第19章発散と回転

例19.1　平面の位置ベクトル場の発散

$\vec p=[x,\ y]$ とする．このとき，

(I) $\operatorname{div}\vec p=2$．

(II) $\operatorname{div}(\abs{\vec p}^n\vec p)=(n+2)\abs{\vec p}^n$（$n$ は実数）．

解答　(I) 定義19.1に直接代入する．$f=x,\ g=y$ だから，$\pdiff fx=\pdiff xx=1$，$\pdiff gy=\pdiff yy=1$ であり，

(II) 公式19.2を $\varphi=\abs{\vec p}^n$，$\vec f=\vec p$ として使う．前章の18.5節 公式18.3（そこでは位置ベクトルを $\vec P$ と書いているが，本節では $\vec p$ と書いても同じ公式である）$\grad\abs{\vec P}^n=n\abs{\vec P}^{n-2}\vec P$ より $\nabla\abs{\vec p}^n=\grad\abs{\vec p}^n=n\abs{\vec p}^{n-2}\vec p$ であった．これと (I) の結果 $\nabla\cdot\vec p=2$ を代入すると，

ここで $\vec p\cdot\vec p=\abs{\vec p}^2$（ベクトルと自分自身との内積は，そのベクトルの大きさの2乗という基本性質）だから，最初の項は

（指数法則 $\abs{\vec p}^{n-2}\cdot\abs{\vec p}^2=\abs{\vec p}^{(n-2)+2}=\abs{\vec p}^n$ を使った）となる．よって，

が得られる．（sympyで検算済み．$n$ が負の数，または整数でない実数のときは $\abs{\vec p}^n$ が原点で定義できない（あるいは $0$ や負の数の実数乗になってしまう）ので，この結果は $\vec p\neq\vec 0$，すなわち原点を除いて考える．）

例19.2　空間の位置ベクトル場の発散

$\vec p=[x,\ y,\ z]$ とする．このとき，

(I) $\operatorname{div}\vec p=3$．

(II) $\operatorname{div}(\abs{\vec p}^n\vec p)=(n+3)\abs{\vec p}^n$．

解答　(I) 定義19.2に直接代入すればよい．$f=x,g=y,h=z$ より $\pdiff fx=\pdiff gy=\pdiff hz=1$ だから，

(II) 例19.1(II) と全く同じ手順で，公式19.2に $\varphi=\abs{\vec p}^n$，$\vec f=\vec p$ を代入する．空間でも前章の公式18.3 $\grad\abs{\vec p}^n=n\abs{\vec p}^{n-2}\vec p$ は成り立つので，

（sympyで検算済み．例19.1(II)と同様，$n$ が負，または整数でない実数のときは $\vec p\neq\vec 0$（原点を除く）を前提とする．）2次元では $+2$，3次元では $+3$ となり，$\operatorname{div}\vec p=$（次元の数）がそのまま指数の補正項に現れていることに注意しよう．これは19.2節で見る「発散＝次元あたりの湧き出し」という直観と対応している．

例題19.1　多項式ベクトル場の発散

$\vec F=[x^2,\ y^2,\ z^2]$ の発散 $\operatorname{div}\vec F$ を求めよ．

解答　定義19.2より，各成分をそれ自身の変数で偏微分して足し合わせる．$\pdiff{}{x}(x^2)=2x$，$\pdiff{}{y}(y^2)=2y$，$\pdiff{}{z}(z^2)=2z$（他の変数についての偏微分ではないことに注意．たとえば $x^2$ を $y$ で偏微分すれば $0$ である）から，

原点から離れるほど（$x,y,z$ の値が大きいほど）発散が大きくなる，つまり湧き出しが強くなることがわかる．特に第1卦限（$x,y,z\gt0$）では常に $\operatorname{div}\vec F\gt0$ である．（sympyで検算済み．）

例題19.2　湧き出し場の確認

$\vec F=[x,\ y]$ について，発散 $\operatorname{div}\vec F$ を求め，これが図19.2左のように「湧き出し」を表すことを確認せよ．

解答　これは例19.1(I)そのもので，$\operatorname{div}\vec F=2$（定数）である．正の定数なので，平面上のどの点でも同じ強さの湧き出しがある．実際，$\vec F=[x,y]$ は各点で原点から遠ざかる向き（動径方向）を向き，原点から離れるほど大きさ $\abs{\vec F}=\sqrt{x^2+y^2}$ も大きくなる．どんな微小な正方形を置いても，右辺・上辺から出ていく水の方が左辺・下辺から入ってくる水より多いので，正味は必ず流出になる．これが $\operatorname{div}\vec F=2\gt0$ の意味である．

