第56章ミンコフスキー時空 — 同時性の相対性と固有時

56.1 座標の差の変換と速度の合成則

速度は「位置の変化 ÷ 時間の変化」なので，ローレンツ変換のもとでは，位置だけでなく時間の変化も座標系ごとに変わることを考えに入れなければならない．前章 55.6 節では，ローレンツ変換を時間で微分して，速度の変換則（定理55.4）を，運動の向きに垂直な成分も含めて導いた．この節では，その計算を「2 つの出来事の座標の差の変換」という形で見直す．差の変換（定理56.1）は，同時性（56.2 節），時空図（56.3 節），不変間隔（56.4 節），固有時（56.5 節）のすべての出発点になる．そのあとで，速度の変換則の使い道として，同じ向きの速度の合成と光行差を調べる．

設定と記号は第54章・第55章と同じである．S 系に対して S′ 系が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v\ [\mathrm{m/s}]$ で動いており（$t=t'=0$ で原点が一致し，軸は互いに平行．第54章 54.5），質点の速度は S 系で $\bm{u}=(u_x,u_y,u_z)=(\dd x/\dd t,\ \dd y/\dd t,\ \dd z/\dd t)$，S′ 系で $\bm{u}'=(u'_x,u'_y,u'_z)=(\dd x'/\dd t',\ \dd y'/\dd t',\ \dd z'/\dd t')$ と書く（4 元速度の記号 $u^\mu$ とは別のもの．第57章）．

56.1.1 座標の差のローレンツ変換

ローレンツ変換（第54章）を，ここでもう一度書いておく．

この変換は，$x,t$ の1 次式（線形変換）である．そのため，2 つの出来事 $\mathrm{P}_1$ $(t_1,x_1,y_1,z_1)$ と $\mathrm{P}_2$ $(t_2,x_2,y_2,z_2)$ の座標の「差」も，同じ形の式で変換される．ここで出来事（event）とは，「いつ，どこで」起こったかという 1 点の時空座標で決まる事象（たとえば「時刻 $t_1$ に位置 $x_1$ で閃光が光った」）のことである．

56.1.2 速度の変換則との関係

質点が動いていて，その軌道 $x(t),y(t),z(t)$ が S 系で与えられているとする．軌道上の隣り合う 2 つの出来事——時刻 $t$ と時刻 $t+\dd t$ に質点がいる 2 点——に，定理56.1（微小量の形）を使ってみよう．S 系での座標の差は，速度の定義から $\dd x=u_x\dd t$，$\dd y=u_y\dd t$，$\dd z=u_z\dd t$ である．これを代入すると，

となる．S′ 系での速度は，S′ 系で測った位置の変化を S′ 系で測った時間の変化で割ったものだから，式 \eqref{eq:56-dxdt-prime} の比をとって，共通の $\dd t$ を約分すれば，前章 55.6.2 節の導出とまったく同じ計算で，次の結果が得られる（$1/\gamma=\sqrt{1-v^2/c^2}$）．

逆に S′ 系の速度から S 系の速度を求める式は，S′ から見た S の速度が $-v$ であることから，$v\to-v$ と置き換えて

である．導出の途中の細かい確認——運動方向に垂直な成分 $u_y,u_z$ も変わる理由，$v\ll c$ でガリレイ変換（高校の速度の足し算）に戻ること，光の速さが変わらないこと，どんな合成でも $c$ を超えないこと（定理55.5）——は，前章の 55.6 節に書いてある．この節で新しく大切なのは，式 \eqref{eq:56-dxdt-prime} の第 2 式，すなわち S′ 系の時計の進み $\dd t'$ が S 系の時計の進み $\dd t$ とは違い，因子 $\gamma(1-vu_x/c^2)$ だけ異なる，という点である（時間の遅れの因子 $\gamma$ と，同時性のずれの因子 $1-vu_x/c^2$ の積．56.5 節の固有時で再び使う）．

速度の変換の様子を 図56.1 に示す．ガリレイ変換 $u'_x=u_x-v$ は直線になるが，ローレンツ速度変換の曲線は $u_x=\pm c$ で $u'_x=\pm c$ を通り，$-c$ と $c$ のあいだにおさまる．

56.1.3 同じ向きの速度の合成と光行差

速度の変換則の使い道を 2 つ見よう．1 つめは，$x$ 方向だけの運動の合成である．S′ が S に対して $x$ 方向に速さ $\beta_1c$ で動き，物体が S′ に対して同じ $x$ 方向に速さ $\beta_2c$ で動いているとき，逆変換 \eqref{eq:56-vel-inv} で $v=\beta_1c$，$u'_x=\beta_2c$ とおくと，S 系での物体の速さ $\beta c$ は

