第27章三角関数の直交性と関数の内積

例題27.1　直交性の公式を組み合わせて積分を計算する

次の定積分を計算せよ．

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\left(3\cos2x-4\sin5x+7\right)\cos2x\,dx $$

解答　被積分関数を展開すると，積分は3つの項の和に分解できる（積分の線形性：和の積分は積分の和）．

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\left(3\cos2x-4\sin5x+7\right)\cos2x\,dx=3\int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\cos2x\,dx-4\int_{-\pi}^{\pi}\sin5x\cos2x\,dx+7\int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\,dx $$

第1項は式\eqref{eq:27-coscos-orth}（公式27.4）で $m=n=2$（$m=n\neq0$ の場合）だから $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\cos2x\,dx=\pi$．第2項は式\eqref{eq:27-sincos-orth}（公式27.3，$m=5,n=2$，$\sin mx\cos nx$ の形）より $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin5x\cos2x\,dx=0$．第3項は式\eqref{eq:27-cos-int}（公式27.2）で $m=2\,(\neq0)$ だから $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\,dx=0$．したがって，

$$ 3\cdot\pi-4\cdot0+7\cdot0=3\pi $$

が答えである（sympyで直接積分し，$3\pi$ に一致することを検算済み）．

例題27.2　多項式関数どうしの内積とノルム，シュワルツの不等式の確認

区間 $[-1,1]$ 上で $f(x)=x,\ g(x)=x^2$ とする．(1) $\langle f,g\rangle$，$\|f\|$，$\|g\|$ をそれぞれ求めよ．(2) シュワルツの不等式 $|\langle f,g\rangle|\le\|f\|\|g\|$ が実際に成り立つことを確認せよ．

解答　(1) 内積の定義（定義27.1）より，

$$ \langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}x\cdot x^2\,dx=\int_{-1}^{1}x^3\,dx $$

ここで，$x^3$ は奇関数（$(-x)^3=-x^3$）であり，積分区間 $[-1,1]$ は原点対称だから，公式27.3の別解で使ったのと同じ理由（奇関数を左右対称な区間で積分すると $0$）により，計算するまでもなく $\langle f,g\rangle=0$ とわかる．念のため直接計算すると，$\displaystyle\int_{-1}^1x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1=\frac14-\frac14=0$ で確かに一致する．

次にノルムを計算する．定義27.2より，

$$ \|f\|=\sqrt{\int_{-1}^1x^2\,dx}=\sqrt{\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1}=\sqrt{\frac13-\left(-\frac13\right)}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3} $$ $$ \|g\|=\sqrt{\int_{-1}^1x^4\,dx}=\sqrt{\left[\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^1}=\sqrt{\frac15-\left(-\frac15\right)}=\sqrt{\frac25}=\frac{\sqrt{10}}{5} $$

（sympyで検算済み：$\|f\|=\sqrt6/3\approx0.8165$，$\|g\|=\sqrt{10}/5\approx0.6325$．）

(2) $|\langle f,g\rangle|=0$ である一方，$\|f\|\|g\|=\dfrac{\sqrt6}{3}\times\dfrac{\sqrt{10}}{5}=\dfrac{\sqrt{60}}{15}=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}\approx0.516$ は正の数だから，$0\le0.516$ となり，シュワルツの不等式は（等号にはならないが）確かに成り立っている．実は $\langle f,g\rangle=0$（$f\perp g$，内積が $0$）というのは，$f(x)=x$ と $g(x)=x^2$ が三角関数でなくても，「奇関数と偶関数の積は奇関数，それを対称区間で積分すると $0$」という同じ仕組みで直交してしまう一例である．直交性は三角関数だけの特権ではないことがわかる．

例27.1　三角関数とベクトルの類似性

例として，次の関数 $y$ と，3次元ベクトル $Y$ を考える．

$$ y=\sum_{k=1}^{3}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}=\sin x+\frac13\sin3x+\frac15\sin5x, \qquad Y=\left[\,1\ \ \frac13\ \ \frac15\,\right] $$

$y$ は，$\sin x,\sin3x,\sin5x$ という3つの関数を，係数 $1,\frac13,\frac15$ で重ね合わせたものである．$Y$ は，同じ係数 $1,\frac13,\frac15$ を3次元ベクトルの成分として並べたものである．この2つが，どちらも「3つの直交する基底を係数で重ね合わせたもの」という同じ構造を持つことを，[i]関数側，[ii]ベクトル側の両方で確かめよう．

