非相対論的量子力学しか知らない人のための相対論的量子力学 ― Schrödinger から Klein–Gordon・Dirac へ，自由電子ガスと Thomas–Fermi 模型の相対論化

― Lorentz 対称性・ゲージ対称性・Klein–Gordon 方程式・Dirac 方程式は，具体的に何を意味するのか．対になるシミュレーター（Relativistic-QM-simulator.html）の解説と導出

マテリアル計算科学の講義第 7 回（スライド 29–31）では，Schrödinger 方程式が時間 1 階・空間 2 階の微分方程式で相対論の要請（Lorentz 対称性）を満たさないこと， E² = p²c² + m²c⁴ を演算子にすると Klein–Gordon 方程式になること，Dirac がそれを 1 階に書き直して 4 成分のスピノルとスピン・反粒子に到達したことを紹介しました．この解説はその続きで，「相対論的な方程式も Schrödinger 方程式と同じように固有値と固有関数を与えるはずだが，具体的に何が変わるのか」という問いに， 自由電子・無限井戸・自由電子ガス・Thomas–Fermi 模型という，非相対論でいちばん親しんだ例で答えていきます．

結論を先に言うと，変わるのは (i) 分散関係 E(p)（放物線 → 双曲線，負エネルギーの枝），(ii) 波動関数の成分数（1 → 4：スピンと反粒子）， (iii) 境界条件の付け方（Dirac 方程式は 1 階なので「壁で ψ = 0」が使えない），そして (iv) 電磁場との結合（ゲージ対称性から g = 2・スピン軌道相互作用が自動で出る）です．自由電子ガスでは k 空間の状態の数え方は変わらず，E(k) を置き換えるだけで状態密度・Fermi エネルギー・圧力・交換エネルギーの密度依存性が変わります．金属の伝導電子（x_F = ħk_F/mc ≈ 0.005）では補正は 10⁻⁵ 以下，白色矮星の中心（x_F ≳ 1）では圧力の密度依存性が変わって Chandrasekhar 限界質量が生まれ，重い原子の内殻（k_F ≈ 2.66Z a.u.）では交換エネルギーの相対論的因子が Dirac–Kohn–Sham 計算に入ってきます．

この解説の道筋 §1 Lorentz 対称性：なぜ Schrödinger 方程式では足りないのか． §2 Klein–Gordon 方程式：負エネルギー解と「確率が負になる」問題の正体． §3 Dirac 方程式：因数分解が 4×4 行列を要求し，スピンと反粒子が出る． §4 ゲージ対称性：位相の自由が電磁場を要求し，Dirac + 最小結合から g = 2・スピン軌道・Darwin 項が出る． §5 箱の中の粒子：KG・Dirac の準位，MIT 境界条件，Klein のパラドックス． §6 相対論的自由電子ガス：状態密度・Fermi エネルギー・圧力・Chandrasekhar 限界・TF 運動エネルギー汎関数． §7 相対論的交換エネルギー：Dirac 交換の相対論化と符号反転． §8 Thomas–Fermi 原子の相対論化：Vallarta–Rosen 方程式と点核の発散． §9 対応表．§10 実装ノート．§11 文献．

Lorentz 対称性
Klein–Gordon 方程式
Dirac 方程式
ゲージ対称性と最小結合
箱の中の粒子
相対論的自由電子ガス
相対論的交換エネルギー
Thomas–Fermi 模型の相対論化
対応表
実装ノート
参考文献

1. Lorentz 対称性 ― なぜ Schrödinger 方程式では足りないのか

1.1 相対論の出発点は「不変量」

特殊相対論は「どの慣性系でも光速 c は同じ」から出発し，その帰結として，慣性系の乗り換え（Lorentz 変換）で変わらない量が

(1)

s^{2} = c^{2} t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}, E^{2} - p^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}

であることを言います．左は時空の「距離」，右はエネルギーと運動量が作る 4 元ベクトル (E/c, p) の「長さ」で，どちらも時間成分と空間成分が同じ資格で（符号だけ違って）入っています．講義第 7 回のスライド 29 で「時間と空間は完全に独立ではなく相関している」と書いたのはこのことで，時間と空間を別扱いする式は相対論の要請と衝突します．

1.2 Schrödinger 方程式は Galilei 不変，Lorentz 不変ではない

量子力学の作り方は「E と p の関係式に演算子を代入する」ことです：

(2)

E \to i ℏ \frac{\partial}{\partial t}, p \to - i ℏ \nabla, E = \frac{p^{2}}{2 m} + V ⟹ i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V) ψ

出発点が非相対論的な E = p²/2m なので，できあがった方程式は時間 1 階・空間 2 階です．座標変換 x′ = x − vt（Galilei 変換）では位相因子を付け替えれば同じ形に戻せますが，Lorentz 変換では時間と空間が混ざるので形が保てません．「方程式が対称性をもつ」とは，変換後の座標で書き直しても同じ形になる（したがって全ての慣性系で同じ物理を与える）ことです．Schrödinger 方程式はこの意味で Lorentz 対称性をもちません．実用上は v/c ≪ 1 なら十分ですが，v/c の 2 乗の効果（金の 1s 電子なら 0.58²）が見えるところでは相対論的な方程式が要ります．

1.3 何が「相対論的な量子力学」の目標か

式 (1) の右の関係を演算子にすれば，時間と空間が同じ階数で入る方程式ができます．やり方は二つあって， 2 乗の関係をそのまま使うのが Klein–Gordon 方程式（§2），平方根を取って 1 階にするのが Dirac 方程式（§3）です．どちらも自由粒子の解は平面波 e^{i(p·r − Et)/ħ} で，固有値は E = ±√(p²c² + m²c⁴)．「固有値と固有関数を与える」という点は Schrödinger 方程式と同じで，違いは固有値の並び方（分散関係）と固有関数の成分数です． ▶ シミュレーター①：分散関係

2. Klein–Gordon 方程式 ― 負エネルギー解と「確率が負」の正体

2.1 導出と平面波解

(3)

E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4} ⟹ - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = - ℏ^{2} c^{2} \nabla^{2} ψ + m^{2} c^{4} ψ または (\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}}) ψ = 0