となる（$\beta_1,\beta_2$ は $-1$ と $1$ のあいだの数）．分母の $\beta_1\beta_2$ がガリレイ的な足し算 $\beta_1+\beta_2$ からのずれをつくる．$\abs{\beta}\lt1$ であることは，$1-\beta=(1-\beta_1)(1-\beta_2)/(1+\beta_1\beta_2)$，$1+\beta=(1+\beta_1)(1+\beta_2)/(1+\beta_1\beta_2)$ と因数分解すれば，分子・分母がすべて正になることから確認できる（前章の演習55.5 と同じ計算）．たとえば $\beta_1=\beta_2=0.5$ なら $\beta=1.0/1.25=0.8$ で，光速には届かない（数値例は前章の例題55.13）．この合成則は，56.7 節でラピディティを使うと，$\phi=\phi_1+\phi_2$ という単純な足し算になる．

2 つめは，光の進む向きの変換，すなわち光行差である．次の例題で，任意の向きの光を式 \eqref{eq:56-vel} で変換する．

56.2 同時性の相対性

高校物理で「2 つの出来事が同時に起こった」というときは，それが誰から見ても同じ意味をもつと，ほとんど意識せずに信じていた．たとえば，「東京で午後 3 時に起きた事故と，大阪で午後 3 時に起きた事故は同時である」というように．ガリレイ変換 $t'=t$ は，まさにこの信念を式にしたものである．ところが，ローレンツ変換の時刻の式 $t'=\gamma\,(t-vx/c^2)$ には，$t$ だけでなく位置 $x$ も入っている．この節では，その帰結を正面から調べる．ある座標系で同時に起こった 2 つの出来事は，別の座標系では同時でない——同時性は座標系ごとに決まる相対的なものである．

56.2.1 ローレンツ変換から見る同時性のずれ

2 つの出来事 A，B の座標の差を，S 系で $\Delta t=t_B-t_A$，$\Delta x=x_B-x_A$ とし，S′ 系では $\Delta t'=t'_B-t'_A$ とする．前節の定理56.1（式 \eqref{eq:56-delta}）より，

である．S 系で同時（$\Delta t=0$）でも，2 点が離れていれば（$\Delta x\neq0$），

となる．これが同時性の相対性（relativity of simultaneity）である．

式 \eqref{eq:56-simul-shift} の大きさを見積もっておこう．$c^2$ が非常に大きいので，日常の速さではほぼ 0 である（例題56.4）．同時性のずれが目に見えないのは，$v/c$ が小さいからにすぎない．

56.2.2 アインシュタインの列車の思考実験

同時性の相対性は，次の有名な思考実験（アインシュタインが解説書で用いた列車の思考実験を，教科書でよく使われる形に少し変えたもの）で，光速度不変の原理だけから直接理解できる．

まっすぐな線路を，一定の速さ $v$ で走る長い列車を考える．列車の中央に光源があり，ある瞬間に閃光を出す．光は，列車の前端と後端に向かって進む．列車に乗っている観測者（S′ 系）から見ると，光は前へも後ろへも同じ速さ $c$ で進み，両端は光源から同じ距離 $L/2$（$L$ は列車の静止長）にあるので，光は前端と後端に同時に届く（図56.2 の (a)）．

ところが，線路のそばに立っている観測者（S 系）から見ると，事情が違う．光の速さは，光源が動いていても，向きによらず $c$ である（光速度不変の原理）．その間に，列車の後端は進んできた光に向かって近づき，前端は光から逃げるように遠ざかる．したがって，光は後端に先に届き，前端には後から届く（図の (b)）．地上の観測者にとっては，2 つの出来事「光が後端に届く」「光が前端に届く」は，同時ではない．

どちらの観測者の結論が「正しい」のか，と問うのは意味がない．どちらも，それぞれの座標系で，光の速さ $c$ と自分の物差しと時計で得た正しい結論であり，同時性が座標系ごとに違うという事実の現れである．次に，この結論を，ローレンツ変換で定量的に確かめよう．

56.2.3 順序が入れ替わるとき，入れ替わらないとき

同時でない 2 つの出来事の「前後」も，座標系によって入れ替わることがある（例題54.8 の (B) がその例である）．すると，原因が結果より先に起こるという因果律は，大丈夫なのだろうか．この疑問は，56.4 節でくわしく調べる．ここでは，答えの見通しを 1 つだけ示しておく．

逆に，$\abs{\Delta x}\gt c\,\Delta t$（光でも結べないほど離れている）なら，$\beta\Delta x/(c\Delta t)$ が $1$ をこえるような $\beta$ が存在し，そのとき $\Delta t'\lt0$ となって順序が入れ替わる．その境目が，次節以降の「光円錐」である．

56.3 時空図 — 世界線・光円錐・S′ の座標軸

高校物理では，物体の運動を $x$–$t$ グラフ（横軸に時刻 $t$，縦軸に位置 $x$）で表した．グラフの傾きが速度を表す，あの図である．ローレンツ変換では，時間と空間が混ざり合って変換される．そこで，時間と位置を対等に扱える図——時空図（spacetime diagram，ミンコフスキー図）——を使うと，同時性の相対性や，これから調べる光円錐，因果律，固有時が，一目で見えるようになる．この図の考え方は，ミンコフスキー（Minkowski）が 1908 年に示したものである．

