第40章電磁誘導とインダクタンス

例題40.1　磁石を導体パイプの中に落とす

アルミニウムのように電気を通すが磁石にはくっつかない金属でできた，鉛直に立てたパイプの中に，小さな棒磁石（質量 $m$）を静かに落とす．この磁石は，同じ形・同じ質量の，磁石でない金属の棒をパイプの中で自由落下させた場合と比べて，落下にかかる時間が長くなる．(1) この理由をレンツの法則から定性的に説明せよ．(2) 磁石の速さ $v$ に対して制動力が $F=\gamma v$（$\gamma$ は正の定数）と書けるとして，磁石の速さの時間変化 $v(t)$ と終端速度を求めよ．

解答　(1) 磁石がパイプの中を落下すると，磁石の近くのパイプの壁を貫く磁束が時々刻々変化する（磁石が近づいてくる部分では増加，遠ざかっていく部分では減少）．パイプは導体なので，この磁束の変化を打ち消す向きに，パイプの壁の中に渦電流が誘導される（本節の応用「渦電流制動」）．レンツの法則により，この渦電流のつくる磁場は，磁束を変化させている原因——磁石の落下運動——を妨げる向きにはたらく．すなわち，渦電流は磁石に上向きの力 $F$ を及ぼし，磁石を減速させる．（作用・反作用の法則により，パイプの壁は磁石から下向きの力を受ける．）磁石でない金属の棒ではパイプの壁を貫く磁束が変化しないので渦電流が生じず，自由落下する．したがって磁石のほうが遅く落下する．

(2) 磁石の速さを $v$ とすると，パイプの壁を貫く磁束の変化率 $\dd\Phi/\dd t$ は $v$ に比例し，ファラデーの法則（次節の法則40.2）から誘導起電力も $v$ に比例する．パイプの抵抗は一定なので，オームの法則により渦電流も $v$ に比例し，渦電流が磁石から受ける（磁石が渦電流から受ける）磁気力の大きさも $v$ に比例する．これが $F=\gamma v$ である．下向きを正として，磁石の運動方程式は

$$ m\diff{v}{t}=mg-\gamma v $$

これは，速度に比例する空気抵抗がある落下（第5章5.2節）と同じ形の1階線形微分方程式である．右辺が0になる一定の速さ $v_{\mathrm t}=mg/\gamma$ を選んで $w=v-v_{\mathrm t}$ とおくと，$m\,\dd w/\dd t=mg-\gamma(w+v_{\mathrm t})=-\gamma w$ となり，$w=w(0)\exp(-\gamma t/m)$ と解ける．初期条件 $v(0)=0$ より $w(0)=-v_{\mathrm t}$ だから，

$$ v(t)=\frac{mg}{\gamma}\left[1-\exp\left(-\frac{\gamma t}{m}\right)\right] $$

となる．$t\to\infty$ で $v\to v_{\mathrm t}=mg/\gamma$（終端速度）であり，重力と制動力が釣り合って一定の速さで落ちる．また，運動方程式より $\dd v/\dd t=g-\gamma v/m\lt g$ なので，どの時刻でも $v(t)\lt gt$ となり，自由落下より落下に時間がかかることが式でも確かめられる．この時定数 $m/\gamma$ をもつ指数関数の形は，40.8節のRL回路の電流の立ち上がりとまったく同じ形である．

例題40.2　磁束変化から誘導起電力を計算する

巻数 $N=200$ 回のコイルを貫く磁束が，$\Delta t=0.050\ \mathrm{s}$ の間に $\Phi_1=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{Wb}$ から $\Phi_2=6.0\times10^{-4}\ \mathrm{Wb}$ まで一定の割合で増加した．この間にコイルに生じる誘導起電力の大きさを求めよ．

解答　磁束が一定の割合で変化しているので，$\dd\Phi/\dd t$ は定数であり，平均変化率で置き換えられる：

$$ \diff{\Phi}{t}=\frac{\Phi_2-\Phi_1}{\Delta t}=\frac{6.0\times10^{-4}-2.0\times10^{-4}}{0.050}\ \mathrm{Wb/s}=\frac{4.0\times10^{-4}}{0.050}\ \mathrm{Wb/s}=8.0\times10^{-3}\ \mathrm{Wb/s} $$

