第7章束縛状態 — 水素からハドロンまで

導出：2体問題 → 換算質量の1体問題

ステップ1：新しい座標を定義する．重心座標 $\bm{R}$ と相対座標 $\bm{r}$ を

$$ \bm{R} \equiv \frac{m_1\bm{r}_1 + m_2\bm{r}_2}{m_1+m_2}, \qquad \bm{r} \equiv \bm{r}_1 - \bm{r}_2 $$

と置く．逆に解くと $\bm{r}_1 = \bm{R} + \dfrac{m_2}{M}\bm{r}$，$\bm{r}_2 = \bm{R} - \dfrac{m_1}{M}\bm{r}$（$M\equiv m_1+m_2$）である．

ステップ2：運動エネルギーを書き換える．時間微分して速度を求めると $\dot{\bm{r}}_1 = \dot{\bm{R}} + (m_2/M)\dot{\bm{r}}$，$\dot{\bm{r}}_2 = \dot{\bm{R}} - (m_1/M)\dot{\bm{r}}$．これを $T = \tfrac12 m_1\dot{\bm{r}}_1^2 + \tfrac12 m_2\dot{\bm{r}}_2^2$ に代入する：

$$ T = \tfrac12 m_1\left(\dot{\bm{R}} + \tfrac{m_2}{M}\dot{\bm{r}}\right)^2 + \tfrac12 m_2\left(\dot{\bm{R}} - \tfrac{m_1}{M}\dot{\bm{r}}\right)^2 $$

交差項は $m_1 (m_2/M) - m_2(m_1/M) = 0$ で消える．これが重心座標を選んだご利益である．残るのは

$$ T = \tfrac12 (m_1+m_2)\dot{\bm{R}}^2 + \tfrac12 \frac{m_1 m_2^2 + m_2 m_1^2}{M^2}\dot{\bm{r}}^2 = \tfrac12 M\dot{\bm{R}}^2 + \tfrac12 \mu\,\dot{\bm{r}}^2 $$

ここで最後の変形に $m_1m_2^2 + m_2m_1^2 = m_1m_2(m_1+m_2) = m_1m_2 M$ を使い，

を換算質量と定義した．

ステップ3：量子化する．正準運動量は $\bm{P} = M\dot{\bm{R}}$，$\bm{p} = \mu\dot{\bm{r}}$ であり，$[\,R_i,P_j\,]=\ii\delta_{ij}$，$[\,r_i,p_j\,]=\ii\delta_{ij}$ が成り立つ（変換が正準変換であることによる）．したがって

$$ \begin{equation} H = \frac{\bm{P}^2}{2M} + \left[\frac{\bm{p}^2}{2\mu} + V(r)\right] \label{eq:7-Hsep} \end{equation} $$

ステップ4：変数分離．\eqref{eq:7-Hsep} の第1項は $\bm{R}$ にしか，角括弧の中は $\bm{r}$ にしか依らないので，波動関数は $\Psi(\bm{R},\bm{r}) = \ee^{\ii\bm{P}\cdot\bm{R}}\psi(\bm{r})$ と積に分解する．重心はただ自由に飛ぶだけであり，内部構造をすべて担うのは

である．これで2体問題が，質量 $\mu$ の粒子が固定された力の中心の周りを動く1体問題に化けた．

導出（1）：相対論的運動エネルギー補正

相対論的エネルギーは $E = \sqrt{p^2+m^2}$ である（第4章）．これを $p/m$ で展開する：

$$ \sqrt{p^2+m^2} = m\sqrt{1+\frac{p^2}{m^2}} = m\left[1 + \frac{1}{2}\frac{p^2}{m^2} - \frac{1}{8}\frac{p^4}{m^4} + \cdots\right] = m + \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3} + \cdots $$

静止エネルギー $m$ は基準にとって捨て，第2項が普通の運動エネルギー．したがって最初の相対論補正は

$$ \begin{equation} H_{\text{rel}} = -\frac{\bm{p}^4}{8m^3} \label{eq:7-Hrel} \end{equation} $$

大きさの見積り：$\braket{p^2/2m}\sim\alpha^2 m$ だから $\braket{p^4/8m^3}\sim \alpha^4 m$．期待どおり微細構造のスケールである．符号は負，すなわちすべての準位を下げる．速く動く電子ほど（＝内側にいる小さい $\ell$ の状態ほど）大きく下がる．

期待値を計算すると（$\braket{1/r}=1/(n^2a)$，$\braket{1/r^2}=1/[(\ell+\tfrac12)n^3a^2]$ を使う）

$$ \braket{H_{\text{rel}}} = -\frac{(E_n)^2}{2m}\left[\frac{4n}{\ell+\tfrac12}-3\right] $$

導出（2）：スピン軌道結合と Thomas 因子

ステップ1：電子から見た磁場．電子の静止系に移ると，陽子が電子の周りを回っているように見える．その円電流が作る磁場は，Biot–Savart 則から

$$ \bm{B} = -\frac{\bm{v}\times\bm{E}}{c^2} \quad\longrightarrow\quad \bm{B} = \frac{1}{e\,m}\frac{1}{r}\frac{\dd V}{\dd r}\,\bm{L} $$

（$\bm{E} = -(\bm{r}/r)(\dd V/\dd r)/(-e)$ と $\bm{L}=m\bm{r}\times\bm{v}$ を使った．自然単位系で $c=1$．）