[i] $y$ について（関数の内積）．$\sin x,\sin3x,\sin5x$ どうしの内積を，定義27.1にしたがって計算する．異なる2つを組み合わせた場合は，公式27.5（$\sin mx\sin nx$，$m\neq n$）がそのまま使え，

$$ \langle\sin x,\sin3x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin3x\,dx=0,\qquad \langle\sin3x,\sin5x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\sin3x\sin5x\,dx=0,\qquad \langle\sin5x,\sin x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\sin5x\sin x\,dx=0 $$

となる——3つのペアすべてで内積が $0$，すなわち3つの関数は互いに直交している．また，同じ関数どうしの内積（公式27.5の $m=n$ の場合）は，

$$ \langle\sin x,\sin x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin x\,dx=\pi,\qquad \langle\sin3x,\sin3x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\sin3x\sin3x\,dx=\pi,\qquad \langle\sin5x,\sin5x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\sin5x\sin5x\,dx=\pi $$

となり，3つとも等しく $\pi$ である（したがってノルムはすべて $\|\sin x\|=\|\sin3x\|=\|\sin5x\|=\sqrt\pi$ で共通）．

[ii] $Y$ について（ベクトルの内積）．$\vec e_1=\sin x,\ \vec e_2=\sin3x,\ \vec e_3=\sin5x$ と名付けておく（関数を「基底ベクトル」に見立てるための記号である）．$Y$ を，通常の3次元空間の標準的な基底 $\vec e_1=[1,0,0],\ \vec e_2=[0,1,0],\ \vec e_3=[0,0,1]$（座標軸方向を向く長さ $1$ のベクトル）の一次結合として表すと，

$$ Y=\vec e_1+\frac13\vec e_2+\frac15\vec e_3 $$

となる（[i]の $y$ の式と，係数がぴったり対応していることに注目しよう）．このとき，標準基底どうしの内積は，高校数学のベクトルの内積の定義（$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$，成分表示では対応する成分どうしの積の和）から，異なる基底どうしは垂直（$\theta=90^\circ$）だから

$$ \vec e_1\cdot\vec e_2=0,\qquad \vec e_2\cdot\vec e_3=0,\qquad \vec e_3\cdot\vec e_1=0 $$

であり，同じ基底どうしは（長さ $1$ の単位ベクトルなので）

$$ \vec e_1\cdot\vec e_1=1,\qquad \vec e_2\cdot\vec e_2=1,\qquad \vec e_3\cdot\vec e_3=1 $$

が成り立つ．図27.2に，$Y$ ベクトルとその基底 $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$（座標軸）の関係を図示する．

例題27.3　直交する基底の係数からノルムを求める

$y=\sin x-2\sin2x+4\sin4x$ とする．$\|y\|$（$[-\pi,\pi]$ 上のノルム）を求めよ．

解答　$\sin x,\sin2x,\sin4x$ は（公式27.5より，添字がすべて異なる正の整数なので）互いに直交し，かつ $\|\sin x\|=\|\sin2x\|=\|\sin4x\|=\sqrt\pi$（公式27.5の $m=n$ の場合）である．ノルムの2乗を定義どおり展開すると，

$$ \|y\|^2=\langle y,y\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}(\sin x-2\sin2x+4\sin4x)^2\,dx $$

被積分関数を展開すると，$(\sin x)^2,(2\sin2x)^2,(4\sin4x)^2$ という2乗の項と，$\sin x\cdot(-2\sin2x)$ のような交差項（クロスターム）が現れる．交差項はすべて「異なる添字の $\sin$ どうしの積」なので，公式27.5（$m\neq n$）よりすべて積分すると $0$ になる．したがって残るのは2乗の項だけであり，

$$ \|y\|^2=1^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx+(-2)^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^22x\,dx+4^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^24x\,dx=1^2\cdot\pi+(-2)^2\cdot\pi+4^2\cdot\pi $$ $$ =(1+4+16)\pi=21\pi $$

