トンネル効果の透過率はどこから来るのか

― 講義ノート (6)(7)(8)(9) の導出をたどる（学部 2・3 年生向け）

シミュレーターは透過率を $T = {[1 + \frac{V_{0}^{2} \sinh^{2} b L}{4 E (V_{0} - E)}]}^{- 1}$ という式で描いています．出てくるのは境界条件 4 本の連立一次方程式だけで，難しい数学は要りません．ノートの流れに沿って，途中を省かずに追います．

結論を先に障壁の中でも波動関数は 0 になりません．

E < V_{0}

では指数関数的に減衰する解

e^{\pm b x}

になるだけで，反対側にわずかに残った振幅の 2 乗がそのまま透過率になります．厚い障壁では

T ≃ e^{- 2 b L}

―― 指数の肩で効くので，障壁がほんの少し厚くなるだけで桁が変わります．

0. 設定

ノート (6) の設定です．x 軸に沿って動く質量 m の粒子に，高さ $V_{0}$ ，厚み L の箱型ポテンシャルを置きます．

V (x) = {\begin{cases} 0 & （x < 0, L < x） \\ V_{0} & （0 ≤ x ≤ L） \end{cases}

古典的には $E < V_{0}$ なら必ず跳ね返されます．量子論ではどうなるかを，時間に依らない Schrödinger 方程式 $- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + V ψ = E ψ$ を領域ごとに解いて調べます．

1. まず直感で（30 秒版）

波動関数が満たすのは $ψ ″ = (2 m / ℏ^{2}) (V - E) ψ$ です．右辺の符号だけで解の顔つきが決まります．

$V < E$ （障壁の外）： $ψ ″$ と $ψ$ が逆符号 → 振動する（ $e^{\pm i k x}$ ）．
$V > E$ （障壁の中）：同符号 → 指数関数（ $e^{\pm b x}$ ）．減っていくけれど，0 にはならない．

障壁が有限の厚みしかなければ，減衰の途中で外に出てしまいます．出たところの振幅の 2 乗が透過率です．ノートの欄外に「本質的にはしみ出し効果と同じ！」と書いてあるのは，まさにこのことです．

2. 領域ごとに解いてつなぐ ― ノート (6)

2.1　3 つの領域の一般解

$k = \sqrt{2 m E} / ℏ$ ， $b = \sqrt{2 m (V_{0} - E)} / ℏ$ と置きます．

(1)

ψ (x) = {\begin{cases} A e^{i k x} + B e^{- i k x} & （x < 0：入射波と反射波） \\ D e^{b x} + F e^{- b x} & （0 ≤ x ≤ L：減衰解） \\ C e^{i k x} & （L < x：透過波だけ） \end{cases}

なぜ右側に左向きの波を置かないのか

x > L

にはもう波を跳ね返すものが何もないからです． 「左から粒子を撃ち込んだ」という状況設定そのものが，この 1 行に入っています．逆に言えば，右向き・左向きの両方を残すと別の物理（両側から撃つ実験）を解くことになります．

2.2　つなぐ条件は 4 本

$V$ が有限の跳びしか持たないので， $ψ$ と $ψ'$ は $x = 0$ と $x = L$ でつながっていなければなりません．

(2)

\begin{aligned} A + B & = D + F \\ i k (A - B) & = b (D - F) \\ C e^{i k L} & = D e^{b L} + F e^{- b L} \\ i k C e^{i k L} & = b (D e^{b L} - F e^{- b L}) \end{aligned}

2.3　解く ― 後ろから前へ

未知数は $A, B, C, D, F$ の 5 つ，式は 4 本．全体の大きさは決まらないので， $C = 1$ と置いて後ろから前へ遡ると，連立を解かずに済みます．まず (2) の 3・4 本目を足し引きして

(3)

D = \frac{b + i k}{2 b} e^{(i k - b) L} C, F = \frac{b - i k}{2 b} e^{(i k + b) L} C