56.3.1 時空図の描き方と世界線

時空図では，横軸に位置 $x$，縦軸に $ct$ をとる（$y,z$ は省略して 1 次元の運動だけを描くか，別の図で描く）．高校の $x$–$t$ グラフとは，縦軸と横軸が入れ替わっている（時間を縦軸に，上向きを未来にするのが慣習である）．そして，縦軸に時刻 $t$ そのものではなく，時刻に光速をかけた $ct$ をとる．$ct$ の単位は $\mathrm{s\times m/s=m}$，つまり長さである．これには次の理由がある．

• 両軸の次元と目盛りをそろえるため．縦軸と横軸がどちらも長さなら，同じ目盛りで描けて，図の幾何（角度や傾き）が意味をもつ．
• 光の世界線が 45° になるため．光は $x=\pm ct$ に沿って進む．これは $ct$ と $x$ を同じ目盛りで描けば，傾き $\pm45^\circ$ の直線になる．光の速さがどの座標系でも同じ $c$ であることは，「光の線は，どの座標系の時空図でも 45° である」という形で図に現れる．
• ローレンツ変換が対称な形になるため．式 \eqref{eq:56-lorentz} を $x'=\gamma(x-\beta\,ct)$，$ct'=\gamma(ct-\beta x)$ と書くと，$ct$ と $x$ が同じ立場で現れる（第54章 54.7）．

時空図の 1 点は，「いつ，どこで」を指定する出来事（event）である．時間が経つとともに，質点は時空図の中で 1 本の曲線をなぞる．

世界線の形から，質点の運動がわかる（図56.3）．

• 静止している質点（$x=$ 一定）の世界線は，$ct$ 軸に平行な垂直な直線である．時間だけが進み，位置は変わらない．
• 等速直線運動 $x=x_0+vt$ の世界線は，傾いた直線である．時空図の横軸 $x$，縦軸 $ct$ で $x=x_0+\beta\,ct$（$\beta=v/c$）なので，$ct$ 軸となす角 $\theta$ について $\tan\theta=\dd x/\dd(ct)=\beta$ である．速いほど，垂直から大きく傾く．（高校の $x$–$t$ グラフでは速度が傾きだったが，ここでは縦軸と横軸が入れ替わっているので，$ct$ 軸からの傾きの $\tan$ が $v/c$ になっている．）
• 光は $\beta=1$ なので $\theta=45^\circ$．質量のある物体は $\abs{\beta}\lt1$ なので，世界線はつねに $ct$ 軸から $45^\circ$ 未満の傾きにとどまる（第57章）．
• 速度が変化する運動（加速）の世界線は曲線になる．曲線上の各点での接線の傾き $\tan\theta=\dd x/\dd(ct)=v(t)/c$ が，その瞬間の速度を表す．

56.3.2 光円錐

時空図の原点 O の出来事——たとえば，点 O で瞬間的に閃光が光った——を考えよう．光は，空間のすべての向きに速さ $c$ で広がるので，3 次元空間では，閃光から時間 $t$ 後には半径 $ct$ の球面が広がる．この球面上の点の座標 $(x,y,z)$ は $x^2+y^2+z^2=c^2t^2$ を満たす（第54章 54.5 の光の波面の式）．時空図に描く出来事の集まりとして書き直すと，

である．$y,z$ を省略して $x$ だけの 1 次元にすると，$ct=\pm x$，すなわち $45^\circ$ の 2 本の直線（図56.3 の橙の破線）である．空間 2 次元 $(x,y)$ まで描くと，これは $ct=\pm\sqrt{x^2+y^2}$，つまり $ct$ 軸を軸とする円錐になる（図56.3 (b)）．そこでこの面を光円錐と呼ぶ．

質点が O を通り，速さ $u\lt c$ で運動するなら，時刻 $t$ の位置は $\sqrt{x^2+y^2+z^2}\lt ct$，すなわち $c^2t^2-x^2-y^2-z^2\gt0$ を満たす．したがって，O を通る質点の世界線は，つねに光円錐の内側にある．光より遅い運動では，O から光円錐の外側の出来事に行くことはできない．光円錐は，「O の出来事が影響を及ぼしうる範囲（未来光円錐の内側とその上）」と，「O が影響を受けうる範囲（過去光円錐の内側とその上）」を区切る境界になっている．これは 56.4 節で，不変間隔を使ってくわしく調べる．

56.3.3 S′ 系の座標軸は傾く

S 系に対して $x$ 方向に速さ $v$ で動く S′ 系の座標軸 $x'$，$ct'$ を，S 系の時空図に描き込もう．座標軸は，座標の一方が $0$ である点の集まりである．

