第4章因果律とKramers–Kronig関係

導出：上半面での絶対収束

$\chi(t)$ が有界（$\abs{\chi(t)}\le M$）であるとしよう．減衰振動子なら $\abs{\chi(t)}\le 1/(m\omega_1)$ なので，この仮定は満たされている．式 \eqref{eq:4-onesided} の絶対値を評価する．三角不等式（積分版）より

$$ \abs{\chi(\omega)} = \abs{\int_0^\infty \chi(t)\,\ee^{\ii\omega t}\,\dd t} \le \int_0^\infty \abs{\chi(t)}\cdot\abs{\ee^{\ii\omega t}}\,\dd t $$

ここに式 \eqref{eq:4-modulus} を代入すると

$$ \le M\int_0^\infty \ee^{-\omega_I t}\,\dd t $$

この積分は $\omega_I>0$ なら初等的に実行できて

$$ \int_0^\infty \ee^{-\omega_I t}\,\dd t = \left[\frac{\ee^{-\omega_I t}}{-\omega_I}\right]_0^\infty = 0 - \left(\frac{1}{-\omega_I}\right) = \frac{1}{\omega_I} $$

したがって

積分は絶対収束する．しかも上半面の内部（$\mathrm{Im}\,\omega\ge\delta>0$）では，この上界 $M/\delta$ が $\omega$ によらず一様に効く．∎

導出：なぜ解析的と言えるのか

「解析的」とは，複素微分 $\dd\chi/\dd\omega$ が存在することである（第5章5.1節）．式 \eqref{eq:4-onesided} を形式的に $\omega$ で微分してみよう．積分と微分の順序を交換すると

$$ \frac{\dd\chi}{\dd\omega} = \int_0^\infty \chi(t)\,\frac{\partial}{\partial\omega}\ee^{\ii\omega t}\,\dd t = \int_0^\infty \ii\,t\,\chi(t)\,\ee^{\ii\omega t}\,\dd t $$

この右辺が収束するかどうかを，さきほどと同じように評価する．$\abs{\chi(t)}\le M$ として

$$ \abs{\frac{\dd\chi}{\dd\omega}} \le M\int_0^\infty t\,\ee^{-\omega_I t}\,\dd t = \frac{M}{\omega_I^2} $$

（最後の積分は部分積分により $\int_0^\infty t\,\ee^{-at}\dd t = 1/a^2$．）$\omega_I>0$ なら有限である．同じ議論を繰り返せば $n$ 階微分も

$$ \abs{\frac{\dd^n\chi}{\dd\omega^n}} \le \frac{M\,n!}{\omega_I^{n+1}} $$

と有限に収まる．何階でも微分できる．これが解析性である．

厳密には「積分と微分の順序交換が許されるか」を言わねばならないが，それは式 \eqref{eq:4-bound} の一様な上界から保証される（各 $t$ について $\ee^{\ii\omega t}$ は $\omega$ の整関数であり，積分が上半面の任意のコンパクト部分集合で一様収束するから，Weierstrass の定理により極限も解析的である．詳細は第5章5.2節）．∎

導出：減衰振動子の極の位置（再確認）

第3章の本文中の式より

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{m\left(\omega_0^2-\omega^2-2\ii\Gamma\omega\right)} $$

これが発散するのは分母がゼロになるときである．分母を $-m$ で割って整理すると

$$ \omega^2 + 2\ii\Gamma\omega - \omega_0^2 = 0 $$

2次方程式の解の公式（複素係数でもそのまま使える）より

$$ \omega = \frac{-2\ii\Gamma \pm\sqrt{(2\ii\Gamma)^2 - 4\cdot1\cdot(-\omega_0^2)}}{2} = \frac{-2\ii\Gamma \pm\sqrt{-4\Gamma^2+4\omega_0^2}}{2} $$

