線形応答理論入門 — 目次 全14章＋付録

線形応答理論入門— 減衰振動子から久保公式へ —

線形応答理論は，物性物理学でくじける人が最も多い関門のひとつである．理由ははっきりしている．教科書を開くと，いきなり相互作用表示の時間発展演算子が出てきて，Heisenberg表示の交換子が現れ，複素平面の上半面がどうのと言われ，気がつくと何を計算しているのか分からなくなっている．数式は追えるのに，何を叩いて，何の返事を聞いているのかが見えないのである．

本書はその一点を正すために書かれた．線形応答理論の中身は，突き詰めればこうである．

系を弱く叩く．返事を聞く．叩き方と返事の比を「応答関数」と呼ぶ．
この応答関数は，叩く前の系の性質だけで決まってしまう．

最後の一行が久保公式（Kubo formula）であり，線形応答理論のすべてである．「外から力を加えたときの応答」が「力を加えていない平衡状態の揺らぎ」だけで書けてしまう——これが揺動散逸定理であり，この理論が美しいと言われる理由である．

本書の構成には，はっきりした狙いがある．量子力学から始めない．第I部では，高校・大学教養で習う減衰振動子 $m\ddot{x}+\gamma\dot{x}+kx=0$ を，わざわざGreen関数を使って解き直す．遠回りに見えるが，ここで登場する遅延Green関数・因果律・応答関数・複素平面の極といった道具立ては，第III部で量子系を扱うときにそっくりそのまま使える．$x$ が演算子に，平均が期待値に置き換わるだけである．古典の減衰振動子が理解できれば，久保公式は理解できる——これが本書の主張である．

また，工学部の学生は複素解析を履修していないことが多い．そこで第5章を丸ごと複素関数論に充て，留数定理・主値積分・Jordan の補題を，線形応答で実際に使う形だけに絞って自己完結的に解説した．付録A の数学ノートと合わせて，他書を参照せずに読み通せるようにしてある．

