第7章単振動・減衰振動・強制振動

導出：特性方程式を使って式 \eqref{eq:7-shm-eom} を解く

式 \eqref{eq:7-shm-eom} は線形同次微分方程式なので，AD 02 第35章35.4で学んだとおり，指数関数 $x(t)=e^{\lambda t}$（$\lambda$ は未知の定数，実数とは限らない）の形の解を仮定して代入してみる．$\dot x=\lambda e^{\lambda t}$，$\ddot x=\lambda^2 e^{\lambda t}$ だから，

$$ m\lambda^2 e^{\lambda t}+k e^{\lambda t}=e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+k\right)=0 $$

である．指数関数は $e^{\lambda t}\neq0$（どんな $t,\lambda$ に対しても0にならない）ので，この式が恒等的に成り立つためには括弧の中身が0でなければならない：

\begin{equation} m\lambda^2+k=0 \label{eq:7-char-shm} \end{equation}

これが式 \eqref{eq:7-shm-eom} の特性方程式（characteristic equation）である．これを $\lambda$ について解くと，

$$ \lambda^2=-\frac{k}{m} \qquad\therefore\ \lambda=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}=\pm i\omega, \qquad \omega\equiv\sqrt{\frac{k}{m}} $$

$k\gt 0,\ m\gt 0$ なので $-k/m\lt 0$ となり，$\lambda$ は実数ではなく純虚数になる（$i$ は虚数単位，$i^2=-1$）．物理的には，これは「ずっと減衰せずに振動し続ける」ことに対応している（7.3節で見るように，$\lambda$ の実部が負であれば振幅は減衰し，実部が0なら減衰も増幅もしない）．$\lambda=\pm i\omega$ という2つの特性根が得られたので，AD 02 第35章35.4の結果（基本解 $y_1=e^{\lambda_1 t},\ y_2=e^{\lambda_2 t}$ の線形結合が一般解）より，一般解は

$$ x(t)=C_1'e^{i\omega t}+C_2'e^{-i\omega t} $$

と書ける（$C_1',C_2'$ は複素数でもよい任意定数）．ここでオイラーの公式（Euler's formula，大学数学 第21章 21.4）$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ を使って，$e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t$，$e^{-i\omega t}=\cos\omega t-i\sin\omega t$ を代入すると，

$$ x(t)=C_1'(\cos\omega t+i\sin\omega t)+C_2'(\cos\omega t-i\sin\omega t) =(C_1'+C_2')\cos\omega t+i(C_1'-C_2')\sin\omega t $$

ここで $x(t)$ は実際のおもりの位置だから実数でなければならない．そこで，新しい実数の定数として

$$ C_1\equiv C_1'+C_2',\qquad C_2\equiv i(C_1'-C_2') $$

とおき直す（$C_1',C_2'$ が互いに複素共役であれば $C_1,C_2$ は実数になる．一般解の任意定数を実数の $C_1,C_2$ に取り直しても，表せる解の集合は変わらない）．すると，一般解は次の実数だけを使った形に書き直せる：

\begin{equation} x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t \label{eq:7-shm-general} \end{equation}

（導出終わり）

導出：単振動のエネルギー保存則

運動方程式 $m\ddot x=-kx$（式 \eqref{eq:7-shm-eom}）の両辺に $\dot x$ を掛ける：

$$ m\ddot x\cdot\dot x=-kx\cdot\dot x $$

ここで，$\ddot x=\dfrac{\dd\dot x}{\dd t}$，$\dot x=\dfrac{\dd x}{\dd t}$ であることを使うと，左辺は $\dfrac{\dd\dot x}{\dd t}\cdot\dot x$，右辺は $x\cdot\dfrac{\dd x}{\dd t}$ の形をしている．両辺を時刻 $t$ で積分する：

$$ \int m\,\frac{\dd\dot x}{\dd t}\cdot\dot x\,\dd t=-\int kx\cdot\frac{\dd x}{\dd t}\,\dd t $$

