第3章曲線運動の記述 — 極座標と接線・法線加速度

例題3.1　直交座標と極座標の相互変換

(a) 点 $(x,y)=(3,4)$（単位 $\mathrm m$）の極座標 $(r,\theta)$ を求めよ．(b) 極座標が $(r,\theta)=(5\ \mathrm m,\ \pi/3)$ の点の直交座標 $(x,y)$ を求めよ．(c) 点 $(x,y)=(-3,4)$（単位 $\mathrm m$）の極座標を求めよ．$\theta=\tan^{-1}(y/x)$ をそのまま使うと何が起こるかにも注意すること．

解答　(a) 公式3.1より，

$$ r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm m $$

である．角度は $\theta=\tan^{-1}(4/3)$ であり，$(x,y)=(3,4)$ は $x\gt0,\ y\gt0$（第1象限）にあるので，主値をそのまま使ってよい：

$$ \theta=\tan^{-1}\frac{4}{3}\approx0.927\ \mathrm{rad}\ (\approx53.1^\circ) $$

したがって $(r,\theta)\approx(5\ \mathrm m,\ 0.927\ \mathrm{rad})$ である．

(b) 公式3.1の順方向の式を使う．$\cos(\pi/3)=1/2,\ \sin(\pi/3)=\sqrt3/2$ なので，

$$ x=r\cos\theta=5\times\frac12=2.5\ \mathrm m,\qquad y=r\sin\theta=5\times\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4.33\ \mathrm m $$

である．

(c) 距離は $r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm m$ である．$y/x=4/(-3)=-4/3$ なので，$\tan^{-1}$ の主値は

$$ \tan^{-1}\Bigl(-\frac43\Bigr)\approx-0.927\ \mathrm{rad}\ (\approx-53.1^\circ) $$

となる．これは $x\gt0,\ y\lt0$（第4象限）の角度で，実際の点 $(-3,4)$ は $x\lt0,\ y\gt0$（第2象限）にあるから，そのままでは誤りである．$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$ なので，$\pi$ を加えて補正すると，

$$ \theta=\tan^{-1}\Bigl(-\frac43\Bigr)+\pi\approx-0.927+3.142=2.214\ \mathrm{rad}\ (\approx126.9^\circ) $$

となる．検算として $\cos\theta=x/r=-3/5=-0.6,\ \sin\theta=y/r=4/5=0.8$ を確かめると，$\cos2.214\approx-0.6,\ \sin2.214\approx0.8$ で，たしかに第2象限の角度である．したがって $(r,\theta)\approx(5\ \mathrm m,\ 2.214\ \mathrm{rad})$．（関数 $\operatorname{atan2}(4,-3)$ も同じ $2.214$ を返す．）

例題3.2　基底ベクトルの成分と直交性

$\theta=\pi/3\ (=60^\circ)$ の位置における極座標の基底ベクトル $\bm{e}_r,\bm{e}_\theta$ を，$\bm{e}_x,\bm{e}_y$ の成分で求めよ．また，$\bm{e}_r,\bm{e}_\theta$ がどちらも単位ベクトルであり，互いに直交する（$\bm{e}_r\cdot\bm{e}_\theta=0$）ことを確かめよ．

解答　$\cos(\pi/3)=1/2,\ \sin(\pi/3)=\sqrt3/2$ を公式3.2に代入すると，

$$ \bm{e}_r=\frac12\bm{e}_x+\frac{\sqrt3}{2}\bm{e}_y=\Bigl[\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}\Bigr],\qquad \bm{e}_\theta=-\frac{\sqrt3}{2}\bm{e}_x+\frac12\bm{e}_y=\Bigl[-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\Bigr] $$

である．大きさはそれぞれ

$$ \abs{\bm{e}_r}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=\sqrt1=1,\qquad \abs{\bm{e}_\theta}=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=1 $$

となり，たしかにどちらも単位ベクトルである（一般の $\theta$ でも $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より常に成り立つ）．内積は

$$ \bm{e}_r\cdot\bm{e}_\theta=\frac12\times\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\frac{\sqrt3}{2}\times\frac12=-\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}=0 $$

