしまうので，物理的に許されない：$D=0$．よって

である．$x=0$ の境界条件は，$\psi$ の連続から $A+B=C$，$\psi'$ の連続から $ik_1(A-B)=-\kappa C$，すなわち $A-B=\dfrac{-\kappa}{ik_1}C=\dfrac{i\kappa}{k_1}C$ である（$-1/i=i$ を使った）．前項と同様に足し引きして，

を得る．$E\gt V_0$ の結果 (c) で $k_2\to i\kappa$ とおいた形になっている．

階段が非常に高い極限（$V_0\to\infty$，$\kappa\to\infty$）では，$\delta\to\pi/2$，$B/A\to-1$，$C\to0$ となり，壁で $\psi=0$ になる無限井戸（第10章）の壁での反射（位相が $\pi$ ずれる，固定端反射）に一致する．一方，$E\to V_0$（$\kappa\to0$）では $\delta\to0$，$B/A\to1$（自由端反射）になる．波が壁に浸透してから反射される，という描像は，光の全反射（AD 03 14.7）で，光が空気側に少ししみ出してから反射されるのと同じである．

12.2.4 階段ポテンシャルの $R$，$T$ をエネルギーの関数として見る

図12.3 は，式 \eqref{eq:12-step-RT} と \eqref{eq:12-step-low} をまとめて，$E/V_0$ の関数として描いたものである．$E\lt V_0$ では全反射（$R=1$）だが，$E$ が $V_0$ を超えるとすぐに透過が始まり，$E=2V_0$ でも $R=0.029$ の反射が残る．古典力学では，$E\gt V_0$ で $T=1$ の階段関数になる．量子力学では，$E=V_0$ の付近で丸く鈍った曲線になる．

12.3 障壁の透過率 — エネルギーが障壁より低いとき

いよいよ本題である．式 \eqref{eq:12-V} の障壁（$0\le x\le L$ で $V=V_0$，それ以外で $V=0$）に，エネルギー $E\lt V_0$ の粒子が左から入射するとき，反対側に透過する割合を求める．手順は階段ポテンシャルと同じで，(1) 3 つの領域ごとに Schrödinger 方程式を解き，(2) 2 つの境目 $x=0$，$x=L$ で $\psi$ と $\psi'$ を連続的につなぎ，(3) 未知の係数の比を決める，の 3 段階である．

12.3.1 3 つの領域の波動関数

領域を左から順に I（$x\lt0$），II（$0\le x\le L$），III（$x\gt L$）とよび，それぞれの波動関数を $\psi_1$，$\psi_2$，$\psi_3$ と書く．本章では，次の 2 つの波数を使う．

$k_0$ は $V=0$ の領域での（運動エネルギー $E$ に対応する）波数，$\kappa$ は障壁の中での減衰定数である．どちらも実数で正である（$0\lt E\lt V_0$ だから）．どちらも長さの逆数（$\mathrm{m^{-1}}$）の次元をもつ（$\sqrt{\mathrm{kg\cdot J}}/(\mathrm{J\,s})=\mathrm{m^{-1}}$）ので，$\kappa L$ は無次元である．

領域 I（$x\lt0$）： $V=0$ だから，式 \eqref{eq:12-tise} は $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\dd^2\psi}{\dd x^2}=E\psi$，すなわち $\psi''=-k_0^2\psi$ となる．これは単振動の方程式で，解は 2 つの進行波 $e^{\pm ik_0x}$ の重ね合わせである：

$A_1e^{ik_0x}$ は右向きに進む波で，障壁へ向かう入射波，$A_2e^{-ik_0x}$ は左向きに進む波で，障壁で跳ね返された反射波である．時間依存性 $e^{-iEt/\hbar}$ をかけると，前者は $e^{i(k_0x-\omega t)}$，後者は $e^{i(-k_0x-\omega t)}$ となり，進む向きがわかる（12.2 節）．

領域 II（$0\le x\le L$）： $V=V_0$ だから，$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi''+V_0\psi=E\psi$，すなわち

である．$V_0-E\gt0$ なので，この方程式は $\psi''=\kappa^2\psi$ で，解は指数関数：

である．$e^{\kappa x}$ は右へ行くほど増え，$e^{-\kappa x}$ は減る．領域 II は有限の幅しかないので，$x\to\infty$ で発散する項を除く必要はなく，両方の項が必要である（12.3.5 節で，両方があってはじめて流れが生じることを見る）．

領域 III（$x\gt L$）： ふたたび $V=0$ なので，領域 I と同じ方程式になる：

$C_1e^{ik_0x}$ は右向きの透過波，$C_2e^{-ik_0x}$ は左向きの波である．

12.3.2 境界条件 — 4 つの式

領域の境目 $x=0$ と $x=L$ では，ポテンシャルは有限の跳びしかない．12.2 節と同じく，Schrödinger 方程式を境目のまわりで積分すると，$\psi$ も $\psi'$ も境目で連続でなければならないことがわかる．すなわち境界条件は次の 4 つである（$\psi(-0)$，$\psi(+0)$ は，$x=0$ に左，右から近づけた極限値）：

各領域の波動関数 \eqref{eq:12-psi1}〜\eqref{eq:12-psi3} と，その導関数（$\psi_1'=ik_0(A_1e^{ik_0x}-A_2e^{-ik_0x})$，$\psi_2'=\kappa(B_1e^{\kappa x}-B_2e^{-\kappa x})$，$\psi_3'=ik_0(C_1e^{ik_0x}-C_2e^{-ik_0x})$）を代入すると，

となる．式 \eqref{eq:12-bc1}，\eqref{eq:12-bc3} は $x=0$ での，式 \eqref{eq:12-bc2}，\eqref{eq:12-bc4} は $x=L$ での条件である．式 \eqref{eq:12-bc3} の両辺を $ik_0$ で割り，$1/i=-i$ を使うと，$x=0$ での 2 つの条件は次の形にそろう：

未知数は $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ の 6 個，式は 4 個である．解が一意に決まらないのは当然で，(i) 波動関数全体の定数倍の自由度（規格化していない）と，(ii) 右側にどんな波があるかという物理的な条件が，まだ決まっていないからである．次の項で (ii) を決める．

12.3.3 右向きの波だけが透過する — $C_2=0$

領域 III の左向きの波 $C_2e^{-ik_0x}$ は，右の無限遠から障壁へ向かって粒子が入射してくることを表す．いま考えているのは，粒子が左から入射して，一部が反射し，一部が透過する状況である．右側から粒子が飛んでくることはない．物質波は $x$ 軸の正の向きに進み，$x\gt L$ の範囲には $x$ 軸の負の向きに流れる波はないので，

とおく．これで未知数は $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1$ の 5 個になり，式は 4 個である．残る自由度は波動関数全体の定数倍だけなので，比 $A_2/A_1$（反射）と $C_1/A_1$（透過）が確定する．

12.3.4 係数を解く — 障壁の中の $B_1$ を基準にして

境界条件 \eqref{eq:12-bc1}〜\eqref{eq:12-bc4} を $C_2=0$ のもとで解く．まず $x=0$ での条件 \eqref{eq:12-bc-left} から，$A_1,A_2$ を $B_1,B_2$ で表す．2 式を足すと $2A_1=(B_1+B_2)-i\dfrac{\kappa}{k_0}(B_1-B_2)$，引くと $2A_2=(B_1+B_2)+i\dfrac{\kappa}{k_0}(B_1-B_2)$ である．$B_1,B_2$ でくくり直し，$\dfrac{1}{2k_0}$ を前に出すと，