式\eqref{eq:40-faraday-Nturn}（大きさだけを求めるので符号は省く）より，

$$ \abs{V}=N\abs{\diff{\Phi}{t}}=200\times8.0\times10^{-3}\ \mathrm{Wb/s}=1.6\ \mathrm{V} $$

（$1\ \mathrm{Wb/s}=1\ \mathrm{V}$ であることは，式\eqref{eq:40-faraday-1turn}自体が定義する単位の関係である）．

例題40.3　一様に変化する磁場がつくる誘導電場

紙面に垂直な軸を中心とする半径 $a$ の円柱状の領域の内部に，紙面の手前向きの一様な磁場 $\bm B(t)$ があり（図40.4），領域の外には磁場がない．$B$ が一定の割合 $\dd B/\dd t\gt0$ で増加するとき，中心から距離 $r$ の点における誘導電場の大きさ $E$ を，(1) $r\lt a$，(2) $r\gt a$ の場合について求めよ．また (3) $a=0.10\ \mathrm m$，$\dd B/\dd t=0.50\ \mathrm{T/s}$ として，$r=0.050\ \mathrm m$ と $r=0.40\ \mathrm m$ での $E$ の大きさを求めよ．

解答　対称性から，誘導電場は中心を軸とする円周の接線方向を向き，その大きさ $E_\phi$ は中心からの距離 $r$ だけで決まると考えられる．そこで，中心を中心とする半径 $r$ の円周 $C$ に対してファラデーの法則（式\eqref{eq:40-faraday-1turn}）を適用する．$C$ の正の向きを反時計回り（面 $S$ の法線は手前向き）とする．左辺は，円周に沿って $E_\phi$ が一定なので，

$$ V=\oint_C\bm E\cdot\dd\bm l=E_\phi\cdot2\pi r $$

(1) $r\lt a$ のとき，円周が囲む円板全体を磁場が貫くので $\Phi=B\cdot\pi r^2$ であり，

$$ 2\pi rE_\phi=-\diff{}{t}\left(\pi r^2B\right)=-\pi r^2\diff{B}{t} \qquad\therefore\ E_\phi=-\frac r2\diff{B}{t} $$

負号は，$\dd B/\dd t\gt0$ のとき $E_\phi\lt0$，すなわち電場が時計回りを向くことを表す（レンツの法則：手前向きの磁束の増加を打ち消すには，向こう向きの磁場をつくる時計回りの電流が必要）．大きさは $E=\dfrac r2\abs{\dd B/\dd t}$ で，中心からの距離に比例する．

(2) $r\gt a$ のとき，磁場が貫くのは半径 $a$ の円板だけなので $\Phi=B\cdot\pi a^2$ であり，

$$ 2\pi rE_\phi=-\pi a^2\diff{B}{t} \qquad\therefore\ E_\phi=-\frac{a^2}{2r}\diff{B}{t} $$

大きさは $E=\dfrac{a^2}{2r}\abs{\dd B/\dd t}$ で，磁場のない領域にも，距離に反比例する誘導電場がある．（円周 $r=a$ で (1)(2) の値は一致する．）

(3) $r=0.050\ \mathrm m$（$\lt a$）では，

$$ E=\frac{0.050}{2}\times0.50\ \mathrm{V/m}=1.25\times10^{-2}\ \mathrm{V/m} $$

$r=0.40\ \mathrm m$（$\gt a$）では，

$$ E=\frac{0.10^2}{2\times0.40}\times0.50\ \mathrm{V/m}=6.25\times10^{-3}\ \mathrm{V/m} $$

単位は $\mathrm{T/s}\times\mathrm m=\mathrm{V/m}$（$1\ \mathrm T=1\ \mathrm{V\,s/m^2}$ より）で電場の単位に一致する．なお，(1)(2) の $E_\phi$ を微分形 $\operatorname{rot}\bm E=-\partial\bm B/\partial t$ に代入しても成り立つことは，円柱座標での回転の公式 $(\operatorname{rot}\bm E)_z=\dfrac1r\dfrac{\partial(rE_\phi)}{\partial r}$ で確かめられる（内側では $rE_\phi=-r^2\dot B/2$ で $(\operatorname{rot}\bm E)_z=-\dot B$，外側では $rE_\phi$ が定数で $(\operatorname{rot}\bm E)_z=0$）．

導体の輪をこの領域のまわりに置けば，この電場が誘導電流を流す．この電場は，IH調理器の鍋に渦電流を流し，また電子を円軌道に沿って加速するベータトロンという装置のはたらきの根拠にもなっている．

