第28章フーリエ級数の定義と計算例

例題28.1　$f(x)=x$（周期2π）のフーリエ級数

$f(x)=x\ (-\pi \lt x\le\pi)$ を周期 $2\pi$ で拡張した関数（図28.1）のフーリエ級数を求めよ．

解答　定理28.1の公式を使う．まず $a_0$ から．$f(x)=x$ は奇関数（$f(-x)=-f(x)$）なので，対称区間 $[-\pi,\pi]$ 上の積分は

$$ a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=0 $$

（奇関数を左右対称な区間で積分すると，$x \gt 0$ の部分と $x \lt 0$ の部分がちょうど打ち消し合って $0$ になる）．次に $a_k$（$k\ge1$）を求める．$x\cos kx$ も奇関数（奇関数×偶関数＝奇関数）だから，同じ理由で

$$ a_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\cos kx\,dx=0 $$

最後に $b_k$．$x\sin kx$ は偶関数（奇関数×奇関数＝偶関数）なので，$\int_{-\pi}^{\pi}=2\int_{0}^{\pi}$ が使える．部分積分（$u=x,\ dv=\sin kx\,dx$ とおくと $du=dx,\ v=-\frac1k\cos kx$）により，

$$ \int_0^{\pi}x\sin kx\,dx=\Bigl[-\frac{x}{k}\cos kx\Bigr]_0^{\pi}+\frac1k\int_0^{\pi}\cos kx\,dx=-\frac{\pi}{k}\cos k\pi+\frac1k\Bigl[\frac1k\sin kx\Bigr]_0^{\pi}=-\frac{\pi(-1)^k}{k}+0 $$

（$\cos k\pi=(-1)^k$，$\sin k\pi=0$（$k$ は整数）を使った）．したがって

$$ b_k=\frac1\pi\cdot2\times\left(-\frac{\pi(-1)^k}{k}\right)=\frac{2(-1)^{k+1}}{k} $$

以上より，フーリエ級数は

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{k+1}}{k}\sin kx=2\sin x-\sin2x+\frac23\sin3x-\frac12\sin4x+\cdots $$

である（sympyで検算：$a_0=a_k=0$，$b_k=2(-1)^{k+1}/k$ を $k=1,\ldots,5$ で確認済み）．$a_0=a_k=0$ となったのは，$f(x)=x$ が奇関数だからである——一般に，奇関数のフーリエ級数には $\cos$ の項が一切現れない．この事実は28.3節で一般的に証明する．

例題28.2　$f(x)=x$（周期4）のフーリエ級数

$f(x)=x\ (-2 \lt x\le2)$ を周期4（$L=2$，図28.2）で拡張した関数のフーリエ級数を求めよ．

解答　定理28.2の公式（$L=2$）を使う．$f(x)=x$ は例題28.1と同じく奇関数だから，$a_0=0$，$a_k=0\ (k\ge1)$ は全く同じ理由（奇関数の対称区間積分）で成り立つ．$b_k$ は，$x\sin\frac{k\pi}{2}x$ が偶関数であることを使い，部分積分（$u=x,\ dv=\sin\frac{k\pi}{2}x\,dx$，$v=-\frac{2}{k\pi}\cos\frac{k\pi}{2}x$）で計算する．

$$ b_k=\frac12\int_{-2}^{2}x\sin\frac{k\pi}{2}x\,dx=\int_0^2 x\sin\frac{k\pi}{2}x\,dx =\left[-\frac{2x}{k\pi}\cos\frac{k\pi}{2}x\right]_0^2+\frac{2}{k\pi}\int_0^2\cos\frac{k\pi}{2}x\,dx $$

右辺第2項は $\left[\frac{4}{k^2\pi^2}\sin\frac{k\pi}{2}x\right]_0^2=\frac{4}{k^2\pi^2}\sin k\pi=0$（$k$ は整数なので $\sin k\pi=0$）．第1項は $x=2$ で $-\frac{4}{k\pi}\cos k\pi=-\frac{4(-1)^k}{k\pi}$，$x=0$ で $0$ だから，

$$ b_k=-\frac{4(-1)^k}{k\pi}=\frac{4(-1)^{k+1}}{k\pi} $$

ゆえに

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{k+1}}{k\pi}\sin\frac{k\pi}{2}x $$