時間 2 階・空間 2 階で Lorentz 対称です（講義スライド 30）．平面波を入れると E² = p²c² + m²c⁴，すなわち E = ±√(p²c² + m²c⁴)．正の枝は p → 0 で mc² + p²/2m − p⁴/8m³c² + …（静止エネルギー＋Schrödinger の運動エネルギー＋質量速度補正）になり，非相対論に正しくつながります．問題は負の枝で，−mc² より下にエネルギーがいくらでもある．1 粒子の量子力学としては「基底状態がない」ことになり，これが後に反粒子（陽電子）として理解されます．

2.2 「確率が負になる」の正確な意味

Schrödinger 方程式では |ψ|² が確率密度で，∂|ψ|²/∂t + ∇·j = 0 が方程式から出ます． KG 方程式でも保存則は出ますが，時間 2 階なので保存する密度は |ψ|² ではなく

(4)

ρ = \frac{i ℏ}{2 m c^{2}} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t} - ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t}) ⟹ 平面波では ρ = \frac{E}{m c^{2}} {| ψ |}^{2}

で，負エネルギー解では ρ ＜ 0 になります（|ψ|² 自体はもちろん正です．スライド 30 の「ψ*ψ ＜ 0」は，この保存密度 ρ のことだと読んでください）． ρ が確率密度と解釈できない――これが 1926 年に Schrödinger も含め多くの人が KG 方程式を捨てた理由です． Pauli と Weisskopf（1934）は ρ を「電荷密度」と読み替え（粒子は +，反粒子は −），KG 方程式をスピン 0 の粒子（π 中間子など）の正しい方程式として復活させました． Feshbach–Villars（1958）はこれを 2 成分（粒子成分 φ と反粒子成分 χ）の 1 階方程式に書き直しています．シミュレーター①の「π⁺ 中間子」を選ぶと，この 2 成分の重みが表示されます．

電子には使えない：KG 方程式にはスピンが入る余地がなく，水素原子に適用すると微細構造が実験と合いません（Schrödinger が最初に試して捨てた計算です）．スピン 1/2 の電子には Dirac 方程式が必要です．

3. Dirac 方程式 ― 因数分解が 4×4 行列を要求し，スピンと反粒子が出る

3.1 平方根を「行列で」取る

Dirac（1928）は Schrödinger 型の時間 1 階の方程式を保ちたいと考え，E = cα·p + βmc² という 1 次式を仮定しました（スライド 31）．この 2 乗が式 (3) の E² = p²c² + m²c⁴ に一致するには，

(5)

{(c α \cdot p + β m c^{2})}^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4} ⟺ α_{i} α_{j} + α_{j} α_{i} = 2 δ_{i j}, α_{i} β + β α_{i} = 0, β^{2} = 1

が必要です．交差項（p_xp_y など）を消すために α_x, α_y, α_z, β が互いに反交換しなければならず，数ではこれは不可能――行列が要ります．反交換する 4 つの行列の最小のサイズは 4×4 で（2×2 の Pauli 行列は 3 つまでしか反交換しない），標準表示では

(6)

α = (\begin{matrix} 0 & σ \\ σ & 0 \end{matrix}), β = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = (- i ℏ c α \cdot \nabla + β m c^{2}) ψ

です（σ は講義で出てきた Pauli 行列）．したがって ψ は 4 成分の縦ベクトル（スピノル）で，Dirac 方程式は 4 本の連立 1 階偏微分方程式です．各成分は KG 方程式も満たす（式 (6) を 2 乗すれば式 (3)）ので，分散関係は KG と同じ E = ±√(p²c² + m²c⁴)．違いは固有関数の構造にあります．

3.2 平面波解：大成分と小成分

ψ = u(p) e^{i(p·r − Et)/ħ} を入れ，u を上 2 成分 u_A と下 2 成分 u_B に分けると，式 (6) は

(7)

(E - m c^{2}) u_{A} = c σ \cdot p u_{B}, (E + m c^{2}) u_{B} = c σ \cdot p u_{A}

⟹ u (p) = \sqrt{\frac{E + m c^{2}}{2 E}} (\begin{matrix} χ \\ \frac{c σ \cdot p}{E + m c^{2}} χ \end{matrix}), \frac{| u_{B} |}{| u_{A} |} = \frac{p c}{E + m c^{2}} \approx \frac{v}{2 c}

です．χ は 2 成分のスピン状態（講義の α, β），上 2 成分が「大成分」，下 2 成分が「小成分」で，比は v/2c 程度．非相対論極限では小成分が消えて 2 成分の Pauli スピノルになり，Schrödinger 方程式＋スピンに戻ります．相対論的な計算コード（4 成分 Dirac–Kohn–Sham）が非相対論の 2 倍以上重いのは，この小成分も基底関数で表さなければならないからです． ▶ シミュレーター①：小成分の重み

3.3 負エネルギー解，Dirac の海，反粒子

4 つの独立な解のうち 2 つは E ＜ 0 です．Dirac（1930）は，負エネルギー状態がすべて電子で埋まった「海」を真空とみなし（Pauli 原理で正エネルギーの電子は落ちられない），海の「穴」が正の電荷・正のエネルギーをもつ粒子に見えると考えました．これが陽電子で，1932 年に Anderson が宇宙線中に発見します．物性物理の人には「価電子帯を満たす電子の海と正孔」がそのままの類比です（スライド 31 の「≒ 電子＆正孔」）．半導体のギャップ E_g に相当するのが 2mc² = 1.022 MeV で，これが対生成の閾値です（素粒子ページ §6 の「電子を ƛ_C より小さく閉じ込めると対生成」もこの数字）．

3.4 スピンはなぜ出てくるのか

Dirac のハミルトニアン H = cα·p + βmc² では，軌道角運動量 L = r×p が保存しません：[H, L] = −iħc α×p ≠ 0．保存するのは

(8)

J = L + \frac{ℏ}{2} Σ, Σ = (\begin{matrix} σ & 0 \\ 0 & σ \end{matrix}), [H, J] = 0

で，付け加わった ħΣ/2 が固有値 ±ħ/2 をもつスピンです．非相対論では「実験に合わせて手で付けた」スピンが，Lorentz 対称な 1 階方程式を作った時点で自動的に入っている――これが Dirac 方程式の最大の成果です．さらに Dirac 方程式の密度 ρ = ψ^†ψ = Σ|ψ_i|² は正定値なので，KG のような解釈の問題はなく，1 粒子の量子力学として（負エネルギー解の扱いを除けば）そのまま使えます．電子は 4 成分の中で ƛ_C = ħ/mc のスケールで震えていること（Zitterbewegung）は，素粒子ページ §6.2 で扱いました．