同じく 1・2 本目を足し引きして $A, B$ を $D, F$ で書き， (3) を入れると

(4)

\frac{A}{C} = \frac{e^{i k L} [2 k b \cosh b L - i (k^{2} - b^{2}) \sinh b L]}{2 k b}, \frac{B}{C} = \frac{- i (k^{2} + b^{2}) e^{i k L} \sinh b L}{2 k b}

ノートは同じものを

B / A = (k^{2} + b^{2}) (e^{b L} - e^{- b L}) / [\dots]

の形で書いています．

e^{b L} \pm e^{- b L}

を

2 \cosh

2 \sinh

に直しただけで，同じ式です．

2.4　透過率と反射率

$T = {| C / A |}^{2}$ ， $R = {| B / A |}^{2}$ です．(4) の絶対値を取り， $\cosh^{2} = 1 + \sinh^{2}$ と $4 k^{2} b^{2} + {(k^{2} - b^{2})}^{2} = {(k^{2} + b^{2})}^{2}$ を使うと，驚くほどきれいにまとまります．

(5)

T = \frac{4 k^{2} b^{2}}{{(k^{2} + b^{2})}^{2} \sinh^{2} b L + 4 k^{2} b^{2}}, R = \frac{{(k^{2} + b^{2})}^{2} \sinh^{2} b L}{{(k^{2} + b^{2})}^{2} \sinh^{2} b L + 4 k^{2} b^{2}}

分母が共通で，分子が分母の 2 つの項そのものになっています．だから $T + R = 1$ が一目で分かる ―― ノートの欄外の「確かに $T + R = 1$ 」はこれです．確率が保存しているという，答えが正しいことの何よりの証拠です．

なぜ振幅比の 2 乗でよいのか透過率は本来，確率の流れの比（透過波の流れ ÷ 入射波の流れ）で定義される量です．いまは障壁の左右でポテンシャルが等しく，波数 k，つまり波の進む速さが共通なので，流れの比がそのまま振幅比の 2 乗になります．左右で高さの違う段差では 透過側と入射側の波数の比が因子として付くので，この一致は当たり前ではありません．

最後に $k^{2} = 2 m E / ℏ^{2}$ ， $b^{2} = 2 m (V_{0} - E) / ℏ^{2}$ を入れます．ここで $k^{2} + b^{2} = 2 m V_{0} / ℏ^{2}$ と $E$ が消えるのが効いて，

(6)

T = {[1 + \frac{V_{0}^{2} \sinh^{2} b L}{4 E (V_{0} - E)}]}^{- 1}, R = 1 - T

これがシミュレーターのタブ ① が描いている式です．

3. エネルギーが障壁より高いとき ― ノート (7)

$E > V_{0}$ では $b^{2} < 0$ になります．ここで解き直す必要はありません． $k^{' 2} = 2 m (E - V_{0}) / ℏ^{2} = - b^{2}$ すなわち $b = i k'$ を (6) にそのまま入れるだけです．

(7)

\sinh b L = \sinh i k' L = \frac{e^{i k' L} - e^{- i k' L}}{2} = i \sin k' L ⟹ \sinh^{2} b L = - \sin^{2} k' L

$V_{0} - E = - (E - V_{0})$ と合わせると，マイナスが 2 回出て打ち消し合い，

(8)

T = {[1 + \frac{V_{0}^{2} \sin^{2} k' L}{4 E (E - V_{0})}]}^{- 1}

古典論との一番大きな違いはここ古典的には

E > V_{0}

なら 100 % 通ります．ところが (8) は一般に

T < 1

―― 山を越えられるのに跳ね返される．逆に

\sin k' L = 0

，つまり

k' L = n π

のときだけ

T = 1

に戻ります（共鳴透過）．障壁の厚みが障壁内の半波長の整数倍になり，2 つの境界からの反射波がちょうど打ち消し合う条件です．光学でいえば，半波長の厚みをもつ層が反射に関して見えなくなるのと同じです（Fabry–Pérot 共鳴）．よく引き合いに出される反射防止コーティングは 1/4 波長の厚みを使う別の条件なので，厚みの条件までは重なりません．

