第11章線形写像

例題11.1　具体的な関数で全射・単射を判定する

次の3つの写像 $f,g,h:\R\to\R$ について，単射であるか，（終域を $\R$ として）全射であるかを調べよ．(a) $f(x)=x^3$．(b) $g(x)=x^2$．(c) $h(x)=e^x$．

解答　(a) $f(x)=x^3$：導関数は $f'(x)=3x^2\ge0$（等号は $x=0$ のときだけ）だから $f$ は単調増加であり，異なる $x_1\neq x_2$ に対して $f(x_1)\neq f(x_2)$ となる．よって単射である．また，任意の実数 $c$ に対して，実数の立方根 $x=\sqrt[3]{c}$ がただ1つ定まり $f(x)=c$ を満たすから，終域 $\R$ のどの値にも必ず矢印が届く．よって全射でもあり，$f$ は全単射である．

(b) $g(x)=x^2$：$g(2)=4$ かつ $g(-2)=4$ であるが $2\neq-2$ である．つまり $g(x_1)=g(x_2)$ から $x_1=x_2$ を結論できない反例が見つかったので，単射ではない．また，$x^2=-1$ を満たす実数 $x$ は存在しない（$x^2\ge0$ が常に成り立つため）．終域を $\R$ に取ると，$-1\in\R$ に矢印を送る $x$ が $X=\R$ の中に見つからないから，全射でもない（終域を $[0,\infty)$ に取り直せば全射になる——終域の取り方しだいで全射性が変わることに注意）．

(c) $h(x)=e^x$：導関数は $h'(x)=e^x\gt0$（常に正）だから $h$ は単調増加であり，(a)と同じ理由で単射である．一方，$e^x=0$ を満たす実数 $x$ は存在しない（指数関数の値は常に正である）．終域を $\R$ に取ると $0\in\R$ に矢印を送る $x$ がないから，全射ではない（終域を $(0,\infty)$ に取り直せば全単射になる）．（sympyで検算：$x^3=4$ の実数解は $\sqrt[3]4$ の1個のみ，$x^2=4$ の実数解は $\pm2$ の2個，$x^2=-1$ と $e^x=0$ はいずれも実数解なしであることを確認済み．）

例題11.2　線形写像かどうかを判定する

次の3つの写像は線形写像であるか．(a) $f:\R^2\to\R^2$，$f(x,y)=(2x-y,\ x+3y)$．(b) $g:\R^2\to\R^2$，$g(x,y)=(x+1,\ y)$．(c) $h:\R^2\to\R$，$h(x,y)=xy$．

解答　(a) $\bm x_1=(x_1,y_1),\bm x_2=(x_2,y_2)$ とすると，

であり，これは成分ごとに整理すると $\big((2x_1-y_1)+(2x_2-y_2),\ (x_1+3y_1)+(x_2+3y_2)\big)=f(\bm x_1)+f(\bm x_2)$ に一致する（加法性）．また $f(k\bm x_1)=f(kx_1,ky_1)=(2kx_1-ky_1,\ kx_1+3ky_1)=k(2x_1-y_1,\ x_1+3y_1)=kf(\bm x_1)$（斉次性）も成り立つ．よって $f$ は線形写像である（sympyで $f(\bm x_1+\bm x_2)-[f(\bm x_1)+f(\bm x_2)]$ と $f(k\bm x_1)-kf(\bm x_1)$ がどちらも恒等的に $(0,0)$ になることを確認済み）．

(b) 定理11.1(i)は「線形写像ならば必ず $f(\bm0)=\bm0$」を主張する．この対偶「$f(\bm0)\neq\bm0$ ならば線形写像でない」を使うと簡単に判定できる．$g(0,0)=(0+1,\,0)=(1,0)\neq(0,0)$ であるから，$g$ は線形写像ではない（$g$ は「$x$ 方向に $1$ だけ平行移動する」写像であり，原点を通らないグラフ——図11.2右と同じ理由——だから線形でない，とイメージすればよい）．

