第11章波の基本性質 — 波の式・干渉・定常波・回折

11.1 単振動の復習 — 波を理解するための出発点

波動を「媒質の1点1点が単振動しながら，その振動が隣へ隣へと伝わっていく現象」として理解するために，まず第7章で学んだ単振動（simple harmonic motion，SHM）の要点を振り返っておく．ばね定数 $\kappa\ [\mathrm{N/m}]$（第7章では $k$ と書いたが，本章では波数 $k$ と区別するために $\kappa$ と書く）のばねにつながれた質量 $m\ [\mathrm{kg}]$ のおもりの運動方程式は，

であった（第7章 7.1節）．特性方程式を使ってこれを解くと，一般解は角振動数 $\omega=\sqrt{\kappa/m}\ [\mathrm{rad/s}]$ を用いて $x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$ の形になる．第7章では初期条件 $x(0)=A,\ \dot x(0)=0$ の場合に $x(t)=A\cos\omega t$（余弦の形）を得たが，一般の初期位相 $\phi$ を許すと，加法定理により同じ一般解を

という正弦の形で書くこともできる（$A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ は振幅，$\phi$ は初期位相．どちらの形で書いても表せる運動の集合は同じで，位相の原点を $\pi/2$ だけずらしただけの違いである）．$\sin$ の中身 $\omega t+\phi$ を位相（phase，単位 $\mathrm{rad}$）という．加法定理 $A\sin(\omega t+\phi)=A\sin\phi\cos\omega t+A\cos\phi\sin\omega t$ と $x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$ を見比べると，$C_1=A\sin\phi,\ C_2=A\cos\phi$ という対応があり，逆に $A=\sqrt{C_1^2+C_2^2},\ \tan\phi=C_1/C_2$ である．本章以降，波動関数を $\sin$ の形で統一する（冒頭の規約ボックス）ため，単振動もここでは式 \eqref{eq:11-shm-general} の $\sin$ の形で書いておく．角振動数・周期・振動数の関係は第7章の定義7.1のとおり $\omega=2\pi/T=2\pi f$ である．

このエネルギー積分（運動方程式の両辺に速度を掛けて時間積分する，という技法）は，11.5節で波が運ぶエネルギーを求めるときに，媒質の1点の振動に対してもう一度そのまま使う．そこで同じ計算を思い出せるように，ここで手順を確認しておいた．

11.1.1 基準円 — 円運動の正射影としての単振動

単振動を図でイメージする方法として，基準円（reference circle）がある．半径 $A$ の円周上を，角速度 $\omega$ で反時計回りに等速円運動する点 $P$ を考える．時刻 $t=0$ に $P$ が基準の方向から角 $\phi$ だけ進んだ位置にあるとすると，時刻 $t$ での回転角は $\omega t+\phi$ である（基準円では，位相 $\omega t+\phi$ は点 $P$ が基準の向きから測った回転角に等しい）．この点 $P$ を，円の中心を通るある1本の直径（軸）に向かって垂直に投影した影の位置を $y$ とすると，

となり，これはまさに式 \eqref{eq:11-shm-general} の単振動そのものである（図11.1）．つまり，単振動とは「一定の角速度で回る円運動を，ある方向から眺めたときの影の動き」だと考えることができる．この見方は，後で波動関数の位相 $\omega t-kx+\phi$ を回転角として直感的にイメージする助けになる．

以上が，波動を学ぶうえで前提となる単振動の要点である．次節からは，この「1点の単振動」が空間的に少しずつ位相をずらしながら並んだものが波である，という視点で話を進める．

11.2 波動方程式 — 波形が崩れずに伝わることの数学

波を特徴づける最大の性質は「波形（山や谷の形）を崩さずに，一定の速さで伝わっていく」ことである．池に広がる波紋も，弦を伝わるパルスも，音のかたまりも，伝わる速さ $v$ こそ媒質によって違うが，「形を保ったまま進む」という点は共通している．この性質を数式で正確に表したものが，次の1次元波動方程式（one-dimensional wave equation）である．

式 \eqref{eq:11-wave-eq} に現れる $\partial^2y/\partial t^2,\ \partial^2y/\partial x^2$ は偏微分（partial derivative，$y$ が $x,t$ という2つの変数の関数であるとき，一方を固定してもう一方だけで微分する操作．大学数学 第6章 6.2節）の2階版である．$\partial y/\partial t$ は「位置 $x$ を固定して時刻 $t$ だけを動かしたときの $y$ の変化率」，すなわち媒質のその点が実際に振動する速度（後で「媒質の振動速度」と呼んで位相速度と区別する，11.4節）を表し，$\partial y/\partial x$ は「時刻 $t$ を固定して位置 $x$ だけを動かしたときの $y$ の変化率」，すなわちある瞬間の波形の傾きを表す．波動方程式が物理の問題に本格的に偏微分を使う最初の場面である．