$\sqrt{\ }$ の中は $4(\omega_0^2-\Gamma^2)$ であり，不足減衰 $\Gamma<\omega_0$ では正の実数である．$\omega_1\equiv\sqrt{\omega_0^2-\Gamma^2}$ と置けば $\sqrt{4(\omega_0^2-\Gamma^2)}=2\omega_1$ だから

2つの極の虚部はどちらも $-\Gamma$ である．摩擦がある（$\gamma>0$，したがって $\Gamma>0$）かぎり，どちらの極も虚部が負，すなわち下半面にある．上半面には極がない．定理4.1と完全に整合している．∎

導出：$\chi(\omega)\to -1/(m\omega^2)$

方法1：具体形から．第3章の $\chi(\omega)$ で，分母の $\omega^2$ を括り出す．

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{m\left(\omega_0^2-\omega^2-2\ii\Gamma\omega\right)} = \frac{-1}{m\omega^2}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{\omega_0^2}{\omega^2}+\dfrac{2\ii\Gamma}{\omega}} $$

$\abs{\omega}\to\infty$ で第2因子は $1$ に近づくから

方法2：物理から．非常に速く揺すられると，バネの復元力（$k$）も摩擦（$\gamma$）も追いつけず，質点は慣性だけで応じる．運動方程式は実質 $m\ddot{x}=F_0\ee^{-\ii\omega t}$ になり，$x=x_0\ee^{-\ii\omega t}$ を代入して $-m\omega^2x_0=F_0$，すなわち $x_0/F_0=-1/(m\omega^2)$．式 \eqref{eq:4-highfreq} と一致する．

方法3：時間領域から（$\chi(0^+)=0$ となる，慣性をもつ系一般に効く）．式 \eqref{eq:4-onesided} を部分積分する．$\chi(0)=0$（撃力を受けた直後，変位はまだゼロ）に注意して

$$ \chi(\omega)=\int_0^\infty\chi(t)\ee^{\ii\omega t}\dd t =\underbrace{\left[\chi(t)\frac{\ee^{\ii\omega t}}{\ii\omega}\right]_0^\infty}_{=\,0} -\frac{1}{\ii\omega}\int_0^\infty\dot\chi(t)\,\ee^{\ii\omega t}\dd t $$

（上端は $\mathrm{Im}\,\omega>0$ の減衰因子で消え，下端は $\chi(0)=0$ で消える．）もう一度部分積分すると

$$ = -\frac{1}{\ii\omega}\left\{ \underbrace{\left[\dot\chi(t)\frac{\ee^{\ii\omega t}}{\ii\omega}\right]_0^\infty}_{=\,-\dot\chi(0^+)/(\ii\omega)} -\frac{1}{\ii\omega}\int_0^\infty\ddot\chi(t)\,\ee^{\ii\omega t}\dd t\right\} = \frac{\dot\chi(0^+)}{(\ii\omega)^2}+O(\omega^{-3}) = -\frac{\dot\chi(0^+)}{\omega^2}+O(\omega^{-3}) $$

ここで $\dot\chi(0^+)$ は「撃力直後の速度」である．$\int F\dd t=1$ の撃力を受けた質量 $m$ の質点は $m\Delta v=1$ より $\Delta v=1/m$ の速度をもらう．したがって $\dot\chi(0^+)=1/m$ であり，式 \eqref{eq:4-highfreq} が再び得られる．∎

導出：Kramers–Kronig関係（前半 — 複素形まで）

式 \eqref{eq:4-contour-zero} の左辺を，積分路の3つの部分に分ける．

$$ \underbrace{\int_{-R}^{\omega-\epsilon}+\int_{\omega+\epsilon}^{R}}_{\text{(a) 実軸}} \ +\ \underbrace{\int_{C_\epsilon}}_{\text{(b) 小半円}} \ +\ \underbrace{\int_{C_R}}_{\text{(c) 大円}} \ =\ 0 $$