4. ゲージ対称性と最小結合 ― 位相の自由が電磁場を要求する

4.1 大域的な位相と局所的な位相

波動関数の位相を全体で一斉に変える ψ → e^iθψ（θ は定数）は，どの方程式も不変に保ちます（|ψ|² も流れも変わらない）．では位相を場所と時間ごとに変える ψ → e^iθ(r,t)ψ はどうでしょう．微分が θ の勾配を拾うので，そのままでは方程式の形が崩れます： ∇(e^iθψ) = e^iθ(∇ + i∇θ)ψ．この余分な項を打ち消す「相棒の場」を導入し，その場も一緒に変換させれば，方程式は不変に戻ります：

(9)

\nabla \to \nabla - \frac{i q}{ℏ} A, \frac{\partial}{\partial t} \to \frac{\partial}{\partial t} + \frac{i q}{ℏ} φ, A \to A + \frac{ℏ}{q} \nabla θ, φ \to φ - \frac{ℏ}{q} \frac{\partial θ}{\partial t}

この (φ, A) の変換は，電磁気学でおなじみのゲージ変換（E, B を変えないポテンシャルの付け替え）そのものです．つまり「位相を場所ごとに自由に選べる」という要請（局所 U(1) 対称性）を課すと，電磁場が存在しなければならず，しかもその結合の形（最小結合）まで決まってしまう．これがゲージ原理（Weyl 1929）で，標準模型の 3 つの力（電磁気・弱い力・強い力）はすべて，この論法を U(1)，SU(2)，SU(3) に拡張して得られます（リー群のページ §7）．

4.2 Schrödinger 方程式も最初からゲージ不変だった

(10)

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = [\frac{{(p - q A)}^{2}}{2 m} + q φ] ψ, j = \frac{1}{m} Re [ψ^{*} (p - q A) ψ]

物性物理で磁場中の電子に使う (p − qA)²/2m は，まさに式 (9) を Schrödinger 方程式に施したものです． Landau 準位，Aharonov–Bohm 効果，超伝導の London 方程式や磁束の量子化はすべて「ψ の位相と A はセットでしか意味をもたない」ことの帰結で，観測量（|ψ|²，ゲージ不変な流れ j，E，B）はゲージの選び方によりません．相対論はゲージ対称性を要求しませんが，ゲージ対称性は相対論的な理論でこそ本領を発揮します（次節）．

4.3 Dirac 方程式に最小結合を入れると g = 2 とスピン軌道相互作用が出てくる

式 (6) に p → π ≡ p − qA，E → E − qφ を入れ，式 (7) と同じように小成分を消去します．非相対論的なエネルギー E = mc² + ε（ε ≪ mc²）では u_B ≈ σ·π u_A/2mc なので，大成分の方程式は

(11)

ε u_{A} = [\frac{{(σ \cdot π)}^{2}}{2 m} + q φ] u_{A} = [\frac{π^{2}}{2 m} - \frac{q ℏ}{2 m} σ \cdot B + q φ] u_{A} ⟹ μ = g \frac{q}{2 m} S, g = 2

となります（Pauli 方程式）．(σ·π)² = π² − qħσ·B という Pauli 行列の恒等式から，スピン磁気モーメントの項が係数まで込みで出てくる―― 非相対論では実験値として与えるしかなかった g = 2 が導かれます（QED の輻射補正 g = 2.0023… は素粒子ページ §6.5）．さらに 1/c² まで展開（Foldy–Wouthuysen 変換）すると

(12)

H \approx m c^{2} + \frac{π^{2}}{2 m} + q φ - \frac{q ℏ}{2 m} σ \cdot B \underset{質量速度}{- \frac{π^{4}}{8 m^{3} c^{2}}} \underset{スピン軌道}{+ \frac{1}{2 m^{2} c^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} L \cdot S} \underset{Darwin}{+ \frac{ℏ^{2}}{8 m^{2} c^{2}} \nabla^{2} V}

で（V = qφ は中心力の場合），3 つの相対論的補正項が出ます．質量速度項は §2.1 の展開の第 3 項，スピン軌道項は Thomas 歳差の因子 1/2 まで自動的に正しく， Darwin 項は電子が ƛ_C の範囲でぼやけることによる s 準位のシフト（素粒子ページ式 (20)）です．水素の微細構造はこの 3 項で完全に説明されます．

4.4 物性物理・材料計算への接続

スカラー相対論：質量速度項と Darwin 項だけを取り入れた計算．s, p 軌道が収縮し（原子核近くで速い），d, f 軌道はその遮蔽の変化で膨らむ．金の色，水銀の液体，第 6 周期元素の化学が説明される [Pyykkö 1988]．
スピン軌道相互作用：バンドの分裂（Au 5d，Pb，Bi），Rashba 効果，トポロジカル絶縁体，磁気異方性．係数 (1/2m²c²)(1/r)dV/dr は核の近くで大きいので，擬ポテンシャルや PAW の内殻部分に「相対論的」に組み込まれる．
4 成分 vs 2 成分：式 (12) は 2 成分（Pauli スピノル）の近似．重元素の内殻や超重元素では 4 成分の Dirac–Kohn–Sham 方程式（§7.3）を解く．
電子ガスの相対論化（§6–7）は，この最小結合の帰結（横（磁気的）相互作用＝Breit 相互作用）が交換エネルギーにどう効くかまで含む．

5. 箱の中の粒子 ― 無限井戸の相対論化

5.1 Schrödinger：壁で ψ = 0

幅 L の 1 次元無限井戸では ψ_n = √(2/L) sin(nπx/L)，E_n = ħ²π²n²/2mL²．博士論文の式 (2.33) はこれの 3 次元版で，自由電子ガスの出発点です．

5.2 Klein–Gordon：同じ ψ，違う E（そして「壁」の作り方）

KG 方程式は空間 2 階なので，Schrödinger と同じ「壁で ψ = 0」が使えて，k_n = nπ/L，E_n = √(ħ²c²k_n² + m²c⁴)．ただし「壁」の作り方に注意が要ります．非相対論の無限井戸は静電ポテンシャル V → ∞ と思ってよいのですが，相対論では静電ポテンシャルの高い壁は粒子を閉じ込めません（Klein のパラドックス，1929）．高さ V₀ の段に入射した電子は，段の向こうでエネルギーが E − V₀ ＜ −mc² になると負エネルギー帯の伝播解に接続し，減衰せずに透過します：

(13)