まったく同じ手順を $w\equiv x+vt$（$\partial w/\partial t=+v,\ \partial w/\partial x=1$）について行うと，$y=g(x+vt)$ についても $\partial^2y/\partial t^2=v^2g''(w)=v^2\,\partial^2y/\partial x^2$ となり，やはり波動方程式を満たすことが確かめられる（$\partial w/\partial t$ の符号が $-v$ から $+v$ に変わるだけで，2階微分では符号がもう一度掛かって消えるため，結論は同じになる．演習11.2で自分の手で確認する）．波動方程式 \eqref{eq:11-wave-eq} は $y$ について線形（$y$ の1次式だけでできている）なので，2つの解の和もまた解になる（重ね合わせの原理）．以上をまとめると，次の定理が成り立つ．

11.3 波動とは何か — 横波と縦波，波動関数の導出

11.3.1 横波と縦波

波が進む向きと，媒質の各点が振動する向きの関係によって，波は2種類に分類される．

横波の例としては，弦を伝わる波（弦は上下に振動し，波は弦に沿って左右に進む），地震のS波（せん断波），光波（電場・磁場が進行方向に垂直に振動する．光は真空中も伝わり，振動して伝わるのは物質ではなく電場・磁場である．第13章と第42章 42.4節で扱う）がある．縦波の例としては，音波（空気の圧力・密度が振動方向＝進行方向に沿って変化する），地震のP波（圧縮波）がある．高校物理では「音は縦波」とだけ覚えたかもしれないが，ここで「進行方向と振動方向の関係」という統一的な定義から横波・縦波が区別されることを確認しておこう．

縦波の疎密の様子は，横波と同じように「変位 $y$ 対 位置 $x$」のグラフで読み取ることができる（図11.3）．ただし縦波では，媒質の粒子は進行方向（$x$ 方向）にずれるので，グラフの縦軸の $y$ は，$x$ 方向のずれを上下方向に描き直したものである．約束として，$y\gt0$ は「$+x$ 向きにずれている」，$y\lt0$ は「$-x$ 向きにずれている」ことを表す．すると，曲線の傾き $\partial y/\partial x$ が負のところでは，そこより左の粒子ほど大きく右へ，右の粒子ほど左へずれているので，隣どうしの間隔が縮んで密になる．逆に傾きが正のところでは，隣どうしの間隔が広がって疎になる．式で書けば，つり合いの位置が $x$ と $x+\Delta x$ の隣り合う2つの粒子の実際の間隔は $\Delta x+\{y(x+\Delta x)-y(x)\}\approx\Delta x\,(1+\partial y/\partial x)$ なので，密度の変化の割合は $-\partial y/\partial x$ に比例する．図では，変位が $0$ で山から谷へ下っている点（赤い点）が最も密，谷から山へ上っている点（青い点）が最も疎になっている．

11.3.2 波動関数の導出

それでは，波を表す関数 $y(x,t)$ を具体的に作ってみよう．原点（$x=0$）にある媒質の点が，単振動

をしているとする（11.1節の式 \eqref{eq:11-shm-general} と同じ形．$\phi$ は初期位相）．この振動が，速さ $v$ で $+x$ 方向へ伝わっていくとしよう．位置 $x$（$x\gt0$）にある媒質の点は，原点でこの振動が起きてから，波がそこまで届くのにかかる時間 $x/v$ だけ遅れて，まったく同じ振動を始める．つまり，位置 $x$ の変位 $y(x,t)$ は，原点の変位の式で時刻を $t\to t-x/v$ と置き換えたものに等しい：

（$t\to t-x/v$ という置き換えの意味は，「位置 $x$ で時刻 $t$ に見える波形の高さは，時間 $x/v$ だけ前の原点の高さと同じ」ということである——ちょうど式 \eqref{eq:11-dalembert} で見た $f(x-vt)$ の考え方と対応している）．括弧を展開すると，

となる．ここで，係数 $\omega/v$ を波長 $\lambda$ と結びつけておく．周期 $T$ の間に波は距離 $v T$（＝波長 $\lambda$）だけ進む（$\lambda=vT$）ので，