である（sympyで検算：$a_0=a_k=0$，$b_k=4(-1)^{k+1}/(\pi k)$ を $k=1,\ldots,4$ で確認済み）．一般に，同じ形 $f(x)=x\ (-L \lt x\le L)$ に対しては $b_k=\dfrac{2L(-1)^{k+1}}{k\pi}$ となることが同様の計算からわかる（$L=\pi$ を代入すれば，ちょうど例題28.1の $b_k=2(-1)^{k+1}/k$ に戻ることを確かめてみよう）．

例題28.3　$f(x)=x^2$（周期2π）のフーリエ余弦級数

$f(x)=x^2\ (-\pi \lt x\le\pi)$ を周期 $2\pi$ で拡張した関数（図28.3）のフーリエ級数を求めよ．

解答　$f(x)=x^2$ は偶関数（$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$）だから，定理28.3(I)よりフーリエ余弦級数になり，$b_k=0$ である．$a_0$ は

$$ a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3}=\frac{\pi^2}{3} $$

$a_k\ (k\ge1)$ は，被積分関数 $x^2\cos kx$ が偶関数なので $\int_{-\pi}^\pi=2\int_0^\pi$ とし，部分積分を2回繰り返して求める．$u=x^2,\ dv=\cos kx\,dx$ とすると $du=2x\,dx,\ v=\frac1k\sin kx$ より，

$$ \int_0^{\pi}x^2\cos kx\,dx=\left[\frac{x^2}{k}\sin kx\right]_0^{\pi}-\frac2k\int_0^{\pi}x\sin kx\,dx $$

第1項は $\sin k\pi=0$ よりゼロ．第2項の $\int_0^\pi x\sin kx\,dx$ は，例題28.1の計算（の途中式）と全く同じ形で，$-\frac{\pi(-1)^k}{k}$ である．したがって

$$ \int_0^{\pi}x^2\cos kx\,dx=0-\frac2k\left(-\frac{\pi(-1)^k}{k}\right)=\frac{2\pi(-1)^k}{k^2} $$ $$ a_k=\frac1\pi\cdot2\times\frac{2\pi(-1)^k}{k^2}=\frac{4(-1)^k}{k^2} $$

ゆえに

$$ f(x)=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4(-1)^k}{k^2}\cos kx=\frac{\pi^2}{3}-4\cos x+\cos2x-\frac49\cos3x+\cdots $$

である（sympyで検算：$a_0=\pi^2/3$，$a_k=4(-1)^k/k^2$ を $k=1,\ldots,4$ で確認済み）．なお，この式に $x=\pi$（$f(\pi)=\pi^2$）を形式的に代入すると $\cos k\pi=(-1)^k$ より $\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{k=1}^\infty\frac{4}{k^2}$，すなわち $\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ という有名な「バーゼル問題（Basel problem）」の答えが導かれる——ただし，境界の不連続点でもないのに級数を代入してよい根拠（各点収束の理論）は次章で学ぶので，ここでは面白い副産物として紹介するにとどめる．

例題28.4　$f(x)=x$（周期2π）の複素フーリエ級数

例題28.1の $f(x)=x\ (-\pi \lt x\le\pi)$（周期2π）の複素フーリエ係数 $C_k$ を直接求め，例題28.1の結果 $a_k=0,\ b_k=2(-1)^{k+1}/k$ と整合することを確認せよ．

解答　定理28.4（$L=\pi$）より，$k\ne0$ のとき

$$ C_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-ikx}\,dx $$

部分積分（$u=x,\ dv=e^{-ikx}dx$，$v=-\frac{1}{ik}e^{-ikx}=\frac{i}{k}e^{-ikx}$）により，

$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-ikx}\,dx=\left[\frac{ix}{k}e^{-ikx}\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{i}{k}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ikx}\,dx $$