(c) $\bm x_1=(x_1,y_1),\bm x_2=(x_2,y_2)$ とすると，

である一方，

であるから，その差は $h(\bm x_1+\bm x_2)-[h(\bm x_1)+h(\bm x_2)]=x_1y_2+x_2y_1$ となり，恒等的に $0$ にはならない（たとえば $\bm x_1=\bm x_2=(1,1)$ とすると，左辺は $h(2,2)=4$，右辺は $h(1,1)+h(1,1)=1+1=2$ で一致しない）．よって加法性が破れており，$h$ は線形写像ではない（$h(x,y)=xy$ は $x,y$ の2次式であり，そもそも「1次」でないことからも線形でないことが予想できる）．

例題11.3　$\mathrm{Im}\,f$，$\mathrm{Ker}\,f$ の基底・次元と，全射性・単射性の判定

$f:\R^3\to\R^2$ を，行列 $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{bmatrix}$ を用いて $f(\bm x)=A\bm x$ と定める．$\mathrm{Im}\,f$ と $\mathrm{Ker}\,f$ の基底と次元を求め，$f$ が全射・単射であるかを判定せよ．

解答　$A$ を行基本変形する．第2行は第1行のちょうど2倍（$2=2\times1,\ 4=2\times2,\ 6=2\times3$）なので，$R_2\to R_2-2R_1$ とすると

となり，非零の行は1本だけだから $\rank A=1$ である．

$\mathrm{Im}\,f$：$\mathrm{Im}\,f$ は $A$ の列ベクトル $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$ が張る部分空間である（11.4節の言葉を先取りすれば，$\mathrm{Im}\,f=\langle A\bm e_1,A\bm e_2,A\bm e_3\rangle$）．この3本はすべて $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ のスカラー倍（$2$ 倍，$3$ 倍）だから，$\mathrm{Im}\,f=\left\langle\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\right\rangle$ であり，基底は $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ の1本，$\dim(\mathrm{Im}\,f)=1=\rank A$ である．

$\mathrm{Ker}\,f$：$A\bm x=\bm0$ すなわち $x_1+2x_2+3x_3=0$（2番目の式は1番目の式の2倍なので独立な式は1本だけ）を解く．自由変数を $x_2=k,\ x_3=\ell$（$k,\ell$ は任意の実数）とおくと，$x_1=-2k-3\ell$ より

となる．よって $\mathrm{Ker}\,f$ の基底は $\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}$ の2本であり，$\dim(\mathrm{Ker}\,f)=2=n-\rank A=3-1$ である．

次元の確認と判定：$\dim(\mathrm{Im}\,f)+\dim(\mathrm{Ker}\,f)=1+2=3=n$ となっており，あとで示す次元定理（定理11.4）と一致している．$\dim(\mathrm{Im}\,f)=1\lt2=\dim\R^2$ だから $\mathrm{Im}\,f\neq\R^2$，すなわち $f$ は全射ではない．また $\mathrm{Ker}\,f\neq\{\bm0\}$（$0$ でない元を含む）だから，$f$ は単射でもない（たとえば $\bm x=(-2,1,0)^{\mathsf T}\neq\bm 0$ なのに $f(\bm x)=\bm0=f(\bm0)$ となり，異なる2点 $\bm x,\bm0$ が同じ像をもつ）．（sympyの $\mathrm{rank}$，$\mathrm{nullspace}$，$\mathrm{columnspace}$ で，$\rank A=1$，$\mathrm{Ker}\,f$ の基底2本，$\mathrm{Im}\,f$ の基底1本を確認済み．）

例題11.4　回転と正射影の表現行列

(a) 原点を中心に角 $\theta=60°$ だけ回転させる線形変換 $f:\R^2\to\R^2$ の表現行列を求めよ．また，点 $(2,1)$ の像を求めよ．(b) $x$ 軸への正射影（$y$ 座標を $0$ にする変換）$g:\R^2\to\R^2$ の表現行列を求め，$\mathrm{Im}\,g,\mathrm{Ker}\,g$ を答えよ．