である．この量を波数（wavenumber）といい，$k$ と書く：

（波数 $k$ は「単位長さあたりに位相が何ラジアン進むか」を表す量であり，角振動数 $\omega$ が「単位時間あたりに位相が何ラジアン進むか」を表すのと，空間版・時間版の対になっている）．式 \eqref{eq:11-wavenumber} を使って書き直すと，次の波動関数（wave function）が得られる．

11.4 位相速度と波の進む向き

波動関数 $y=A\sin(\omega t-kx+\phi)$（公式11.2）が与えられたとき，「山（変位が最大になる点）はどの位置にあり，時間とともにどう動くか」を調べてみよう．正弦関数 $\sin\theta$ が最大値 $1$ をとるのは $\theta=\pi/2+2n\pi$（$n\in\mathbb{Z}$）のときだから，山の位置では

が成り立つ（図11.5）．例として $n=0$ の場合を考え，式 \eqref{eq:11-crest-phase} を $x$ について解くと，

となる（途中の変形：$-kx=\pi/2-\omega t-\phi$ の両辺に $-1$ を掛けると $kx=\omega t+\phi-\pi/2$ になり，最後に $k$ で割った）．この $x$ を時刻 $t$ で微分すると，山の位置がどんな速さで動くかがわかる：

（$k=2\pi/\lambda$ より $1/k=\lambda/(2\pi)$ であることを使った）．一般の $n$ でも $x=(\omega t+\phi-\pi/2-2n\pi)/k$ であり，$n$ は定数なので時間で微分すると同じ $\omega/k$ になる．つまり，すべての山が同じ速さで動く（となり合う山の間隔は $2\pi/k=\lambda$ である）．式 \eqref{eq:11-phase-velocity} は「山」という特定の位相の点が移動する速さであり，位相を微分して得られることから位相速度（phase velocity）と呼ばれる．式 \eqref{eq:11-wavefunc} を作ったときに $v=\omega/k$ とおいたことを思い出すと，位相速度は結局 $v$ そのものである．

次に，波が $+x,-x$ どちらの方向に進むかを，波動関数の式の形だけから判定する方法を考える．

11.5 波のエネルギーと波の強さ

波は，媒質そのものを遠くまで運ぶわけではないが（11.4節），エネルギーは運ぶ．太陽光が地表を温めるのも，地震波が建物を揺らすのも，波が運んできたエネルギーによる現象である．この節では，波が単位面積を毎秒どれだけのエネルギーを運んでいくか（波の強さ，intensity）を求める．

この公式を導いてみよう．媒質のごく小さな一部分（質量 $m$）に注目する．波動関数 $y(x,t)=A\sin(\omega t-kx+\phi)$ で位置 $x$ を固定して時刻 $t$ だけを動かすと，$y$ はちょうど角振動数 $\omega$ の単振動になっている．そこで，この一部分の（つり合いの位置からの）変位を $\zeta(t)=y(x,t)$（$x$ は固定）と書くと，$\zeta=A\sin(\omega t+\phi')$（$\phi'=\phi-kx$）であり，これは11.1節の式 \eqref{eq:11-shm-eom} と同じ形の運動方程式

を満たす（この一部分の運動が角振動数 $\omega$ の単振動なので，$\omega=\sqrt{\kappa/m}$ から $\kappa=m\omega^2$ でなければならない．$\kappa$ は実際のばねのばね定数ではなく，力の正体は隣の部分から受ける力である．弦の場合，それが張力の差として現れることは11.2節で見た）．なお，ここでは波の速さ $v$ と紛らわしくないように，この一部分の速さは $\dot\zeta$ と書く．

11.6 波の干渉 — 同位相・逆位相

2つ以上の波が同じ場所で重なると，波は互いに強め合ったり弱め合ったりする．この現象を干渉（interference）という．波の独立性（以下の補足）により，複数の波が同時に存在するとき，媒質のある点の変位は，それぞれの波が単独で作る変位を単純に足し合わせたものになる（重ね合わせの原理）．この節では，2つの波源 $\mathrm{A},\mathrm{B}$（同じ振動数 $f$ で振動している）から出た波が，ある点 $\mathrm{P}$ で重なるときの干渉条件を求める．