ステップ2：電子のスピン磁気モーメントとの結合．電子の磁気モーメントは $\bm{\mu}_e = -g_e (e/2m)\bm{S}$，$g_e\simeq2$（第9章の Dirac 方程式が $g=2$ を予言する）．結合エネルギーは $-\bm{\mu}_e\cdot\bm{B} = (e/m)\bm{S}\cdot\bm{B}$（$g_e=2$）で，$\bm{B}$ の中の $1/e$ と約分して電荷が消え，

$$ H_{\text{SO}}^{(\text{naive})} = \frac{1}{m^2}\frac{1}{r}\frac{\dd V}{\dd r}\,\bm{S}\cdot\bm{L} $$

ステップ3：Thomas 歳差（因子 $1/2$）．ここで有名な落とし穴がある．電子の静止系は加速度運動しているので，慣性系ではない．2つの非平行な Lorentz ブーストの合成が純粋なブーストにならず回転を伴うこと（Wigner 回転）から，スピンの歳差に余分な寄与が出る．これを正しく扱うと上式がちょうど半分になる：

$$ \begin{equation} H_{\text{SO}} = \frac{1}{2m^2}\frac{1}{r}\frac{\dd V}{\dd r}\,\bm{S}\cdot\bm{L} = \frac{\alpha}{2m^2 r^3}\,\bm{S}\cdot\bm{L} \label{eq:7-HSO} \end{equation} $$

（最後は $V=-\alpha/r$ より $\dd V/\dd r = \alpha/r^2$．）第9章で Dirac 方程式を非相対論展開すれば，Thomas 因子は自動的に出てくる．

ステップ4：$\bm{S}\cdot\bm{L}$ の固有値．全角運動量を $\bm{J}=\bm{L}+\bm{S}$ とすると $\bm{J}^2 = \bm{L}^2+\bm{S}^2+2\bm{L}\cdot\bm{S}$ より

$$ \begin{equation} \braket{\bm{S}\cdot\bm{L}} = \tfrac12\left[j(j+1)-\ell(\ell+1)-s(s+1)\right] \label{eq:7-SL} \end{equation} $$

この形は本章で繰り返し使う（クォーコニウムでも，バリオンでも同じ式である）．

導出（3）：Darwin 項 — 電子の「ふるえ」

3つめは古典的対応物を持たない，純粋に相対論的量子効果である．Dirac 方程式では，位置演算子が高速に振動する成分（Zitterbewegung，ふるえ運動）を含む．その振幅は Compton 波長 $\lambda_C = 1/m$ 程度である．

ステップ1：ポテンシャルをスメアする．電子が $\lambda_C$ の広がりでぼやけているなら，感じるポテンシャルはその範囲での平均になる．$\bm{\delta}$ をゆらぎとして Taylor 展開すると

$$ \braket{V(\bm{r}+\bm{\delta})} = V(\bm{r}) + \braket{\bm\delta}\cdot\nabla V + \tfrac12\braket{\delta_i\delta_j}\partial_i\partial_j V + \cdots $$

$\braket{\bm\delta}=0$，$\braket{\delta_i\delta_j} = \tfrac13\braket{\delta^2}\delta_{ij}$ と等方性を仮定すれば，補正は $\tfrac16\braket{\delta^2}\nabla^2 V$ である．

ステップ2：係数を Dirac 方程式から取る．厳密な計算（第9章）は $\braket{\delta^2}\to\tfrac{3}{4m^2}$ に相当する係数を与え，

$$ \begin{equation} H_{\text{Darwin}} = \frac{1}{8m^2}\nabla^2 V = \frac{\alpha}{8m^2}\nabla^2\!\left(-\frac{1}{r}\right) = \frac{\pi\alpha}{2m^2}\,\delta^3(\bm{r}) \label{eq:7-Darwin} \end{equation} $$

ここで $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\bm{r})$（付録A）を使った．

ステップ3：$\ell=0$ にしか効かない．デルタ関数だから期待値は $\abs{\psi(0)}^2$ に比例する．7.1.3 項で述べたとおり，これは $s$ 波だけである：

$$ \braket{H_{\text{Darwin}}} = \frac{\pi\alpha}{2m^2}\abs{\psi_{n00}(0)}^2 = \frac{\pi\alpha}{2m^2}\cdot\frac{1}{\pi n^3 a^3} = \frac{\alpha^4 m}{2n^3} \qquad(\ell=0\ \text{のみ}) $$

符号は正で，$s$ 波準位を持ち上げる．物理的には，ぼやけた電子は原点の深い井戸を「均して」感じるので，束縛が弱まるのである．

導出：真空偏極の寄与を自分で出す（$-27\ \mathrm{MHz}$）

ステップ1：Uehling ポテンシャル．第10章で計算するように，$e^+e^-$ ループを1つ含む補正は，光子の伝播関数に $q^2$ 依存の因子を掛ける．$\abs{q}\ll m_e$（原子のスケール）では，補正は接触項に縮退し，実効ポテンシャルは

$$ \begin{equation} \delta V_{\text{VP}}(\bm{r}) = -\frac{4\alpha^2}{15\,m_e^2}\,\delta^3(\bm{r}) \label{eq:7-uehling} \end{equation} $$