解答　(a) 表現行列の第 $j$ 列は $f(\bm e_j)$ である．$\bm e_1=(1,0)$ を原点中心に $60°$ 回転すると，単位円上を $60°$ 進んだ点 $(\cos60°,\sin60°)=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ に移る．$\bm e_2=(0,1)$ は，$\bm e_1$ よりさらに $90°$ 進んだ位置にあったベクトルなので，同じ $60°$ 回転させると $(\cos150°,\sin150°)=\left(-\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12\right)$ に移る．よって表現行列は

である．点 $(2,1)$ の像は，

である．$\det A_{\mathrm{rot}}=\dfrac12\cdot\dfrac12-\left(-\dfrac{\sqrt3}2\right)\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac14+\dfrac34=1\neq0$ だから $\rank A_{\mathrm{rot}}=2$，$\dim(\mathrm{Im}\,f)=2=\dim\R^2$（全射），$\dim(\mathrm{Ker}\,f)=2-2=0$（単射）で，$f$ は全単射である——回転は図形を過不足なく写す変換だから，これは直感とも合う．

(b) $x$ 軸への正射影は，$x$ 座標をそのまま残し，$y$ 座標を $0$ にする．よって $g(\bm e_1)=g(1,0)=(1,0)=\bm e_1$（$x$ 軸上の点はそのまま），$g(\bm e_2)=g(0,1)=(0,0)$（$y$ 軸上の点は原点へつぶれる）である．よって表現行列は

である．$\rank A_{\mathrm{proj}}=1$（非零行1本）だから，$\mathrm{Im}\,g=\left\langle\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right\rangle$（$x$ 軸そのもの，$\dim=1$），$\mathrm{Ker}\,g=\left\langle\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\rangle$（$y$ 軸そのもの，$\dim=2-1=1$）である．$\dim(\mathrm{Im}\,g)=1\lt2$ だから全射ではなく，$\mathrm{Ker}\,g\neq\{\bm0\}$ だから単射でもない（$y$ 軸方向の情報がすべて失われることに対応する）．（sympyで $A_{\mathrm{rot}}$ の行列式が $1$，$(2,1)$ の像の数値が $(0.134,2.232)$ に一致すること，$A_{\mathrm{proj}}$ の階数が $1$ であることを確認済み．）

例11.1　線形写像の具体的な表現行列を求める（ノートの例）

$f:\R^3\to\R^2$ を $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\longmapsto\begin{bmatrix}x_1+2x_2\\x_2-x_3\end{bmatrix}$ で定める．$f$ の表現行列を求めよ．

解答　$f$ の値をそのまま行列とベクトルの積の形に書き直す．

（右辺の行列とベクトルの積を実際に計算すると，第1成分は $1\cdot x_1+2\cdot x_2+0\cdot x_3=x_1+2x_2$，第2成分は $0\cdot x_1+1\cdot x_2+(-1)\cdot x_3=x_2-x_3$ となり，たしかに左辺と一致する）．よって表現行列は $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&-1\end{bmatrix}$ である（sympyで検算済み）．（この「例11.1」は，ノートの計算例をそのまま載せたものであり，「例題」の通し番号とは別に数えている．次の例題11.5は，例題11.4から続く通し番号である．）

例題11.5　回転の合成——角の加法定理を表現行列で確かめる

原点中心に角 $\theta_1$ 回転させる線形変換を $f$，角 $\theta_2$ 回転させる線形変換を $g$ とする．合成 $g\circ f$（$\theta_1$ 回転してから $\theta_2$ 回転する）の表現行列を求め，それが「角 $\theta_1+\theta_2$ の回転」の表現行列に一致することを確かめよ．

解答　例題11.4(a)と同じ要領で，角 $\theta$ の回転の表現行列は $R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$ である．$f$ の表現行列は $A=R(\theta_1)$，$g$ の表現行列は $B=R(\theta_2)$ だから，定理11.5より $g\circ f$ の表現行列は

