付録CFeynman 図形の読み方 — 線と頂点の辞書から Dyson 方程式・GW・頂点補正まで

C.1 Green 関数は何を記述するのか — 初期条件・くりこみ・寿命

C.1.1 古典：撃力を与えたあとの運動（第2章の復習）

第2章で，減衰振動子 $m\ddot x+\gamma\dot x+kx=F(t)$ の解を Green 関数で書いた：

ここで外力を一瞬の撃力 $F(t)=F_0\delta(t)$ にしてみる．すると $x(t)=F_0G(t)$ である．ここでこの $F_0$ は「力」ではなく「力積」であることに注意してほしい．$\delta(t)$ は $\int\delta(t)\,\dd t=1$ より $1/(\text{時間})$ の次元をもつから，$F_0=\int F(t)\,\dd t$ は力×時間，すなわち力積（SI 単位は $\mathrm{N\,s}=\mathrm{kg\,m/s}$）である．第3章の $F(t)=F_0\ee^{-\ii\omega t}$ に現れる $F_0$（力の振幅，単位 $\mathrm{N}$）とは次元が違うので，同じ記号でも混同しないこと．実際 \eqref{eq:C-classG} を $t\to0^+$ で展開すると $G(t)\simeq t/m$ だから $x(t)\simeq F_0t/m$，すなわち $m\dot x(0^+)=F_0$：静止していた振動子は，力積 $F_0$ を受け取ったぶんだけの運動量をもって動き出す．つまり Green 関数とは「時刻 $0$ に運動量 $F_0$ を与えた」という初期条件から出発した，その後の運動そのものである（第2章2.7.1項で「静止した振動子が力積 $F_0$ を受けた直後」として $x_0=0,\ v_0=F_0/m$ を代入したのと同じ状況である）．振動子は $\omega_1$ で振動し，振幅は $\ee^{-\gamma t/2m}$ で減衰する．Fourier 変換（第3章，規約は付録A）すると

この2つの極に，本付録で何度も使う読み方が全部入っている．

第2章では $\gamma$ を「手で入れた」．摩擦の正体は，振動子が周囲の無数の自由度（空気分子，台の格子振動）にエネルギーを渡すことである．量子多体系では，この「周囲の無数の自由度」の役割を他の電子が演じる．そして $\gamma$ は手で入れるのではなく，相互作用から計算される．それを計算する帳簿が Feynman 図形である．

C.1.2 量子：粒子を1個付け加える，剥がす

相互作用する Fermi 粒子系の基底状態を $\ket{\Psi_0}$（$\Ham\ket{\Psi_0}=E_0\ket{\Psi_0}$）とし，Heisenberg 表示の場の演算子を $\hat\psi_{H\alpha}(x)=\ee^{\ii\Ham t/\hbar}\hat\psi_\alpha(\xx)\ee^{-\ii\Ham t/\hbar}$（$x\equiv(\xx,t)$，$\alpha$ はスピン添字）と書く．1粒子 Green 関数は

で定義される（Fetter–Walecka 7節）．$T$ は時間順序積で，Fermi 粒子では入れ替えのたびに符号が変わる．$t_x>t_y$ のとき $T$ は何もしないから，$\Ham$ を挟んで整理すると

この式は右から左へ読む．（i）時刻 $t_y$ に，基底状態に位置 $\bm y$・スピン $\beta$ の粒子を1個付け加える：$\hat\psi^\dagger_\beta(\bm y)\ket{\Psi_0}$．これが初期条件である．（ii）$N+1$ 粒子系のハミルトニアンで $t_x-t_y$ だけ時間発展させる．（iii）位置 $\xx$・スピン $\alpha$ に粒子を付け加えた状態 $\hat\psi^\dagger_\alpha(\xx)\ket{\Psi_0}$ に射影する．要するに「$t_y$ に $\bm y$ へ入れた粒子が，$t_x$ に $\xx$ で見つかる確率振幅」であり，古典の「$t'$ に叩いて $t$ に返事を聞く」\eqref{eq:C-classG} と完全に同じ構造をしている．$t_x<t_y$ のときは $T$ が順序を入れ替え，$-\bra{\Psi_0}\hat\psi^\dagger_\beta\,\ee^{-\ii(\Ham-E_0)(t_y-t_x)/\hbar}\hat\psi_\alpha\ket{\Psi_0}$ となる．こんどは粒子を1個剥がした（正孔を作った）状態の時間発展である．

相互作用のない一様系（Fermi 球 $\ket{\Phi_0}$，付録B.8）では，運動量表示で

$\omega_\kk=\epsilon_\kk/\hbar=\hbar k^2/2m$ である（Fetter–Walecka 邦訳 式(9.14)．スピンについては $\delta_{\alpha\beta}$）．付け加えた粒子（$k>k_F$）は位相 $\ee^{-\ii\omega_\kk t}$ を回すだけで，振幅の大きさは永遠に 1 のままである．極は実軸上（$\omega_\kk-\ii\eta$，$\eta\to0^+$）にある．これが「寿命無限大」の Green 関数である．

