第16章座標系と基底ベクトル

例題16.1　基底ベクトルの外積関係と2点間の距離

点 $A(2,0,0)$，$B(0,3,0)$，$C(0,0,1)$ を考える．(a) $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$ を基底ベクトルで表し，$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}$ を計算せよ．その結果が $C$ の方向（$z$ 軸方向）を向くことを確認せよ．(b) 2点 $A,B$ の間の距離 $|AB|$ を求めよ．

解答　(a) $\overrightarrow{OA}=2\vec e_x$，$\overrightarrow{OB}=3\vec e_y$ である．外積の双線形性（前章）と公式16.1の $\vec e_x\times\vec e_y=\vec e_z$ を使うと，

$$ \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(2\vec e_x)\times(3\vec e_y)=2\cdot3\,(\vec e_x\times\vec e_y)=6\vec e_z . $$

成分で直接計算しても，$[2,0,0]\times[0,3,0]=[0\cdot0-0\cdot3,\ 0\cdot0-2\cdot0,\ 2\cdot3-0\cdot0]=[0,0,6]$ となり一致する．$6\vec e_z$ は $z$ 軸の正の向きを向くベクトルであり，$C(0,0,1)$ の方向（$\overrightarrow{OC}=\vec e_z$ の方向）とちょうど一致する．外積が2つのベクトルの張る平面（ここでは $xy$ 平面）に垂直になるという性質どおりの結果である．

(b) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=[0,3,0]-[2,0,0]=[-2,3,0]$ であるから，

$$ |AB|=\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} . $$

（sympyで検算：$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=[0,0,6]$，$|AB|=\sqrt{13}$．）

例16.1　円柱座標の2点を直角座標に変換し，距離を求める（ノートの例題）

円柱座標系での2点 $P_1\!\left(4,\dfrac\pi3,1\right)$，$P_2(3,\pi,-1)$ を直角座標で表し，$P_1$ と $P_2$ の距離を計算せよ．

解答　公式16.6を使う．$P_1$ では $r=4,\varphi=\dfrac\pi3,z=1$ であるから，

$$ x=4\cos\frac\pi3=4\times\frac12=2,\qquad y=4\sin\frac\pi3=4\times\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3 . $$

よって $P_1(2,\ 2\sqrt3,\ 1)$ である．$P_2$ では $r=3,\varphi=\pi,z=-1$ であるから，

$$ x=3\cos\pi=-3,\qquad y=3\sin\pi=0 . $$

よって $P_2(-3,\ 0,\ -1)$ である．したがって2点間の距離は

$$ \overline{P_1P_2}=\sqrt{(2-(-3))^2+(2\sqrt3-0)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{25+12+4}=\sqrt{41} . $$

（sympyで検算：$P_1=(2,2\sqrt3,1)$，$P_2=(-3,0,-1)$，距離$=\sqrt{41}$．）

例題16.2　円柱座標から直角座標への変換

円柱座標 $\left(2,\dfrac\pi6,3\right)$ を直角座標で表せ．

解答　公式16.6より $r=2,\varphi=\dfrac\pi6,z=3$ を代入して，

$$ x=2\cos\frac\pi6=2\times\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,\qquad y=2\sin\frac\pi6=2\times\frac12=1,\qquad z=3 . $$

よって直角座標では $(\sqrt3,\ 1,\ 3)$ である．（sympyで検算：$(\sqrt3,1,3)$．）

例題16.3　円筒座標の基底ベクトルの直交性を成分で確認する

$\varphi=\dfrac\pi6$ における円筒座標の基底ベクトル $\vec e_r,\vec e_\varphi$ を直角座標の成分で表し，$\vec e_r\cdot\vec e_\varphi=0$ となることを直接確認せよ．

解答　$\vec e_r=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y=[\cos\varphi,\sin\varphi,0]$，$\vec e_\varphi=-\sin\varphi\,\vec e_x+\cos\varphi\,\vec e_y=[-\sin\varphi,\cos\varphi,0]$ である．$\varphi=\dfrac\pi6$ を代入すると，

$$ \vec e_r=\left[\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12,\ 0\right],\qquad \vec e_\varphi=\left[-\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2},\ 0\right] . $$

