第44章座標変換とラプラシアン

導出（1）— $r_x,\theta_x,r_{xx},\theta_{xx}$ の計算

式\eqref{eq:44-polar-def}の $r=\sqrt{x^2+y^2}$ を，$y$ を定数とみなして $x$ で偏微分する．$\sqrt{\ }$ の微分は合成関数の微分（$\left(\sqrt{f}\right)'=f'/(2\sqrt f)$）なので，

$$ r_x=\pdiff rx=\pdiff{}{x}\sqrt{x^2+y^2}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac xr $$

ここで最後の等号は $r=\sqrt{x^2+y^2}$ を使って分母を $r$ に置き換えただけである．さらに $x=r\cos\theta$（式\eqref{eq:44-polar-def}）を代入すれば，

\begin{equation} r_x=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta \label{eq:44-rx} \end{equation}

を得る．次に $\theta=\tan^{-1}(y/x)$ を $x$ で偏微分する．アークタンジェントの微分公式 $\left(\tan^{-1}f\right)'=f'/(1+f^2)$（$f=y/x$，$f'=\partial f/\partial x=-y/x^2$，$y$ を固定して商の微分公式を使った）を使うと，

$$ \theta_x=\pdiff{}{x}\tan^{-1}\frac yx=\left(-\frac{y}{x^2}\right)\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac yx\right)^2}=-\frac{y}{x^2+y^2} $$

（最後の等号は，$1+(y/x)^2=(x^2+y^2)/x^2$ の逆数 $x^2/(x^2+y^2)$ を $-y/x^2$ に掛けて $x^2$ を約分した．）$x^2+y^2=r^2$，$y=r\sin\theta$ を代入すると，

\begin{equation} \theta_x=-\frac{r\sin\theta}{r^2}=-\frac{\sin\theta}{r} \label{eq:44-thetax} \end{equation}

となる．続いて2階微分 $r_{xx},\theta_{xx}$ を求める．$r_{xx}=\partial r_x/\partial x$ だが，式\eqref{eq:44-rx}の $r_x=\cos\theta$ は $x$ の関数として直接書かれていない（$\theta$ を経由している）ので，ここでも連鎖律が必要になる．$\cos\theta$ を $x$ で微分するには，$\theta$ が $x$ の関数であることに注意して合成関数の微分公式を使う：

\begin{equation} r_{xx}=\pdiff{}{x}(\cos\theta)=\pdiff{}{\theta}(\cos\theta)\cdot\pdiff{\theta}{x}=(-\sin\theta)\cdot\left(-\frac{\sin\theta}{r}\right)=\frac{\sin^2\theta}{r} \label{eq:44-rxx} \end{equation}

（式\eqref{eq:44-thetax}の $\theta_x=-\sin\theta/r$ を代入した．）同様に $\theta_{xx}=\partial\theta_x/\partial x$ は，今度は式\eqref{eq:44-thetax}の $\theta_x=-\sin\theta/r$ が $\theta$ と $r$ の両方を含むので，積の微分公式と連鎖律を同時に使う：

$$ \theta_{xx}=\pdiff{}{x}\left(-\frac{\sin\theta}{r}\right) =\pdiff{}{r}\!\left(-\frac{\sin\theta}{r}\right)\!\pdiff rx+\pdiff{}{\theta}\!\left(-\frac{\sin\theta}{r}\right)\!\pdiff{\theta}{x} =\frac{\sin\theta}{r^2}\cdot\cos\theta+\left(-\frac{\cos\theta}{r}\right)\!\left(-\frac{\sin\theta}{r}\right) $$

（1つ目の項は $-\sin\theta/r$ を $r$ で偏微分（$\theta$ は定数扱い）して $\sin\theta/r^2$，これに $r_x=\cos\theta$ を掛けた．2つ目の項は $-\sin\theta/r$ を $\theta$ で偏微分（$r$ は定数扱い）して $-\cos\theta/r$，これに $\theta_x=-\sin\theta/r$ を掛けた．）2つの項はどちらも $\sin\theta\cos\theta/r^2$ の形をしているので，

\begin{equation} \theta_{xx}=\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \label{eq:44-thetaxx} \end{equation}

