第30章フーリエ変換

例題30.1　広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd x}{1+x^2}$ の収束と値

広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd x}{1+x^2}$ が収束することを，定義に従って確かめ，その値を求めよ．

解答　定義どおり，対称な有限区間 $[-A,A]$ で積分してから $A\to\infty$ とする．$\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x=\dfrac{1}{1+x^2}$（高校で学んだ逆正接関数の導関数）なので，$\tan^{-1}x$ が原始関数であり，

（$\tan^{-1}$ は奇関数だから $\tan^{-1}(-A)=-\tan^{-1}A$ を使った）．$\tan^{-1}A$ は $A\to\infty$ のとき単調に増加しながら $\pi/2$ に近づく（$\tan(\pi/2-0)=+\infty$ だから）．したがって，

と収束し，値は $\pi$ である．（この広義積分は，実は本章の30.5節で学ぶ両側指数関数のフーリエ変換 $2\alpha/(\alpha^2+k^2)$ に $\alpha=1,k=x$ を代入したものの積分と本質的に同じ形をしており，後で別の角度からも確認できる．）

例30.1　矩形パルスのフーリエ変換とデルタ関数への収束

上の矩形パルス $f(\alpha)$ のフーリエ変換 $\Four[f(\alpha)](k)$ を求め，$r\to0$ のときの様子を調べよ．

解答　定義30.1に代入する．$f(\alpha)$ が区間 $(a-r,a+r)$ の外では $0$ なので，積分区間はその区間だけでよい．

$e^{-ik\alpha}$ の原始関数は $\dfrac{1}{-ik}e^{-ik\alpha}$ である（$\dfrac{d}{d\alpha}\left[\dfrac{1}{-ik}e^{-ik\alpha}\right]=\dfrac{-ik}{-ik}e^{-ik\alpha}=e^{-ik\alpha}$ で確かめられる）から，

ここで指数部を，共通因子 $e^{-ika}$ をくくり出せる形に分ける：$e^{-ik(a+r)}=e^{-ika}e^{-ikr}$，$e^{-ik(a-r)}=e^{-ika}e^{ikr}$（どちらも指数法則 $e^{X+Y}=e^Xe^Y$ を使っただけである）．したがって，

丸括弧の中は，正弦関数のオイラー表示 $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ より $e^{-ikr}-e^{ikr}=-\bigl(e^{ikr}-e^{-ikr}\bigr)=-2i\sin(kr)$ であるから，

を得る．（$-i2rk$ と $-2i$ から $i$ が約分され，符号のマイナスどうしも打ち消し合って，最終的にプラスの $\sin(kr)/(kr)$ が残ることに注意．）

次に $r\to0$ の極限を考える．$\dfrac{\sin(kr)}{kr}$ は，$u=kr$ とおけば $\dfrac{\sin u}{u}$ の形であり，$u\to0$ のとき $\dfrac{\sin u}{u}\to1$ となることはよく知られている（$\sin u\fallingdotseq u$ という1次近似から従う極限で，ロピタルの定理や，はさみうちの原理でも確かめられる）．$r\to0$ のとき $u=kr\to0$ だから，

となる．つまり，パルスの幅を $0$ に近づけると，フーリエ変換は $k$ によらない単純な位相因子 $e^{-ika}$ に収束する．

例題30.2　$a=0,\ r=1$ の矩形パルスと，面積が $r$ によらず $1$ であること

(a) $a=0,\ r=1$ の場合について，矩形パルス $f(\alpha)$ のフーリエ変換を，一般式 \eqref{eq:30-box-ft} に代入して求めよ．(b) $r$ の値によらず，矩形パルス $f(\alpha)$ の下の面積 $\displaystyle\int_{a-r}^{a+r}f(\alpha)\,\dd\alpha$ が $1$ になることを示せ．