ゆえに $\|y\|=\sqrt{21\pi}$ である（sympyで $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\sin x-2\sin2x+4\sin4x)^2dx$ を直接展開・積分し，$21\pi$ に一致することを検算済み）．この計算からわかるように，互いに直交する関数 $\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi_n$（ノルムがすべて $\sqrt\pi$）の1次結合 $y=\sum_kc_k\varphi_k$ については，一般に

$$ \|y\|^2=\pi\sum_k c_k^2 $$

という関係——交差項が直交性によってすべて消え，2乗の項の係数だけが残る——が成り立つ．これは次章以降で学ぶパーセバルの等式（Parseval's identity）の最初の姿である．

例27.2　区分的に連続な関数の例

先ほどの図27.3のグラフを，もう一度詳しく見よう．区間 $[a,b]$ の中に不連続点 $x_0,x_1$ が2つあり，$x_0$ ではグラフが下に飛び，$x_1$ ではグラフが上に飛んでいる（黒丸がその点での実際の関数値，白丸はその側からの極限値であって実際の関数値ではないことを表す）．それぞれの点で，片側極限をチェックしよう．

$x_0$ では，左側極限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0-0}f(x)$ は，黒丸の高さ（山型に立ち上がった先のピークの値）として有限に存在する．右側極限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0+0}f(x)$ も，白丸の高さとして有限に存在する（両者は一致していない——ジャンプ不連続——が，どちらも有限な実数である点が重要である）．$x_1$ でもまったく同様に，左側極限（白丸，$0$ の高さ）と右側極限（黒丸，やや高い値）がともに有限に存在する．両端点 $a,b$ でも，グラフは有限な値からなめらかに立ち上がり・下降しているだけなので，内側からの片側極限は問題なく存在する．以上より，不連続点は $x_0,x_1$ の2個（有限個）で，そのいずれでも片側極限が存在し，両端点でも内側極限が存在するから，定義27.3の条件(i)(ii)をともに満たし，この関数は区間 $[a,b]$ で区分的に連続である．

例27.3　区分的に連続でない関数の例

先ほどの図27.4のグラフを，もう一度詳しく見よう．$a$ から立ち上がったグラフが，$x_0$ に近づくにつれて上方の $+\infty$ に発散してしまっている（漸近線を破線で示した）．したがって，左側極限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0-0}f(x)$ は有限の値として存在しない（$+\infty$ に発散する，というのは「極限が存在しない」ことの1つの言い方である）．$x_0$ と（ラベルを省略した）次の不連続点のあいだでは山型の有限な区間があり，その先で今度は下方の $-\infty$ に発散してしまう．したがって，そこでも片側極限は存在しない．最後の区間はふたたび有限な値に収まり，$b$ まで問題なく続く．

不連続点の個数そのものは有限個だが，そのうちの2つ（$+\infty,\ -\infty$ に発散する点）で片側極限が存在しないから，定義27.3の条件(ii)が満たされない．したがって，この関数は区分的に連続ではない．区分的に連続であるためには，「不連続点の個数が有限個であること」と「すべての不連続点・両端点で片側極限が（有限に）存在すること」の両方が必要であり，片方だけでは足りない，という好例である．

例27.4　区分的に滑らかな関数の例：$f(x)=\dfrac12x^2\ (-1\lt x\le1)$，周期2

周期 $2$ の関数 $f(x)$ を，1周期分の区間 $(-1,1]$ 上で $f(x)=\dfrac12x^2$ と定め，これを周期的に繰り返して得られる関数を考える（図27.5）．この $f(x)$ が区分的に滑らかであることを確かめよう．

解答　まず $f(x)$ 自身の区分的連続性を調べる．$f(x)=\dfrac12x^2$ は $(-1,1]$ の内部ではどこでも連続な（多項式）関数であり，不連続の心配があるのは周期の継ぎ目（$x=1,-1,3,\dots$）だけである．端点 $x=1$（この区間の右端点であり，同時に次の周期の左端点の手前でもある）で，

$$ \lim_{x\to1-0}f(x)=\lim_{x\to1-0}\frac12x^2=\frac12,\qquad \lim_{x\to-1+0}f(x)=\lim_{x\to-1+0}\frac12x^2=\frac12 $$

（右の極限は，次の周期区間 $(1,3]$ に入った直後の点を，$1$ つ手前の周期に平行移動して $(-1,1]$ の記法で考えたものである．）左右の極限がどちらも有限な値 $\dfrac12$ として存在する（さらに一致してもいる——実はこの周期関数は継ぎ目でも連続である）．したがって $f(x)$ は区分的に連続である．

