第17章半導体

導出：光子の波数は Brillouin 域の大きさの1000分の1

エネルギー $\hbar\omega$ の光子の波数は $q = \omega/c$ である．両辺に $\hbar$ を掛けると $\hbar q = \hbar\omega/c$，すなわち

$$ q = \frac{\hbar\omega}{\hbar c} $$

ここで $\hbar c = 197.3\ \mathrm{eV\cdot nm}$（これも覚えておく数である．$hc = 1240$ を $2\pi$ で割れば $197.3$）．$\hbar\omega = 1.0\,\mathrm{eV}$ の光子について

$$ q = \frac{1.0\ \mathrm{eV}}{197.3\ \mathrm{eV\cdot nm}} = 5.07\times10^{-3}\ \mathrm{nm^{-1}} $$

一方，Si の格子定数は $a = 0.543\,\mathrm{nm}$ だから，Brillouin 域の代表的な大きさは

$$ \frac{\pi}{a} = \frac{3.1416}{0.543\ \mathrm{nm}} = 5.79\ \mathrm{nm^{-1}} $$

比を取ると

∎ この式が言っているのは，可視・近赤外の光子は，Brillouin 域の1000分の1しか $\kk$ を動かせないということである．バンド図の上では，光による遷移は実質的にまっすぐ上向きの矢印である．これを垂直遷移（vertical transition）または直接遷移（direct transition）という．

導出：$\alpha \propto (\hbar\omega - E_g)^{1/2}$

伝導帯の底と価電子帯の頂上が同じ $\kk$（ふつうは $\Gamma$ 点）にあり，その近傍で放物線的だとする．エネルギーの原点を価電子帯の頂上に取ると

$$ \epsilon_c(\kk) = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2m_e^*}, \qquad \epsilon_v(\kk) = -\frac{\hbar^2k^2}{2m_h^*} $$

（価電子帯は上に凸なので $\epsilon_v$ は $k$ が増えると下がる．）光子は $\kk$ を変えないので，同じ $\kk$ の上下の状態間の遷移だけが許される．そのエネルギー差は，両者を引き算して

$$ \hbar\omega = \epsilon_c(\kk)-\epsilon_v(\kk) = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2m_e^*}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_h^*} = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2\mu} $$

ここで換算質量（reduced mass）$\mu$ を

$$ \frac{1}{\mu} \equiv \frac{1}{m_e^*}+\frac{1}{m_h^*} $$

で定義した．2体問題の換算質量とまったく同じ形である．

さて，吸収の強さは「エネルギー差がちょうど $\hbar\omega$ になるような $\kk$ の状態が何個あるか」で決まる．これを結合状態密度（joint density of states）$J(\hbar\omega)$ という．定義は，単位体積・単位エネルギー幅あたりの遷移可能な $\kk$ の数である．

ステップ1：$\kk$ 空間の状態数．第14章と同じく，周期境界条件のもとで $\kk$ 空間の体積 $\dd^3k$ に含まれる状態数は，単位体積あたり $\dfrac{2}{(2\pi)^3}\dd^3k$（因子2はスピン）．球殻を取れば $\dd^3k = 4\pi k^2\dd k$ なので

$$ \dd N = \frac{2}{(2\pi)^3}\,4\pi k^2\,\dd k = \frac{k^2}{\pi^2}\,\dd k $$

ステップ2：$\dd k$ を $\dd(\hbar\omega)$ に換える．$\hbar\omega = E_g + \hbar^2k^2/2\mu$ を $k$ で微分すると

$$ \frac{\dd(\hbar\omega)}{\dd k} = \frac{\hbar^2 k}{\mu} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\dd k}{\dd(\hbar\omega)} = \frac{\mu}{\hbar^2k} $$

これが変数変換のヤコビアンである．したがって

$$ J(\hbar\omega) = \frac{\dd N}{\dd(\hbar\omega)} = \frac{k^2}{\pi^2}\cdot\frac{\mu}{\hbar^2 k} = \frac{\mu\,k}{\pi^2\hbar^2} $$

ステップ3：$k$ を $\hbar\omega$ で書く．$\hbar\omega - E_g = \hbar^2k^2/2\mu$ を $k$ について解くと

$$ k = \frac{\sqrt{2\mu(\hbar\omega-E_g)}}{\hbar} $$

これを代入して

（$\mu\sqrt{2\mu} = 2^{1/2}\mu^{3/2} = (2\mu)^{3/2}/2$ を使った．）

ステップ4：吸収係数へ．Fermi の黄金律により，単位時間あたりの遷移確率は $\dfrac{2\pi}{\hbar}\abs{M}^2 J(\hbar\omega)$ である．吸収係数 $\alpha$ は「単位長さあたりに失われる光強度の割合」であり，遷移率を入射光子束で割ったものだから，行列要素 $M$ が吸収端近傍でほぼ一定なら

∎ $\hbar\omega < E_g$ では $J=0$，すなわち $\alpha = 0$ である（実際には裾を引くが，それは後述の励起子や不純物準位のせい）．

導出：間接遷移の保存則とフォノンの役割

電子が価電子帯の $\kk_v \simeq 0$ から伝導帯の $\kk_c = \kk_0$ へ移るには，$\kk_0$ という大きな波数をどこかから調達しなければならない．それを担うのがフォノンである．フォノンを1個吸収する場合と放出する場合がある．

運動量（結晶運動量）保存：

$$ \kk_v + \qq_{\text{光子}} \pm \qq_{\text{フォノン}} = \kk_c + \GG $$

$\qq_{\text{光子}}\simeq0$ なので，$\qq_{\text{フォノン}} = \pm(\kk_c-\kk_v) = \pm\kk_0$．上の複号は $+$ がフォノン吸収，$-$ がフォノン放出である．$\GG$ は逆格子ベクトルで，Umklapp 過程の可能性を残してある（第11章・第14章）．

エネルギー保存：フォノンのエネルギーを $\hbar\Omega$ とすると

$$ \hbar\omega \pm \hbar\Omega = \epsilon_c(\kk_c) - \epsilon_v(\kk_v) $$

したがって遷移が起こりうる最小の光子エネルギー（吸収端）は，$\epsilon_c-\epsilon_v$ の最小値 $E_g$ を使って

∎ すなわち吸収端が2つ現れる．$E_g-\hbar\Omega$ の弱い立ち上がりと，$E_g+\hbar\Omega$ からの強い立ち上がりである．

導出：間接遷移では $\alpha \propto (\hbar\omega\pm\hbar\Omega-E_g)^2$ になる

直接遷移では，光子エネルギーを決めると遷移する $\kk$ が1つに決まった（$\kk$ 保存が厳しく効くから）．間接遷移ではそうではない．フォノンが好きな波数を持ってこられるので，価電子帯の任意の状態と伝導帯の任意の状態を組み合わせてよい．制約はエネルギー保存だけである．