解答　(a) 式 \eqref{eq:30-box-ft} に $a=0,r=1$ を代入すると，$e^{-ik\cdot0}=1$ だから，

となる．これがまさに，図30.2に示す sinc 関数である．

(b) 面積は，パルスの定義から直接積分すればよい．$f(\alpha)=1/(2r)$ は区間 $(a-r,a+r)$（幅 $2r$）で一定だから，

となり，$r$ の値によらずつねに $1$ である．（これは，(a)の結果で $k\to0$ とした極限 $\displaystyle\lim_{k\to0}\Four[f(\alpha)](k)=\lim_{k\to0}\frac{\sin k}{k}=1$ とも整合している——フーリエ変換の定義 $\Four[f](0)=\int f(\alpha)\dd\alpha$ に $k=0$ を代入すれば，$k=0$ での変換の値がちょうど面積に等しいことが分かるからである．）どちらの計算からも，「幅を変えても面積が保たれるように高さを調整したパルス」という設計どおりの結果が確認できる．

例30.2　複素指数関数 $e^{iK\alpha}$ のフーリエ変換

$f(\alpha)=e^{iK\alpha}$ のフーリエ変換 $\Four[f(\alpha)](k)$ を調べよ．

解答　定義30.1に代入すると，

となる．この被積分関数は絶対値がつねに $1$（$\abs{e^{i(K-k)\alpha}}=1$）であり，$\alpha\to\pm\infty$ で小さくならないから，前節までのような普通の意味では収束しない．そこで，積分区間を $(-t,t)$ で打ち切った量

を考え，$t\to\infty$ の極限でどうなるかを調べる．

[1] $K=k$ の場合． 被積分関数は $e^{i\cdot0\cdot\alpha}=1$ となるから，

である．つまり，$k=K$ のちょうどその点では，$g(k)$ はどこまでも大きくなる．

[2] $K\neq k$ の場合． $e^{i(K-k)\alpha}$ の原始関数は $\dfrac{1}{i(K-k)}e^{i(K-k)\alpha}$ だから，

右辺の分子は，オイラー表示 $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$（$\theta=(K-k)t$ とおいたもの）を使うと $e^{i(K-k)t}-e^{-i(K-k)t}=2i\sin\bigl((K-k)t\bigr)$ と書けるから，

を得る．$t\to\infty$ のとき，$\sin\bigl((K-k)t\bigr)$ は $-1$ と $1$ の間を絶えず振動するだけで，ある値に近づくわけではない．しかし，$K\neq k$ を固定して考えると，$g(k)$ は $\dfrac{2}{\abs{K-k}}$ という有限の範囲に閉じ込められたまま，$k=K$ における $g(K)=2t\to\infty$ という発散とは対照的に，相対的にはどんどん小さくなっていく．このことを，ノートの言葉で「$t\to\infty$ で $g(k)$ は実質 $0$ になる」と表現する．

例題30.3　$\cos Kx,\ \sin Kx$ のフーリエ変換

式 \eqref{eq:30-expdelta} とオイラーの公式を用いて，$\Four[\cos Kx](k)$ と $\Four[\sin Kx](k)$ を，デルタ関数を使って表せ．

解答　オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ より，$\cos Kx=\dfrac{e^{iKx}+e^{-iKx}}{2}$，$\sin Kx=\dfrac{e^{iKx}-e^{-iKx}}{2i}$ である（$\theta=Kx$ の場合と $\theta=-Kx$ の場合を辺々足す・引くことで得られる，高校でも見た関係式の複素版）．フーリエ変換は積分だから線形性（$\Four[c_1f+c_2g]=c_1\Four[f]+c_2\Four[g]$，$c_1,c_2$ は定数）を持つ．これと式 \eqref{eq:30-expdelta}（$\Four[e^{iKx}](k)=2\pi\delta(k-K)$，また $K\to-K$ として $\Four[e^{-iKx}](k)=2\pi\delta(k+K)$）を使うと，

を得る（最後の変形では $1/i=-i$ を使った；$1/i=i/i^2=i/(-1)=-i$ で確かめられる）．どちらも，$k=K$ と $k=-K$ の2点にだけ立つデルタ関数の対で表される——三角関数が「正・負2つの振動数成分」の重ね合わせであることの，デルタ関数を使った表現である．（sympyで係数を検算：$\frac12(1+1)=1\Rightarrow$ 全体の係数 $\pi$，$\frac{1}{2i}(1-(-1))=\frac1i=-i\Rightarrow$ 全体の係数 $-i\pi$，本文の結果と一致．）

