第36章2階線形非同次微分方程式とオイラーの方程式

36.1 非同次方程式の一般解の構造と定数変化法

まず，定数 $a,b$ を係数とする2階線形非同次微分方程式

を考える．右辺の $R(x)$ を，方程式に加わる「入力」や「外力」と考えるとよい（$R(x)=0$ なら第35章で学んだ同次方程式である）．①に対応する同次方程式を

と書く．第35章の定理で証明したように，①の一般解 $y$ は

の形になる．ここで $Y$ は②の一般解（基本解，basic solution，$y_1,y_2$ を使って $Y=C_1y_1+C_2y_2$）であり，$Y$ の求め方はすでに第35章で学んだ．一方 $y_0$ は①を満たすただ1つの解で構わないもの——これを①の特殊解（particular solution）と呼ぶ．本章の目標は，この $y_0$ を求める具体的な方法を身につけることである．

③が本当に①を満たすように，$C_1(x),C_2(x)$ をどう選べばよいかを調べよう．③の両辺を $x$ で微分すると（積の微分法則を2回使う），

となる．ここで少し工夫をする．$C_1(x),C_2(x)$ という2つの未知関数に対して，まだ条件を1つも課していない（③はあくまで「$y_0$ がこの形をしている」というだけで，$C_1,C_2$ 自体は自由である）．そこで，計算が楽になるように，かっこの前半部分がちょうど $0$ になるという条件

を自分から課してしまう（本当にこの条件で矛盾なく $C_1,C_2$ が求まることは，このあとの計算で確認できる）．すると

となって，$y_0'$ の式に $C_1',C_2'$ が現れずにすむ．⑤をもう一度 $x$ で微分すると，

を得る．$y_0$ は①の解であるという条件から，③，⑤，⑥を①の左辺に代入したものが $R(x)$ に等しくなるはずである．実際に代入すると，

右辺を $C_1,C_2$ でくくり直すと，

となる．下線部が $0$ になるのは，$y_1,y_2$ がどちらも②（同次方程式）の基本解だからである．したがって，①の左辺は $C_1'y_1'+C_2'y_2'$ だけが残り，これが $R(x)$ に等しい：

④と⑦を，$C_1',C_2'$ を未知数とする連立1次方程式とみなし，行列の形に書き直す（第8章・第9章で学んだ行列とベクトルの積の記法を使う）．

この $2\times2$ 行列の行列式は，まさに $y_1,y_2$ のロンスキアン $W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1'$ である．$y_1,y_2$ は②の一次独立な基本解だから，第35章で学んだように $W(y_1,y_2)\neq0$ が常に成り立つ．行列式が $0$ でないので，この行列は正則（逆行列を持つ）であり，$2\times2$ 行列の逆行列の公式（第8章）

を⑧の両辺に左からかけると，

を得る．すなわち，

である（右辺は $x$ の関数だから，あとは両辺を $x$ で積分すれば $C_1(x),C_2(x)$ 自身が求まる）．積分すると，

となる．これを③に代入すれば，特殊解 $y_0$ が具体的に書き下せる．

公式\eqref{eq:36-varparam}を，具体的な方程式で使ってみよう．

36.2 基本解が1つだけ既知の場合の解法（階数低減法）

36.1節の定数変化法は強力だが，同次方程式の基本解が2つとも分かっていることが前提だった．では，基本解が1つしか見つからないときはどうすればよいか．実は，たった1つの基本解からでも，非同次方程式の一般解——つまり特殊解 $y_0$ と もう1つの基本解の両方——を導き出す方法がある．この方法は階数低減法（reduction of order）と呼ばれる．

係数 $P(x),Q(x)$ は定数でも $x$ の関数でもよい（36.1節の注意で見たように，導出は係数が定数であることを使わない）．非同次方程式

に対応する同次方程式を

と書く．この同次方程式の基本解が1つだけ，$y_1(\neq0)$ と分かっているとしよう．

③の両辺を1回，2回微分する（積の微分法則）．

③は①の解であるという前提から，③，④，⑤を①の左辺に代入したものが $R(x)$ に等しい．実際に代入すると，

右辺を，$u,u',u''$ でくくり直す．

下線部が $0$ になるのは，$y_1$ が同次方程式の解だから（$y_1''+P(x)y_1'+Q(x)y_1=0$）である．よって，$u$ の1次の項と2次の項だけが残り，

を得る．両辺を $y_1$（$\neq0$）で割ると，これは $u$ についての方程式になる．

ここで $u'=p(x)$ とおき（$u''=p'$），$A(x)=\dfrac{2y_1'}{y_1}+P(x)$，$B(x)=\dfrac{R(x)}{y_1}$ と略記すると，