例題40.4　すべり棒に生じる起電力の数値計算

磁束密度 $B=0.40\ \mathrm T$ の一様な磁場に垂直な2本のレール（間隔 $\ell=0.25\ \mathrm m$）の上を，導体棒が一定の速さ $v=3.0\ \mathrm{m/s}$ で滑っている．この導体棒に生じる誘導起電力の大きさを求めよ．

解答　式\eqref{eq:40-motional-emf-magnitude}に数値を代入するだけでよい：

$$ \abs{V}=vB\ell=3.0\ \mathrm{m/s}\times0.40\ \mathrm{T}\times0.25\ \mathrm m=0.30\ \mathrm V $$

例題40.5　すべり棒にはたらく力と外力の仕事率

例題40.4のレール（$B=0.40\ \mathrm T$，$\ell=0.25\ \mathrm m$）の左端に抵抗 $R=0.10\ \Omega$ をつなぎ（棒とレールの電気抵抗は無視できるとする），導体棒を一定の速さ $v=3.0\ \mathrm{m/s}$ で滑らせ続ける．(1) 回路を流れる電流 $I$ を求めよ．(2) 棒が磁場から受ける力の大きさ $F$ と向きを求めよ．(3) 棒を一定の速さで動かし続けるために外力がしなければならない仕事率 $P$ を求め，抵抗で発生するジュール熱の仕事率 $I^2R$ と比較せよ．

解答　(1) 起電力は例題40.4より $V=vB\ell=0.30\ \mathrm V$ なので，オームの法則より

$$ I=\frac VR=\frac{0.30}{0.10}\ \mathrm A=3.0\ \mathrm A $$

一般に $I=vB\ell/R$ である．

(2) 電流 $I$ が流れる長さ $\ell$ の棒は，磁場から第39章39.1節のアンペール力を受け，その大きさは，$\bm I\perp\bm B$ より

$$ F=IB\ell=3.0\times0.40\times0.25\ \mathrm N=0.30\ \mathrm N $$

一般には $F=IB\ell=B^2\ell^2v/R$ で，速さ $v$ に比例する．向きは，棒の中の電流が $Q\to P$（下向き），$\bm B$ が手前向きなので，$\bm F=I\bm\ell\times\bm B$ は左向き，すなわち棒の運動と逆向き（運動を妨げる向き）である．これはレンツの法則の「変化を打ち消す向き」と一致する．

(3) 棒を一定の速さで動かすには，外力が $F$ と同じ大きさで右向きに棒を押す必要があるので，

$$ P=Fv=0.30\times3.0\ \mathrm W=0.90\ \mathrm W $$

一方，抵抗で発生するジュール熱の仕事率は

$$ I^2R=3.0^2\times0.10\ \mathrm W=0.90\ \mathrm W $$

となり，両者は一致する．外力がした仕事は，すべて抵抗のジュール熱に変わっている（一般に $Fv=B^2\ell^2v^2/R=I^2R$）．すなわちエネルギー保存則が成り立っており，これもレンツの法則の向きが逆ではありえない理由の一つである．

例題40.6　自由電子にはたらく力の釣り合い

磁束密度 $B=0.40\ \mathrm T$ の磁場を，速さ $v=3.0\ \mathrm{m/s}$ で横切る導体棒（例題40.4と同じ設定）の中の自由電子1個にはたらくローレンツ力の大きさ $f_B$ を求めよ．また，定常状態で棒の内部にできる電場の大きさ $E$ と，電子にはたらくクーロン力の大きさ $f_E$ を求め，$f_B=f_E$ となっていることを確かめよ．（電気素量 $e=1.602\times10^{-19}\ \mathrm C$．）

解答　ローレンツ力の大きさは，$\bm v\perp\bm B$ より

$$ f_B=evB=1.602\times10^{-19}\times3.0\times0.40=1.922\times10^{-19}\ \mathrm N\approx1.9\times10^{-19}\ \mathrm N $$

定常状態の電場の大きさは，導出の結果 $E=vB$ より

$$ E=vB=3.0\times0.40=1.2\ \mathrm{V/m} $$

このときのクーロン力の大きさは，

$$ f_E=eE=1.602\times10^{-19}\times1.2=1.922\times10^{-19}\ \mathrm N\approx1.9\times10^{-19}\ \mathrm N $$