右辺第2項は，$k$ が0でない整数のとき $\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ikx}dx=\left[\frac{i}{k}e^{-ikx}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{i}{k}\bigl(e^{-ik\pi}-e^{ik\pi}\bigr)=\frac{i}{k}\bigl((-1)^k-(-1)^k\bigr)=0$ となって消える（$e^{\pm ik\pi}=\cos k\pi\pm i\sin k\pi=(-1)^k$ を使った）．第1項は，

$$ \left[\frac{ix}{k}e^{-ikx}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{i\pi}{k}e^{-ik\pi}-\frac{i(-\pi)}{k}e^{ik\pi}=\frac{i\pi}{k}(-1)^k+\frac{i\pi}{k}(-1)^k=\frac{2i\pi(-1)^k}{k} $$

したがって

$$ C_k=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2i\pi(-1)^k}{k}=\frac{i(-1)^k}{k}\qquad(k\ne0) $$

また $C_0=a_0=0$（例題28.1で求めた値）である．（sympyで検算：$C_k=i(-1)^k/k$ を $k=\pm1,\pm2,\pm3$ で確認済み．）これが例題28.1の $a_k,b_k$ と対応することを見よう．「数学ノート」ボックスの公式より，

$$ C_k=\frac{a_k-ib_k}{2}=\frac{0-i\cdot\frac{2(-1)^{k+1}}{k}}{2}=\frac{-i(-1)^{k+1}}{k}=\frac{i(-1)^k}{k} $$

となり，直接計算した $C_k$ と完全に一致する．同じ関数の同じフーリエ級数を，実の形（$\cos,\sin$）で見るか複素の形（$e^{ikx}$）で見るかの違いにすぎないことが，具体的な数値で確認できた．

例題28.5　矩形波のフーリエ正弦級数（底本の例題No.1）

$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{\pi}{4} & (-\pi \lt x\le0)\\[4pt]\dfrac{\pi}{4} & (0 \lt x\le\pi)\end{cases}$（周期2π，図28.4）のとき，$f(x)$ をフーリエ級数展開せよ．

解答　$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ とおく．

[i] $a_k\ (k=0,1,2,\ldots)$ について．

$$ a_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx=\frac1\pi\int_0^{\pi}\frac{\pi}{4}\cos kx\,dx+\frac1\pi\int_{-\pi}^0\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos kx\,dx $$

（$k=0$ のときも $\cos0x=1$ として同じ式が使える）．積分を実行すると，

$$ =\frac14\left[\frac1k\sin kx\right]_0^{\pi}-\frac14\left[\frac1k\sin kx\right]_{-\pi}^0=\frac14\cdot\frac1k(\sin k\pi-0)-\frac14\cdot\frac1k(0-\sin(-k\pi))=0 $$

（$\sin k\pi=0,\ \sin(-k\pi)=0$ を使った．$k=0$ のときは両辺とも初めから $0$）．よって $a_k=0$（$k=0,1,2,\ldots$ すべて）．

[ii] $b_k\ (k=1,2,3,\ldots)$ について．

$$ b_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx=\frac1\pi\int_0^{\pi}\frac{\pi}{4}\sin kx\,dx+\frac1\pi\int_{-\pi}^0\left(-\frac{\pi}{4}\right)\sin kx\,dx $$ $$ =\frac14\left[-\frac1k\cos kx\right]_0^{\pi}-\frac14\left[-\frac1k\cos kx\right]_{-\pi}^0 $$

第1項は $-\frac1{4k}(\cos k\pi-\cos0)=-\frac1{4k}\bigl((-1)^k-1\bigr)=\frac{1-(-1)^k}{4k}$．第2項は $-\frac1{4k}(\cos0-\cos(-k\pi))=-\frac1{4k}\bigl(1-(-1)^k\bigr)=-\frac{1-(-1)^k}{4k}$．引き算だから符号に注意すると，

$$ b_k=\frac{1-(-1)^k}{4k}-\left(-\frac{1-(-1)^k}{4k}\right)=\frac{1-(-1)^k}{2k} $$