結果を図にしたものが図56.4である．S′ 系の 2 本の軸は，どちらも $45^\circ$ の光の線に向かって同じ角度 $\theta$ だけ傾く．$\beta$ が大きいほど，はさみを閉じるように傾きが大きくなる．$v\to c$（$\beta\to1$）の極限では，両方の軸が光の線に重なってしまう．この図は，つぎのことを教えてくれる．

• S′ 系での出来事の座標 $(x',ct')$ は，その点から S′ の軸に平行に線を引き，軸との交点で読み取る（図56.4 の緑の点線．S 系の座標は水平・垂直の線で読むが，S′ 系の座標は軸に平行な線で「斜めに」読む）．たとえば $x'$ が一定の点は，$ct'$ 軸に平行な直線上にある．
• $ct'$ が一定の点，つまり S′ 系で同時な出来事は，$x'$ 軸に平行な直線（右上がりの直線）上にある．S 系で同時な出来事が水平な直線上にあることと比べると，「同時の直線」が座標系によって違うことがわかる（56.3.4）．

目盛りを正しく決めるには，座標系によらない量が必要である．前章で，ローレンツ変換が $c^2t^2-x^2$ を変えないこと（$c^2t'^2-x'^2=c^2t^2-x^2$）を見た（第54章 54.5）．S′ 系の $ct'$ 軸上で $ct'=1$ の点（$x'=0$）では $(ct')^2-x'^2=1$ なので，S 系でも $(ct)^2-x^2=1$ を満たす．つまり，$ct'=1$ の点は双曲線 $(ct)^2-x^2=1$ の上にある．同様に，$x'$ 軸上の $x'=1$ の点は双曲線 $x^2-(ct)^2=1$ の上にある．図56.4 の赤い双曲線がそれで，これらが両方の座標系で「同じ長さ・同じ時間」の目盛りを与える．

56.3.4 同時性の相対性を時空図で見る

時空図では，「同時」は「軸に平行な直線」として見える．S 系で同時な出来事は水平な直線（$ct$ が一定）の上に，S′ 系で同時な出来事は $x'$ 軸に平行な，右上がりの直線の上にある．同じ出来事の組が，S 系の水平な直線には乗るが，S′ 系の右上がりの直線には乗らない（あるいはその逆）のが，同時性の相対性である．前の 56.2.2 の列車の思考実験を，時空図で描いてみよう（図56.5）．

S 系を地上，S′ 系を列車とし，$v=0.6c$（$\gamma=1.25$）で，列車の静止長 $L=4$（任意の長さの単位）とする．S′ 系で，光源は $x'=0$，後端は $x'=-2$，前端は $x'=+2$ である．これらの世界線は，どれも $ct'$ 軸に平行な直線で，S 系の図では傾いた平行線になる．発光の出来事 E を原点にとり，光は $45^\circ$ の線で左右に進む．光が後端に届く出来事 R，前端に届く出来事 F は，S′ 系では $ct'=2$，つまり $x'$ 軸に平行な同じ直線の上にあって同時である．これを S 系に変換すると（逆変換 $x=\gamma(x'+\beta ct')$，$ct=\gamma(ct'+\beta x')$ を使う），

である（R は $x=-ct$，F は $x=ct$ で，どちらも光の線の上にある）．S 系では，R が $ct=1$，F が $ct=4$ で，水平な線が違う．F のほうがずっと後である．時刻の差は $\Delta(ct)=3$ で，式 \eqref{eq:56-train-dt} の $\gamma\beta L=1.25\times0.6\times4=3$ に一致している．

56.4 不変間隔と因果律

時空図の上で，座標系を変えると，座標軸の傾きも点の座標も変わった．しかし，座標系を変えても変わらない量があるはずである．たとえば高校で，平面上の 2 点間の距離 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ は，座標軸を回転させても変わらないことを学んだ．時空でも，ローレンツ変換で変わらない「距離」にあたる量がある．それが，この節で導入する不変間隔である．前章までに見た $c^2t^2-x^2$ の不変性（第54章 54.5）の，一般の場合への拡張である．

56.4.1 不変間隔の定義と不変性

2 つの出来事の時間差 $\Delta t$ と空間の差 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ から，次の量を作る．

符号は，第54章 54.5 の $(+,-,-,-)$ の約束（時間の項が正，空間の項が負）どおりである．

この事実は，二次元の平面の回転で $\Delta x^2+\Delta y^2$ が変わらないことの，時空版である．ただし，符号が違う（$+$ ではなく $-$）ので，変換する「回転」は円ではなく双曲線を保つ（56.7 節）．また，軸の向き（空間の回転）を変えても $\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$ が変わらないので，不変間隔は空間の回転に対しても不変である．そのため，2 つの出来事の空間的な位置の差が $x$ 軸方向でなくても，空間の軸を回転してそろえたうえでローレンツ変換を使える．