とまとまる．以上で $x$ に関する1階・2階の偏微分がすべてそろった．

導出（2）— $r_y,\theta_y,r_{yy},\theta_{yy}$ の計算と $u_{yy}$

今度は $x$ を固定して $y$ で偏微分する．$r=\sqrt{x^2+y^2}$ より

\begin{equation} r_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac yr=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta \label{eq:44-ry} \end{equation}

（計算の流れは $r_x$ のときと同じで，$y=r\sin\theta$ を代入しただけである．）$\theta=\tan^{-1}(y/x)$ を $y$ で偏微分すると，今度は $\partial(y/x)/\partial y=1/x$（$x$ を固定）なので，

\begin{equation} \theta_y=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac yx\right)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{r\cos\theta}{r^2}=\frac{\cos\theta}{r} \label{eq:44-thetay} \end{equation}

である．2階微分も $x$ のときと同じ手順で，

\begin{equation} r_{yy}=\pdiff{}{\theta}(\sin\theta)\cdot\theta_y=\cos\theta\cdot\frac{\cos\theta}{r}=\frac{\cos^2\theta}{r} \label{eq:44-ryy} \end{equation} \begin{equation} \theta_{yy}=\pdiff{}{r}\!\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\!r_y+\pdiff{}{\theta}\!\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\!\theta_y =-\frac{\cos\theta}{r^2}\cdot\sin\theta-\frac{\sin\theta}{r}\cdot\frac{\cos\theta}{r}=-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \label{eq:44-thetayy} \end{equation}

となる（符号が $\theta_{xx}$ とちょうど逆になっていることに注意）．これらを使って，式\eqref{eq:44-uxx-setup}〜\eqref{eq:44-uxx-final}とまったく同じ手順（$x\to y$ に読み替えるだけ）を繰り返すと，

$$ u_y=u_r r_y+u_\theta\theta_y,\qquad u_{yy}=\bigl\{(u_{rr}r_y+u_{r\theta}\theta_y)r_y+u_r r_{yy}\bigr\}+\bigl\{(u_{\theta r}r_y+u_{\theta\theta}\theta_y)\theta_y+u_\theta\theta_{yy}\bigr\} $$

に式\eqref{eq:44-ry}〜\eqref{eq:44-thetayy}を代入し，同じくシュワルツの定理で $u_{r\theta}=u_{\theta r}$ をまとめると，

\begin{equation} \boxed{u_{yy}=\sin^2\theta\,u_{rr}+\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta}+\frac{\cos^2\theta}{r}u_r+\frac{\cos^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta}-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta} \label{eq:44-uyy-final} \end{equation}

が得られる．

導出（3）— $u_{xx}+u_{yy}$ の完成

式\eqref{eq:44-uxx-final}と式\eqref{eq:44-uyy-final}を並べて書き，辺々を足し合わせよう．

$$ \begin{aligned} u_{xx}&=\cos^2\theta\,u_{rr}-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta}+\frac{\sin^2\theta}{r}u_r+\frac{\sin^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta}+\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta\\[4pt] u_{yy}&=\sin^2\theta\,u_{rr}+\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}u_{r\theta}+\frac{\cos^2\theta}{r}u_r+\frac{\cos^2\theta}{r^2}u_{\theta\theta}-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}u_\theta \end{aligned} $$

この2つの式は，$u_{r\theta}$ の係数（$\mp2\sin\theta\cos\theta/r$）どうし，そして最後の $u_\theta$ の係数（$\pm2\sin\theta\cos\theta/r^2$）どうしが，符号だけ逆で大きさが同じになっている．つまり足し合わせると，この2組はちょうど打ち消し合って消える（ノートの原本にも，この2組の項に「打ち消し合う」ことを示す斜線のチェックマークが実際に書き込まれている）．残るのは $u_{rr}$ の係数 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ と，$u_r$ の係数 $\dfrac{\sin^2\theta}{r}+\dfrac{\cos^2\theta}{r}=\dfrac1r$，$u_{\theta\theta}$ の係数 $\dfrac{\sin^2\theta}{r^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{r^2}=\dfrac1{r^2}$（いずれも三角関数の基本公式 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を使った）だけであり，

$$ \nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac1r u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} $$