[i]，[ii]より，

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^k}{2k}\sin kx $$

である（sympyで検算：$a_k=0$，$b_k=(1-(-1)^k)/(2k)$ を $k=1,\ldots,5$ で確認済み）．

考察（円周率とのつながり）　係数 $\dfrac{1-(-1)^k}{2k}$ は，$k$ が偶数のとき $1-(-1)^k=0$ となって消え，$k$ が奇数のときだけ $\dfrac{1-(-1)}{2k}=\dfrac1k$ が残る．したがって

$$ f(x)=\sin x+\frac13\sin3x+\frac15\sin5x+\cdots $$

である．ここで，$x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入しよう．グラフ（図28.4）から明らかに $f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$ である．一方，$\sin\frac{\pi}{2}=\sin\frac{5\pi}{2}=\sin\frac{9\pi}{2}=\cdots=1$，$\sin\frac{3\pi}{2}=\sin\frac{7\pi}{2}=\cdots=-1$ だから，

$$ \frac{\pi}{4}=f\!\left(\frac\pi2\right)=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} $$

というライプニッツの公式（Leibniz formula）——円周率 $\pi$ を無限級数で表す，驚くほど単純な式——が導ける．フーリエ級数は「波を分解する道具」であるだけでなく，思いがけない場所で $\pi$ の姿を見せてくれる．

ただし，この級数は収束がとても遅い．部分和 $S_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$ を数値的に計算すると，

（$\pi/4=0.785398\ldots$）．項数を10倍にするごとに誤差がほぼ10分の1になる——つまり誤差は項数にほぼ反比例して減っていく，非常にゆっくりとした収束である．この現象と，級数がジャンプ不連続点の近くでどう振る舞うか（ギブス現象）は，演習28.4で数値的に確かめる．

例題28.6　三角波のフーリエ余弦級数（底本の例題No.2）

$f(x)=\begin{cases}-x & (-\pi \lt x\le0)\\ x & (0 \lt x\le\pi)\end{cases}$（すなわち $f(x)=|x|$，周期2π，図28.5）のとき，$f(x)$ をフーリエ級数展開せよ．

解答　$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ とおく．

[i] $a_k\ (k=1,2,\ldots)$ について．上の「数学ノート」の不定積分公式 $\int x\cos kx\,dx=\frac1kx\sin kx+\frac1{k^2}\cos kx$ を使う．

$$ a_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx=\frac1\pi\left(\int_0^{\pi}x\cos kx\,dx-\int_{-\pi}^0 x\cos kx\,dx\right) $$ $$ =\frac1\pi\left[\frac1kx\sin kx+\frac1{k^2}\cos kx\right]_0^{\pi}-\frac1\pi\left[\frac1kx\sin kx+\frac1{k^2}\cos kx\right]_{-\pi}^0 $$

各角括弧の中の $\frac1kx\sin kx$ の項は，上端・下端のどちらでも $\sin k\pi=\sin0=0$ となって消える（$x=0,\pm\pi$ でつねに $\sin kx=0$）．残るのは $\frac1{k^2}\cos kx$ の項だけで，

$$ =\frac1\pi\left\{\frac{(-1)^k}{k^2}-\frac1{k^2}\right\}-\frac1\pi\left\{\frac1{k^2}-\frac{(-1)^k}{k^2}\right\}=\frac{2\bigl\{(-1)^k-1\bigr\}}{\pi k^2}\qquad(k=1,2,\ldots) $$

$a_0$ は $a_k$ の公式に $k=0$（$\cos0x=1$）を代入して，

$$ a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac1\pi\left(\int_0^{\pi}x\,dx+\int_{-\pi}^0(-x)\,dx\right)=\frac1\pi\left(\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi^2}{2}\right)=\pi $$

[ii] $b_k\ (k=1,2,\ldots)$ について．$f(x)=|x|$ は偶関数だから，定理28.3(I)よりそもそも $b_k=0$ になるはずである．実際に計算しても確かめられる．不定積分公式 $\int x\sin kx\,dx=-\frac1kx\cos kx+\frac1{k^2}\sin kx$ を使うと，

$$ b_k=\frac1\pi\left(\int_0^{\pi}x\sin kx\,dx-\int_{-\pi}^0 x\sin kx\,dx\right)=\frac1\pi\left[-\frac{x}{k}\cos kx+\frac1{k^2}\sin kx\right]_0^{\pi}-\frac1\pi\left[-\frac{x}{k}\cos kx+\frac1{k^2}\sin kx\right]_{-\pi}^0 $$