V_{0} > E + m c^{2} ⟹ 壁の中で {(E - V_{0})}^{2} - m^{2} c^{4} > 0 （実の波数：透過，対生成）

場の理論で見ると，壁の電場が真空から電子・陽電子対を作っている（Sauter 1931：臨界電場 m²c³/eħ = 1.3×10¹⁸ V/m，ƛ_C の距離で mc² を与える電場）．だから相対論的な「箱」は，Lorentz スカラーである質量項を外で無限大にする（m(x) = M → ∞）ことで作ります [Alberto, Fiolhais, Gil 1996; Alberto, Das, Vagenas 2017]．シミュレーター②の右下の図は，この Klein のパラドックスのエネルギー帯の重なりを描いたものです．

5.3 Dirac：1 階方程式は「ψ = 0」を許さない ― MIT 境界条件

1 次元では Dirac 行列は 2×2 で足り，α = σ_x，β = σ_z と取ると ψ = (u, v) に対して

(14)

(E - m c^{2}) u = - i ℏ c \frac{d v}{d x}, (E + m c^{2}) v = - i ℏ c \frac{d u}{d x}

です．u = A sin kx + B cos kx と置くと v = −iκ(A cos kx − B sin kx)，κ = ħck/(E + mc²)．ここで「壁で u = v = 0」を課すと解が全部消えてしまいます（1 階方程式で 2 成分を同時に 0 にはできない）．代わりに「壁を通る流れがゼロ」すなわち ψ̄ψ = |u|² − |v|² = 0 を壁で課す（MIT バッグ境界条件：質量の壁 M → ∞ の極限と一致）と，

(15)

v (0) = - i u (0), v (L) = + i u (L) ⟹ \tan (k L) = - \frac{2 κ}{1 - κ^{2}} = - \frac{ℏ k}{m c}

が量子化条件になります（κ² = (E − mc²)/(E + mc²) を使いました）．L ≫ ƛ_C では右辺 → 0 で kL → nπ（Schrödinger）， L ≪ ƛ_C では右辺 → −∞ で kL → (n − ½)π．準位は KG（同じ質量・同じ箱）より低く，密度 |u|² + |v|² は壁で 2κ²|A|² ≠ 0――「壁の上に粒子がいる」のは相対論的な量子力学の特徴です． ▶ シミュレーター②：箱の中の粒子

5.4 3 次元の箱と状態の数え方 ― 自由電子ガスへ

3 次元の箱では，KG（および L ≫ ƛ_C の Dirac）で許される波数は Schrödinger と同じ k_i = n_iπ/L です．したがってk 空間での状態の数え方（論文の式 2.34 の「量子数空間の球」）は相対論でも変わらず，変わるのは各状態のエネルギー E(k) だけ． Fermi 波数 k_F = (3π²n)^1/3 は純粋に「電子の数」で決まる量なので相対論でもそのままで，Fermi エネルギーだけが変わります．これが次節の全てです．

6. 相対論的自由電子ガス ― 金属から白色矮星まで

6.1 状態密度

運動量の大きさが p 以下の状態数は，スピン 2 を含めて N(p) = 2·(4πp³/3)·V/(2πħ)³ = Vp³/3π²ħ³．これは相対論でも同じです．運動エネルギー E = √(p²c² + m²c⁴) − mc² で微分すると，dp/dE = (E + mc²)/pc² なので

(16)

g (E) = \frac{1}{V} \frac{d N}{d E} = \frac{(E + m c^{2}) \sqrt{E^{2} + 2 E m c^{2}}}{π^{2} ℏ^{3} c^{3}} \to {\begin{cases} \frac{1}{2 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \sqrt{E} （E ≪ mc²，論文の式 2.35） \\ \frac{E^{2}}{π^{2} ℏ^{3} c^{3}} （E ≫ mc²，光子と同じ） \end{cases}

低エネルギーでは √E，高エネルギーでは E² ――同じ k の間隔に対して，相対論では E の増え方が鈍る（E ∝ k に近づく）ので，エネルギーあたりの状態が増えます．

6.2 Fermi エネルギーと相対論パラメータ x_F

(17)

k_{F} = {(3 π^{2} n)}^{1 / 3}, x_{F} \equiv \frac{ℏ k_{F}}{m c} = {(3 π^{2} n)}^{1 / 3} {\bar{λ}}_{C}, E_{F} = m c^{2} (\sqrt{1 + x_{F}^{2}} - 1) \approx \frac{ℏ^{2} k_{F}^{2}}{2 m} (1 - \frac{x_{F}^{2}}{4})

x_F = 1（p_F = mc）になる密度は n = 1/(3π²ƛ_C³) = 5.9×10²⁹ cm⁻³，μ_e = 2 の物質で 2×10⁶ g/cm³ です．金属と比べると

系	n [cm⁻³]	k_F [Å⁻¹]	x_F	E_F	相対論的補正 −x_F²/4
Na	2.65×10²²	0.92	3.6×10⁻³	3.24 eV	−3×10⁻⁶
Cu	8.47×10²²	1.36	5.3×10⁻³	7.0 eV	−7×10⁻⁶
Al	1.81×10²³	1.75	6.8×10⁻³	11.7 eV	−1×10⁻⁵
金の原子核のそば（1s の密度 2Z³/π）	2×10³⁰	397（210 a.u.）	1.5	0.41 MeV	（展開不可）
白色矮星の中心	10³⁰–10³²	—	1–6	0.2–3 MeV	（超相対論的）

金属の伝導電子では補正は 10⁻⁵：物性物理が Schrödinger 方程式で足りる理由です．一方，重い原子の内殻（k_F ≈ 2.66Z a.u. [Paquier & Toulouse 2018]）と白色矮星は，同じ自由電子ガスの式で「相対論的」の領域にあります． ▶ シミュレーター③：自由電子ガス

6.3 運動エネルギーと圧力：Chandrasekhar の式

1 電子あたりの運動エネルギーは g(E) を Fermi 準位まで積分して n で割ったもの，圧力は運動量の流れ P = (1/3)∫v p dn です（v = pc²/E）．どちらも x = p/mc で閉じた形になります [Chandrasekhar 1931, 1935]：

(18)

\frac{T}{N} = \frac{3 m c^{2}}{8 x_{F}^{3}} [x_{F} (1 + 2 x_{F}^{2}) \sqrt{1 + x_{F}^{2}} - \sinh^{- 1} x_{F}] - m c^{2} \to \frac{3}{5} E_{F} （非相対論，論文の式 2.38）

