Planck の公式はどこから来るのか

― 講義ノート (8) の導出をたどる（学部 2・3 年生向け）

シミュレーターは，温度から光のスペクトルを $U (ν) = \frac{8 π h}{c^{3}} \cdot \frac{ν^{3}}{e^{h ν / k T} - 1}$ で計算しています．この式は 2 つの部品でできています ―― 「1 つのモードが平均どれだけエネルギーを持つか」と 「モードが何本あるか」．ノートが計算しているのは前者で，ここでは後者も含めて最後まで組み立てます．

結論を先に古典論では，1 つの振動モードの平均エネルギーはいつでも

k T

（等分配則）でした．ところがエネルギーが $h ν$ 刻みでしか取れないとすると，

h ν ≫ k T

の高振動数モードは「1 個分すら買えない」ので事実上凍りつきます．この一点だけで紫外破綻が消え，実験と一致します．

0. 何を求めたいのか

温度 T に保たれた空洞の中の電磁波を考えます．求めたいのは 単位体積・単位振動数あたりのエネルギー $U (ν)$ で，これに $d ν$ を掛けると「振動数が $ν$ と $ν + d ν$ の間にある，単位体積あたりのエネルギー」になります．方針は 2 段構えです．

\underset{求めたいもの}{\underset{⏟}{U (ν)}} = \underset{モードの本数（§3）}{\underset{⏟}{g (ν)}} \times \underset{1 本あたりの平均エネルギー（§1–2）}{\underset{⏟}{⟨ E ⟩}}

1. 古典論ではどうなるか，そしてなぜ壊れるか

ノートの冒頭にある式です．1 つの振動モードを調和振動子 $E = p^{2} / 2 m + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}$ と見て，Boltzmann 分布で平均を取ります．

(1)

⟨ E ⟩ = \frac{\iint E e^{- E / k T} d p d q}{\iint e^{- E / k T} d p d q} = k T

積分は Gauss 積分なので手で出ます． $p^{2}$ の項と $q^{2}$ の項がそれぞれ $\frac{1}{2} k T$ を出すので，合わせて $k T$ ．振動数によらず，どのモードも同じ $k T$ ―― これが等分配則です．

⚠ ここで破綻する §3 で見るようにモードの本数は

g (ν) \propto ν^{2}

なので，古典論の予想は

U = 8 π ν^{2} k T / c^{3}

（Rayleigh–Jeans の式）．振動数を上げるといくらでも大きくなり，全エネルギー

\int U d ν

は発散します．どんな温度の物体も無限のエネルギーを持つことになってしまう ―― 紫外破綻です．

2. Planck の量子仮説 ― 積分を和に変える

ノートの核心はここ 1 行です．エネルギーは $h ν$ の整数倍しか取れない（ $E = n h ν$ ）と仮定します．すると (1) の積分は和に変わります．

(2)

⟨ E ⟩ = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} n h ν e^{- n h ν / k T}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n h ν / k T}}

2.1　分母 ― ただの等比級数

$y \equiv h ν / k T$ と置くと，公比 $e^{- y} < 1$ の等比級数です．

(3)

Z \equiv \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n y} = \frac{1}{1 - e^{- y}}

2.2　分子 ― 微分で出す

分子には $n h ν$ が余分に付いています．これを真面目に足すのは大変ですが，ノートのうまい手を使えば一瞬です． $x \equiv 1 / k T$ と置くと， $n h ν$ を掛ける操作は $- \partial / \partial x$ で作れるからです．

(4)

\sum_{n = 0}^{\infty} n h ν e^{- n h ν x} = - \frac{\partial}{\partial x} \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n h ν x} = - \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{1 - e^{- h ν x}}) = \frac{h ν e^{- y}}{{(1 - e^{- y})}^{2}}

2.3　割り算して完成

(5)

⟨ E ⟩ = \frac{h ν e^{- y}}{1 - e^{- y}} = \frac{h ν}{e^{h ν / k T} - 1}

この式が全部を決めている

$h ν ≪ k T$ （低振動数）： $e^{y} - 1 ≃ y$ なので $⟨ E ⟩ \to k T$ ． 古典論に戻ります．
$h ν ≫ k T$ （高振動数）： $⟨ E ⟩ ≃ h ν e^{- h ν / k T}$ と指数関数的に消えます．エネルギーの「最小単位」が熱エネルギーより大きいと，そのモードは 1 個分すら励起できない ―― この直感が紫外破綻を殺します．

なお (5) は，ボース粒子（光子）が従う Bose–Einstein 分布

⟨ n ⟩ = 1 / (e^{h ν / k T} - 1)