(c) 大円の寄与．式 \eqref{eq:4-highfreq} より，$\abs{\omega'}=R$ が十分大きければ $\abs{\chi(\omega')}\le \dfrac{2}{mR^2}$ としてよい（係数 $2$ は補正項を吸収するための余裕である）．また分母は $\abs{\omega'-\omega}\ge R-\abs{\omega}$．したがって事実2のML評価により

$$ \abs{\int_{C_R}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega'} \le \frac{2/(mR^2)}{R-\abs{\omega}}\times \pi R = \frac{2\pi}{m\,R\,(R-\abs{\omega})} \xrightarrow{\ R\to\infty\ } 0 $$

ゼロである．

(b) 小半円の寄与．$\omega'=\omega+\epsilon\,\ee^{\ii\theta}$ とパラメータ表示する．積分路は $\omega-\epsilon$ から $\omega+\epsilon$ へ上を通って進むので，$\theta$ は $\pi$ から $0$ へ減少する．このとき

$$ \dd\omega' = \ii\,\epsilon\,\ee^{\ii\theta}\,\dd\theta, \qquad \omega'-\omega = \epsilon\,\ee^{\ii\theta} $$

だから

$$ \int_{C_\epsilon}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' = \int_{\theta=\pi}^{\theta=0}\frac{\chi(\omega+\epsilon\ee^{\ii\theta})}{\epsilon\,\ee^{\ii\theta}}\cdot\ii\,\epsilon\,\ee^{\ii\theta}\,\dd\theta = \ii\int_{\pi}^{0}\chi(\omega+\epsilon\,\ee^{\ii\theta})\,\dd\theta $$

$\epsilon\,\ee^{\ii\theta}$ がきれいに約分されたことに注意してほしい．これが「1位の極」の御利益である．$\epsilon\to0$ とすると $\chi(\omega+\epsilon\ee^{\ii\theta})\to\chi(\omega)$（$\theta$ によらない定数）なので，積分の外に出せて

$$ \to\ \ii\,\chi(\omega)\int_{\pi}^{0}\dd\theta = \ii\,\chi(\omega)\,(0-\pi) = -\ii\pi\,\chi(\omega) $$

これが「半分の留数」である．完全な一周（$2\pi$）なら $2\pi\ii\,\chi(\omega)$ になるところが，半周ぶんかつ逆向きなので $-\ii\pi\chi(\omega)$ になった．

(a) 実軸の寄与．$R\to\infty$，$\epsilon\to0$ の極限で，これはまさに主値積分の定義そのものである：

$$ \lim_{\substack{R\to\infty\\ \epsilon\to0^+}}\left[\int_{-R}^{\omega-\epsilon}+\int_{\omega+\epsilon}^{R}\right] \frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' = \PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,\dd\omega' $$

足し合わせる．3つを式 \eqref{eq:4-contour-zero} に戻すと

$$ \PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,\dd\omega' \ -\ \ii\pi\,\chi(\omega) \ +\ 0 \ =\ 0 $$

$\chi(\omega)$ について解いて

これが KK関係の複素形である．∎

導出：Kramers–Kronig関係（後半 — 実部と虚部）

$\omega$ は実数，$\omega'$ も実数（積分変数）なので，$\chi(\omega)=\chi'(\omega)+\ii\chi''(\omega)$，$\chi(\omega')=\chi'(\omega')+\ii\chi''(\omega')$ と分けられる．式 \eqref{eq:4-kk-complex} の右辺で $\dfrac{1}{\ii\pi}=\dfrac{-\ii}{\pi}$ を使うと

$$ \chi'(\omega)+\ii\chi''(\omega) = \frac{-\ii}{\pi}\,\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi'(\omega')+\ii\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\,\dd\omega' $$

右辺の括弧を展開する．$-\ii\times\ii=-\ii^2=+1$ に注意すると

$$ = \frac{1}{\pi}\,\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\,\dd\omega' \ +\ \ii\left[-\frac{1}{\pi}\,\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi'(\omega')}{\omega'-\omega}\,\dd\omega'\right] $$