共鳴が起こるエネルギーは $E = V_{0} + n^{2} π^{2} ℏ^{2} / 2 m L^{2}$ ．シミュレーターの既定値（ $V_{0} = 10$ eV, $L = 1$ nm, 電子）なら 10.376, 11.504, 13.384 eV です．タブ ① の T–E 曲線でこの山が見られます．

4. 厚い障壁の近似とガモフ因子 ― ノート (8)

4.1　sinh を指数関数で置き換える

$b L ≫ 1$ なら $\sinh b L = (e^{b L} - e^{- b L}) / 2 ≃ e^{b L} / 2$ ．さらに (6) の分数が 1 よりずっと大きいので，括弧の中の 1 も落とせて

(9)

T ≃ \frac{16 E (V_{0} - E)}{V_{0}^{2}} e^{- 2 b L} ≃ e^{- 2 b L} = \exp [- \frac{2 L}{ℏ} \sqrt{2 m (V_{0} - E)}]

最後の等号でノートは前係数まで落としています．「T は指数位で値が決まるので」という一文がそれです．どれくらい乱暴なのか，数値で見てみます．

bL	T（厳密 (6)）	前係数つき (9)	誤差	$e^{- 2 b L}$
1	3.78×10⁻¹	4.55×10⁻¹	+20 %	1.35×10⁻¹
2	6.00×10⁻²	6.15×10⁻²	+2.5 %	1.83×10⁻²
3	8.30×10⁻³	8.33×10⁻³	+0.3 %	2.48×10⁻³
5	1.53×10⁻⁴	1.53×10⁻⁴	+0.006 %	4.54×10⁻⁵
8.87	6.59×10⁻⁸	6.59×10⁻⁸	< 10⁻⁶	1.96×10⁻⁸

前係数を残した (9) は $b L \geq 3$ で 0.3 % 以内．一方いちばん右の裸の $e^{- 2 b L}$ は 3 倍ほどずれ続けます ―― これは前係数 $16 E (V_{0} - E) / V_{0}^{2}$ が定数（この例では 3.36）だからで，bL をいくら大きくしても消えません．「桁が合えばよい」ときだけ使える近似だ，と割り切って使うのが正解です．シミュレーターが両方を併記しているのはこのためです．

桁で効くことの実例 ― 走査型トンネル顕微鏡金属探針と試料の隙間を L と見なし，障壁の高さから電子のエネルギーを引いた

V_{0} - E

を金属の仕事関数（4 eV 程度）とすると，

b ≃ 10

nm⁻¹ です．トンネル電流は

e^{- 2 b L}

に比例するので，隙間が 0.1 nm 縮むだけで電流は 8 倍 ―― ほぼ一桁 ―― 増えます．走査型トンネル顕微鏡が原子 1 個分の凹凸を見分けられるのは，この指数の肩のおかげです．

4.2　山型ポテンシャルへ ― ガモフ因子

ノート (8) の後半がうまい所です．障壁が箱型でなくても， 細い箱の重ね合わせと見て，透過率を掛け算していけばよいと考えます．指数の肩では掛け算が足し算になるので，

(10)

T ≃ \prod_{j} \exp [- \frac{2 Δ x}{ℏ} \sqrt{2 m (V (x_{j}) - E)}] \underset{Δ x \to 0}{⟶} \exp [- \frac{2}{ℏ} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 m (V (x) - E)} d x]

これがガモフ因子です（WKB 近似の結果と一致します）．積分区間は $V (x) > E$ となる部分，つまり古典的には入れない領域だけです．

⚠ この「掛け算」は直感であって，厳密な散乱の計算ではありません薄い箱を並べると境界のたびに反射波が立ち，それらの位相が干渉するので，本当は

T \neq \prod_{j} T_{j}

です ―― 厳密にやるなら透過率ではなく転送行列（散乱行列）を掛けていくことになります．ここで足し合わせているのは，各区間で振幅が

\exp [- \frac{Δ x}{ℏ} \sqrt{2 m (V (x) - E)}]