内積を成分ごとに計算すると，

$$ \vec e_r\cdot\vec e_\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\times\left(-\frac12\right)+\frac12\times\frac{\sqrt3}{2}+0\times0=-\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}=0 . $$

符号の異なる2つの項が打ち消し合ってちょうど0になる．これは一般の $\varphi$ でも同様で，$\cos\varphi\times(-\sin\varphi)+\sin\varphi\times\cos\varphi=0$ が恒等的に成り立つ（公式16.3の直接確認）．（sympyで検算．）

例題16.4　球座標から直角座標への変換

球座標 $\left(2,\dfrac\pi3,\dfrac\pi4\right)$（$R,\theta,\varphi$ の順）を直角座標で表せ．

解答　公式16.10に $R=2,\theta=\dfrac\pi3,\varphi=\dfrac\pi4$ を代入する．$\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}$，$\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$，$\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{1}{\sqrt2}$ に注意して，

$$ x=2\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2},\qquad y=2\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2},\qquad z=2\times\frac12=1 . $$

よって直角座標では $\left(\dfrac{\sqrt6}{2},\ \dfrac{\sqrt6}{2},\ 1\right)$ である．$x=y$ となっているのは $\varphi=\pi/4$ がちょうど $x$ 軸と $y$ 軸の中間の方位だからで，理にかなっている．（sympyで検算：$(\sqrt6/2,\sqrt6/2,1)$．）

例題16.5　球座標の基底ベクトルの直交性を数値で確認する

$\theta=\dfrac\pi4,\ \varphi=\dfrac\pi3$ における球座標の基底ベクトル $\vec e_R,\vec e_\theta,\vec e_\varphi$ を，直角座標の基底 $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ の1次結合として表し，どの2本も直交すること（内積が0であること）を確認せよ．（$\vec e_R,\vec e_\theta,\vec e_\varphi$ を $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ で表す一般公式は次節16.5の公式16.12で与える．）

解答　公式16.12を先取りして使うと，

$$ \vec e_R=\sin\theta\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\theta\sin\varphi\,\vec e_y+\cos\theta\,\vec e_z, $$ $$ \vec e_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\vec e_x+\cos\theta\sin\varphi\,\vec e_y-\sin\theta\,\vec e_z, $$ $$ \vec e_\varphi=-\sin\varphi\,\vec e_x+\cos\varphi\,\vec e_y . $$

$\theta=\pi/4$（$\sin\theta=\cos\theta=1/\sqrt2$），$\varphi=\pi/3$（$\cos\varphi=1/2,\ \sin\varphi=\sqrt3/2$）を代入すると，

$$ \vec e_R=\left[\frac{\sqrt2}{4},\ \frac{\sqrt6}{4},\ \frac{\sqrt2}{2}\right],\quad \vec e_\theta=\left[\frac{\sqrt2}{4},\ \frac{\sqrt6}{4},\ -\frac{\sqrt2}{2}\right],\quad \vec e_\varphi=\left[-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12,\ 0\right] . $$

3本とも大きさが1であることが確認できる（例えば $|\vec e_R|^2=\frac18+\frac{6}{16}+\frac12=\frac2{16}+\frac6{16}+\frac8{16}=1$）．内積を計算すると，

$$ \vec e_R\cdot\vec e_\theta=\frac{2}{16}+\frac{6}{16}-\frac12=\frac{8}{16}-\frac12=0, $$ $$ \vec e_\theta\cdot\vec e_\varphi=\frac{\sqrt2}{4}\times\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\frac{\sqrt6}{4}\times\frac12+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\times0=-\frac{\sqrt6}{8}+\frac{\sqrt6}{8}=0, $$ $$ \vec e_\varphi\cdot\vec e_R=-\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt2}{4}+\frac12\times\frac{\sqrt6}{4}+0=-\frac{\sqrt6}{8}+\frac{\sqrt6}{8}=0 . $$