次に $f'(x)$ を調べる．$(-1,1)$ の内部では $f'(x)=x$（多項式の微分，$\left(\frac12x^2\right)'=x$）であり，これもどこでも連続である．継ぎ目 $x=1,-1$ での片側極限は，

$$ \lim_{x\to1-0}f'(x)=\lim_{x\to1-0}x=1,\qquad \lim_{x\to-1+0}f'(x)=\lim_{x\to-1+0}x=-1 $$

（sympyで検算済み：verify/univmath/ch27_examples.py）．どちらも有限な値（$1$ と $-1$）として存在する（一致していない——$x=1$ で $f'$ にジャンプがある，つまり図27.6のような「折れ目」ができる——が，有限であることが重要である）．したがって $f'(x)$ も区分的に連続である．$f(x)$ と $f'(x)$ がともに区分的に連続だから，定義27.4より $f(x)=\dfrac12x^2\ (-1\lt x\le1)$ は区分的に滑らかな関数である．

例27.5　区分的に滑らかでない関数の例：$g(x)=\sqrt{1-x^2}\ (-1\lt x\le1)$，周期2

周期 $2$ の関数 $g(x)$ を，$(-1,1]$ 上で $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ と定めて周期的に繰り返す（図27.7）．この $g(x)$ が区分的に滑らかでないことを確かめよう．

解答　$g(x)=\sqrt{1-x^2}$ 自身は，$(-1,1]$ の内部で連続であり，継ぎ目 $x=1,-1$ でも $g(1)=\sqrt{1-1}=0$，$\displaystyle\lim_{x\to-1+0}g(x)=\sqrt{1-1}=0$ で一致するから，$g(x)$ は（連続，したがって）区分的に連続である．問題は導関数 $g'(x)$ の方である．合成関数の微分（$\sqrt{u}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt u}$，$u=1-x^2$ の微分は $-2x$）より，

$$ g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $$

である．継ぎ目に近づいたときの片側極限を調べると，

$$ \lim_{x\to1-0}g'(x)=\lim_{x\to1-0}\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-1+0}g'(x)=\lim_{x\to-1+0}\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)=+\infty $$

（分母 $\sqrt{1-x^2}\to0{+}$ なのに対し分子は $-1$ や $+1$ に近い有限な値に近づくため，比全体は $\mp\infty$ に発散する．sympyで検算済み．）どちらの片側極限も有限な値として存在しない．したがって $g'(x)$ は $x=\pm1$ で区分的に連続の条件(ii)を満たさず，$g'(x)$ は区分的に連続でない．よって定義27.4より，$g(x)$ は区分的に滑らかでない．

図27.7を見ると，$g(x)$ 自身のグラフは（値が飛ばないという意味で）なめらかにつながっているが，継ぎ目のところで山が鋭くとがった「カスプ」になっている——これはまさに，接線の傾きがそこで垂直（$\pm\infty$）になっていることの視覚的な表れである．例27.4の $f(x)=\frac12x^2$ が滑らかな山型（丸みを帯びた頂点）だったのと対照的である．

例題27.4　絶対値関数の区分的な滑らかさ（内部の折れ目）

周期 $2$ の関数 $f(x)$ を，$(-1,1]$ 上で $f(x)=|x|$（絶対値）と定めて周期的に繰り返す．この $f(x)$ は区分的に滑らかか．

解答　まず区間の内部の点 $x=0$ を調べる．$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続である（$f(0)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to0}|x|=0$）．導関数は，$x\gt0$ で $f'(x)=1$，$x\lt0$ で $f'(x)=-1$（絶対値の定義から，$x\gt0$ では $f(x)=x$，$x\lt0$ では $f(x)=-x$ であることによる）．したがって，

$$ \lim_{x\to0+0}f'(x)=1,\qquad\lim_{x\to0-0}f'(x)=-1 $$

（sympyで検算済み）．両方とも有限な値なので，$x=0$ で $f'(x)$ は片側極限を持つ（一致していない——$x=0$ に「折れ目」がある——が，どちらも有限なので構わない）．

次に周期の継ぎ目 $x=1\,(=-1)$ を調べる．$f(1)=|1|=1$ であり，次の周期に入った直後（$(-1,1]$ の記法に平行移動すると $x=-1$ 付近）の値は $\displaystyle\lim_{x\to-1+0}|x|=1$ で一致するから，$f(x)$ はここでも連続である．導関数の片側極限は，$x\to1-0$ では $f(x)=x$ の側から $f'(x)\to1$，継ぎ目を越えた直後（$x\to-1+0$ の側）では $f(x)=-x$ の側から $f'(x)\to-1$ であり，どちらも有限である（ここにも折れ目がある）．