C.1.3 相互作用が入ると何が起きるか — くりこみと寿命

相互作用があると $\hat c^\dagger_\kk\ket{\Psi_0}$ はもはや $\Ham$ の固有状態ではない．$N+1$ 粒子系の厳密な固有状態 $\ket{\Psi_n^{N+1}}$ で展開すると（Lehmann 表示，第8章）

付け加えた粒子の重みは，無数の固有状態の上にばらまかれる．系が大きいと極は稠密になって実軸上の切断（branch cut）になり，その切断の「向こう側」に解析接続すると，複素平面の下半面に孤立した極が1つ現れることが多い．このとき $\kk$ を固定した Green 関数は，有限温度・有限系の細部を除けば

という形になる（$k>k_F$ の粒子側．正孔側は $-\ii\gamma_\kk$ と $\theta(-t)$）．古典の \eqref{eq:C-classpole} とまったく同じ読み方ができる：

この3つは自己エネルギー $\Sig(\kk,\omega)$ という1つの複素関数にまとめられる．C.6 節で導く Dyson 方程式により $G(\kk,\omega)=[\omega-\omega_\kk-\Sig(\kk,\omega)]^{-1}$ であり，極の位置を調べれば

となる（粒子側 $\omega>\epsilon_F/\hbar$ では $\mathrm{Im}\,\Sig\le0$ なので $\gamma_\kk\ge0$）．実部がくりこみ，虚部が寿命．Feynman 図形は $\Sig$ を計算するための帳簿である——これが本付録の一本の筋である．

C.1.4 例1：非調和振動子 — くりこみは起きるが寿命は生じない

「多体」に行く前に，1自由度で \eqref{eq:C-QP} の各項を手で触ってみる．調和振動子に4次の非調和項を加える：

「量子を1個付け加える」Green 関数を $\ii\mathcal G(t)=\theta(t)\bra{\tilde0}\hat a(t)\hat a^\dagger(0)\ket{\tilde0}$ と定義する（$\ket{\tilde0}$ は $\Ham$ の厳密な基底状態）．$\lambda=0$ なら $\hat a^\dagger\ket{0}=\ket{1}$ は固有状態だから $\ii\mathcal G(t)=\theta(t)\ee^{-\ii\omega_0 t}$，極は $\omega_0$ にある．

ここから読み取れること：（1）極は $\omega_0$ から $\tilde\omega_1$ へくりこまれた．（2）重み $Z_1$ は 1 より少し減り，その分が $3\omega_0$ 付近のサテライト $Z_3$ に移った．（3）しかし寿命は無限大のままである——極はすべて実軸上にある．スペクトルが離散的だから，付け加えた量子はエネルギーを渡す相手をもたないのである．非調和性だけでは摩擦 $\gamma$ は生まれない．

C.1.5 例2：連続体に結合した準位 — 寿命が生じる最小モデル

寿命を生むには連続体が要る．1つの準位 $\epsilon_0$ が，連続的に分布した準位 $\{\epsilon_k\}$ に結合しているとしよう（Fano–Anderson 模型，あるいは Friedrichs 模型）：

これが自己エネルギーの最も簡単な実例である．$\Gamma(E)$，$\Delta(E)$ が $E$ によらないとみなせるとき（広いバンドの近似）

古典の減衰振動子で「手で入れた」$\gamma$ は，この $\Gamma$ と同じ起源をもつ．振動子を無数の調和振動子（熱浴）に線形結合させると，まさに \eqref{eq:C-FAsol} と同じ計算で摩擦項が導かれる（Caldeira–Leggett 模型）．

C.1.6 多体系では何が「連続体」か

電子気体に電子を1個付け加えると，その電子は他の電子と Coulomb 散乱し，粒子‐正孔対（付録B.8）を励起してエネルギーを失う．粒子‐正孔対のエネルギーは連続的に分布している（粒子‐正孔連続体）．これが \eqref{eq:C-FA} の $\{\epsilon_k\}$ に相当する連続体であり，寿命 $1/\gamma_\kk$ を生む．ただし Pauli 原理のため，Fermi 面のすぐ上の電子は散乱できる相手も行き先もほとんどなく，位相空間の勘定から

となる．Fermi 面近傍の準粒子は長寿命で，$\epsilon_F$ から離れるほどピークは幅広くぼやける——これが Landau の Fermi 液体論の出発点であり，ARPES でバンドが $E_F$ から離れるにつれて不鮮明になる理由である．なお，実際の金属の $E_F$ 近傍では電子‐格子散乱（フォノン）が電子‐電子散乱より効くことが多い．本付録では電子‐電子相互作用だけを扱う．