56.4.2 時間的・空間的・光的

不変間隔の符号は，座標系によらないので，2 つの出来事の間の関係を分類できる．出来事 O（原点）と別の出来事 P の間隔 $s^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$ で考えよう．

これは，光円錐（定義56.2）との位置関係でもある．O の出来事を原点にとると，時間的な出来事は光円錐の内側（未来側と過去側），空間的な出来事は光円錐の外側，光的な出来事は光円錐の上にある．不変間隔の符号は座標系によらないので，ある座標系で「時間的」な出来事の組は，すべての座標系で「時間的」であり，空間的・光的な組も同じである．座標系を変えても，2 つの出来事が光円錐の内側か外側かは変わらない．

56.4.3 光円錐と因果律

物理学の基本的な前提として，原因は結果より先に起こる（因果律，causality）．これがどの座標系でも成り立つかどうかが，相対性理論では問題になる．同時性が相対的で，前後関係さえ入れ替わりうるからである．

答えは，光円錐が与える．ある出来事 O が，別の出来事 P の原因となるためには，O から P へ，何らかの影響（力，信号，物質）が伝わらなければならない．物質や信号の伝わる速さは光速 $c$ 以下である（質量のある粒子の速さが $c$ を超えられないことは第57章で，電磁波の速さが $c$ であることは前章までに見た）．すると，P が O の影響を受けるためには，P は O の未来光円錐の内側か上に（$\Delta s^2\ge0$ で $\Delta t\gt0$）なければならない．

• P が時間的（または光的）で O より後にあるとき，P は O の影響を受けうる（O は P の原因になりうる）．前後関係は，時間的な場合は定理56.5 (1)，光的な場合を含めては定理56.3 により，すべての座標系で同じである．すなわち，因果律はすべての座標系で保たれる．O の未来光円錐の内側を絶対的未来，過去光円錐の内側を絶対的過去という．
• P が空間的な出来事なら，O と P を結ぶには光より速く信号を送らなければならず，因果関係はありえない．前後関係は座標系によって入れ替わるが，因果関係がないので，どちらが先かは物理的に意味がない．この領域を他所（elsewhere，空間的領域）という．

56.5 固有時

前章で，動いている時計は遅れることを学んだ．そこでは，一定の速さ $v$ で動く時計について，静止している観測者の時間 $\Delta t$ と，動く時計が刻む時間 $\Delta\tau$ の関係が $\Delta t=\gamma\Delta\tau$ であることを見た（第55章 55.2）．この節では，不変間隔（定義56.3）を使って，この関係を一般化し，速さが変化する運動にも使えるようにする．運動している物体に「乗って」測る時間——固有時——である．

56.5.1 固有時の定義

時空図で，1 つの質点の世界線を考える．世界線上の隣り合う 2 つの出来事——時刻 $t$ と $t+\dd t$ の出来事——の間の不変間隔は，S 系で見ると $\dd s^2=c^2\dd t^2-\dd x^2-\dd y^2-\dd z^2$ である．質点は $\dd t$ の間に $\dd\bm{r}=\bm{u}\dd t$ だけ動くので，速さを $u=\abs{\bm{u}}$ として

である．$u\lt c$ なので $\dd s^2\gt0$，つまり質点の世界線上の隣り合う出来事は時間的な間隔である．

いっぽう，この質点が（その瞬間に）静止して見える慣性系（瞬間の静止系）を $\mathrm{S}_0$ と書こう．$\mathrm{S}_0$ では質点は動かないので $\dd\bm{r}_0=\bm{0}$ であり，質点に取りつけた時計が進む時間を $\dd\tau$ と書くと，$\dd s^2=c^2\dd\tau^2$ である．不変間隔はどの座標系で計算しても等しい（定理56.4）から，

が成り立つ．

前章の定義55.2 の固有時（時計が静止している系で，同じ場所で起こる 2 つの出来事の間の時間）は，一定の速さで運動する場合の，この定義の特別な場合である．定義56.5 の形は，速さが変化する運動にも，そのまま使える．

質点が一定の速さ $v$ で動いていれば，$\gamma$ は一定なので $\dd t=\gamma\dd\tau$ を積分して $\Delta t=\gamma\Delta\tau$，すなわち前章の時間の遅れの式になる．これは，ローレンツ変換から直接確かめられる．S′ 系に静止している時計（S′ 系で $\Delta x'=0$）の 2 つの出来事の S′ 系での時間差を $\Delta\tau=\Delta t'$ とすると，S 系での時間差は，逆変換 $t=\gamma(t'+vx'/c^2)$ から $\Delta t=\gamma(\Delta t'+v\Delta x'/c^2)=\gamma\Delta t'=\gamma\Delta\tau$ である．