左辺は $\dfrac{\dd}{\dd t}\!\left(\dfrac12\dot x^2\right)=\dot x\cdot\dfrac{\dd\dot x}{\dd t}$（合成関数の微分／$\dfrac{\dd}{\dd t}\dot x^2=2\dot x\ddot x$ の逆）であることから $m\displaystyle\int\dfrac{\dd}{\dd t}\!\left(\dfrac12\dot x^2\right)\dd t=\dfrac12m\dot x^2$ に，右辺も同様に $-k\displaystyle\int\dfrac{\dd}{\dd t}\!\left(\dfrac12x^2\right)\dd t=-\dfrac12kx^2$ になる（積分定数はまとめて右辺に $C$ として置く）：

$$ \frac12m\dot x^2=-\frac12kx^2+C $$

すなわち，

\begin{equation} \frac12m\dot x^2+\frac12kx^2=C\quad(\text{一定}) \label{eq:7-energy-shm} \end{equation}

左辺の第1項 $\frac12m\dot x^2$ はおもりの運動エネルギー，第2項 $\frac12kx^2$ はばねに蓄えられた弾性エネルギー（高校物理での公式 $\frac12kx^2$ そのもの）である．右辺の $C$ は時刻 $t$ によらない定数だから，運動エネルギーと弾性エネルギーの和（力学的エネルギー）は，運動の間じゅう一定に保たれる．

（導出終わり）

導出：単振り子の運動方程式と周期

おもりは長さ $l$ の円弧上を動くので，弧の長さは $s=l\theta$（$\theta$ はラジアン），弧に沿った速さは $\dot s=l\dot\theta$，接線方向の加速度は $\ddot s=l\ddot\theta$ である（第3章 3.4節の接線・法線加速度の考え方）．接線方向（運動方向）にはたらく力は，重力の接線成分だけである．図7.3のように $\theta$ を振れの向きに正にとると，おもりが正の向き（$\theta\gt 0$）にあるとき，重力の接線成分 $mg\sin\theta$ は $\theta$ を減らす向き（原点へ戻す向き）にはたらくので，接線方向の運動方程式は

$$ m\,l\ddot\theta=-mg\sin\theta \qquad\therefore\ \ddot\theta=-\frac{g}{l}\sin\theta $$

である（糸の張力は常に糸の方向＝法線方向を向くので，接線方向の運動方程式には現れない）．この式には $\sin\theta$ という非線形な項が含まれるため，このままでは（ばね振り子のときのような）指数関数を仮定する解法が使えない．そこで，振れ角 $\theta$ が十分小さい場合を考える．$\theta$ をラジアンで測ったとき，$\theta$ が小さいほど $\sin\theta$ は $\theta$ に近づく（大学数学 第4章 テイラー展開・マクローリン展開で $\sin\theta=\theta-\theta^3/3!+\cdots$ となることから，$\theta^3$ 以降の項を無視すればよい）．これを小振幅近似（小角近似）$\sin\theta\approx\theta$ という．この近似のもとで運動方程式は

\begin{equation} \ddot\theta+\frac{g}{l}\theta=0 \label{eq:7-pendulum-eom} \end{equation}

となり，これはばね振り子の式 \eqref{eq:7-shm-eom}（$m\ddot x+kx=0$，すなわち $\ddot x+(k/m)x=0$）とまったく同じ形をしている——未知関数が $x$ から $\theta$ に，$k/m$ が $g/l$ に置き換わっただけである．したがって，7.1節の結果がそのまま使え，一般解は

$$ \theta(t)=C_1\cos\omega_0 t+C_2\sin\omega_0 t,\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}} $$

となる．よって，単振り子の（小振幅近似での）周期は

\begin{equation} T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \label{eq:7-pendulum-T0} \end{equation}

である．これが，高校物理で公式として学んだ単振り子の周期の式である．周期が質量 $m$ によらないこと，振幅（の小さいうちは）によらないことも，この式から読み取れる．

