第14章期待値 — 離散から連続へ

例題14.1　サイコロの出た目の期待値

1個のサイコロを1回投げるとき，出た目 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ．

解答　サイコロは1から6までの目が同様に確からしく出るから，$x_k=k$，$P_k=\dfrac16$（$k=1,2,\dots,6$）である．式\eqref{eq:14-discrete}に代入すると，

$$ E(X)=\sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac16=\frac16(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=\frac72=3.5 $$

となる．（sympyで検算：sum(k*Rational(1,6) for k in range(1,7)) の値は厳密に $7/2$ で一致．）出た目自体は $1$ から $6$ までの整数しかとらないのに，期待値は整数ではない $3.5$ になる——これは期待値が「実際に起こりうる値の1つ」ではなく，「多数回くり返したときの平均値」を表す量だからである．

例題14.2　福引の期待値と「公正な参加料」

ある福引で，賞金と当たる確率が次の表のように定められている．

この福引の賞金 $X$ の期待値を求め，1回の参加料をいくらにすれば主催者・参加者のどちらも損をしない「公正な」金額になるか答えよ．

解答　まず「はずれ」の確率を，全確率の和が $1$ になることから求める．$\displaystyle\sum_k P_k=1$ より，はずれの確率は

$$ 1-\left(\frac{1}{1000}+\frac{1}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{1+10+100}{1000}=1-\frac{111}{1000}=\frac{889}{1000} $$

である（確かに $0$ 以上で，全体は矛盾なく $1$ に規格化されている）．式\eqref{eq:14-discrete}より，期待値は

$$ E(X)=100000\cdot\frac{1}{1000}+10000\cdot\frac{1}{100}+1000\cdot\frac{1}{10}+0\cdot\frac{889}{1000}=100+100+100+0=300\ \text{円} $$

となる．（sympyで検算済み：厳密分数計算でも $E(X)=300$．）期待値が「公正な参加料」の目安になる理由は次のとおりである．参加料を $c$ 円とすると，1回あたりの純利益（賞金 $-$ 参加料）の期待値は $E(X)-c$ になる．これが正なら参加者が平均的に得をし，主催者側が損をする．逆に負なら主催者が得をする．したがって $c=E(X)=300$ 円のときに限り，この福引を何度もくり返したときの参加者の平均的な損益がちょうど $0$ になり，「公正」だといえる．（実際の宝くじや福引の参加料は，運営費用をまかなうために期待値より高く設定されているのが普通である．）

例題14.3　一様な密度 $P(x)=1$（区間 $[0,1]$）

区間 $[0,1]$（$L=1$）で確率密度が定数 $P(x)=1$ であるとする．この区間を $n$ 等分したとき，式\eqref{eq:14-norm-density}の左辺 $\sum_{k=1}^n P_k$ を計算し，$n$ の値によらず常に $1$ になることを確かめよ．

解答　$P(x)=1$（定数）なので，$P\!\left(\frac{k}{n}\right)=1$ である．よって

$$ \sum_{k=1}^{n}P_k=\sum_{k=1}^{n}P\!\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac1n=\sum_{k=1}^{n}1\cdot\frac1n=n\cdot\frac1n=1 $$

となり，たしかに $n$ によらず（$n\to\infty$ の極限をとるまでもなく）常に $1$ である．（sympyで検算：summation(1/n,(k,1,n)) を簡約すると厳密に $1$．）この例は特別で，密度が場所によらず一定だからこそ，有限の $n$ でも近似の誤差がまったく生じない．次の例のように密度が $x$ とともに変化する場合は，一般には $n$ が有限だと $\sum P_k$ は $1$ からわずかにずれ，$n\to\infty$ の極限ではじめて正確に $1$ になる．

例題14.4　線形に増加する密度 $P(x)=\dfrac{2}{L^2}x$（区間 $[0,L]$，$L=2$）

区間 $[0,2]$ で確率密度が $P(x)=\dfrac{2}{L^2}x=\dfrac12 x$（$L=2$ の場合）であるとする．(a) $n=5,10,100,1000$ のそれぞれについて $\sum_{k=1}^n P_k$ を計算し，$n\to\infty$ で $1$ に近づく様子を確認せよ．(b) $n\to\infty$ の計算とは別に，積分 $\int_0^L P(x)\,dx$ を直接計算し，一般の $L$ について値が $L$ によらず常に $1$ になることを確かめよ．