となる（Uehling 項）．係数 $4/15$ は，1ループの真空偏極関数を $q^2\to0$ で展開した係数である．

ステップ2：符号の物理．デルタ関数の係数が負なのは，原点で引力が強くなることを意味する（$V$ が下がる）．真空の $e^+e^-$ 対が核電荷を遮蔽しているため，核に近づくほど「裸の電荷」が見えて引力が増す，という描像である．誘電体の中の電荷の遮蔽と同じ論理であり，しかも符号も同じ（第10章の走る結合定数）．

ステップ3：期待値をとる．$s$ 波でのみゼロでなく，$\abs{\psi_{n00}(0)}^2 = 1/(\pi n^3 a^3)$，$a = 1/(m_e\alpha)$ より

$$ \Delta E_{\text{VP}} = -\frac{4\alpha^2}{15 m_e^2}\cdot\frac{m_e^3\alpha^3}{\pi n^3} = -\frac{4}{15\pi}\frac{\alpha^5 m_e}{n^3} $$

ステップ4：数値を入れる．$\alpha^5 m_e c^2 = 1.0574\times10^{-5}\ \mathrm{eV}$，$n=2$：

$$ \Delta E_{\text{VP}} = -\frac{4}{15\pi}\cdot\frac{1.0574\times10^{-5}}{8}\ \mathrm{eV} = -1.1220\times10^{-7}\ \mathrm{eV} = -27.1\ \mathrm{MHz} $$

文献値 $-27.1\ \mathrm{MHz}$ と一致する．真空偏極は $2S$ 準位を下げるので，観測される $2S$ が $2P$ より高いことに対しては逆向きに効いている．

導出：$2S$ 準位の1ループ全補正（自己エネルギー＋異常磁気能率＋真空偏極）

ステップ1：ゆらぐ電子．電子は自分が作る電磁場のゆらぎに揺さぶられて，位置が $\braket{(\delta r)^2}$ だけ広がる．Darwin 項と同じ論理でポテンシャルをスメアすると

$$ \Delta E = \tfrac16\braket{(\delta r)^2}\braket{\nabla^2 V} = \tfrac16\braket{(\delta r)^2}\cdot 4\pi\alpha\abs{\psi(0)}^2 $$

ステップ2：ゆらぎの大きさ．振動数 $\omega$ の真空ゆらぎに対する強制振動の振幅は $\delta r_\omega \sim eE_\omega/(m\omega^2)$．真空の零点エネルギーを足し上げると，対数的に発散する積分

$$ \braket{(\delta r)^2} \sim \frac{2\alpha}{\pi m_e^2}\int \frac{\dd\omega}{\omega} $$

が現れる．ここが問題の核心である．

ステップ3：カットオフを物理で決める（くりこみの原型）．Bethe の慧眼は，この対数発散が「自由電子でも起きる質量の繰り込み」であって，束縛エネルギーの差には効かないと見抜いたことにある．差をとると積分は自然に切れて，上限は $\omega\sim m_e$（相対論的領域），下限は典型的な原子の励起エネルギー $\braket{\omega}_{\text{Bethe}}$ になる．結果を，あとから確定した相対論的な定数項まで含めて書くと

$$ \begin{equation} \Delta E_{1\text{loop}}(nS) = \frac{4\alpha^5 m_e}{3\pi n^3} \left[\ln\frac{1}{\alpha^2} - \ln\frac{k_0}{\mathrm{Ry}} + \frac{19}{30}\right] \qquad(\ell=0) \label{eq:7-lamb-se} \end{equation} $$

$\ln(k_0/\mathrm{Ry}) = 2.812$ が $2S$ 状態のBethe 対数（数値的に評価される定数）である．

括弧の中の定数 $19/30$ は，1949年以降の完全な1ループ計算（Kroll–Lamb，French–Weisskopf）で確定したもので，

$$ \frac{19}{30} = \underbrace{\frac{11}{24}}_{\text{自己エネルギー本体}} + \underbrace{\frac38}_{\text{異常磁気能率}} - \underbrace{\frac15}_{\text{真空偏極}} $$

と分解される．つまり \eqref{eq:7-lamb-se} は自己エネルギーだけの式ではなく，$2S$ 準位が受ける1ループ補正の全体であり，前の箱で別に計算した真空偏極 $-27.1\ \mathrm{MHz}$ をすでに含んでいる（$-1/5$ の項に $\frac{4}{3\pi}\alpha^5m_e/n^3$ を掛けると，ちょうど \eqref{eq:7-uehling} の期待値になることを確かめられる）．Bethe が1947年に列車の中でやった非相対論的計算には $19/30$ も真空偏極も現れず，対数項だけの

$$ \Delta E_{\text{Bethe}} = \frac{4\alpha^5 m_e}{3\pi n^3}\ln\frac{m_e}{k_0}, \qquad k_0(2S)\simeq17.8\ \mathrm{Ry} $$

であった（$\ln(m_e/k_0)=7.65$，$n=2$ で $1038\ \mathrm{MHz}$）．

ステップ4：数値．$n=2$ で

$$ \frac{4}{3\pi}\cdot\frac{1.0574\times10^{-5}}{8}\ \mathrm{eV}\times\left[9.840-2.812+0.633\right] = 5.610\times10^{-7}\times7.662\ \mathrm{eV} = 4.298\times10^{-6}\ \mathrm{eV} $$

すなわち $1039\ \mathrm{MHz}$．これは $2S_{1/2}$ 準位単独の1ループシフトであって，$2S$–$2P$ の間隔ではない．Bethe の値 $1040\ \mathrm{MHz}$ とほぼ同じ数字になるのは，$19/30\simeq0.63$ と彼のカットオフの取り方の差が偶然打ち消し合った結果である．