11.6.1 同位相で振動する波源からの干渉

点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ にある媒質が，同じ振動数 $f$，同じ位相で振動しており，そこから出た波が全方向へ広がっていく状況を考える（図11.7）．点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ から点 $\mathrm{P}$ までの距離をそれぞれ $\overline{\mathrm{AP}},\overline{\mathrm{BP}}$ とすると，点 $\mathrm{P}$ での変位は，それぞれの波源からの波が距離 $\overline{\mathrm{AP}},\overline{\mathrm{BP}}$ を伝わるのにかかった時間分だけ遅れて届くことを考えて（11.3節の式 \eqref{eq:11-wave-delay} と同じ考え方），

と書ける（$\mathrm{A},\mathrm{B}$ から届く波の，点 $\mathrm{P}$ での振幅を $a_A,a_B$ とする．これらは必ずしも等しくなくてよい．波源の初期位相 $\phi$ は共通）．全方向へ広がる波は，波源から離れるほど振幅が小さくなる（球面波なら距離に反比例する）が，ここでは点 $\mathrm{P}$ での2つの波の振幅を定数 $a_A,a_B$ として扱い，位相差だけに注目する（$\overline{\mathrm{AP}}$ と $\overline{\mathrm{BP}}$ の差が波長程度で，$\overline{\mathrm{AP}},\overline{\mathrm{BP}}$ そのものよりずっと小さいとき，$a_A,a_B$ はほぼ等しいとみなしてよい）．2つの波の位相差は，$y_B$ の位相から $y_A$ の位相を引いて，

である．$\omega/v=2\pi/(vT)$ であり，$vT=\lambda$（波長は「1周期で進む距離」なので）だから，$\omega/v=2\pi/\lambda$．したがって位相差は，

と，経路差 $\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}$ に比例する量になる．

位相差を $\Delta\theta$ とし，点 $\mathrm{P}$ に届いた時点の $y_A$ の位相を $\theta_A=\omega\{t-\overline{\mathrm{AP}}/v\}+\phi$ とおくと，$y_A=a_A\sin\theta_A,\ y_B=a_B\sin(\theta_A+\Delta\theta)$ と書ける．位相差が $2n\pi$（$n\in\mathbb{Z}$）のとき，$y_B$ の位相は $y_A$ の位相とちょうど $2n\pi$ だけずれているだけなので実質的に同じ位相であり，2つの波は山と山が重なって強め合う：

という，振幅が $a_A+a_B$ に増した波になる．位相差が $(2n+1)\pi$ のときは，$-\sin x=\sin\{x+(2n+1)\pi\}$ より一方の波がもう一方のちょうど逆符号になっており，

という，振幅が $|a_A-a_B|$ に減った波になる（いずれも，点 $\mathrm{P}$ に届いた時点の位相 $\omega(t-\overline{\mathrm{AP}}/v)+\phi$ を使って書いた）．

位相差が $2n\pi$ のとき，式 \eqref{eq:11-phase-diff} より $\dfrac{2\pi}{\lambda}(\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}})=2n\pi$ だから，

位相差が $(2n+1)\pi$ のとき，同様に $\dfrac{2\pi}{\lambda}(\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}})=(2n+1)\pi$ だから，

が得られる．経路差は正負どちらの符号もとりうる（$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に近ければ $\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}\lt0$）ので，一般には絶対値を使って次のようにまとめる．

位相差が $2n\pi$ でも $(2n+1)\pi$ でもない一般の値のときは，合成波の振幅は $|a_A-a_B|$ と $a_A+a_B$ の間の値になる．この振幅は，次の公式で与えられる．

この公式から，図11.7 のように経路差が $\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}=\lambda/4$ のときの様子がわかる．位相差は $\Delta\theta=(2\pi/\lambda)(\lambda/4)=\pi/2$ で，2つの波の振幅が等しく $a_0$ なら合成振幅は $2a_0\cos(\pi/4)=\sqrt2\,a_0\approx1.41a_0$ となる．これは強め合う点の振幅 $2a_0$ と弱め合う点の振幅 $0$ のちょうど中間の値であり，点 $\mathrm{P}$ は腹と節の間にある．

11.6.2 逆位相で振動する波源からの干渉

点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ の振動がちょうど逆位相（位相差 $\pi$）である場合はどうなるだろうか．$y_A$ は同位相の場合と同じだが，$y_B$ には初めから位相差 $\pi$ が上乗せされているので，

となる．位相差は，同位相の場合の計算に $+\pi$ が加わるだけで，

である．ここで，第1項 $\delta\equiv\dfrac{2\pi}{\lambda}(\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}})$ は「波が伝わる距離の違いによる位相差」，第2項 $\pi$ は「波源そのものの位相差」であり，両者の和 $\Delta\theta=\delta+\pi$ が全体の位相差である．11.6.1節の「要点」の対応は全体の位相差 $\Delta\theta$ について成り立つので，次のようになる．