解答　(a) $x_k=\dfrac{2k}{n}$，幅 $\dfrac{2}{n}$ だから，

$$ \sum_{k=1}^{n}P_k=\sum_{k=1}^{n}P\!\left(\frac{2k}{n}\right)\cdot\frac2n=\sum_{k=1}^{n}\frac12\cdot\frac{2k}{n}\cdot\frac2n=\frac{2}{n^2}\sum_{k=1}^n k=\frac{2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{n} $$

（最後の変形で，高校数学の公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ を使った．）$n=5,10,100,1000$ を代入すると，それぞれ $\frac65=1.2$，$\frac{11}{10}=1.1$，$\frac{101}{100}=1.01$，$\frac{1001}{1000}=1.001$ となり（sympyで厳密分数として検算済み），たしかに $1$ に近づいていく．しかし有限の $n$ ではつねに $1$ よりわずかに大きい——密度が増加関数であるため，各小区間の右端の値 $P(x_k)$ を高さに使うと，真の面積をやや過大に見積もってしまうからである．

(b) 一般の $L$ について，

$$ \int_0^L P(x)\,dx=\int_0^L \frac{2}{L^2}x\,dx=\frac{2}{L^2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^L=\frac{2}{L^2}\cdot\frac{L^2}{2}=1 $$

（sympyで一般の $L$（$L>0$の記号）について検算済み．）$L$ の値によらず常に $1$ になる——これは，密度関数がそもそも「全区間で積分すると $1$」になるように作られた（比例定数 $\frac{2}{L^2}$ がそのために選ばれている）ためである．(a)の数値計算は，この積分を区分求積法（次節）で近似したものにほかならず，$n\to\infty$ で(b)の厳密値 $1$ に一致することが期待される．

例題14.5　区分求積法で和の極限を積分に直す（$f(x)=x$）

極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\cdot\frac1n$ を，区分求積法を用いて定積分に直し，その値を求めよ．

解答　和の形 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot\frac1n=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)\frac1n$ を，公式14.1で $L=1$，$f(x)=x$ とした場合の $\displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)\frac1n$ とみなす．よって

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\cdot\frac1n=\int_0^1 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac12 $$

である．（検算：左辺は高校数学の公式 $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ を使うと $\dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2n}$ となり，sympyで $n\to\infty$ の極限を取ると厳密に $\frac12$ に一致することを確認済み．）この結果は，直角三角形（頂点 $(0,0),(1,0),(1,1)$）の面積が $\frac12$ であることの，区分求積法による別証明にもなっている．

例題14.6　一様分布の期待値

区間 $[0,L]$ のどこでも同じ密度で値をとる確率変数（一様分布，uniform distribution）を考える．規格化条件から密度は $P(x)=\dfrac1L$（$0\le x\le L$）である．この確率変数の期待値を求めよ．

解答　式\eqref{eq:14-key}に $P(x)=\frac1L$ を代入すると，

$$ E=\int_0^L x\cdot\frac1L\,dx=\frac1L\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^L=\frac1L\cdot\frac{L^2}{2}=\frac L2 $$

（sympyで一般の $L$ について検算済み．）区間 $[0,L]$ のどこも同じ確からしさなら，期待値がその区間のちょうど真ん中 $\frac L2$ になるのは，直感（図14.4）とも完全に一致する．

例題14.7　線形に増加する密度の期待値（一様分布との比較）

例題14.4で扱った密度 $P(x)=\dfrac{2}{L^2}x$（$0\le x\le L$）をもつ確率変数の期待値を求め，例題14.6の一様分布（同じ区間 $[0,L]$）の期待値と比較せよ．

解答　式\eqref{eq:14-key}に代入すると，

$$ E=\int_0^L x\cdot\frac{2}{L^2}x\,dx=\frac{2}{L^2}\int_0^L x^2\,dx=\frac{2}{L^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^L=\frac{2}{L^2}\cdot\frac{L^3}{3}=\frac{2L}{3} $$