となり，$f_B=f_E$（有効数字の範囲で一致）である．力の釣り合いの式 $f_E=f_B$（すなわち $eE=evB$）は，両辺の $e$ が約分できて $E=vB$ となることからも分かるとおり，電荷の大きさ $e$ の値によらずに成り立つ関係である．

例題40.7　ソレノイドの自己インダクタンスと自己誘導起電力

巻数 $N=500$ 回，長さ $\ell=0.20\ \mathrm m$，断面積 $S=3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$（半径約1cmの円に相当）のソレノイドがある．(1) 自己インダクタンス $L$ を求めよ．(2) このソレノイドに流れる電流が $0.10\ \mathrm s$ の間に $0$ から $2.0\ \mathrm A$ まで一定の割合で増加したとき，生じる自己誘導起電力の大きさを求めよ．（$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ を使う．CODATA 2018 の値 $1.256\,637\,062\,12\times10^{-6}\ \mathrm{N/A^2}$ との相対的な差は $10^{-9}$ 程度で，有効数字の範囲では影響しない．）

解答　(1) 式\eqref{eq:40-solenoid-inductance}に数値を代入すると，

$$ L=\mu_0\frac{N^2S}{\ell}=4\pi\times10^{-7}\times\frac{500^2\times3.0\times10^{-4}}{0.20}=4\pi\times10^{-7}\times3.75\times10^{2}\approx4.71\times10^{-4}\ \mathrm H\approx0.47\ \mathrm{mH} $$

(2) 電流の変化率は $\dd I/\dd t\approx\Delta I/\Delta t=(2.0-0)/0.10=20\ \mathrm{A/s}$ で一定なので，式\eqref{eq:40-self-induced-emf}より，

$$ \abs{V_L}=L\abs{\diff{I}{t}}\approx4.71\times10^{-4}\ \mathrm H\times20\ \mathrm{A/s}\approx9.4\times10^{-3}\ \mathrm V\approx9.4\ \mathrm{mV} $$

例題40.8　相互インダクタンスと誘導起電力

長さ $\ell=0.20\ \mathrm m$，断面積 $S=3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$ のソレノイドに，一次コイル $N_1=500$ 回，その上に二次コイル $N_2=100$ 回を重ねて巻いた（例題40.7と同じ一次コイル）．一次コイルの電流が $0.10\ \mathrm s$ の間に $0$ から $2.0\ \mathrm A$ まで一定の割合で変化したとき，(1) 相互インダクタンス $M$ を求めよ．(2) 二次コイルに生じる誘導起電力の大きさを求めよ．

解答　(1) 式\eqref{eq:40-mutual-solenoid}より，

$$ M=\mu_0\frac{N_1N_2S}{\ell}=4\pi\times10^{-7}\times\frac{500\times100\times3.0\times10^{-4}}{0.20}\approx9.42\times10^{-5}\ \mathrm H $$

（例題40.7の $L_1\approx4.71\times10^{-4}\ \mathrm H$ と，$L_2=\mu_0N_2^2S/\ell=L_1\times(100/500)^2\approx1.885\times10^{-5}\ \mathrm H$ を使うと，$\sqrt{L_1L_2}\approx9.42\times10^{-5}\ \mathrm H$ となり，上のイメージの箱で述べた $M=\sqrt{L_1L_2}$ の関係が確かめられる．）

(2) 式\eqref{eq:40-mutual-induced-emf}より，$\dd I_1/\dd t\approx20\ \mathrm{A/s}$（例題40.7と同じ）だから，

$$ \abs{V_2}=M\abs{\diff{I_1}{t}}\approx9.42\times10^{-5}\times20\approx1.9\times10^{-3}\ \mathrm V\approx1.9\ \mathrm{mV} $$

例題40.9　コイルの磁場エネルギーとエネルギー密度の一致の確認

例題40.7のソレノイド（$N=500$，$\ell=0.20\ \mathrm m$，$S=3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$，$L\approx4.71\times10^{-4}\ \mathrm H$）に，定常電流 $I=2.0\ \mathrm A$ が流れているとする．(1) 式\eqref{eq:40-inductor-energy}を使って，コイルに蓄えられているエネルギー $U_L$ を求めよ．(2) 内部の磁束密度 $B=\mu_0NI/\ell$ と式\eqref{eq:40-magnetic-energy-density}を使ってエネルギー密度 $u_B$ を求め，体積 $S\ell$ を掛けたものが(1)の結果と一致することを確かめよ．