となる．たとえば $A_1$ の $B_1$ の係数は $\dfrac12\left(1-i\dfrac{\kappa}{k_0}\right)=\dfrac{k_0-i\kappa}{2k_0}$ である．

次に $x=L$ での条件 \eqref{eq:12-bc2}，\eqref{eq:12-bc4} を $C_2=0$ で書くと，$B_1e^{\kappa L}+B_2e^{-\kappa L}=C_1e^{ik_0L}$，$\kappa\left(B_1e^{\kappa L}-B_2e^{-\kappa L}\right)=ik_0C_1e^{ik_0L}$ である．それぞれ $C_1$ について解くと（後者は両辺を $ik_0e^{ik_0L}$ で割り，$1/i=-i$ を使う），

という 2 通りの表現が得られる．これらは同じ $C_1$ を表すから，右辺どうしが等しい．共通因子 $e^{-ik_0L}$ を消して $k_0$ をかけると，

$B_1$ の項を左辺，$B_2$ の項を右辺に集めると $(k_0+i\kappa)B_1e^{\kappa L}=-(k_0-i\kappa)B_2e^{-\kappa L}$ となり，$B_2$ が $B_1$ で決まる：

（2 つ目の等号は，分母分子に $k_0+i\kappa$ をかけて $(k_0-i\kappa)(k_0+i\kappa)=k_0^2+\kappa^2$ を使った．）障壁の中の 2 つの係数が，$e^{2\kappa L}$ を含む比で結びつくことに注意しよう．$L$ が大きいと，$B_2$ は $B_1$ よりずっと大きい．

これを式 \eqref{eq:12-A1B}，\eqref{eq:12-A2B}，\eqref{eq:12-C1a} に代入して，$A_1,A_2,C_1$ をすべて $B_1$ で表す．

• $A_1$：$(k_0+i\kappa)B_2=-\dfrac{(k_0+i\kappa)^3}{k_0^2+\kappa^2}e^{2\kappa L}B_1$ だから，

• $A_2$：$(k_0-i\kappa)B_2=-\dfrac{(k_0-i\kappa)(k_0+i\kappa)^2}{k_0^2+\kappa^2}e^{2\kappa L}B_1=-(k_0+i\kappa)\,e^{2\kappa L}B_1$ だから（$(k_0-i\kappa)(k_0+i\kappa)=k_0^2+\kappa^2$），

• $C_1$：式 \eqref{eq:12-C1a} に $B_2$ を代入し，$e^{-ik_0L}e^{\kappa L}=e^{(\kappa-ik_0)L}$ でくくると，

ここまでをまとめると，次のようになる．

反射率は $A_2/A_1$ を，透過率は $C_1/A_1$ を使って求める（次項で述べるように，2 乗が必要である）．$B_1$ は共通の未知の定数なので，比をとると消える．$A_1$ の $\dfrac{(k_0+i\kappa)^3}{k_0^2+\kappa^2}$ は $\dfrac{(k_0+i\kappa)^2}{k_0-i\kappa}$ と書き直せるので，$A_1=\dfrac{1}{2k_0}\left\{k_0-i\kappa-\dfrac{(k_0+i\kappa)^2}{k_0-i\kappa}e^{2\kappa L}\right\}B_1$ である．すると

で，分母分子に $k_0-i\kappa$ をかけると，分子は $(k_0+i\kappa)(k_0-i\kappa)(1-e^{2\kappa L})=(k_0^2+\kappa^2)(1-e^{2\kappa L})$，分母は $(k_0-i\kappa)^2-(k_0+i\kappa)^2e^{2\kappa L}$ になる．透過の比 $\dfrac{C_1}{A_1}$ も同様に，分子は $2k_0e^{(\kappa-ik_0)L}\left(1-\dfrac{k_0+i\kappa}{k_0-i\kappa}\right)$ で，$(k_0-i\kappa)$ をかけると $2k_0e^{(\kappa-ik_0)L}\left[(k_0-i\kappa)-(k_0+i\kappa)\right]=2k_0e^{(\kappa-ik_0)L}(-2i\kappa)$ となる．

12.3.5 反射率 $R$ と透過率 $T$

領域 I と III は，どちらも $V=0$ で波数が同じ $k_0$ だから，確率の流れ \eqref{eq:12-J} は，入射波 $\dfrac{\hbar k_0}{m}\abs{A_1}^2$，反射波 $\dfrac{\hbar k_0}{m}\abs{A_2}^2$，透過波 $\dfrac{\hbar k_0}{m}\abs{C_1}^2$ となり，係数 $\hbar k_0/m$ が共通である．したがって定義12.1 の反射率・透過率は，振幅比の絶対値の 2 乗で与えられる：

そこで式 \eqref{eq:12-ratios} の絶対値の 2 乗を計算する．共通の分母を $D\equiv(k_0-i\kappa)^2-(k_0+i\kappa)^2e^{2\kappa L}$ とおく．$D$ に $-e^{-\kappa L}$ をかけて，$\sinh$，$\cosh$ の形にしよう．$(k_0\pm i\kappa)^2=(k_0^2-\kappa^2)\pm2ik_0\kappa$ を使うと，

である．双曲線関数 $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$（大学数学 第2章 2.5）を使うと，$-e^{-\kappa L}D=2\Lambda$ となる．ただし

とおいた．式 \eqref{eq:12-ratios} の分子分母に $-e^{-\kappa L}$ をかける．分母は $2\Lambda$ になる．$A_2/A_1$ の分子は $-e^{-\kappa L}(1-e^{2\kappa L})=e^{\kappa L}-e^{-\kappa L}=2\sinh\kappa L$ を使って $2(k_0^2+\kappa^2)\sinh\kappa L$，$C_1/A_1$ の分子は $-4ik_0\kappa\,e^{(\kappa-ik_0)L}\cdot(-e^{-\kappa L})=4ik_0\kappa\,e^{-ik_0L}$ になる．分子分母の 2 を約すと

（$2\Lambda=(k_0+i\kappa)^2e^{\kappa L}-(k_0-i\kappa)^2e^{-\kappa L}$ だから，指数関数のままで書けば，$\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{(k_0^2+\kappa^2)\left(e^{\kappa L}-e^{-\kappa L}\right)}{(k_0+i\kappa)^2e^{\kappa L}-(k_0-i\kappa)^2e^{-\kappa L}}$，$\dfrac{C_1}{A_1}=\dfrac{4ik_0\kappa\,e^{-ik_0L}}{(k_0+i\kappa)^2e^{\kappa L}-(k_0-i\kappa)^2e^{-\kappa L}}$ である．）

$\abs{\Lambda}^2$ は，実部と虚部の 2 乗の和として，$\cosh^2=1+\sinh^2$ と $(k_0^2-\kappa^2)^2+4k_0^2\kappa^2=(k_0^2+\kappa^2)^2$ を使うと

となる．$\abs{e^{-ik_0L}}=1$ だから，次の結果を得る．

$R$ と $T$ は同じ分母をもち，分子の和 $(k_0^2+\kappa^2)^2\sinh^2\kappa L+4k_0^2\kappa^2$ がちょうど分母に等しいから，$R+T=1$ である．確かに $T+R=1$ で，しかも $0\lt T\lt1$，$0\lt R\lt1$ になっている（$\sinh\kappa L\gt0$ だから分子も分母の第 2 項も正）．粒子は，一部が跳ね返され，一部が障壁を越える．「エネルギーが足りないのに障壁を越える確率が，$0$ と $1$ の間の値としてきちんと出てくる」のである．