そこで，価電子帯側で正孔が持つエネルギーを $\epsilon_h$，伝導帯側で電子が持つエネルギーを $\epsilon_e$（それぞれの帯の端から測る）とし，全余剰エネルギーを

$$ \Delta \equiv \hbar\omega \pm \hbar\Omega - E_g = \epsilon_e + \epsilon_h $$

と置く．遷移の総数は，$\epsilon_e$ を持つ伝導帯状態の数 $D_c(\epsilon_e)$ と，$\epsilon_h = \Delta-\epsilon_e$ を持つ価電子帯状態の数 $D_v(\Delta-\epsilon_e)$ の積を，可能な $\epsilon_e$ すべてについて足し上げたものである：

$$ J_{\text{間接}}(\Delta) \propto \int_0^{\Delta} D_c(\epsilon_e)\,D_v(\Delta-\epsilon_e)\,\dd\epsilon_e $$

3次元の放物線帯では $D(\epsilon)\propto\sqrt\epsilon$ なので

$$ J_{\text{間接}}(\Delta) \propto \int_0^\Delta \sqrt{\epsilon}\,\sqrt{\Delta-\epsilon}\;\dd\epsilon $$

この積分を実行する．$\epsilon = \Delta\sin^2\theta$ と置換すると，$\dd\epsilon = 2\Delta\sin\theta\cos\theta\,\dd\theta$，$\Delta-\epsilon = \Delta\cos^2\theta$，積分範囲は $\theta: 0\to\pi/2$．したがって

$$ \int_0^\Delta\sqrt{\epsilon(\Delta-\epsilon)}\,\dd\epsilon = \int_0^{\pi/2}\bigl(\Delta\sin\theta\cos\theta\bigr)\bigl(2\Delta\sin\theta\cos\theta\bigr)\dd\theta = 2\Delta^2\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,\dd\theta $$

ここで $\sin\theta\cos\theta = \frac12\sin2\theta$ を使うと $\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac14\sin^22\theta$ であり，$\int_0^{\pi/2}\sin^22\theta\,\dd\theta = \pi/4$ だから

$$ = 2\Delta^2\cdot\frac14\cdot\frac\pi4 = \frac{\pi}{8}\Delta^2 $$

すなわち

∎ 直接遷移の $1/2$ 乗に対して2乗．指数が4倍も違うので，吸収端付近での立ち上がりは間接遷移のほうがはるかに緩やかである．

導出：波束の速度は $\vv_g = \hbar^{-1}\nabla_\kk\epsilon$

波束の中心が動く速さは，波の一般論により群速度（group velocity）で与えられる．1次元で書けば

$$ v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k} $$

である（第13章でフォノンについて同じ式を使った）．電子の場合，$\omega$ と $\epsilon$ は de Broglie の関係 $\epsilon = \hbar\omega$ で結ばれているので，$\omega = \epsilon/\hbar$ を代入して

$$ v_g = \frac{\dd}{\dd k}\left(\frac{\epsilon}{\hbar}\right) = \frac{1}{\hbar}\frac{\dd\epsilon}{\dd k} $$

3次元に拡張すれば，$k$ に関する微分は勾配になる：

∎

この式は何を言っているのか．「電子の速度はバンドの傾きである」ということである．バンドが平らなところ（$\nabla_\kk\epsilon = 0$）では電子は静止し，傾きが急なところでは速く動く．バンドの底や頂上，そして Brillouin 域境界（そこでは対称性から $\nabla_\kk\epsilon=0$ になることが多い）では，電子の速度はゼロである．第16章で見た「ゾーン境界では進行波ではなく定在波になる」という描像と，完全に整合している．

導出：半古典的運動方程式（本章で最も重要な導出）

電場 $\EE$ の中に電子（電荷 $-e$，$e>0$）を置く．時間 $\delta t$ のあいだに，電場が電子にする仕事を2通りに計算し，等置する．これが全体の戦略である．

【第1の計算】力学的に：仕事＝力×距離

電子にはたらく力は $\FF = -e\EE$．時間 $\delta t$ のあいだに電子は $\delta\rr = \vv_g\,\delta t$ だけ進む．したがって，電場が電子にした仕事，すなわち電子のエネルギー増分は

$$ \delta\epsilon = \FF\cdot\delta\rr = \FF\cdot\vv_g\,\delta t = -e\,\EE\cdot\vv_g\,\delta t \tag{A} $$

【第2の計算】バンド論的に：エネルギーは $\kk$ の関数

電子のエネルギーは $\epsilon = \epsilon_n(\kk)$ である．$\kk$ が $\delta\kk$ だけ変わったとすると，全微分により

$$ \delta\epsilon = \nabla_\kk\epsilon\cdot\delta\kk \tag{B} $$

ここで式 \eqref{eq:17-groupvel} を逆に読んで $\nabla_\kk\epsilon = \hbar\vv_g$ を代入すると

$$ \delta\epsilon = \hbar\,\vv_g\cdot\delta\kk \tag{B$'$} $$

【等置】同じ $\delta\epsilon$ を2通りに書いたのだから，(A) と (B$'$) は等しい：

$$ \hbar\,\vv_g\cdot\delta\kk = \FF\cdot\vv_g\,\delta t $$

両辺を $\delta t$ で割ると

$$ \vv_g\cdot\left(\hbar\frac{\delta\kk}{\delta t}\right) = \vv_g\cdot\FF $$

すなわち

$$ \vv_g\cdot\left(\hbar\dot\kk - \FF\right) = 0 $$

この式が，あらゆる波束（＝あらゆる $\vv_g$ の向き）について成り立たなければならない．ベクトル $\vv_g$ の向きは $\kk_0$ の選び方で自由に変えられるから，括弧の中がゼロでなければならない：

∎ 磁場がある場合は Lorentz 力を入れた．磁場の項は仕事をしないので上の議論からは直接出てこないが，より丁寧な波束の理論（Ashcroft–Mermin 第12章）から同じ形が導かれる．

導出：$m^*$ の定義式

Newton の第2法則の形 $\FF = m\bm a$ を作りたい．そこで，群速度を時間で微分して加速度を求める．1次元で書く．

$v_g = \hbar^{-1}\dd\epsilon/\dd k$ の両辺を $t$ で微分する．$\epsilon$ は $k$ を通じてのみ $t$ に依存するので，合成関数の微分（連鎖律）により

$$ \frac{\dd v_g}{\dd t} = \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{\hbar}\frac{\dd\epsilon}{\dd k}\right) = \frac{1}{\hbar}\frac{\dd}{\dd k}\left(\frac{\dd \epsilon}{\dd k}\right)\frac{\dd k}{\dd t} = \frac{1}{\hbar}\frac{\dd^2\epsilon}{\dd k^2}\cdot\frac{\dd k}{\dd t} $$

