固体物理学入門 — 目次 全20章＋付録

固体物理学入門— 結晶の対称性から物性へ —

固体物理学の基礎は，結晶学である．本書は，東京理科大学 先進工学部 マテリアル創成工学科 望月研究室の教材として，結晶構造の記述から出発し，群論という道具を身につけ，その上で固体の物性——格子振動，電子バンド，半導体，誘電性，磁性——へ至る道筋を，一本の線としてたどれるように構成した．想定読者は，微積分と線形代数，そして初等的な量子力学（Schrödinger方程式を解いたことがある程度）を学んだ学部3年生である．

本書には，はっきりした二つの方針がある．ひとつは，群論を抽象論で終わらせないこと．群論は，定義と定理だけを並べると，恐ろしく抽象的で手触りのないものになる．しかし具体的な点群——たとえば $C_{3v}$ ——をひとつ手元に置いて，その積表を自分で埋め，クラスを自分で分け，指標表を自分で作ってみると，驚くほど見通しがよくなる．本書では，定理を述べたら必ずその場で具体例に当てはめ，例題として手を動かす形にした．

もうひとつは，数式変形を省略しないこと．固体物理学の標準的な教科書は，出発点の式と結論の式だけを示して，その間をすべて読者に委ねることが多い．本書では，その「間」をすべて書く．行間を埋めるために必要な数学は，付録Aの「数学ノート」に自己完結的にまとめてある．