有限温度では，熱的にぼやけた Fermi 分布のぶんだけ散乱の終状態が開くので，\eqref{eq:C-FL} は

となる（$\Sigma^{\star R}$ は遅延自己エネルギー，C.1.7）．$\xi$ と $T$ が対等に現れるのが Fermi 液体の指紋である．

C.1.7 Green 関数から何が「見える」か — スペクトル関数と状態密度

ここまで Green 関数の極を追ってきたが，実験と直接つながるのはスペクトル関数である．遅延 Green 関数を使って

と定義する．$A(\kk,\omega)\ge0$，$\int\dd\omega\,A(\kk,\omega)=1$（和則）である．\eqref{eq:C-QP} を入れれば，$A$ は $\omega=\tilde\epsilon_\kk/\hbar$ に中心をもつ幅 $\gamma_\kk$・面積 $Z_\kk$ の Lorentz 型のピークと，残りの面積 $1-Z_\kk$ をもつ非干渉的な背景（プラズモンサテライトなど）からなる．$(\kk,\omega)$ 平面に $A$ を強度図として描けば，くりこまれたバンド分散・線幅・サテライトがそのまま見える．角度分解光電子分光（ARPES）が測っているのは，まさにこの $A(\kk,\omega)$（に Fermi 分布と行列要素を掛けたもの）である．

C.2 図形の座標軸 — 縦が時間，横が空間（Fetter–Walecka の流儀）

Feynman 図形の描き方は本によって違う．Mattuck や Mahan は時間を横（左から右）に取ることが多く，運動量空間の図形では軸に意味がない．本付録は Fetter–Walecka に統一する：

\eqref{eq:C-Gadd} の読み方と突き合わせる．下端 $y$ で粒子を入れ（初期条件），線に沿って上へ時間発展し，上端 $x$ で取り出す．相互作用の波線は水平に描かれる．これは相互作用が瞬間的 $U(x,x')\propto\delta(t-t')$（C.3 節）で，両端の時刻が同じだからである．閉じたループはその場で粒子‐正孔対が生まれて消える過程（あるいは等時刻の密度）を表す．

C.3 線と頂点の辞書 — 実線・波線・ループ・等時刻

C.3.1 出発点：Dyson 級数と Wick の定理

第6章（Gell-Mann–Low の定理，6.9節）により，相互作用する系の Green 関数は，相互作用のない基底状態 $\ket{\Phi_0}$ と相互作用表示の演算子だけで書ける（Fetter–Walecka 邦訳 式(8.11)）：

$\hat S=\hat U(\infty,-\infty)$ である（添字は繰り返しについて和をとる）．時刻の積分を4次元積分 $\int\dd^4x_1\dd^4x_1'$ に揃えるため，相互作用を

と書く．$\delta(t_1-t_1')$ が「波線は水平」の正体である．スピンに依らない相互作用なら $V_{\lambda\lambda',\mu\mu'}=V(\xx_1-\xx_1')\delta_{\lambda\lambda'}\delta_{\mu\mu'}$ である．

$n$ 次の項の分子は $4n+2$ 個の場の演算子の $T$ 積の期待値である．$\Ham_1$ ひとつが $\hat\psi^\dagger\hat\psi^\dagger\hat\psi\hat\psi$ の4個を持ち込み（それが $n$ 個で $4n$ 個），そこに外部の $\hat\psi_\alpha(x)$ と $\hat\psi^\dagger_\beta(y)$ の2個が加わるからである．内訳は $\hat\psi$ が $2n+1$ 個，$\hat\psi^\dagger$ が $2n+1$ 個．これを Wick の定理（付録B.10）で2点関数 $\ii G^0$ の積の和にほどく．縮約は $\hat\psi$ と $\hat\psi^\dagger$ の間にしか生じないから，数え上げるべきは「$2n+1$ 個の $\hat\psi$ と $2n+1$ 個の $\hat\psi^\dagger$ の間に1対1の対応をつける仕方」であり，$(2n+1)!$ 通りある．縮約1個が $G^0$ の線1本になるので，線は $2n+1$ 本——定義C.1 の本数と一致する．1次なら演算子は $4\cdot1+2=6$ 個，$\hat\psi$ と $\hat\psi^\dagger$ が3個ずつだから $3!=6$ 通り——これが図C.2 の6個の図形である．2次なら $5!=120$ 通りで，C.5.2 の数え上げの出発点になる．

C.3.2 辞書

これで Fetter–Walecka の式(9.1) が読める．1次の項を書き下すと（邦訳 p.101，式(9.1)．各項の下の記号 A〜F は図C.2 の図形に対応）

$\tilde G$ のチルダは「分母 $\bra{\Phi_0}\hat S\ket{\Phi_0}$ で割る前」の意味である（$\ii G=\ii\tilde G/\bra{\Phi_0}\hat S\ket{\Phi_0}$）．