だけ減る，その指数の肩だけです．境界での反射の位相と前係数（4.1 の

16 E (V_{0} - E) / V_{0}^{2}

にあたるもの）は，この議論では捨てています．それでも肩の部分は半古典的に解いた WKB の答えと一致し，桁を決めるのはその肩です．

左：障壁のまわりの ${| ψ |}^{2}$ ．中では指数関数的に減り，右側には小さな振幅だけが残ります（縦は対数）．右：T のエネルギー依存性． $E > V_{0}$ に現れる山が共鳴透過（ $k' L = n π$ ）です．

障壁の厚み L（

V_{0}

= 10 eV, 電子）エネルギー E

5. 応用：α 崩壊 ― ノート (9)

ガモフ因子の一番有名な使い道です．α 粒子は原子核の中では核力で閉じ込められ，外では Coulomb 斥力を受けます．以下， $M$ は α 粒子の質量， $Z$ は α 粒子が出たあとに残る娘核の原子番号， $R$ は核の半径（ここまで反射率として使ってきた R とは別の記号です）とします． Coulomb 項の分母が 4π ではなく 2π なのは，α 粒子の電荷 2e が分子に入っているからです．

V (r) = {\begin{cases} - V_{0} & （r < R） \\ \frac{1}{2 π ε_{0}} \frac{Z e^{2}}{r} & （r > R） \end{cases}

古典的な折り返し点 $r_{0}$ は $V (r_{0}) = E$ で決まります．これを使うと根号の中が $E (r_{0} / r - 1)$ という簡単な形になり， $r = r_{0} \sin^{2} θ$ と置換すれば積分できます．

(11)

\int_{R}^{r_{0}} \sqrt{\frac{r_{0}}{r} - 1} d r = r_{0} [\frac{π}{2} - \sin^{- 1} \sqrt{\frac{R}{r_{0}}} - \sqrt{\frac{R}{r_{0}} (1 - \frac{R}{r_{0}})}]

⚠ ここは近似のそろえ方に注意ノートは

r_{0} ≫ R

として

\sin^{- 1} \sqrt{R / r_{0}} ≃ 0

と落とし，3 項目だけ

\sqrt{R / r_{0}}

として残しています．しかし

\sin^{- 1} u ≃ u

なので，この 2 つは同じ次数です．そろえて残すと係数が 2 倍になります．

T ≃ \exp [- \frac{\sqrt{2 M E}}{ℏ} r_{0} (π - 4 \sqrt{\frac{R}{r_{0}}})]

指数の肩なので，この違いはそのまま効きます．実際の α 崩壊の

R / r_{0} ≃ 0.1 - 0.2

では，ノートの形は積分を 32 〜 59 % 過大評価します．上の形なら 1 〜 4 % の過小評価に収まります． 展開は「どの次数まで残すか」をそろえる ―― という良い練習問題になっています．

6. シミュレーターは何を計算しているか

タブ ① は上の (6)(8) をそのまま評価しています．タブ ② はもっと素朴で， 時間依存 Schrödinger 方程式を数値的に解いて波束をぶつけているだけです．

やっていること	中身
内部単位	nm / eV / fs（ $ℏ = 0.6582$ eV·fs， $ℏ^{2} / 2 m = 0.0381$ eV·nm²）．数値が 1 前後に収まり桁あふれしない
時間発展	分割演算子法（split-step Fourier 法）．運動エネルギーは波数空間，ポテンシャルは実空間で掛ける
端の処理	吸収層を置き，外へ出た確率を左右それぞれに積算
比べる相手	波束の運動量分布で平均した $⟨ T ⟩$