例題19.3　ソレノイド場の確認

$\vec F=[x,\ -y]$ について，発散 $\operatorname{div}\vec F$ を求め，定義19.3の意味でソレノイドであることを確認せよ．

解答　定義19.1より，

だから，$\vec F$ はソレノイド（湧き出しの無い場）である．（sympyで検算済み．）ただし注意したいのは，$\operatorname{div}\vec F=0$ は「ベクトルがどこでも $\vec 0$」という意味ではないということである．実際 $\vec F=[x,-y]$ は，$x$ 軸方向には広がり，$y$ 軸方向には縮む「鞍点型（双曲線型）」の流れであり，$\vec 0$ になるのは原点だけである．ある微小な正方形を考えると，$x$ 方向には正味の流出（右辺から出ていく分の方が多い）があるが，$y$ 方向にはちょうど同じ量だけ正味の流入（上辺から出ていく分より下辺から入ってくる分の方が多い）があり，足し合わせるとぴったり打ち消し合う．これが「発散はゼロだが流れそのものはゼロではない」という状況の具体例である．

例題19.4　ラプラシアンの計算と調和関数の判定

(a) $f=x^2+y^2+z^2$ のラプラシアン $\Delta f$ を求めよ．(b) $f=x^2-y^2$ は調和関数か判定せよ．

解答　(a) $\pdiff{^2}{x^2}(x^2+y^2+z^2)=\pdiff{}{x}(2x)=2$，同様に $y,z$ についてもそれぞれ $2$ となるから，

$\Delta f=6\neq0$ なので，$f=x^2+y^2+z^2$ は調和関数ではない．（これは原点からの距離の2乗 $\abs{\vec p}^2$ であり，例19.1(II)で $n=2$ とした場合の $\operatorname{div}(\abs{\vec p}^2\vec p)$ とは別の計算であることに注意．）

(b) 平面の場合のラプラシアン $\Delta=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2$ を使う．$\pdiff{^2}{x^2}(x^2-y^2)=\pdiff{}{x}(2x)=2$，$\pdiff{^2}{y^2}(x^2-y^2)=\pdiff{}{y}(-2y)=-2$ だから，

$\Delta f=0$ なので，$f=x^2-y^2$ は調和関数である．（sympyで検算済み．）（a）との違いは符号だけだが，(a) はすべての項が同符号（$+x^2,+y^2,+z^2$）で足し合わされるのに対し，(b) は符号が反対（$+x^2,-y^2$）の項が打ち消し合う，という構造の違いに由来する．

例題19.5　回転（渦）ベクトル場の計算

$\vec F=[-y,\ x,\ 0]$ の回転 $\rot\vec F$ を求め，$xy$ 平面内でこの場がどのような渦を作っているか述べよ．

解答　$f=-y,\ g=x,\ h=0$ を定義19.5に代入する．

（sympyで検算済み．）$\rot\vec F=[0,0,2]\neq\vec 0$ なので，$\vec F$ には渦がある．$z$ 成分だけが正で残りが $0$ ということは，回転軸が $z$ 軸方向を向いていることを意味する．実際 $\vec F=[-y,x,0]$ は，各点 $(x,y)$ で原点を中心とする円の接線方向（反時計回り）を向くベクトルであり，$xy$ 平面全体が原点のまわりを反時計回りに一様に回転しているような流れを表す（図19.5で詳しく見る）．

例題19.6　積の形をしたベクトル場の回転

$\vec F=[yz,\ zx,\ xy]$ の回転 $\rot\vec F$ を求めよ．

解答　$f=yz,\ g=zx,\ h=xy$ とおく．

各項を計算する．$\pdiff{}{y}(xy)=x$（$x$ は定数扱い），$\pdiff{}{z}(zx)=x$，$\pdiff{}{z}(yz)=y$，$\pdiff{}{x}(xy)=y$，$\pdiff{}{x}(zx)=z$，$\pdiff{}{y}(yz)=z$ だから，

（sympyで検算済み．）$\rot\vec F=\vec 0$ なので，この場には渦が無い．$\vec F=[yz,zx,xy]$ のように各成分が「自分以外の2変数の積」になっている対称な形は，回転が恒等的に消えるという性質を持つ．

例題19.7　$\operatorname{div}(\rot\vec f)=0$ の直接検算

$\vec F=[x^2y,\ y^2z,\ z^2x]$ について，$\rot\vec F$ を求め，さらに $\operatorname{div}(\rot\vec F)=0$ を直接計算で確かめよ．

解答　$f=x^2y,\ g=y^2z,\ h=z^2x$ を定義19.5に代入する．

各項を計算する．$\pdiff{}{y}(z^2x)=0$（$y$ を含まない），$\pdiff{}{z}(y^2z)=y^2$，$\pdiff{}{z}(x^2y)=0$，$\pdiff{}{x}(z^2x)=z^2$，$\pdiff{}{x}(y^2z)=0$，$\pdiff{}{y}(x^2y)=x^2$ だから，