例30.3　ガウス関数 $e^{-\alpha x^2}$ のフーリエ変換

ガウス関数 $f(x)=e^{-\alpha x^2}$（$\alpha\gt0$）のフーリエ変換 $\Four[e^{-\alpha x^2}](k)$ を求めよ．

解答　指数の肩を平方完成する．$-\alpha x^2-ikx=-\alpha\left(x^2+i\dfrac{k}{\alpha}x\right)$ であり，$x^2+i\dfrac{k}{\alpha}x=\left(x+i\dfrac{k}{2\alpha}\right)^2-\left(i\dfrac{k}{2\alpha}\right)^2=\left(x+i\dfrac{k}{2\alpha}\right)^2+\dfrac{k^2}{4\alpha^2}$（$\left(i\frac{k}{2\alpha}\right)^2=-\frac{k^2}{4\alpha^2}$ に注意）だから，

となる．よって

である（$k$ だけの因子 $e^{-k^2/4\alpha}$ は $x$ 積分の外に出せる）．ここで $u:=x+i\dfrac{k}{2\alpha}$ とおくと $\dd u=\dd x$（$k/2\alpha$ は $x$ によらない定数のシフトだから）であり，形式的には

（最後は式\eqref{eq:30-gauss-integral}）となる．したがって

を得る．

例題30.4　$\alpha=2$ の場合のガウス関数のフーリエ変換

$f(x)=e^{-2x^2}$ のフーリエ変換を，(a) 一般公式\eqref{eq:30-gauss-ft}に $\alpha=2$ を代入して求め，(b) 定義30.1に戻って直接積分することでも求め，両者が一致することを確かめよ．

解答　(a) 式\eqref{eq:30-gauss-ft}に $\alpha=2$ を代入すると，

を得る．

(b) 直接，平方完成からやり直す．$-2x^2-ikx=-2\left(x+i\dfrac{k}{4}\right)^2-\dfrac{k^2}{8}$（一般公式の計算に $\alpha=2$ を代入したものと同じ手順）だから，

となり，(a)の結果と完全に一致する．（sympyで検算：一般公式へ $\alpha=2$ を代入した式と，$f(x)=e^{-2x^2}$ を直接積分した式の差が恒等的に $0$ になることを確認済み．数値検証でも $k=1.3$ のとき両者とも $\fallingdotseq1.0146$ で一致．）

例30.4　両側指数関数 $e^{-\alpha|x|}$ のフーリエ変換

両側指数関数 $f(x)=e^{-\alpha|x|}$（$\alpha\gt0$）のフーリエ変換 $\Four[e^{-\alpha|x|}](k)$ を求めよ．

解答　$f(x)$ が $x\lt0$ と $x\ge0$ で別の式になっているので，定義30.1の積分を2つに分けて計算する．

第1項（$x\lt0$ の部分）． 指数をまとめると $e^{\alpha x}e^{-ikx}=e^{(\alpha-ik)x}$ であり，原始関数は $\dfrac{1}{\alpha-ik}e^{(\alpha-ik)x}$（$\dfrac{d}{dx}$ すると指数の係数 $(\alpha-ik)$ が下りてきて元に戻ることで確かめられる）だから，

となる．ここで，複素指数関数の絶対値は実部だけで決まる（$\bigl|e^{(\alpha-ik)x}\bigr|=e^{\alpha x}\bigl|e^{-ikx}\bigr|=e^{\alpha x}\times1=e^{\alpha x}$，虚数指数部分は絶対値が常に $1$ だから寄与しない）ことに注意すると，$\alpha\gt0$ より $x\to-\infty$ で $e^{\alpha x}\to0$，したがって $e^{(\alpha-ik)x}\to0$ である．よって