という形になる．

実際，解の公式

がそのまま使える．$p(x)$ が求まれば，これをもう一度 $x$ で積分して $u(x)$ を得て，最後に③ $y=u(x)y_1$ に代入すれば，①の一般解が完成する．

36.3 オイラーの微分方程式 — 試行解 $x^\lambda$ の発見

ここまでは係数が定数の方程式（36.1節・36.2節）を中心に扱ってきた．ここからは，係数が $x$ の関数である2階線形微分方程式に話を進める．その中でもっとも基本的で応用が広いのが，次のオイラーの微分方程式である．

36.3.1 なぜ $x^\lambda$ を試すのか — 簡単な場合で調べる

第35章で，定数係数の同次方程式 $y''+ay'+by=0$ に指数関数 $y=e^{\lambda x}$ を代入すると，$\lambda$ についての2次方程式（特性方程式）が現れたことを思い出そう．オイラー方程式でも同じように，まず解の「形」を見つけるところから始める．話を簡単にするため，$b=0$ の場合 $$ x^2\frac{\dd y'}{\dd x}+ax\cdot y'=0 $$ を考える（$y''=\dfrac{\dd y'}{\dd x}$ と見て，$y'$ についての1階の方程式とみなす）．$x\neq0$ で両辺を $x\cdot y'$ で割ると，変数分離形になる．

両辺を積分すると（第33章の変数分離法），

を得る．$C_1=\ln|C_2|$（$C_2\neq0$ の定数）とおいて右辺を1つの対数にまとめると $\ln|y'|=\ln\left|C_2x^{-a}\right|$ となるから，両辺の指数をとって

を得る（$C_2$ は正負を含む任意定数）．これをもう一度 $x$ で積分する．$a\neq1$ のとき，冪関数の積分公式 $\displaystyle\int x^{-a}\dd x=\frac{x^{1-a}}{1-a}$（$-a\neq-1$ より）を使うと，

となる．$C_0=\dfrac{C_2}{1-a}$ と定数をまとめ直せば，

を得る．こうして，$x^{1-a}$（と定数関数 $x^0=1$）が基本解の候補として浮かび上がった．つまり，一般の場合でも基本解の形は $x^\lambda$（$\lambda$ はある定数）だろうという予想が立つ．

36.3.2 一般の場合：$x^\lambda$ を直接代入する

予想に基づいて，一般のオイラー方程式 $x^2y''+axy'+by=0$ に，実際に $y=x^\lambda$（$\lambda$ は定数）を代入してみよう．$y'=\lambda x^{\lambda-1}$，$y''=\lambda(\lambda-1)x^{\lambda-2}$ であるから，

となる（3つの項がすべて $x^\lambda$ でくくれることに注目——これがオイラー方程式に $x^\lambda$ がうまくはまる理由である）．$x^\lambda$ でくくると，

を得る．下線部を特性方程式（characteristic equation）と呼ぶ．$x\neq0$ より $x^\lambda\neq0$ だから，これが $0$ になるためには下線部そのものが $0$ でなければならない．展開して $\lambda$ について整理すると，

という $\lambda$ についての2次方程式が得られる．

36.4 オイラーの微分方程式の解法 — 実数解・重解・複素数解

36.3節で，オイラー方程式 $x^2y''+axy'+by=0$ の特性方程式 $\lambda^2+(a-1)\lambda+b=0$ を導いた．この2次方程式の解の種類（判別式の符号）によって，一般解の形が3通りに分かれる．これは第35章で学んだ定数係数同次方程式の3分類と，全く同じ論理構造をしている——実際，第37章で学ぶ置換 $x=e^t$ を使うと，オイラー方程式は定数係数の方程式にそっくり変換できる．ここでは，その置換を使わずに，オイラー方程式の枠組みの中で直接3つの場合を調べる．

36.4.1 相異なる2つの実数解の場合

特性方程式の解 $\lambda_1,\lambda_2$（$\lambda_1\neq\lambda_2$）が実数のとき，36.3節ですでに見たように基本解は $x^{\lambda_1},x^{\lambda_2}$ である．念のためロンスキアンで一次独立性を確認しておこう．

$\lambda_1\neq\lambda_2$ かつ $x\neq0$ より，$W(x^{\lambda_1},x^{\lambda_2})\neq0$ である．したがって $x^{\lambda_1},x^{\lambda_2}$ は一次独立な基本解であり，一般解は

となる．

36.4.2 重解の場合

特性方程式 $\lambda^2+(a-1)\lambda+b=0$ が重解 $\lambda_0$ を持つのは，判別式が $0$，すなわち $(a-1)^2-4b=0$ のときである．