P = \frac{m^{4} c^{5}}{24 π^{2} ℏ^{3}} [x_{F} (2 x_{F}^{2} - 3) \sqrt{1 + x_{F}^{2}} + 3 \sinh^{- 1} x_{F}] \to {\begin{cases} \frac{2}{5} n E_{F} \propto n^{5 / 3} （x_F ≪ 1） \\ \frac{1}{4} n p_{F} c \propto n^{4 / 3} （x_F ≫ 1） \end{cases}

圧力は「粒子の流束 × 運動量」なので P ∼ n v_Fp_F．非相対論では v_F ∝ p_F ∝ n^1/3 なので n^5/3，相対論では v_F が c で頭打ちになるので n^4/3―― 相対論は縮退圧を「柔らかく」する．これが次の Chandrasekhar 限界の本質です．

6.4 白色矮星と Chandrasekhar 限界

白色矮星は，核融合を終えた星の芯（炭素・酸素，μ_e = 2）が電子の縮退圧で自重を支えている天体です．静水圧平衡 dP/dr = −Gmρ/r² を P = Kρ^γ で解くと（ポリトロープ），質量は中心密度に対して M ∝ ρ_c^(3γ−4)/2 と変わります．γ = 5/3 なら M ∝ ρ_c^1/2 で，重い星ほど縮んで密度が上がる（半径は R ∝ M^−1/3）．ところが γ = 4/3 になると指数が 0：質量が中心密度によらない一つの値に決まってしまう．それが

(19)

M_{Ch} = 4 π \cdot 2.018 {[\frac{ℏ c {(3 π^{2})}^{1 / 3}}{4 π G {(μ_{e} m_{u})}^{4 / 3}}]}^{3 / 2} \approx \frac{5.83}{μ_{e}^{2}} M_{⊙} = 1.46 M_{⊙} （μ_e = 2）

です（2.018 は指数 3 の Lane–Emden 関数の定数 −ξ²θ′(ξ₁)．有限温度・逆 β 崩壊・一般相対論の補正を入れた「1.44 M_⊙」が慣用値）． Landau（1932）の見積もりはもっと直観的です：超相対論的な電子 N 個を半径 R に閉じ込めると運動エネルギーは N p_Fc ∝ N^4/3ħc/R，重力エネルギーは −GM²/R ∝ −N²Gm_u²/R．どちらも 1/R なので，N^4/3ħc ＞ N²Gm_u² なら膨らんで非相対論に戻り安定，逆なら際限なく潰れる．境目が N ∼ (ħc/Gm_u²)^3/2 ≈ 2×10⁵⁷ 個，M ≈ 1–2 M_⊙． ħc/Gm_u² = 1/α_G は素粒子ページ §7 の「重力の結合定数」の逆数で，星の最大質量は電磁気力も核力も使わず，量子力学（縮退圧）・相対論・重力だけで決まっています．

中心密度 ρ_c [g/cm³]	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰	10¹¹
中心の x_F	0.80	1.7	3.7	8.0	17	37
質量 M [M_⊙]	0.40	0.82	1.18	1.37	1.43	1.45
半径 R [km]	11,000	7,100	4,300	2,500	1,300	660

（シミュレーター③で式 (18) の状態方程式と静水圧平衡を Newton 重力で数値積分した値．Sirius B は M = 1.02 M_⊙，R = 5,800 km でこの曲線に乗ります．）質量を増やすほど半径が縮み，中心が相対論的になるにつれ質量は 1.46 M_⊙ に漸近する――「自由電子ガスに相対論を入れる」だけで超新星と中性子星の入口が見える，というのがこの節の結論です． ▶ シミュレーター③：白色矮星の M–R 関係

6.5 Thomas–Fermi の運動エネルギー汎関数の相対論化

論文の式 (2.39)–(2.40) は「1 電子あたり (3/5)E_F」を各点の密度で評価して積分したものでした．相対論では式 (18) の T/N を使って

(20)

T_{TF} [ρ] = \int ρ (r) t (x_{F} (ρ)) d^{3} r, x_{F} (ρ) = {(3 π^{2} ρ)}^{1 / 3} {\bar{λ}}_{C} \to {\begin{cases} \frac{3}{10} {(3 π^{2})}^{2 / 3} \int ρ^{5 / 3} （非相対論，式 2.40） \\ \frac{3}{4} {(3 π^{2})}^{1 / 3} ℏ c \int ρ^{4 / 3} （超相対論） \end{cases}

となります．ρ^5/3 が ρ^4/3 に変わる――この一行が §8 の相対論的 Thomas–Fermi 原子の全てです（そこでは局所的な x_F が原子核の近くで 1 を超えます）．

7. 相対論的交換エネルギー ― Dirac 交換の相対論化と符号反転

7.1 非相対論の Dirac 交換（論文の式 2.53–2.54）

平面波の Slater 行列式で計算した交換エネルギーは，Fock–Dirac 密度行列 ρ(r₁,r₂) = 3ρ (sin t − t cos t)/t³（t = k_Fr₁₂）を使って

(21)

ε_{x}^{NR} = - \frac{3}{4 π} k_{F} [hartree] ⟺ E_{x} [ρ] = - \frac{3}{4} {(\frac{3}{π})}^{1 / 3} \int ρ^{4 / 3} d^{3} r

でした（1 電子あたりの値と汎関数の形．LDA 交換の式 2.63 と同じもの）．

7.2 Dirac スピノルで同じ計算をすると

相対論では平面波が式 (7) のスピノルになり，交換積分に現れるスピノルの重なり |u^†(k₁)u(k₂)|² が，向きの違う k₁, k₂ に対して 1 より小さくなります（[E₁E₂ + ħ²k₁·k₂c² + m²c⁴]/2E₁E₂ の形）．そのため Coulomb 交換は減ります．さらに，動く電荷どうしは磁気的にも相互作用し（Breit 相互作用＝横光子の交換の 1/c² 近似），その交換項は正です． β = x_F，c̃ = 1/β として [MacDonald & Vosko 1979; Paquier & Toulouse 2018]：

(22)