を得る．

第2項（$x\ge0$ の部分）． 同様に $e^{-\alpha x}e^{-ikx}=e^{-(\alpha+ik)x}$ の原始関数は $\dfrac{1}{-(\alpha+ik)}e^{-(\alpha+ik)x}$ であり，$\bigl|e^{-(\alpha+ik)x}\bigr|=e^{-\alpha x}\to0\ (x\to\infty,\ \alpha\gt0)$ だから，

となる．

2項を合計する． 通分すると，分母は $(\alpha-ik)(\alpha+ik)=\alpha^2-(ik)^2=\alpha^2+k^2$（$i^2=-1$ より $(ik)^2=-k^2$），分子は $(\alpha+ik)+(\alpha-ik)=2\alpha$（虚部が打ち消し合う）だから，

を得る．

例題30.5　逆フーリエ変換で元の関数に戻ることの数値的確認（$\alpha=3$）

$\alpha=3$ のとき，式\eqref{eq:30-exp-ft}より $\Four[e^{-3|x|}](k)=\dfrac{6}{9+k^2}$ である．逆フーリエ変換の定義

を（数値積分によって）実際に計算すると，もとの $f(x)=e^{-3|x|}$ に戻ることを，$x=0,\ 0.7,\ 1.5,\ -2.2$ の4点で確認せよ．

解答　被積分関数 $\dfrac{6}{9+k^2}e^{ikx}$ の虚部は $k$ について奇関数（$\sin$ を含む部分）なので，対称な広義積分では打ち消し合って積分は実数値 $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{6\cos kx}{9+k^2}\,\dd k$ に一致するはずである．これを数値積分（scipyの数値積分ルーチン）で計算すると，

となり，いずれの点でも数値積分と真値がよく一致する（$x=0$ での誤差がやや大きいのは，被積分関数 $6\cos(kx)/(9+k^2)$ が $k\to\pm\infty$ で $1/k^2$ としてゆっくり減衰するため，有限区間で打ち切る数値積分の近似誤差が出やすいからである．積分区間をさらに広げれば誤差はもっと小さくなる）．フーリエ変換してからもう一度逆フーリエ変換すれば，たしかに元の関数に戻ることが，理論だけでなく数値でも確認できた．

例30.5　$\dfrac1x$ のフーリエ変換

$f(x)=\dfrac1x$（$x\neq0$）のフーリエ変換 $\Four[1/x](k)$ を，主値積分の意味で求めよ．

解答　定義30.1（の主値版）とオイラーの公式 $e^{-ikx}=\cos kx-i\sin kx$ を使うと，

と，実部（$\cos$ を含む項）と虚部（$\sin$ を含む項）に分かれる．この2つの項を別々に調べる．

実部：$\cos kx/x$ の主値は，計算するまでもなく $0$ である． $g(x):=\dfrac{\cos kx}{x}$ は，$\cos(-kx)=\cos(kx)$（偶関数）と $1/(-x)=-1/x$（奇関数）の積だから，$g(-x)=-g(x)$，すなわち $x$ の奇関数である．奇関数を，原点に関して対称な区間で積分すると，$x$ の部分と $-x$ の部分がちょうど打ち消し合う．したがって，任意の $0\lt\varepsilon\lt A$ に対して

が（$\varepsilon,A$ の値によらず）常に成り立ち，$\varepsilon\to0,\ A\to\infty$ の極限をとっても $0$ のままである．よって $\operatorname{p.v.}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\cos kx}{x}\dd x=0$ である．

虚部：$\sin kx/x$ の積分は，実は $x=0$ で特異点がない． $\dfrac{\sin kx}{x}$ は，$x\to0$ のとき $\dfrac{\sin kx}{x}=k\times\dfrac{\sin kx}{kx}\to k\times1=k$（例30.1で使った $\lim_{u\to0}\sin u/u=1$ より）という有限な値に近づく——つまり $x=0$ は除去可能特異点（見かけ上の特異点で，値を1つ補えば連続になる点）であり，主値を考える必要すらない，ふつうの広義積分である．$k\gt0$ の場合，$u=kx$（$\dd x=\dd u/k$）と置換すると，$x:-\infty\to\infty$ のとき $u:-\infty\to\infty$（$k\gt0$ だから向きは変わらない）で，