以上より，$f(x)=|x|$ は，区間の内部（$x=0$）と周期の継ぎ目（$x=\pm1$）の2種類の点で折れ目を持つが，そのどちらでも $f'(x)$ の片側極限は有限に存在する．したがって $f(x)$ は区分的に滑らかである．「区分的に滑らか」という条件は，折れ目（コーナー）がいくつあっても——それが区間のどこにあっても——，傾きが有限にジャンプするだけなら許す，という条件なのである．

例題27.5　方形波の区分的な滑らかさ（先取り）

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を，$-\pi\lt x\le\pi$ 上で

$$ f(x)=\begin{cases}-\dfrac{\pi}{4} & (-\pi\lt x\le0)\\[4pt] \dfrac{\pi}{4} & (0\lt x\le\pi)\end{cases} $$

と定め（これは方形波，square wave とよばれる代表的な周期関数であり，27.3節の「先取り」で触れた $y=\sin x+\frac13\sin3x+\frac15\sin5x+\cdots$ の行き着く先である——詳しくは次章で扱う），周期的に繰り返す．この $f(x)$ は区分的に滑らかか．

解答　まず不連続点を数える．1周期 $(-\pi,\pi]$ の中では，$x=0$ の前後で値が $-\dfrac\pi4$ から $\dfrac\pi4$ へジャンプする．また，周期の継ぎ目 $x=\pi\,(=-\pi)$ でも，$f(\pi)=\dfrac\pi4$（$0\lt x\le\pi$ の側の値）から，次の周期に入った直後の値 $\displaystyle\lim_{x\to-\pi+0}f(x)=-\dfrac\pi4$ へジャンプする．したがって，1周期あたり不連続点はちょうど2個（$x=0$ と $x=\pi$）であり，有限個である．

それぞれの不連続点での片側極限を調べると，$x=0$ では

$$ \lim_{x\to0-0}f(x)=-\frac{\pi}{4},\qquad\lim_{x\to0+0}f(x)=\frac{\pi}{4} $$

（$f(x)$ は $x\le0$ で定数 $-\pi/4$，$x\gt0$ で定数 $\pi/4$ だから，片側極限はそれぞれの定数の値そのものである．sympyで検算済み．）どちらも有限である．$x=\pi$ でも同様に，$\displaystyle\lim_{x\to\pi-0}f(x)=\frac\pi4$，$\displaystyle\lim_{x\to-\pi+0}f(x)=-\frac\pi4$ で，どちらも有限である．したがって $f(x)$ は区分的に連続である．

次に $f'(x)$ を調べる．$f(x)$ は，$0$ でない有限な区間の内部ではつねに定数（$-\pi/4$ または $\pi/4$）だから，各区間の内部で $f'(x)=0$ である（定数関数の導関数は $0$）．したがって，不連続点 $x=0,\pi$ における $f'(x)$ の片側極限も，どちら側から近づいても（定数関数 $0$ の極限として）$0$ であり，有限に存在する．よって $f'(x)$ も区分的に連続である．

$f(x)$ と $f'(x)$ がともに区分的に連続だから，方形波 $f(x)$ は区分的に滑らかな関数である．じつは，「値が定数の区間をつないだだけの階段状の関数」（区分的に定数な関数）は，$f'$ がどこでも $0$（有限）になるので，つねに自動的に区分的に滑らかになる——これは次章以降で頻繁に登場する重要な事実である．

例題27.6　区間の内部にできるカスプ

周期 $2$ の関数 $g(x)$ を，$(-1,1]$ 上で $g(x)=\sqrt{|x|}$ と定めて周期的に繰り返す．この $g(x)$ は区分的に滑らかか．

解答　例27.5の $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ では，カスプ（接線の傾きが垂直になる点）は周期の継ぎ目 $x=\pm1$ にできていた．今度は，区間の内部 $x=0$ で何が起きるかを見る．まず $g(x)=\sqrt{|x|}$ は $x=0$ で連続である（$g(0)=\sqrt{|0|}=0$，$\displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{|x|}=0$）．導関数は，$x\gt0$ で $g(x)=\sqrt{x}$ より $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$，$x\lt0$ で $g(x)=\sqrt{-x}$ より $g'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}$ である．したがって，

$$ \lim_{x\to0+0}g'(x)=\lim_{x\to0+0}\frac{1}{2\sqrt x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0-0}g'(x)=\lim_{x\to0-0}\left(-\frac{1}{2\sqrt{-x}}\right)=-\infty $$

