線形応答理論入門 — 目次 第I部 古典的な線形応答 / 第1章

第1章線形応答とは何か

物理の実験というのは，煎じ詰めれば「系を叩いて，返事を聞く」ことである．試料に電場をかけて電流を測る．磁場をかけて磁化を測る．光を当てて反射率を測る．中性子をぶつけて散乱の様子を見る．どれも「叩き方」と「返事」の組であり，その関係を記述する量が応答関数（response function）である．

叩き方が十分に弱ければ，返事は叩き方に比例する．この「比例する」という単純きわまる仮定だけから，驚くほど多くのことが言える．それが線形応答理論であり，本章はその出発点となる枠組みを，数式を最小限にして組み立てる．

本章で確立したい結論は，次の一行に尽きる．線形性・時間並進不変性・因果律という3つの物理的な要請を課すと，応答は必ず

$$ \delta A(t) = \int_{-\infty}^{t} \chi(t-t')\, f(t')\, \dd t' $$

という畳み込み積分の形になる．ここに現れる $\chi$ が応答関数である．第2章以降，この $\chi$ を具体的に求め（第2〜3章），その数学的性質を調べ（第4〜5章），量子系へ拡張する（第6〜8章）．

この章で学ぶこと
  • 「摂動」と「応答」という言葉の意味，および物理量の平衡値からのずれ $\delta A$
  • 線形性（重ね合わせの原理）が意味すること，そしてそれが成り立つ条件
  • 時間並進不変性 —— 応答関数が $t$ と $t'$ に別々にではなく $t-t'$ にのみ依存する理由
  • 因果律 —— $\chi(t)=0$（$t<0$），これが第4章のKramers–Kronig関係を生むこと
  • 畳み込み積分の形が3つの要請から必然的に出てくること
  • Fourier空間では畳み込みが単なる掛け算 $\delta A(\omega)=\chi(\omega)f(\omega)$ になること
  • 身近な応答関数の例：バネ，RC回路，誘電分極（電気感受率），磁化（帯磁率），電気伝導度
  • 「静的応答」と「動的応答」の違い，$\omega\to0$ 極限の意味
前提：微積分，常微分方程式の初歩，Fourier変換の存在を知っていること（規約は付録A A.1節にまとめてある）．複素関数論は不要．量子力学も本章では使わない．

1.1 叩いて，返事を聞く

1.1.1 設定

まず言葉を決める．系が最初，外力のない状態で落ち着いているとする．これを平衡状態と呼ぶ．この状態での物理量 $A$ の値を $\braket{A}_0$ と書く．

そこに，時刻に依存する外力（摂動）$f(t)$ を加える．すると $A$ の値が平衡値からずれる．このずれを

$$ \begin{equation} \delta A(t) \equiv \braket{A(t)} - \braket{A}_0 \label{eq:1-deltaA} \end{equation} $$

と書く．線形応答理論とは，$f(t)$ と $\delta A(t)$ の関係を調べる理論である．

表1.1 「叩き方」と「返事」の代表例
系外力 $f$（叩き方）応答 $\delta A$（返事）応答関数
バネにつながれた質点力 $F(t)$変位 $x(t)$力学的感受率
誘電体電場 $E(t)$分極 $P(t)$電気感受率 $\chi_e$
磁性体磁場 $H(t)$磁化 $M(t)$帯磁率 $\chi_m$
金属電場 $E(t)$電流密度 $j(t)$電気伝導度 $\sigma$
電子気体外部ポテンシャル $\phi_{\text{ext}}$密度変化 $\delta\rho$密度応答関数 $\chi_{\rho\rho}$
RC回路電圧 $V(t)$電流 $I(t)$アドミッタンス $Y$

なぜ「ずれ」を見るのか

式 \eqref{eq:1-deltaA} でわざわざ平衡値を引くのは，単に便利だからではない．ずれ（応答）は，非平衡の時間発展を直接解かなくても，平衡状態の情報（相関関数）だけで書けてしまうからである．