ここに式 \eqref{eq:17-eom}，すなわち $\dd k/\dd t = F/\hbar$ を代入する：

$$ \frac{\dd v_g}{\dd t} = \frac{1}{\hbar}\frac{\dd^2\epsilon}{\dd k^2}\cdot\frac{F}{\hbar} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\dd^2\epsilon}{\dd k^2}\,F $$

これを $\dd v_g/\dd t = F/m^*$ と見比べれば

∎ 有効質量はバンドの曲率の逆数である．

導出：有効質量テンソル

3次元では，力の向きと加速度の向きが一致するとは限らない．式 \eqref{eq:17-effmass-1d} と同じ計算を成分で書き直す．群速度の $i$ 成分は $v_i = \hbar^{-1}\partial\epsilon/\partial k_i$ である．これを $t$ で微分すると，$\epsilon$ は $k_1,k_2,k_3$ すべてに依存するので，多変数の連鎖律により

$$ \frac{\dd v_i}{\dd t} = \frac{1}{\hbar}\sum_{j}\frac{\partial}{\partial k_j}\left(\frac{\partial\epsilon}{\partial k_i}\right)\frac{\dd k_j}{\dd t} = \frac{1}{\hbar}\sum_j \frac{\partial^2\epsilon}{\partial k_i\partial k_j}\,\frac{\dd k_j}{\dd t} $$

ここに $\hbar\,\dd k_j/\dd t = F_j$ を代入して

$$ \frac{\dd v_i}{\dd t} = \frac{1}{\hbar^2}\sum_j \frac{\partial^2\epsilon}{\partial k_i\partial k_j}\,F_j $$

これを $\dd v_i/\dd t = \sum_j (1/m^*)_{ij}F_j$ の形と比較して

∎ 有効質量の逆数が $3\times3$ の対称テンソルである（偏微分の順序交換ができるので $\partial^2\epsilon/\partial k_i\partial k_j = \partial^2\epsilon/\partial k_j\partial k_i$，したがって対称）．

導出：楕円体の谷の状態密度と「状態密度有効質量」

Si の1つの谷（たとえば $[001]$ 方向のもの）のエネルギーは，谷の底 $\epsilon_c$ から測って

$$ \epsilon = \frac{\hbar^2 k_1^2}{2m_t}+\frac{\hbar^2 k_2^2}{2m_t}+\frac{\hbar^2 k_3^2}{2m_l} $$

と書ける（$k_3$ が谷の軸方向）．等エネルギー面は回転楕円体である．この谷の状態密度を求めたい．

ステップ1：変数変換で球にする．適当な質量 $m^\dagger$ を1つ選び，

$$ k_1 = \sqrt{\frac{m_t}{m^\dagger}}\,\tilde k_1,\quad k_2 = \sqrt{\frac{m_t}{m^\dagger}}\,\tilde k_2,\quad k_3 = \sqrt{\frac{m_l}{m^\dagger}}\,\tilde k_3 $$

と置く．すると

$$ \epsilon = \frac{\hbar^2}{2m^\dagger}\left(\tilde k_1^2+\tilde k_2^2+\tilde k_3^2\right) $$

となり，$\tilde\kk$ 空間では球になる．

ステップ2：ヤコビアンを出す．体積要素は

$$ \dd^3k = \dd k_1\dd k_2\dd k_3 = \sqrt{\frac{m_t}{m^\dagger}}\sqrt{\frac{m_t}{m^\dagger}}\sqrt{\frac{m_l}{m^\dagger}}\ \dd^3\tilde k = \frac{\sqrt{m_l m_t^2}}{(m^\dagger)^{3/2}}\,\dd^3\tilde k $$

ここが計算の要である．$\dd^3k$ には $\sqrt{m_lm_t^2}$ という因子が現れる．3つの質量の幾何平均が効いている．

ステップ3：状態密度．単位体積あたりの状態数は $\dfrac{2}{(2\pi)^3}\dd^3k$（因子2はスピン）だから，$\tilde\kk$ 空間の球（自由電子と同じ形）についての標準的な結果（第14章・第15章）を使って

$$ D_{1\text{谷}}(\epsilon) = \frac{\sqrt{m_lm_t^2}}{(m^\dagger)^{3/2}}\times\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m^\dagger}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\epsilon} = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2}{\hbar^2}\right)^{3/2}\left(m_lm_t^2\right)^{1/2}\sqrt{\epsilon} $$

$m^\dagger$ がきれいに消えた（当然である．$m^\dagger$ は勝手に導入した便宜的な量だから）．

ステップ4：谷が $M_c$ 個ある場合．それぞれ独立に数えるので $M_c$ 倍する．これを「有効質量 $m_{de}$ の等方的なバンド1本」と同じ形

$$ D(\epsilon) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_{de}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt\epsilon $$

に押し込めたい．両者を等置すると $m_{de}^{3/2} = M_c(m_lm_t^2)^{1/2}$，すなわち

∎ これを状態密度有効質量（density-of-states effective mass）という．

導出：完全に満たされたバンドの全電流と全波数はゼロ

時間反転対称性（および結晶が反転対称なら空間反転対称性）から，バンド構造は

$$ \epsilon_n(-\kk) = \epsilon_n(\kk) $$

を満たす．両辺を $\kk$ で微分すると，左辺の微分は連鎖律で $-\nabla_\kk\epsilon_n\big|_{-\kk}$ になるから

$$ -\left.\nabla_\kk\epsilon_n\right|_{-\kk} = \left.\nabla_\kk\epsilon_n\right|_{\kk} \qquad\Longrightarrow\qquad \vv(-\kk) = -\vv(\kk) $$

速度は $\kk$ について奇関数である．Brillouin 域は原点対称なので，$\kk$ と $-\kk$ は必ずペアで存在する．したがって，バンドの全状態にわたる和では両者が打ち消し合い

∎ 電流は $\jj = (-e)\sum\vv/V$ なので，完全に満たされたバンドは電流を運ばない．第16章で「満ちたバンドは絶縁体」と述べた根拠がこれである．

電場をかけても事情は変わらない．式 \eqref{eq:17-eom} により，すべての電子の $\kk$ が同じ速度 $\dot\kk = -e\EE/\hbar$ で平行移動するが，満ちたバンドでは移動した先も必ず占有されているので（Brillouin 域からはみ出した分は反対側から戻ってくる），分布はまったく変わらない．

