大学数学— 微分積分から偏微分方程式まで，早熟な高校生のための大学数学 —
本書は，望月泰英の手書きノート『数学ノート』9冊（微分積分学・線形代数学・確率の基礎・ベクトル解析・複素解析学・フーリエ級数と変換・ラプラス変換・常微分方程式・偏微分方程式）をもとに， 理工系の大学で学ぶ数学の全体を一冊にまとめた教材である．ノートの定義・定理・証明・計算例・図は一つも省かずに収め， そのうえで大学数学を理解したいと願う早熟な高校生でも読めるように，新しい記号の読み方，式変形の行間，具体例と図を補った．
各節には途中式を省略しない例題を，各章末には演習問題を置いた．前提とする知識は高校数学だけであり，必要な箇所では姉妹編「高校数学（AD 01）」の該当章へのリンクを付けてある． 後半の偏微分方程式の部では，量子力学（シュレーディンガー方程式・水素原子）と統計力学（プランクの放射式）への応用までたどり着く．
読み方
- 第I部（微分積分学）と第II部（線形代数学）がすべての土台である．まずここを順に読む．
- 第IV部（ベクトル解析）以降は，第I部・第II部を前提に，興味のある部から読んでよい．常微分方程式（第VIII部）は偏微分方程式（第IX部）の前提である．
- 見慣れない記号やギリシャ文字は付録B（記号・ギリシャ文字・用語の一覧）で引ける．演習問題の解答は付録Aにある．
第I部 微分積分学
- 第1章極限の厳密な定義と微分の導入 数列の収束を論理式で書く：$\varepsilon$-$N$論法，関数の極限を論理式で書く：$\varepsilon$-$\delta$論法，$\varepsilon$-$N$論法を使いこなす，微分の導入：平均変化率から瞬間の変化率へ，微分の定義とネイピア数 $e$ の導入
- 第2章関数の連続性・平均値の定理と双曲線関数 三角関数の基本極限とオイラーの公式的表示，関数の連続性，ロルの定理と平均値の定理，ロピタルの定理，双曲線関数の加法定理と性質，逆双曲線関数
- 第3章初等関数の導関数 指数関数の基本微分公式，積・商の微分公式，対数関数の微分公式のまとめ，三角関数の微分公式，双曲線関数とその逆関数の微分公式，逆三角関数の微分公式
- 第4章テイラーの定理と関数の展開 テイラーの定理 — 1次近似から一般次数近似へ，テイラー展開・マクローリン展開とその具体例，テイラー展開の応用：$\displaystyle\lim_{x\to+0}x^x$ の計算，高階導関数とライプニッツの公式，極値の判定条件（高階微分による）
- 第5章積分の基本公式と定積分の性質 基本的な不定積分公式 — 微分の逆をたどる，定積分の性質，リーマン和による定積分の定義，広義積分と無限積分，積分の幾何学的応用
- 第6章偏微分（多変数関数の微分） 2変数関数とその極限，偏微分の定義と基本性質，シュワルツの定理と全微分可能性，合成関数の偏微分公式，極座標変換とラプラシアン，2変数関数のテイラーの定理と極値，ラグランジュの未定乗数法
- 第7章重積分（多変数関数の積分） 重積分の定義と累次積分，広義重積分の例，ヤコビアン（変数変換と面積要素），重積分の計算例：変数変換の応用，ガウス積分の証明，変数変換の応用例と四面体の体積，球の体積と表面積
第II部 線形代数学
- 第8章行列と行列式 行列の基本操作とべき乗のパターン，置換とその符号，行列式の定義，余因子と行列式の展開，行列式の性質，行列式の幾何学的意味
- 第9章連立1次方程式 余因子行列と逆行列の公式，階数（ランク）と階段行列，自由度と同次連立1次方程式，非同次連立1次方程式と自由度，掃き出し法による連立1次方程式の解法，逆行列の求め方・正則条件・標準形