いま，$\chi'$ と $\chi''$ は実関数であり，$\omega'-\omega$ も実数だから，上の第1項は実数，角括弧の中身も実数である．したがって左辺と右辺で実部どうし・虚部どうしを比較してよい．

実部を比較して

虚部を比較して

これがKramers–Kronig関係である．∎

導出：極を上半面にずらす方法

実軸から $\eta>0$ だけ上にずらした点 $\omega+\ii\eta$（これは上半面の点）を考える．$\chi$ は上半面で正則なので，事実1（Cauchy の積分公式）を，実軸＋大円という閉曲線に対して適用できる．大円の寄与は前と同じくゼロだから

$$ \chi(\omega+\ii\eta) = \frac{1}{2\pi\ii}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega-\ii\eta}\,\dd\omega' $$

今度は積分路が実軸をまっすぐ走るだけで済む．極 $\omega'=\omega+\ii\eta$ は実軸より上にあるので，実軸上に特異点はない．

ここで $\eta\to0^+$ とする．式 \eqref{eq:4-sokhotski} の下の符号（$x-\ii\eta$ の場合）を $x=\omega'-\omega$ に適用すると

$$ \frac{1}{\omega'-\omega-\ii\eta}\ \longrightarrow\ \PV\frac{1}{\omega'-\omega}+\ii\pi\,\delta(\omega'-\omega) $$

したがって

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{2\pi\ii}\left[\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' + \ii\pi\int_{-\infty}^{\infty}\chi(\omega')\,\delta(\omega'-\omega)\,\dd\omega'\right] $$

デルタ関数の積分は $\chi(\omega)$ を拾うだけなので

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{2\pi\ii}\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' + \frac{\ii\pi\,\chi(\omega)}{2\pi\ii} = \frac{1}{2\pi\ii}\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' + \frac{1}{2}\chi(\omega) $$

右辺の $\frac12\chi(\omega)$ を左辺に移項すると左辺に $\frac12\chi(\omega)$ が残り，両辺を2倍して

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{\pi\ii}\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' $$

式 \eqref{eq:4-kk-complex} と完全に一致した．∎

導出：実関数のFourier変換がもつ対称性

$\chi(t)$ は実数値関数である（実の外力に対して実の応答が返る）．したがって $\chi(t)^*=\chi(t)$．式 \eqref{eq:4-onesided} の両辺の複素共役をとる．$\omega$ は実数とする．

$$ \chi(\omega)^* = \left[\int_0^\infty \chi(t)\,\ee^{\ii\omega t}\,\dd t\right]^* = \int_0^\infty \chi(t)^*\,\left(\ee^{\ii\omega t}\right)^*\,\dd t $$

ここで，積分の複素共役は被積分関数の複素共役の積分であること（積分は和の極限だから）を使った．$\chi(t)^*=\chi(t)$，$(\ee^{\ii\omega t})^*=\ee^{-\ii\omega t}$ なので

$$ = \int_0^\infty \chi(t)\,\ee^{-\ii\omega t}\,\dd t = \int_0^\infty \chi(t)\,\ee^{\ii(-\omega)t}\,\dd t $$

最後の形は，式 \eqref{eq:4-onesided} で $\omega\to-\omega$ としたものにほかならない．したがって

この式の両辺を実部・虚部に分ける．左辺は $\chi'(-\omega)+\ii\chi''(-\omega)$，右辺は $\chi'(\omega)-\ii\chi''(\omega)$．実部どうし，虚部どうしを比較して

∎

導出：$\chi'$ を $\chi''$ から求める式（正振動数形）

ステップ1：積分を2つに割る．式 \eqref{eq:4-kk1} の積分区間を $\omega'<0$ と $\omega'>0$ に分ける．

$$ \chi'(\omega) = \frac{1}{\pi}\PV\int_{-\infty}^{0}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' + \frac{1}{\pi}\PV\int_{0}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' $$