ε_{x}^{C} = ε_{x}^{NR} [\frac{5}{6} + \frac{{\tilde{c}}^{2}}{3} + \frac{2}{3} \sqrt{1 + {\tilde{c}}^{2}} \sinh^{- 1} \frac{1}{\tilde{c}} - \frac{1}{3} {(1 + {\tilde{c}}^{2})}^{2} \ln (1 + \frac{1}{{\tilde{c}}^{2}}) - \frac{1}{2} f^{2}], f \equiv \sqrt{1 + {\tilde{c}}^{2}} - {\tilde{c}}^{2} \sinh^{- 1} \frac{1}{\tilde{c}}

ε_{x}^{B} = - ε_{x}^{NR} [1 - 2 (1 + {\tilde{c}}^{2}) (1 - {\tilde{c}}^{2} \ln \frac{1 + {\tilde{c}}^{2}}{{\tilde{c}}^{2}}) + 2 f^{2}], ε_{x}^{QED} = ε_{x}^{NR} [1 - \frac{3}{2} f^{2}]

最後の式が MacDonald–Vosko の相対論的 LDA 交換（QED の光子伝播関数を使った全交換）で，Coulomb と横（Breit＋遅延）の多くの項が打ち消し合って簡単な形になります．極限と数値は

β = x_F	0.1	0.5	1	2	2.5	3	5	→∞
Coulomb のみ ε_x^C/ε_x^NR	0.999	0.976	0.932	0.868	0.850	0.838	0.814	(1 + ln 4)/3 = 0.795
Breit ε_x^B/ε_x^NR	−0.006	−0.120	−0.340	−0.652	−0.739	−0.798	−0.911	−1
Coulomb + Breit	0.993	0.857	0.591	0.215	0.111	0.039	−0.097	−0.205
QED（MacDonald–Vosko）	0.993	0.855	0.574	0.140	0.007	−0.089	−0.290	−1/2

β ≈ 2.5（k_F ≈ 350 a.u.，n ≈ 10³¹ cm⁻³）で交換エネルギーはゼロになり，その先で正になります． Coulomb 交換が「同じスピンの電子は互いに避ける（Fermi 孔）ことによるエネルギーの得」なら，Breit 交換は「並走する平行電流が磁気的に引き合う分を，交換孔が失わせる」損で，超相対論極限では後者が勝ちます [Jancovici 1962]．重い原子の内殻（k_F ≈ 2.66Z a.u.，Hg で 210 a.u.，β ≈ 1.5）はちょうどこの因子が 0.3 程度になる領域で，横交換の自己無撞着な扱いが Z ≳ 50 の全エネルギーに効きます [Engel 2002]． ▶ シミュレーター③：交換因子 Φ(β)

7.3 相対論的 LDA と Dirac–Kohn–Sham 方程式

(23)

[c α \cdot p + β m c^{2} + v_{ext} + v_{H} + v_{xc}] ψ_{i} = ε_{i} ψ_{i}, E_{x}^{RLDA} [ρ] = \int ρ ε_{x}^{NR} (ρ) Φ (β (ρ)) d^{3} r

相対論的密度汎関数理論 [Rajagopal 1978; MacDonald & Vosko 1979] では，Kohn–Sham 方程式の運動エネルギー演算子を Dirac 演算子に置き換え（4 成分の ψ_i），交換相関汎関数は相対論的電子ガスの ε_xc（交換は式 (22)，相関は摂動論または量子モンテカルロ [Kenny et al. 1996]）で近似します．論文の式 (2.62)–(2.66) の LDA に，式 (22) の因子 Φ を掛けたものが RLDA です．相対論的な効果のほとんどは運動エネルギー演算子（＝軌道の収縮・スピン軌道）から来て，交換相関の相対論的補正は重元素の全エネルギーで 0.1% 程度ですが，内殻準位や X 線遷移では無視できません．

8. Thomas–Fermi 模型の相対論化 ― Vallarta–Rosen 方程式

8.1 非相対論の Thomas–Fermi 模型（論文 §2.1.6 の要約）

各点の電子を局所的な自由電子ガスとみなし，化学ポテンシャルが一定（中性原子で 0）という条件 (3π²ρ)^2/3/2 − φ(r) = 0（Hartree 単位，式 2.43）から ρ = (2φ)^3/2/3π²（式 2.44），Poisson 方程式と合わせて φ = Zχ/r，x = r/b で

(24)

\frac{d^{2} χ}{d x^{2}} = \frac{χ^{3 / 2}}{\sqrt{x}}, b = {(\frac{9 π^{2}}{128})}^{1 / 3} Z^{- 1 / 3} a_{0} = 0.8853 Z^{- 1 / 3} a_{0}, χ (0) = 1, χ (\infty) = 0, χ^{'} (0) = - 1.588071

が式 (2.47) です．全エネルギーは E_TF = (3/7)(128/9π²)^1/3Z^7/3χ′(0) = −0.7687Z^7/3 hartree（式 2.50），Schwinger の補正を入れた E₀ = −0.7687Z^7/3 + 0.5Z² − 0.2699Z^5/3（式 2.55）が Hartree–Fock と 0.1% で一致することは論文の表 2.5 のとおりです．

8.2 相対論的な平衡条件と Vallarta–Rosen 方程式

局所的な電子ガスの Fermi エネルギーを相対論的にすると，平衡条件は

(25)

\sqrt{p_{F}^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}} - m c^{2} - e φ (r) = 0 ⟹ p_{F} c = \sqrt{{(e φ)}^{2} + 2 m c^{2} e φ}

ρ = \frac{p_{F}^{3}}{3 π^{2} ℏ^{3}} = ρ_{NR} {(1 + \frac{e φ}{2 m c^{2}})}^{3 / 2}

で，密度に (1 + eφ/2mc²)^3/2 の因子が付きます（式 (16) の状態密度の増加と同じもの）．論文の変数で eφ = E_bχ/x，E_b = Ze²/4πε₀b = 30.7Z^4/3 eV と書くと，Poisson 方程式は

(26)

\frac{d^{2} χ}{d x^{2}} = \frac{χ^{3 / 2}}{\sqrt{x}} {(1 + ε \frac{χ}{x})}^{3 / 2}, ε = \frac{E_{b}}{2 m c^{2}} = \frac{Z α}{2} \frac{{\bar{λ}}_{C}}{b} = 3.0 \times 10^{- 5} Z^{4 / 3}