読み方
  • 通読する：第1章から順に．第I部（古典）を飛ばして第III部（量子）へ行くと，まず間違いなくくじける．急がば回れ．
  • 複素解析に自信がない：第5章を先に読む．第2章・第3章の途中で複素積分が出てきたら，その都度第5章に戻ればよい．
  • 久保公式だけ知りたい：第3章 → 第6章 → 第7章．ただし第3章の古典的応答関数と第7章の量子的応答関数を並べて見比べること．
  • 電子気体の遮蔽・プラズモンが目的：第9章 → 第10章 → 第11章．Lindhard関数の完全導出は第10章にある．
  • 超伝導に興味がある：第9章 → 第10章 → 第11章．第11章に Goldstone の定理と Anderson–Higgs 機構（Meissner 効果，London 侵入長，Higgs モード）を置いた．
  • 有限温度・松原形式まで：第13章．ここだけは他章より抽象度が高いので，第7章・第8章を復習してから読むとよい．
  • 第一原理計算（GW・QSGW）が目的：第9章 → 第10章 → 第13章 → 付録C → 第14章．付録C で Feynman 図形と Hedin の方程式を押さえてから第14章に進む．
第I部 古典的な線形応答 — 減衰振動子から
  1. 第1章線形応答とは何か 叩いて返事を聞く，線形性と時間並進不変性，重ね合わせの原理から畳み込み積分へ，因果律と階段関数 $\theta(t)$（コラムで基礎から解説），$\omega$ 空間へ移って $\chi(\omega)$ を定義すること，身近な例（バネ・RC回路・誘電分極・磁化率），なぜ線形なのに面白いのか
  2. 第2章減衰振動子をGreen関数で解く $m\ddot{x}+\gamma\dot{x}+kx=0$ の素朴な解法，Green関数の定義 $\hat{L}G(t-t')=\delta(t-t')$，Green関数は微分演算子の逆行列であること，遅延Green関数と因果律，$G(t)=\frac{1}{m\omega_1}e^{-\gamma t/(2m)}\sin\omega_1 t\,\theta(t)$ の完全導出，撃力応答とステップ応答，なぜわざわざGreen関数を使うのか
  3. 第3章強制振動と応答関数 $m\ddot{x}+\gamma\dot{x}+kx=F_0e^{-i\omega t}$，複素感受率 $\chi(\omega)=[m(\omega_0^2-\omega^2)-i\gamma\omega]^{-1}$，実部と虚部の意味，振幅と位相遅れ，共鳴と吸収，$\mathrm{Im}\,\chi$ がエネルギー散逸を与えること，共鳴の幅と $Q$ 値，Green関数のFourier変換が $\chi(\omega)$ であること，実例（誘電体・金属・NMR・内部摩擦）
  4. 第4章因果律とKramers–Kronig関係 $\chi(t<0)=0$ が $\chi(\omega)$ の解析性を生む仕組み，上半面での正則性，Kramers–Kronig関係の完全導出，主値積分，減衰振動子での検算，和則，実験データへの応用（反射率から光学定数を出す）
第II部 数学の道具
  1. 第5章複素関数論と留数定理 — 工学部の読者のために 複素微分とCauchy–Riemann方程式，Cauchy の積分定理と積分公式，Laurent展開と留数，留数定理，Jordan の補題，実積分への応用，極の位置と因果律，$1/(x\pm i\eta)$ の公式（Sokhotski–Plemelj），多価関数と分岐切断，経路の変形
第III部 量子系の線形応答 — 久保公式
  1. 第6章3つの表示と時間発展演算子 Schrödinger表示・Heisenberg表示・相互作用表示の使い分け，時間発展演算子 $\hat{U}(t,t_0)$，時間順序積 $T$（と，それが入れ子の積分を1本に畳む記法にすぎないこと），Dyson級数，断熱的な印加 $e^{\eta t}$，Gell-Mann–Low の定理（Fetter–Walecka 6節）
  2. 第7章久保公式の導出 外部摂動 $\hat{H}_{\text{ext}}(t)=\int d^3x\,\phi(\bm{x},t)\hat{\rho}(\bm{x})$，1次摂動，遅延応答関数 $\chi_{AB}^R(t-t')=-\frac{i}{\hbar}\theta(t-t')\langle[\hat{A}_H(t),\hat{B}_H(t')]\rangle$ の完全導出，なぜ交換子が現れるのか，収束因子 $\eta$ と断熱的な印加，古典極限で第3章に戻ること，減衰 $\gamma$ はどこから来るか，電気伝導度への応用——常磁性項と反磁性項，伝導度の久保公式 $\sigma(\omega)=\frac{i}{\omega}[\chi^R_{J^pJ^p}/V+nq^2/m]$，ランダムな不純物を入れると Drude の $\sigma_{\rm DC}=ne^2\tau/m$ が出ること，寿命 $\tau$ と輸送時間 $\tau_{\rm tr}$ の違い
  3. 第8章応答関数の一般的性質 Lehmann（スペクトル）表示と，応答関数が $1/(\omega-\omega'+i\eta)$ という1次の極の重ね合わせにすぎないこと，極と励起エネルギー，上半面解析性，スペクトル関数 $S(\omega)$，$f$ 和則，揺動散逸定理 $\mathrm{Im}\,\chi^R(\omega)=-\frac{\pi}{\hbar}(1-e^{-\beta\hbar\omega})S(\omega)$，$T=0$ での簡単化，時間順序型と遅延型の違い
第IV部 電子気体への応用（Fetter–Walecka 第5章）