• 強め合う（$\Delta\theta=2n\pi$）：$\delta+\pi=2n\pi$ より $\delta=(2n-1)\pi$，すなわち $\dfrac{2\pi}{\lambda}(\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}})=(2n-1)\pi$ なので，$\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}=\left(n-\dfrac12\right)\lambda$．
• 弱め合う（$\Delta\theta=(2n+1)\pi$）：$\delta+\pi=(2n+1)\pi$ より $\delta=2n\pi$，すなわち $\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}=n\lambda$．

$n$ はすべての整数を動くので，$n-\tfrac12$ は $\pm\tfrac12,\pm\tfrac32,\dots$ という「整数 $+\tfrac12$」の形をすべて表す．絶対値をとれば $m=0,1,2,\dots$ を使って $|\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}|=(m+\tfrac12)\lambda$ と書ける．結果を同位相の場合（法則11.2）と見比べると，強め合う条件と弱め合う条件がちょうど入れ替わっている：

補足：$a_A\neq a_B$（2つの波源からの振幅が異なる）場合，弱め合う点でも完全には打ち消し合わず，振幅 $|a_A-a_B|\neq0$ の波が残る．振幅がまったく $0$ になる（振動が完全に止まる）点ができるのは，$a_A=a_B$ のときに限られる．

補足：波の独立性と重ね合わせ　波が他の波と重なっても，それぞれの波形・振幅は保たれ，重なった場所を通り過ぎればまた元の独立した波に戻る．この「重ね合わせができる」という性質があるからこそ，干渉という波に特有の現象が起こる．これに対して，物体どうしが衝突すると，反発したり合体したりして，衝突前の運動がそのまま保たれることはない——波の独立性は，粒子（物体）の運動には見られない，波ならではの性質である．

11.7 定常波

前節の図11.8のように，波が重なると，空間に固定された腹・節のパターンができる．波源を結ぶ線の上では，向かい合って進む2つの波が重なっている．この現象をもっとも単純な場合——振幅・周期・波長がすべて等しく，互いに逆向きに進む2つの正弦波——について調べてみよう．

$+x$ 方向へ進む波 $y_1$ と，$-x$ 方向へ進む波 $y_2$ を，振幅 $A$，波数 $k=2\pi/\lambda$ を共通にして，

とする（$y_1$ は公式11.2そのもの，$y_2$ は11.4節の定理11.2で $\alpha=\omega,\beta=+k$ の場合にあたり $\alpha\beta=\omega k\gt0$ なので $-x$ 方向へ進む波である）．重ね合わせの原理（11.6節）により，2つの波が同時に存在するときの変位は $y=y_1+y_2$ である．正弦の加法定理 $\sin(P\pm Q)=\sin P\cos Q\pm\cos P\sin Q$（高校数学 第5章 5.2節）を使って，$P=\omega t,\ Q=kx$ とおいて展開すると，

である．辺々を足すと，$-\cos\omega t\sin kx$ の項と $+\cos\omega t\sin kx$ の項がちょうど打ち消し合って，

という簡潔な形が得られる．

$\cos kx=\pm1$ となる位置（$kx=m\pi$，すなわち $x=m\lambda/2$，$m\in\mathbb{Z}$）では，振動の振幅が $2A$ ともっとも大きくなる——この点を腹（antinode）という．$\cos kx=0$ となる位置（$kx=(m+\tfrac12)\pi$，すなわち $x=(2m+1)\lambda/4$）では，すべての時刻で $y=0$ となり，まったく振動しない——この点を節（node）という．隣り合う節の間隔は $\lambda/2$ であり，これも前節の腹線・節線（図11.8）で見た構造と対応している．

11.8 ホイヘンスの原理と反射・屈折の法則

波が異なる媒質の境界に達すると，一部は反射し，一部は屈折して進む——高校物理でも習うこの事実を，波面（同じ位相をもつ点をつないだ面）の伝わり方から統一的に説明する原理がある．

ホイヘンスの原理（Huygens' principle）は，波源から直接出る波だけでなく，波面上のあらゆる点を「次々に生まれる新しい波源」とみなす点が独特である．これから見るように，反射の法則・屈折の法則・回折（11.9節）といった，波に特有のさまざまな現象を，この1つの原理から統一的に説明できる．