12.3.6 もう 1 つの道 — 透過側から逆にたどる

同じ問題は，解く順序を逆にしても解ける．透過波の係数 $C_1$ を基準にして，右の境目 $x=L$ から左へ，$B_1,B_2$，次いで $A_1,A_2$ を順に決めていく道である．こちらの道は，$T$ が 1 行で出てくる．

この結果は，前項の定理12.4 と一致する．実際，$s^2=\dfrac{(k_0^2+\kappa^2)^2}{4k_0^2\kappa^2}$ を $T=\dfrac{1}{1+s^2\sinh^2\kappa L}$ に代入し，分子分母に $4k_0^2\kappa^2$ をかけると $T=\dfrac{4k_0^2\kappa^2}{4k_0^2\kappa^2+(k_0^2+\kappa^2)^2\sinh^2\kappa L}$ で，式 \eqref{eq:12-RT-sinh} の $T$ に等しい．また，$\Lambda=2ik_0\kappa(\cosh\kappa L-iq\sinh\kappa L)$ の関係があるので，式 \eqref{eq:12-ratios-sinh} の 2 つの振幅比も一致する．2 つの独立な計算が同じ答えに至ったことで，計算の確かさが確認できた．

12.3.7 エネルギー $E$ と障壁の高さ $V_0$ で書く

波数を元の量に戻そう．$k_0^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}$，$\kappa^2=\dfrac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}$ の和は $k_0^2+\kappa^2=\dfrac{2mV_0}{\hbar^2}$，積は $k_0^2\kappa^2=\left(\dfrac{2m}{\hbar^2}\right)^2E(V_0-E)$ である．したがって $s^2=\dfrac{(k_0^2+\kappa^2)^2}{4k_0^2\kappa^2}=\dfrac{V_0^2}{4E(V_0-E)}$ となり，次の形に書ける．

$R$ の式は，$R=\dfrac{s^2\sinh^2\kappa L}{1+s^2\sinh^2\kappa L}=\left[1+\dfrac{1}{s^2\sinh^2\kappa L}\right]^{-1}$ から得られる．式の意味を，極限で確かめておく．

• $L\to0$：$\sinh\kappa L\to0$ だから $T\to1$．障壁がなくなれば，全部透過する．
• $L\to\infty$：$\sinh\kappa L\to\infty$ だから $T\to0$．障壁が厚くなるほど $T$ は小さい（12.5 節で $T\propto e^{-2\kappa L}$ を見る）．
• $E\to V_0$（$\kappa\to0$）：$\sinh\kappa L\approx\kappa L$ で，$\dfrac{V_0^2\kappa^2L^2}{4E(V_0-E)}=\dfrac{V_0^2L^2}{4E}\cdot\dfrac{2m}{\hbar^2}\to\dfrac{mV_0L^2}{2\hbar^2}$ となり，$T\to\left[1+\dfrac{mV_0L^2}{2\hbar^2}\right]^{-1}$（有限で，$0$ でも $1$ でもない）．12.4 節の $E\gt V_0$ の結果とも，この値でなめらかにつながる．
• $E\to0$：$4E(V_0-E)\to0$ で $T\to0$．エネルギーが低い粒子は（波長が長く，障壁から見ると壁が急に立つので）ほぼ完全に反射される．
• 古典極限：質量 $m$ が大きい，あるいは $\hbar\to0$ とすると，$\kappa\to\infty$ で $T\to0$ となり，古典力学の答え（全反射）に近づく（例題12.1 (3)）．

12.3.8 数値で確かめる

図12.5 は，$E/V_0=0.6$，$\kappa L=1$ の場合の，定常状態の波動関数 $\psi(x)$ の実部と確率密度 $\abs{\psi(x)}^2$ である（入射波の振幅 $A_1=1$．$A_2$，$C_1$ を式 \eqref{eq:12-ratios-sinh} から，$B_1$，$B_2$ を式 \eqref{eq:12-A1A2C1} などから求めて，各領域の式に代入して描いた）．領域 I では，入射波と反射波が重なって定在波の縞をつくる．確率密度は $\abs{1+\sqrt{R}\,e^{i\theta}}^2$（$\theta=2k_0x+\arg(A_2/A_1)$ は入射波と反射波の位相差）の形で，山（腹）は $(1+\sqrt R)^2$，谷（節）は $(1-\sqrt R)^2$ になる．反射率が 1 でないので，節の確率密度は $0$ にならない．領域 II では減衰し，領域 III では，進行波の確率密度は場所によらず一定で，その値は $\abs{C_1}^2=T$ である．

12.4 エネルギーが障壁より高いとき — 共鳴と反射

12.4.1 古典力学の答えと，量子力学の予想

今度は，粒子のエネルギーが障壁より高い場合（$E\gt V_0$）を考える．古典力学では，粒子は障壁の上で減速して（運動エネルギーが $E-V_0$ に減って）通過し，反対側でもとの速さに戻る．障壁にぶつかって跳ね返される粒子はなく，$x\gt L$ の領域には，入射した粒子が必ず 100% 到達する（$T=1$，$R=0$）．

量子力学ではどうか．12.2 節の階段ポテンシャルで，$E\gt V_0$ でも反射が起こることを見た．障壁には境目が 2 つあるから，$x\lt0$ の領域へ反射される粒子の確率が存在する，と予想される．さらに，2 つの境目で反射した波どうしが干渉するので，反射率は $E$ や $L$ とともに振動するだろう．実際にそうなることを，12.3 節の結果を使って調べる．

12.4.2 $\kappa\to ik'$ の置き換え — $E\gt V_0$ の透過率・反射率

領域 II の方程式は $\psi''=-\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)\psi$ となり，$E-V_0\gt0$ だから振動する解をもつ．そこで

とおく（$k'$ は障壁の中の波数．外の波数 $k_0=\sqrt{2mE}/\hbar$ より小さい）．すると $k'^2=\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)=-\kappa^2$ である．つまり $E\lt V_0$ の結果で $\kappa$ を $ik'$ に置き換えると，領域 II の波動関数 $B_1e^{\kappa x}+B_2e^{-\kappa x}$ が $B_1e^{ik'x}+B_2e^{-ik'x}$ になり，$E\gt V_0$ の一般解の形と一致する．境界条件の式 \eqref{eq:12-bc1}〜\eqref{eq:12-bc4} も，そのまま成り立つ．そこで，12.3 節の結果に $\kappa=ik'$を代入して，透過率と反射率を求めよう．必要な置き換えは 2 つである．

この置き換えで，次の結果を得る．

$\kappa$ を虚数に置き換えてよいのか，という疑問が残るかもしれない．念のため，$E\gt V_0$ の場合を，置き換えを使わずに直接導いておこう．12.3.6 節の第 2 の道（透過側から逆にたどる道）は，途中で $\kappa$ が実数であることを一度も使っていない．

12.4.3 $\sin k'L=0$ のとき完全に透過する — 共鳴

式 \eqref{eq:12-RT-high} で $\sin k'L=0$，すなわち

のとき，$R=0$，$T=1$ となる．反射がまったくなくなり，入射した粒子が 100% 障壁を通過する．これを共鳴（resonance）という．障壁の中の波長は $\lambda'=2\pi/k'$ だから，条件は $L=n\dfrac{\lambda'}{2}$，すなわち障壁の中に半波長の整数倍がちょうど収まることである．