（sympyで検算済み．）一様分布の期待値 $\frac L2$（例題14.6）と比べると，$\frac{2L}{3}\gt\frac L2$ である．これは，この密度 $P(x)=\frac{2}{L^2}x$ が $x$ とともに単調に増加する——つまり区間の右寄り（$x$ が $L$ に近いほう）で密度が高い——ため，期待値（重心）もまた区間の中点より右寄りに引き寄せられる，という直感と一致する．一般に，期待値は，密度が高い側に引き寄せられる——この性質は14.6節の演習でもう一度確認する．

例題14.8　指数分布の期待値（部分積分）

放射性原子が崩壊するまでの時間や，電球が故障するまでの時間のように，「ある瞬間まで生き延びた」という条件のもとで次の瞬間に事象が起こる確率が時間によらず一定であるような現象は，密度関数 $P(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x\ge0$，$\lambda>0$ は定数）にしたがうことが知られている（指数分布，exponential distribution）．この分布の期待値 $E=\displaystyle\int_0^\infty x\,P(x)\,dx$ を求めよ．

解答　まず，$P(x)$ が確かに密度として規格化されていることを確認しておく：$\displaystyle\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx=\Big[-e^{-\lambda x}\Big]_0^\infty=0-(-1)=1$（$x\to\infty$ で $e^{-\lambda x}\to0$，$\lambda>0$ より）．次に，期待値を式\eqref{eq:14-key}にならって計算する．

$$ E=\int_0^\infty x\cdot\lambda e^{-\lambda x}\,dx $$

この積分は，$x$ と $e^{-\lambda x}$ の積の形なので部分積分（$\int u'v=uv-\int uv'$ を使う技法．大学で最初に学ぶ積分技法の1つ）を使う．$u=x$，$v'=\lambda e^{-\lambda x}$ とおくと，$u'=1$，$v=-e^{-\lambda x}$（$v'$ を積分すればよい）である．よって

$$ E=\Big[x\cdot(-e^{-\lambda x})\Big]_0^\infty-\int_0^\infty 1\cdot(-e^{-\lambda x})\,dx =\Big[-xe^{-\lambda x}\Big]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx $$

第1項は，$x=0$ では $0$，$x\to\infty$ では（指数関数 $e^{-\lambda x}$ が $x$ のどんなべき乗よりも速く $0$ に近づくため）$xe^{-\lambda x}\to0$ となり，全体で $0$ である．第2項は

$$ \int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^\infty=0-\left(-\frac1\lambda\right)=\frac1\lambda $$

だから，結局

$$ E=0+\frac1\lambda=\frac{1}{\lambda} $$

を得る．（sympyのintegrate(x*lam*exp(-lam*x),(x,0,oo))でも $\lambda>0$ の仮定のもとで厳密に $1/\lambda$ と一致することを確認済み．）$\lambda$ は「単位時間あたりに事象が起こる割合」（崩壊率・故障率）を表す定数なので，その逆数 $1/\lambda$ が「平均してどれくらいの時間がかかるか」（平均寿命）になるのは自然である．図14.5に，密度 $P(x)$ のグラフと期待値の位置を示す．密度は $x=0$ で最大になるが，期待値（平均）は $x=0$ の位置ではなく，そこから離れた $x=1/\lambda$ の位置にある——「もっとも起こりやすい値（最頻値）」と「平均値（期待値）」は，分布が左右対称でない限り，一般には一致しないことに注意しよう．

演習14.1　2つのさいころの目の和の期待値

2個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の和 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ．

ヒント：起こりうる場合の数は全部で $6\times6=36$ 通りある．和が $2$ になる場合の数，$3$ になる場合の数，……を数え上げて定義14.1に代入してもよいし，「1個のサイコロの目の期待値は例題14.1より $\frac72$ である」ことと，期待値の線形性（$E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$，本章では証明していないが，各サイコロの目をそれぞれ確率変数とみなせば自然に成り立つ性質）を使ってもよい．

