第8章行列と行列式

8.1 行列の基本操作とべき乗のパターン

8.1.1 行列とは何か —— 行列の演算の確認

数を長方形に並べたものを行列（matrix）という．たとえば

は，横に2行，縦に3列並んだ行列である．一般に，横に $m$ 行，縦に $n$ 列並んだ行列を$(m,n)$ 型の行列といい，$i$ 行目・$j$ 列目にある数を$(i,j)$ 成分といって $a_{ij}$ と書く（$i$ を行の添字，$j$ を列の添字という．「添字」（そえじ，subscript）とは，文字の右下・右上に小さく書き添える番号のことである）．上の例なら $a_{11}=1$，$a_{23}=2$ である．行列は本書では $A,B,C,\ldots$ のように大文字で表す．

行列どうしの計算は，高校数学で学んだ数ベクトルの計算を素直に拡張したものである．型が同じ2つの行列 $A=(a_{ij})$，$B=(b_{ij})$ に対して，和とスカラー倍を次のように定める．

問題は積（product）である．行列の積は「同じ位置の成分どうしをかける」のではなく，もっと込み入った規則に従う．まず具体的な数値で確認しよう．$2\times3$ 行列 $A$ と $3\times2$ 行列 $B$ を

とする．積 $AB$ の $(1,1)$ 成分は，$A$ の第1行 $(1,2,-1)$ と $B$ の第1列 $\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix}$ を「同じ順番の成分どうしかけて全部足す」ことで作る：$1\times2+2\times1+(-1)\times3=2+2-3=1$．同様に $(1,2)$ 成分は $A$ の第1行と $B$ の第2列 $\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}$ から $1\times0+2\times(-1)+(-1)\times1=0-2-1=-3$．$(2,1)$ 成分は $A$ の第2行 $(0,3,2)$ と $B$ の第1列から $0\times2+3\times1+2\times3=9$，$(2,2)$ 成分は $A$ の第2行と $B$ の第2列から $0\times0+3\times(-1)+2\times1=-1$．まとめると

という $2\times2$ 行列になる．「$A$ の行」と「$B$ の列」を組にして計算する，という規則を一般化したのが次の定義である．

8.1.2 転置行列

行列の行と列を入れ換える操作を考えよう．

正方行列の場合，転置は「左上から右下への対角線（対角成分，$a_{11},a_{22},a_{33}$ のこと）を軸に鏡映しにする」操作だと考えると分かりやすい．対角線上にある成分はそもそも動かないので，転置しても値は変わらない．図8.1にこの様子を示す．

転置には，あとの章でも繰り返し使う便利な性質がある．とくに，2つの行列の積を転置すると，順序が逆になってそれぞれの転置の積になる．これはノートには書かれていないが，行列を扱ううえで非常によく使う事実なので，ここで確認しておく．

8.1.3 列ベクトルに分解する —— 計算の技法

行列を扱うとき，「列ごとにベクトルとして取り出す」という見方をすると計算の見通しがよくなることがある．次の2つの式の違いを考えよう．$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$ の各列を，列ベクトル $\vec{x}_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}$，$\vec{x}_2=\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{bmatrix}$，$\vec{x}_3=\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{bmatrix}$ とおく．このとき，実数 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ を使って作る次の2つの式は，見た目は似ているが，意味も型もまったく違う．

（記法について：ここでの矢印付き $\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3$ は「数を縦に並べた列ベクトル」を表す記号として，本章ではこの形を採用する．第II部（線形代数学）では，同じ「列ベクトル」という対象でも，章によって記号の飾り方が異なる場合がある——たとえば第9章以降の一部の章では太字 $\bm{x}$ を用いる．いずれも指している対象（$\R^n$ の要素）は同じであり，章をまたぐときの記号の違いは，そのつど本文中で断ることにする．）

8.1.4 行列のべき乗のパターン

正方行列 $A$ に対して，$A^2=AA$，$A^3=AAA$，……と，自然数 $n$ 個の $A$ の積を $A^n$ と書く（$A^0=E$，単位行列とする．単位行列の記号 $E$ は，第9章以降でも一貫して使う）．一般の行列では $A^n$ の規則的な形を求めるのは難しいが，特別な形の $2\times2$ 行列については，$A^n$ が驚くほどきれいなパターンに従う．ここでは3つの代表的なパターンを見る．