56.5.2 速さが変化する場合：固有時の積分

質点の速さ $u(t)$ が時間とともに変化するときは，世界線に沿って，各瞬間の微小な固有時 $\dd\tau=\dd t/\gamma(t)$ を足し合わせる（積分する）．2 つの出来事（時刻 $t_1$ と $t_2$）の間に質点の時計が刻む時間は，

である（大学数学 第5章 5.2）．これが，固有時の一般の定義式である．世界線に沿って，不変間隔 $\dd s$ を $c$ で割って足し合わせたもの，$\tau=\frac1c\int\dd s$ だから，S 系で計算しても，別の慣性系で計算しても同じ値になる．

56.5.3 まっすぐな世界線は固有時が最大

同じ 2 つの出来事 A，B を結ぶ質点の運動は，いろいろありうる．たとえば，A から B まで一定の速さで進むもの（世界線が直線），途中で寄り道したり加速したりするもの（折れ線や曲線）などである．式 \eqref{eq:56-tau-int} から，次のことがわかる．

これが，次節の双子のパラドックスの核心である．「まっすぐな道が最短」というユークリッド幾何の直観と逆で，時空では「まっすぐな世界線が固有時最大」であり，寄り道をした世界線では，時計は少ししか進まない．

56.6 双子のパラドックス

特殊相対性理論を学んだ人がかならず出会う疑問がある．動いている時計は遅れる．そこで，双子の兄弟のうち，弟が高速のロケットで遠くの星まで往復して帰ってきたとする．地球に残った兄から見れば，弟の時計は遅れているので，弟は兄より若い．ところが，弟から見れば，兄のほうが動いていた（地球が遠ざかり，また戻ってきた）ので，兄の時計が遅れている，兄のほうが若いはずだ——．どちらが若くなるのか？　これが双子のパラドックスである．この節では，56.5 節の固有時を使って，この問いに具体的な数値で答える．

56.6.1 往復旅行の固有時

次の設定で考える．地球（S 系）から見て，$4$ 光年（$1$ 光年 $=$ 光が $1$ 年で進む距離）はなれた星へ，兄弟の弟 B がロケットで一定の速さ $v=0.8c$ で出発し，星に着くとただちに折り返して，同じ速さで地球にもどる．兄 A は地球に残る．（折り返しを瞬間的とするのは理想化である．実際の加速に時間がかかっても，旅全体に比べて短ければ影響は小さい．）

地球の時計で，片道にかかる時間は $D/v=4\ \text{光年}/0.8c=5$ 年，往復で $T=10$ 年である．A の固有時は $10$ 年である（地球に静止しているから）．B の固有時は，$\gamma=1/\sqrt{1-0.8^2}=5/3$（$1/\gamma=0.6$）より，各区間で式 \eqref{eq:56-dtau} の $\dd\tau=\dd t/\gamma$ を積分して，

である．不変間隔で確かめよう．片道の 2 つの出来事（出発と折り返し）の座標の差は $c\Delta t=5$ 光年，$\Delta x=4$ 光年で，$\Delta s=\sqrt{5^2-4^2}=3$ 光年（$\Delta\tau=\Delta s/c=3$ 年）．往路と復路で計 $6$ 年である．こうして，再会したとき，A は $10$ 年，B は $6$ 年だけ年をとっている．弟のほうが 4 歳若い（図56.7）．

結果は定理56.6 と一致している．地球に残った A の世界線は直線（慣性運動）で，固有時は最大の $10$ 年．折り返しのある B の世界線は折れ線で，固有時は小さい．

56.6.2 なぜ非対称なのか

「兄から見れば弟の時計が遅れ，弟から見れば兄の時計が遅れる」という議論は，ある区間の間だけなら正しい．たとえば，往路の間，B の乗るロケットを静止させた慣性系 $\mathrm{S}_1$ から見ると，地球の時計は $1/\gamma=0.6$ 倍の速さで進む．片道 $3$ 年（B の時計）の間に，A の時計は $0.6\times3=1.8$ 年しか進まない．復路も同様に，B の時間で $3$ 年，A の時計は $1.8$ 年進む．合わせて $3.6$ 年で，実際の $10$ 年とはまったく合わない．足りない $10-3.6=6.4$ 年は，どこから来たのか．

答えは，B が折り返す瞬間に，B の「現在」（同時の出来事の集まり）が大きく変わることにある（56.2 節の同時性の相対性）．往路の慣性系 $\mathrm{S}_1$ では，B が折り返す出来事 T（S 系で $x=4$ 光年，$ct=5$ 年）と同時な，地球（$x=0$）の出来事を Q とおき，その時刻 $t_{\mathrm Q}$ を式 \eqref{eq:56-simul} で求めよう．T と Q が $\mathrm{S}_1$ で同時になる条件から，S 系での時刻は $t_{\mathrm Q}=t_{\mathrm T}-vx_{\mathrm T}/c^2=5-0.8\times4=1.8$ 年（$\Delta t=v\Delta x/c^2$ で，S 系での時間差 $3.2$ 年）．復路の慣性系 $\mathrm{S}_2$（速度 $-0.8c$）では符号が逆で，$t_{\mathrm Q}=5+0.8\times4=8.2$ 年である．折り返しの前後で，B の「現在」に対応する地球の時刻は $1.8$ 年から $8.2$ 年へ，一気に $6.4$ 年跳ぶ（図56.7 の赤の点線）．足りなかった $6.4$ 年は，この跳びの分である．