いずれも0になり，3本が互いに直交することが具体的な数値で確認できた．（sympyで検算．）

例題16.6　$z$ 軸まわりの回転で点の像を求める

点 $(1,0,0)$ を，$z$ 軸のまわりに $\dfrac\pi2$ だけ回転させた像を求めよ．

解答　定理16.1の $R_z(\theta)$ に $\theta=\dfrac\pi2$（$\cos\dfrac\pi2=0,\ \sin\dfrac\pi2=1$）を代入すると，

$$ R_z\!\left(\frac\pi2\right)=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} . $$

これを点 $(1,0,0)$（列ベクトル $[1,0,0]^{\mathrm T}$）に作用させると，

$$ R_z\!\left(\frac\pi2\right)\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\times1-1\times0+0\times0\\1\times1+0\times0+0\times0\\0\times1+0\times0+1\times0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} . $$

よって像は $(0,1,0)$ である．$x$ 軸上の点を $z$ 軸まわりに $90°$ 回転させると $y$ 軸上に移る，という直感どおりの結果になっている．（sympyで検算．）

例題16.7　$\partial\vec e_R/\partial\theta$，$\partial\vec e_R/\partial\varphi$ の数値確認

$\theta=\dfrac\pi3,\ \varphi=\dfrac\pi4$ において，$\dfrac{\partial\vec e_R}{\partial\theta}$ と $\dfrac{\partial\vec e_R}{\partial\varphi}$ を直角座標の成分で求め，公式16.13（$\vec e_\theta$，$\sin\theta\,\vec e_\varphi$）と一致することを確かめよ．

解答　公式16.12より $\vec e_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\vec e_x+\cos\theta\sin\varphi\,\vec e_y-\sin\theta\,\vec e_z$ である．$\theta=\pi/3$（$\cos\theta=1/2,\sin\theta=\sqrt3/2$），$\varphi=\pi/4$（$\cos\varphi=\sin\varphi=1/\sqrt2$）を代入すると，

$$ \vec e_\theta=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt2}\,\vec e_x+\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}\,\vec e_y-\frac{\sqrt3}{2}\,\vec e_z=\left[\frac{\sqrt2}{4},\ \frac{\sqrt2}{4},\ -\frac{\sqrt3}{2}\right] . $$

一方，公式16.13より $\dfrac{\partial\vec e_R}{\partial\theta}=\vec e_\theta$ だから，この値がそのまま答えである．次に $\dfrac{\partial\vec e_R}{\partial\varphi}=\sin\theta\,\vec e_\varphi$ を計算する．$\vec e_\varphi=-\sin\varphi\,\vec e_x+\cos\varphi\,\vec e_y=\left[-\frac{1}{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right]$ であり，$\sin\theta=\sqrt3/2$ を掛けると，

$$ \frac{\partial\vec e_R}{\partial\varphi}=\frac{\sqrt3}{2}\left[-\frac1{\sqrt2},\ \frac1{\sqrt2},\ 0\right]=\left[-\frac{\sqrt6}{4},\ \frac{\sqrt6}{4},\ 0\right] . $$

これらを，公式16.12の $\vec e_R=\sin\theta\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\theta\sin\varphi\,\vec e_y+\cos\theta\,\vec e_z$ を直接 $\theta,\varphi$ で偏微分した結果と比較しても，同じ値 $\left[\frac{\sqrt2}{4},\frac{\sqrt2}{4},-\frac{\sqrt3}{2}\right]$ と $\left[-\frac{\sqrt6}{4},\frac{\sqrt6}{4},0\right]$ が得られる．（sympyで検算．）

例題16.8　$\nabla(1/R)$ を球座標の公式で計算する

$u=1/R$（クーロンポテンシャルや重力ポテンシャルに現れる形）の勾配 $\nabla u$ を，公式16.15を使って求めよ．

解答　$u=1/R$ は $\theta,\varphi$ を含まないので，$\partial u/\partial\theta=\partial u/\partial\varphi=0$ である．したがって公式16.15より

$$ \nabla u=\pdiff{}{R}\!\left(\frac1R\right)\vec e_R=-\frac{1}{R^2}\,\vec e_R . $$