たとえば金属中の電子気体の全エネルギーを厳密に求めるのは，いまだに未解決の難問である．ところが「電場をかけたときに電流がどれだけ流れるか」なら，平衡状態の性質さえ分かっていれば計算できてしまう．これが線形応答理論の実用上の威力である．第7章の久保公式が，まさにこの主張を数式で表したものになる．

1.1.2 「弱く」叩くとはどういうことか

線形応答が成り立つのは，外力が「十分に弱い」ときである．この条件を定量的に言えば，外力が系に与えるエネルギーが，系のもつ特徴的なエネルギースケールよりずっと小さいということである．

例：金属に電場をかける

電場 $E$ の中で電子が平均自由行程 $\ell$ だけ走る間に得るエネルギーは $eE\ell$ である．金属の特徴的エネルギーはFermiエネルギー $\varepsilon_F \sim 5\ \mathrm{eV}$．$\ell\sim 10\ \mathrm{nm}$ とすると，線形応答が成り立つ条件は

$$ eE\ell \ll \varepsilon_F \quad\Longrightarrow\quad E \ll \frac{5\ \mathrm{eV}}{e\times 10\ \mathrm{nm}} = 5\times10^8\ \mathrm{V/m} $$

実験室で扱う電場はせいぜい $10^6\ \mathrm{V/m}$ 程度なので，条件は十分に満たされている．だからオームの法則 $j=\sigma E$ が成り立つのである．

逆に，パルスレーザーで $10^{7\text{–}8}\ \mathrm{V/m}$ 級の強い光電場をかけると線形応答からのずれが観測にかかり，第二高調波発生などの非線形光学効果が現れる（さらに $10^{10}\ \mathrm{V/m}$ を超えるとイオン化が始まり，摂動論そのものが破綻する強電場領域に入る）．

1.2 3つの要請

応答関数の形を決めるのは，次の3つの物理的な要請である．

要請1：線形性（重ね合わせの原理）

2つの外力 $f_1(t)$, $f_2(t)$ に対する応答をそれぞれ $\delta A_1(t)$, $\delta A_2(t)$ とすると，外力 $af_1(t)+bf_2(t)$ に対する応答は $a\,\delta A_1(t) + b\,\delta A_2(t)$ である．

要請2：時間並進不変性

系そのものの性質は時間によらない（実験を明日やっても同じ結果が出る）．したがって，外力を時間 $t_0$ だけずらせば，応答も同じだけずれる：$f(t)\to f(t-t_0)$ なら $\delta A(t)\to\delta A(t-t_0)$．

要請3：因果律

結果は原因より先に起きない．時刻 $t$ における応答 $\delta A(t)$ は，それ以前の外力 $f(t')$（$t'\le t$）にしか依存しない．

物理的意味：3つの要請の重み

この3つは，性格がまったく違う．

後で複素平面の上半面がどうこうという議論が出てきたら，それは因果律の言い換えだと思ってよい．線形応答理論で複素解析が必要になる理由の9割は，因果律である．

1.3 畳み込み積分の導出

導出：3つの要請から畳み込み積分へ

ステップ1：外力をパルスの重ね合わせに分解する．任意の外力 $f(t)$ は，デルタ関数を使って

$$ f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t')\,\delta(t-t')\,\dd t' $$

と書ける．これは「$f(t)$ は，時刻 $t'$ に強さ $f(t')\dd t'$ の瞬間的なパルスを打ち込む，という操作を全時刻について足し合わせたもの」と読める．

ステップ2：単位パルスへの応答を定義する．時刻 $t'=0$ に単位強度のパルス $\delta(t)$ を打ち込んだときの応答を $\chi(t)$ と書く．これが応答関数（インパルス応答，あるいは遅延Green関数）である：

$$ \begin{equation} f(t)=\delta(t) \quad\Longrightarrow\quad \delta A(t) = \chi(t) \label{eq:1-chi-def} \end{equation} $$

ステップ3：時間並進不変性を使う．要請2により，時刻 $t'$ に打ち込んだパルス $\delta(t-t')$ への応答は $\chi(t-t')$ である．$t$ と $t'$ に別々に依存するのではなく，その差だけに依存することが，ここで効いている．