要するに，A は最初から最後まで 1 つの慣性系にいるが，B は往路の慣性系から復路の慣性系へ乗り換える．したがって A と B は対等ではない．「B から見れば A が遅れる」という議論は，B が 1 つの慣性系にいるときだけ使えるのである．

加速をまったく使わなくても，同じ結果になる．こう考えよう．地球のそばを通り過ぎる行きのロケット（速さ $0.8c$）の時計を，通り過ぎる瞬間に $0$ に合わせる．このロケットは，星のそばで，地球へ向かう帰りのロケット（速さ $-0.8c$）とすれ違う．すれ違うとき，行きのロケットは時計の読み $3$ 年（$=5/\gamma$）を伝え，帰りのロケットは自分の時計をその読みに合わせる．帰りのロケットが地球に着いたときの読みは $3+3=6$ 年で，そのとき地球の兄は $10$ 年年をとっている．2 台のロケットはどちらも 1 つの慣性系にいて，加速する人は 1 人もいない．それでも，時計の読みの合計は $6$ 年で，兄の $10$ 年とは合わない．違いを生むのは加速そのものではなく，「行きの慣性系から帰りの慣性系へ乗り換える」という世界線の折れ曲がりである．

56.7 ラピディティ — ローレンツ変換は双曲線回転

高校数学では，座標軸を角 $\theta$ だけ回転させる変換 $x'=x\cos\theta+y\sin\theta$，$y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$ は，$x^2+y^2$（原点からの距離の 2 乗）を変えないこと，2 回続けて回転すると角が足し算されること（$\theta_1+\theta_2$）を学んだ．ローレンツ変換も，「回転」の一種だと見なせる．ただし，回るのは円ではなく双曲線を保つ変換で，三角関数のかわりに双曲線関数（AD 02 第2章で学んだ $\cosh,\sinh,\tanh$）が現れる．この見方を与えるのがラピディティ（rapidity）である．速度は足し算できなかったが（56.1 節），ラピディティを使えば足し算できる．

56.7.1 ラピディティの定義

速さの比 $\beta=v/c$ は $-1\lt\beta\lt1$ の範囲にしかない．この有限の範囲を，$-\infty$ から $+\infty$ までの数に引き伸ばす関数が，双曲線正接 $\tanh$（大学数学 第2章 2.5）の逆関数である．

右の等号は，$\tanh\phi=\beta$ を $\phi$ について解いたものである．$\tanh\phi=(e^{\phi}-e^{-\phi})/(e^{\phi}+e^{-\phi})$ を代入して分母をはらい，$e^{\phi}$ の項と $e^{-\phi}$ の項を左右に集める：

（最後は両辺に $e^{\phi}$ をかけて，$1-\beta$ で割った．）両辺の自然対数をとると $\phi=\frac12\ln\frac{1+\beta}{1-\beta}$ となる．これが逆双曲線関数 $\tanh^{-1}\beta$ である（大学数学 第2章 2.6）．$\beta\ll1$ のとき $\tanh\phi\approx\phi$ なので，$\phi\approx\beta$ である．すなわち，遅い運動では，ラピディティは「光速を 1 とした速さ」にほぼ等しい．

図56.8 は $\phi=2.6$ までしか描いていないが，$\beta$ は $\phi$ が $2$ を超えたあたりから $1$ にほとんど張りついてしまう．$\beta=0.96$（$\phi=1.95$）ですでに $1$ に近く，$\beta=0.999$（$\phi=3.8$）は図の外まで行かないと違いが見えない．$\beta$ の値はどちらも $1$ に近いが，ラピディティで測ると $\phi$ は大きく違う．「光速にどれだけ近いか」を測る物差しとしては，$\beta$ よりラピディティのほうが細かい違いを表している．

56.7.2 ローレンツ変換は双曲線回転

公式56.2 を使って，ローレンツ変換 $ct'=\gamma(ct-\beta x)$，$x'=\gamma(x-\beta ct)$ を書き直す．$\gamma=\cosh\phi$，$\gamma\beta=\sinh\phi$ を代入すると，

となる（第54章 54.7 の行列 $\Lambda(\beta)$）．この行列を $\Lambda(\phi)$ と書こう．このように，座標系を一定の速度で動かす（速度の向きへ「乗り換える」）ローレンツ変換を，空間の回転と区別してブースト（boost）という．これを，高校で学んだ回転の式と並べる．