導出1：$\kk_h = -\kk_e$（波数の符号）

満ちたバンドから，波数 $\kk_e$ の電子を1個だけ取り除く．残った系の全波数は，式 \eqref{eq:17-fullband} を使って

$$ \kk_{\text{全体}} = \underbrace{\sum_{\text{全 }\kk}\kk}_{=\,0} - \kk_e = -\kk_e $$

この「残った系の全波数」を，正孔という1個の粒子の波数だと解釈する．すなわち

∎ 正孔の波数は，抜けた電子の波数の符号を反転したものである．

気をつけたいのは，これは「正孔がそこにいる」という話ではないことである．正孔は $10^{22}$ 個の電子の集団運動につけた名前であって，$\kk_h$ はその集団が持つ全波数のことである．

導出2：$q_h = +e$ と $\vv_h = \vv_e$（電荷と速度）

電子を1個取り除いた系の全電流を計算する．電子の電荷は $-e$ だから

$$ \jj = \frac{-e}{V}\sum_{\kk \ne \kk_e}\vv(\kk) = \frac{-e}{V}\left[\underbrace{\sum_{\text{全 }\kk}\vv(\kk)}_{=\,0} - \vv(\kk_e)\right] = \frac{-e}{V}\bigl[-\vv(\kk_e)\bigr] = \frac{+e}{V}\,\vv(\kk_e) $$

すなわち

∎ この1行が正孔の概念の核心である．「電子が1個足りない満ちたバンド」の電流は，「電荷 $+e$ を持ち，抜けた電子と同じ速度で動く粒子1個」の電流とまったく同じである．

注意すべき点が2つある．

• 速度は反転しない．$\kk_h = -\kk_e$ なのに $\vv_h = +\vv_e$ である．矛盾しているように見えるが，していない．次の導出3・導出5でエネルギーと質量の符号も同時に反転するので，$\vv_h = \hbar^{-1}\nabla_{\kk_h}\epsilon_h$ を計算すると，2つのマイナスが相殺して $\vv_h = \vv_e$ になる．実際， $$ \vv_h = \frac{1}{\hbar}\frac{\partial\epsilon_h}{\partial\kk_h} = \frac{1}{\hbar}\frac{\partial(-\epsilon_e)}{\partial(-\kk_e)} = \frac{1}{\hbar}\frac{\partial\epsilon_e}{\partial\kk_e} = \vv_e \quad\checkmark $$ すべての符号則が互いに整合していることの確認になっている．
• 電荷が $+e$ になったのは，「$\sum\vv = 0$ から1項を引く」という操作で全体の符号がひっくり返ったからである．正孔の中に正電荷の粒子があるわけではない．

導出3：$\epsilon_h(\kk_h) = -\epsilon_e(\kk_e)$（エネルギーの符号）

系の全エネルギーを考える．満ちたバンドの全エネルギーを $E_0 = \sum_{\text{全}\kk}\epsilon_e(\kk)$ とする．$\kk_e$ の電子を取り除いた系のエネルギーは

$$ E = E_0 - \epsilon_e(\kk_e) $$

この系を「真空（＝満ちたバンド，エネルギー $E_0$）＋正孔1個」とみなすなら，正孔のエネルギーは

$$ \epsilon_h = E - E_0 = -\epsilon_e(\kk_e) $$

式 \eqref{eq:17-hole-k} を使って $\kk_e = -\kk_h$ と書き直せば

（最後の等号で $\epsilon_e(-\kk)=\epsilon_e(\kk)$ を使った．）∎

この式は何を言っているのか．「正孔のエネルギー地形は，電子のエネルギー地形を上下ひっくり返したものである」ということである．価電子帯は上に凸（頂上が最大）だから，ひっくり返すと下に凸になる．すなわち

• 電子にとっては，価電子帯の頂上がエネルギー最大．
• 正孔にとっては，価電子帯の頂上がエネルギー最小．

だから「正孔は浮き上がる」．バンド図の上で，電子は下に落ち，正孔は上に浮く．水中の泡と同じである．泡は「水が1個分ないところ」だが，あたかも負の質量を持つ物体のように浮上する．

導出4：正孔の運動方程式は $\hbar\dot\kk_h = +e(\EE+\vv_h\times\BB)$

電子の運動方程式（式 \eqref{eq:17-eom}）は

$$ \hbar\dot\kk_e = -e\left(\EE+\vv_e\times\BB\right) $$

両辺に $-1$ を掛ける．左辺は $-\hbar\dot\kk_e = \hbar\dot{(-\kk_e)} = \hbar\dot\kk_h$（式 \eqref{eq:17-hole-k} を時間微分した）．右辺は $+e(\EE+\vv_e\times\BB)$ で，ここに $\vv_e = \vv_h$（式 \eqref{eq:17-hole-q}）を代入する：

∎ 電荷 $+e$ の普通の粒子の運動方程式そのものである．正孔は，電場に対して伝導帯の電子（$m^*>0$）とは逆向きに加速される．ここで比べる相手が伝導帯の電子であることに注意してほしい．同じ価電子帯の頂上にいる電子は $m_e<0$ なので，$a = (-e)\EE/m_e = +e\EE/\abs{m_e}$ となって正孔と同じ向きに加速される．だからこそ導出2の $\vv_h=\vv_e$ が，時間が経っても保たれるのである．

導出5：$m_h = -m_e > 0$（質量の符号）

有効質量の定義（式 \eqref{eq:17-effmass}）を正孔について書くと

$$ \left(\frac{1}{m_h}\right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\epsilon_h}{\partial k_{h,i}\partial k_{h,j}} $$

ここに $\epsilon_h = -\epsilon_e$ と $\kk_h = -\kk_e$ を代入する．分母の $\kk_h$ による微分を2回行うので $(-1)^2 = +1$，分子の $\epsilon_h$ からは $(-1)$ が出る：

$$ \left(\frac{1}{m_h}\right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2(-\epsilon_e)}{\partial(-k_{e,i})\partial(-k_{e,j})} = \frac{(-1)}{(-1)^2}\cdot\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\epsilon_e}{\partial k_{e,i}\partial k_{e,j}} = -\left(\frac{1}{m_e}\right)_{ij} $$