という，$\theta$ を含まないきわめて簡潔な形にまとまる．

導出：円柱座標のラプラシアン — なぜ $z$ の項をそのまま足せるのか

円柱座標のラプラシアンを求めるには，改めて連鎖律を最初からやり直す必要はない．式\eqref{eq:44-cyl-def}を見ると，$r,\theta$ は $x,y$ だけで決まり，$z$ は $z$ 自身に等しい（$x,y$ にはいっさい依存しない）．つまり，$z$ という変数は $x,y,r,\theta$ から完全に独立している．したがって，$u(x,y,z)$ を $x$ や $y$ で偏微分するとき，$z$ は単なる定数として扱われるので，44.2節で行った $u_{xx},u_{yy}$ の計算はそのまま（$u$ の中に $z$ が入っていても）成立する．一方，$u$ を $z$ で偏微分するときは，逆に $x,y$（したがって $r,\theta$）を定数として扱うだけであり，$r,\theta$ 方向の計算とはいっさい混ざらない（$r_z=\theta_z=0$，$z_x=z_y=0$ である）．よって，直交座標の3次元ラプラシアン

$$ \nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} $$

のうち，$u_{xx}+u_{yy}$ の部分は公式44.1（式\eqref{eq:44-laplacian-polar}）でそのまま $r,\theta$ の式に置き換えられ，$u_{zz}$ の部分はまったく変更を受けずにそのまま残る．

導出（直接法）— $r_x,\theta_x,\varphi_x$ など9個の1階偏微分

式\eqref{eq:44-sph-def}の逆変換 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$\theta=\tan^{-1}\bigl(\sqrt{x^2+y^2}/z\bigr)$，$\varphi=\tan^{-1}(y/x)$ を，44.2節とまったく同じやり方（1つの変数を固定して残りで偏微分する）で計算する．まず $r_x$ は，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ を $x$ で偏微分して

\begin{equation} r_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac xr=\frac{r\sin\theta\cos\varphi}{r}=\sin\theta\cos\varphi \label{eq:44-sph-rx} \end{equation}

($x=r\sin\theta\cos\varphi$ を代入した）．$\theta_x$ は，$\theta=\tan^{-1}(\sqrt{x^2+y^2}/z)$ を $x$ で偏微分する．$f=\sqrt{x^2+y^2}/z$ とおくと $f_x=\dfrac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}$ であり，アークタンジェントの微分公式 $(\tan^{-1}f)_x=f_x/(1+f^2)$ に $1+f^2=1+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}=\dfrac{r^2}{z^2}$（$x^2+y^2+z^2=r^2$ を使った）を使うと，

\begin{equation} \theta_x=\frac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{z^2}{r^2}=\frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{(r\sin\theta\cos\varphi)(r\cos\theta)}{r^2\cdot r\sin\theta}=\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r} \label{eq:44-sph-thetax} \end{equation}

（$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\sin^2\theta}=r\sin\theta$（$0\le\theta\le\pi$ で $\sin\theta\ge0$ だから絶対値ははずせる）を使った．）$\varphi_x$ は，$\varphi=\tan^{-1}(y/x)$ の $x$ 微分なので，44.2節の $\theta_x$（式\eqref{eq:44-thetax}）とまったく同じ計算になり，ただし「極座標の $r$」の代わりに「$xy$平面内の動径 $\rho$（ロー，rho）$=\sqrt{x^2+y^2}=r\sin\theta$」が現れる：

\begin{equation} \varphi_x=-\frac{y}{x^2+y^2}=-\frac{y}{\rho^2}=-\frac{r\sin\theta\sin\varphi}{r^2\sin^2\theta}=-\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \label{eq:44-sph-phix} \end{equation}