- 第10章線形空間（ベクトル空間） 線形空間の定義と公理，線形独立と線形従属，基底と次元，部分空間，生成する部分空間・解空間・共通部分と和空間，部分空間に関する定理と次元定理
- 第11章線形写像 写像の基本語彙：全射・単射・全単射，線形写像の定義と基本性質，像（$\mathrm{Im}\,f$）と核（$\mathrm{Ker}\,f$），表現行列，合成写像とその表現行列
- 第12章固有値・固有ベクトルと行列の対角化 固有値と固有ベクトルの定義，固有値の性質と固有空間，行列の対角化，対角化の応用 — 行列のべき乗
第III部 確率の基礎
- 第13章集合と事象の確率 集合の基本演算とベン図，ド・モルガンの法則，試行と事象の言葉，確率の定義とその性質，排反・余事象・独立と反復試行
- 第14章期待値 — 離散から連続へ 離散的な確率変数と期待値，確率密度関数 — 点ではなく区間で考える，区分求積法 — 和の極限を積分に読み替える，連続的な確率変数の期待値，発展：材料科学・物理学に現れる期待値
第IV部 ベクトル解析
- 第15章ベクトルの内積と外積 ベクトルとは何か——大きさと向き，零ベクトル，単位ベクトル，内積（スカラー積）とその性質，外積（ベクトル積）の定義と右ネジの法則，外積の成分表示——行列式と平行四辺形の面積，内積と外積の意味の違い
- 第16章座標系と基底ベクトル 直交座標系（デカルト座標）と基底ベクトル，円筒座標系 — 基底ベクトルと直角座標への変換，球座標系（極座標）— 基底ベクトルと変換，座標軸の回転行列とオイラー角，球座標の基底ベクトルの直交性・偏微分とナブラ演算子，極座標での速度・加速度（円運動）
- 第17章ベクトル値関数の微分積分 ベクトル値関数の微分と接線ベクトル，曲線の長さ，ベクトル値関数の積分，ベクトル値関数の1階線形微分方程式，2変数ベクトル値関数——偏微分と全微分，曲面の面積
- 第18章スカラー場・ベクトル場と勾配 スカラー場とベクトル場，等位曲線と等位曲面，流線，勾配ベクトル（gradient）の定義，勾配ベクトルの公式，勾配ベクトルの幾何学的な意味，勾配ベクトルによる接平面の方程式
- 第19章発散と回転 発散（divergence）の定義と基本公式，発散の物理的な意味 — 水の流れで考える，ラプラスの演算子（ラプラシアン），回転（rotation）の定義と基本公式，回転に関する恒等式と物理的な意味
- 第20章線積分・面積分と積分定理 スカラー場の線積分，ベクトル場の線積分（接線線積分）と応用例，勾配ベクトルの接線線積分と経路独立性，スカラー場の面積分，面要素ベクトルとガウス・ストークスの定理
第V部 複素解析学
- 第21章複素数と複素平面 複素数の絶対値と共役複素数，複素数の極形式 — 長さと角度で表す，極形式による積と商 — 角度の足し算・引き算，ド・モアブルの定理とオイラーの公式，1のn乗根と回転作用素としての$i$，三角関数と双曲線関数をつなぐ，複素平面における直線と円の方程式
- 第22章複素関数と写像 複素関数とは何か — 写像としての理解，1対1対応と多対1対応の写像，2対1対応の写像：$W=z^2$，$W=1/z$ とリーマン球面，$n$次複素整関数と1次分数関数
- 第23章初等複素関数 — 指数・対数・べき乗・三角関数 複素指数関数 — 定義と性質，複素指数関数がつくる写像，複素対数関数，複素べき乗，複素対数関数がつくる写像，複素三角関数 — べき級数の定義とオイラーの公式，なぜ複素関数を考えるのか — 隠れた虚数軸
- 第24章正則関数とコーシー・リーマンの方程式 近傍と領域 — 複素平面のことばづかい，複素関数の連続性と正則性 — コーシー・リーマンの方程式，正則性と微分可能性は同値である，いろいろな複素関数の導関数と微分公式