この結果は，直角座標で $u=1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ の勾配を直接計算した結果 $\nabla u=-\dfrac{[x,y,z]}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=-\dfrac{1}{R^2}\vec e_R$（$[x,y,z]/R=\vec e_R$ に注意）とも一致する．球対称な関数は，球座標を使えば1変数関数の微分だけで勾配が求まる，という好例である．（sympyで検算．）

例16.2　$\nabla$ を2回使った各成分（ノートProblem5，ラプラシアンへの布石）

(a) $\vec e_R\cdot\pdiff{}{R}\nabla$，(b) $\vec e_\theta\cdot\dfrac1R\pdiff{}{\theta}\nabla$，(c) $\vec e_\varphi\cdot\dfrac{1}{R\sin\theta}\pdiff{}{\varphi}\nabla$ を求めよ．

解答　(a) $\vec e_R,\vec e_\theta,\vec e_\varphi$ は $R$ にはよらないので，公式16.15を $R$ で偏微分するときは演算子の係数だけを微分すればよい．

$$ \vec e_R\cdot\pdiff{}{R}\nabla=\vec e_R\cdot\left(\vec e_R\pdiff{^2}{R^2}+\cdots\right)=\frac{\partial^2}{\partial R^2} $$

（$\vec e_R\cdot\vec e_R=1$，$\vec e_R\cdot\vec e_\theta=\vec e_R\cdot\vec e_\varphi=0$ より，$\vec e_R$ の係数だけが残る）．

(b) 今度は $\vec e_\theta,\vec e_\varphi$ 自身が $\theta$ に依存するので，積の微分でその依存性も拾わなければならない．公式16.13を使うと，

$$ \pdiff{}{\theta}\nabla=\left(\pdiff{^2}{R\partial\theta}\vec e_R+\pdiff{}{R}\underbrace{\pdiff{\vec e_R}{\theta}}_{\vec e_\theta}\right) +\frac1R\left(\pdiff{^2}{\theta^2}\vec e_\theta+\pdiff{}{\theta}\underbrace{\pdiff{\vec e_\theta}{\theta}}_{-\vec e_R}\right) +\frac{1}{R\sin\theta}\left(-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\pdiff{}{\varphi}\vec e_\varphi+\pdiff{^2}{\varphi\partial\theta}\vec e_\varphi+\pdiff{}{\varphi}\underbrace{\pdiff{\vec e_\varphi}{\theta}}_{0}\right) . $$

これと $\vec e_\theta$ との内積を取ると，$\vec e_\theta\cdot\vec e_R=0,\ \vec e_\theta\cdot\vec e_\theta=1,\ \vec e_\theta\cdot\vec e_\varphi=0$ なので，$\vec e_\theta$ に比例する項だけが残る．

$$ \vec e_\theta\cdot\frac1R\pdiff{}{\theta}\nabla=\frac1R\left(\pdiff{}{R}+\frac1R\pdiff{^2}{\theta^2}\right) . $$

(c) 同様に $\varphi$ で偏微分すると，

$$ \pdiff{}{\varphi}\nabla=\left(\pdiff{^2}{R\partial\varphi}\vec e_R+\pdiff{}{R}\underbrace{\pdiff{\vec e_R}{\varphi}}_{\sin\theta\,\vec e_\varphi}\right) +\frac1R\left(\pdiff{^2}{\theta\partial\varphi}\vec e_\theta+\pdiff{}{\theta}\underbrace{\pdiff{\vec e_\theta}{\varphi}}_{\cos\theta\,\vec e_\varphi}\right) +\frac{1}{R\sin\theta}\left(\pdiff{^2}{\varphi^2}\vec e_\varphi+\pdiff{}{\varphi}\underbrace{\pdiff{\vec e_\varphi}{\varphi}}_{-\sin\theta\,\vec e_R-\cos\theta\,\vec e_\theta}\right), $$