ステップ5：$2P_{1/2}$ の分も引く．$2P_{1/2}$ も異常磁気能率とスピン軌道結合のずれで約 $12.9\ \mathrm{MHz}$ 下がる（$\ell\ne0$ では Bethe 対数が $\ln[k_0(2P)/\mathrm{Ry}]=-0.030$ と小さく，異常磁気能率からの $-1/6$ が主役になる）．したがって

$$ \Delta E(2S_{1/2}) - \Delta E(2P_{1/2}) = 1039 + 13 = 1052\ \mathrm{MHz} $$

が $O(\alpha^5 m_e)$，すなわち1ループの Lamb シフトである．表7.1 の内訳で言えば $1010+68-27.1 = 1051\ \mathrm{MHz}$ がこれに対応し（自己エネルギー本体 $+1010$，異常磁気能率 $+68$，真空偏極 $-27.1$ という分け方をしただけで，中身は同じものである），実測 $1057.8\ \mathrm{MHz}$ との残り約 $6$〜$7\ \mathrm{MHz}$ が高次の束縛補正と陽子の有限サイズである．

導出：Fermi 接触項から $21\ \mathrm{cm}$ 線を出す

ステップ1：磁気モーメントを書く．

$$ \bm{\mu}_e = -g_e\frac{e}{2m_e}\bm{S}_e\ \ (g_e\simeq2), \qquad \bm{\mu}_p = +g_p\frac{e}{2m_p}\bm{S}_p\ \ (g_p = 5.586) $$

陽子の $g_p$ が $2$ でないのは，陽子が点粒子でなくクォークの複合体だからである（7.6 節で，$g_p\ne2$ がクォークの複合状態であることの帰結として理解できることを見る．クォーク模型がパラメータなしに予言するのは比 $\mu_n/\mu_p=-2/3$ で，$\mu_p$ の実測値そのものは構成クォーク質量を読み取る入力に使う）．

ステップ2：点磁気双極子の作る磁場．双極子 $\bm{\mu}_p$ が原点にあるときの磁場は，遠方の双極子場に加えて原点に接触項を持つ：

$$ \bm{B}(\bm{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3(\bm{\mu}_p\cdot\hat{r})\hat{r}-\bm{\mu}_p}{r^3}\right] + \frac{2\mu_0}{3}\bm{\mu}_p\,\delta^3(\bm{r}) $$

$s$ 波では波動関数が球対称なので第1項（双極子・双極子項）の角度平均はゼロになる．残るのは接触項だけである．

ステップ3：相互作用エネルギー．接触項だけを残した Hamiltonian は $H = -\tfrac23\,\bm{\mu}_e\cdot\bm{\mu}_p\,\delta^3(\bm{r})$（自然単位系，$\mu_0=1$）である．ステップ1の表式を代入すると

$$ H_{\text{hf}} = \frac{2}{3}\,g_e g_p\,\frac{e^2}{4m_em_p}\,\braket{\bm{S}_e\cdot\bm{S}_p}\,\delta^3(\bm{r}) = \frac{2\pi\alpha\,g_e g_p}{3\,m_e m_p}\,\bm{S}_e\cdot\bm{S}_p\;\delta^3(\bm{r}) $$

（$e^2 = 4\pi\alpha$ を使った．）期待値をとると $\delta^3(\bm{r})$ が $\abs{\psi(0)}^2$ を拾う．$g_e=2$，$\abs{\psi_{n00}(0)}^2 = m_e^3\alpha^3/(\pi n^3)$ を代入して整理すると

ここで $\braket{\bm{S}_e\cdot\bm{S}_p}$ は，全スピン $\bm{S}=\bm{S}_e+\bm{S}_p$ を使って

$$ \braket{\bm{S}_e\cdot\bm{S}_p} = \tfrac12\left[S(S+1)-\tfrac34-\tfrac34\right] = \begin{cases} +\tfrac14 & (S=1,\ \text{三重項}) \\[2pt] -\tfrac34 & (S=0,\ \text{一重項})\end{cases} $$

ステップ4：分裂幅を数値で出す．三重項と一重項の差は $\tfrac14-(-\tfrac34)=1$ だから，$n=1$ での分裂幅は

$$ \Delta E_{\text{hf}} = \frac43 \times 5.586\times\frac{1}{1836.15}\times1.4490\times10^{-3}\ \mathrm{eV} = 5.877\times10^{-6}\ \mathrm{eV} $$

振動数と波長に直すと

$$ \nu = \frac{5.877\times10^{-6}}{4.1357\times10^{-15}} = 1421\ \mathrm{MHz}, \qquad \lambda = \frac{c}{\nu} = 21.1\ \mathrm{cm} $$

実測値は $\nu = 1420.405751768\ \mathrm{MHz}$，$\lambda = 21.106\ \mathrm{cm}$．$0.05\%$ の一致で，残差は換算質量補正・束縛状態の相対論補正・QED の輻射補正（$g_e = 2(1+a_e)$ など），および陽子の内部構造（Zemach 半径）による補正である．なお実測値の桁数の多さに注目してほしい．これは物理学で最も精密に測られた量の一つである．