ステップ4：線形性を使って足し合わせる．要請1により，各パルスへの応答をそのまま重ね合わせてよい．強さ $f(t')\dd t'$ のパルスへの応答は $f(t')\chi(t-t')\dd t'$ だから

$$ \begin{equation} \delta A(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t-t')\, f(t')\, \dd t' \label{eq:1-convolution-full} \end{equation} $$

ステップ5：因果律で積分範囲を切る．要請3により，$t' > t$ の外力は $\delta A(t)$ に寄与してはならない．これは

$$ \begin{equation} \chi(\tau) = 0 \qquad (\tau < 0) \label{eq:1-causality} \end{equation} $$

と要求することと同じである．すると式 \eqref{eq:1-convolution-full} の積分は自動的に $t'\le t$ に制限され

$$ \begin{equation} \delta A(t) = \int_{-\infty}^{t} \chi(t-t')\, f(t')\, \dd t' = \int_{0}^{\infty} \chi(\tau)\, f(t-\tau)\, \dd\tau \label{eq:1-convolution} \end{equation} $$

最後の等号は $\tau = t-t'$ と置換した．∎

この式が言っていること

式 \eqref{eq:1-convolution} の第2の形

$$ \delta A(t) = \int_{0}^{\infty} \chi(\tau)\, f(t-\tau)\, \dd\tau $$

は，次のように読むと分かりやすい．「いまの応答 $\delta A(t)$ は，$\tau$ だけ過去の外力 $f(t-\tau)$ を，重み $\chi(\tau)$ を付けて足し合わせたものである．」

つまり $\chi(\tau)$ は系の記憶を表している．$\chi(\tau)$ が $\tau$ とともに速く減衰する系は「物覚えが悪く」，外力を切ればすぐ平衡に戻る．ゆっくり減衰する系は「引きずる」．第2章で減衰振動子（質量 $m$，摩擦係数 $\gamma$）の $\chi(\tau)$ を実際に求めると，$\ee^{-\gamma\tau/(2m)}$ という減衰因子が現れる．摩擦係数 $\gamma$ が小さいほど記憶が長いのである．

記号の注意：$\chi$ か $G$ か $\phi$ か

この関数の呼び名と記号は，分野によってばらばらである．

本書では，時間領域では $\chi(t)$ または $G(t)$，振動数領域では $\chi(\omega)$ を主に使い，量子系の遅延応答関数には上付き $R$ を付けて $\chi^R$ と書く．中身はすべて同じものである．

1.4 Fourier空間へ移る

畳み込み積分は扱いにくい．しかしFourier変換すると，単なる掛け算になる．これが線形応答理論で振動数表示ばかり使う理由である．

Fourier変換の規約（本書を通じて）

$$ \begin{equation} g(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, \ee^{\ii\omega t}\, \dd t, \qquad g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(\omega)\, \ee^{-\ii\omega t}\, \dd\omega \label{eq:1-fourier} \end{equation} $$

符号の取り方は流儀が分かれるが，本書はFetter–Waleckaに合わせて，時間から振動数へ移るときに $\ee^{+\ii\omega t}$ を使う．この規約だと，外力 $f(t)=f_0\ee^{-\ii\omega t}$ が振動数 $\omega$ の単色外力になる．

導出：畳み込み定理

式 \eqref{eq:1-convolution-full} の両辺をFourier変換する．

$$ \delta A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\dd t\, \ee^{\ii\omega t} \int_{-\infty}^{\infty}\dd t'\, \chi(t-t')f(t') $$

ここで $\tau = t - t'$ と変数変換する．$t$ の積分を $\tau$ の積分に変えると，$t = \tau + t'$ かつ $\dd t = \dd\tau$ だから

$$ \delta A(\omega) = \int\dd\tau\int\dd t'\, \ee^{\ii\omega(\tau+t')}\chi(\tau)f(t') = \underbrace{\int\dd\tau\, \ee^{\ii\omega\tau}\chi(\tau)}_{\chi(\omega)} \times \underbrace{\int\dd t'\, \ee^{\ii\omega t'}f(t')}_{f(\omega)} $$