これと $\vec e_\varphi\cdot\dfrac{1}{R\sin\theta}$ の内積を取ると（$\vec e_\varphi\cdot\vec e_R=\vec e_\varphi\cdot\vec e_\theta=0$，$\vec e_\varphi\cdot\vec e_\varphi=1$ を使う），

$$ \vec e_\varphi\cdot\frac{1}{R\sin\theta}\pdiff{}{\varphi}\nabla=\frac{1}{R\sin\theta}\left(\sin\theta\pdiff{}{R}+\cos\theta\frac1R\pdiff{}{\theta}+\frac{1}{R\sin\theta}\pdiff{^2}{\varphi^2}\right) . $$

（sympyで検算：テスト関数 $u=R^3\cos2\theta\sin3\varphi$ に対して(a)(b)(c)の演算子をそれぞれ作用させ，上の表式と数値的に一致することを確認した．）

底本はここで(a)(b)(c)を求めたところで区切りがついている．これらは，$\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$（ラプラシアン，Laplacian）を球座標で組み立てるための部品であり，実は(a)+(b)+(c)をそのまま足し合わせるだけで，球座標のラプラシアンが完成する．

$$ (a)+(b)+(c)=\pdiff{^2u}{R^2}+\frac2R\pdiff uR+\frac1{R^2}\pdiff{^2u}{\theta^2}+\frac{\cos\theta}{R^2\sin\theta}\pdiff u\theta+\frac1{R^2\sin^2\theta}\pdiff{^2u}{\varphi^2} . $$

右辺は，積の微分の逆をひとつずつたどると（$\dfrac1{R^2}\pdiff{}{R}\!\left(R^2\pdiff uR\right)=\pdiff{^2u}{R^2}+\dfrac2R\pdiff uR$，$\dfrac{1}{R^2\sin\theta}\pdiff{}{\theta}\!\left(\sin\theta\,\pdiff u\theta\right)=\dfrac1{R^2}\pdiff{^2u}{\theta^2}+\dfrac{\cos\theta}{R^2\sin\theta}\pdiff u\theta$ であることを使う），見慣れた形の球座標のラプラシアン

$$ \nabla^2u=\frac1{R^2}\pdiff{}{R}\!\left(R^2\pdiff uR\right)+\frac1{R^2\sin\theta}\pdiff{}{\theta}\!\left(\sin\theta\,\pdiff u\theta\right)+\frac1{R^2\sin^2\theta}\pdiff{^2u}{\varphi^2} $$

とぴったり一致することがわかる（球対称でない一般の関数 $u=x^2yz+z^3-3xy^2-2x^2z$ や $u=\sin x\,e^y+z^2x$ で独立に検算しても，どちらも厳密に一致した）．(a)(b)(c)を求めるのに使ったのは公式16.13の基底ベクトルの偏微分だけなのに，足し合わせると微小体積要素 $dV=R^2\sin\theta\,dR\,d\theta\,d\varphi$（公式16.9）に現れるのと同じ $R,\theta$ 依存性がひとりでに現れてくる．これは偶然ではない．$\vec e_R,\vec e_\theta,\vec e_\varphi$ の向きが位置によって変化することの中に，曲線座標の目盛りの伸び縮み（スケール因子）の情報がすでに織り込まれているためである．

例題16.9　半径一定の等速円運動の速度・加速度

質点が原点を中心に半径 $a$（一定）の円周上を，角速度 $\omega$（一定，$\dot\theta=\omega$）で等速円運動している．公式16.16・16.17を使って，速度・加速度を極座標成分で求めよ．

解答　$r=a$（一定）なので $\dot r=0,\ \ddot r=0$．また $\dot\theta=\omega$（一定）なので $\ddot\theta=0$．公式16.16より，

$$ V_r=\dot r=0,\qquad V_\theta=r\dot\theta=a\omega . $$

速度は大きさ $a\omega$ で，つねに $\vec e_\theta$ 方向（進行方向，円の接線方向）を向く．公式16.17より，

$$ A_r=\ddot r-r\dot\theta^2=0-a\omega^2=-a\omega^2,\qquad A_\theta=2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta=0+0=0 . $$