であり，直交することが確かめられた（一般の $\theta$ についても $\bm{e}_r\cdot\bm{e}_\theta=-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta=0$ となることを，演習3.4で確認する）．

例題3.3　放物線上を動く点の速度と接線ベクトル

平面上を動く点の位置が，時刻 $t$（秒）において $\bm r(t)=[t,\ t^2,\ 0]$（メートル，$t\ge0$）で与えられている．これは，$xy$ 平面上で $y=x^2$ という放物線の上を動く点である（$x=t,\ y=t^2=x^2$ だから）．(a) 速度ベクトル $\bm v(t)$ と速さ $v(t)$ を，時刻 $t$ の関数として求めよ．(b) 単位接線ベクトル $\bm e_t(t)$ を求めよ．(c) $t=1$（点 $(1,1)$ を通過する瞬間）における $\bm v,\ v,\ \bm e_t$ を求めよ．

解答　(a) 各成分を $t$ で微分すると（定義17.1），

$$ \bm v(t)=\dot{\bm r}(t)=[1,\ 2t,\ 0]\ \mathrm{m/s} $$

速さは

$$ v(t)=\abs{\bm v(t)}=\sqrt{1^2+(2t)^2+0^2}=\sqrt{1+4t^2}\ \mathrm{m/s} $$

である．(b) 定理3.1より $\bm e_t=\bm v/v$ なので，

$$ \bm e_t(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t^2}}\bigl[1,\ 2t,\ 0\bigr] $$

である（$t$ によらず $\abs{\bm e_t}=1$ になっていることを確認しておこう：$\abs{\bm e_t}^2=\dfrac{1^2+(2t)^2}{1+4t^2}=1$）．(c) $t=1$ を代入すると，

$$ \bm v(1)=[1,\ 2,\ 0]\ \mathrm{m/s},\qquad v(1)=\sqrt{1+4}=\sqrt5\ \mathrm{m/s}\approx2.24\ \mathrm{m/s} $$ $$ \bm e_t(1)=\frac{1}{\sqrt5}[1,\ 2,\ 0]=\left[\frac{1}{\sqrt5},\ \frac{2}{\sqrt5},\ 0\right]\approx[0.447,\ 0.894,\ 0] $$

である．この点 $(1,1)$ における $\bm e_n$ は，まだ本節の道具だけでは求められない——3.4節で加速度の分解を学んだあと，例題3.4で同じ点に戻って $\bm e_n$ まで求める．

例題3.4　放物線上の点における単位法線ベクトルと曲率半径

例題3.3の続きである．$\bm r(t)=[t,\ t^2,\ 0]$（m）で運動する点について，$t=1$（点 $(1,1)$）における加速度 $\bm a$，単位法線ベクトル $\bm e_n$，曲率半径 $\rho$ を求めよ．

解答　速度は例題3.3より $\bm v(t)=[1,2t,0]$ だから，加速度は

$$ \bm a(t)=\dot{\bm v}(t)=[0,\ 2,\ 0]\ \mathrm{m/s^2}\quad(t\text{ によらず一定}) $$

である．一方，速さは $v(t)=\sqrt{1+4t^2}$ なので，接線加速度成分は

$$ \frac{\dd v}{\dd t}=\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}} \qquad\therefore\quad \left.\frac{\dd v}{\dd t}\right|_{t=1}=\frac{4}{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}\ \mathrm{m/s^2}\approx1.79\ \mathrm{m/s^2} $$

である（合成関数の微分，$\dfrac{\dd}{\dd t}\sqrt{1+4t^2}=\dfrac{8t}{2\sqrt{1+4t^2}}=\dfrac{4t}{\sqrt{1+4t^2}}$）．例題3.3(c)より $\bm e_t(1)=\bigl[1/\sqrt5,\ 2/\sqrt5,\ 0\bigr]$ だったから，接線成分ベクトルは

$$ \frac{\dd v}{\dd t}\bm e_t=\frac{4}{\sqrt5}\left[\frac{1}{\sqrt5},\frac{2}{\sqrt5},0\right]=\left[\frac45,\ \frac85,\ 0\right] $$