である．$(1,1)$ 成分を計算すると $\cos\theta_2\cos\theta_1-\sin\theta_2\sin\theta_1$ となるが，これは高校数学で学んだ余弦の加法定理より $\cos(\theta_1+\theta_2)$ に等しい．同様に $(2,1)$ 成分は $\sin\theta_2\cos\theta_1+\cos\theta_2\sin\theta_1=\sin(\theta_1+\theta_2)$（正弦の加法定理），$(1,2)$ 成分は $-\cos\theta_2\sin\theta_1-\sin\theta_2\cos\theta_1=-\sin(\theta_1+\theta_2)$，$(2,2)$ 成分は $-\sin\theta_2\sin\theta_1+\cos\theta_2\cos\theta_1=\cos(\theta_1+\theta_2)$ となる．まとめると，

となり，たしかに「角 $\theta_1$ 回転してから角 $\theta_2$ 回転する」ことは「角 $\theta_1+\theta_2$ 回転する」ことと同じ表現行列になる——これは直感通りの結果だが，行列の積の計算が，三角関数の加法定理と表裏一体であることがわかる興味深い事実である．（sympyで $\theta_1=30°,\theta_2=45°$ の数値例により，$R(45°)R(30°)$ と $R(75°)$ がどちらも $\begin{bmatrix}0.2588&-0.9659\\0.9659&0.2588\end{bmatrix}$ に一致することを確認済み．）

例題11.6　合成写像の表現行列（一般の行列で）

例11.1の $f:\R^3\to\R^2$（表現行列 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&-1\end{bmatrix}$）と，$g:\R^2\to\R^2$，$B=\begin{bmatrix}2&1\\-1&3\end{bmatrix}$ を表現行列とする線形写像 $g$ について，合成写像 $g\circ f:\R^3\to\R^2$ の表現行列を求めよ．

解答　定理11.5より，$g\circ f$ の表現行列は $BA$ である．$A$ は $(2,3)$ 型，$B$ は $(2,2)$ 型だから，$BA$ は $(2,3)$ 型になる（$B$ の列数 $2$ と $A$ の行数 $2$ が一致しているので計算できる）．

である．検算として，$\bm x=(1,2,3)^{\mathsf T}$ に対して，$B(A\bm x)$ を2段階で計算する方法と，$(BA)\bm x$ を1回で計算する方法の両方を試すと，どちらも $(9,-8)^{\mathsf T}$ に一致する（sympyで確認済み）——これは定理11.5の主張そのものである．

演習11.1　線形写像かどうかの判定

次の写像 $f:\R^2\to\R^3$ について，線形写像であるかどうかを定義11.4に従って判定せよ．線形写像でない場合は，加法性・斉次性のどちらが破れるか，具体例を挙げて示せ．

(a) $f(x,y)=(x-y,\ 2x+y,\ 3y)$  (b) $g(x,y)=(xy,\ x,\ y)$

ヒント：例題11.2と同じ手順で，$f(\bm x_1+\bm x_2)$ と $f(\bm x_1)+f(\bm x_2)$（あるいは $f(k\bm x)$ と $kf(\bm x)$）を実際に計算して比べる．(b)では，具体的な数を1組入れてみるだけで反例が作れる．

→ 解答

演習11.2　表現行列から $\mathrm{Im}\,f$，$\mathrm{Ker}\,f$ の基底と次元を求める

$f:\R^3\to\R^2$ を，行列 $A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\4&-2&2\end{bmatrix}$ を用いて $f(\bm x)=A\bm x$ と定める．$\mathrm{Im}\,f$ と $\mathrm{Ker}\,f$ の基底と次元をそれぞれ求め，次元定理（定理11.4）が成り立っていることを確かめよ．また $f$ は全射・単射のどちらかを満たすか答えよ．