すなわち

∎ 価電子帯の頂上では，バンドは上に凸だから $\partial^2\epsilon_e/\partial k^2 < 0$，したがって $m_e < 0$．よって

$$ m_h = -m_e > 0 $$

正孔の質量は正である．「負の質量の電子」という気持ち悪い概念が，「正の質量・正の電荷を持つ普通の粒子」に化ける．これが正孔を導入する最大のご利益である．

導出：正孔の状態密度有効質量 $m_{dh}$

重い正孔と軽い正孔は，それぞれ独立な放物線帯として状態を提供する．状態密度は $D\propto m^{3/2}\sqrt\epsilon$ の形なので，単純に足せばよい：

$$ D_v(\epsilon)\propto \left(m_{hh}^{3/2}+m_{lh}^{3/2}\right)\sqrt{\epsilon} $$

これを「1本のバンド，有効質量 $m_{dh}$」の形 $m_{dh}^{3/2}\sqrt\epsilon$ に押し込めると

∎ Si について計算する．$m_{hh}=0.49m$，$m_{lh}=0.16m$：

$$ m_{hh}^{3/2} = 0.49\times\sqrt{0.49} = 0.49\times0.700 = 0.343 $$ $$ m_{lh}^{3/2} = 0.16\times\sqrt{0.16} = 0.16\times0.400 = 0.064 $$ $$ m_{dh} = (0.343+0.064)^{2/3} = (0.407)^{2/3} $$

$\ln0.407 = -0.899$，$\times\frac23 = -0.599$，$\ee^{-0.599}=0.549$ なので

$$ m_{dh} = 0.55\,m $$

文献値 $0.55$–$0.59m$．よく合う．重い正孔がほとんど（$0.343/0.407 = 84\%$）を担っていることがわかる．状態密度では重いほうが勝ち，伝導度では軽いほうが勝つ．

導出：なぜ Fermi–Dirac を Boltzmann で置き換えてよいのか

伝導帯の電子について考える．$\epsilon \ge \epsilon_c$ の範囲だから，$\epsilon - \mu \ge \epsilon_c-\mu$ である．もし

$$ \epsilon_c - \mu \gg k_BT $$

ならば，分母の指数関数が1よりずっと大きくなり，$+1$ を無視できる：

$$ f(\epsilon) = \frac{1}{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1} \;\simeq\; \frac{1}{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}} = \ee^{-(\epsilon-\mu)/k_BT} $$

これがBoltzmann 近似である．この近似が使える半導体を非縮退半導体（nondegenerate semiconductor）という．

条件を数値で確認する．真性 Si では後で見るように $\mu$ はほぼギャップの中央にあるから

$$ \epsilon_c - \mu \simeq \frac{E_g}{2} = \frac{1.11}{2} = 0.555\ \mathrm{eV} $$

室温の $k_BT = 0.0259\,\mathrm{eV}$ で割ると

$$ \frac{\epsilon_c-\mu}{k_BT} = \frac{0.555}{0.0259} = 21.4 $$

したがって $\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT} \ge \ee^{21.4} = 2\times10^9$．$+1$ は10億分の1の補正であり，完全に無視してよい．∎

破綻するのはいつか．ドーピングを強くすると $\mu$ が $\epsilon_c$ に近づく．$n = 10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ のとき，後で導く式から $\epsilon_c-\mu = k_BT\ln(N_c/n) = 0.0259\times\ln(2.82) = 0.027\,\mathrm{eV} = 1.0\,k_BT$ となり，条件が破れる．$\mu$ が $\epsilon_c$ より上に来ることさえある．これを縮退半導体（degenerate semiconductor）といい，実質的に金属のように振る舞う．ITO のような透明導電膜，トンネルダイオード，オーミック接触層はいずれも縮退半導体である．その場合は Boltzmann 近似が使えず，Fermi–Dirac 積分 $F_{1/2}$ を数値的に扱う必要がある．

導出：$n = N_c\,\ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT}$（本章で2番目に重要な導出）

伝導帯にある電子の数密度は，「状態の数」×「そこが占有されている確率」を全エネルギーで足したものである：

$$ n = \int_{\epsilon_c}^{\infty} D_c(\epsilon)\,f(\epsilon)\,\dd\epsilon $$

ステップ1：中身を代入する．状態密度と Boltzmann 近似を入れて

$$ n = \int_{\epsilon_c}^{\infty} \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(\epsilon-\epsilon_c)^{1/2} \;\ee^{-(\epsilon-\mu)/k_BT}\,\dd\epsilon $$

ステップ2：指数関数を分解する．ここが計算の要である．指数の肩を，積分変数に依存する部分と依存しない部分に分ける：

$$ -\frac{\epsilon-\mu}{k_BT} = -\frac{(\epsilon-\epsilon_c)+(\epsilon_c-\mu)}{k_BT} = -\frac{\epsilon-\epsilon_c}{k_BT}-\frac{\epsilon_c-\mu}{k_BT} $$

指数法則 $\ee^{A+B}=\ee^A\ee^B$ により

$$ \ee^{-(\epsilon-\mu)/k_BT} = \ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT}\cdot\ee^{-(\epsilon-\epsilon_c)/k_BT} $$

第1因子は $\epsilon$ を含まないので，積分の外に出せる：

$$ n = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT} \int_{\epsilon_c}^{\infty}(\epsilon-\epsilon_c)^{1/2}\,\ee^{-(\epsilon-\epsilon_c)/k_BT}\,\dd\epsilon $$

ステップ3：無次元化する．

$$ x \equiv \frac{\epsilon-\epsilon_c}{k_BT} \qquad\Longrightarrow\qquad \epsilon-\epsilon_c = k_BT\,x,\quad \dd\epsilon = k_BT\,\dd x $$

積分範囲は $\epsilon:\epsilon_c\to\infty$ が $x:0\to\infty$ に移る．被積分関数は

$$ (\epsilon-\epsilon_c)^{1/2}\dd\epsilon = (k_BT)^{1/2}x^{1/2}\cdot k_BT\,\dd x = (k_BT)^{3/2}x^{1/2}\dd x $$

したがって

$$ n = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(k_BT)^{3/2}\,\ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT} \underbrace{\int_0^\infty x^{1/2}\ee^{-x}\dd x}_{\displaystyle = I} $$

ステップ4：積分 $I$ を実行する．これはガンマ関数 $\Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}\ee^{-x}\dd x$ の $z=3/2$ の場合である：

（$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ と $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ を使った．$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ 自体は $x=t^2$ と置いて Gauss 積分 $\int_{-\infty}^\infty \ee^{-t^2}\dd t=\sqrt\pi$ に帰着する．付録A参照．）

ステップ5：整理する．

$$ n = \frac{1}{2\pi^2}\cdot\frac{2^{3/2}(m_e^*)^{3/2}(k_BT)^{3/2}}{\hbar^3}\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}\;\ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT} $$

数係数をまとめる．$\dfrac{2^{3/2}\sqrt\pi}{4\pi^2} = \dfrac{2.8284\times1.7725}{39.478} = 0.12700$ である．一方

$$ \frac{2}{(2\pi)^{3/2}} = \frac{2}{15.749} = 0.12700 $$

で一致する．したがって $n$ は次のようにきれいな形にまとまる：

∎ ここで

$$ N_c \equiv 2\left(\frac{m_e^*k_BT}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{3/2} = 2\left(\frac{2\pi m_e^*k_BT}{h^{2}}\right)^{3/2} $$