（sympyで検算済み．）続いて，この結果に定義19.2（発散）を適用する．

（$-y^2$ は $x$ を含まないので $x$ で偏微分すれば $0$，以下同様）．たしかに定理19.1のとおり $\operatorname{div}(\rot\vec F)=0$ が成り立つ．一般の公式（定理19.1）の証明では偏微分の順序交換による打ち消し合いを見たが，この具体例ではもっと単純に，$\rot\vec F$ の各成分がそもそも対応する変数を含んでいなかった，という形で $0$ になっている．

例題19.8　$\rot(\grad\varphi)=0$ の直接検算

$\varphi=x^2y+yz$ について，$\grad\varphi$ を求め，さらに $\rot(\grad\varphi)=\vec 0$ を直接計算で確かめよ．

解答　$\pdiff{\varphi}{x}=2xy$，$\pdiff{\varphi}{y}=x^2+z$，$\pdiff{\varphi}{z}=y$ だから，

（sympyで検算済み．）この結果を $\vec f=[f,g,h]=[2xy,\ x^2+z,\ y]$ として定義19.5に代入する．

各項を計算すると，$\pdiff{}{y}(y)=1$，$\pdiff{}{z}(x^2+z)=1$，$\pdiff{}{z}(2xy)=0$，$\pdiff{}{x}(y)=0$，$\pdiff{}{x}(x^2+z)=2x$，$\pdiff{}{y}(2xy)=2x$ だから，

（sympyで検算済み．）たしかに定理19.2のとおり成り立つ．

演習19.1　多項式ベクトル場の発散

$\vec F=[x^3,\ y^3,\ z^3]$ の発散 $\operatorname{div}\vec F$ を求めよ．

ヒント：定義19.2に従い，各成分をそれ自身の変数だけで偏微分して足し合わせる．

→ 解答

演習19.2　球対称な調和関数

$f=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$（原点 $r=0$ を除く）が，ラプラスの方程式 $\Delta f=0$ を満たすことを示せ．

ヒント：$f=r^{-1}$（$r=\abs{\vec p}$）とみて，例19.1・例19.2で使った $\grad r^n=nr^{n-2}\vec p$（$n=-1$ の場合）と例19.2(II)の結果 $\operatorname{div}(r^n\vec p)=(n+3)r^n$ を使うと近道になる．

→ 解答

演習19.3　位置ベクトル場の回転（再確認）

$\vec F=[x,\ y,\ z]$ の回転 $\rot\vec F$ を求めよ（公式19.5の結果を自分の手で再導出せよ）．

ヒント：定義19.5に直接代入する．すべての項が「ある変数を，それとは異なる変数で偏微分したもの」になることを確認する．

→ 解答

演習19.4　渦とせん断が混じった場の回転

$\vec F=[-y,\ x,\ z]$ の回転 $\rot\vec F$ を求め，$xy$ 平面内の回転成分をどう解釈できるか説明せよ．

ヒント：例題19.5（$\vec F=[-y,x,0]$）と比べると，第3成分が $0$ から $z$ に変わっただけである．回転の定義19.5の式で，$h=z$ に変わった影響がどの成分に出るか確認せよ．

→ 解答

演習19.5　発散の積の公式の直接検算

$\varphi=x$，$\vec F=[y,\ z,\ x]$ として，公式19.2 $\operatorname{div}(\varphi\vec F)=(\grad\varphi)\cdot\vec F+\varphi\operatorname{div}\vec F$ の両辺を直接計算し，一致することを確かめよ．

ヒント：左辺は $\varphi\vec F=[xy,xz,x^2]$ の発散を直接計算する．右辺は $\grad\varphi=[1,0,0]$ と $\operatorname{div}\vec F$ をそれぞれ求めてから代入する．

→ 解答

演習19.6　回転の積の公式の直接検算

$\varphi=xyz$，$\vec F=[1,\ 1,\ 1]$ として，公式19.4 $\rot(\varphi\vec F)=(\grad\varphi)\times\vec F+\varphi\rot\vec F$ の両辺を直接計算し，一致することを確かめよ．

ヒント：$\vec F$ が定数ベクトル場なので $\rot\vec F=\vec 0$ である．左辺は $\varphi\vec F=[xyz,xyz,xyz]$ の回転を定義19.5に従って直接計算する．右辺は $\grad\varphi=[yz,zx,xy]$ と $\vec F=[1,1,1]$ の外積を第15章の成分公式で計算する．

→ 解答