となります．これが Vallarta–Rosen 方程式（1932）です．ε は Hg で 0.010，U で 0.012 と小さいので，εχ/x ≳ 1 になる x ≲ ε，つまり r ≲ εb ≈ Zαƛ_C/2（Hg で ≈ 100 fm）より内側では eφ が 2mc² を超え，電子ガスは完全に相対論的になります（もう少し緩い基準の p_F = mc，すなわち eφ = (√2 − 1)mc² になる半径 r_rel は，その約 5 倍外側の ≈ 540 fm で，§8.4 の表はこちらを使っています）． Rotondo らは同じ式をパイ中間子のコンプトン波長を単位に書いていて，χ の定義が eφ = ħcχ/r である点だけ違います [Rotondo et al. 2011, 式 (23)]．

8.3 点電荷の核では解が存在しない

原点近くで χ → 1 とすると eφ ≈ Ze²/4πε₀r → ∞ で電子ガスは超相対論的になり，

(27)

ρ \approx \frac{{(e φ)}^{3}}{3 π^{2} {(ℏ c)}^{3}} \propto \frac{1}{r^{3}} ⟹ N (< r) = \int 4 π r^{2} ρ d r \propto \ln r \to - \infty

電子数が原点で対数発散し，χ も χ″ ≈ ε^3/2/x² から χ ∼ −ε^3/2 ln x と発散して χ(0) = 1 が課せません．「点電荷の核＋相対論的電子ガス」は矛盾で，相対論的 TF 模型は核の大きさを入れて初めて定義できます [Vallarta & Rosen 1932; Rotondo et al. 2011]．一様に帯電した半径 R_c = 1.2A^1/3 fm の核なら，式 (26) の右辺に核の電荷密度の項 −(3x/x_c³)θ(x_c − x)（x_c = R_c/b）が加わり，境界条件は χ(0) = 0，χ(∞) = 0．原点での傾き χ′(0) ≈ 1/x_c（核内で χ が 0 から ≈1 まで立ち上がる）を射撃法で決めます． ▶ シミュレーター④：相対論的 Thomas–Fermi 原子

8.4 何が変わるか：Hg（Z = 80）の数値

r	11 fm（x = 10⁻³）	110 fm（10⁻²）	540 fm（≈ r_rel）	1.1 pm（0.1）	11 pm（1）
χ（非相対論・点核）	0.9985	0.985	0.937	0.883	0.420
χ（相対論・有限核）	0.995	0.978	0.925	0.867	0.415
N(<r)/Z（非相対論）	2.0×10⁻⁵	6.7×10⁻⁴	6.8×10⁻³	1.8×10⁻²	0.306
N(<r)/Z（相対論）	1.2×10⁻³	5.0×10⁻³	1.5×10⁻²	3.0×10⁻²	0.315

ポテンシャル（χ）はほとんど変わらないのに，核のすぐそばの電子数は数倍から数十倍に増える――Vallarta と Rosen が Hg について報告した結論そのものです．ただし r_rel ≈ 0.5 pm（電子ガスが相対論的になる半径）は Bohr の K 殻半径 a₀/Z = 0.66 pm と同程度で，そこに TF が置く電子は 1 個前後，実際にいるのは 1s 電子 2 個です．つまり相対論が効く領域は，TF の「局所電子ガス」という前提が最も悪い領域です．

8.5 相対論的補正の桁と，TF の限界

相対論的な全エネルギーの補正の目安は，Dirac の 1s 準位の補正 −(Zα)²Z²/8 hartree などを殻ごとに足したもので，重元素では全エネルギーの数 % になります．たとえば Hg では非相対論の Hartree–Fock −18,409 hartree に対し，Dirac–Fock（Coulomb）は −19,649 hartree，Breit 相互作用を含めると −19,626 hartree [Engel 2002 の表 1]：相対論的補正 −1,240 hartree は，論文の式 (2.55) の補正項 0.5Z² = 3,200 hartree や 0.2699Z^5/3 = 400 hartree と同じ桁です．つまり重元素では，Schwinger の補正で 0.1% まで合わせた TFD エネルギーも，相対論を入れないと 6% ずれます．相対論的 TF はこの補正を密度の変化として取り込みますが，1s 領域では局所電子ガスの近似が悪いので定量的にはなりません．だから現代の相対論的な原子・固体計算は，式 (23) の Dirac–Kohn–Sham 方程式（または 2 成分のスカラー相対論＋スピン軌道）を解き，相対論的電子ガスの知識は交換相関汎関数の側（§7.3）に使われます．「密度汎関数理論の原点」である TF 模型の相対論化は，その限界も含めて，相対論的 DFT がなぜ今の形になったかを教えてくれます．

9. 非相対論と相対論の対応表

	Schrödinger（非相対論）	Klein–Gordon（スピン 0）	Dirac（スピン 1/2）
出発点	E = p²/2m	E² = p²c² + m²c⁴	E = cα·p + βmc²
微分の階数（時間／空間）	1 / 2	2 / 2	1 / 1
対称性	Galilei	Lorentz	Lorentz
波動関数の成分	1（スピンは別付け）	1（FV 表示で 2）	4（スピン × 粒子/反粒子）
分散関係	放物線	±双曲線	±双曲線
保存密度	\|ψ\|² ≥ 0（確率）	(iħ/2mc²)(ψ*∂_tψ − c.c.)（電荷）	ψ^†ψ ≥ 0（確率）
スピン・g 因子	手で付ける	なし	自動（g = 2）
箱の境界条件	ψ = 0	ψ = 0（質量の壁）	ψ̄ψ = 0（MIT），tan kL = −ħk/mc
電磁場との結合	(p − qA)²/2m + qφ	同（KG 型）	cα·(p − qA) + qφ → Pauli，SO，Darwin
状態密度（電子ガス）	∝ √E	(E + mc²)√(E² + 2Emc²)/π²ħ³c³ → ∝ E²
Fermi エネルギー	ħ²k_F²/2m	mc²(√(1 + x_F²) − 1)，x_F = ħk_F/mc
圧力	(2/5)nE_F ∝ n^5/3	Chandrasekhar の式 → (1/4)np_Fc ∝ n^4/3（限界質量）
交換エネルギー	−(3/4π)k_F	—	×Φ(β)：1 → 0（β ≈ 2.5）→ −1/2
TF 方程式	χ″ = χ^3/2/√x	χ″ = (χ^3/2/√x)(1 + εχ/x)^3/2，有限核が必要