C.4 1次摂動 — 6つの項から2つの図形へ（図C.2〜C.7）

C.4.1 つながっていない図形は分母と相殺する

(A), (B) は「自由な外線」×「外線と無関係な閉じた図形（真空泡）」の積である．積分変数 $x_1,x_1'$ は閉じた部分にしか現れないから，(A)+(B) は $\ii G^0_{\alpha\beta}(x,y)\times[\text{定数}]$ と因数分解する．この因数分解はすべての次数で成り立つ（図C.3）．一方，分母 $\bra{\Phi_0}\hat S\ket{\Phi_0}$ を同じ Wick の定理で展開すると，まさにこの真空泡の和が出てくる（図C.4）．

物理的には当然である．真空泡は「粒子を入れていないときにも起きている基底状態の揺らぎ」で，$\bra{\Phi_0}\hat S\ket{\Phi_0}$ は Gell-Mann–Low の位相因子（第6章）そのものである．粒子を入れたことの差分だけが $G$ に残る．

C.4.2 $1/2$ と $1/n!$ が消える

(C) と (E) は，積分変数の名前 $x_1\leftrightarrow x_1'$（と対応するスピン添字）を付け替えると同じ値になる．相互作用の対称性 $U(x_1,x_1')_{\lambda\lambda',\mu\mu'}=U(x_1',x_1)_{\mu\mu',\lambda\lambda'}$ がそれを保証する．(D) と (F) も同様．したがって (C)+(E)$=2\times$(C)，(D)+(F)$=2\times$(D) となり，\eqref{eq:C-FW91} 先頭の $1/2$ が消える．$n$ 次では，$n$ 本の波線の両端の付け替えで $2^n$，$n$ 個の $\Ham_1$ の名前の付け替え（図C.6）で $n!$ が出て，$\frac{1}{n!}\big(\frac12\big)^n$ とちょうど相殺する．

ここまでを，図C.2 の6個について一覧にまとめておく．各行の「代表的な物語」は直観のための一つの時間順序にすぎず，実際には内部時刻と内部座標のすべてについて積分されていることを忘れないでほしい（C.2 節の注意）．

(A), (B) が「消える」のは，そこに物理が無いからではない．それは粒子を1個も付け加えなくても存在している基底状態のエネルギー・位相であり，$G$ は「粒子を付け加えたことによる差分」を記述するから，共通の因子として割り落とされるのである．

C.4.3 1次の結果と Feynman 則

以上より，1次の Green 関数は位相幾何学的に異なるつながった図形2個（図C.7）で尽くされ，$\ii$ を整理すると

この手続きを一般化したものが Feynman 則である．Fetter–Walecka 邦訳 9節に従って並べる．

C.5 運動量空間と2次摂動 — $G^{(2)}$ の10個の図形（図C.8〜C.12）

C.5.1 運動量空間の Feynman 則

一様系では $G^0(x,y)=G^0(x-y)$，$U(x,y)=U(x-y)$ であり，4次元 Fourier 変換 $G^0(x-y)=\intk{k}\,\ee^{\ii k\cdot(x-y)}G^0(k)$（$k\cdot x\equiv\kk\cdot\xx-\omega t$）で積分が単純化する．各内部頂点には「入る線」の $\ee^{\ii q\cdot x}$，「出る線」の $\ee^{-\ii q'\cdot x}$，波線の $\ee^{\ii q''\cdot x}$ が集まり，$x$ 積分が $(2\pi)^4\delta^{(4)}(q-q'+q'')$ を与える（図C.8，邦訳 式(9.13)）．すなわち各頂点で4元運動量（運動量とエネルギー）が保存する．両端の点 $x,y$ では $q''=q'$ が残り，これが $G(x-y)$ の Fourier 変換の因子 $\ee^{\ii q'\cdot(x-y)}$ になる（図C.9）．

1次の2つの図形（図C.10）に適用すると，Fetter–Walecka 邦訳 式(9.15) が得られる：

C.5.2 2次摂動：10個の図形

2次では波線2本，実線5本．位相幾何学的に異なるつながった図形は10個ある（図C.11）．Wick の定理で数えれば $5!=120$ の縮約のうち，つながっていないものを除き，付け替えで同値なものを同一視した結果である．

10個は2種類に分かれる．(a)〜(d) は「1本の実線を切ると2つに分かれる」図形で，1次の塊 $\Sig_{(1)}$ を2回使ったものに過ぎない．(e)〜(j) は1本の実線を切っても分かれない——これが2次の固有自己エネルギー $\Sig_{(2)}$ を構成する6個であり，図C.12 の (a)〜(f) と同じものである（対応：図C.11(e)→図C.12(a)，(f)→(b)，(g)→(c)，(h)→(d)，(i)→(e)，(j)→(f)）．