である．定理3.2より $\bm a=(\dd v/\dd t)\bm e_t+(v^2/\rho)\bm e_n$ なので，法線成分ベクトルは全体から接線成分を引いた残りとして求まる：

$$ \frac{v^2}{\rho}\bm e_n=\bm a-\frac{\dd v}{\dd t}\bm e_t=[0,2,0]-\left[\frac45,\frac85,0\right]=\left[-\frac45,\ \frac25,\ 0\right] $$

この大きさが $v^2/\rho$ であり，向きが $\bm e_n$ である．大きさは

$$ \frac{v^2}{\rho}=\left|\left[-\frac45,\frac25,0\right]\right|=\sqrt{\left(\frac45\right)^2+\left(\frac25\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac4{25}}=\sqrt{\frac{20}{25}}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\ \mathrm{m/s^2} $$

したがって，単位法線ベクトルは

$$ \bm e_n(1)=\frac{1}{2\sqrt5/5}\left[-\frac45,\frac25,0\right]=\left[-\frac{2}{\sqrt5},\ \frac{1}{\sqrt5},\ 0\right]\approx[-0.894,\ 0.447,\ 0] $$

である（$\bm e_t\cdot\bm e_n=\frac{1}{\sqrt5}\times\bigl(-\frac2{\sqrt5}\bigr)+\frac2{\sqrt5}\times\frac1{\sqrt5}=-\frac25+\frac25=0$ で直交性も確認できる）．曲率半径は，$v(1)^2=(\sqrt5)^2=5$ を使って，

$$ \rho=\frac{v^2}{2\sqrt5/5}=\frac{5}{2\sqrt5/5}=\frac{5\sqrt5}{2}\ \mathrm{m}\approx5.59\ \mathrm{m} $$

である．この結果は，3.5節で導く公式3.4（$y=f(x)$ の曲率半径 $\rho=(1+f'(x)^2)^{3/2}/\abs{f''(x)}$）に $f'(x)=2x,\ f''(x)=2$ を $x=1$ で代入して得られる $\rho=(1+4)^{3/2}/2=5\sqrt5/2\ \mathrm m$ とも完全に一致する．図3.7に，この点における $\bm e_t,\bm e_n$ と，半径 $\rho$ の接触円（曲線に接しながら最もよく重なる円）を描いた．

例3.1　曲線上を動く点の速さと曲率半径

質点 $\mathrm P$ の位置が $\bm r(t)=\left[\dfrac{t^2}{2},\ t,\ 2-t\right]$（成分の単位は $\mathrm m$，$t$ は $\mathrm s$ で測る）で表されるとき，時刻 $t$ における速さ $v$ と曲率半径 $\rho$ を求めよ．また，$t=0$ における $\bm e_t,\bm e_n$ を求めよ．

解答　各成分を微分して，

$$ \bm v(t)=\dot{\bm r}(t)=[t,\ 1,\ -1]\ \mathrm{m/s} \qquad\therefore\quad v=\abs{\bm v(t)}=\sqrt{t^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{t^2+2}\ \mathrm{m/s} $$

である．接線加速度成分は

$$ \frac{\dd v}{\dd t}=\frac{\dd}{\dd t}\sqrt{t^2+2}=\frac{2t}{2\sqrt{t^2+2}}=\frac{t}{\sqrt{t^2+2}}\ \mathrm{m/s^2} $$

だから，定理3.2より加速度を接線・法線成分に分解すると

\begin{equation} \bm a=\frac{\dd v}{\dd t}\bm e_t+\frac{v^2}{\rho}\bm e_n=\frac{t}{\sqrt{t^2+2}}\bm e_t+\frac{t^2+2}{\rho}\bm e_n \label{eq:3-ex31-decomp} \end{equation}

と書ける．一方，$\bm r(t)$ をもう一度微分すれば，加速度を直接計算できる：

\begin{equation} \bm a(t)=\ddot{\bm r}(t)=[1,\ 0,\ 0]\ \mathrm{m/s^2} \qquad\therefore\quad \abs{\bm a}=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1\ \mathrm{m/s^2} \label{eq:3-ex31-a} \end{equation}