  1. 第9章密度応答関数と誘電関数 密度演算子と密度・密度相関関数 $\chi_{\rho\rho}$，外部電荷に対する応答，遮蔽の自己無撞着な扱い，全応答 $\chi$ と既約応答 $\chi^0$ の区別，RPA（乱雑位相近似），誘電関数 $\epsilon(\bm{q},\omega)=1-v(q)\chi^0(\bm{q},\omega)$，損失関数 $-\mathrm{Im}\,\epsilon^{-1}$，縦誘電率と横誘電率
  2. 第10章遮蔽 — Thomas–FermiとLindhard関数 自由電子気体の $\chi^0(\bm{q},\omega)$（Lindhard関数）の完全導出，静的極限とThomas–Fermi波数 $q_{TF}$・遮蔽長 $\lambda_{TF}=1/q_{TF}$，Yukawa型遮蔽ポテンシャル，$2k_F$ での非解析性とFriedel振動，動的な場合の粒子‐正孔連続体，高振動数極限と $f$ 和則，湯川型近似の妥当性と実験との対応
  3. 第11章プラズマ振動とゼロ音波 $\epsilon(\bm{q},\omega)=0$ が集団励起を与えること，プラズマ振動数 $\omega_p=\sqrt{4\pi ne^2/m}$，分散関係の $q^2$ 補正，Landau減衰と粒子‐正孔連続体，EELSでどう見えるか，Goldstone の定理と，長距離 Coulomb 力がそれを破って集団モードにギャップを開けること，超伝導と Anderson–Higgs 機構——位相モードがゲージ場に食べられて光子が質量をもつこと，Meissner 効果と London 侵入長 $\lambda_L=c/\omega_p$，振幅モード（Higgs モード）が $2\Delta$ に残ること，中性Fermi気体のゼロ音波，第一音波との違い
  4. 第12章非弾性散乱と動的構造因子 Born近似での散乱断面積，動的構造因子 $S(\bm{q},\omega)$，$\frac{d^2\sigma}{d\Omega d\omega}\propto S(\bm{q},\omega)$，$S$ と $\mathrm{Im}\,\chi$ の関係，荷電粒子で測るときの損失関数，非弾性電子散乱・中性子散乱・X線非弾性散乱で何が測れるか，和則による検算と単一モード近似，実例（Al・液体 $^4$He・フォノン分散）
第V部 有限温度
  1. 第13章松原Green関数と解析接続 虚時間 $\tau=it$，松原Green関数 $\mathcal{G}(\tau)$，周期性・反周期性（KMS条件）と松原振動数 $i\omega_n$，$\tau$ が有限区間だけで理論的に完結する理由，松原振動数の和の取り方，有限温度の摂動論，解析接続 $i\omega_n\to\omega+i\eta$ がなぜ許されるのか，有限温度の線形応答（Fetter–Walecka 32節）
第VI部 第一原理計算への展開
  1. 第14章準粒子自己無撞着 GW 法（QSGW） one-shot GW（$G^{\rm LDA}W^{\rm LDA}$）の出発点依存性と完全自己無撞着 GW の失敗，裸の準粒子と着衣の準粒子，QSGW の基本方程式 $V^{\rm xc}=\frac12\sum_{ij}|\psi_i\rangle\{\mathrm{Re}\,\Sigma(\epsilon_i)+\mathrm{Re}\,\Sigma(\epsilon_j)\}_{ij}\langle\psi_j|$ の導出，ノルム汎関数の最小化と $Z$ 因子相殺による正当化，半導体・酸化物・遷移金属・MnO/NiO での結果と系統誤差（RPA の電子‐正孔相互作用の欠如），全電子・混合基底実装と $\omega$ 積分の経路変形（小谷岳生らの原論文に基づく）
付録
  1. 付録A数学ノート Fourier変換の規約と公式集，Dirac のデルタ関数，階段関数と符号関数，主値積分とSokhotski–Plemelj公式，畳み込み定理と相関定理，よく使う定積分の表と導出，Sommerfeld展開，行列・演算子の指数関数とBaker–Campbell–Hausdorff，交換子・反交換子の代数，Poisson括弧と交換子の対応，Bose分布・Fermi分布，Green関数の一般論，単位系と物理定数，どの節が本文のどこで使われるかの索引表
  2. 付録B第二量子化の要点 生成・消滅演算子，交換関係と反交換関係，場の演算子 $\hat{\psi}(\bm{x})$，1体演算子と2体演算子の第二量子化表現，密度演算子，Fermi球と粒子‐正孔励起，電子気体の基礎量と実際の数値，Wick の定理（結果のみ）
  3. 付録CFeynman 図形の読み方 Green関数＝初期条件からの時間発展，くりこみと寿命（非調和振動子・連続体に結合した準位），図形の座標軸（縦が時間・横が空間），実線と波線の辞書，1次摂動の6項と図9.1，2次摂動の10図形と $\Sigma^\star_{(2)}$ の明示式，Dyson方程式と $\Sigma$/$\Sigma^\star$，有効相互作用と分極，Hedin方程式・GW近似・頂点補正 $\Sigma=iGW\Gamma$，非調和振動子 $\lambda\hat x^N$ で手を動かす1次・2次摂動（Fetter–Walecka 図9.1〜9.20 を収録）
  4. 付録D演習問題の解答 第1〜14章と付録B・Cの演習問題，全94問の完全解答．本書の方針どおり途中式を飛ばさず，各解答に方針・全ステップの計算・検算・物理的な意味を付した．数値問題は再計算済み．まず自力で解き，本文のヒントを見て，それでも詰まったときに開くこと

主要参考書

東京理科大学 先進工学部 マテリアル創成工学科 望月研究室