10個を一つずつ読んでおく．名前を付けておくと，後で $\Sig$ の近似を議論するときに「どの図形を残すか」を言葉で言えるようになる．

各式の作り方を一つだけ追う．(e)：外線 $k$ が頂点で波線 $q$ を放出して $G^0(k-q)$ になる．波線 $q$ はループに入り，ループは $G^0(p)$ と $G^0(p+q)$ の2本（頂点で $p+q$ が保存）．ループからもう1本の波線 $q$ が出て外線に戻り，$G^0(k-q)$ は $k$ に復帰する．波線2本で $[V(\qq)]^2$，ループ1個で $-g$，独立な内部運動量は $q,p$ の2個，$(\ii/\hbar)^2$．(f)：外線が波線 $q$ を出し（$k-q$），さらに波線 $q'$ を出し（$k-q-q'$），先に $q$ を吸収し（$k-q'$），最後に $q'$ を吸収して $k$ に戻る．2本の波線が交差しているのはこの「先に出した方を後で吸収する」順序のためで，ループはない．残りの4つは「1次の塊（$\Sigma_H$ や $\Sigma_x$）を，1次の図形の内線に差し込んだもの」と読めば，同じ規則で書ける（演習C.3）．

C.6 Dyson 方程式 — $\Sigma$ と $\Sig$，くりこみと寿命の帳簿（図C.13〜C.17）

C.6.1 自己エネルギー $\Sigma$ と固有自己エネルギー $\Sig$

どの次数の図形も，両端の外線 $G^0(x,x_1)$ と $G^0(x_1',y)$ を取り去れば「$x_1$ から $x_1'$ までの塊」が残る（図C.13）．この塊の総和を自己エネルギー $\Sigma_{\lambda\mu}(x_1,x_1')$ と呼ぶ：

塊 $\Sigma$ の中には，図C.11 (a)〜(d) のように「1本の実線を切ると2つに分かれる」ものが含まれる．切っても分かれないものだけを集めたものを固有自己エネルギー（proper self-energy） $\Sig$ と呼ぶ．すると $\Sigma$ は $\Sig$ を $G^0$ でつないだ級数になる（図C.14，邦訳 式(9.26)）：

C.6.2 Dyson 方程式

\eqref{eq:C-FW926} を \eqref{eq:C-Sigma} に入れると $G=G^0+G^0\Sig G^0+G^0\Sig G^0\Sig G^0+\cdots$ となり，右辺の2項目以降は $G^0\Sig\,(G^0+G^0\Sig G^0+\cdots)=G^0\Sig G$ とまとまる（図C.15）：

一様系では畳み込みが積になり（$G^0$，$\Sig$ がスピンに依らない場合）

これで C.1.3 の \eqref{eq:C-QPeq} に戻ってきた．$G$ の極は $\omega=\omega_\kk+\Sig(\kk,\omega)$ の解であり，$\mathrm{Re}\,\Sig$ がくりこみ，$\mathrm{Im}\,\Sig$ が寿命を与える．$\Sig$ を1次（図C.16）で止めれば Hartree–Fock，2次（図C.12）まで取れば第2次 Born 近似，(e) 型を無限次まで足せば GW 近似である．Feynman 図形とは，$\Sig$ の計算をどこで打ち切るかを図で宣言する言葉に他ならない．

C.6.3 最も簡単な近似：$\Sig\simeq\Sig_{(1)}$（Hartree–Fock）

$\Sig\simeq\Sig_{(1)}$ を Dyson 方程式に入れると，$G$ は図C.17 のように「tadpole と交換を任意の順に任意の個数並べた」図形の無限和になる．$\Sig_{(1)}$ は静的（振動数に依らない）なので $G$ の極は実軸上に留まり，1粒子エネルギーが

にずれる（邦訳 式(9.35)．Fetter–Walecka はスピン依存ポテンシャル $V=V_0+V_1\,\bm\sigma_1\!\cdot\!\bm\sigma_2$ を想定しており，電子気体では $V_1=0$）．くりこみだけが起き，寿命は無限大——C.1.4 の非調和振動子と同じ状況である．

C.6.4 $\delta(t-t')$・「静的」・「寿命無限大」— 三つを区別する

C.6.3 で「$\Sig_{(1)}$ は静的だから寿命は無限大」と書いた．ここは短い一行だが，初学者が最もつまずくところなので，ていねいに分解する．Hartree–Fock 自己エネルギーを時間表示で書くと，たとえば Fock 項は

である．この $\delta(t-t')$ を見て，「自己エネルギーは $t=t'$ という一瞬にだけ発生するのか」と読んでしまいやすい．そうではない．

三つは論理的に連鎖している：時間的に局所（記憶なし）$\Rightarrow$ 振動数に依存しない（静的）$\Rightarrow$ 実数だから虚部なし $\Rightarrow$ 寿命無限大．逆にいえば，寿命を得るには時間非局所な核，すなわちメモリーが要る．図C.11 の (i)（分極ループ）が最初にそれを与える．