2重積分が2つの独立な積分の積に分離した．したがって

$$ \begin{equation} \delta A(\omega) = \chi(\omega)\, f(\omega) \label{eq:1-convolution-theorem} \end{equation} $$

∎

因果律 \eqref{eq:1-causality} を使うと，$\chi(\omega)$ の定義式の積分下限が $0$ になる：

$$ \begin{equation} \chi(\omega) = \int_{0}^{\infty} \chi(\tau)\, \ee^{\ii\omega\tau}\, \dd\tau \label{eq:1-chi-omega} \end{equation} $$

物理的意味：この式に第4章のすべてが埋まっている

式 \eqref{eq:1-chi-omega} をよく見てほしい．積分範囲が $0$ から $\infty$ であり，被積分関数に $\ee^{\ii\omega\tau}$ が入っている．

ここで $\omega$ を複素数だと思って，虚部が正（$\mathrm{Im}\,\omega > 0$）としてみよう．すると

$$ \abs{\ee^{\ii\omega\tau}} = \ee^{-(\mathrm{Im}\,\omega)\tau} \xrightarrow{\ \tau\to+\infty\ } 0 $$

となって，積分はますます良く収束する．つまり $\chi(\omega)$ は複素 $\omega$ 平面の上半面で正則（解析的）である．

もし因果律がなくて積分が $-\infty$ から始まっていたら，この議論は成り立たない．因果律 $\Longleftrightarrow$ 上半面での正則性という対応が，たった1行の式から読み取れる．この対応からKramers–Kronig関係が出てくるのが第4章であり，複素解析が必要になるのが第5章である．

1.5 身近な応答関数

1.5.1 いちばん簡単な例：緩和

コラム：階段関数 $\theta(t)$ とは何か

次の例題で $\theta(t)$ という記号が出てくる．デルタ関数と並んで本書の全編で使う道具なので，ここで正体を押さえておこう．難しいものではない．$\theta$ は「スイッチ」である．

1. 定義．

$$ \theta(t) = \begin{cases} 1 & (t>0)\\[2pt] 0 & (t<0) \end{cases} $$

$t=0$ で $0$ から $1$ へ一瞬で跳ね上がる関数である．$t=0$ ちょうどの値をいくつにするかは流儀があり（対称性を重んじて $\theta(0)=1/2$ と約束することも多い），本書では気にしない．$\theta$ は必ず積分の中で使うので，1点の値は結果に影響しないからである．

2. なぜここで出てきたのか —— 掛けるだけで因果律になる．応答関数 $\chi(t)$ に $\theta(t)$ を掛けるという操作は，

$t<0$ では応答がない ＝ 原因より先に結果は現れない

という要請そのものである．1.4節で「因果律」と呼んだ物理の中身が，$\theta$ を1つ掛けるという操作だけに集約されている．逆にいえば，$\theta$ の付いていない $\chi(t)$ は「叩く前から動きだす系」を表してしまう．

3. 実務上は「積分の下限が $0$ になる」だけ．被積分関数に $\theta(t)$ が入っていると，$t<0$ の部分がまるごと消えるので

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\dd t\;\theta(t)\,g(t) \;=\; \int_{0}^{\infty}\dd t\;g(t) $$

となる．次の例題の解答でいきなり下限が $0$ になっているのは，これを使ったからである．計算の場面で $\theta$ が果たす役割は，ほとんどの場合これに尽きる．

4. デルタ関数との関係 —— スイッチとハンマー．2つは微分で結ばれている．

$$ \frac{\dd\theta(t)}{\dd t} = \delta(t) $$

$\theta$ が「$t=0$ でスイッチを入れて，そのまま一定の力をかけ続ける」ことを表すのに対し，$\delta$ は「$t=0$ で一瞬だけ叩く」ことを表す．力がこの関係にあるので，応答のほうも同じ関係で結ばれる：

$$ (\text{インパルス応答}) = \frac{\dd}{\dd t}(\text{ステップ応答}) $$

実験では一瞬の撃力を正確に加えるより，階段状の力を加えるほうがずっと簡単である．そこで実務ではステップ応答を測って微分し，インパルス応答＝応答関数 $\chi(t)$ を得る．1.3節で $\chi(t)$ を「インパルス応答」と呼んだのは，この意味である．