これは波の干渉で理解できる．入射波は，$x=0$ で（波数が $k_0$ から $k'\lt k_0$ に変わるので）一部反射される．その反射の振幅は $\dfrac{k_0-k'}{k_0+k'}$ である（12.2 節の式 (c) で $k_1=k_0$，$k_2=k'$）．障壁の中を進んだ波は $x=L$ で（波数が $k'$ から $k_0$ に増えるので）反射され，その振幅は符号が逆の $\dfrac{k'-k_0}{k'+k_0}$ になる．この 2 つ目の反射波は，障壁の中を往復した分（行きと帰りで $2L$）だけ位相が $2k'L$ 遅れて戻ってくる．$2k'L=2n\pi$ のとき，遅れは波の 1 周期の整数倍で，符号の逆転と合わせて 1 つ目の反射波を打ち消す．多重反射をすべて足しても，反射波は $0$ になる．これは，薄膜が反射光を打ち消す干渉（AD 03「大学基礎物理学」第16章 16.4）や，2 枚の平行な鏡の間で光を往復させて共振させる Fabry–Perot 干渉計（共振器）と，まったく同じ現象である．

共鳴のエネルギーは，$k'L=n\pi$ に $k'=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$ を代入して，

である．障壁の上端 $V_0$ を基準にしたエネルギーが，幅 $L$ の無限井戸の準位（第10章）$E_n=n^2h^2/8mL^2$ にちょうど一致する．障壁の上の領域が，波にとっては「両端が開いた共鳴器」になっているのである．電子の場合，$L=1\ \mathrm{nm}$ で $\dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L^2}=0.376\ \mathrm{eV}$ だから，共鳴のエネルギーは $V_0+0.376\,n^2\ \mathrm{eV}$ である．

波の干渉による完全透過は，障壁以外にも現れる．アルゴンなどの希ガスでは，$0.3\ \mathrm{eV}$ 前後の低エネルギーの電子が散乱されにくくなる Ramsauer–Townsend 効果がある．これは障壁ではなく，原子の内部の引力の井戸の上を通る波でも，井戸の中の波の位相がちょうど合うと反射が消える，という類似の干渉現象として理解できる（3 次元の s 波の位相のずれが $\pi$ になる）．また，2 つの薄い障壁で挟まれた領域の電子が，その領域の準位に合うエネルギーで障壁を通り抜ける共鳴トンネルダイオードでも，波の干渉による完全透過の考え方が使われる（12.7 節）．ただし，こちらは $E\lt V_0$ での現象で，本節の $E\gt V_0$ の単一障壁の共鳴とは機構が異なる．共鳴のとき，領域 I には反射波がないので確率密度は一様で（図12.7 (a)），共鳴でないときは，反射波との干渉で縞ができる（図12.7 (b)）．

12.4.4 $R$ を $E/V_0$ の関数として見る

反射率がエネルギーとともにどう変わるかを，一目で見るには，無次元の量にするのがよい．障壁の「強さ」を表す無次元量

を導入する．$g$ は無次元である（$[\mathrm{kg}\cdot\mathrm{J}\cdot\mathrm{m}^2]/[\mathrm{J\,s}]^2=1$）．$\kappa L=\sqrt{g(1-\varepsilon)}$（$\varepsilon\lt1$），$k'L=\sqrt{g(\varepsilon-1)}$（$\varepsilon\gt1$）と書けるので，$R$ は $\varepsilon$ と $g$ だけの関数になる．電子では $\hbar^2/2m_{\mathrm e}=0.0381\ \mathrm{eV\,nm^2}$ だから，$g=V_0L^2/(0.0381\ \mathrm{eV\,nm^2})$ である．たとえば $V_0=10\ \mathrm{eV}$，$L=0.195\ \mathrm{nm}$ で $g=10$ となる．$E=V_0$（$\varepsilon=1$）では，式 \eqref{eq:12-RT-E} の極限（12.3.7 節）から $T=\dfrac{1}{1+g/4}$，$R=\dfrac{g}{g+4}$ である．図12.8 は，$g=10$ と $g=0.4$ の場合の $R$ である．

図から，次のことがわかる．(1) 障壁が強い（$g=10$）と，$E\lt V_0$ では $R\approx1$（ほとんど反射）だが，$E\gt V_0$ になっても反射はなかなか消えず，$E=V_0$ での反射率は $0.71$ である．(2) $E/V_0=1+\pi^2/10=1.99$ で $R=0$（$n=1$ の共鳴）．そのあと，$R$ は $0.04$ 程度の小さな山と，$R=0$ の谷（$E/V_0=4.95$ などで共鳴）を繰り返しながら，$E\to\infty$ で $0$ に近づく．最初の山は $\varepsilon\approx2.9$ にあり，$R\approx0.038$ である（$\sin^2k'L=1$ となる $k'L=3\pi/2$，$\varepsilon=1+\dfrac{9\pi^2}{4g}=3.22$ では $R=\left[1+4\varepsilon(\varepsilon-1)\right]^{-1}=0.034$ で，前因子 $4\varepsilon(\varepsilon-1)$ が $\varepsilon$ とともに増えるため，山の頂上はそれより少し手前になる）．(3) 弱い障壁（$g=0.4$）では，$R$ が $1$ に近いのは $E\to0$ の極限だけで，$E=0.5V_0$ でもすでに $R=0.18$ まで下がる．$E\gt V_0$ の共鳴は $\varepsilon=1+\pi^2/0.4=25.7$ まで現れず，$R$ はなめらかに単調に $0$ へ近づく．

12.5 厚い障壁の近似と WKB 近似の入口

12.3 節で得た透過率 \eqref{eq:12-RT-E} は厳密だが，$\sinh$ が入っていて，一目で桁の見当をつけにくい．例12.1 の $T=6.6\times10^{-8}$ も，例題12.4 の $L=0.5,1,2\ \mathrm{nm}$ での $10^{-4},10^{-8},10^{-15}$ も，ほぼ「$L$ を 1 nm 増すごとに一定の倍率で減る」という，指数関数に従っていた（図12.6）．この節では，その指数関数の形を取り出し，障壁が四角形でない一般の場合に拡張する．

12.5.1 厚い障壁の近似 — $T\approx\dfrac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\,e^{-2\kappa L}$

障壁が十分に厚く（$\kappa L\gg1$），障壁の中で波動関数が何倍も減衰するとする．$\sinh\kappa L=\dfrac{e^{\kappa L}-e^{-\kappa L}}{2}$ の第 2 項 $e^{-\kappa L}$ は第 1 項に比べて無視できるので，

と近似できる（相対誤差は $e^{-2\kappa L}$ 程度）．これを式 \eqref{eq:12-RT-E} に代入すると，

となる．2 つ目の $\approx$ では，括弧の中の第 2 項 $X\equiv\dfrac{V_0^2e^{2\kappa L}}{16E(V_0-E)}$ が $1$ より十分大きい（$X\gg1$）として，$[1+X]^{-1}\approx X^{-1}$ とした．$4E(V_0-E)\le V_0^2$（$E=V_0/2$ で等号）だから $X\ge e^{2\kappa L}/4$ であり，$e^{2\kappa L}\gg4$，すなわち $\kappa L\gtrsim2$ ならこの近似は精度よく成り立つ．$\kappa$ に $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ を戻すと，次の結果を得る．