（導出終わり）

導出：特性方程式と3つの場合分け

式 \eqref{eq:7-damped-eom} も線形同次微分方程式なので，7.1節と同じく $x(t)=e^{\lambda t}$ を仮定して代入すると，$e^{\lambda t}(m\lambda^2+n\lambda+k)=0$ となり，$e^{\lambda t}\neq0$ より特性方程式

\begin{equation} m\lambda^2+n\lambda+k=0 \qquad\cdots\ \text{Ⓐ} \label{eq:7-char-damped} \end{equation}

が得られる．これは $\lambda$ についての2次方程式なので，解の公式より

$$ \lambda=\frac{-n\pm\sqrt{n^2-4mk}}{2m} $$

となる．判別式 $D=n^2-4mk$ の符号によって，根の様子が3通りに分かれる（AD 02 第35章35.5の場合分けと同じ構造である）．$m,n,k$ はすべて正の数なので，実根が現れる場合はその実根は必ず負になる（$\sqrt{n^2-4mk}\lt n$ なので分子 $-n\pm\sqrt{n^2-4mk}\lt 0$）——つまり，抵抗があるかぎり振幅は時間とともに必ず0へ近づき，勝手に増幅することはない．

(i) $D=n^2-4mk\lt 0$（相異なる2つの虚数解）　根は互いに共役な複素数 $\lambda_1=\alpha+i\omega_d,\ \lambda_2=\alpha-i\omega_d$ になる．ここで

$$ \alpha=-\frac{n}{2m}\ (\lt 0),\qquad \omega_d=\frac{\sqrt{4mk-n^2}}{2m}=\sqrt{\frac{k}{m}-\left(\frac{n}{2m}\right)^2}=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} $$

とおく（$\omega_0=\sqrt{k/m}$ は7.1節で定義した，抵抗が無いときの角振動数）．7.1節の導出とまったく同じ手順（オイラーの公式で実数形に直す）を，$e^{\lambda_{1,2}t}=e^{\alpha t}e^{\pm i\omega_d t}$ に対して行うと，一般解は

\begin{equation} x(t)=e^{\alpha t}(C_1\cos\omega_d t+C_2\sin\omega_d t) \label{eq:7-damped-case1} \end{equation}

となる．$\cos,\sin$ の部分は角振動数 $\omega_d$ で単振動しつづけるが，全体に係数 $e^{\alpha t}$（$\alpha\lt 0$ なので時間とともに0へ近づく減衰因子）がかかっているので，振幅が指数関数的に小さくなりながら振動する．これを減衰振動（damped oscillation）という．

(ii) $D=n^2-4mk\gt 0$（相異なる2つの実数解）　根 $\lambda_1,\lambda_2$（ともに負の実数）を用いて，一般解は7.1節の議論を実数の特性根の場合にそのまま当てはめて，

\begin{equation} x(t)=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t} \label{eq:7-damped-case2} \end{equation}

となる（$e^{\lambda_1t},e^{\lambda_2t}$ がそれぞれ式 \eqref{eq:7-damped-eom} を満たすことは代入すれば直接確かめられ，かつ $\lambda_1\neq\lambda_2$ なのでこの2つは一次独立——大学数学第35章35.2のロンスキアンで確認できる——であり，基本解の組をなす）．$\lambda_1,\lambda_2$ がともに負なので，$x(t)$ は振動せずに0へ単調に近づく．抵抗が強すぎて，1回も揺れ戻ることなくじわじわと元の位置へ戻るこの場合を過減衰（overdamped）という．

(iii) $D=n^2-4mk=0$（重解）　根が $\lambda_0=-n/(2m)$ という1つの値に重なる場合，AD 02 第35章で学んだとおり，$e^{\lambda_0t}$ だけでは基本解が1つしか作れないので，もう一方の基本解として $t\,e^{\lambda_0t}$ を使う（$t\,e^{\lambda_0t}$ が式 \eqref{eq:7-damped-eom} を満たすことは，実際に微分して代入し，重解条件 $n^2=4mk$ を使うと確かめられる）．一般解は

\begin{equation} x(t)=C_1e^{\lambda_0t}+C_2t\,e^{\lambda_0t}=(C_1+C_2t)\,e^{\lambda_0t} \label{eq:7-damped-case3} \end{equation}

