第22章複素関数と写像

22.1 複素関数とは何か — 写像としての理解

まず，具体的な数値で感触をつかんでおこう．たとえば$W=(1+i)z$という規則を考えると，$z=1+i$を代入すれば$W=(1+i)(1+i)=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$のように，1つの複素数$z$から1つの複素数$W$がきちんと定まる．このように「複素数を複素数に対応させる規則」を，複素関数と呼ぶ．以下できちんとした定義を書く．記号がいくつも出てくるが，1つずつ高校数学の関数の定義と比べながら読めば難しくない．

「ちょうど1つ定まる」という条件は，高校数学で習った関数の定義——「独立変数の値を1つ決めると，従属変数の値がただ1つ決まるような規則」——をそのまま複素数の世界に持ち込んだだけである．$z$ が独立変数，$W$ が従属変数にあたる．ここで $z=x+iy$（$x,y$ が独立変数）であり，$W=u+iv$（$u,v$ が従属変数）である．つまり，複素関数を1つ決めるとは，実は2つの実数値関数の組

を決めることに等しい．$u(x,y)$ は「$W$ の実部（real part）」，$v(x,y)$ は「$W$ の虚部（imaginary part）」と呼ばれ，$u=\mathrm{Re}(W)$，$v=\mathrm{Im}(W)$ とも書く．

複素関数の独立変数は $z=x+iy$（$x,y$ という2つの実数），従属変数は $W=u+iv$（$u,v$ という2つの実数）であるから，全部で4つの実数変数が関わっている．実数関数 $y=f(x)$ のグラフは，$x$ と $y$ という2つの実数の組 $(x,y)$ を平面上の1点として描くことで得られた．同じ発想を複素関数に適用しようとすると，$(x,y,u,v)$ という4つの実数の組を描く「4次元のグラフ」が必要になるが，これは3次元までしか実感できない我々には描けない．そこで，4つの実数を一度に描くのをあきらめ，$z=x+iy$ を表す平面（$z$平面）と，$W=u+iv$ を表す平面（$W$平面）という2枚の平面に分けて考える．$z$平面上の点や曲線が，複素関数 $f$ によって $W$平面上のどこに写されるかを調べることが，$W=f(z)$ のグラフ的な意味を調べることに等しい．これが「写像」という見方の実体である．

複素関数を扱う最初の一歩は，与えられた $f(z)$ の式から，実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ を具体的な $x,y$ の式として取り出す計算である．次の例題で練習しておこう．

22.2 1対1対応と多対1対応の写像

複素関数 $W=f(z)$ を1つ与えると，$z$平面上のいろいろな点が $W$平面上のどこに写されるかが決まる．このとき，異なる点がどのように対応するかによって，写像を2種類に分類できる．まず，最も基本的な「1対1対応」から見ていこう．たとえば，先ほどの$W=(1+i)z$では，$z=1$を代入すれば$W=1+i$，$z=i$を代入すれば$W=i(1+i)=i-1$のように，異なる$z$を入れると必ず異なる$W$が返ってくる（そもそも0でない数を掛けて0になることはないので，$z_1\neq z_2$なら$(1+i)z_1\neq(1+i)z_2$である）．このように「異なる点が異なる点に写る」性質を持つ複素関数を，次のように定義する．

具体例で確かめよう．複素関数 $W=f(z)=(1+i)z$ を考える．$1+i$ を極形式に直すと，

（$\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}$ であることと，前章の極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ を使った．）したがって

である．この式 $\dfrac{W}{z}=\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}$ は，「複素関数の傾き」にあたる量が定数 $\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}$ であることを示している．前章3節で学んだとおり，複素数を掛けることは「大きさを掛け合わせ，偏角を足し合わせる」操作だったから，この式が意味するのは，どんな点 $z=x+iy$ を $W$ に写しても，$z$ の大きさ（絶対値）を $\sqrt2$ 倍し，偏角を $\dfrac\pi4$ だけ増やす（反時計回りに回転する）ということである．

実際に確かめてみよう．$z=\dfrac{1}{\sqrt2}+i\dfrac{1}{\sqrt2}\left(=e^{i\frac\pi4}\right)$（絶対値1，偏角$\frac\pi4$の点）を代入すると，