指数関数の前の因子 $\dfrac{16E(V_0-E)}{V_0^2}=16\,\dfrac{E}{V_0}\left(1-\dfrac{E}{V_0}\right)$ は，$E=V_0/2$ で最大値 $4$ をとる程度の，$1$ に近い数である．一方，指数の部分 $e^{-2\kappa L}$ は，$L$ や $m$ を少し変えるだけで何桁も変わる．$T$ の値は，ほとんど指数の部分で決まる．そこで，桁を見積もる粗い近似として，前因子を落とした

がよく使われる．$e^{-\kappa L}$ は障壁の中で波動関数の振幅が減衰する割合で，透過率はその 2 乗である（確率は振幅の 2 乗）．

12.5.2 一般の山型ポテンシャル — 短冊に分けて掛け合わせる

実際のトンネル現象の障壁は，たいてい四角形ではない．たとえば $\alpha$ 崩壊の Coulomb 障壁（12.6 節）や，電界放出の三角形の障壁（12.7 節）は，位置とともになめらかに高さが変わる．そのような一般の障壁 $V(x)$ の透過率を，四角形の障壁の結果をもとに近似する方法を考えよう．

図12.9 のように，粒子のエネルギー $E$ より $V(x)$ が高い領域 $x_1\lt x\lt x_2$（両端 $x_1,x_2$ は $V=E$ となる転回点）を，幅 $\Delta x$ の細い短冊に分ける．各短冊の中では，ポテンシャルがほぼ一定値 $V(x_j)$ とみなせる．すると，短冊 $j$ の中では $\psi''=\kappa_j^2\psi$ とみなせて，減衰定数は

である（$x_j$ は短冊 $j$ の中の代表点．ここでは図12.9 のように短冊の中点 $x_1+(j-\tfrac12)\Delta x$ にとる．左端でも同じで，$\Delta x\to0$ の極限では同じ結果になる）．波動関数の振幅は，短冊 $j$ を通り抜けるたびに $e^{-\kappa_j\Delta x}$ 倍になる．障壁全体を通り抜けたときの振幅は，これらの積で，透過率（確率）はその 2 乗だから，各短冊の $e^{-2\kappa_j\Delta x}$ の積になる：

ここで使っているのは，四角形の障壁の透過率の式 \eqref{eq:12-T-exp}（$\kappa L\gg1$ を前提とする）そのものではなく，波動関数の振幅が短冊 1 枚を通るたびに $e^{-\kappa_j\Delta x}$ 倍になる（$\psi''=\kappa_j^2\psi$ の局所的な解 $e^{-\kappa_jx}$ の減り方）という事実だけである．実際，$\Delta x\to0$ の短冊 1 枚だけを取り出せば $\kappa_j\Delta x\ll1$ で，その短冊の透過率は $e^{-2\kappa_j\Delta x}$ ではなく $1$ に近い．境目での反射の効果（前因子）は無視して，指数の部分だけを追う，というのがこの近似の意味であり，次の 12.5.3 節の WKB 近似がこれを正当化する．

ここで，掛け算により，指数の部分が足し算になる．

となる．短冊を細かくしていき，$\Delta x\to0$ とすると，和は積分（区分求積法．和 $\sum f(x_j)\Delta x\to\int f(x)\dd x$）になる．こうして一般の形の透過率が得られる．

四角形の障壁（$V=V_0$ が $L$ の間だけ一定）では，積分は $\kappa L$ になり，式 \eqref{eq:12-gamow} は式 \eqref{eq:12-T-exp} に一致する．なお，Gamow 因子を $G=\dfrac{2}{\hbar}\displaystyle\int\sqrt{2m(V-E)}\,\dd x$ と書き，$T\approx e^{-G}$ とよぶ流儀もある．本書でも，12.6 節では $G$ を使う．

12.5.3 WKB 近似の入口 — この近似はいつ正しいか

式 \eqref{eq:12-gamow} は，量子力学の近似法の 1 つである WKB 近似（Wentzel–Kramers–Brillouin，1926 年）から，より系統的に導ける．ここでは細部に立ち入らず，考え方と適用条件だけを述べる．

ポテンシャルが一定値 $V$ の領域では，禁じられた領域の波動関数は $e^{\pm\kappa x}$ だった．ポテンシャルが位置とともにゆっくり変わるとき，波動関数は，$\kappa$ を位置の関数 $\kappa(x)$ に置き換えた

の形になる，というのが WKB 近似である（$1/\sqrt{\kappa}$ は，流れの保存から決まる振幅の補正）．これを障壁の入口から出口まで追うと，振幅が $\exp\!\left[-\int_{x_1}^{x_2}\kappa\,\dd x\right]$ 倍に減衰し，その 2 乗が式 \eqref{eq:12-gamow} になる．適用できるのは，ポテンシャルが「ゆっくり」変わる場合，すなわち減衰定数 $\kappa(x)$ が，$1/\kappa$ 程度の距離ではほとんど変わらない場合である：

この条件は，転回点 $x_1,x_2$（$\kappa\to0$）の近傍では必ず破れる．転回点の近くでは，Airy 関数（線形ポテンシャルの厳密解）を使った接続公式で波をつなぐ必要があるが，障壁が厚く，指数の部分が主役であれば，結果は式 \eqref{eq:12-gamow} の形（前因子は $1$ 程度）になる．四角形の障壁では前因子が $\dfrac{16E(V_0-E)}{V_0^2}$（最大 $4$）と $1$ からずれるのは，$x=0$，$x=L$ でポテンシャルが急に跳ぶ（「ゆっくり変わる」に反する）ために，境目で波が反射されるからである．なめらかな障壁では，そのような反射はなく，前因子は $1$ に近い．

もう 1 つ，重要な注意がある．WKB 近似は指数の部分を高い精度で与えるが，前因子には保証がない．また，エネルギーが障壁の頂点の高さ $V_{\max}$ に近い（$T\sim1$）ときは使えない（式 \eqref{eq:12-gamow} は $T\le1$ を保証しない）．次の例で，四角形でない障壁を扱い，厳密解と比べよう．

12.6 α 崩壊の理論 — Gamow 因子

トンネル効果が最初に自然界の現象として説明されたのが，放射性原子核が $\alpha$ 線（ヘリウム $^4\mathrm{He}$ の原子核，電荷 $+2e_0$）を放出する$\alpha$ 崩壊である．半減期は，ポロニウム $212$ の約 $3\times10^{-7}$ 秒から，ウラン $238$ の約 $4.5\times10^{9}$ 年まで，約 24 桁も異なる．$\alpha$ 粒子のエネルギー（$4\sim9\ \mathrm{MeV}$）は，たった $2$ 倍ほどしか違わないのに，なぜ半減期がこれほど違うのか．前節の Gamow 因子で説明しよう．

12.6.1 ポテンシャルのモデル — 核内の井戸と Coulomb 障壁

$\alpha$ 粒子は，原子核の内部では，核力による強い引力で閉じ込められている．核の外に出ると，残った原子核（娘核，電荷 $+Ze_0$．$Z$ は娘核の陽子数）の Coulomb 斥力を受ける．原子核の中心から $\alpha$ 粒子までの距離を $r$，原子核の半径を $R_{\mathrm N}$ として（反射率 $R$ と区別するために添字 N をつけた），$\alpha$ 粒子が受けるポテンシャルエネルギーを図12.11 のようにモデル化する：