波束と単一エネルギーは一致しない ― これは誤差ではない (6) はひとつのエネルギーに対する答えです．ところが波束は必ずエネルギーの幅を持ちます（位置を局在させた代償です）．だから実測の透過確率は

T (E)

ではなく，運動量分布で重み付けした

⟨ T ⟩

と比べるべきものです．T が E について指数関数的に変わるので， 幅の中で高エネルギー側が圧倒的に効き，平均は中心値より大きく出ます（

E < V_{0}

のトンネル領域での話です．

E > V_{0}

では T が共鳴で振動するので，共鳴の山の上では逆に平均のほうが小さくなります）．波束の空間的な幅を広げる ―― つまりエネルギーの幅を狭める ―― ほど，両者は近づきます．

7. 数値で確かめる

導出はすべて手計算なので，独立に数値で確かめてあります． (2) の 4 本を $C = 1$ から素直に解いた複素振幅と，ノートの閉じた形を比べたものです．

確かめたこと	一致
境界条件を直接解いた ${\| B / A \|}^{2}$ vs (4)（3 通りの k, b, L）	相対差 < 1×10⁻¹⁵
同 ${\| C / A \|}^{2}$ vs (5)	相対差 < 1×10⁻¹⁵
$T + R = 1$	厳密（< 10⁻¹⁶）
(5) → (6) の書き換え	相対差 < 5×10⁻¹⁶
(7) の解析接続 $b = i k'$ → (8)	完全一致
共鳴 $k' L = n π$ で $T = 1$	12 桁
(11) の閉じた形 vs 数値積分	相対差 < 2×10⁻¹¹

ノートの数値との差についてノートは

b L ≃ 8.9

，

T ≃ 6.25 \times 10^{- 8}

，

R ≃ 0.136

としています．ここで

b L

と

T

は

E = 7

eV のトンネルの例，

R

のほうは，数値から逆算すると

E ≃ 13

eV ―― つまり式 (8) を使う

E > V_{0}

の別の例と見られます（どちらも

V_{0} = 10

eV，

L = 1

nm）．トンネルの例のほうは

R = 1 - T ≃ 1

で，ここに並べても意味がありません．CODATA の値を使うと

b L = 8.874

，

T = 6.59 \times 10^{- 8}

，

R = 0.149

です．差の出どころは

ℏ ≃ 1.05 \times 10^{- 34}

という丸めだけで，

b L

にすると 0.4 % の違いです．それが

T \propto e^{- 2 b L}

で 5 % に，

R

では

\sin

の傾きを通して 10 % に増幅されます． 指数の肩や三角関数の中身は，有効数字をひとつ多めに持つ ―― という教訓です．

8. まとめ

各領域で Schrödinger 方程式を解き， $ψ$ と $ψ'$ の連続条件 4 本でつなぐ．それだけ (1)(2)．
$C = 1$ と置いて後ろから遡れば，連立を解かずに $A, B$ が出る (3)(4)．
絶対値を取ると分母が共通の形になり， $T + R = 1$ が一目で分かる (5)(6)．
$E > V_{0}$ は $b = i k'$ を代入するだけ． $\sinh$ が $\sin$ に変わり，共鳴透過が現れる (7)(8)．
厚い障壁では $T ≃ e^{- 2 b L}$ ．細かく切って掛け算すれば，緩やかに変わる障壁ならどんな形にも使えるガモフ因子になる（厳密には転送行列を掛けるべきだが，指数の肩はこれで決まる） (9)(10)．
それを Coulomb 障壁に当てると α 崩壊の寿命が出る (11)． 1 本の式が，実験室の電子から原子核まで通用します．

東京理科大学望月研究室／講義ノート (6)「トンネル効果」， (7)「粒子のエネルギー E > Potential $V_{0}$ の場合の箱型ポテンシャル」， (8)「透過率の近似的表式と一般の山型ポテンシャル」，(9)「α 崩壊の理論」より．数値検証は複素振幅の直接計算および Simpson 法による．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．