このとき基本解の1つは $x^{\lambda_0}$ だが，2階微分方程式には基本解が2つ必要である（第35章：解空間は2次元）．そこで，もう1つの基本解を $y=u(x)\cdot x^{\lambda_0}$（36.2節の階数低減法と同じ発想）とおいて探す．

これらを $x^2y''+axy'+by$ に代入すると，

を得る．波かっこの中身が $0$ になるのは，$\lambda_0$ が特性方程式の解だからである．よって，これが $0$（同次方程式）に等しいという条件は

となる．ここで，$\lambda_0=-\dfrac{a-1}{2}$ すなわち $2\lambda_0=-(a-1)=1-a$ であることから，

という便利な関係が成り立つ（重解のときにいつでも成り立つ恒等式である）．$x^{\lambda_0+1}\neq0$（$x\neq0$）なので，波かっこの中身が $0$ でなければならず，

という $u$ についての方程式が残る．$v=u'$ とおくと $xv'+v=0$，すなわち変数分離形

になる．積分すると（$x\gt0$ として絶対値は不要），

を得る．よって $u=\displaystyle\int v\,\dd x=-C_1\ln x+C_2$（符号の付け方は任意定数の取り方次第なので，以下では $C_1\to-C_1$ と書き直して $u=C_1\ln x+C_2$ としてもよい）．基本解として使いたいのは $u(x)$ そのものだから，$C_1=1,C_2=0$ を選んで $u(x)=\ln x$ とすれば，もう1つの基本解

が得られる．ロンスキアンを確認すると，

となり，一次独立であることが確認できる．

36.4.3 複素数解の場合

特性方程式が複素数解 $\lambda_1=\alpha+i\beta,\ \lambda_2=\alpha-i\beta$（$\alpha,\beta\in\R$，$\beta\neq0$，$i$ は虚数単位）を持つ場合を考える．このときも形式的には基本解は $x^{\alpha+i\beta},x^{\alpha-i\beta}$ であり，一般解は

と書けるが，$x^{i\beta}$ という「実数の複素数乗」は，まだ意味を説明していない．

オイラーの公式を使うと，

（$e^{-i\beta\ln x}=\cos(\beta\ln x)-i\sin(\beta\ln x)$ は，オイラーの公式で $\theta\to-\theta$ とし，$\cos$ が偶関数，$\sin$ が奇関数であることを使った）．$\cos(\beta\ln x)$ と $\sin(\beta\ln x)$ の項をそれぞれまとめると，

となる．新たに $C_1=C_1'+C_2',\ C_2=i(C_1'-C_2')$（$C_1',C_2'$ を複素数の範囲で適切に選べば，$C_1,C_2$ は実数の任意定数になる）とおくと，

という，虚数単位 $i$ を含まない実数値の一般解が得られる．ロンスキアンを確認すると，

となる．

36.5 一般の2階線形微分方程式 — 基本解が求まる条件

オイラー方程式は，係数が $x$ の関数であっても解ける特別な例だった．ここでは視野をさらに広げ，係数が任意の関数 $P(x),Q(x)$ である，もっとも一般的な2階線形微分方程式

を考える．係数が定数でなくても，基本解 $y_1,y_2$（同次方程式の解）と特殊解 $y_0$ が分かってさえいれば，一般解が

の形になることは，36.1節・36.2節の議論と全く同じである．また，特殊解 $y_0$ を求める公式36.1（定数変化法）も，36.1節の注意で確認したとおり，係数が定数でなくてもそのまま使える：

問題は，2つの基本解 $y_1,y_2$ そのものをどう見つけるかである．一般の $P(x),Q(x)$ に対しては，基本解を求める万能の方法は存在しない．しかし，$P(x),Q(x)$ がある特別な条件を満たすときに限り，$x^\lambda$ や $e^{\lambda x}$ という形の基本解を，代入するだけで直接見つけられる場合がある．

36.5.1 条件(I)：$x^\lambda$ が基本解になる場合

$y=x^\lambda$（$\lambda$ は定数）を，一般の方程式の左辺 $\dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}+P(x)\dfrac{\dd y}{\dd x}+Q(x)y$ に代入してみよう．$y'=\lambda x^{\lambda-1}$，$y''=\lambda(\lambda-1)x^{\lambda-2}$ より，

となる．右辺を $x^{\lambda-2}$（$\neq0$）でくくり出すと，

を得る．したがって，もし定数 $\lambda$ をうまく選んで

とできれば，波かっこの中身が $0$ になり，$y=x^\lambda$ がこの方程式の基本解の1つになることが分かる．

36.5.2 条件(II)：$e^{\lambda x}$ が基本解になる場合

同様に，$y=e^{\lambda x}$ を代入すると，$y'=\lambda e^{\lambda x}$，$y''=\lambda^2e^{\lambda x}$ より，