まったく同様に（$x\leftrightarrow y$ の役割を入れ替えて）$y$ に関する偏微分も計算できる：

\begin{equation} r_y=\sin\theta\sin\varphi,\qquad \theta_y=\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r},\qquad \varphi_y=\frac{\cos\varphi}{r\sin\theta} \label{eq:44-sph-y} \end{equation}

最後に $z$ に関する偏微分は，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ より $r_z=z/r=\cos\theta$．$\varphi=\tan^{-1}(y/x)$ は $z$ を含まないので $\varphi_z=0$．$\theta_z$ は，$\theta=\tan^{-1}(\sqrt{x^2+y^2}/z)$ を $z$ で偏微分すると（$f=\sqrt{x^2+y^2}/z$，$f_z=-\sqrt{x^2+y^2}/z^2$），

\begin{equation} \theta_z=\frac{-\sqrt{x^2+y^2}/z^2}{1+(x^2+y^2)/z^2}=-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r^2}=-\frac{r\sin\theta}{r^2}=-\frac{\sin\theta}{r} \label{eq:44-sph-z} \end{equation}

とまとまる．以上で（sympyでも検算済みの）9個の1階偏微分がすべてそろった：

\begin{equation} \begin{array}{lll} r_x=\sin\theta\cos\varphi, & \theta_x=\dfrac{\cos\theta\cos\varphi}{r}, & \varphi_x=-\dfrac{\sin\varphi}{r\sin\theta},\\[6pt] r_y=\sin\theta\sin\varphi, & \theta_y=\dfrac{\cos\theta\sin\varphi}{r}, & \varphi_y=\dfrac{\cos\varphi}{r\sin\theta},\\[6pt] r_z=\cos\theta, & \theta_z=-\dfrac{\sin\theta}{r}, & \varphi_z=0. \end{array} \label{eq:44-sph-all9} \end{equation}

ここで面白いことに気づく．$\varphi_x,\varphi_y$ の形（式\eqref{eq:44-sph-phix}と\eqref{eq:44-sph-y}）は，44.2節の $\theta_x,\theta_y$（式\eqref{eq:44-thetax},\eqref{eq:44-thetay}）とまったく同じ形で，ただ $r$ が $\rho=r\sin\theta$ に置き換わっただけである．これは偶然ではない．$\theta$（したがって $z,\rho$）を固定したまま $\varphi$ だけを動かすと，点は $xy$平面に平行な，半径 $\rho=r\sin\theta$ の円周上を動く——つまり，$\varphi$ を測る計算は，半径 $\rho$ の平面極座標の $\theta$ を測る計算とまったく同じ問題なのである．この観察が，次に紹介する近道の伏線になっている．

ここから先，44.2節と同じ手順（式\eqref{eq:44-uxx-setup}〜\eqref{eq:44-uxx-final}に相当する計算）を $x,y,z$ の3方向について行えば，原理的には球座標のラプラシアンに到達できる．ただし変数が2つから3つに増えるので，2階微分の項数も掛け算的に増え（$u_{rr},u_{\theta\theta},u_{\varphi\varphi},u_{r\theta},u_{r\varphi},u_{\theta\varphi}$ の6種類が絡む），手計算では非常に長くなる．この直接ルートを最後まで完成させる作業は，本章末の演習44.4にまわすことにして，ここでは同じ結論に速く到達できる別ルートを紹介しよう．

導出（近道）— 44.2節の結果を2回使い回す

球座標の動径 $r$ と天頂角 $\theta$ は，円柱座標の動径 $\rho$（$z$軸からの距離）と高さ $z$ を使うと，

\begin{equation} \rho=r\sin\theta,\qquad z=r\cos\theta \label{eq:44-sph-cyl-relation} \end{equation}