ステップ2：第1項で変数を反転する．第1項で $\omega'=-s$ と置換する．$\dd\omega'=-\dd s$ であり，積分範囲は $\omega'=-\infty\to0$ が $s=+\infty\to0$ に対応する．

$$ \int_{-\infty}^{0}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' = \int_{+\infty}^{0}\frac{\chi''(-s)}{-s-\omega}\,(-\dd s) = \int_{0}^{\infty}\frac{\chi''(-s)}{-s-\omega}\,\dd s $$

（積分の向きを反転して出る符号 $-1$ と，$-\dd s$ の $-1$ が打ち消し合った．）

ステップ3：奇関数性を使う．式 \eqref{eq:4-parity} より $\chi''(-s)=-\chi''(s)$．代入して

$$ = \int_{0}^{\infty}\frac{-\chi''(s)}{-(s+\omega)}\,\dd s = \int_{0}^{\infty}\frac{\chi''(s)}{s+\omega}\,\dd s $$

分子と分母の両方に $-1$ が出て打ち消し合った．積分変数の名前を $s\to\omega'$ に戻す．

ステップ4：2つを合わせる．

$$ \chi'(\omega) = \frac{1}{\pi}\PV\int_{0}^{\infty}\chi''(\omega') \left[\frac{1}{\omega'+\omega}+\frac{1}{\omega'-\omega}\right]\dd\omega' $$

角括弧の中を通分する．分母は $(\omega'+\omega)(\omega'-\omega)=\omega'^2-\omega^2$，分子は $(\omega'-\omega)+(\omega'+\omega)=2\omega'$ だから

$$ \frac{1}{\omega'+\omega}+\frac{1}{\omega'-\omega} = \frac{2\omega'}{\omega'^2-\omega^2} $$

したがって

∎

導出：$\chi''$ を $\chi'$ から求める式（正振動数形）

まったく同じ手続きを式 \eqref{eq:4-kk2} に行う．違いは $\chi'$ が偶関数だという点だけである．

ステップ2', 3'．負の側の積分で $\omega'=-s$ と置換し，$\chi'(-s)=+\chi'(s)$ を使うと

$$ \int_{-\infty}^{0}\frac{\chi'(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' = \int_{0}^{\infty}\frac{\chi'(s)}{-s-\omega}\,\dd s = -\int_{0}^{\infty}\frac{\chi'(s)}{s+\omega}\,\dd s $$

今度は分子に $-1$ が出ないので，全体として符号がマイナスになる．

ステップ4'．

$$ \chi''(\omega) = -\frac{1}{\pi}\PV\int_{0}^{\infty}\chi'(\omega') \left[\frac{1}{\omega'-\omega}-\frac{1}{\omega'+\omega}\right]\dd\omega' $$

角括弧を通分すると，分子は $(\omega'+\omega)-(\omega'-\omega)=2\omega$ だから

$$ \frac{1}{\omega'-\omega}-\frac{1}{\omega'+\omega} = \frac{2\omega}{\omega'^2-\omega^2} $$

したがって

式 \eqref{eq:4-kk1-pos} では分子に $\omega'$（積分変数）が，式 \eqref{eq:4-kk2-pos} では前に $\omega$（外の変数）が付く．この非対称は，$\chi''$ が奇関数，$\chi'$ が偶関数であることから来ている．ここを取り違えると符号や次元が合わなくなるので，注意深く覚えておきたい．∎

導出：準備 — $\chi$ を部分分数に分解する

式 \eqref{eq:4-poles} の極 $\omega_\pm=\pm\omega_1-\ii\Gamma$ を使うと，$\chi(\omega)$ の分母は因数分解できる．

$$ m(\omega_0^2-\omega^2-2\ii\Gamma\omega) = -m(\omega^2+2\ii\Gamma\omega-\omega_0^2) = -m(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-) $$

よって

$$ \chi(\omega) = \frac{-1}{m(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)} $$

部分分数の公式 $\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{1}{a-b}\left[\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x-b}\right]$ を，$a=\omega_+$，$b=\omega_-$，$a-b=2\omega_1$ として使うと