8.2 置換とその符号

次の8.3節で行列式を定義するには，「並べ替え」という操作を数学的に扱う準備が要る．たとえば $1,2,3$ という3つの数を $2,3,1$ の順に並べ替える，といった操作を置換（permutation）という．本節では，置換の定義，逆向きの置換（逆置換），そして置換に「符号」（プラスかマイナスか）を割り当てる方法（偶置換・奇置換）を順に見ていく．

8.2.1 置換の定義

もう少し要素数の多い $n=4$ の置換で，上下2段の対応を矢印で表した図を見てみよう．図8.2に，置換 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$（「$1$は$3$に，$2$は$1$に，$3$は$2$に，$4$は$4$に対応」）の対応を矢印で表した図を示す．

$n$ の値によって，置換が何通りあるかを数えてみよう．

$n=2$ のとき，$\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ の $2$ 通り（$2!=2\times1=2$ 通り）の置換がある．

$n=3$ のとき，$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$ の $6$ 通り（$3!=3\times2\times1=6$ 通り）の置換がある．

一般に，$1$ の行き先の選び方が $n$ 通り，残りの $n-1$ 個から $2$ の行き先を選ぶ方法が $n-1$ 通り，……と数えていくと，$n$ 次の置換はちょうど $n!$（$n$ の階乗，$n$ factorial）通りあることが分かる．これは高校数学の順列の考え方（異なる $n$ 個のものを1列に並べる並べ方の総数）とまったく同じである．

8.2.2 逆置換

例として，$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$（$1$ は $3$ に，$2$ は $1$ に，$3$ は $2$ に，$4$ は $4$ に対応）の逆置換を考える．「A は B に対応している」というのを「B は A に対応している」に変えると，$3$ は $1$ に，$1$ は $2$ に，$2$ は $3$ に，$4$ は $4$ に対応することになる．よって $\sigma$ の逆置換は $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}$ となる．

逆置換を求める手順は，次の2段階に整理できる．

(i) 上段と下段を Exchange（交換）する：$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}\ \longrightarrow\ \begin{pmatrix}3&1&2&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}$

(ii) 上段の自然数を小さい順に並べ替える（下段も一緒に動かす）：$\begin{pmatrix}3&1&2&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}\ \longrightarrow\ \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}$

図8.3に，この2段階の手順を示す．

8.2.3 偶置換と奇置換

置換のうち2つの数の対応だけを入れ換える操作を互換（transposition）という．たとえば $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}$（恒等置換，identity permutation：すべての数がそれ自身に対応する，何も変えない置換）から出発して，下段の2つの数字を入れ換える操作を何回か繰り返すと，任意の置換を作ることができる．

例として，$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$ が偶置換か奇置換かを調べよう．恒等置換 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}$ から出発し，下段の数字を互換で少しずつ目標の並びに近づけていく．

まず下段の $3$ と $1$ を互換すると $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{pmatrix}$．次に下段の $2$ と $1$ を互換すると $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$．これで目標の置換に到達し，互換の回数は $2$ 回（偶数回）である．よって $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$ は偶置換である．

8.3 行列式の定義

8.3.1 符号 $\sgn$ とΣ記号

置換に，プラス（$+1$）かマイナス（$-1$）かの「符号」を割り当てる関数を定義する．

また，本節以降で頻繁に使う $\Sigma$（シグマ，Sigma．ギリシャ文字で，和の記号）についても確認しておく．$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_k$ は「$c_1$ から $c_n$ まで，$k$ を $1$ から $n$ まで動かしながら全部足す」という意味である．次の定義8.9では，添字を省略して単に $\sum_{\sigma}$（「すべての置換 $\sigma$ にわたって足す」の意味）と書く．

8.3.2 行列式の定義

この定義は，17世紀のドイツの数学者ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646–1716）に由来することからライプニッツの公式（Leibniz formula）とも呼ばれる（実際にはライプニッツ自身がこの形で発表したわけではないが，行列式の考え方を最初に用いた一人とされる）．「各行・各列から1個ずつ」という条件は，将棋やチェスのルーク（飛車）を $n\times n$ の盤に，互いの利き筋（同じ行・同じ列）が重ならないように $n$ 個置く置き方に対応する．図8.5に，$n=3$ の場合の $3!=6$ 通りすべての置き方（＝置換）と，それぞれの符号・対応する項を示す．