導出：Ps の超微細分裂 $\tfrac{7}{12}\alpha^4 m_e$ の内訳

ステップ1：接触項（水素の式で $m_p\to m_e$，$g_p\to g_e = 2$）．\eqref{eq:7-hf} をそのまま流用する．ただし波動関数の広がりが2倍になったので $\abs{\psi(0)}^2$ が $1/8$ になることを忘れてはならない：

$$ \abs{\psi_{\text{Ps}}(0)}^2 = \frac{1}{\pi a_{\text{Ps}}^3} = \frac{1}{\pi (2a_0)^3} = \frac18 \abs{\psi_{\text{H}}(0)}^2 $$

したがって

$$ \Delta E_{\text{contact}} = \underbrace{\frac43}_{\text{同じ}}\times\underbrace{2}_{g_e}\times\underbrace{1}_{m_e/m_e}\times\alpha^4 m_e\times\underbrace{\frac18}_{\abs{\psi(0)}^2} = \frac{1}{3}\alpha^4 m_e $$

水素との比は $\dfrac{1/3}{(4/3)(5.586)(1/1836)} = \dfrac{0.3333}{4.057\times10^{-3}} = 82.2$ 倍．$m_e/m_p$ という抑制因子がなくなったことが最大の理由である．陽子が軽ければ磁気モーメントが大きい，というだけの話である．

ステップ2：仮想消滅項（水素には存在しない）．$e^+e^-$ は光子1個に化けて，また $e^+e^-$ に戻ることができる：

$$ e^+e^- \to \gamma^* \to e^+e^- $$

この過程が可能なのは，中間状態が光子の量子数を持つ場合に限る．第6章で見たとおり光子は $J^{PC}=1^{--}$ であるから，$e^+e^-$ 系も $J^{PC}=1^{--}$ でなければならない．$S$ 波（$L=0$）の $e^+e^-$ では $P=(-1)^{L+1}=-1$，$C=(-1)^{L+S}$ なので，$C=-1$ は $S=1$ を要求する．すなわち三重項（ortho-Ps）だけが仮想消滅項を持つ．一重項（para-Ps）は $C=+1$ なので1光子中間状態を作れない．

この寄与を計算すると（第10章のファインマン則で導ける）

$$ \Delta E_{\text{annih}} = \frac{1}{4}\alpha^4 m_e \qquad(\text{三重項のみ，上向きにシフト}) $$

ステップ3：合計．三重項と一重項の差は

ステップ4：数値．$\alpha^4 m_e c^2 = 1.4490\times10^{-3}\ \mathrm{eV}$ より

$$ \Delta E_{\text{hf}}^{\text{Ps}} = \frac{7}{12}\times1.4490\times10^{-3} = 8.453\times10^{-4}\ \mathrm{eV} = 204.4\ \mathrm{GHz} $$

実測値 $203.3941(16)\ \mathrm{GHz}$（Ishida ら 2014）．差の $0.5\%$ は $O(\alpha^5 m_e)$，すなわち最低次に対して相対 $\alpha/\pi$ の補正

$$ \Delta E_{\text{hf}}^{\text{Ps}} = \frac{7}{12}\alpha^4 m_e\left[1-\frac{\alpha}{\pi}\left(\frac{32}{21}+\frac67\ln2\right)+\cdots\right] $$

でほぼ完全に説明される（Karplus–Klein 1952）．括弧の中は $1-0.0049$ で，$204.39\times0.99508 = 203.38\ \mathrm{GHz}$ となり実測と合う．対数 $\ln\alpha$ が現れるのはさらに次の $O(\alpha^6\ln\alpha)$ からである．

内訳を振動数で書くと，接触項 $116.8\ \mathrm{GHz}$ ＋ 消滅項 $87.6\ \mathrm{GHz}$．消滅項が全体の $43\%$ を占めており，「反粒子が相手だからこそ現れる項」が実測にはっきり見えているのが痛快である．

導出：寿命の $\alpha$ べきと数値

ステップ1：崩壊率の構造．消滅は「2つの粒子が同じ点に来る」ことを必要とするので，崩壊率は必ず $\abs{\psi(0)}^2$ に比例する．次元を合わせると

$$ \Gamma = \sigma v\,\abs{\psi(0)}^2 \times(\text{スピン因子}) $$

ここで $\sigma v$ は自由な $e^+e^-$ の消滅断面積×相対速度である．

ステップ2：para-Ps（$2\gamma$）．2光子放出だから振幅は $e^2\propto\alpha$，率は $\alpha^2$．低速での消滅断面積は $\sigma v = \pi\alpha^2/m_e^2$（スピン平均値．Dirac 1930）である．$2\gamma$ に行けるのは一重項だけなので，一重項に射影すると 4 倍の $4\pi\alpha^2/m_e^2$ になる．これとスピン因子を正しく入れると

$$ \begin{equation} \Gamma(\text{para}) = 4\pi\frac{\alpha^2}{m_e^2}\abs{\psi(0)}^2 = 4\pi\frac{\alpha^2}{m_e^2}\cdot\frac{(m_e\alpha/2)^3}{\pi} = \frac{1}{2}\alpha^5 m_e \label{eq:7-para-rate} \end{equation} $$

$\abs{\psi(0)}^2 = 1/(\pi a_{\text{Ps}}^3)$，$a_{\text{Ps}}=2/(m_e\alpha)$ を代入した．数値は

$$ \Gamma = \tfrac12\times1.0574\times10^{-5}\ \mathrm{eV} = 5.287\times10^{-6}\ \mathrm{eV}, \qquad \tau = \frac{\hbar}{\Gamma} = \frac{6.582\times10^{-16}}{5.287\times10^{-6}}\ \mathrm{s} = 124.5\ \mathrm{ps} $$