両方の角括弧内の $\frac1{k^2}\sin kx$ の項は，$x=0,\pm\pi$ で $\sin kx=0$ になるのでいずれも消える．残る $-\frac{x}k\cos kx$ の項を評価すると，第1項は $-\frac{\pi}{k}(-1)^k-0=-\frac{\pi(-1)^k}{k}$，第2項は $0-\left(-\frac{-\pi}{k}\cos(-k\pi)\right)=0-\frac{\pi(-1)^k}{k}\cdot(-1)$ となり，整理すると

$$ b_k=\frac1\pi\left(-\frac{\pi(-1)^k}{k}\right)-\frac1\pi\left(-\frac{\pi(-1)^k}{k}\right)=0 $$

となって，やはり $b_k=0$ が確かめられる．[i]，[ii]より，

$$ f(x)=\frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2\bigl\{(-1)^k-1\bigr\}}{\pi k^2}\cos kx=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\cos x-\frac{4}{9\pi}\cos3x-\frac{4}{25\pi}\cos5x-\cdots $$

である（偶数番目の $k$ では $(-1)^k-1=0$ となって係数が消えることに注意）．（sympyで検算：$a_0=\pi$，$a_k=2\{(-1)^k-1\}/(\pi k^2)$，$b_k=0$ を $k=1,\ldots,5$ で確認済み．）

例題28.7　鋸歯状波（底本の例題No.3，実・複素二通りの計算）

$f(x)=\dfrac{x}{2}\ (-4 \lt x \lt 4)$（周期8，$L=4$，図28.6）のとき，$f(x)$ をフーリエ級数展開せよ．

解答（実フーリエ級数）　$f(x)=x/2$ は奇関数だから，定理28.3(II)よりフーリエ正弦級数になる（$a_k=0$）．

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin\frac{k\pi}{4}x\qquad\text{とおく．} $$

不定積分公式 $\int x\sin\frac{k\pi}{4}x\,dx=-\frac{4}{k\pi}x\cos\frac{k\pi}{4}x+\left(\frac{4}{k\pi}\right)^2\sin\frac{k\pi}{4}x$（$\int x\sin ax\,dx=-\frac{x}{a}\cos ax+\frac1{a^2}\sin ax$ に $a=\frac{k\pi}{4}$ を代入したもの）を使うと，

$$ b_k=\frac14\int_{-4}^{4}f(x)\sin\frac{k\pi}{4}x\,dx=\frac18\int_{-4}^{4}x\sin\frac{k\pi}{4}x\,dx=\frac18\left[-\frac{4}{k\pi}x\cos\frac{k\pi}{4}x+\left(\frac{4}{k\pi}\right)^2\sin\frac{k\pi}{4}x\right]_{-4}^{4} $$

$x=\pm4$ では $\frac{k\pi}{4}x=\pm k\pi$ より $\sin(\pm k\pi)=0$ なので第2項は上端・下端とも消える．第1項を評価すると，$x=4$ で $-\frac{4}{k\pi}\cdot4\cos k\pi=-\frac{16}{k\pi}(-1)^k$，$x=-4$ で $-\frac{4}{k\pi}\cdot(-4)\cos(-k\pi)=\frac{16}{k\pi}(-1)^k$．引き算すると，

$$ b_k=\frac18\left(-\frac{16(-1)^k}{k\pi}-\frac{16(-1)^k}{k\pi}\right)=\frac18\cdot\left(-\frac{32(-1)^k}{k\pi}\right)=-\frac{4(-1)^k}{k\pi}=\frac{4(-1)^{k+1}}{k\pi} $$

ゆえに

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{k+1}}{k\pi}\sin\frac{k\pi}{4}x $$