ここで $\omega$ を実数として，各項を有理化する．$\omega-\omega_+=(\omega-\omega_1)+\ii\Gamma$ なので，分母の複素共役を分子分母に掛けて

$$ \frac{1}{\omega-\omega_+} = \frac{(\omega-\omega_1)-\ii\Gamma}{(\omega-\omega_1)^2+\Gamma^2}, \qquad \frac{1}{\omega-\omega_-} = \frac{(\omega+\omega_1)-\ii\Gamma}{(\omega+\omega_1)^2+\Gamma^2} $$

式 \eqref{eq:4-partial} に代入して実部と虚部を読み取る．

（$\chi''$ の符号について：式 \eqref{eq:4-partial} の前因子 $-1/(2m\omega_1)$ に，各項の虚部 $-\Gamma/[\cdots]$ が掛かるので，$(-1)\times(-\Gamma)=+\Gamma$ となる．）∎

式 \eqref{eq:4-chipp-partial} は2本のLorentz関数の差である．$\omega=+\omega_1$ に幅 $\Gamma$ の正のピーク，$\omega=-\omega_1$ に負のピークがある．$\chi''$ が奇関数であることが目に見える形になった．

導出：必要な主値積分（Lorentz関数のHilbert変換）

次の主値積分を，初等的に計算する．$a$ は実数，$\Gamma>0$，$\omega$ は実数とする．

$$ J(\omega;a) \equiv \PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\omega'-\omega}\cdot\frac{\Gamma}{(\omega'-a)^2+\Gamma^2}\,\dd\omega' $$

ステップ1：平行移動．$u=\omega'-a$，$c=\omega-a$ と置く．$\dd\omega'=\dd u$，$\omega'-\omega=u-c$ だから

$$ J = \Gamma\,\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd u}{(u-c)(u^2+\Gamma^2)} $$

ステップ2：部分分数に分ける．

$$ \frac{1}{(u-c)(u^2+\Gamma^2)} = \frac{A}{u-c}+\frac{Bu+C}{u^2+\Gamma^2} $$

と置き，両辺に $(u-c)(u^2+\Gamma^2)$ を掛けると

$$ 1 = A(u^2+\Gamma^2)+(Bu+C)(u-c) $$

$u=c$ を代入して $1=A(c^2+\Gamma^2)$，すなわち $A=\dfrac{1}{c^2+\Gamma^2}$．
$u^2$ の係数を比較して $0=A+B$，すなわち $B=-A$．
定数項を比較して $1=A\Gamma^2-Cc$，すなわち

$$ C = \frac{A\Gamma^2-1}{c} = \frac{1}{c}\left[\frac{\Gamma^2}{c^2+\Gamma^2}-1\right] = \frac{1}{c}\cdot\frac{\Gamma^2-c^2-\Gamma^2}{c^2+\Gamma^2} = \frac{1}{c}\cdot\frac{-c^2}{c^2+\Gamma^2} = -Ac $$

まとめると

$$ \frac{1}{(u-c)(u^2+\Gamma^2)} = A\left[\frac{1}{u-c}-\frac{u+c}{u^2+\Gamma^2}\right], \qquad A=\frac{1}{c^2+\Gamma^2} $$

ステップ3：3つの積分を実行する．対称な区間 $[-R,R]$ で計算して $R\to\infty$ とする．

(i) $\PV\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{\dd u}{u-c} = \Big[\ln\abs{u-c}\Big]_{-R}^{R}=\ln\frac{R-c}{R+c}\xrightarrow{R\to\infty}\ln1=0$．（$u=c$ の近傍は主値で対称に切るので寄与しない．）

(ii) $\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{u\,\dd u}{u^2+\Gamma^2}=0$．被積分関数が奇関数で，区間が対称だから厳密にゼロである．