この定義を使って，一般の $3$ 次正方行列 $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$ の行列式 $|A|$ を実際に書き下してみよう．

8.4 余因子と行列式の展開

定義8.9のライプニッツの公式は，行列式が何であるかを明確に定めてくれるが，$n$ が大きくなると項の数が $n!$ 個に爆発的に増えるため，実際の計算には向かない．そこで，$n$ 次の行列式を，より小さな $(n-1)$ 次の行列式の組み合わせに帰着させる方法——余因子展開（cofactor expansion）——を用意する．

この定義が正しいことを確かめるために，$A_1=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$ の行列式を求めてみよう．

式\eqref{eq:8-cofactor-row1}は「第1行に関する余因子展開」だが，同じことは任意の行・任意の列について成り立つ．これを一般の $n$ 次の場合にまとめたのが，次の定理である．

8.5 行列式の性質

行列式には，計算を大幅に楽にしてくれる基本的な性質が4つある．ここでは $2$ 次の行列式で確かめるが，ノートの欄外にある注記のとおり，これらの性質は列についても全く同じように成り立ち，また$2$次に限らず$n$次の行列式でも成り立つ（証明の考え方は8.4節の余因子展開と同様，$n$次の場合に一般化できる）．

これらの性質を組み合わせると，大きな行列式でも，高校数学の連立方程式の消去法と同じ要領で「上三角形」の形（対角線より左下がすべて $0$）に変形してから，対角成分の積を計算するだけで求められる．実際，上三角行列の行列式は対角成分の積に等しい——これは定義8.9のライプニッツの公式で，下三角部分がすべて $0$ である以上，恒等置換 $\sigma=\mathrm{id}$ 以外のどの置換を選んでも積 $a_{1i_1}\cdots a_{ni_n}$ のどこかに $0$ が現れてしまう（下三角の成分を選ばざるを得なくなる）ことから確かめられる，覚えておくと便利な事実である．

8.6 行列式の幾何学的意味

ここまで行列式を，置換の符号を使った代数的な計算規則として扱ってきた．しかし行列式には，もう1つの顔——図形の大きさを表すという顔——がある．行列式が $0$ であることと $0$ でないことは，いったい何を意味するのだろうか．具体的な数値とグラフで確かめてみよう．

8.6.1 2次元：面積

ベクトル $\vec{a}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$，$\vec{b}=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$ を考える．$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を列として並べると，行列 $A=\begin{bmatrix}2&2\\1&4\end{bmatrix}$ になる．

行列式を計算すると，

他方，$\vec{a},\vec{b}$ が作る平行四辺形（図8.7左，原点 $O$，$\vec{a}$ の先端 $(2,1)$，$\vec{a}+\vec{b}$ の先端 $(4,5)$，$\vec{b}$ の先端 $(2,4)$ を頂点とする）の面積 $S_1$ を，これらの点を囲む長方形から余分な部分を引く方法で求めてみよう．4点をちょうど対角の2頂点に持つ長方形は，$x$ 座標の範囲 $[0,4]$，$y$ 座標の範囲 $[0,5]$ なので，面積は $4\times5=20$ である．この長方形から平行四辺形の部分を除いた「余り」は，$\vec a=(a_1,a_2)=(2,1)$ が作る小さな直角三角形2つ（合わせて長方形 $a_1\times a_2$ 分）と，$\vec b=(b_1,b_2)=(2,4)$ が作る直角三角形2つ（合わせて長方形 $b_1\times b_2$ 分），そして幅 $b_1$・高さ $a_2$ の長方形2つ分に分かれる（一般に $a_1,b_1>0$ かつ $0\lt a_2\lt b_2$ のとき成り立つ分解であり，代数的には $(a_1+b_1)(a_2+b_2)=(a_1a_2+b_1b_2)+2a_2b_1+(a_1b_2-a_2b_1)$ という恒等式に対応する）：

ここで $10=a_1a_2+b_1b_2=2\times1+2\times4=2+8$（2組の直角三角形の分），$4=2a_2b_1=2\times1\times2$（2つの長方形の分）である．①＝②より，$|A|$ は平行四辺形の面積 $S_1$ を示していたことが分かる．