となる．これは，過減衰と減衰振動のちょうど境目にあたる場合で，臨界減衰（critically damped）という．

（導出終わり）

導出：強制振動の定常解

まず，右辺を複素数に「格上げ」した方程式

$$ m\ddot z+n\dot z+kz=f_0e^{i\omega t} $$

を考える（$z(t)$ は複素数値の未知関数）．この方程式の実部だけを取り出すと，$\mathrm{Re}[m\ddot z+n\dot z+kz]=m\ddot{(\mathrm{Re}\,z)}+n\dot{(\mathrm{Re}\,z)}+k(\mathrm{Re}\,z)$（実部をとる操作と微分・線形結合の操作は入れ替えてよいので）となり，右辺の実部は $\mathrm{Re}[f_0e^{i\omega t}]=f_0\cos\omega t$ である．つまり，$z(t)$ がこの複素方程式の解であれば，$x_0(t)=\mathrm{Re}[z(t)]$ が欲しかった式 \eqref{eq:7-forced-eom} の特殊解になる．これが，複素数を経由してよい理由である．

$\Phi(D)=mD^2+nD+k$ とおくと，複素方程式は $\Phi(D)z=f_0e^{i\omega t}$ であり，数学の道具の公式より（$\alpha=i\omega$ の場合），$\Phi(i\omega)\neq0$ である限り

$$ z(t)=\frac{f_0e^{i\omega t}}{\Phi(i\omega)},\qquad \Phi(i\omega)=m(i\omega)^2+n(i\omega)+k=-m\omega^2+in\omega+k=(k-m\omega^2)+in\omega $$

（$i^2=-1$ を使った）．分母が複素数のままでは実部が取り出しにくいので，分母を実数化する．分母の複素共役 $(k-m\omega^2)-in\omega$ を分子・分母の両方に掛けると，

$$ z(t)=\frac{f_0e^{i\omega t}\left[(k-m\omega^2)-in\omega\right]}{\left[(k-m\omega^2)+in\omega\right]\left[(k-m\omega^2)-in\omega\right]} =\frac{f_0e^{i\omega t}\left[(k-m\omega^2)-in\omega\right]}{(k-m\omega^2)^2+(n\omega)^2} $$

（分母は $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ の形になり，実数になった）．さらに $e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t$ を代入して展開すると，

$$ e^{i\omega t}\left[(k-m\omega^2)-in\omega\right] =(k-m\omega^2)\cos\omega t+n\omega\sin\omega t +i\left[(k-m\omega^2)\sin\omega t-n\omega\cos\omega t\right] $$

（実部どうし・虚部どうしを集めた．$i\times i=-1$ に注意）．したがって，実部だけを取り出すと，

\begin{equation} x_0(t)=\mathrm{Re}[z(t)]=\frac{(k-m\omega^2)\cos\omega t+n\omega\sin\omega t}{(k-m\omega^2)^2+(n\omega)^2}\,f_0 \label{eq:7-forced-x0-rect} \end{equation}

が求める特殊解である．（この式は，符号を書き換えれば，よく使われるもう一つの表記 $x_0=-\dfrac{f_0}{(m\omega^2-k)^2+(n\omega)^2}\left\{(m\omega^2-k)\cos\omega t-n\omega\sin\omega t\right\}$ と完全に一致する——$m\omega^2-k=-(k-m\omega^2)$ なので，$-(m\omega^2-k)=k-m\omega^2$，$-\{-n\omega\sin\omega t\}=n\omega\sin\omega t$ となり，分母も $(m\omega^2-k)^2=(k-m\omega^2)^2$ で同じだからである．）

（導出終わり）