（指数法則 $e^{iA}\cdot e^{iB}=e^{i(A+B)}$ を使った．）絶対値1・偏角$\frac\pi4$の点が，絶対値$\sqrt2$・偏角$\frac\pi2$の点に写ったことが分かる——大きさが$\sqrt2$倍，偏角が$\frac\pi4$だけ増えており，式\eqref{eq:22-oneone-ratio}の予言どおりである．

この複素関数は，$z$平面上のどの1点をとっても，$W$平面上のちょうど1つの点に対応する——異なる点を代入すれば，大きさも偏角も一意に決まるので，異なる$W$が得られる．よってこの関数は1対1対応の複素関数である．一般に，$0$でない複素定数 $a=re^{i\alpha}$ と複素定数 $b$ を使った1次関数について，次のことが成り立つ．

次に，1対1対応ではない写像を見る．次の例を見てみよう．複素関数 $W=f(z)=\mathrm{Re}(z)$（$z$の実部を取り出す関数）を考える．$z=x+iy$，$W=u+iv$ とすると，$\mathrm{Re}(z)=x$ であるから，

となる．つまり，$z=3+i,\ 3+2i,\ 3+\pi i,\ 3+1000i$ は，$y$座標がまったく違うにもかかわらず，全て$u=3$という同じ点に写ってしまう．よってこの関数は，異なる点が同じ点に写ることがある——1対1対応ではない複素関数だということになる．

もう1つ例を見ておこう．複素関数 $W=g(z)=z\cdot\bar z=\abs{z}^2$ を考える．$z=x+iy$ とすると，$\abs{z}^2=x^2+y^2$ であるから，

となる．つまり，$z$平面上の原点中心・半径$r$の円 $\{z:\abs z=r\}$ 上のどの点を写しても，全て $u=r^2$ という同じ点に写る．よってこの関数も多対1対応の複素関数である．

1対1対応と多対1対応の違いを，もう1つの例で確認しておこう．一見すると座標を1つ潰しているように見えても，実際には情報を失っていない場合があることに注意したい．

22.3 2対1対応の写像：$W=z^2$

1対1対応と多対1対応の間には，実は細かい段階がある．複素関数 $W=f(z)=z^2$ を詳しく調べ，「ちょうど2つの点が1つの点に集まる」という特別な多対1対応——2対1対応——を観察しよう．$z=x+iy$，$W=u+iv$ とおく．

右辺を展開すると（$i^2=-1$ に注意），$(x+iy)^2=x^2+2ixy+i^2y^2=(x^2-y^2)+2ixy$ となるから，次の公式を得る．

この式\eqref{eq:22-z2-uv}を使って，いくつかの特別な直線・円の像を計算してみよう．

[i]　$y=0$（実軸）のとき．式\eqref{eq:22-z2-uv}に$y=0$を代入すると$u(x,0)=x^2$，$v(x,0)=0$である．とくに$x=\pm a$（$a$は正の実数）のとき，どちらも同じ$u=a^2$という点に写される．つまり実軸上でも$W=z^2$は2対1対応であることがすぐに分かる（実数関数$y=x^2$がグラフ上で$x=\pm a$を同じ$y=a^2$に写すのと全く同じ現象である）．

[ii]　$y=\pm1$のとき．式\eqref{eq:22-z2-uv}に代入すると（複号同順，つまり上の符号どうし・下の符号どうしを組にして読む）

である．この2つの式から$x$を消去して，$u$と$v$だけの関係式（像の方程式）を作ろう．第2式から$x=\pm\dfrac{v}{2}$，すなわち$y=1$のときは$v=2x$より$x=\dfrac v2$，$y=-1$のときは$v=-2x$より$x=-\dfrac v2$である（$x=\dfrac v2$と$x=-\dfrac v2$は符号が逆で，一般には異なる値である）．しかし，これを第1式$u=x^2-1$に代入するときはどちらも$x$を2乗するので，$\left(\dfrac v2\right)^2=\left(-\dfrac v2\right)^2=\dfrac{v^2}4$となり，$y=\pm1$のどちらでも同じ結果になる．したがって，複号同順のまま代入すると，