C.6.5 時間非局所な核とは何か — メモリー核であって，確率分布ではない

2次以降（図C.11 の (i),(j)）では，$\Sigma(t,t')$ はもはや $\delta(t-t')$ では書けない．$t\neq t'$ に広がりをもつ．この「広がり」の意味を，比喩の行き過ぎに注意しながら押さえておきたい．

正しい直観はメモリー（記憶）である．時刻 $t$ における電子の運動が，過去 $t'$ の状態に依存する．物理的な理由もはっきりしている：付け加えた電子が周囲を分極させ，その分極雲が有限の時間をかけて応答し，遅れて電子に反作用するからである．$\delta(t-t')$ から幅のある核へ，という視覚的なイメージは，メモリー時間を掴む入口としては有用である．

C.7 有効相互作用と分極 — 波線も着せ替える（図C.18〜C.20）

実線を $G^0\to G$ に「着せ替えた」のと同じことが波線にもできる．波線 $U_0$ の途中に粒子‐正孔ループ（分極）が挿入された図形を全部集めて有効相互作用 $U$ と呼ぶ（図C.18）．挿入される塊の総和が分極（polarization） $\Pi$ である．

自己エネルギーと同様に，「1本の波線を切ると2つに分かれる」非固有な分極と，分かれない固有分極 $\Pi^\star$ を区別する（図C.19）．すると $U$ に対する Dyson 方程式が得られる（図C.20，邦訳 式(9.40)）：

スピンに依らない場合，\eqref{eq:C-FW940} は $U(q)=U_0(q)/[1-U_0(q)\Pi^\star(q)]$ と解ける．$\Pi^\star$ を最低次の1ループ $\Pi^0$（図C.12(e) の中のループ）で置き換える近似が RPA（乱雑位相近似）であり，

の分母が第9〜11章の誘電関数 $\epsilon(\qq,\omega)=1-v(q)\chi^0(\qq,\omega)$ である（$\Pi^0$ と Lindhard 関数 $\chi^0$ は $\hbar$ や符号の規約を除いて同じもの．第10章参照）．つまり第IV部で扱った遮蔽・プラズモンは，Feynman 図形の言葉では「波線に粒子‐正孔ループを無限個挿入した和」である．Coulomb 相互作用で (e) 型の図形が発散した（C.5.2）のは，この無限和を途中で切ったからであり，\eqref{eq:C-RPA} の形にまとめれば $q\to0$ で $U^{\rm RPA}\to U_0/\epsilon$ は有限（遮蔽される）．

C.8 GW 近似と頂点補正 $\Sigma=\ii GW\Gamma$

C.8.1 Hedin の5本の方程式

C.6 と C.7 を合わせると，「実線を $G$ に，波線を $W$（遮蔽された相互作用；C.7 の $U$ のこと．以下，固体物理の慣例に従い $W$ と書く）に着せ替えた上で，$\Sigma$ を $G$ と $W$ で書く」という閉じた方程式系が作れる．Hedin（1965）がこれを整理した．以下この節では慣例に従い $\hbar=1$ とし，$1\equiv(\xx_1,t_1)$，$\int\dd(3)\equiv\int\dd^3x_3\dd t_3$ と略記し，固有自己エネルギーを単に $\Sigma$ と書く．

この5本は厳密である（摂動展開を並べ替えただけで，何も捨てていない）．新顔は頂点関数 $\Gamma(1,2;3)$ だけである．図形で言えば，$\Gamma$ は「波線が実線に刺さる点（頂点）」の周りに付く全ての補正——頂点のすぐ近くで実線と波線がさらに絡み合う図形——の総和である．

C.8.2 GW 近似：$\Gamma=1$

$\Gamma(1,2;3)\simeq\delta(1,2)\delta(1,3)$（裸の頂点）と置くのが GW 近似である．すると

図形に翻訳する．$W=v+vPv+vPvPv+\cdots$ を $\Sigma=\ii GW$ に代入すると，第1項 $\ii Gv$ は交換（Fock）項，第2項 $\ii G\,vP^0v$ は図C.12(e)（波線にループを1個挿入した交換項），第3項はループ2個，……．すなわち

Hartree–Fock の交換項は裸の Coulomb 相互作用 $v(q)=4\pi e^2/q^2$ を使うため，金属の Fermi 面で状態密度が対数的にゼロになるなど，よく知られた病気をもつ．GW はこれを $W=v/\epsilon$ で治し，半導体・絶縁体のバンドギャップを実験値の 10% 程度で再現する．実用上は以下の段階がある（VASP wiki「Practical guide to GW calculations」に沿う）：