実測 $125.14\ \mathrm{ps}$ とよく合う．

ステップ3：ortho-Ps（$3\gamma$）．光子が1つ増えるごとに振幅に $e$，率に $\alpha$ が付くので，$\Gamma\propto\alpha^6 m_e$ になる．3体位相空間の積分を実行すると（Ore–Powell 1949）

$$ \begin{equation} \Gamma(\text{ortho}) = \frac{2(\pi^2-9)}{9\pi}\,\alpha^6 m_e = 0.06151\,\alpha^6 m_e \label{eq:7-ortho-rate} \end{equation} $$ $$ \Gamma = 0.06151\times7.717\times10^{-8}\ \mathrm{eV} = 4.747\times10^{-9}\ \mathrm{eV}, \qquad \tau = 138.7\ \mathrm{ns} $$

$O(\alpha)$ の QED 補正 $\Gamma = \Gamma_0(1-10.286\,\alpha/\pi+\cdots)$ を入れると $\tau = 142.1\ \mathrm{ns}$ となり，実測 $142.04\ \mathrm{ns}$（Kataoka ら 2009）に合う．

ステップ4：比の意味．寿命比は

$$ \frac{\tau_{\text{ortho}}}{\tau_{\text{para}}} = \frac{1/2}{0.06151\,\alpha} = 1114 $$

すなわち，光子1個の追加コスト $\alpha=1/137$ と，位相空間の因子だけで $10^3$ 倍の寿命差が生じる．この $10^3$ 倍という開きこそが，このすぐ後で見る材料評価法 PALS を成立させている．

導出：変分法でチャーモニウムの束縛エネルギーを見積もる

ステップ1：試行関数を選ぶ．水素型の $1s$ 関数

$$ \psi_\lambda(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi\lambda^3}}\ee^{-r/\lambda} $$

を使う．$\lambda$ が変分パラメータである．

ステップ2：期待値を計算する．この関数について（水素原子の標準的な結果を流用する）

$$ \braket{T} = \frac{1}{2\mu\lambda^2},\qquad \braket{\frac{1}{r}} = \frac{1}{\lambda},\qquad \braket{r} = \frac{3\lambda}{2} $$

したがってエネルギー期待値は

$$ \begin{equation} E(\lambda) = \frac{1}{2\mu\lambda^2} - \frac{\kappa}{\lambda} + \frac{3a\lambda}{2}, \qquad \kappa\equiv\frac{4\alpha_s}{3} \label{eq:7-variational} \end{equation} $$

ステップ3：数値を入れて最小化する．チャーモニウムでは $\mu = m_c/2 = 0.75\ \mathrm{GeV}$，$\alpha_s = 0.39$（$\kappa=0.52$），$a=0.18\ \mathrm{GeV^2}$．$\dd E/\dd\lambda = 0$ を解くと

$$ \lambda = 1.33\ \mathrm{GeV^{-1}} = 0.263\ \mathrm{fm}, \qquad E_{\min} = +0.345\ \mathrm{GeV} $$

平均半径は $\braket{r} = 1.5\lambda = 0.40\ \mathrm{fm}$．中間子の質量は

$$ M = 2m_c + E = 3.00 + 0.35 = 3.35\ \mathrm{GeV} $$

実測のスピン平均 $1S$ 質量 $\overline{M} = \tfrac14(3M_{J/\psi}+M_{\eta_c}) = 3.069\ \mathrm{GeV}$ と，$9\%$ の一致である．ここでずれを変分法のせいにしてはいけない．同じパラメータで Schrödinger 方程式を数値的に厳密に解くと $E_{1S} = 0.327\ \mathrm{GeV}$（$M = 3.33\ \mathrm{GeV}$）で，変分値 $0.345\ \mathrm{GeV}$ とほとんど変わらないからである．ずれの大半は $m_c = 1.5\ \mathrm{GeV}$ という取り方によるもので，Cornell 模型の原論文は $m_c = 1.84\ \mathrm{GeV}$，$E_{1S}<0$ でフィットしている．構成クォーク質量とポテンシャルは独立には決まらず，意味をもつのは準位の差だけである——これは次項以降でも繰り返し出てくる注意である．

ステップ4：ボトモニウムで同じことをする．$\mu = m_b/2 = 2.35\ \mathrm{GeV}$，$\alpha_s=0.22$（$\kappa=0.293$）とすると

$$ \lambda = 0.86\ \mathrm{GeV^{-1}} = 0.170\ \mathrm{fm},\quad \braket{r} = 0.26\ \mathrm{fm},\quad E_{\min} = +0.179\ \mathrm{GeV},\quad M = 9.58\ \mathrm{GeV} $$

実測のスピン平均 $9.445\ \mathrm{GeV}$．重いほうが小さく，深く，Coulomb 的になっているのが見てとれる．

導出：$\abs{\psi(0)}^2$ をレプトン対崩壊幅から実験的に取る

ステップ1：Van Royen–Weisskopf の公式．ベクトル中間子 $V$（$J^{PC}=1^{--}$）は，$c\bar c\to\gamma^*\to e^+e^-$ で崩壊できる．この過程も「2つのクォークが同じ点にいる」ことを要求するので $\abs{\psi(0)}^2$ に比例する：

$$ \begin{equation} \Gamma(V\to e^+e^-) = \frac{16\pi\alpha^2 e_q^2}{M_V^2}\abs{\psi(0)}^2 \label{eq:7-vrw} \end{equation} $$