となる．よって，定数 $\lambda$ をうまく選んで

とできれば，$y=e^{\lambda x}$ が基本解の1つになる．

36.6 標準形への変換

36.5節の条件(I)(II)が使えるのは，$P(x),Q(x)$ がかなり特別な形をしているときに限られる．一般の $P(x),Q(x)$ に対しては，基本解を直接見つけることは望めない．しかし，方程式そのものを見やすい形に変形することならいつでもできる．ここでは，1階微分の項 $y'$ を消し去る変換を学ぶ．

$y=uv$ の両辺を1回，2回微分すると（積の微分法則），

となる．これらを①に代入すると，

を得る．これを，$u$ の階数（$u,u',u''$）でくくり直すと，

となる．ここで，$v(x)$ をまだ何も決めていないことを思い出そう．$u'$ の係数 $2v'+P(x)v$ を，自分から

となるように選んでしまえば，②から $u'$ の項が消え，$u''$ の項と $u$ の項だけが残る——これが「標準形（正規形）」を作る仕掛けである．この条件は変数分離形の1階方程式だから（第33章），

（$v$ は「たった1つ見つかればよい」関数なので，積分定数は不要，$C=0$ としてよい）．こうして選んだ $v$ に対して，$v'=-\dfrac12P(x)v$ であり，これをもう一度微分すると $v''=-\dfrac12\big(P'(x)v+P(x)v'\big)$ となる．これらを②の $u$ の係数 $v''+P(x)v'+Q(x)v$ に代入すると，

ここでさらに $v'=-\dfrac12Pv$ を代入すると，$\dfrac12Pv'=\dfrac12P\cdot\left(-\dfrac12Pv\right)=-\dfrac14P^2v$ となるから，

を得る．したがって②は

となり，$v(\neq0)$ で両辺を割ると，

を得る．$I(x)=Q(x)-\dfrac12P'(x)-\dfrac14P^2(x)$，$J(x)=\dfrac{R(x)}{v(x)}$ とおくと，これは

という，1階微分の項を持たない形になる．

36.7 相空間と単振動型微分方程式

本章の最後に，物理でもっともよく現れる微分方程式——単振動（simple harmonic motion）の方程式——を，これまでとは違う幾何学的な視点から眺め直す．質量 $m$ のおもりが，ばね定数 $k$ のばねにつながれて運動するとき，おもりの位置 $x(t)$（$t$ は時刻）は，ニュートンの運動方程式（$F=ma$，フックの法則 $F=-kx$）から

を満たす．以下では，物理でよく使う記法として，時間 $t$ についての1階微分を $\dot x=\dfrac{\dd x}{\dd t}$，2階微分を $\ddot x=\dfrac{\dd^2x}{\dd t^2}$ と，$x$ の上にドットを付けて書く（ニュートンの記法，Newton's notation）．これまでの $y',y''$ と中身は全く同じで，独立変数が $t$ であることを強調するときに好んで使われる書き方である．この記法を使うと，上の運動方程式は $m\ddot x+kx=0$ という，第35章の定数係数同次方程式そのものであり，特性方程式 $m\lambda^2+k=0$ から $\lambda=\pm i\sqrt{k/m}$ となって三角関数の解が出ることは，すでに知っている解き方でも確認できる．ここでは，あえて特性方程式を使わず，エネルギー保存の考え方から直接解いてみよう．

36.7.1 エネルギー積分

方程式の両辺に $v\Big(=\dfrac{\dd x}{\dd t}\Big)$ をかけて，$t$ で積分する（この操作をエネルギー積分と呼ぶ）．

左辺は $\dfrac{\dd}{\dd t}\left(\dfrac12mv^2\right)=mv\dfrac{\dd v}{\dd t}$ の関係から $\dfrac12mv^2$ の積分に，右辺も同様に $\dfrac12kx^2$ の積分になるので，

を得る．左辺の第1項は運動エネルギー，第2項はばねの位置エネルギーであり，この式はまさに力学的エネルギー保存則である．初期条件を $x(0)=A$（最初にばねを $A$ だけ引っ張って離す），$\dot x(0)=0$（初速度 $0$）とすると，$t=0$ で $C=\frac12m\cdot0^2+\frac12kA^2=\frac12kA^2$ となるから，