5. この先どこで効くか．$\theta(t)$ を Fourier 変換すると $\ii/(\omega+\ii\eta)$ という形になり，分母にわずかな虚数 $+\ii\eta$ が現れる．この $+\ii\eta$ こそが，因果律の $\omega$ 空間での姿である．第4章の Kramers–Kronig 関係も，第5章で複素平面上の積分路を上半面に閉じるのも，第7章・第8章に出てくる $+\ii\eta$ も，すべてこの1点から流れ出している．導出と，符号関数 $\mathrm{sgn}(t)$ との関係は付録A の A.3節にまとめてある．

例題1.1　指数緩和する系

外力を切ったあと，ずれが時定数 $\tau_0$ で指数的に緩和する系を考える．応答関数を

$$ \chi(t) = \frac{\chi_0}{\tau_0}\ee^{-t/\tau_0}\,\theta(t) $$

とする（$\theta$ は階段関数で，因果律を表している）．$\chi(\omega)$ を求めよ．

解答．式 \eqref{eq:1-chi-omega} に代入する．

$$ \chi(\omega) = \frac{\chi_0}{\tau_0}\int_0^\infty \ee^{-t/\tau_0}\ee^{\ii\omega t}\,\dd t = \frac{\chi_0}{\tau_0}\int_0^\infty \ee^{-(1/\tau_0 - \ii\omega)t}\,\dd t $$

指数関数の積分は簡単で，$\mathrm{Re}(1/\tau_0-\ii\omega) = 1/\tau_0 > 0$ なので収束し

$$ = \frac{\chi_0}{\tau_0}\cdot\frac{1}{1/\tau_0 - \ii\omega} = \frac{\chi_0}{1 - \ii\omega\tau_0} $$
$$ \begin{equation} \chi(\omega) = \frac{\chi_0}{1-\ii\omega\tau_0} \label{eq:1-debye} \end{equation} $$

これがDebye緩和の式であり，誘電体の振動数応答を記述する最も基本的な形である．∎

実部と虚部に分けると（図1.1）

$$ \mathrm{Re}\,\chi(\omega) = \frac{\chi_0}{1+\omega^2\tau_0^2}, \qquad \mathrm{Im}\,\chi(\omega) = \frac{\chi_0\,\omega\tau_0}{1+\omega^2\tau_0^2} $$

$\mathrm{Im}\,\chi$ は $\omega\tau_0=1$ でピークを持つ．これが誘電損失のピークである．室温の水では $\tau_0\approx 8\ \mathrm{ps}$ で，ピークは約 $20\ \mathrm{GHz}$ にある．電子レンジが使う $2.45\ \mathrm{GHz}$ はそのピークではなく，低振動数側の裾である．ピーク直上では吸収が強すぎて電磁波が食品の表面までしか浸透せず，中まで加熱できないからである（産業科学医療用（ISM）バンドとして割り当てられているという事情もある）．

極の位置に注目したい．$\chi(\omega)$ は $\omega = -\ii/\tau_0$ で発散する．これは複素平面の下半面である．1.4節で述べた「上半面で正則」が成り立っている．

Debye緩和の応答関数の実部と虚部．横軸は ωτ₀，縦軸は χ/χ₀．実部（紫の実線）は 1 から単調に減少してゼロへ近づき，虚部（赤の破線）は ωτ₀=1 で最大値 0.5 をとる．
図1.1 Debye緩和 $\chi(\omega)=\chi_0/(1-\ii\omega\tau_0)$ の実部と虚部．実部は低周波で $\chi_0$，高周波でゼロへ落ちる（分散）．虚部は $\omega\tau_0=1$ でピークを持ち，これがエネルギー吸収に対応する．第3章で見るように，$\omega>0$ で $\mathrm{Im}\,\chi>0$ であることは系がエネルギーを吸収することを意味し，熱力学第二法則から要求される．