となる．これは$W$平面上で$v^2=4(u+1)$，すなわち頂点$(u,v)=(-1,0)$，$u$軸方向に開いた放物線である（高校数学 第8章8.1節で学んだ$y^2=4px$の形と同じである）．

[iii]　$x=\pm2$のとき．同様に式\eqref{eq:22-z2-uv}に代入すると（複号同順）

である．第2式から$y=v/4$，第1式に代入すると

となる．これも放物線であるが，頂点は$(u,v)=(4,0)$で，[ii]とは逆に$u$の負の方向に開いている．

[iv]　単位円の上半分 $x=\cos t,\ y=\sin t\ (0\le t\le\pi)$のとき．式\eqref{eq:22-z2-uv}に代入すると，

（2倍角の公式 $\cos2t=\cos^2t-\sin^2t$，$\sin2t=2\sin t\cos t$ を使った——高校数学で学んだ公式が，ここでは複素関数の実部・虚部の計算に直接使われている）．つまり，$z$平面上の半円（$0\le t\le\pi$，半径1）は，$W$平面上では$(u,v)=(\cos2t,\sin2t)$，すなわち半径1の円全体になる（$t$が$0$から$\pi$まで動くと，$2t$は$0$から$2\pi$まで動き，単位円をちょうど1周する）．半円という「半分の図形」が，まるまる1つの円に「引き伸ばされる」わけである．

[i]～[iv]から分かるように，$W=z^2$は原点を除くすべての点で2対1対応であり（$z=0$だけは$W=0$のただ1点にしか写らない特別な点である），直線の像は放物線に，円（の半分）の像は円になる．この「$n$乗すると$n$対1対応になる」という現象は，一般の$n$乗写像でも成り立つ一般的な事実である．

この定理で$n=2$とすれば，[i]～[iv]で観察した$W=z^2$の2対1対応がその特別な場合であることが分かる．次の例題で，直線の像を求める練習と，$n=3$の場合を確認しておこう．

22.4 $W=1/z$ とリーマン球面

次に，複素関数 $W=f(z)=\dfrac1z$ を考える．この関数は$z=0$では定義できない（$0$で割ることになる）という，これまでの例にはなかった問題を抱えている．この問題をどう解決するかが，本節の主題である．

まず，$W=1/z$がどんな写像かを極形式で調べよう．$z=x+iy$，$w=u+iv$ を極形式で表し，$z=re^{i\theta}$，$w=Re^{i\Theta}$（$r=\abs z$，$\theta=\arg z$，$R=\abs w$，$\Theta=\arg w$）とおく．すると

（複素数の割り算は，前章で学んだとおり，絶対値の商・偏角の差になる．$\dfrac{1}{re^{i\theta}}=\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$ は，絶対値$1$・偏角$0$の複素数$1$を，絶対値$r$・偏角$\theta$の複素数で割った結果である．）両辺の絶対値と偏角を比べると，

となる．

ここで，$W=1/z$の式が実数関数$y=1/x$の形に似ていることに注目しよう．実数関数$y=1/x$では，$x\neq0$かつ$y\neq0$であって，$x=0$は定義域に含まれず，$y=0$も値としては現れなかった．ところが複素関数$w=1/z$では，事情が少し違う．$z=0$における値を，都合よく次のように定義してしまうのである．

$z'$が原点$S$から遠ざかるにつれて，直線$Nz'$は寝てきて（$N$を通るまま，より水平に近づき），交点$w'$は球面上を$N$へ近づいていく．逆に$z'$が原点に近づくと，$w'$は$S$に近づく．つまり，$z$平面上をどこまでも遠くへ行くという「果てしない」操作が，球面上では「$N$という決まった1点に近づく」という，ごくふつうの極限として表現できる．これが，無限遠点を1つの点として扱ってよい理由である．なお，赤道（$S$と$N$のちょうど中間の高さにある大円）が$z$平面上のどんな円に対応するかは，演習22.6で相似な三角形を使って考える．