10. シミュレーターの実装ノート

①分散関係：E = mc²√(1 + x²)，x = p/mc．群速度 dE/dp = pc²/E，位相速度 E/p．Dirac スピノルの重みは式 (7)（スピン上向き，p ∥ z），KG は Feshbach–Villars の粒子・反粒子成分 (E_p ± mc²)/2√(mc²E_p)．波の表示は光速を 38 px/s に置いたスローモーションで，波長は見やすさのため運動量に対して圧縮しています．
②箱：KG は k_n = nπ/L，Dirac は式 (15) の根を区間 ((n − ½)π, nπ) で 2 分法．密度 |u|² + |v|² は数値的に規格化．Klein のパラドックスの図は V₀ = 2.6mc²，E = 1.3mc² の模式図．
③電子ガス：式 (16)–(18)，交換は式 (22)（Paquier–Toulouse の式 21–23 をそのまま実装；原子単位 c = 137.036，β = k_F/c）．白色矮星は ρ = μ_em_un_e（μ_e = 2），P(ρ) を式 (18) で与え，dP/dr = −Gmρ/r²，dm/dr = 4πr²ρ を RK4（可変ステップ）で ρ → 0 まで積分．一般相対論，有限温度，逆 β 崩壊，Coulomb 補正は無視（理想 Chandrasekhar 模型）．
④TF 原子：変数 u = ln x で χ_uu = χ_u + x²χ″ を RK4（5,000 ステップ，x = 10⁻⁸〜30）．非相対論は χ(0) = 1，χ′(0) = −1.5880710 で積分，相対論は有限核（一様，R_c = 1.2A^1/3 fm，A は Weizsäcker の Z–A 関係）で χ(0) = 0 とし，原点の傾きを 2 分法（60 回）で決定．電子数 N(<x)/Z = ∫xχ″_電子 dx．交換項（TFD）は入れていません（相対論的な領域では小さい [Rotondo et al. 2011]）．
外部ライブラリ・通信は一切なく，数式はブラウザ標準の MathML です．

11. 参考文献

望月康秀，マテリアル計算科学第 7 回（講義スライド 29–31：Schrödinger 方程式における時間と空間の対称性，Klein–Gordon 方程式と Dirac 方程式）；博士論文第 2 章 §2.1.6–2.1.8（Thomas–Fermi 模型，Thomas–Fermi–Dirac 模型，Kohn–Sham 方程式）．
P. A. M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron, Proc. R. Soc. A 117, 610 (1928)；A Theory of Electrons and Protons, Proc. R. Soc. A 126, 360 (1930)．
O. Klein, Z. Phys. 37, 895 (1926)；W. Gordon, Z. Phys. 40, 117 (1926)；W. Pauli and V. Weisskopf, Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934)；H. Feshbach and F. Villars, Rev. Mod. Phys. 30, 24 (1958)．
H. Weyl, Elektron und Gravitation. I, Z. Phys. 56, 330 (1929)．ゲージ原理．
L. L. Foldy and S. A. Wouthuysen, Phys. Rev. 78, 29 (1950)．非相対論展開（質量速度・Darwin・スピン軌道）．
O. Klein, Z. Phys. 53, 157 (1929)；F. Sauter, Z. Phys. 69, 742 (1931)．Klein のパラドックス．
P. Alberto, C. Fiolhais, and V. M. S. Gil, Relativistic particle in a box, Eur. J. Phys. 17, 19 (1996)；P. Alberto, S. Das, and E. C. Vagenas, Phys. Lett. A 375, 1436 (2011)；Relativistic particle in a box: Klein–Gordon versus Dirac equations, arXiv:1711.06313 (2017)．
S. Chandrasekhar, The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs, Astrophys. J. 74, 81 (1931)；Mon. Not. R. Astron. Soc. 95, 207 (1935)；L. D. Landau, Phys. Z. Sowjetunion 1, 285 (1932)．
L. H. Thomas, Proc. Camb. Phil. Soc. 23, 542 (1927)；E. Fermi, Rend. Accad. Naz. Lincei 6, 602 (1927)；P. A. M. Dirac, Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 376 (1930)．
M. S. Vallarta and N. Rosen, The Relativistic Thomas–Fermi Atom, Phys. Rev. 41, 708 (1932)．
M. Rotondo, J. A. Rueda, R. Ruffini, and S.-S. Xue, Relativistic Thomas–Fermi treatment of compressed atoms and compressed nuclear matter cores of stellar dimensions, Phys. Rev. C 83, 045805 (2011)；arXiv:0911.4622．
A. K. Rajagopal, J. Phys. C 11, L943 (1978)；A. H. MacDonald and S. H. Vosko, A relativistic density functional formalism, J. Phys. C 12, 2977 (1979)；M. V. Ramana and A. K. Rajagopal, Adv. Chem. Phys. 54, 231 (1983)．相対論的 DFT と交換エネルギー．
B. Jancovici, On the relativistic degenerate electron gas, Nuovo Cimento 25, 428 (1962)．
E. Engel, Relativistic Density Functional Theory: Foundations and Basic Formalism, in Relativistic Electronic Structure Theory, Part 1 (ed. P. Schwerdtfeger, Elsevier, 2002)；E. Engel and R. M. Dreizler, Density Functional Theory: An Advanced Course (Springer, 2011)．
J. Paquier and J. Toulouse, Four-component relativistic range-separated density-functional theory: Short-range exchange local-density approximation, J. Chem. Phys. 149, 174110 (2018)；arXiv:1812.02024．式 (22) の出典．
S. D. Kenny, G. Rajagopal, R. J. Needs, W.-K. Leung, and W. M. C. Foulkes, Quantum Monte Carlo Calculations of the Energy of the Relativistic Homogeneous Electron Gas, Phys. Rev. Lett. 77, 1099 (1996)．
P. Pyykkö, Relativistic Effects in Structural Chemistry, Chem. Rev. 88, 563 (1988)．
N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Saunders, 1976), Table 1.1（金属の自由電子密度）．
教科書：W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations（3rd ed., Springer）；J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics（Addison-Wesley）；S. L. Shapiro and S. A. Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars（Wiley, 1983）――Chandrasekhar 模型の標準的な導出．

東京理科大学望月研究室．マテリアル計算科学第 7 回（Klein–Gordon・Dirac 方程式）と博士論文第 2 章（Thomas–Fermi・Thomas–Fermi–Dirac 模型）の続きとして，非相対論的量子力学の最も基本的な例――自由電子・無限井戸・自由電子ガス・TF 原子――を相対論化したときに何が変わるかを，導出つきでまとめたものです．数値実験はシミュレーター（Relativistic-QM-simulator.html）へ．関連：素粒子入門・リー群とリー代数・水素原子．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．