ここで $\varepsilon_0$ は真空の誘電率，$2Ze_0^2/(4\pi\varepsilon_0r)$ は，電荷 $2e_0$ の $\alpha$ 粒子と電荷 $Ze_0$ の娘核の間の Coulomb ポテンシャルエネルギー（AD 03「大学基礎物理学」36.5 の点電荷の電位 $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$ に，電荷 $2e_0$ をかけたもの）である．$r=R_{\mathrm N}$ で Coulomb 障壁は最大値 $\dfrac{2Ze_0^2}{4\pi\varepsilon_0R_{\mathrm N}}$ に達し，外へ向かって $1/r$ で下がっていく．

$\alpha$ 粒子のエネルギー $E$ は，障壁の頂点 $\dfrac{2Ze_0^2}{4\pi\varepsilon_0R_{\mathrm N}}$ よりずっと低い．外側の転回点 $r_0$ は，$V(r_0)=E$ から，

と決まる．たとえばウラン $238$ の $\alpha$ 崩壊（娘核はトリウム $234$，$Z=90$）では，$E=4.27\ \mathrm{MeV}$ で，Coulomb 障壁の頂点の高さは $27.9\ \mathrm{MeV}$（$R_{\mathrm N}=9.3\ \mathrm{fm}$ とする．例題12.10）と，$E$ の 6.5 倍もある．古典的には，$\alpha$ 粒子は決して核の外へ出られない．それでも出てくるのは，トンネル効果による．

ここで 3 次元の問題を 1 次元に直す．球対称のポテンシャルで角運動量 $0$ の状態を考えると，波動関数を $\psi(r)=u(r)/r$ と置くことで，動径方向の方程式は $-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}u''+V(r)u=Eu$ という 1 次元の Schrödinger 方程式になる（第14章）．ここで $\mu$ は，$\alpha$ 粒子（質量 $m_\alpha$）と娘核（質量 $M$）の換算質量 $\mu=\dfrac{m_\alpha M}{m_\alpha+M}$ で，$m_\alpha$ より約 $2\%$ 小さい．また，$E$ は 2 つの粒子の重心系での運動エネルギーの和，すなわち崩壊で放出されるエネルギー $Q$ に等しい．したがって，$r$ を 1 次元の座標として，12.5 節の公式12.1 をそのまま使える．

12.6.2 透過率の式と，積分の計算

公式12.1 の $x$ を $r$，$m$ を $\mu$ に置き換え，$x_1=R_{\mathrm N}$，$x_2=r_0$ として，$\alpha$ 粒子が Coulomb 障壁を通り抜ける確率は

である（積分の範囲は，障壁の内側の端 $R_{\mathrm N}$ から外側の転回点 $r_0$ まで）．$G$ は Gamow 因子である．式 \eqref{eq:12-r0} から $\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze_0^2}{r}=E\,\dfrac{r_0}{r}$ だから，根号の中は

となり，Gamow 因子は

の形になる．この積分を，$r=r_0\sin^2\theta$ と置いて計算しよう．

Gamow 因子は $G=\dfrac{2\sqrt{2\mu E}}{\hbar}I$ である．$x\equiv\sqrt{R_{\mathrm N}/r_0}$ とおくと，

である．エネルギー $E$ が十分小さい（すなわち $r_0\gg R_{\mathrm N}$）とき，$x=\sqrt{R_{\mathrm N}/r_0}\ll1$ である．$\sin^{-1}x$ と $x\sqrt{1-x^2}$ を $x$ で展開すると，$\sin^{-1}x=x+\dfrac{x^3}{6}+\cdots$，$x\sqrt{1-x^2}=x-\dfrac{x^3}{2}-\cdots$ だから，どちらも $x$ で近似できる（$\sin^{-1}\sqrt{R_{\mathrm N}/r_0}\approx\sqrt{R_{\mathrm N}/r_0}$，$\sqrt{\tfrac{R_{\mathrm N}}{r_0}\left(1-\tfrac{R_{\mathrm N}}{r_0}\right)}\approx\sqrt{R_{\mathrm N}/r_0}$）．括弧の中は $\pi-2x-2x=\pi-4x$ となり，次の結果を得る．

12.6.3 Gamow 因子の中身 — Geiger–Nuttall の法則

公式12.2 の指数を，物理量に戻して見てみよう．$v=\sqrt{2E/\mu}$ を，$\alpha$ 粒子と娘核の相対速度とする（$\sqrt{2\mu E}=\mu v$）．式 \eqref{eq:12-r0} の $r_0=\dfrac{4Ze_0^2}{4\pi\varepsilon_0\,\mu v^2}$ を使うと，括弧の第 1 項は

となる．$\eta$ は Sommerfeld パラメーター（Coulomb 力の強さと運動量の比を表す無次元量）で，$e^{-2\pi\eta}$ が，核反応の分野でよばれる Gamow の透過因子である．括弧の第 2 項は，$r_0E=\dfrac{2Ze_0^2}{4\pi\varepsilon_0}$ から $-\dfrac{4\sqrt{2\mu ER_{\mathrm N}r_0}}{\hbar}=-\dfrac{8}{\hbar}\sqrt{\dfrac{\mu Ze_0^2R_{\mathrm N}}{4\pi\varepsilon_0}}$ で，$E$ によらない．したがって

と書ける．第 1 項は $Z/\sqrt{E}$ に比例する．Coulomb 相互作用の強さ $e_0^2/(4\pi\varepsilon_0)=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c=1.44\ \mathrm{MeV\,fm}$（2 つの電気素量 $e_0$ が距離 $1\ \mathrm{fm}$ にあるときの Coulomb エネルギー．$\alpha_{\mathrm{fs}}$ は微細構造定数）と，$\alpha$ 粒子と娘核の換算質量 $\mu c^2\approx3.66\times10^{3}\ \mathrm{MeV}$ を使って数値化すると，第 1 項は約 $3.9\,Z/\sqrt{E/\mathrm{MeV}}$ である．半減期 $T_{1/2}\propto e^{G}$ の常用対数は，$Z/\sqrt{E}$ にほぼ比例する：

これが，Geiger（ガイガー）と Nuttall（ナットール）が 1911 年に実験から見いだした Geiger–Nuttall の法則（$\alpha$ 粒子のエネルギーが大きいほど，半減期が指数関数的に短い）を，トンネル効果から説明する式である．Gamow が 1928 年に量子力学でこの経験則を導いたことが，トンネル効果の最初の大きな成功であった．エネルギーが 2 倍になると，$Z/\sqrt{E}$ は約 $0.7$ 倍になるだけだが，係数 $b$ が大きいので，$\log_{10}T_{1/2}$ は何桁も変わる．

12.6.4 半減期の見積もり

$T$ は，$\alpha$ 粒子が核の壁に 1 回ぶつかるあたりの透過確率である．核の中の $\alpha$ 粒子は，井戸の中を速さ $v_{\mathrm{in}}$ で往復し，1 秒間に約 $f=v_{\mathrm{in}}/(2R_{\mathrm N})$ 回，壁にぶつかる．したがって崩壊定数（1 秒あたりの崩壊確率）は $\lambda=f\,T$ である．核の数 $N$ は $\dd N/\dd t=-\lambda N$，すなわち $N=N_0e^{-\lambda t}$ で減り，$N=N_0/2$ となる時間が半減期 $T_{1/2}$（透過率 $T$ とは別の量）である．$e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2$ から $T_{1/2}=\ln2/\lambda$ で，