（sympyで検算済み）．どちらの片側極限も有限な値として存在しない．したがって $g'(x)$ は $x=0$ で区分的に連続の条件を満たさず，$g(x)$ は区分的に滑らかでない．

この例からわかるように，「連続だが滑らかでない」尖った関数（カスプを持つ関数）は，周期の継ぎ目だけでなく，区間の内部のどこにでも現れうる．$g(x)=\sqrt{|x|}$ のグラフは，$x=0$ で $y$ 軸方向に垂直に切り立った，鋭い「V字」を逆さにしたような（上に凸の）とがった山になっている——例27.5の継ぎ目のカスプと，まったく同じ現象が区間の途中で起きている，と考えればよい．

演習27.1　直交性の公式を使って積分を計算する

次の定積分を計算せよ．

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\left(5\sin3x-2\cos7x+1\right)\sin3x\,dx $$

ヒント：被積分関数を展開し，積分の線形性で3つの項に分ける．例題27.1と同じ要領で，公式27.3〜27.5（および公式27.1）を1つずつ当てはめる．

→ 解答

演習27.2　区間 $[0,2\pi]$ でも直交性は成り立つか

本章の直交性の公式は，すべて区間 $[-\pi,\pi]$ 上の積分として証明した．では，区間を $[0,2\pi]$ に変えても，同じ直交性——たとえば $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos2x\cos3x\,dx=0$——は成り立つだろうか．実際に積分を計算して確かめよ．また，一般に，積分区間を「長さが1周期（$2\pi$）である区間」ならどこにとっても直交性が成り立つ理由を，$\sin,\cos$ が周期 $2\pi$ の関数であることに触れながら説明せよ．

ヒント：周期関数を1周期分積分した値は，積分区間を（1周期分の長さを保ったまま）平行移動しても変わらない．

→ 解答

演習27.3　三角関数以外の関数どうしの内積とノルム

区間 $[0,1]$ 上で $f(x)=e^x,\ g(x)=1$（定数関数）とする．$\langle f,g\rangle,\ \|f\|,\ \|g\|$ をそれぞれ求め，シュワルツの不等式 $|\langle f,g\rangle|\le\|f\|\|g\|$ が実際に成り立つことを確認せよ．

ヒント：$\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-1$，$\displaystyle\int_0^1e^{2x}\,dx=\frac{e^2-1}{2}$（第5章の指数関数の積分公式）を使う．

→ 解答

演習27.4　直交する基底の係数からノルムを求める

$y=2\cos x+\cos3x-\cos5x$ とする．$[-\pi,\pi]$ 上でのノルム $\|y\|$ を求めよ．

ヒント：例題27.3とまったく同じ考え方が使える．$\cos x,\cos3x,\cos5x$ は互いに直交し，ノルムはすべて $\sqrt\pi$ である．

→ 解答

演習27.5　区分的連続性が破れる例

区間 $[-1,1]$ で，$f(x)=\dfrac1x\ (x\neq0)$，$f(0)=0$ と定める．この $f(x)$ は区間 $[-1,1]$ で区分的に連続だろうか．理由とともに答えよ．

ヒント：$x=0$ における片側極限 $\displaystyle\lim_{x\to0+0}\frac1x$，$\displaystyle\lim_{x\to0-0}\frac1x$ を調べる．定義27.3のどの条件に反するか，具体的に指摘すること．

→ 解答

演習27.6　三角不等式の数値確認

区間 $[-1,1]$ 上で $f(x)=x,\ g(x)=x^2$ とする（例題27.2と同じ関数である）．$\|f+g\|$ と $\|f\|+\|g\|$ をそれぞれ計算し，定理27.2（三角不等式）$\|f+g\|\le\|f\|+\|g\|$ が実際に成り立つことを数値で確認せよ．

ヒント：$\|f\|,\|g\|$ の値は例題27.2で求めた．$\|f+g\|^2=\displaystyle\int_{-1}^1(x+x^2)^2dx$ を直接計算する．

→ 解答