式\eqref{eq:3-ex31-decomp}は $\bm e_t,\bm e_n$ という互いに直交する単位ベクトルによる分解なので，三平方の定理と同じ要領で，$\abs{\bm a}^2$ は2つの成分の2乗和に等しい（$\bm e_t\cdot\bm e_n=0$ なので，展開したときの交差項が消える）．式\eqref{eq:3-ex31-a}の $\abs{\bm a}^2=1$ を使えば，

\begin{equation} \abs{\bm a}^2=\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+2}}\right)^2+\left(\frac{t^2+2}{\rho}\right)^2=\frac{t^2}{t^2+2}+\frac{(t^2+2)^2}{\rho^2}=1 \label{eq:3-ex31-sq} \end{equation}

である．式\eqref{eq:3-ex31-sq}を $\rho^2$ について解くと，

$$ \frac{(t^2+2)^2}{\rho^2}=1-\frac{t^2}{t^2+2}=\frac{(t^2+2)-t^2}{t^2+2}=\frac{2}{t^2+2} $$ $$ \therefore\quad \rho^2=\frac{(t^2+2)^2(t^2+2)}{2}=\frac{(t^2+2)^3}{2} $$

両辺の平方根をとって（$\rho\gt0$），

$$ \rho=\frac{(t^2+2)\sqrt{t^2+2}}{\sqrt2}\ \mathrm m $$

となる．

公式3.3による検算：$\bm v=[t,1,-1],\ \bm a=[1,0,0]$ の外積は，成分ごとの公式（大学数学第15章15.4節）より

$$ \bm v\times\bm a=[\,1\times0-(-1)\times0,\ \ (-1)\times1-t\times0,\ \ t\times0-1\times1\,]=[0,\ -1,\ -1] $$ $$ \therefore\quad \abs{\bm v\times\bm a}=\sqrt{0^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt2 $$

である．公式3.3に代入すると，

$$ \rho=\frac{v^3}{\abs{\bm v\times\bm a}}=\frac{(t^2+2)^{3/2}}{\sqrt2}=\frac{(t^2+2)\sqrt{t^2+2}}{\sqrt2} $$

となり，式\eqref{eq:3-ex31-decomp}〜\eqref{eq:3-ex31-sq}の連立から求めた結果と完全に一致する．接線・法線成分に分解する方法と，外積を使う方法という2通りの独立な計算が同じ答えに達したことで，どちらの結果にも高い確信が持てる．

$t=0$ での $\bm e_t,\bm e_n$：$\bm v(0)=[0,1,-1]$，$v(0)=\sqrt2$，$\bm a(0)=[1,0,0]$ である．$\dd v/\dd t=t/\sqrt{t^2+2}$ は $t=0$ で0なので，接線加速度はなく，加速度はすべて法線成分になる：$\bm a=(v^2/\rho)\bm e_n$．よって $\bm e_t(0)=\bm v/v=[0,1,-1]/\sqrt2$，$\bm e_n(0)=\bm a/\abs{\bm a}=[1,0,0]$，$\rho(0)=v^2/\abs{\bm a}=2/1=2\ \mathrm m$（上の一般式に $t=0$ を代入した $2^{3/2}/\sqrt2=2$ と一致する）．$\bm e_t\cdot\bm e_n=[0,1,-1]\cdot[1,0,0]/\sqrt2=0$ で，たしかに直交している．

解釈：$\rho(t)=(t^2+2)^{3/2}/\sqrt2$ は $t=0$ で最小値 $2\ \mathrm m$ をとり，$\abs t$ が大きくなるほど大きくなる．この運動の軌跡は，平面 $y+z=2$ の上の放物線であり，$t=0$ がその頂点にあたる．頂点でもっとも強く曲がり，遠ざかるほど直線に近づく，という放物線の形と合っている．

例題3.5　等速円運動の曲率半径

半径 $R$ の円周上を，角速度 $\omega$（一定）で等速円運動する点の位置は $\bm r(t)=[R\cos\omega t,\ R\sin\omega t,\ 0]$ と表される．公式3.3を使って，この運動の曲率半径が $\rho=R$（円自身の半径に等しい）になることを確かめよ．