である．$f$ の見積もりには，$\alpha$ 粒子の井戸の中の運動エネルギー（$Q$ に井戸の深さ $V_0\sim35\ \mathrm{MeV}$ を加えて約 $40\ \mathrm{MeV}$）から $v_{\mathrm{in}}=\sqrt{2\times40\ \mathrm{MeV}/\mu}\approx4.4\times10^{7}\ \mathrm{m/s}$（光速の 15%），$R_{\mathrm N}\approx9.3\ \mathrm{fm}$ を使って，$f\approx\dfrac{4.4\times10^{7}}{2\times9.3\times10^{-15}}=2\times10^{21}\ \mathrm{s^{-1}}$ となる．$G$ が $30\sim90$ と桁違いに変わる中では，$f$ の不確かさは小さいので，以下では一律に $f=1\times10^{21}\ \mathrm{s^{-1}}$ とおく．（実際には，$\alpha$ 粒子が核の中で 1 個のかたまりとして存在する確率などの効果があるが，ここでは考えない．）

表12.2 は，6 つの $\alpha$ 放射性核種について，式 \eqref{eq:12-G-exact} の $G$（換算質量を使い，$R_{\mathrm N}=1.2\left(A_{\mathrm d}^{1/3}+4^{1/3}\right)\ \mathrm{fm}$，$A_{\mathrm d}$ は娘核の質量数とした）から式 \eqref{eq:12-T12} で計算した半減期と，実測の半減期を比べたものである．

計算値は，実測値の $0.25\sim0.8$ 倍と，$24$ 桁にわたる半減期の変化をほぼ再現している．図12.12 は，$\log_{10}T_{1/2}$ を $Z/\sqrt{Q}$ に対してプロットしたもので，6 つの核種は，傾き約 $1.5$ の直線の近くに並ぶ（Geiger–Nuttall の法則）．

12.6.5 太陽の核融合とトンネル効果

12.7 材料・デバイスへの応用 — STM・トンネルダイオード・フラッシュメモリ

材料やデバイスの中では，電子は $\mathrm{eV}$ 程度の障壁を，$\mathrm{nm}$ 程度の厚さでトンネルする．この節では，前節までの式（主に $T\approx e^{-2\kappa L}$ と Gamow 因子）を使って，走査トンネル顕微鏡，トンネルダイオード，電界放出，フラッシュメモリの数値を見積もる．固体のバンド構造の詳細は，姉妹編の「固体物理学（AD 06）」（SSP_Textbook）で扱う．

12.7.1 走査トンネル顕微鏡（STM）

走査トンネル顕微鏡（scanning tunneling microscope，STM）は，先端が原子 1 個ほどに尖った金属の探針を，導電性の試料の表面に $0.5\sim1\ \mathrm{nm}$ まで近づけ，探針と試料の間に小さな電圧（$\mathrm{mV}$ から $\mathrm{V}$ 程度）をかけて，真空の隙間をトンネルで流れる電流（$\mathrm{nA}$ 程度）を測る装置である．1981 年に Binnig と Rohrer が開発した．

探針と試料の間の真空の隙間は，電子にとって高さ $W_0$（金属の仕事関数，$4\sim5\ \mathrm{eV}$）の障壁である（図12.13 右）．仕事関数とは，電子 1 個を金属から真空へ取り出すのに必要な最小のエネルギーで，電子が詰まっている最高のエネルギー準位（Fermi 準位）から真空準位までの高さにあたる（光電効果の 第4章 4.3 の仕事関数 $W_0$ と同じ量である．波動関数・軌道の $\phi$ や運動量表示の $\phi(p)$ と紛れないように，本章でも $W_0$ と書く）．電子の Fermi 準位付近の電子から見た障壁の高さは，真空準位までの $W_0$ にほぼ等しい．隙間の幅を $d$ とすると，式 \eqref{eq:12-T-exp} から，トンネル電流は

で，隙間 $d$ に指数関数的に依存する（電流は，バイアス電圧と，試料表面の電子状態の密度にも比例するが，ここでは $d$ 依存だけに注目する）．この鋭敏さのおかげで，探針の先端の原子 1 個が，試料の表面の原子 1 個に最も近づいたところだけを電流が流れ，横方向の分解能が原子の大きさ程度になる．

STM には 2 つの使い方がある．定電流モードでは，フィードバックで電流 $I$ を一定に保つように探針の高さを調節し，探針の高さを試料上の位置の関数として記録する．式 \eqref{eq:12-stm} から $I$ 一定は $d$ 一定を意味するので，探針の軌跡は試料表面の凹凸（正確には電子密度の等高線）をなぞる．定高さモードでは探針の高さを一定にして，電流の変化を記録する．

12.7.2 トンネルダイオードと共鳴トンネル

トンネルダイオード（Esaki ダイオード）は，$\mathrm{p}$ 型と $\mathrm{n}$ 型の半導体を，どちらも非常に高い濃度でドープして接合したものである．接合部の空乏層（キャリアが空乏した領域）が $10\ \mathrm{nm}$ 以下と薄く，$\mathrm{n}$ 側の伝導帯の電子が，禁制帯（電子が存在できないエネルギーの領域）を横切って $\mathrm{p}$ 側の価電子帯の空の状態へ，トンネルで移ることができる（図12.14 (a)）．禁制帯は，電子が波として減衰する障壁の役割をする．

順方向に小さな電圧をかけると，$\mathrm{n}$ 側のバンドが持ち上がり，$\mathrm{n}$ 側の満たされた状態と $\mathrm{p}$ 側の空の状態が同じエネルギーに並ぶ．この重なりの分だけトンネル電流が流れる．電圧をさらに上げると，重なりが減ってトンネル電流が減少する．これが，電圧を上げても電流が減る負性微分抵抗（$\dd I/\dd V\lt0$）で，高周波の発振・増幅に使われる．電圧をさらに上げると，通常のダイオードの電流（キャリアの拡散による電流）が指数関数的に増える（図12.14 (b)）．江崎玲於奈が 1957 年ごろに見いだしたこの現象は，半導体の中の電子のトンネル効果が素子の動作に直接現れた例として知られ，1973 年のノーベル物理学賞につながった．バンド図の詳細は，姉妹編の「固体物理学（AD 06）」で扱う．

共鳴トンネルダイオードでも，12.4 節の共鳴と同じく，波の干渉による完全透過が動作原理になる．ただし，こちらは $E\lt V_0$ のままで起こる別の現象である．2 つの薄い障壁で挟んだ狭い井戸（たとえば半導体のヘテロ構造 GaAs/AlGaAs）をつくると，井戸の中に，前章の有限井戸で見たようなとびとびの準位（量子井戸の準位）ができる．入射する電子のエネルギーが，この準位に一致すると，2 つの障壁の間を往復する波が強め合って共鳴し，透過率が（対称な障壁では）$1$ に近づく．電圧を変えて入射エネルギーを準位に合わせたり外したりすると，電流が鋭いピークを示し，負性微分抵抗が現れる．