$e_q$ はクォークの電荷（$c$ なら $2/3$）である．

ステップ2：$J/\psi$ に適用する．実測 $\Gamma(J/\psi\to e^+e^-) = 5.53\ \mathrm{keV}$，$M=3.097\ \mathrm{GeV}$，$e_q^2 = 4/9$：

$$ \abs{\psi(0)}^2 = \frac{\Gamma M^2}{16\pi\alpha^2 e_q^2} = \frac{(5.53\times10^{-6})(9.591)}{16\pi(5.325\times10^{-5})(4/9)}\ \mathrm{GeV^3} = 0.0446\ \mathrm{GeV^3} $$

この値を長さに直すと $\abs{\psi(0)}^{-2/3} = 2.8\ \mathrm{GeV^{-1}} = 0.56\ \mathrm{fm}$ で，変分計算の $\braket{r} = 0.40\ \mathrm{fm}$ と同じ桁である．ただし正直に比べておくと，変分試行関数（$\lambda = 1.33\ \mathrm{GeV^{-1}}$）が与える $\abs{\psi(0)}^2 = 1/(\pi\lambda^3) = 0.135\ \mathrm{GeV^3}$ は，いま崩壊幅から取った $0.0446\ \mathrm{GeV^3}$ の約3倍ある（長さに直すと $3^{1/3}=1.44$ 倍の差に圧縮されるので，比較が甘くなる）．この因子3は，素朴な Van Royen–Weisskopf 公式 \eqref{eq:7-vrw} に $O(\alpha_s)$ の大きな QCD 補正因子 $(1-16\alpha_s/3\pi)\simeq0.34$（$\alpha_s=0.39$）が掛かることでほぼ説明され，補正を入れると $0.0446/0.34 = 0.13\ \mathrm{GeV^3}$ となって変分値と一致する．以下では補正前の値 $0.0446\ \mathrm{GeV^3}$ をそのまま使う．

ステップ3：質量分裂を予言する．$\alpha_s=0.39$，$m_c=1.5\ \mathrm{GeV}$ を \eqref{eq:7-ss} に入れると

$$ M_{J/\psi}-M_{\eta_c} = \frac{32\pi}{9}\cdot\frac{0.39\times0.0446}{(1.5)^2}\ \mathrm{GeV} = 0.086\ \mathrm{GeV} = 86\ \mathrm{MeV} $$

実測 $113\ \mathrm{MeV}$．$\alpha_s$ の走りや相対論補正を無視した一次近似としては十分な一致である．ここで注意してほしいのは，もし補正前の $0.0446\ \mathrm{GeV^3}$ ではなく変分値 $0.135\ \mathrm{GeV^3}$ を \eqref{eq:7-ss} に入れると $260\ \mathrm{MeV}$ になってしまうことである．\eqref{eq:7-ss} も \eqref{eq:7-vrw} と同程度の $O(\alpha_s)$ 補正を受けるので，どちらか一方だけを補正してはいけない．補正前の値同士を組み合わせるのが，この手の見積りの作法である．

ステップ4：ボトモニウムで検算する．$\Gamma(\Upsilon\to e^+e^-)=1.34\ \mathrm{keV}$，$M=9.460\ \mathrm{GeV}$，$e_q^2=1/9$ から $\abs{\psi(0)}^2 = 0.403\ \mathrm{GeV^3}$（チャーモニウムの $9$ 倍！ 重いほど縮んでいる）．$\alpha_s=0.22$，$m_b=4.7\ \mathrm{GeV}$ で

$$ M_\Upsilon - M_{\eta_b} = \frac{32\pi}{9}\cdot\frac{0.22\times0.403}{(4.7)^2} = 0.045\ \mathrm{GeV} = 45\ \mathrm{MeV} $$

実測 $62\ \mathrm{MeV}$．$m_q^2$ の分母で抑えられる一方，$\abs{\psi(0)}^2$ が増えるので，結果的にチャーモニウムの半分程度になる ——という非自明な傾向を正しく再現している．

導出：混合角 $\theta_P$ を実測質量から決める

ステップ1：質量行列の対角化．$\{\ket{\eta_8},\ket{\eta_1}\}$ 基底での質量二乗行列を $\mathcal{M}^2$ とすると，物理状態はその固有ベクトルである．対角化がユニタリなので，トレースが保存する：

$$ m_{\eta_8}^2 + m_{\eta_1}^2 = m_\eta^2 + m_{\eta'}^2 $$

さらに $\ket{\eta_8}$ 成分の対角要素は

$$ \begin{equation} m_{\eta_8}^2 = m_\eta^2\cos^2\theta_P + m_{\eta'}^2\sin^2\theta_P \label{eq:7-mix-eq} \end{equation} $$

ステップ2：GMO から $m_{\eta_8}$ を入れる．前項の $m_{\eta_8}^2 = 0.32408\ \mathrm{GeV^2}$，$m_\eta^2 = 0.30015\ \mathrm{GeV^2}$，$m_{\eta'}^2 = 0.91734\ \mathrm{GeV^2}$ を \eqref{eq:7-mix-eq} に代入する：

$$ 0.32408 = 0.30015 + (0.91734-0.30015)\sin^2\theta_P $$ $$ \sin^2\theta_P = \frac{0.02393}{0.61719} = 0.03878 \quad\Longrightarrow\quad \abs{\theta_P} = 11.4^\circ $$