に

h ν

を掛けたものそのものです（ノートの欄外の指摘）．

3. モードは何本あるか ― ノートが「以上から」とした部分

ノートは $U (ν) = (8 π ν^{2} / c^{3}) ⟨ E ⟩$ と，前係数を既知として使っています．ここだけ補っておきます．

一辺 $ℓ$ の立方体の中に立つ定在波は，壁で節を持つので $k = (π / ℓ) (n_{1}, n_{2}, n_{3})$ ， $n_{j} = 1, 2, 3, \dots$ に限られます（箱の体積を $V = ℓ^{3}$ と書きます）．k 空間で 1 モードが占める体積は ${(π / ℓ)}^{3}$ ． $n_{j} > 0$ なので使えるのは球の $1 / 8$ だけ，さらに偏光が 2 通りあります．

(6)

N (k) = 2 \times \frac{1}{8} \times \frac{\frac{4}{3} π k^{3}}{{(π / ℓ)}^{3}} = \frac{k^{3} V}{3 π^{2}} ⟹ g (ν) = \frac{1}{V} \frac{d N}{d ν} = \frac{8 π ν^{2}}{c^{3}}

最後は $k = 2 π ν / c$ を入れただけです．箱の大きさ $V$ が消えるのが大事なところで， 十分大きな空洞なら，その形や大きさによらないので普遍的な式になります．

この

g (ν)

は，実際にモードを数え上げても確かめられます．100 µm の立方体で

(n_{1}, n_{2}, n_{3})

を全部走らせて数えると，(6) の 96 〜 98 % に一致します．残りは箱が有限であることによる表面の効果で，箱を大きくするほど 100 % に近づきます．

4. 組み立てて Planck の公式

(7)

U (ν) = \frac{8 π ν^{2}}{c^{3}} \cdot \frac{h ν}{e^{h ν / k T} - 1} = \frac{8 π h}{c^{3}} \cdot \frac{ν^{3}}{e^{h ν / k T} - 1}

ノートの「この式は，実験結果と驚くほど一致する!!」の式です．両端の極限を見ておきます．

極限	式	名前	ふるまい
$h ν ≪ k T$	$U \to 8 π ν^{2} k T / c^{3}$	Rayleigh–Jeans	古典論と一致（低振動数側では正しかった）
$h ν ≫ k T$	$U \to (8 π h / c^{3}) ν^{3} e^{- h ν / k T}$	Wien	指数関数的に落ちる．だから積分が収束する

5. 波長で見るとピークが動く ― Wien の変位則

5.1　変換にはヤコビアンが要る

$U (ν)$ は「単位振動数あたり」の量です．波長で見たいときは， $ν$ を $c / λ$ に置き換えるだけではいけません．同じ光を数え落とさないよう， $U (λ) d λ = U (ν) d ν$ から出発します．

(8)

U (λ) = U (ν) | \frac{d ν}{d λ} | = U (ν) \frac{c}{λ^{2}} = \frac{8 π h c}{λ^{5}} \cdot \frac{1}{e^{h c / λ k T} - 1}

5.2　だから 2 つのピークは別物

$U (λ)$ を $λ$ で微分して 0 と置くと， $x = h c / λ k T$ について $x = 5 (1 - e^{- x})$ ． $U (ν)$ の方は $y = 3 (1 - e^{- y})$ ． 5 と 3 の違いは，(8) でヤコビアン $c / λ^{2}$ を掛けた（ $λ^{2}$ で割った）ことから来ています．

(9)

x = 4.965114 ⟹ λ_{max} T = 2.8978 \times 10^{- 3} m·K, y = 2.821439 ⟹ ν_{max} / T = 5.8789 \times 10^{10} Hz/K

⚠

c / ν_{max} \neq λ_{max}

比を取ると

c / ν_{max} = 1.76 λ_{max}

―― 76 % もずれます．どちらかが間違っているのではなく，「単位波長あたりで数えて一番多い色」と「単位振動数あたりで数えて一番多い色」がそもそも別の問いだからです． 「ピークの波長」と言うときは，必ずどちらで数えたかを添えてください． ―― 同じ落とし穴は，分布を別の変数へ書き直すときにはいつでも現れます．単スリットの回折でも，強度分布をスクリーン上の位置 x で測るか，無次元の

α x

で測るかで，規格化因子が

α / π

と

1 / π

に分かれます（

α

は長さの逆数の次元を持つ定数）．

同じ温度の同じ光を，左は波長で，右は振動数で数えたもの．実線の縦線がそのグラフ自身のピーク，点線がもう一方のピークを換算して持ってきた位置です． 2 本は重なりません．

身のまわりの例温度 T

6. 全部足すと Stefan–Boltzmann

(7) を全振動数で積分します． $y = h ν / k T$ と置くと $T^{4}$ が外に出て，残るのは数値だけです．

(10)

u = \int_{0}^{\infty} U (ν) d ν = \frac{8 π h}{c^{3}} {(\frac{k T}{h})}^{4} \underset{= π⁴/15}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} \frac{y^{3}}{e^{y} - 1} d y}} = \frac{8 π^{5} k^{4}}{15 c^{3} h^{3}} T^{4}