12.7.3 電界放出と Fowler–Nordheim トンネル

金属の表面に強い電場 $F$ をかけると，室温でも，電子が金属から真空へ飛び出す．これが電界放出（field emission）で，電子顕微鏡の電子源（先端を鋭く尖らせたタングステンの針）などに使われる．熱電子放出（金属を加熱して電子を飛び出させる）と違って，金属を熱する必要がない．電子が仕事関数の壁を越えるのではなく，電場で薄くなった壁をトンネルで通り抜けるからである．Fowler と Nordheim が 1928 年に量子力学で説明した．

金属の Fermi 準位のエネルギーを基準 $0$ にとると，真空側（$x\gt0$）にある電子のポテンシャルエネルギーは，真空準位が Fermi 準位より $W_0$（仕事関数）だけ高く，そこから電場のする仕事 $e_0Fx$ だけ下がって，

となる．これは三角形の障壁で，$V(x_t)=0$ となる転回点は $x_t=\dfrac{W_0}{e_0F}$ である（図12.15 (a)）．四角形でない障壁なので，公式12.1 の Gamow 因子を使う．

$b$ の値は，$\dfrac{4}{3}\dfrac{\sqrt{2m_{\mathrm e}}\,(1\ \mathrm{eV})^{3/2}}{\hbar e_0}=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{1.3497\times10^{-15}\times6.412\times10^{-29}}{1.054\,572\times10^{-34}\times1.602\,177\times10^{-19}}=6.83\times10^{9}\ \mathrm{V/m}$ から得られる．$\ln(j/F^2)$ を $1/F$ に対してプロットすると，傾き $-bW_0^{3/2}$ の直線になる（Fowler–Nordheim プロット，図12.15 (b)）．実験でこのプロットが直線になることが，電界放出がトンネル効果であることの証拠である．

12.7.4 フラッシュメモリと酸化膜のトンネル

USB メモリや SSD に使われるフラッシュメモリは，トンネル効果で情報を書き込み，トンネル効果が起こらないことで情報を保つ．セルは，トランジスタのゲートと Si 基板のチャネルの間に，周囲を絶縁物で囲まれた「浮遊ゲート」を挟んだ構造をもつ（図12.16）．浮遊ゲートに電子がたまっているか否かで，$0$ と $1$ を記憶する．1980 年代前半に，東芝の舛岡富士雄らが発明した．

書き込み・消去では，制御ゲートに高い電圧をかけて，トンネル酸化膜（SiO$_2$，$8\sim10\ \mathrm{nm}$ 程度．世代により薄くなっている）の中に強い電場（約 $10\ \mathrm{MV/cm}=1\ \mathrm{V/nm}$）をつくる．Si の伝導帯から見た SiO$_2$ の障壁の高さは約 $3.1\ \mathrm{eV}$ だから，酸化膜での電圧降下が $3.1\ \mathrm{V}$ を超える（厚さが $3\ \mathrm{nm}$ 以上ある）と，酸化膜は電場で三角形の障壁になり，電子は 12.7.3 節の Fowler–Nordheim トンネルで浮遊ゲートへ移る．一方，電圧をかけない状態では，障壁は四角形のままで，透過率は $e^{-2\kappa L}$ である．$T$ は電子が壁に 1 回ぶつかるあたりの確率だから，電子が 1 秒間に壁にぶつかる回数（$10^{14}\sim10^{15}$ 回）をかけたものが漏れの頻度になる．次の例題のとおり，厚さが十分にあれば，これが十分小さいので，情報は何年も保たれる．

12.7.5 そのほかの場面

12.8 まとめと演習

12.8.1 まとめ

• 古典と量子：古典力学では $V(x)\gt E$ の領域に粒子は入れない（運動エネルギーが負になる）．量子力学では，そこでも $\psi''=\kappa^2\psi$（$\kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar$）で，$\psi$ は $e^{\pm\kappa x}$ の形になり，$0$ にならない（しみ出し）．壁が薄ければ，しみ出しが壁を貫いて反対側に残る（トンネル効果）．エネルギー保存則には反しない（壁の中での位置の測定は，粒子にエネルギーを与える）．
• 反射率・透過率：確率の流れ $J=\dfrac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(\psi^*\psi')$ の比で定義する（$R=J_{\mathrm R}/J_{\mathrm{in}}$，$T=J_{\mathrm T}/J_{\mathrm{in}}$，$R+T=1$）．波数が同じ領域どうしなら振幅の絶対値の 2 乗の比，違う領域では速さの比がかかる．
• 階段ポテンシャル：$E\gt V_0$ で $R=\left(\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2$，$T=\dfrac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}$（古典的には反射しないのに，波の性質で反射する）．$E\lt V_0$ で $R=1$，$B/A=e^{-2i\delta}$，しみ出し $e^{-\kappa x}$（侵入長 $1/\kappa$）．
• 障壁（$E\lt V_0$）：3 領域の解 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ を，境界条件（$\psi,\psi'$ の連続）4 式と $C_2=0$ で結ぶ．$T=\left[1+\dfrac{V_0^2\sinh^2\kappa L}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}$，$R=1-T$．障壁の中の流れは $B_1e^{\kappa x}$ と $B_2e^{-\kappa x}$ の干渉で生じる．$L$ が大きく，$m$ が大きいほど $T$ は指数関数的に小さい．
• 障壁（$E\gt V_0$）：$\kappa\to ik'$ で $T=\left[1+\dfrac{V_0^2\sin^2k'L}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}$．$k'L=n\pi$ で $T=1$（共鳴，半波長の条件）．共鳴のエネルギーは $E_n=V_0+n^2h^2/8mL^2$．
• 厚い障壁と Gamow 因子：$\kappa L\gg1$ で $T\approx\dfrac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-2\kappa L}$．一般のポテンシャルでは $T\approx\exp\!\left[-\dfrac{2}{\hbar}\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m(V-E)}\dd x\right]$（WKB の指数．$\abs{\dd\kappa/\dd x}\ll\kappa^2$ のとき）．
• $\alpha$ 崩壊：Coulomb 障壁の Gamow 因子 $G=\dfrac{\sqrt{2\mu E}\,r_0}{\hbar}\left[\pi-2\sin^{-1}x-2x\sqrt{1-x^2}\right]$（$x=\sqrt{R_{\mathrm N}/r_0}$）．$x\ll1$ で括弧 $\approx\pi-4x$．$T_{1/2}=\dfrac{\ln2}{f}e^{G}$（$f\approx10^{21}\ \mathrm{s^{-1}}$）．半減期が 24 桁違うのは $G$ の違い（Geiger–Nuttall の法則）．
• 応用：STM は $I\propto e^{-2\kappa d}$（$\kappa=\sqrt{2mW_0}/\hbar$，0.1 nm で約 9 倍）．電界放出（Fowler–Nordheim）は三角形の障壁で $T\approx\exp[-bW_0^{3/2}/F]$．トンネルダイオード（負性微分抵抗），共鳴トンネルダイオード，フラッシュメモリの書き込みと酸化膜の漏れ電流，太陽の核融合（Gamow ピーク）．

関連シミュレーター：透過率・反射率と波束のトンネル（この章の式で計算される $T$，$R$ を，パラメーターを動かして確かめられる）：トンネル効果，導出の解説：トンネル効果の導出．Coulomb 障壁のトンネルと Gamow ピーク：核融合シミュレーター．波束が障壁に当たり，一部が反射され一部が透過していく時間発展も，シミュレーターで見ることができる．次章では，もう 1 つの重要なポテンシャル，調和振動子（第13章）を解く．

12.8.2 演習問題

12.8.3 参考文献