という関係にある（定義44.3の $x,y$ の式から $\sqrt{x^2+y^2}=r\sin\theta=\rho$，$z=r\cos\theta$ を取り出しただけである）．ここで式\eqref{eq:44-sph-cyl-relation}をよく見てほしい．これは「$z$ が $r\cos\theta$，$\rho$ が $r\sin\theta$」という，44.2節の $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$（式\eqref{eq:44-polar-def}）とまったく同じ形の関係式であり，違いは変数の名前（$x\to z$，$y\to\rho$）だけである．連鎖律の計算は，変数に何と名前を付けるかとは無関係な，純粋に形式的な代数の手続きだから，44.2節で求めた結果は，$x\to z,\ y\to\rho$ と読み替えるだけでそのまま使い回せる．具体的には，式\eqref{eq:44-ry},\eqref{eq:44-thetay}（$r_y=\sin\theta,\ \theta_y=\cos\theta/r$）を読み替えて，

\begin{equation} r_\rho=\sin\theta,\qquad \theta_\rho=\frac{\cos\theta}{r} \label{eq:44-r-rho} \end{equation}

を得る（これは式\eqref{eq:44-sph-all9}の $\varphi_x,\varphi_y$ が44.2節の $\theta_x,\theta_y$ と同じ形だったのと同じ理由による，一貫した対応関係である）．同様に，公式44.1（式\eqref{eq:44-laplacian-polar}）を $x\to z,\ y\to\rho$ で読み替えれば，「$z,\rho$ 平面（子午面）での2階偏微分の和」が $r,\theta$ の式に書き換えられる：

\begin{equation} u_{zz}+u_{\rho\rho}=u_{rr}+\frac1r u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} \label{eq:44-meridian-flat} \end{equation}

（sympyで，具体的な関数をいくつも代入してこの読み替えが正しいことを検算済み．）

さて，公式44.2（円柱座標のラプラシアン，式\eqref{eq:44-laplacian-cyl}）を，動径を $\rho$ と書いて改めて書くと

\begin{equation} \nabla^2u=\underbrace{u_{\rho\rho}+u_{zz}}_{\text{式\eqref{eq:44-meridian-flat}で置き換え済み}}+\ \frac1\rho u_\rho\ +\ \frac{1}{\rho^2}u_{\varphi\varphi} \label{eq:44-cyl-with-rho} \end{equation}

である．右辺の最初の2項は式\eqref{eq:44-meridian-flat}で片付いたので，残るは $\dfrac1\rho u_\rho$ と $\dfrac{1}{\rho^2}u_{\varphi\varphi}$ の2項だけである．$u_{\varphi\varphi}$ の項は，$\varphi$ が $\rho,z$ とも $r,\theta$ とも無関係な独立変数なので（$\varphi$ を固定して考えれば $(\rho,z)\leftrightarrow(r,\theta)$ は普通の平面極座標の関係にすぎない），$\rho=r\sin\theta$ を代入するだけで

\begin{equation} \frac{1}{\rho^2}u_{\varphi\varphi}=\frac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\varphi\varphi} \label{eq:44-phiphi-term} \end{equation}

と書き直せる．残る $\dfrac1\rho u_\rho$ は，$u_\rho=u_r r_\rho+u_\theta\theta_\rho$（連鎖律，式\eqref{eq:44-r-rho}を使う）に注意すると，

\begin{equation} \frac1\rho u_\rho=\frac{1}{r\sin\theta}\left(u_r\sin\theta+u_\theta\frac{\cos\theta}{r}\right)=\frac1r u_r+\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}u_\theta \label{eq:44-leftover-term} \end{equation}

となる．式\eqref{eq:44-meridian-flat}，\eqref{eq:44-phiphi-term}，\eqref{eq:44-leftover-term}をすべて式\eqref{eq:44-cyl-with-rho}に集めると，

$$ \nabla^2u=u_{rr}+\frac1r u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}+\frac1r u_r+\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}u_\theta+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\varphi\varphi} $$

となり，$u_r$ の項が2つとも同じ係数 $1/r$ を持つのでまとめられて（$\dfrac1r+\dfrac1r=\dfrac2r$），

\begin{equation} \nabla^2u=u_{rr}+\frac2r u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}+\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}u_\theta+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\varphi\varphi} \label{eq:44-laplacian-sph-derived} \end{equation}

という球座標のラプラシアンが得られる．（sympyで，複数のテスト関数について直交座標からの直接計算と一致することを検算済み．）