形がそっくりである．違いは，$\cos,\sin$ が $\cosh,\sinh$ になり，符号がいくつか変わっている点である．そして，保存される量が違う．回転は $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ により $x^2+y^2$ を保つが，ローレンツ変換は $\cosh^2\phi-\sinh^2\phi=1$ により $(ct)^2-x^2$ を保つ．実際，

（交差項 $\mp2\sinh\phi\cosh\phi\,ct\,x$ が打ち消し合う）である．これは定理56.4 の別の表現である．円 $x^2+y^2=1$ が回転で不変な曲線であるように，双曲線 $x^2-(ct)^2=1$ が，ローレンツ変換で不変な曲線である（図56.4 の目盛りを与える曲線）．

表にまとめると次のようになる（図56.9）．

56.7.3 ラピディティの加法性

平面の回転を，角 $\theta_1$ で回したあと，さらに $\theta_2$ で回すと，合わせて角 $\theta_1+\theta_2$ の回転になる．ローレンツ変換でも，同じことが成り立つ．

この結果は，56.1 節で速度の変換則から直接導いた合成則 \eqref{eq:56-beta-add} と一致している．同じ結果を 2 通りの方法（速度の変換則から，およびラピディティの足し算から）で得たことになる．ラピディティの加法性は，速度がガリレイ変換のようには足し算できないが，そのかわりラピディティなら足し算できるという，ローレンツ変換の性質を示している．

56.8 まとめと演習

56.8.1 まとめ

• 座標の差の変換（56.1 節）：ローレンツ変換は 1 次式なので，2 つの出来事の座標の差 $\Delta t,\Delta x$ も同じ形で変換される：$\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t)$，$\Delta t'=\gamma(\Delta t-v\Delta x/c^2)$，$\Delta y'=\Delta y$，$\Delta z'=\Delta z$．
• 速度の合成則（56.1 節．導出は前章 55.6 節）：$u'_x=\dfrac{u_x-v}{1-vu_x/c^2}$，$u'_y=\dfrac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-vu_x/c^2}$，$u'_z$ も同様．$u_x=c$ なら $u'_x=c$（光速度不変），$v,u\ll c$ ならガリレイ的な足し算に戻る．どの速さも $c$ を超えないこと（前章の定理55.5）．同じ向きの合成は $\beta=(\beta_1+\beta_2)/(1+\beta_1\beta_2)$．
• 同時性の相対性（56.2 節）：$\Delta t=0$ でも $\Delta x\neq0$ なら $\Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^2\neq0$．列車の思考実験では，光が両端に届く出来事が，列車の中では同時，地上では同時でなく（後端が先，時間差 $\gamma Lv/c^2$）．$\abs{\Delta x}\le c\Delta t$ の 2 つの出来事の前後は，すべての座標系で同じ．
• 時空図（56.3 節）：横軸 $x$，縦軸 $ct$．世界線は質点の軌跡で，静止は垂直，一定の速さ $v$ は $ct$ 軸から $\tan\theta=v/c$ の傾き，光は $45^\circ$．光円錐 $c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0$．S′ 系の軸は $ct'$ 軸が $x=\beta ct$，$x'$ 軸が $ct=\beta x$ で，光の線に向かって同じ角度 $\theta$ だけ傾く．目盛りは双曲線 $(ct)^2-x^2=\pm1$ で決まる．
• 不変間隔（56.4 節）：$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$ はローレンツ変換で不変．$\gt0$ なら時間的，$\lt0$ なら空間的，$=0$ なら光的．時間的な 2 つの出来事は同じ場所にできる座標系があり，前後は不変．空間的な 2 つは同時になる座標系があり，前後は入れ替わる．因果関係がありうるのは時間的・光的なときだけで，因果律は守られる．
• 固有時（56.5 節）：$\dd\tau=\dd s/c=\dd t/\gamma=\dd t\sqrt{1-u^2/c^2}$．速さが変化する運動では $\tau=\int\dd t/\gamma(t)$．固有時は座標系によらない．まっすぐな世界線（慣性運動）の固有時が最大．
• 双子のパラドックス（56.6 節）：弟が往復すると，再会したとき弟のほうが若い（$0.8c$，$4$ 光年なら兄 $10$ 年，弟 $6$ 年）．非対称の原因は，弟が慣性系を乗り換えること．折り返しの前後で弟の同時刻線が跳ぶことで，数値も矛盾なく合う．
• ラピディティ（56.7 節）：$\tanh\phi=\beta$，$\gamma=\cosh\phi$，$\gamma\beta=\sinh\phi$．ローレンツ変換は $\begin{pmatrix}\cosh\phi&-\sinh\phi\\-\sinh\phi&\cosh\phi\end{pmatrix}$ という双曲線回転で，$(ct)^2-x^2$ を保つ．同じ向きのブーストを重ねるとラピディティが足し算される：$\phi=\phi_1+\phi_2$．

56.8.2 演習問題

56.8.3 参考文献