22.5 $n$次複素整関数と1次分数関数

ここまでに扱った $W=(1+i)z$，$W=z^2$，$W=1/z$ を，もう少し広い枠組みでとらえ直しておこう．

$n=1$なら$W=\alpha_1z+\alpha_0$（22.2節で調べた1次関数），$n=2$なら$W=\alpha_2z^2+\alpha_1z+\alpha_0$（22.3節の$W=z^2$を含む）というように，これまでの例は$n$次複素整関数の特別な場合だったことが分かる．定理22.1の考え方を使うと，$n$次複素整関数も（$1$次の項以外がなければ）原点付近を除いておおよそ$n$対1に近い対応をすることが期待されるが，一般の$n$次複素整関数の詳しい対応関係は，$z^n$の項だけの場合ほど単純ではない（項が混ざり合うため）．この点は第26章（コーシーの積分公式）以降で，代数学の基本定理として厳密に扱う．

次に，分数の形をした複素関数を考える．たとえば$W=\dfrac{2z+1}{z-1}$のように，分子・分母がどちらも$z$の1次式であるような分数の形の複素関数を考えよう（このような具体例は例題22.7で詳しく分解する）．一般に，次のように定義する．

1次分数関数の分母を分子で（正確には分子を分母で）割ってみると，見通しがよくなる．$\gamma\neq0$として，$\alpha z+\beta$ を $\gamma z+\delta$ で割り算する（高校数学の多項式の割り算と同じ要領）．商は$\dfrac\alpha\gamma$，余りは$\beta-\dfrac{\alpha\delta}\gamma$である．

したがって，

（分子の$\beta-\frac{\alpha\delta}\gamma$を$\frac{\beta\gamma-\alpha\delta}\gamma$と通分し，定数として$\frac1{\gamma z+\delta}$の前にくくり出した．）すなわち，次の分解公式を得る．

この形に書き直すと，1次分数関数が次の5段階の単純な写像の合成でできていることが見えてくる：

公式22.1（1次関数の意味）より，「$\times\gamma$」と「$\times C_1$」はそれぞれ回転と伸び縮み，「$+\delta$」と「$+C_2$」は平行移動である．そして真ん中の「反転」は，22.4節で調べた$W=1/z$そのもの，すなわち大きさの反転と実軸に関する対称移動である．まとめると，

22.6 まとめと演習

22.6.1 まとめ

• 複素関数 $W=f(z)$（定義22.1）は，$z$平面上の点を$W$平面上の点に対応させる写像である．$z=x+iy$，$W=u(x,y)+iv(x,y)$ と書けば，複素関数を1つ決めることは2つの実数値関数$u,v$を決めることに等しい．
• 1対1対応（単射，定義22.2）は異なる点が異なる点に写る写像，多対1対応（定義22.3）は異なる点が同じ点に写ることがある写像．「多対1対応」でも関数の定義（1つの$z$に対し$W$がただ1つ）は破っていない（例：$W=(1+i)z$は1対1，$W=\mathrm{Re}(z)$や$W=\abs{z}^2$は多対1，例題22.3の$W=\mathrm{Re}(z)+2i\mathrm{Im}(z)$は一見似ているのに1対1）．
• $W=z^2$は原点を除き2対1対応．一般に$W=z^n$（$n\ge2$）は原点と無限遠点を除き$n$対1対応（定理22.1，極形式$z=re^{i\theta}$を使って証明した）．直線$x=$定数や$y=$定数の像は放物線になる．
• $W=1/z$は極形式で$R=1/r,\ \Theta=-\theta$（反転と実軸対称移動の合成，公式22.3）．$z=0$には$W=\infty$を，$z=\infty$には$W=0$を対応させる（無限遠点，定義22.4）．リーマン球面（定義22.5）を使うと，無限遠点も北極$N$というふつうの1点として扱える．
• 原点を通る円は，$1/z$によって直線に写る（例題22.6）——これは1次分数関数一般に成り立つ「円々対応」の最初の例である．
• $n$次複素整関数（定義22.6）$W=\sum_{k=0}^n\alpha_kz^k$と，1次分数関数（メビウス変換，定義22.7）$W=\dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$（$\alpha\delta-\beta\gamma\neq0$）を定義した．後者は$W=C_1\dfrac1{\gamma z+\delta}+C_2$（公式22.4）と分解でき，「回転・伸縮」「平行移動」「反転」「回転・伸縮」「平行移動」という5段階の合成であることが分かった．

22.6.2 演習問題

22.6.3 参考文献