となる．最後の等号は，公式30.1の証明(iii)で使った，古典的な結果 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\dd u=\pi$（複素解析学の留数定理——本書の範囲を超える発展的な事実であり，第26章末尾で名前だけ予告した——を使うと証明される）を再び使った．$k\lt0$ の場合は，$\sin(kx)=-\sin(|k|x)$ より符号が反転し，$k=0$ の場合は被積分関数が恒等的に $0$ になるから，まとめて

と書ける（$\sgn(k)$ は符号関数（sign function）とよばれる新しい記号で，$k$ の符号だけを取り出す関数である）．

以上をまとめると，

を得る．

例題30.6　非対称な矩形パルスで確かめるエルミート対称性

30.2節の矩形パルス $f(\alpha)=\dfrac{1}{2r}\ (a-r\lt\alpha\lt a+r)$（$a\neq0$）は，中心が原点からずれているため偶関数でも奇関数でもない．そのフーリエ変換 $F(k)=e^{-ika}\dfrac{\sin kr}{kr}$（式\eqref{eq:30-box-ft}）について，定理30.1(a)のエルミート対称性 $F(-k)=\overline{F(k)}$ が成り立つことを直接確かめよ．

解答　$F(k)=e^{-ika}\dfrac{\sin kr}{kr}$ において，$\sin kr/(kr)$ は $k$ の実数値の偶関数である（$\sin(-kr)/(-kr)=(-\sin kr)/(-kr)=\sin kr/kr$）．したがって，

である．一方，$F(k)=e^{-ika}\dfrac{\sin kr}{kr}$ の複素共役は，$\sin kr/(kr)$ が実数だから複素共役をとっても変わらず，$e^{-ika}$ の複素共役だけが $e^{ika}$ に変わるので，

となる．両者を比べると $F(-k)=\overline{F(k)}$ がぴったり成り立っており，定理30.1(a)が確認できた（sympyでも $a=0.7,r=1.3,k=1.1$ の数値で $F(-k)$ と $\overline{F(k)}$ が一致することを確認済み）．なお，30.2節の例題30.2のように $a=0$ の場合は，$f(\alpha)$ 自身が偶関数になるので，$F(k)=\sin(kr)/(kr)$ は実数かつ偶関数になる（定理30.1(b)そのもの）．

演習30.1　微分則 $\Four[f'(x)](k)=ik\,\Four[f(x)](k)$

$f(x)$ は $x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$ となる，微分可能な関数とする．部分積分を使って，一般の $f$ に対して $\Four[f'(x)](k)=ik\,\Four[f(x)](k)$ が成り立つことを示せ．さらに，$f(x)=e^{-x^2}$（$\alpha=1$ のガウス関数）の場合に，左辺・右辺をそれぞれ直接計算して一致することを確かめよ．

ヒント：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f'(x)e^{-ikx}\dd x$ を部分積分し，境界項が $f(\pm\infty)=0$ より消えることを使う．具体例では式\eqref{eq:30-gauss-ft}（$\alpha=1$）と，$f'(x)=-2xe^{-x^2}$ のフーリエ変換を比較する．

→ 解答

演習30.2　パラメータ微分による $\Four[x^2e^{-\alpha x^2}](k)$ の計算

式\eqref{eq:30-gauss-ft}の両辺を，$x$ の積分の中の変数とは独立なパラメータ $\alpha$ で微分することにより，$\Four[x^2e^{-\alpha x^2}](k)$ を求めよ．また，直接 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-\alpha x^2}e^{-ikx}\dd x$ を計算した結果と一致することを確認せよ．

ヒント：左辺を $\alpha$ で微分すると，積分の中で $\dfrac{\partial}{\partial\alpha}e^{-\alpha x^2-ikx}=-x^2e^{-\alpha x^2-ikx}$ が出てくる（積分と微分の順序交換は，本章では認めて使ってよい）．右辺 $\sqrt{\pi/\alpha}\,e^{-k^2/4\alpha}$ を $\alpha$ で微分し，符号を直して $\Four[x^2e^{-\alpha x^2}]=-\dfrac{\partial}{\partial\alpha}\Four[e^{-\alpha x^2}]$ を使う．