を伝導帯の有効状態密度（effective density of states）という．

導出：$p = N_v\,\ee^{-(\mu-\epsilon_v)/k_BT}$

正孔は「電子がいない状態」なので，確率は $1-f(\epsilon)$ で与えられる．まずこれを計算する：

$$ 1-f(\epsilon) = 1-\frac{1}{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1} = \frac{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1-1}{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1} = \frac{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}}{\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1} $$

分子・分母を $\ee^{(\epsilon-\mu)/k_BT}$ で割ると

$$ 1-f(\epsilon) = \frac{1}{1+\ee^{-(\epsilon-\mu)/k_BT}} = \frac{1}{\ee^{(\mu-\epsilon)/k_BT}+1} $$

きれいな結果である．$1-f$ は，$\epsilon-\mu$ の符号を反転させた Fermi 分布そのものである．電子と正孔の対称性がここにも現れている．

価電子帯では $\epsilon \le \epsilon_v$ なので，$\mu-\epsilon \ge \mu-\epsilon_v \gg k_BT$（非縮退の仮定）が成り立ち，やはり Boltzmann 近似が使える：

$$ 1-f(\epsilon)\simeq \ee^{-(\mu-\epsilon)/k_BT} $$

価電子帯の状態密度は，頂上から下向きに広がるので

$$ D_v(\epsilon) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_h^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(\epsilon_v-\epsilon)^{1/2} \qquad(\epsilon\le\epsilon_v) $$

したがって

$$ p = \int_{-\infty}^{\epsilon_v}D_v(\epsilon)\bigl[1-f(\epsilon)\bigr]\dd\epsilon $$

指数を同じように分解する：

$$ -\frac{\mu-\epsilon}{k_BT} = -\frac{(\mu-\epsilon_v)+(\epsilon_v-\epsilon)}{k_BT} $$

$x \equiv (\epsilon_v-\epsilon)/k_BT$ と置くと（$\epsilon$ が下がると $x$ が増える），$\dd\epsilon = -k_BT\dd x$ で，積分範囲 $\epsilon:-\infty\to\epsilon_v$ は $x:\infty\to0$ に移る．マイナス符号と積分範囲の反転が相殺して

$$ p = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_h^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(k_BT)^{3/2}\ee^{-(\mu-\epsilon_v)/k_BT}\int_0^\infty\sqrt{x}\,\ee^{-x}\dd x $$

まったく同じ積分 \eqref{eq:17-gamma} が現れる．したがって

∎ 完全に $n$ と対称な形である．$m_h^*$ には正孔の状態密度有効質量 $m_{dh}$（式 \eqref{eq:17-mdh}）を使う．

導出：$np = n_i^2$（$\mu$ が消える魔法）

式 \eqref{eq:17-n} と式 \eqref{eq:17-p} を掛け合わせる．

$$ np = N_cN_v\;\ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT}\cdot\ee^{-(\mu-\epsilon_v)/k_BT} $$

指数の肩を足し算する．ここで $\mu$ が消える：

$$ -\frac{(\epsilon_c-\mu)+(\mu-\epsilon_v)}{k_BT} = -\frac{\epsilon_c-\epsilon_v}{k_BT} = -\frac{E_g}{k_BT} $$

したがって

$$ np = N_cN_v\,\ee^{-E_g/k_BT} $$

$N_c$，$N_v$ を書き下すと

∎ これを質量作用の法則（law of mass action）という．化学平衡 $\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightleftharpoons\mathrm{AB}$ の平衡定数と同じ構造をしている．実際，電子と正孔の生成消滅

$$ \text{（結合した電子）} \rightleftharpoons e^- + h^+ $$

という「化学反応」の平衡定数が $n_i^2$ にあたる．

導出：$\mu_i = \dfrac{\epsilon_c+\epsilon_v}{2}+\dfrac34 k_BT\ln\dfrac{m_h^*}{m_e^*}$

真性半導体では，電子は価電子帯から上がってきたものしかないので，必ず $n=p$ である．この条件から $\mu$ を決める．

式 \eqref{eq:17-n} と \eqref{eq:17-p} を等置する：

$$ N_c\,\ee^{-(\epsilon_c-\mu)/k_BT} = N_v\,\ee^{-(\mu-\epsilon_v)/k_BT} $$

両辺の自然対数を取る．$\ln(AB)=\ln A+\ln B$ を使って

$$ \ln N_c - \frac{\epsilon_c-\mu}{k_BT} = \ln N_v - \frac{\mu-\epsilon_v}{k_BT} $$

$\mu$ を含む項を左辺に，それ以外を右辺に集める：

$$ \frac{\mu}{k_BT}+\frac{\mu}{k_BT} = \frac{\epsilon_c}{k_BT}+\frac{\epsilon_v}{k_BT}+\ln\frac{N_v}{N_c} $$ $$ \frac{2\mu}{k_BT} = \frac{\epsilon_c+\epsilon_v}{k_BT}+\ln\frac{N_v}{N_c} $$

両辺に $k_BT/2$ を掛けて

$$ \mu = \frac{\epsilon_c+\epsilon_v}{2}+\frac{k_BT}{2}\ln\frac{N_v}{N_c} $$

ここで $N_c\propto (m_e^*)^{3/2}$，$N_v\propto(m_h^*)^{3/2}$ なので，比を取ると温度依存部分と数係数が消えて

$$ \frac{N_v}{N_c} = \left(\frac{m_h^*}{m_e^*}\right)^{3/2} \qquad\Longrightarrow\qquad \ln\frac{N_v}{N_c} = \frac32\ln\frac{m_h^*}{m_e^*} $$

したがって

∎ $\epsilon_v = 0$（価電子帯の頂上を原点）と取れば $\epsilon_c = E_g$ なので

$$ \mu_i = \frac{E_g}{2}+\frac34 k_BT\ln\frac{m_h^*}{m_e^*} $$

という，指示された形になる．

導出：$\epsilon_d$ と $a_d$

水素原子の基底状態のエネルギーと Bohr 半径は

$$ E_1 = -\frac{m e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\ \mathrm{eV}, \qquad a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2} = 0.529\ \text{Å} $$

である（付録A，あるいは量子力学の教科書）．ここで置き換えを行う：

$$ m \to m^*,\qquad 4\pi\epsilon_0 \to 4\pi\epsilon_0\epsilon $$

束縛エネルギー．$E_1$ の式で $m$ は分子に1乗，$(4\pi\epsilon_0)$ は分母に2乗で入っている．したがって

$$ \epsilon_d = \frac{m^*e^4}{2(4\pi\epsilon_0\epsilon)^2\hbar^2} = \underbrace{\frac{me^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}}_{=\,13.6\ \mathrm{eV}}\times\frac{m^*}{m}\times\frac{1}{\epsilon^2} $$