(iii) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd u}{u^2+\Gamma^2}=\frac{1}{\Gamma}\Big[\arctan\frac{u}{\Gamma}\Big]_{-\infty}^{\infty}=\frac{1}{\Gamma}\left[\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\frac{\pi}{\Gamma}$．

ステップ4：組み立てる．$A$ を掛け，(i)(ii)(iii) を代入すると

$$ J = \Gamma\,A\left[\,0 - 0 - c\cdot\frac{\pi}{\Gamma}\right] = -\frac{\pi c}{c^2+\Gamma^2} $$

$c=\omega-a$ を戻して

Lorentz型の吸収ピークをHilbert変換すると，分散型（S字型）の曲線が出るという，分光学者にはおなじみの結果である．∎

導出：KK関係の検算（本番）

式 \eqref{eq:4-chipp-partial} の $\chi''$ を式 \eqref{eq:4-kk1} に代入する．

$$ \frac{1}{\pi}\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{2m\omega_1} \PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\omega'-\omega} \left[\frac{\Gamma}{(\omega'-\omega_1)^2+\Gamma^2}-\frac{\Gamma}{(\omega'+\omega_1)^2+\Gamma^2}\right]\dd\omega' $$

2つの項に，それぞれ式 \eqref{eq:4-hilbert-lorentz} を $a=+\omega_1$ および $a=-\omega_1$ として適用する．

$$ = \frac{1}{2\pi m\omega_1}\left[ -\frac{\pi(\omega-\omega_1)}{(\omega-\omega_1)^2+\Gamma^2} +\frac{\pi(\omega+\omega_1)}{(\omega+\omega_1)^2+\Gamma^2}\right] $$

$\pi$ が約分されて

$$ = \frac{-1}{2m\omega_1}\left[ \frac{\omega-\omega_1}{(\omega-\omega_1)^2+\Gamma^2} -\frac{\omega+\omega_1}{(\omega+\omega_1)^2+\Gamma^2}\right] $$

これは式 \eqref{eq:4-chip-partial} の右辺そのものである．すなわち

$$ \frac{1}{\pi}\PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega}\dd\omega' = \chi'(\omega) $$

KK関係が，減衰振動子について厳密に成り立つことが，初等的な計算だけで確認できた．∎

導出：古典版の $f$ 和則（古典規約 $\Ham'=-\hat xF$ のもとで）

式 \eqref{eq:4-kk1-pos} で $\omega$ を非常に大きく取る．積分に効くのは $\chi''(\omega')$ が有意な値をもつ領域（共鳴の近傍，つまり $\omega'\sim\omega_0$）だから，$\omega\gg\omega'$ としてよい．すると分母は

$$ \frac{1}{\omega'^2-\omega^2} = \frac{-1}{\omega^2\left(1-\dfrac{\omega'^2}{\omega^2}\right)} \simeq -\frac{1}{\omega^2}\left(1+\frac{\omega'^2}{\omega^2}+\cdots\right) \simeq -\frac{1}{\omega^2} $$

と近似できる．$\omega$ は積分変数によらないから，積分の外に出せて

$$ \chi'(\omega) \simeq \frac{2}{\pi}\cdot\left(-\frac{1}{\omega^2}\right)\int_0^\infty \omega'\,\chi''(\omega')\,\dd\omega' = -\frac{2}{\pi\omega^2}\int_0^\infty \omega'\,\chi''(\omega')\,\dd\omega' $$

いっぽう，式 \eqref{eq:4-highfreq} から，高振動数では $\chi(\omega)\to-1/(m\omega^2)$ であった．これは実数なので $\chi'(\omega)\to-1/(m\omega^2)$，$\chi''(\omega)\to0$（より速く落ちる）である．両者を等置して

$$ -\frac{2}{\pi\omega^2}\int_0^\infty \omega'\,\chi''(\omega')\,\dd\omega' = -\frac{1}{m\omega^2} $$