ヒント：例題11.3と同じ手順．まず $A$ を行基本変形して $\rank A$ を求める（第2行が第1行のちょうど2倍であることに注目する）．

→ 解答

演習11.3　合成写像の表現行列

$f:\R^3\to\R^2$ の表現行列を $A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&1\end{bmatrix}$，$g:\R^2\to\R^2$ の表現行列を $B=\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}$ とする．合成写像 $g\circ f:\R^3\to\R^2$ の表現行列を求めよ．

ヒント：定理11.5より，求める表現行列は積 $BA$ である．型（$A$ は $(2,3)$ 型，$B$ は $(2,2)$ 型）を確認してから，行列の積の定義（第8章）に従って各成分を計算する．

→ 解答

演習11.4　単射性と $\mathrm{Ker}\,f=\{\bm0\}$ の同値性

(a) 線形写像 $f:V\to V'$ について，「$f$ が単射である」ことと「$\mathrm{Ker}\,f=\{\bm0\}$」であることが同値であることを証明せよ．

(b) $f:\R^2\to\R^2$ を，行列 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&7\end{bmatrix}$ を用いて $f(\bm x)=A\bm x$ と定める．$\mathrm{Ker}\,f$ を求め，(a)の結果を使って $f$ が単射であるかどうかを判定せよ．

ヒント：(a) は両方向を示す必要がある．（$\Rightarrow$）$f$ が単射なら，$f(\bm x)=\bm0'$ を満たす $\bm x$ は，$f(\bm0)=\bm0'$（定理11.1(i)）と単射性から $\bm x=\bm0$ しかありえない．（$\Leftarrow$）$\mathrm{Ker}\,f=\{\bm0\}$ を仮定し，$f(\bm x_1)=f(\bm x_2)$ から出発して，線形結合の像の公式（定理11.1(ii)）を使って $f(\bm x_1-\bm x_2)=\bm0'$ を導き，$\bm x_1-\bm x_2\in\mathrm{Ker}\,f=\{\bm0\}$ より $\bm x_1=\bm x_2$ を結論する．(b) は $\det A$ を計算し，$0$ でなければ $A\bm x=\bm0$ の解は $\bm x=\bm0$ しかない（第8・9章）．

→ 解答

演習11.5　全射性と $\mathrm{Im}\,f=V'$ の同値性

(a) 線形写像 $f:V\to V'$ について，「$f$ が全射である」ことと「$\mathrm{Im}\,f=V'$」であることが同値であることを，定義11.1と定義11.6を見比べて説明せよ．

(b) $f:\R^3\to\R^2$ を，行列 $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}$ を用いて $f(\bm x)=A\bm x$ と定める．$\mathrm{Im}\,f$ を求め，(a)の結果を使って $f$ が全射であるかどうかを判定せよ．

ヒント：(a) は演習11.4の(a)と違って，新しい計算はいらない．定義11.1（全射：$\forall\bm y\in V',\exists\bm x\in V,\ f(\bm x)=\bm y$）は「$V'$ のどの元も $f(V)$ に属する」と言っているのと同じであり，これはまさに定義11.6の $\mathrm{Im}\,f=f(V)=V'$ にほかならない．両者は言い換えにすぎないことを，記号を追って確認する．(b) は $A$ の列ベクトルが張る空間の次元（$\rank A$）を求め，それが $\dim\R^2=2$ に等しいかどうかを見る．

→ 解答

演習11.6　3変数の線形写像の表現行列と階数

$f:\R^3\to\R^3$ を $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,\ x_2+x_3,\ x_1+2x_2+x_3)$ で定める．$f$ の表現行列 $A$ を求め，$\rank A$ を計算せよ．また，$f$ は全単射であるか答えよ．

ヒント：例11.1と同じ要領で，各成分を $x_1,x_2,x_3$ の係数の形にそろえて $A$ を作る．第3行が第1行と第2行の和になっていることに気づけば，行基本変形をせずとも階数が3未満であることが見抜ける．$f$ が全単射であるためには，$n=m=3$ に加えて $\rank A=3$（$A$ が正則）が必要である（次元定理と演習11.4・11.5の結果を思い出す）．

→ 解答