外に出ていく放射（放射発散度）は $M = (c / 4) u$ なので

(11)

M = σ T^{4}, σ = \frac{2 π^{5} k^{4}}{15 c^{2} h^{3}} = 5.6704 \times 10^{- 8} W/(m²·K⁴)

Stefan–Boltzmann 定数が $h, k, c$ だけで書けてしまう ―― Planck の公式が正しいことの，非常に強い証拠です．実測された $σ$ とぴったり合うことが，当時の決め手になりました（現在の SI では $h, k, c$ が定義値なので， $σ$ はこの式から厳密に決まる量です）．

7. シミュレーターは何を計算しているか

スペクトルは (7) をそのまま評価しているだけです．手間がかかるのは色の方で，ここは物理というより「人間の目がどう感じるか」の話になります．

目の感度を掛ける． スペクトルに CIE 1931 等色関数 $\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}$ を掛けて 360–830 nm で積分し，XYZ 表色系の 3 数にします．
画面の色に直す． XYZ から sRGB へ変換します．色域からはみ出す色は白を足して彩度を落とします．
明るさは別扱い． 大きな色見本は明るさをそろえた「色み」です．全放射は (11) のとおり $T^{4}$ で増えますが，目に届く可視光の明るさは Wien の裾にあたるのでそれよりはるかに急に変わり，太陽表面を 1 とすると 900 K の鉄で $10^{- 10}$ 程度しかありません．下の帯は，この可視光の明るさの比を対数目盛で圧縮して見せています．

⚠ 低温では「色」を出さない可視域が Wien の裾のさらに裾に来ると，色度は等色関数の近似誤差だけで決まってしまい，数値として意味を持ちません．体温 310 K では可視光の明るさが太陽表面の

1.6 \times 10^{- 30}

しかなく，暗順応した目の検出限界より 15 桁も暗い．だいたい 600 K 以下では色見本を黒にして，その旨を表示するようにしてあります．

色から温度を読む鉄を熱していくと赤 → 橙 → 黄 → 白と変わって見えるのは，温度が上がるにつれてピークが短波長側へ動き（§5），可視域に入る光の配合が変わるからです．恒星でも見方は同じで，観測では色（色指数）から表面温度を推定します．ただし鉄も恒星も完全な黒体ではないので，こうして得られるのは同じ色に見える黒体の温度 ―― 色温度と呼ばれる量で，有効温度のおおまかな目安になります．

8. 数値で確かめる

確かめたこと	一致
(3) の等比級数：直接和 vs 閉じた形	相対差 < 2×10⁻¹⁶
(4) の分子：直接和 vs 微分の結果	相対差 < 5×10⁻¹⁶
(5)： $⟨ E ⟩$ を直接和から	相対差 < 6×10⁻¹⁶
(6)：モードの数え上げ（100 µm 立方）	96–98 %（有限箱の効果）
(9)： $λ_{max}$ を数値探索で直接	相対差 2×10⁻⁷
(10)： $\int y^{3} / (e^{y} - 1) d y = π^{4} / 15$	相対差 2×10⁻¹²
(11)： $σ$ の値	5.670374419×10⁻⁸
(8)： $U (λ) = U (ν) c / λ^{2}$	相対差 < 1×10⁻¹⁵

1300 K での全エネルギー密度 2.161×10⁻³ J/m³，放射発散度 1.620×10⁵ W/m² は，シミュレーターの読み取り値と一致します．

9. まとめ

求めるものは「モードの本数 × 1 本あたりの平均エネルギー」．
古典論では平均が振動数によらず $k T$ となり， $\int U d ν$ が発散する（紫外破綻） (1)．
$E = n h ν$ と刻むと積分が和になり，等比級数と 1 回の微分だけで平均が出る (2)(3)(4)(5)．
高振動数では $⟨ E ⟩$ が指数関数的に凍りつく．これが破綻を消す．
モードの本数は定在波を数えて $8 π ν^{2} / c^{3}$ ．箱の大きさは消える (6)．
波長表示への変換にはヤコビアンが要る．だから $c / ν_{max} \neq λ_{max}$ (8)(9)．
全部足すと $σ T^{4}$ ． $σ$ が $h, k, c$ だけで書けます (10)(11)．

東京理科大学望月研究室／講義ノート (8)「Planck の公式」より． §3 のモード密度と §6 の Stefan–Boltzmann はノートが既知として使っている部分を補ったものです．数値検証は級数の直接和，モードの数え上げ，Simpson 法による．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．