- 第25章複素積分とコーシーの積分定理 複素積分の定義と性質，円周上の周回積分 — $z^n$ と $\log z$，グリーンの定理とコーシーの積分定理，積分路変形の原理と多重連結領域，周回積分公式
- 第26章コーシーの積分公式 グリーンの定理の実例 — 上半円板での検証，多重連結領域における $\log z$ の経路積分と分岐点，コーシーの積分公式 — 主張と証明，コーシーの積分公式を使いこなす — 計算例と系
第VI部 フーリエ級数と変換
- 第27章三角関数の直交性と関数の内積 三角関数の直交性 ― 基本公式，関数の内積とノルム，三角関数とベクトルの類似性，区分的に連続な関数と区分的に滑らかな関数
- 第28章フーリエ級数の定義と計算例 周期2πのフーリエ級数，一般の周期2Lのフーリエ級数，フーリエ余弦・正弦級数と複素フーリエ級数，フーリエ級数の計算例
- 第29章フーリエ級数の収束理論 リーマン・ルベーグの補助定理，フーリエの定理——各点収束の証明，各点収束と一様収束
- 第30章フーリエ変換 フーリエ変換の定義 — フーリエ級数から積分へ，矩形パルスのフーリエ変換とデルタ関数への入口，複素指数関数のフーリエ変換とデルタ関数の定義，ガウス関数のフーリエ変換，両側指数関数のフーリエ変換とローレンツ型，発展：$1/x$ のフーリエ変換とパリティ
第VII部 ラプラス変換
- 第31章ラプラス変換の定義と基本公式 ラプラス変換の定義，べき関数のラプラス変換，三角関数・双曲線関数・指数関数のラプラス変換，ラプラス変換の存在条件，デルタ関数・単位階段関数と移動定理，周期関数・導関数のラプラス変換
- 第32章ガンマ関数・ベータ関数とラプラス変換 誤差関数と余誤差関数，ガンマ関数の定義と基本性質，スターリングの公式，ベータ関数
第VIII部 常微分方程式
- 第33章1階常微分方程式の基本解法 微分方程式とは何か（分類と用語），変数分離形と同次形，1階線形微分方程式（定数変化法），1階線形微分方程式（積分因子法）と定数変化法の妥当性，ベルヌーイの微分方程式とリッカチの微分方程式
- 第34章完全微分方程式・積分因子と特異解 直交曲線群 — 微分方程式の力で円の方程式を導く，完全微分方程式とその判定条件，なぜ判定条件と解の公式が成り立つのか，積分因子，クレローの微分方程式と特異解，ラグランジュの微分方程式，ロジスティック方程式 — S字曲線の微分方程式
- 第35章2階線形同次微分方程式の基礎 非同次方程式と同次方程式の一般解の構造，線形独立性とロンスキアン，解空間の構造 — 線形空間としてのイメージ，定数係数2階同次方程式と特性方程式，特性方程式の3つの場合分け
- 第36章2階線形非同次微分方程式とオイラーの方程式 非同次方程式の一般解の構造と定数変化法，基本解が1つだけ既知の場合の解法（階数低減法），オイラーの微分方程式 — 試行解 $x^\lambda$ の発見，オイラーの微分方程式の解法 — 実数解・重解・複素数解，一般の2階線形微分方程式 — 基本解が求まる条件，標準形への変換，相空間と単振動型微分方程式
- 第37章高階線形微分方程式 高階完全微分方程式，高階線形微分方程式の解の構造，定数係数n階同次微分方程式の解法，特性方程式が重解をもつ場合の基本解，高階オイラーの方程式，定数変化法の考察と重解定理の完成（発展）
- 第38章演算子法 なぜ演算子法を学ぶか——微分演算子 $D$ の定義，微分演算子の性質，逆演算子 $\dfrac{1}{D-\alpha}$ ——特殊解を1階線形方程式に帰着する，指数関数への代入公式，シフト定理，共鳴のときの指数関数，三角関数への代入公式，共鳴のときの三角関数