1.5.2 静的応答 — $\omega\to0$ の極限

外力が時間によらない定数 $f_0$ のとき，応答も定数になる．式 \eqref{eq:1-convolution} で $f(t-\tau)=f_0$ と置けば

$$ \delta A = f_0 \int_0^\infty \chi(\tau)\,\dd\tau = f_0\,\chi(\omega=0) $$

すなわち $\chi(\omega=0)$ が静的感受率である．表1.1の例で言えば，静電場に対する電気感受率，静磁場に対する帯磁率，直流電気伝導度がこれにあたる．これに対し，振動数 $\omega\neq0$ の外力への応答を動的応答と呼ぶ．静的応答はその $\omega\to0$ 極限である．

物理的意味：静的応答は熱力学量である

静的感受率は，実は熱力学的な量である．外力 $f$ が物理量 $A$ と結合している（つまり，系のエネルギー（ハミルトニアン）$H$ が $H \to H - fA$ という形に変わる）とき，自由エネルギー $F(f)$ を使って

$$ \braket{A} = -\frac{\partial F}{\partial f}, \qquad \chi(0) = \frac{\partial\braket{A}}{\partial f} = -\frac{\partial^2 F}{\partial f^2} $$

と書ける．すなわち静的感受率は自由エネルギーの2階微分（にマイナスを付けたもの）である．

2階微分が発散するとき，系は相転移を起こす．強磁性転移点で帯磁率が発散し，強誘電転移点で誘電率が発散するのは，このためである．第11章で見るプラズマ振動も，$\epsilon(\qq,\omega)=0$ という「応答が発散する条件」として現れる．応答関数の発散は，系が何かを起こす合図だと思ってよい．

1.6 なぜ線形なのに面白いのか

「線形」と聞くと，いちばん簡単で退屈な場合に思える．なぜこれほど大きな理論体系が組み上がるのか．理由は3つある．

理由1：測定はほとんどすべて線形応答である

実験で測る量の大半は，線形応答関数そのものである．電気伝導度，誘電率，帯磁率，弾性定数，光学吸収スペクトル，中性子散乱断面積——すべてそうである．したがって線形応答理論は，理論と実験をつなぐ共通言語になっている．

理由2：応答関数の「極」が集団励起を教えてくれる

応答関数 $\chi(\omega)$ を複素 $\omega$ 平面で見ると，極（発散する点）がある．この極の位置が，系の固有振動のエネルギーと寿命を与える．

第2章の減衰振動子では，極が $\omega = \pm\omega_1 - \ii\gamma/(2m)$ にあり（$\omega_1$ は減衰でシフトした固有振動数．第2章で定義する），実部が振動数，虚部が減衰率になる．同じ構造が量子系でもそのまま成り立ち，第8章のLehmann表示で「極の位置＝励起エネルギー」という形で現れる．プラズモン（第11章）もゼロ音波（第11章）も，応答関数の極として理解される．

叩いて返事を聞けば，叩かなくても系が何をしたがっているかが分かる——これが線形応答理論の最も美しい点である．

理由3：揺動と散逸が結びつく

第8章で導く揺動散逸定理は，「外力に対する応答（散逸）」と「平衡状態での自発的な揺らぎ」が同じ関数で書けることを主張する．

身近な例で言えば，抵抗器に電圧をかけると電流が流れて発熱する（散逸）．同じ抵抗器は，電圧をかけなくても熱雑音（Johnson雑音）を出している（揺動）．この2つは無関係に見えて，$\braket{V^2}=4k_BTR\Delta f$ という同じ $R$ で結ばれている．Nyquistが1928年に見出したこの関係の，一般的な形が揺動散逸定理である．