読み方
  • 通読する：第1章から順に読む．第I部（結晶学）と第II部（群論）は互いに支え合っているので，飛ばさずに読むことを勧める．
  • 結晶学だけ知りたい：第1章 → 第2章 → 第3章 → 第4章 → 第5章 → 付録B
  • 群論だけ知りたい：第4章 → 第6章 → 第7章 → 第8章 → 第9章 → 第10章
  • 物性からはじめたい：第3章（逆格子）→ 第13章 → 第15章 → 第16章．対称性の議論が出てきたら第II部に戻る．
  • 数学に不安がある：付録A（数学ノート）を先に眺めておく．各章から必要な節へリンクしてある．
第I部 結晶をどう記述するか
  1. 第1章結晶構造の表し方 — conventional cell と primitive cell 結晶の定義，格子と基底，格子並進ベクトル，単位胞の取り方は一意でない，Wigner–Seitz胞，岩塩型・閃亜鉛鉱型・ダイヤモンド型が同じBravais格子であること，格子点の数え方と $Z$
  2. 第2章7つの結晶系と14のBravais格子 結晶系は conventional cell の形を，Bravais格子は primitive cell の形を決める，$P/I/F/C/R$ の意味，なぜ14個で尽きるのか，trigonalとhexagonalの関係，primitive基本ベクトルの具体形と体積比
  3. 第3章逆格子・Brillouin域・X線回折 逆格子ベクトルの導出，Braggの法則とLaue条件の等価性，Ewald球，構造因子と消滅則，なぜ同じBravais格子なら回折ピーク位置が一致するのか，第1Brillouin域の作図，fcc・bccの逆格子
  4. 第4章32の結晶点群 対称操作の行列表示，回転・鏡映・反転・回反・回映，結晶制限定理（なぜ5回対称がないか），Schoenflies記号と国際（Hermann–Mauguin）表記，32点群の導出と一覧，中心対称性と誘電性・圧電性・焦電性
  5. 第5章230の空間群と国際表記の読み方 空間群＝点群＋並進，らせん軸とグライド面，symmorphic と nonsymmorphic，国際表記の各文字がどの軸を指すか（$Pm\bar{3}m$ の $m$ は100軸，$\bar{3}$ は111軸，最後の $m$ は110軸），結晶系ごとの軸の取り方，Wyckoff位置
第II部 対称性を計算に変える — 群論
  1. 第6章群の基礎 — 積表・部分群・クラス 群の4公理，点群 $C_{3v}$ を最後まで手で確かめる，積表と再配列定理，部分群と剰余類，Lagrangeの定理，共役と類，抽象群，群論と量子力学（$[\hat{H},\hat{R}]=0$ が意味すること）
  2. 第7章表現論 — 既約表現と大直交定理 表現の定義，可約表現と既約表現，相似変換とブロック対角化，表現のユニタリ性，Schurの補題（第1・第2）の完全証明，大直交定理（Wonderful Orthogonality Theorem）の導出，$\sum_i \ell_i^2 = h$
  3. 第8章指標表 — 作り方と読み方 指標の定義と類による不変性，指標の直交定理，既約表現の数＝類の数，第2直交関係，正則表現，$C_{3v}$・$C_{4v}$・$O_h$ の指標表を白紙から作る，既約分解の公式，Mulliken記号の読み方
  4. 第9章基底関数と射影演算子 基底関数とは何か，射影演算子 $\hat{P}^{(\Gamma_n)}$ の導出，正三角形の3原子からSALCを作る，$x,y,z$ と $d$ 軌道がどの既約表現に属するか，対称性適合線形結合の実際の計算
  5. 第10章群論の応用 — 結晶場分裂・選択則・分子振動 $d$ 軌道の八面体結晶場分裂 $\Gamma_d = E_g \oplus T_{2g}$ の完全計算，四面体場との比較，直積表現と選択則，積分が消える条件，分子振動の既約分解，赤外活性とRaman活性，$\mathrm{CH_4}$ の振動モード
  6. 第11章空間群の表現とBloch定理 並進群の既約表現から $\bm{k}$ が量子数として現れること，Bloch定理の群論的導出，波数群，高対称点 $\Gamma, X, L, M, K$ とその小群，compatibility relation，バンドの縮退と接続，フォノンの既約表現
第III部 固体の物性
  1. 第12章結晶結合と弾性定数 van der Waals–London相互作用の導出，Lennard-Jones，イオン結晶のMadelungエネルギー，共有結合・金属結合・水素結合，ひずみテンソルと応力テンソル，弾性スティフネス $C_{11},C_{12},C_{44}$，立方晶の弾性波と音速
  2. 第13章フォノンI — 格子振動 単原子鎖の分散関係の完全導出，第1Brillouin域に折り返す理由，群速度，2原子鎖と光学分枝・音響分枝，$\omega$ の極限形，弾性波の量子化，フォノンの運動量，中性子非弾性散乱
  3. 第14章フォノンII — 熱的性質 Planck分布，状態密度の数え方（周期境界条件），Debyeモデルと $T^3$ 法則の完全導出，Einsteinモデル，van Hove特異点，非調和性とGrüneisenパラメータ，熱膨張，熱伝導率とUmklapp過程
  4. 第15章自由電子Fermi気体 1次元・3次元の量子化，Fermi球とFermiエネルギー，Fermi–Dirac分布，Sommerfeld展開の完全導出，電子比熱 $\gamma T$，Drudeの伝導度，Hall効果，Wiedemann–Franz則とLorenz数
  5. 第16章エネルギーバンド なぜギャップができるのか（定在波の描像），ほとんど自由な電子模型の2×2永年方程式，Bloch関数，Kronig–Penneyモデルの完全解，中心方程式，ゾーン境界近傍の解，バンド内の状態数と金属・絶縁体の区別
  6. 第17章半導体 直接遷移と間接遷移，$\hbar \dot{\bm{k}} = \bm{F}$ の導出，有効質量テンソル，正孔の符号，真性キャリア濃度 $n_i$ の導出，質量作用の法則，ドナー・アクセプターの束縛エネルギー（水素様模型），不純物伝導，移動度
  7. 第18章Fermi面と金属 還元ゾーン形式と周期ゾーン形式，Harrison構成，電子軌道・正孔軌道・開いた軌道，強束縛近似の完全導出，Wigner–Seitz法，擬ポテンシャル，de Haas–van Alphen効果とOnsagerの量子化条件
  8. 第19章誘電体と強誘電体 局所電場とLorentz場，Clausius–Mossotti関係，分極率の3成分，ソフトモードとLyddane–Sachs–Teller関係，強誘電体の分類，Landau自由エネルギー展開と相転移の次数，$\mathrm{BaTiO_3}$，第4章の点群の話との接続
  9. 第20章磁性 Langevin反磁性，常磁性とBrillouin関数，Curie則，Hund則，結晶場と軌道角運動量の消失，Weissの分子場理論とCurie–Weiss則，交換相互作用の起源，反強磁性とNéel温度，強磁性磁区とスピン波
付録
  1. 付録A数学ノート Kittelが飛ばす計算をすべて埋めるための道具箱：Fourier級数と変換，周期境界条件と状態の数え方，Sommerfeld展開，Debye積分 $\int_0^\infty x^4 e^x/(e^x-1)^2 dx$，行列の対角化とトレース，テンソルと添字記法，複素数と留数，Diracのデルタ関数，Legendre変換
  2. 付録B結晶学の実務 — 国際表・CIF・VESTA・CrystOD International Tables for Crystallography の読み方，Wyckoff位置と一般位置，CIFファイルを自分で書く，VESTAでの構造描画・XRD計算・セル変換行列，CrystODによる対称性解析，Materials Project と ICSD，ソフトウェアを引用することの意味
  3. 付録C演習問題の解答 第1章〜第20章および付録Bの演習問題，全122問の解答．答えだけでなく途中の式変形をすべて書いてある．自分の答案と突き合わせて，どこで道が分かれたかを見つけるためのもの．多くの問題に「学生がやりがちな誤り」「別解」「物理的な意味」の補足を付けた

主要参考書

東京理科大学 先進工学部 マテリアル創成工学科 望月研究室
望月研究室勉強会「物質の対称性と群論」（2026年4月24日）の資料をもとに構成