Bohr 半径．$a_0$ の式で $(4\pi\epsilon_0)$ は分子に1乗，$m$ は分母に1乗で入っている．したがって

∎ エネルギーは $\epsilon^2$ で割られて小さくなり，半径は $\epsilon$ 倍されて大きくなる．どちらも $m^*/m<1$ が同じ方向に効く．

導出：電荷中性条件から $n$ を決める

結晶全体は電気的に中性でなければならない．正電荷を担うのは，価電子帯の正孔（$p$）とイオン化したドナー（$N_D^+$）．負電荷を担うのは，伝導帯の電子（$n$）とイオン化したアクセプター（$N_A^-$）．したがって

これと質量作用の法則 $np = n_i^2$ の2式で，$n$ と $p$ が決まる．

完全イオン化の場合．室温では $\epsilon_d \sim k_BT$ なのでほとんどのドナー・アクセプターがイオン化している．$N_D^+ = N_D$，$N_A^- = N_A$ と置くと

$$ n - p = N_D - N_A \equiv N $$

$p = n_i^2/n$ を代入して

$$ n - \frac{n_i^2}{n} = N $$

両辺に $n$ を掛けて整理すると，$n$ についての2次方程式になる：

$$ n^2 - Nn - n_i^2 = 0 $$

解の公式より（$n>0$ の解を取る）

∎（$p$ の式は $p = n - N$ から得られる．あるいは $N\to-N$ の対称性からも読める．）

2つの極限を確認する．

• $\abs{N}\gg n_i$（低温・高ドープ）：平方根の中は $(N/2)^2$ が支配的なので $n \simeq N/2 + \abs{N}/2$．$N>0$（n 型）なら $n\simeq N = N_D-N_A$，$p = n_i^2/N$．
• $\abs{N}\ll n_i$（高温・低ドープ）：$n \simeq n_i$，$p\simeq n_i$．真性半導体に戻る．

導出：$n = \sqrt{N_cN_D/2}\;\ee^{-\epsilon_d/2k_BT}$

低温になると，電子はドナーに引き戻されて伝導帯から消える．これをキャリアの凍結（carrier freeze-out）という．この領域の $n(T)$ を求めよう．

中性ドナー $D^0$ と，イオン化したドナー $D^+$ ＋ 伝導帯の電子 $e^-$ のあいだの平衡

$$ D^0 \rightleftharpoons D^+ + e^- $$

を考える．統計力学の標準的な扱い（あるいは質量作用の法則の類推）により，平衡定数は

$$ \frac{n\,N_D^{+}}{N_D^{0}} = \frac{N_c}{g}\,\ee^{-\epsilon_d/k_BT} $$

となる．$g=2$ はドナー基底状態の縮退度で，中性ドナーには電子が上向き・下向きどちらのスピンでも入れることによる．$\epsilon_d$ はドナー準位から伝導帯の底までのエネルギー（イオン化エネルギー）である．

十分低温（$n \ll N_D$）の極限を取る．電荷中性条件から $n = N_D^+$（アクセプターがない場合）．また，ほとんどのドナーが中性なので $N_D^0\simeq N_D$．代入すると

$$ \frac{n\cdot n}{N_D} = \frac{N_c}{2}\ee^{-\epsilon_d/k_BT} $$

すなわち $n^2 = \dfrac{N_cN_D}{2}\ee^{-\epsilon_d/k_BT}$．平方根を取って

∎ 指数の肩に $\epsilon_d/2$ が現れる．真性領域の $E_g/2$ と同じ構造である．2で割られるのは「$n^2$ を作ってから平方根を取った」からで，これは平衡定数の式が2次だからである．

導出：$\vv_d = \mu\EE$ と $\mu = e\tau/m^*$

電場をかけると，式 \eqref{eq:17-eom} により $\kk$ は一方向に動き続ける．実際にはそうならない．散乱があるからである．第15章の Drude 模型と同じく，散乱を「平均時間 $\tau$ ごとに速度がリセットされる」という摩擦項で表す．電子（電荷 $-e$，有効質量 $m_e^*$）について

$$ m_e^*\frac{\dd\vv}{\dd t} = -e\EE - \frac{m_e^*\vv}{\tau} $$

定常状態では $\dd\vv/\dd t = 0$ なので

$$ 0 = -e\EE-\frac{m_e^*\vv_d}{\tau} \qquad\Longrightarrow\qquad \vv_d = -\frac{e\tau}{m_e^*}\EE $$

電子は電場と逆向きに流れる（電荷が負だから当然）．速さの比例係数を移動度（mobility）と呼び，常に正の量として定義する：

正孔については，式 \eqref{eq:17-hole-eom} から出発して同じ計算をすると $\vv_d = +\dfrac{e\tau_h}{m_h^*}\EE$ となり，電場と同じ向きに流れる．

電流．電子の作る電流密度は $\jj_e = (-e)n\vv_d = ne\mu_e\EE$，正孔の作る電流密度は $\jj_h = (+e)p\vv_d = pe\mu_h\EE$．両者は同じ向きである（電荷が逆で速度も逆だから，積は同じ向きになる）．したがって

∎ 電子と正孔は伝導度には足し算で寄与する．これに対して Hall 係数では引き算になる（17.9節）．この違いが，Hall 測定が有力な理由である．

導出：格子散乱で $\mu\propto T^{-3/2}$ になる理由

音響フォノンによる散乱（変形ポテンシャル散乱）を考える．散乱率 $1/\tau$ は，一般に

$$ \frac{1}{\tau} = (\text{散乱体の密度})\times(\text{散乱断面積})\times(\text{速度}) $$

の形をしているが，量子論的にはFermi の黄金律により

$$ \frac{1}{\tau} \propto (\text{摂動の大きさ})^2\times(\text{終状態の状態密度}) $$

と書くほうが正確である．2つの因子を評価する．

因子1：フォノンの数．高温（$k_BT \gg \hbar\Omega$）では Planck 分布が

$$ \bar n = \frac{1}{\ee^{\hbar\Omega/k_BT}-1} \simeq \frac{k_BT}{\hbar\Omega}\propto T $$

と近似できる（分母を $\ee^x-1\simeq x$ と展開した）．散乱確率は摂動（格子のずれ）の2乗に比例し，それはフォノン数に比例するので，この因子から $\propto T$ が出る．