解答　速度・加速度はそれぞれ

$$ \bm v(t)=[-R\omega\sin\omega t,\ R\omega\cos\omega t,\ 0],\qquad \bm a(t)=[-R\omega^2\cos\omega t,\ -R\omega^2\sin\omega t,\ 0] $$

である．速さは $v=\abs{\bm v}=\sqrt{R^2\omega^2\sin^2\omega t+R^2\omega^2\cos^2\omega t}=R\omega$（$t$ によらず一定——これが「等速」の意味である）．外積の $z$ 成分は

$$ v_xa_y-v_ya_x=(-R\omega\sin\omega t)(-R\omega^2\sin\omega t)-(R\omega\cos\omega t)(-R\omega^2\cos\omega t) $$ $$ =R^2\omega^3\sin^2\omega t+R^2\omega^3\cos^2\omega t=R^2\omega^3 $$

なので $\abs{\bm v\times\bm a}=R^2\omega^3$ である．公式3.3に代入すると，

$$ \rho=\frac{v^3}{\abs{\bm v\times\bm a}}=\frac{(R\omega)^3}{R^2\omega^3}=\frac{R^3\omega^3}{R^2\omega^3}=R $$

となり，定義3.3のあとで述べた「円の曲率半径はその半径に等しい」ことが，公式3.3を使っても確かめられた．

なお，等速円運動の加速度は，位置ベクトルを2回微分して直接調べることもできる（第5章 5.4節）．また，極座標の成分 $(a_r,a_\theta)$ で見たときの姿は第6章 例題6.3で，接線・法線成分との比較として扱う．

例題3.6　らせん運動の曲率半径

$\bm r(t)=[\cos t,\ \sin t,\ t]$（成分の単位は $\mathrm m$，$t$ は $\mathrm s$ で測る．$xy$ 平面内を単位円で回りながら，同時に $z$ 方向へ一定の速さで進む，らせん運動）の曲率半径 $\rho$ を求めよ．

解答　速度・加速度は

$$ \bm v(t)=[-\sin t,\ \cos t,\ 1],\qquad \bm a(t)=[-\cos t,\ -\sin t,\ 0] $$

であり，速さは $v=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1^2}=\sqrt2$（一定）．外積は，成分ごとに計算すると，

$$ \bm v\times\bm a=[\,\cos t\times0-1\times(-\sin t),\ \ 1\times(-\cos t)-(-\sin t)\times0,\ \ (-\sin t)(-\sin t)-\cos t\times(-\cos t)\,] $$ $$ =[\sin t,\ -\cos t,\ \sin^2t+\cos^2t]=[\sin t,\ -\cos t,\ 1] $$

なので，$\abs{\bm v\times\bm a}=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1^2}=\sqrt2$ である．公式3.3より，

$$ \rho=\frac{v^3}{\abs{\bm v\times\bm a}}=\frac{(\sqrt2)^3}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2}=2\ \mathrm m $$

となる．興味深いことに，$\rho=2\ \mathrm m$ は時刻 $t$ によらず一定である——らせん運動は，$xy$ 平面に投影すれば等速円運動（半径1）だが，$z$ 方向にも一定の速さで進むぶん，3次元での曲がり方は平面上の円（曲率半径1）よりゆるやかになり，曲率半径が2倍になる（この結果は演習3.6でも数値的に確認する）．

演習3.1　曲率半径 $\rho(t)$ の一般式

例題3.3・例題3.4で扱った曲線 $\bm r(t)=[t,\ t^2,\ 0]$（放物線 $y=x^2$ の上を動く点）について，任意の時刻 $t$ における曲率半径 $\rho(t)$ を，$t$ の関数として求めよ．また，$t=1$ の結果が例題3.4の $\rho=5\sqrt5/2$ と一致することを確かめよ．

ヒント：公式3.3 $\rho=v^3/\abs{\bm v\times\bm a}$ を使う．$\bm v(t)=[1,2t,0]$，$\bm a(t)=[0,2,0]$（$t$ によらず一定）はすでに求めてある．