C.8.3 準粒子方程式と $Z$ 因子

$G_0W_0$ では DFT の Kohn–Sham 固有値 $\epsilon_i$・軌道 $\phi_i$ から出発し，$V_{xc}$ を $\Sigma$ で置き換えた準粒子方程式を解く．$\Sigma(\omega)$ の対角要素を $\omega=\epsilon_i$ の周りで Taylor 展開すると

これは \eqref{eq:C-QPeq} の実用版である．$Z_i$ は典型的な $sp$ 半導体・単純金属で $0.6\sim0.8$ 程度で，準粒子ピークの重みの $20\sim40\%$ がプラズモンサテライトに流れていることを意味する．

C.8.4 頂点補正 $\Gamma$ とは何か，なぜ要るのか

$\Gamma$ の物理的な意味から述べる．$\Sigma=\ii GW\Gamma$ の「$W$ が実線に刺さる頂点」とは，付け加えた電子が周囲の電子気体を分極させ（粒子‐正孔対を作り），その分極と相互作用する点である．$\Gamma=1$ は「分極を作った電子と，できた粒子‐正孔対は，その後互いに無関係に振る舞う」という近似である．実際には，電子と正孔は引き合い（励起子効果），電子と電子は Pauli 原理で避け合う．$\Gamma$ はこの頂点の近くで起きる追加の相互作用をすべて集めたもので，最低次の寄与が図C.12(f)（自己エネルギー側）と図C.19 右（分極側）である．

なぜ省略できないことがあるのか．理由を4つ挙げる．

まとめると，頂点補正とは「$\Sigma=\ii GW\Gamma$ の $\Gamma$」という1文字に押し込められた，図C.12(f) 型（交差した交換）と図C.19 右型（梯子）の全図形である．GW はそれを捨てる近似であり，捨てて良い理由（$Z$–$\Gamma$ 相殺，ギャップでの相殺）と，捨てると困る場面（自己無撞着化，励起子，絶対エネルギー）を区別して覚えておけばよい．

C.9 非調和振動子で手を動かす — $\lambda\hat x^N$ の1次・2次摂動

C.1.4 で，非調和振動子を「くりこみは起きるが寿命は生じない」例として持ち出した．あそこでは $\hat x^4$ の対角要素だけを結果として引用したが，この節では計算のやり方そのものを，$N=3,4,5,6$ について最後まで書き下す．理由は三つある．

1. この付録で使ってきた道具——生成消滅演算子，Wick の定理，「経路を数える」という発想——が，1自由度の系で全部そのまま使える．多体系に入る前の練習台として，これ以上のものはない．
2. $\lambda\hat x^N$ の摂動論は，Feynman が『統計力学』で扱った古典的な例題である．実際，$\lambda\hat x^3$ は3点頂点，$\lambda\hat x^4$ は4点頂点をもつ「0次元の場の理論」であり，ここで数える経路は，C.3〜C.5 節で数えた Feynman 図形の最小版そのものである．
3. 手で完結する．多体系では $\Sig$ を計算するのに数値計算が要るが，ここでは紙と鉛筆で厳密解が出る．自分の計算が合っているかどうかを，自分で確かめられる．

C.9.1 設定 — 何を計算するのか

調和振動子に $N$ 次の非調和項を加える：

$\Ham_0$ の固有値・固有状態は既知である：$\Ham_0\ket{\phi_n}=E_n^{(0)}\ket{\phi_n}$，$E_n^{(0)}=(n+\tfrac12)\hbar\omega$．生成・消滅演算子を使って

と書く．以下，$\hat A\equiv\hat a+\hat a^\dagger$ と略記する．必要な道具はこれだけである（付録B.2）：

Rayleigh–Schrödinger の摂動論（縮退なし）により，

$\Ham'=\lambda x_0^N\hat A^N$ であり，$E_n^{(0)}-E_m^{(0)}=(n-m)\hbar\omega$ だから，$m=n+k$ と置いて

やるべきことはただ一つ，行列要素 $\bra{\phi_{n+k}}\hat A^N\ket{\phi_n}$ を求めることである．$\hat A$ は $n$ を $\pm1$ しか動かさないので，$\hat A^N$ が結ぶのは $\abs{k}\le N$ かつ $N-\abs{k}$ が偶数の場合だけ．したがって和は有限項で終わる．

C.9.2 方法1：経路を数える — Feynman 図形の原型

$\hat A^N=(\hat a+\hat a^\dagger)^N$ を展開すると $2^N$ 個の項が出る．各項は「$\hat a$ か $\hat a^\dagger$ か」を $N$ 回選んだもの，すなわち$N$ ステップの $\pm1$ の経路である．\eqref{eq:C-anh-ladder} より，準位 $\ell$ から

• 1段上がる（$\hat a^\dagger$）と因子 $\sqrt{\ell+1}$
• 1段下がる（$\hat a$）と因子 $\sqrt{\ell}$（$\ell=0$ から下がる経路は消える）