加速度は大きさ $a\omega^2$ で，$\vec e_r$ の逆向き，すなわち中心を向く向心加速度だけになる（角度方向の成分は0）．これは高校物理・力学で学ぶ「等速円運動の加速度は大きさ $a\omega^2$ で中心を向く」という結果と完全に一致する．（sympyで検算．）

演習16.1　円柱座標から直角座標への変換

円柱座標 $P\!\left(5,\dfrac{2\pi}{3},-2\right)$（$r,\varphi,z$ の順）を直角座標で表せ．

ヒント：公式16.6（$x=r\cos\varphi,\ y=r\sin\varphi,\ z=z$）に代入するだけである．$\varphi=2\pi/3$ における $\cos\varphi,\sin\varphi$ の値は，単位円の第2象限であることを思い出して求める．

→ 解答

演習16.2　球座標から直角座標への変換

球座標 $P\!\left(3,\dfrac\pi4,\dfrac\pi2\right)$（$R,\theta,\varphi$ の順）を直角座標で表せ．

ヒント：公式16.10に代入する．$\varphi=\pi/2$ では $\cos\varphi=0,\sin\varphi=1$ になることに注意すると，$x$ 成分が0になるはずである．

→ 解答

演習16.3　$y$ 軸まわりの回転

定理16.3の回転行列 $R_y(\theta)$ を使って，点 $(1,0,1)$ を $y$ 軸のまわりに $\theta=\dfrac\pi2$ だけ回転させた像を求めよ．

ヒント：$R_y(\pi/2)$ を具体的に成分ごと書き下してから，列ベクトル $[1,0,1]^{\mathrm T}$ に掛ける．定理16.3の直後の「注意」で確認した正しい符号を使うこと．

→ 解答

演習16.4　球座標の基底ベクトルが右手系をなすことの確認

公式16.12を使って，$\vec e_R\times\vec e_\theta=\vec e_\varphi$ が成分レベルで成り立つことを直接計算で確認せよ（前章で学んだ外積の成分公式を使う）．

ヒント：$\vec e_R=[\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta]$，$\vec e_\theta=[\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,-\sin\theta]$ を外積の成分公式 $[a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1]$ に代入し，$\sin^2+\cos^2=1$ を使って整理すると $\vec e_\varphi=[-\sin\varphi,\cos\varphi,0]$ に一致することを見る．

→ 解答

演習16.5　半径が変化する円運動の速度・加速度

質点の運動が $r(t)=r_0(1+\varepsilon\sin\omega t)$（$r_0,\varepsilon,\omega$ は正の定数，$\varepsilon$ は小さい），$\theta(t)=\omega t$ で与えられている．公式16.16・16.17を使って，速度成分 $V_r,V_\theta$ と加速度成分 $A_r,A_\theta$ を時刻 $t$ の関数として求めよ．

ヒント：$\dot r,\ddot r$ をまず $t$ で計算してから公式にそのまま代入する．$\dot\theta=\omega$（一定）なので $\ddot\theta=0$ である．例題16.9（$\varepsilon=0$ の場合）に一致することを確かめると計算の検算になる．

→ 解答

演習16.6　$\vec e_\varphi$ の偏微分

公式16.13で与えた $\partial\vec e_\varphi/\partial\theta=0$ と $\partial\vec e_\varphi/\partial\varphi=-\sin\theta\,\vec e_R-\cos\theta\,\vec e_\theta$ を，公式16.12の $\vec e_\varphi=-\sin\varphi\,\vec e_x+\cos\varphi\,\vec e_y$ から出発して自分で導出せよ．

ヒント：16.5.3節の(5)(6)の計算をなぞればよいが，今度は自分の手で，$\vec e_z$ 成分を持たないことに注意しながら $\vec e_R,\vec e_\theta$ の1次結合として表す．

→ 解答