→ 解答

演習14.2　3つの値をとる確率変数の期待値とばらつき（発展）

確率変数 $X$ が $3$つの値 $2,5,9$ を等確率 $\frac13$ でとるとする．(a) 期待値 $E(X)$ を求めよ．(b) $E(X^2)$（$X^2$ の期待値，$X^2$ がとる値 $x_k^2$ とその確率 $P_k$ から定義14.1と同じ形の式で計算できる）を求めよ．(c) 分散（variance）は，データが期待値のまわりにどれくらいばらついているかを表す量で，本来は $V(X)=E\big[(X-E(X))^2\big]$（各値が期待値からどれだけ離れているかの2乗の期待値，本章では深入りしないが統計学でもっとも重要な量の1つである）として定義される．この定義を展開すると，計算に使いやすい公式 $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ が得られることを示し，(a)(b)の結果を用いて $V(X)$ の値を求めよ．

ヒント：$X^2$ がとる値は $4,25,81$ であり，それぞれ元の値と同じ確率 $\frac13$ で起こる．(c)の展開は $E\big[(X-E(X))^2\big]=E\big(X^2-2XE(X)+\{E(X)\}^2\big)$ を，期待値の線形性を使って項ごとに展開すればよい（$E(X)$ は定数なので $E\big(2X\cdot E(X)\big)=2E(X)\cdot E(X)$）．

→ 解答

演習14.3　密度関数の規格化定数と期待値

区間 $[0,2]$ で確率密度が $P(x)=cx$（$c$ は定数）であるとする．(a) 規格化条件 $\int_0^2 P(x)\,dx=1$ から定数 $c$ を求めよ．(b) この密度をもつ確率変数の期待値を求めよ．

ヒント：(a)は式\eqref{eq:14-norm-integral}を，(b)は式\eqref{eq:14-key}を使う．どちらも定積分 $\int_0^2 x^m\,dx$（$m=1,2$）の計算に帰着する．

→ 解答

演習14.4　区分求積法の練習（$f(x)=x^2$）

極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\cdot\frac1n$ を，区分求積法（公式14.1）を用いて定積分に直し，その値を求めよ．

ヒント：例題14.5（$f(x)=x$ の場合）とまったく同じ手順を，$f(x)=x^2$ について繰り返せばよい．高校数学の公式 $\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使って和を直接計算し，$n\to\infty$ の極限をとることで検算もできる．

→ 解答

演習14.5　放射性崩壊の平均寿命と半減期

ある放射性同位体の原子1個が崩壊するまでの時間 $T$ が，指数分布の密度 $P(t)=\lambda e^{-\lambda t}$（$t\ge0$）にしたがうとする．(a) 平均寿命 $\tau=E(T)$ を，例題14.8の結果を使って $\lambda$ で表せ．(b) 原子の個数がちょうど半分に減るまでの時間（半減期 $T_{1/2}$）を，方程式 $e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac12$ を解いて求め，$\tau$ との関係を式で表せ．(c) $\tau=10$（時間の単位は任意）のとき，$T_{1/2}$ の近似値を求めよ．

ヒント：(b)では両辺の自然対数をとる．$\ln\frac12=-\ln2$ であることに注意．

→ 解答

演習14.6　一様分布と三角形型分布の期待値の比較

区間 $[0,L]$ において，(i) 一様分布 $P(x)=\frac1L$ と，(ii) $x=0$ で最大値をとり $x=L$ まで直線的に減少する「三角形型」の密度 $P(x)=\dfrac2L\left(1-\dfrac xL\right)$ の2つを比較する．(a) (ii)の密度が規格化条件 $\int_0^L P(x)\,dx=1$ をみたすことを確かめよ．(b) (ii)の期待値を求め，(i)の期待値 $\frac L2$（例題14.6）と比較せよ．(c) (b)の結果は，例題14.7で述べた「期待値は密度が高い側に引き寄せられる」という性質とどう整合するか，図14.4を参考に説明せよ．

ヒント：(a)(b)とも $\int_0^L x^m\,dx$（$m=0,1,2$）の計算に帰着する．(c)では，密度(ii)が $x=0$ 付近で最大になっていることに注目する．

→ 解答