両辺の $-1/\omega^2$ を払うと $\omega$ が完全に消えて

これが和則（sum rule）である．量子系の $f$ 和則（第8章）の古典版にあたる．ただしこの導出は高振動数極限 \eqref{eq:4-highfreq} に全面的に寄りかかっているので，成り立つ範囲も4.2.4節で断ったのと同じ，慣性で応じる系に限られる．∎

導出：反射率の位相をKK関係で求める

ステップ1：振幅反射率を導入する．複素屈折率 $\tilde n$ の媒質に真空側から垂直入射したときの，電場の振幅反射率は Fresnel の公式から

$$ r(\omega) = \frac{\tilde n(\omega)-1}{\tilde n(\omega)+1} $$

これは複素数なので，絶対値と位相に分けて

$$ r(\omega) = \sqrt{R(\omega)}\;\ee^{\ii\theta(\omega)} $$

と書ける．測定で得られるのは $\abs{r}^2=R$ のみで，位相 $\theta$ は測れない．

ステップ2：$\ln r$ に着目する．対数を取ると，絶対値と位相が実部と虚部に分離する．

$$ \ln r(\omega) = \ln\sqrt{R(\omega)} + \ii\,\theta(\omega) = \tfrac12\ln R(\omega) + \ii\,\theta(\omega) $$

ここで決定的な事実がある．$r(\omega)$ は因果的な応答関数である（入射光に対する反射光の応答なのだから）．したがって $r(\omega)$ は上半面で解析的である．さらに $r(\omega)$ が上半面で零点をもたなければ（通常の物質では成り立つ），$\ln r(\omega)$ もまた上半面で解析的である．

ステップ3：KK関係を適用する．$\ln r$ の実部が $\frac12\ln R$，虚部が $\theta$ である．また $r(-\omega)=r(\omega)^*$ が成り立つので，$\frac12\ln R$ は偶関数，$\theta$ は奇関数である．式 \eqref{eq:4-kk2-pos} を「$\chi'\to\frac12\ln R$，$\chi''\to\theta$」として使うと

$$ \theta(\omega) = -\frac{2\omega}{\pi}\PV\int_0^\infty\frac{\tfrac12\ln R(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}\dd\omega' $$

ここで一言だけ断っておきたい．$\ln r$ は $\omega\to\infty$ でゼロに近づかない．実際，$\tfrac12\ln R\simeq-2\ln\omega$ と対数的に発散し，位相のほうは $\theta\to\pi$ に向かう．つまり式 \eqref{eq:4-kk2} を導いたときの前提——大円の上で被積分関数が十分速く落ちること——を，そのまま満たしているわけではない．それでも式 \eqref{eq:4-kk-reflectivity} が正しいのは，次の2つの事情による．第1に，正振動数形の核 $2\omega/(\omega'^2-\omega^2)$ は $\omega'\to\infty$ で $\omega'^{-2}$ と落ちるので，対数程度の増大なら吸収してしまう．第2に，$\PV\int_0^\infty\dd\omega'/(\omega'^2-\omega^2)=0$ なので，$\ln R$ に定数を足しても $\theta$ は変わらない——定数のずれは自動的に落ちる．この点は4.8.2節の落とし穴(3)と表裏一体なので，あわせて読んでほしい（厳密な扱いは参考文献5の Wooten 第6章にある）．

ステップ4：光学定数に直す．$\tilde n=(1+r)/(1-r)$ に $r=\sqrt R\,\ee^{\ii\theta}$ を代入し，分母の複素共役を掛けて有理化する．分子は $(1+r)(1-r^*)=(1-\abs{r}^2)+(r-r^*)=(1-R)+2\ii\sqrt R\sin\theta$，分母は $\abs{1-r}^2=1-2\sqrt R\cos\theta+R$ だから

反射率 $R(\omega)$ を測るだけで，$n$ と $\kappa$ の両方が求まった．そこから誘電関数 $\epsilon=\tilde n^2$，吸収係数 $\alpha=2\omega\kappa/c$，光学伝導度などがすべて計算できる．∎