→ 解答

演習30.3　シフト定理 $\Four[f(x-a)](k)=e^{-ika}\Four[f(x)](k)$

一般の $f(x)$ と実数 $a$ に対して，シフト定理 $\Four[f(x-a)](k)=e^{-ika}\Four[f(x)](k)$ を定義30.1から示せ．さらに，$f(x)=e^{-\alpha|x|}$ をシフトした $f(x-a)=e^{-\alpha|x-a|}$ のフーリエ変換を直接計算し，シフト定理の予測 $e^{-ika}\cdot\dfrac{2\alpha}{\alpha^2+k^2}$ と一致することを確認せよ．

ヒント：定義の積分で $u=x-a$ と置換すると，$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x-a)e^{-ikx}\dd x=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-ik(u+a)}\dd u=e^{-ika}\int f(u)e^{-iku}\dd u$ となる．

→ 解答

演習30.4　尺度変換定理 $\Four[f(cx)](k)=\dfrac1c\,\Four[f(x)]\!\left(\dfrac{k}{c}\right)\ (c\gt0)$

$c\gt0$ を定数とする．一般の $f(x)$ に対して，尺度変換定理 $\Four[f(cx)](k)=\dfrac1c\Four[f(x)]\!\left(\dfrac{k}{c}\right)$ を定義30.1から示せ．さらに，$f(x)=e^{-x^2}$，$c=2$ の場合に，左辺 $\Four[e^{-4x^2}](k)$ を直接計算した結果と，右辺の予測が一致することを確認せよ．

ヒント：定義の積分で $u=cx$（$c\gt0$ なので置換しても積分の向きは変わらない）と置換すると，$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(cx)e^{-ikx}\dd x=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-ik(u/c)}\frac{\dd u}{c}=\frac1c\int f(u)e^{-i(k/c)u}\dd u$ となる．

→ 解答

演習30.5　「$x$ 倍」と「$k$ で微分」の双対性 $\Four[xf(x)](k)=i\dfrac{d}{dk}\Four[f(x)](k)$

一般の $f(x)$ に対して，$\Four[xf(x)](k)=i\dfrac{d}{dk}\Four[f(x)](k)$ が成り立つことを示せ．また，$f(x)=e^{-\alpha|x|}$，$\alpha=2$ の場合に，左辺 $\Four[xe^{-2|x|}](k)$ を直接計算した結果と，右辺 $i\dfrac{d}{dk}\left(\dfrac{4}{4+k^2}\right)$ が一致することを確認せよ．

ヒント：$\Four[f(x)](k)=\displaystyle\int f(x)e^{-ikx}\dd x$ を $k$ で微分すると，$\dfrac{\partial}{\partial k}e^{-ikx}=-ixe^{-ikx}$ が出てくるので，$\dfrac{d}{dk}\Four[f]=-i\displaystyle\int xf(x)e^{-ikx}\dd x=-i\Four[xf(x)](k)$ となる．両辺に $i$ を掛けて整理する（演習30.1の微分則と，$x$ 倍と $k$ 微分の役割が入れ替わった「双対」の関係になっていることに注目せよ）．

→ 解答

演習30.6　パリティ定理の確認（$a=0$ の矩形パルス）

30.2節の矩形パルスで $a=0$ とした $f(\alpha)=\dfrac{1}{2r}\ (-r\lt\alpha\lt r)$ は偶関数である．そのフーリエ変換 $F(k)=\sin(kr)/(kr)$（例題30.2(a)）が，定理30.1(b)の予測どおり実数かつ偶関数になっていることを確かめよ．

ヒント：$\sin(kr)/(kr)$ は，$k,r$ が実数であれば分母・分子とも実数で，虚数単位 $i$ がどこにも現れないので実数値である．偶関数であることは $\sin(-kr)/(-kr)=(-\sin kr)/(-kr)=\sin kr/kr$ から従う．

→ 解答