ホイヘンスの原理を使うと，反射・屈折の法則を波面の作図から導くことができる．まず結果を法則としてまとめ，導出は法則11.6のあとの box derive（図11.13）で行う．

11.9 波の回折

音は壁の陰にいても聞こえるのに，光は壁の陰には届かず影ができる——この違いを説明するのが，この節で学ぶ回折（diffraction）である．

なぜ波長程度以下のすき間を通ると，回り込みが目立つのだろうか．ホイヘンスの原理（法則11.4，11.8節）を使うと，直感的に説明できる．

11.9.1 すき間が小さい場合

すき間の幅が波長より小さいとき，ホイヘンスの原理より，すき間を通り抜けた瞬間の波面（すき間の位置）からは，新しい素元波の波源がいくつも生まれる．すき間が波長に比べて十分小さいと，事実上「すき間の1点」から出る球面波とほとんど変わらなくなり，波面全体がすき間を中心とした丸い形（球面波）になる（図11.15）．球面状に広がった波は，まっすぐ進む方向だけでなく，あらゆる方向へ回り込んでいくので，障害物の陰にも波が届く．

11.9.2 すき間が大きい場合

すき間の幅が波長に比べて十分大きいときも，やはりホイヘンスの原理どおり，すき間の波面上のあらゆる点から素元波が生まれている．しかし，すき間が広いために，これらの素元波はすき間の中央付近ではほぼ同じ位相で重なり合い，全体として（すき間の縁の近くを除けば）もとの波面とほとんど変わらない平面波をつくり出す（図11.16）——回り込みが目立つのは，すき間の縁に近い，ごく限られた範囲だけになる．

11.10 まとめと演習

11.10.1 まとめ

• 単振動 $x=A\sin(\omega t+\phi)$（$\omega=\sqrt{\kappa/m}$）のエネルギー保存則 $\tfrac12mv^2+\tfrac12\kappa x^2=E$ は，運動方程式の両辺に速度を掛けて時間積分する「エネルギー積分」で導ける（法則11.1）．波の各点の振動も同じ数学的技法で扱える（公式11.3の導出で使った）．
• 1次元波動方程式 $\partial^2y/\partial t^2=v^2\,\partial^2y/\partial x^2$（公式11.1）の一般解は，形を保ったまま伝わる2つの波 $y=f(x-vt)+g(x+vt)$（定理11.1，ダランベールの解．$\xi=x-vt,\ \eta=x+vt$ への変数変換で $\partial^2y/\partial\xi\partial\eta=0$ となることから導ける）である．
• 媒質の1点の単振動 $y=A\sin(\omega t+\phi)$ を，伝わる遅れ $t\to t-x/v$ で書き換えると，波動関数 $y=A\sin(\omega t-kx+\phi)$（公式11.2）が得られる．$k=2\pi/\lambda$ は波数．
• 位相速度 $v=\omega/k=f\lambda$ は「山」など特定の位相が動く速さであり，媒質自身の振動速度 $\partial y/\partial t$ とは別の量である．波の進む向きは $y=A\sin(\alpha t+\beta x+\phi)$ の係数の積 $\alpha\beta$ の符号で判定できる（定理11.2）．
• 波の強さは $I=2\pi^2\rho_{\mathrm m} A^2f^2v$（公式11.3）で，振幅・振動数の2乗に比例する．これは1周期で平均した（時間平均の）強さである．
• 2つの波源からの干渉条件は，波源が同位相なら経路差 $n\lambda$ で強め合い（法則11.2），逆位相ならこれが入れ替わる（法則11.3）．一般の位相差 $\Delta\theta$ での合成振幅は $\sqrt{a_A^2+a_B^2+2a_Aa_B\cos\Delta\theta}$（公式11.4）である．
• 逆向きに進む同じ波長の2つの正弦波を重ねると，定常波 $y=2A\sin\omega t\cos kx$（式 \eqref{eq:11-standing}）ができ，腹（$x=m\lambda/2$）と節（$x=(2m+1)\lambda/4$）が空間に固定される．
• ホイヘンスの原理（法則11.4）から，反射の法則 $\theta_i=\theta_r$（法則11.5）と屈折の法則 $\sin\theta_i/\sin\theta_t=v_A/v_B$（法則11.6）が導ける（図11.13）．波は障害物のかげにも回り込む（回折，定義11.5）．すき間の幅が波長程度以下のとき，回り込みは特に顕著になる．

11.10.2 演習問題

11.10.3 参考文献