である．両辺を $\frac12k$ で割ると，

を得る．ここで $\omega=\sqrt{k/m}$（角振動数，angular frequency）とおくと $\dfrac{m}{k}=\dfrac1{\omega^2}$ であるから，$\sqrt{m/k}\,\dot x=\dfrac{\dot x}{\omega}$ という量を新たに $V$ と名づけると，

という，見慣れた円の方程式が現れる．

36.7.2 相空間上の円と角度 $\theta$

式Ⓐは，横軸を $x$，縦軸を $V$ とする平面（この $(x,V)$ 平面を相空間，phase spaceと呼ぶ）の上で，原点を中心とする半径 $A$ の円を表している．円周上の点は，角度 $\theta$（$x$ 軸から測った角度）を使って

とパラメータ表示できる（$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より，これは確かに式Ⓐを満たす）．

①，②から，$\dot x$ を2通りの方法で計算する．まず①を $t$ で直接微分すると（$\theta$ も $t$ の関数であることに注意，合成関数の微分），

を得る．一方，$V=\dot x/\omega$（Ⓐの定義）と②を組み合わせると，

を得る．同じ $\dot x$ を2通りに書いたのだから，両者は等しい：

（$\sin\theta\neq0$ である限り，両辺を $A\sin\theta$ で割ってよい．$\sin\theta=0$ となる瞬間はとびとびの点なので，連続性から次の結論はすべての $t$ で成り立つ．）

これは $\theta$ についての，非常に単純な1階微分方程式である．積分すると，

を得る．これを①に代入すれば，$x(t)$ が求まる．

（$\cos$ が偶関数であること，$\cos(-\phi)=\cos\phi$ を使った．）

関連シミュレーター：減衰振動と強制振動（本節の単振動は減衰・外力のない特別な場合にあたる．外力の角振動数を固有振動数に近づけると，演習36.1で見る共鳴が起こる様子を数値的に確認できる）．

36.8 まとめと演習

36.8.1 まとめ

• 2階線形非同次方程式 $y''+ay'+by=R(x)$ の一般解は，$y=y_0+Y$（$Y$：対応する同次方程式の一般解，$y_0$：①を満たすどれか1つの特殊解）の形になる．
• 定数変化法（36.1節）：同次方程式の基本解 $y_1,y_2$ が両方とも既知のとき，$y_0=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$ とおき，条件 $C_1'y_1+C_2'y_2=0$ を自分から課すことで，$C_1',C_2'$ を求める $2\times2$ の連立1次方程式（行列とその逆行列）に帰着させる（公式36.1）．この公式は係数が $x$ の関数でも成り立つ一般的な公式である．
• 階数低減法（36.2節）：基本解が $y_1$ だけ既知でも，$y=u(x)y_1$ とおけば，$u$ についての1階線形微分方程式に帰着し，非同次方程式の一般解（特殊解 と もう1つの基本解の両方）が芋づる式に求まる（定理36.1）．
• オイラーの微分方程式 $x^2y''+axy'+by=0$（36.3節・36.4節）：試行解 $x^\lambda$ を代入すると特性方程式 $\lambda^2+(a-1)\lambda+b=0$ が現れる（公式36.2）．解の種類によって一般解が3通りに分かれる：相異なる実数解 $y=C_1x^{\lambda_1}+C_2x^{\lambda_2}$，重解 $y=C_1x^{\lambda_0}+C_2x^{\lambda_0}\ln x$（定理36.2），複素数解 $y=C_1x^\alpha\cos(\beta\ln x)+C_2x^\alpha\sin(\beta\ln x)$（定理36.3）．
• 一般の変数係数方程式 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ でも，条件(I) $\lambda(\lambda-1)+\lambda xP(x)+x^2Q(x)=0$ を満たせば $x^\lambda$ が，条件(II) $\lambda^2+\lambda P(x)+Q(x)=0$ を満たせば $e^{\lambda x}$ が，それぞれ基本解の1つとして直接求まる（定理36.4，36.5節）．
• 標準形（正規形）への変換（36.6節）：$y=u(x)v(x)$，$v(x)=e^{-\frac12\int P(x)\dd x}$ とおくと，1階微分の項が消えた標準形 $u''+I(x)u=J(x)$（$I=Q-\frac12P'-\frac14P^2$）が得られる（定理36.5）．
• 相空間（36.7節）：単振動型微分方程式 $m\ddot x+kx=0$ は，$(x,V)$ 平面（$V=\dot x/\omega$）上の円 $x^2+V^2=A^2$ の一様な回転運動として幾何学的に解け，解は $x(t)=A\cos(\omega t-\theta_0)$ となる（定理36.6）．「振動」と「回転」は同じ現象の2つの見え方である．

36.8.2 演習問題

36.8.3 参考文献