- 第39章べき級数解法とフロベニウスの理論 なぜ級数解法が必要か — マクローリン展開の限界，級数解法の手順とテイラー展開の基礎，フロベニウスの理論 — 通常点と確定特異点，決定方程式の解と基本解，級数解法の例題
- 第40章ルジャンドルの微分方程式と多項式 ルジャンドルの微分方程式とフロベニウス級数解，漸化式の導出と係数の計算，一般解と $U_n(x)$，$V_n(x)$，ルジャンドルの多項式，ロドリーゲの公式と直交性
- 第41章特殊関数 — ベッセル関数とラゲールの多項式 ベッセルの微分方程式とフロベニウス級数解，ガンマ関数と第1種ベッセル関数，ベッセルの微分方程式の一般解，ラゲールの微分方程式とラゲールの多項式，随伴ラゲール微分方程式（発展）
第IX部 偏微分方程式
- 第42章偏微分方程式の導入とラグランジュの1階偏微分方程式 偏微分方程式とは何か — 任意関数の登場，ラグランジュの1階偏微分方程式と特性方程式，一般化されたラグランジュの偏微分方程式，全微分方程式と完全微分方程式，進行波の偏微分方程式
- 第43章波動方程式と熱伝導方程式 — 導出と変数分離法 波動方程式の導出（Maxwell方程式から），1次元波動方程式の導出（弦の振動），熱伝導方程式の導出，1次元波動方程式の変数分離解法，2次元波動方程式の変数分離解法，1次元熱伝導方程式の変数分離解法とシミュレーション，2次元熱伝導方程式の変数分離解法，ラプラス方程式の例題
- 第44章座標変換とラプラシアン なぜ座標を変えるのか — 対称性とラプラシアン，極座標におけるラプラシアンの導出，円柱座標におけるラプラシアン，球座標におけるラプラシアン
- 第45章シュレーディンガー方程式（直交座標）と無限井戸型ポテンシャル 量子力学の演算子とハミルトニアン，シュレーディンガー方程式の導出，無限井戸型ポテンシャル（1次元・定常状態），無限井戸型ポテンシャル（1次元・時間変動），無限井戸型ポテンシャル（2次元・定常状態），無限井戸型ポテンシャル（2次元・時間変動）
- 第46章調和振動子とモースポテンシャル 調和振動子のポテンシャルと無次元化，べき級数解法とエネルギー準位（エルミート多項式），半無限領域の調和振動子，3次元調和振動子，モースポテンシャル
- 第47章シュレーディンガー方程式（極座標・円柱座標）とベッセル関数 無限円筒井戸型ポテンシャル：動径方向の解，動径方向の解とベッセル関数（規格化・エネルギー準位），ベッセル関数のグラフと具体例，無限円柱型ポテンシャル（3次元）
- 第48章水素原子のシュレーディンガー方程式（球座標） 球座標のシュレーディンガー方程式と変数分離——無限球型ポテンシャルの例，水素原子のポテンシャルと動径方程式の分離，動径方程式の解法——ラゲールの陪多項式とエネルギー準位，角度方向の解——ルジャンドルの陪関数と全体の波動関数
- 第49章統計力学と黒体放射 — ボルツマン分布とプランクの放射式 ボルツマン分布 ― 気体分子の高度分布，レーリー・ジーンズの法則とウィーンの輻射式，プランクの輻射式とその2つの極限，量子仮説による平均エネルギーの導出，空洞に閉じ込められた定常波を数える ― 状態密度とプランクの公式の完成
付録
底本
- 望月泰英『数学ノート』微分積分学・線形代数学・確率の基礎・ベクトル解析・複素解析学・フーリエ級数と変換・ラプラス変換・常微分方程式・偏微分方程式（手書きノート，全9冊）
東京理科大学 先進工学部 マテリアル創成工学科 望月研究室 発展教材 AD 02
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