である（sympyで検算：$b_k=4(-1)^{k+1}/(\pi k)$ を $k=1,\ldots,4$ で確認済み）．

解答（複素フーリエ級数）　同じ関数を，定理28.4（$L=4$）を使って複素フーリエ級数でも求めてみる．$f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{i\frac{k\pi}{4}x}$ とおくと，

$$ C_k=\frac{1}{2\cdot4}\int_{-4}^{4}f(x)\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\,dx=\frac18\int_{-4}^{4}\frac{x}{2}\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\,dx=\frac1{16}\int_{-4}^{4}x\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\,dx $$

（$f(x)=x/2$ を代入し，$\frac18\times\frac12=\frac1{16}$ として $x/2$ の $\frac12$ を係数に吸収した）．

部分積分（$u=x,\ dv=e^{-i\frac{k\pi}{4}x}dx$，$v=\frac{4}{ik\pi}\cdot(-1)e^{-i\frac{k\pi}{4}x}=i\frac{4}{k\pi}e^{-i\frac{k\pi}{4}x}$）により，

$$ \int x\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\,dx=i\frac{4}{k\pi}x\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}-\int i\frac{4}{k\pi}e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\,dx=i\frac{4}{k\pi}x\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}+\left(\frac{4}{k\pi}\right)^2 e^{-i\frac{k\pi}{4}x} $$

（最後の積分で，もう一度同じ置き換えを使うと符号が反転して $+\left(\frac4{k\pi}\right)^2e^{-i\frac{k\pi}4x}$ になる）．よって

$$ C_k=\frac1{16}\int_{-4}^{4}x\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\,dx=\frac{1}{16}\left[i\frac{4}{k\pi}x\,e^{-i\frac{k\pi}{4}x}+\left(\frac{4}{k\pi}\right)^2e^{-i\frac{k\pi}{4}x}\right]_{-4}^{4} $$

$\left(\frac4{k\pi}\right)^2e^{-i\frac{k\pi}4x}$ の項は，$x=4$ で $\left(\frac4{k\pi}\right)^2e^{-ik\pi}=\left(\frac4{k\pi}\right)^2(-1)^k$，$x=-4$ でも同じ値 $\left(\frac4{k\pi}\right)^2(-1)^k$（$e^{ik\pi}=(-1)^k$ も同じ）になるので，引き算するとちょうど消える．残るのは $i\frac4{k\pi}xe^{-i\frac{k\pi}4x}$ の項だけで，

$$ C_k=\frac1{16}\left(i\frac{16}{k\pi}(-1)^k-\left(-i\frac{16}{k\pi}(-1)^k\right)\right)=\frac1{16}\cdot i\frac{32}{k\pi}(-1)^k=\frac{2i(-1)^k}{k\pi} $$

（$x=4$：$i\frac4{k\pi}\cdot4\cdot(-1)^k=i\frac{16}{k\pi}(-1)^k$，$x=-4$：$i\frac4{k\pi}\cdot(-4)\cdot(-1)^k=-i\frac{16}{k\pi}(-1)^k$，差は $2i\frac{16}{k\pi}(-1)^k$．これを $1/16$ 倍すれば上の式になる）．（sympyで検算：$C_k=2i(-1)^k/(\pi k)$ を $k=\pm1,\pm2,\pm3$ で確認済み．）

これが実フーリエ級数の結果と一致するか確認しよう．「数学ノート」ボックスの公式より，$a_k=C_k+C_{-k}$，$b_k=i(C_k-C_{-k})$ である．$C_{-k}=\frac{2i(-1)^{-k}}{-k\pi}=-\frac{2i(-1)^k}{k\pi}$（$(-1)^{-k}=(-1)^k$）だから，

$$ a_k=\frac{2i(-1)^k}{k\pi}-\frac{2i(-1)^k}{k\pi}=0,\qquad b_k=i\left(\frac{2i(-1)^k}{k\pi}-\left(-\frac{2i(-1)^k}{k\pi}\right)\right)=i\cdot\frac{4i(-1)^k}{k\pi}=-\frac{4(-1)^k}{k\pi}=\frac{4(-1)^{k+1}}{k\pi} $$