1.7 まとめと演習

1.7.1 まとめ

1.7.2 演習問題

演習1.1　階段状の外力への応答

時刻 $t=0$ に外力を $0$ から $f_0$ へ階段状に立ち上げた（$f(t)=f_0\theta(t)$）．

(1) 一般の $\chi(\tau)$ に対して $\delta A(t)$ を積分の形で書け．

(2) Debye緩和 $\chi(\tau)=(\chi_0/\tau_0)\ee^{-\tau/\tau_0}\theta(\tau)$ の場合に積分を実行し，$\delta A(t)=\chi_0 f_0(1-\ee^{-t/\tau_0})$ となることを示せ．

(3) $t\to\infty$ で静的応答 $\chi_0 f_0$ に到達することを確かめよ．

ヒント：(1) $\delta A(t)=f_0\int_0^t\chi(\tau)\dd\tau$．

演習1.2　応答関数の実部と虚部の対称性

$\chi(\tau)$ が実関数であること（実の外力に対して実の応答が返る）から，

$$ \chi(-\omega) = \chi(\omega)^* $$

が成り立つことを示せ．またこれより，$\mathrm{Re}\,\chi(\omega)$ は $\omega$ の偶関数，$\mathrm{Im}\,\chi(\omega)$ は奇関数であることを導け．

ヒント：式 \eqref{eq:1-chi-omega} の複素共役をとる．この性質は第4章のKramers–Kronig関係を「正の $\omega$ だけの積分」に書き直すときに使う．

演習1.3　RC回路の応答関数

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ の直列回路に電圧 $V(t)$ を加える．電流 $I(t)$ が応答である．

(1) 回路方程式 $RI + \frac{1}{C}\int I\,\dd t = V$ を微分して，$I$ についての微分方程式を作れ．

(2) $V(t)=V_0\ee^{-\ii\omega t}$ として，アドミッタンス $Y(\omega)=I(\omega)/V(\omega)$ を求めよ．

(3) $Y(\omega)$ の極の位置を複素平面上で求め，上半面にないことを確かめよ．

ヒント：(2) $Y(\omega)=\dfrac{-\ii\omega C}{1-\ii\omega RC}$．(3) 極は $\omega=-\ii/RC$ で下半面．因果律と整合する．

演習1.4　線形性が破れる例を見積もる

水分子の電気双極子モーメントは $p\approx 6.2\times10^{-30}\ \mathrm{C\,m}$，室温の熱エネルギーは $k_BT\approx 4.1\times10^{-21}\ \mathrm{J}$ である．

(1) 電場 $E$ の中で双極子が得るエネルギーは $pE$ である．線形応答が成り立つ条件 $pE\ll k_BT$ から，$E$ の上限を見積もれ．

(2) 得られた値を，水の絶縁破壊電場（$\sim10^7\ \mathrm{V/m}$）と比べよ．

ヒント：(1) $E \ll 6.6\times10^8\ \mathrm{V/m}$．実験室の電場では線形応答が十分よい近似である．

演習1.5　因果律を破ると何が起きるか

仮に $\chi(\tau)=\dfrac{\chi_0}{2\tau_0}\,\ee^{-\abs{\tau}/\tau_0}$（$\tau<0$ でもゼロでない）という「因果律を破る」応答関数を考える．

(1) $\chi(\omega)$ を計算せよ．

(2) $\chi(\omega)$ の極の位置を求め，上半面にも極があることを確かめよ．

(3) この系に $t=0$ でパルスを打ち込むと，$t<0$ に応答が現れることを説明せよ．

ヒント：(1) $\chi(\omega)=\dfrac{\chi_0}{1+\omega^2\tau_0^2}$．極は $\omega=\pm\ii/\tau_0$ で，片方が上半面にある．第4章で見るように，上半面に極があるとKramers–Kronig関係が破れる．

参考文献

  1. A. L. Fetter, J. D. Walecka『多粒子系の量子論 理論編』マグロウヒル，13節「外部摂動に対する線形応答の一般論」．
  2. 久保 亮五, "Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes I", J. Phys. Soc. Jpn. 12, 570 (1957).
  3. H. Nyquist, "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors", Phys. Rev. 32, 110 (1928). —— 揺動散逸定理の原型．
  4. H. Bruus, K. Flensberg, Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics, Oxford University Press (2004), Chapter 6.