もう一組，$\vec{c}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$，$\vec{d}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$ を考える．$\vec c$ と $\vec d$ を合わせると $B=\begin{bmatrix}2&4\\1&2\end{bmatrix}$ となる．行列式は

である．図8.7右に示すように，$\vec d=2\vec c$（同じ向きで長さだけ2倍）なので，$\vec c,\vec d$ は同一直線上にあり，平行四辺形ができない（つぶれて線分になる）．よって面積は $0$ である．

このことから，2次元グラフでは，行列式が $0$ でなければ面積の値を示し，$0$ であれば2つのベクトルが重なり，面積が$0$である線が表れる，とまとめられる．これを一般の $2\times2$ 行列で証明しておこう．

8.6.2 3次元：体積

次に3次元で考える．ベクトル $\vec{f}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\vec{g}=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}$，$\vec{h}=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}$ を考える．この $\vec f,\vec g,\vec h$ は，じつはすべて同じ平面 $S$ 上にある——すなわち線形従属（linearly dependent，どれか1本が他の2本の実数倍の和で書けること．厳密な定義は第10章で学ぶ）である．実際，$\vec h=\dfrac{3}{5}\vec f+\dfrac{1}{5}\vec g$ という関係が成り立つ．$\vec f,\vec g,\vec h$ を列として合わせると，$C=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&-1&1\\3&1&2\end{bmatrix}$ となる．行列式は

である（サラスの公式で計算．各自確かめよ）．図8.8に，$\vec f,\vec g,\vec h$ が同一平面 $S$（$\vec f,\vec g$ が張る平面）上にあり，原点 $O$ からの3本のベクトルが平行六面体を作らずにつぶれてしまう様子を示す．

3次元グラフでは，行列式が $0$ でなければ平行六面体の体積の値を示し，$0$ であれば，3本のベクトルが同一平面上に収まってしまい，体積が$0$である面が表れる．2次元のときと同様，一般の場合を証明しておこう．高校数学のベクトル（空間ベクトル）で登場する内積（dot product，$\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$）を使う．

8.7 まとめと演習

8.7.1 まとめ

• 行列の和・スカラー倍・積（定義8.2，定義8.3）を確認した．積は交換法則が成り立たない（$AB\neq BA$）．
• 転置行列 ${}^{t}A$（定義8.4）は行と列を入れ換えたもので，${}^{t}({}^{t}A)=A$，${}^{t}(AB)={}^{t}B\,{}^{t}A$（定理8.1，積の転置は順序が逆になる）．
• 対角行列・上三角行列・回転行列の3種類は，べき乗が数学的帰納法によってきれいな形（公式8.1〜8.3）で求まる．この理由は第12章の対角化で明らかになる．
• 置換（定義8.5）は $1,\ldots,n$ の並べ替えで，全部で $n!$ 通りある．逆置換（定義8.6）は上下の段を交換して上段を昇順に並べ直せば求まる．偶置換・奇置換（定義8.7）は，恒等置換からの互換の回数の偶奇で決まり，符号 $\sgn$（定義8.8）は偶置換で $+1$，奇置換で $-1$ である．
• 行列式（定義8.9）は，各行・各列から1つずつ成分を選ぶすべての選び方（置換）について，符号付きの積を全部足したもの（ライプニッツの公式）．$3$次の場合はサラスの公式に一致する（式\eqref{eq:8-det3-sarrus}）．
• 余因子 $A_{ij}$（定義8.10）を使うと，行列式は好きな行・好きな列に関して余因子展開（定理8.2）で計算できる．
• 行列式の基本性質（定理8.3）——(i)行のスカラー倍，(ii)行の入れ替えで符号反転，(iii)他の行の定数倍を加えても不変，(iv)多重線形性——を使うと，行を上三角形に変形して対角成分の積を求めるだけで，大きな行列式も効率的に計算できる．
• 行列式の幾何学的意味（定理8.4，定理8.5）：2次元では2本のベクトルが作る平行四辺形の面積，3次元では3本のベクトルが作る平行六面体の体積に等しい．行列式が $0$ になることは，ベクトルたちが「潰れて」次元が落ちる（線形従属になる）ことを意味する．

8.7.2 演習問題

8.7.3 参考文献

関連シミュレーター：行列式（面積・体積としての意味）