→ 解答

演習3.2　カーブを曲がる自動車

半径 $50\ \mathrm m$ の円弧状のカーブ（水平な道路）を，速さ $72\ \mathrm{km/h}$ で走る自動車がある．(a) 法線加速度 $v^2/\rho$ は何 $\mathrm{m/s^2}$ か．(b) 横滑りしないために，タイヤと路面のあいだに必要な静止摩擦係数の最小値 $\mu$ を求めよ（必要な向心力 $mv^2/\rho$ が最大静止摩擦力 $\mu mg$ 以下であること．$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$）．(c) このカーブを走りながら，一定の割合 $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ で減速している瞬間の，加速度の大きさ $\abs{\bm a}$ を求めよ．

ヒント：まず $72\ \mathrm{km/h}$ を $\mathrm{m/s}$ に直す．(c) 接線成分と法線成分は直交するので，大きさは三平方の定理で合成できる．

→ 解答

演習3.3　$\theta$ が時間変化するときの $\bm e_r,\bm e_\theta$ の微分

角 $\theta=\theta(t)$ が時間とともに変わる場合，極座標の基底ベクトル $\bm e_r=\cos\theta\,\bm e_x+\sin\theta\,\bm e_y$，$\bm e_\theta=-\sin\theta\,\bm e_x+\cos\theta\,\bm e_y$ を時間で微分して，

$$ \frac{\dd\bm e_r}{\dd t}=\dot\theta\,\bm e_\theta,\qquad \frac{\dd\bm e_\theta}{\dd t}=-\dot\theta\,\bm e_r $$

となることを示せ．さらに，これを使って，$\bm r=R\,\bm e_r$（$R$ は一定）で表される等速円運動（$\dot\theta=\omega$）の速度が $\bm v=R\omega\,\bm e_\theta$ となることを導け．

ヒント：$\bm e_x,\bm e_y$ は定ベクトルなので，時間で微分されるのは $\cos\theta,\sin\theta$ だけである．合成関数の微分 $\dfrac{\dd}{\dd t}\cos\theta=-\dot\theta\sin\theta$ を使う．この結果は第6章で極座標の速度・加速度を導くときにも使う．

→ 解答

演習3.4　極座標基底ベクトルの直交性の一般証明

任意の角 $\theta$ について，極座標の基底ベクトル $\bm e_r,\bm e_\theta$（公式3.2）が常に直交する，すなわち $\bm e_r\cdot\bm e_\theta=0$ であることを，成分を使って示せ．

ヒント：公式3.2の成分表示 $\bm e_r=[\cos\theta,\sin\theta],\ \bm e_\theta=[-\sin\theta,\cos\theta]$ を使って内積を計算し，三角関数の基本公式で整理する．

→ 解答

演習3.5　$y=\sin x$ の曲率半径

曲線 $y=\sin x$ 上の任意の点における曲率半径 $\rho(x)$ を，公式3.4 $\rho=(1+f'(x)^2)^{3/2}/\abs{f''(x)}$（$f(x)=\sin x$）を用いて求めよ．また，$x=\pi/2$（曲線の山の頂上）での $\rho$ の値を求めよ．

ヒント：$f'(x)=\cos x,\ f''(x)=-\sin x$ である．$x=\pi/2$ では $\cos(\pi/2)=0,\ \sin(\pi/2)=1$ を代入する．

→ 解答

演習3.6　らせん運動の $t=0$ における速度・加速度

例題3.6のらせん運動 $\bm r(t)=[\cos t,\ \sin t,\ t]$ について，$t=0$ における速度 $\bm v(0)$ と加速度 $\bm a(0)$ を成分で求めよ．さらに，公式3.3を使ってこの時刻での $\rho$ を計算し，例題3.6で求めた「$\rho=2$（時刻によらず一定）」という結果と矛盾しないことを確認せよ．

ヒント：例題3.6の $\bm v(t),\bm a(t)$ の式に $t=0$（$\sin0=0,\cos0=1$）を代入するだけである．

→ 解答