因子2：終状態の状態密度．散乱後の電子が入れる状態の数は $D(\epsilon)\propto\sqrt\epsilon$．熱平衡では電子の平均エネルギーが $\epsilon\sim\frac32k_BT$ なので

$$ D \propto \sqrt{k_BT}\propto T^{1/2} $$

合わせる．

$$ \frac{1}{\tau_L} \propto T\times T^{1/2} = T^{3/2} $$

∎ 温度を上げると格子が激しく振動し，電子はより頻繁に散乱されて移動度が下がる．金属の抵抗が温度とともに上がるのと同じ物理である．

導出：イオン化不純物散乱で $\mu\propto T^{3/2}$ になる理由

イオン化したドナー $\mathrm{P^+}$ は，遮蔽された Coulomb 中心である．電子がその近くを通ると軌道が曲げられる——Rutherford 散乱である．

Rutherford 散乱の断面積は，粒子の速度が速いほど小さい．よく知られた結果として

$$ \sigma_{\text{散乱}} \propto \frac{1}{v^4} $$

（速く通り過ぎる粒子ほど，力を受ける時間が短く，曲げられにくい．）散乱率は

$$ \frac{1}{\tau_I} = N_I\,\sigma_{\text{散乱}}\,v \propto N_I\cdot\frac{1}{v^4}\cdot v = \frac{N_I}{v^{3}} $$

ここで $N_I$ はイオン化不純物の密度である．熱速度 $v \propto \sqrt{T}$ を代入すると $v^3\propto T^{3/2}$ なので

∎ 温度が上がると不純物散乱は弱くなる．格子散乱とは正反対である．理由ははっきりしていて，「速い電子ほど曲げられにくい」からである．

導出：Matthiessen 則

2つの散乱機構が独立に働くとする．単位時間あたりの散乱回数は，それぞれの機構の回数の和である：

$$ \frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_L}+\frac{1}{\tau_I} $$

（確率が足し算になるのは，両者が独立事象だからである．）両辺に $m^*/e$ を掛けると，式 \eqref{eq:17-mobility} により各項が移動度の逆数になる：

∎ これをMatthiessen 則（Matthiessen's rule）という．第15章で金属の抵抗率について $\rho = \rho_{\text{格子}}+\rho_{\text{不純物}}$ という形で出てきたのと同じ法則である（抵抗率は移動度の逆数に比例するから，まったく同じことを言っている）．

この式は何を言っているのか．「1/移動度」が足し算になるということは，いちばん移動度を下げる機構が支配するということである．並列抵抗ではなく直列抵抗のように働く．したがって，$\mu_L\propto T^{-3/2}$ と $\mu_I\propto T^{3/2}$ を合成すると

$$ \frac{1}{\mu} = \frac{C_L}{T^{-3/2}}+\frac{C_I N_I}{T^{3/2}} = C_LT^{3/2}+C_IN_IT^{-3/2} $$

となり，低温では第2項（不純物）が，高温では第1項（格子）が大きくなるので，$1/\mu$ は途中で極小を持つ．すなわち$\mu(T)$ は中間温度でピークを持つ（図17.4(b)）．極小の条件は $\dd(1/\mu)/\dd T=0$ から

$$ \frac32 C_LT^{1/2} = \frac32 C_IN_IT^{-5/2} \qquad\Longrightarrow\qquad T_{\text{peak}} = \left(\frac{C_IN_I}{C_L}\right)^{1/3}\propto N_I^{1/3} $$

不純物が多いほどピークは高温側へ移動し，ピークの高さは下がる．

導出：$R_H = \dfrac{1}{e}\dfrac{p\mu_h^2-n\mu_e^2}{(n\mu_e+p\mu_h)^2}$

第15章では1種類のキャリアだけを扱った．半導体では電子と正孔が共存するので，拡張が必要である．弱磁場（$\omega_c\tau\ll1$）で計算する．

ステップ1：1種類のキャリアの応答を $B$ の1次まで求める．電荷 $q$，密度 $N$，質量 $m$，緩和時間 $\tau$ のキャリアについて，定常状態の運動方程式は

$$ 0 = q(\EE+\vv\times\BB)-\frac{m\vv}{\tau} $$

$\BB = B\hat z$，$\EE$ は $xy$ 面内とする．成分に書くと

$$ v_x = \frac{q\tau}{m}(E_x+v_yB),\qquad v_y = \frac{q\tau}{m}(E_y-v_xB) $$

$B$ の1次までなら，右辺の $v_x,v_y$ には $B=0$ の解 $v_x^{(0)}=\frac{q\tau}{m}E_x$, $v_y^{(0)}=\frac{q\tau}{m}E_y$ を入れればよい：

$$ v_x = \frac{q\tau}{m}E_x+\left(\frac{q\tau}{m}\right)^2BE_y, \qquad v_y = \frac{q\tau}{m}E_y-\left(\frac{q\tau}{m}\right)^2BE_x $$

ステップ2：電流に直す．$\jj = Nq\vv$ で，$\sigma \equiv Nq^2\tau/m$，$\mu\equiv\abs{q}\tau/m$ と置くと，$Nq(q\tau/m)^2 = \sigma\cdot(q\tau/m) = \sigma\mu\,\mathrm{sgn}(q)$ だから

$$ j_x = \sigma E_x + \mathrm{sgn}(q)\,\sigma\mu BE_y, \qquad j_y = \sigma E_y - \mathrm{sgn}(q)\,\sigma\mu BE_x $$

ステップ3：電子と正孔を足す．$\sigma_e = ne\mu_e$，$\sigma_h = pe\mu_h$ とし，$\mathrm{sgn}(q)$ は電子で $-$，正孔で $+$：

$$ j_y = (\sigma_e+\sigma_h)E_y + (\sigma_e\mu_e-\sigma_h\mu_h)BE_x $$

ステップ4：Hall 条件 $j_y=0$ を課す．試料の端が絶縁されているので，$y$ 方向に電流は流れない．すると

$$ E_y = -\frac{\sigma_e\mu_e-\sigma_h\mu_h}{\sigma_e+\sigma_h}BE_x $$

$B$ の0次では $j_x = (\sigma_e+\sigma_h)E_x$ なので，$E_x = j_x/(\sigma_e+\sigma_h)$ を代入すると

$$ E_y = \frac{\sigma_h\mu_h-\sigma_e\mu_e}{(\sigma_e+\sigma_h)^2}\,B\,j_x $$

Hall 係数の定義 $R_H \equiv E_y/(j_xB)$ より

$$ R_H = \frac{\sigma_h\mu_h-\sigma_e\mu_e}{(\sigma_e+\sigma_h)^2} = \frac{pe\mu_h^2-ne\mu_e^2}{e^2(n\mu_e+p\mu_h)^2} $$

∎