これは C.3 節で Feynman 図形を「線のつなぎ方を数える帳簿」と呼んだのと，まったく同じ発想である．実際にやってみよう．

C.9.3 方法2：正規順序化 — これがそのまま Wick の定理

経路を数える方法は確実だが，$N$ が大きいと $2^N$ 本の経路を扱うのが面倒になる．対角要素だけなら，はるかに速い方法がある．$\hat A$ を場の演算子だと思って Wick の定理（付録B.10，C.3.1）を使うのである．

$\hat A=\hat a+\hat a^\dagger$ の「縮約」は

である（正規順序 $:\!\hat A^2\!:\,=\hat a^{\dagger2}+2\hat a^\dagger\hat a+\hat a^2$ の真空期待値はゼロだから）．Wick の定理は「$N$ 個の $\hat A$ の積を，正規順序項＋1組縮約＋2組縮約＋…に展開せよ」と言う．$N$ 個から $2k$ 個を選んで $k$ 組の対を作る仕方は $\binom{N}{2k}\times(2k-1)!!$ 通りだから

ここで $(2k-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)$，$(-1)!!\equiv1$．たとえば

この $3,\ 6,\ 3,\ 15,\ 45,\ 15$ という数は，C.4 節で図形を数えたときの「縮約の仕方の数」と同じものである．$\hat A^6$ の最後の $15=5!!$ は「6個を3組の対にする仕方」——多体系でいえば真空泡の数え上げに相当する．

あとは正規順序項の対角要素だけ要る．$:\!\hat A^{2j}\!:$ のうち $\ket{\phi_n}$ を $\ket{\phi_n}$ に戻すのは $\hat a^{\dagger j}\hat a^{j}$ の項だけで，その係数は $\binom{2j}{j}$，期待値は $\bra{\phi_n}\hat a^{\dagger j}\hat a^{j}\ket{\phi_n}=n(n-1)\cdots(n-j+1)$．よって

奇数次がゼロなのは，$\hat A^{2M+1}$ が $n$ の偶奇を必ず変えるからである（パリティ）．実際に計算すると

$n=0$ で $(N-1)!!$（$1,3,15,105$）になるのは，$\bra{\phi_0}\hat A^N\ket{\phi_0}$ が「$N$ 個を対にする仕方の数」そのものだからである——これは Wick の定理の最も素朴な現れ方である．

C.9.4 行列要素の一覧

2次摂動には非対角要素が要る．\eqref{eq:C-anh-path} を機械的に実行すると，次のようにきれいな形にまとまる．$k$ の符号を反転すると $n\to-n$ 的に対応する構造になっているのが目印である．

$k=\pm N$（一直線に上る／下る経路が1本だけ）の行列要素が根号だけになるのは，経路が1通りしかないからである．

C.9.5 2次摂動エネルギー

同じ手順を $N=4,5,6$ について繰り返すと，次を得る．

よく知られた特別な場合を確認しておこう．$N=4$，$n=0$ では

——$3\lambda x_0^4=\tfrac34\lambda(\hbar/m\omega)^2$，$-42\lambda^2x_0^8/\hbar\omega=-\tfrac{21}{8}\lambda^2\hbar^3/(m^4\omega^5)$ で，標準的な教科書の値と一致する．$N=2$ の行は検算用である：$\lambda\hat x^2$ は $\omega^2\to\omega^2+2\lambda/m$ と振動数をずらすだけだから，$E_n=(n+\frac12)\hbar\omega\sqrt{1+2\lambda/m\omega^2}$ を展開すれば $\lambda$ の1次で $+(2n+1)\lambda x_0^2$，2次で $-(2n+1)\lambda^2x_0^4/\hbar\omega$ となり，表と合う（演習C.7）．

C.9.6 結果をどう読むか — そして寿命の話へ戻る

1. 奇数 $N$ では1次がゼロ．$\hat x^{2M+1}$ は準位のパリティを必ず変えるので，対角要素が消える．効果は2次から．
2. 基底状態では2次は必ず負．$n=0$ では \eqref{eq:C-anh-RS} の分母 $E_0^{(0)}-E_m^{(0)}$ がすべて負だから，$E_0^{(2)}\le0$ は一般論として保証されている．表C.9 の $S_N(0)$ がすべて負なのはその現れである．$\lambda$ の符号によらないことにも注意（$\lambda^2$ が掛かる）．
3. くりこみは起きるが，寿命は生じない．これが C.1.4 の主張である．$\Ham$ のスペクトルが離散的である限り，いくら高次まで行っても準位が動くだけで，$\Im$ の付いた量は出てこない．付け加えた量子がエネルギーを渡す相手（連続体）がいないからである．多体系で寿命が出るのは，粒子‐正孔連続体があるからだった（C.1.6）．

C.9.7 演習

C.10 まとめと演習