となり，実フーリエ級数の結果 $a_k=0,\ b_k=4(-1)^{k+1}/(k\pi)$ と完全に一致する．実の計算でも複素の計算でも，同じ答えにたどり着くことが確認できた．

演習28.1　複素フーリエ級数の計算

$f(x)=e^x\ (-\pi \lt x\le\pi)$ を周期2πで拡張した関数の複素フーリエ級数を求めよ．

ヒント：定理28.4（$L=\pi$）の公式に直接代入し，$\int e^{(1-ik)x}dx$ の形の積分を計算する．$e^{\pm ik\pi}=(-1)^k$ を使う．最後は分母の実数化（$1+ik$ を掛けて $1-ik$ を払う）をすると綺麗な形になる．

→ 解答

演習28.2　周期2Lのフーリエ余弦級数

$f(x)=|x|\ (-3 \lt x\le3)$ を周期6（$L=3$）で拡張した関数のフーリエ余弦級数を求めよ．

ヒント：$f$ が偶関数であることに注目すれば，定理28.3(I)より最初から $b_k=0$ とわかる．$a_0,a_k$ は定理28.2の公式に例題28.6と同様の部分積分を適用する．

→ 解答

演習28.3　偶関数のフーリエ級数に余弦項しか現れないことの証明

$f(x)$ を周期 $2L$ の偶関数（$f(-x)=f(x)$）とするとき，$b_k=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{k\pi}{L}x\,dx=0$（すべての $k$）となることを，積分を $[-L,0]$ と $[0,L]$ に分けて，前半に $x\to-x$ の置換をほどこすことで直接証明せよ．

ヒント：28.3節の「イメージ」ボックスでは「奇関数だから対称区間の積分が0になる」と直感的に述べた．ここではその直感を，実際に積分を2つに割って置換積分することで，計算のレベルできちんと示す．

→ 解答

演習28.4　矩形波のフーリエ級数の数値実験（ギブス現象）

例題28.5の矩形波のフーリエ正弦級数の部分和 $S_N(x)=\sum_{k=1}^{N}\frac{1-(-1)^k}{2k}\sin kx$ を，Pythonで $N=5,20,100$ について計算し，(a) 連続点 $x=\pi/2$ での値が $\pi/4$ に近づく様子，(b) 不連続点 $x=0$ の近くで，$N$ を大きくしても消えない「行き過ぎ」（オーバーシュート）が起きる様子を数値的に確かめよ．

ヒント：(b)の現象はギブス現象（Gibbs phenomenon）とよばれる．オーバーシュートの大きさは $N\to\infty$ でも $0$ に近づかず，ジャンプの大きさの約9%（比にして約1.179倍）に留まることが知られている．

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演習28.5　複素係数から実係数への逆算（鋸歯状波で確認）

例題28.7で求めた鋸歯状波の複素フーリエ係数 $C_k=\dfrac{2i(-1)^k}{k\pi}\ (k\ne0)$ から，公式 $a_k=C_k+C_{-k}$，$b_k=i(C_k-C_{-k})$ を使って実フーリエ係数 $a_k,b_k$ を自分で計算し直し，例題28.7本文の実フーリエ級数の結果 $a_k=0,\ b_k=\frac{4(-1)^{k+1}}{k\pi}$ と一致することを確認せよ．

ヒント：本文中ではこの逆算をすでに一度行っているが，$(-1)^{-k}=(-1)^k$ に注意しながら，自分の手で計算をなぞり直してみること．

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演習28.6　奇関数拡張によるフーリエ正弦級数

$f(x)=x(\pi-x)\ (0 \lt x \lt \pi)$ を，区間 $(-\pi,0)$ では $f(x)=-f(-x)$ となるように奇関数として周期 $2\pi$ に拡張し，フーリエ正弦級数展開せよ．

ヒント：奇関数拡張なので $a_k=0$ であり，$b_k=\frac2\pi\int_0^{\pi}x(\pi-x)\sin kx\,dx$ を部分積分を2回使って計算すればよい（例題28.3の2回部分積分の計算パターンが参考になる）．

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