ステップ3：意味を読む．混合角が小さい，すなわち$\eta$ はほぼ $\eta_8$，$\eta'$ はほぼ $\eta_1$ である．クォーク成分に直すと

$$ \eta \simeq 0.51(u\bar u+d\bar d) - 0.69\,s\bar s,\qquad \eta' \simeq 0.49(u\bar u+d\bar d) + 0.73\,s\bar s $$

（符号と係数は $\theta_P=-11.4^\circ$ を \eqref{eq:7-etamix} と \eqref{eq:7-eta8eta1} に代入して得られる．）

導出：陽子の波動関数

ステップ1：色は分離する．色部分は常に \eqref{eq:7-color-singlet} の反対称一重項である．したがって残り（空間×スピン×フレーバー）は対称でなければならない．基底状態は $L=0$ で空間対称だから，スピン×フレーバーが対称という条件になる．

ステップ2：どうやって対称にするか．$S=1/2$ の3スピン状態も，$uud$ のフレーバー状態も，完全対称にはできない（混合対称，mixed symmetry）．しかし「混合対称 $\times$ 混合対称」を適切に組めば全体を対称にできる．結果だけ書くと，規格化された陽子の状態は

$$ \begin{equation} \begin{split} \ket{p\!\uparrow} = \frac{1}{\sqrt{18}}\Big[ &\;2\ket{u\!\uparrow u\!\uparrow d\!\downarrow} -\ket{u\!\uparrow u\!\downarrow d\!\uparrow} -\ket{u\!\downarrow u\!\uparrow d\!\uparrow} \\ &+ (\text{$d$ を1番目・2番目に置いた巡回項})\ \Big] \end{split} \label{eq:7-proton-wf} \end{equation} $$

全部で9項，係数の二乗和は $(4+1+1)\times3 = 18$ で規格化されている．

ステップ3：確かめ方．この状態が本当に $S=1/2$，$I=1/2$，かつスピン×フレーバーで対称であることは，任意の2つのクォークを入れ替えて同じ状態に戻ることを確認すればよい．この波動関数の帰結である磁気モーメントの公式は，演習7.6 で使う．

導出：$\mu_p$ と $\mu_n$，そして $\mu_n/\mu_p = -2/3$

ステップ1：陽子で期待値をとる．\eqref{eq:7-proton-wf} の各項について $\sigma_z$ の和を計算する．たとえば $\ket{u\!\uparrow u\!\uparrow d\!\downarrow}$ は $2\mu_u-\mu_d$ を，$\ket{u\!\uparrow u\!\downarrow d\!\uparrow}$ は $\mu_d$ を与える．係数の二乗で重みをつけると

$$ \mu_p = \frac{1}{18}\Big[3\times4\times(2\mu_u-\mu_d) + 3\times1\times\mu_d + 3\times1\times\mu_d\Big] = \frac{1}{18}\left[24\mu_u - 12\mu_d + 6\mu_d\right] $$

$\mu_n$ は $u\leftrightarrow d$ の入れ替えで得られる（アイソスピン対称性）．

ステップ2：$m_u = m_d \equiv m_q$ とする．アイソスピン対称性から $m_u=m_d$ としてよい．$\mu_0\equiv e/(2m_q)$ と置くと $\mu_u = \tfrac23\mu_0$，$\mu_d = -\tfrac13\mu_0$ だから

$$ \mu_p = \frac43\cdot\frac23\mu_0 + \frac13\cdot\frac13\mu_0 = \left(\frac89+\frac19\right)\mu_0 = \mu_0 $$ $$ \mu_n = -\frac43\cdot\frac13\mu_0 - \frac13\cdot\frac23\mu_0 = -\left(\frac49+\frac29\right)\mu_0 = -\frac23\mu_0 $$

ステップ3：パラメータのない予言．比をとると $m_q$ が消える：

実測は $\mu_n/\mu_p = -1.91304/2.79285 = -0.6850$．$2.7\%$ の一致である．調整パラメータがまったく入っていないことを強調しておきたい．1964年当時，クォークが実在するかどうか誰も確信していなかった時代に，この数字が出たのである．

ステップ4：構成クォーク質量を決める．$\mu_p = \mu_0 = (m_p/m_q)\mu_N$（$\mu_N = e/2m_p$ は核磁子）だから

$$ m_q = \frac{m_p}{\mu_p/\mu_N} = \frac{938.272}{2.79285}\ \mathrm{MeV} = 336\ \mathrm{MeV} $$

核子質量の約 $1/3$ である．これが構成クォーク質量で，QCD の「裸の」（カレント）クォーク質量 $m_u\simeq2\ \mathrm{MeV}$，$m_d\simeq5\ \mathrm{MeV}$ とはまったく別物である．差の $330\ \mathrm{MeV}$ はグルーオン場とクォーク凝縮が着せた「衣」であり，7.2.3 項で述べた「裸の量は測れない，着飾った量だけが測れる」の QCD 版である．

同様に $\Lambda$（$uds$ で $ud$ がスピン0対を組むので $\mu_\Lambda=\mu_s$）から

$$ m_s = \frac{m_p}{3\abs{\mu_\Lambda}/\mu_N} = \frac{938.272}{3\times0.613}\ \mathrm{MeV} = 510\ \mathrm{MeV} $$