解答　(1) 式\eqref{eq:40-inductor-energy}に代入すると，

$$ U_L=\frac12LI^2=\frac12\times4.71\times10^{-4}\times2.0^2\approx9.42\times10^{-4}\ \mathrm J $$

(2) 内部の磁束密度は，

$$ B=\mu_0\frac{N}{\ell}I=4\pi\times10^{-7}\times\frac{500}{0.20}\times2.0\approx6.283\times10^{-3}\ \mathrm T $$

エネルギー密度は式\eqref{eq:40-magnetic-energy-density}より，

$$ u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{(6.283\times10^{-3})^2}{2\times4\pi\times10^{-7}}\approx1.571\times10^{1}\ \mathrm{J/m^3} $$

（単位は $\mathrm{T^2}/(\mathrm{N/A^2})=\dfrac{\mathrm{N^2}/(\mathrm{A^2m^2})}{\mathrm{N/A^2}}=\mathrm{N/m^2}=\mathrm{J/m^3}$ で，エネルギー密度の単位に一致する．）体積は $S\ell=3.0\times10^{-4}\times0.20=6.0\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}$ なので，

$$ u_B\times S\ell\approx1.571\times10^{1}\times6.0\times10^{-5}\ \mathrm J\approx9.42\times10^{-4}\ \mathrm J $$

となり，(1)の結果と一致する．

例題40.10　RL回路の時定数と電流

抵抗 $R=50\ \Omega$，自己インダクタンス $L=0.20\ \mathrm H$，起電力 $V_0=10\ \mathrm V$ のRL回路がある．(1) 時定数 $\tau$ を求めよ．(2) スイッチを閉じてから $t=\tau$ 経過した瞬間の電流を求めよ．(3) 最終的な定常電流 $I_\infty$ の99%に達するまでにかかる時間を求めよ．

解答　(1) 定義40.4より，

$$ \tau=\frac{L}{R}=\frac{0.20}{50}=4.0\times10^{-3}\ \mathrm s=4.0\ \mathrm{ms} $$

(2) 定常電流は $I_\infty=V_0/R=10/50=0.20\ \mathrm A$ なので，式\eqref{eq:40-rl-charging}より，

$$ I(\tau)=I_\infty(1-\exp(-1))\approx0.20\times0.6321\approx0.126\ \mathrm A $$

(3) $I(t)=I_\infty(1-\exp(-t/\tau))=0.99\,I_\infty$ となる時刻を求めればよい．$1-\exp(-t/\tau)=0.99$ より $\exp(-t/\tau)=0.01$，両辺の自然対数をとると $-t/\tau=\ln0.01$，したがって

$$ t=-\tau\ln0.01=\tau\ln100\approx4.0\times10^{-3}\times4.605\approx1.84\times10^{-2}\ \mathrm s\approx18\ \mathrm{ms} $$

（時定数のおよそ4.6倍の時間で99%に達することが分かる）．

例題40.11　LC回路の振動数と電流の振幅

電気容量 $C=1.0\ \mu\mathrm F=1.0\times10^{-6}\ \mathrm F$，自己インダクタンス $L=0.10\ \mathrm H$ のLC回路がある．はじめにコンデンサーに $Q_0=5.0\times10^{-5}\ \mathrm C$ の電荷を与えた．(1) 角振動数 $\omega$ と周期 $T$ を求めよ．(2) 電流の振幅（最大値）を求めよ．

解答　(1) 公式40.5より，

$$ \omega=\frac1{\sqrt{LC}}=\frac1{\sqrt{0.10\times1.0\times10^{-6}}}=\frac1{\sqrt{1.0\times10^{-7}}}\approx3.162\times10^{3}\ \mathrm{rad/s} $$ $$ T=\frac{2\pi}{\omega}\approx\frac{6.283}{3.162\times10^3}\approx1.99\times10^{-3}\ \mathrm s\approx2.0\ \mathrm{ms} $$

(2) 式\eqref{eq:40-lc-current}より，電流の振幅は，

$$ I_{\max}=Q_0\omega=5.0\times10^{-5}\times3.162\times10^3\approx0.158\ \mathrm A\approx0.16\ \mathrm A $$

例題40.12　発電機の起電力の振幅

巻数 $N=100$ 回，面積 $A=0.020\ \mathrm{m^2}$ のコイルを，磁束密度 $B=0.50\ \mathrm T$ の一様な磁場の中で，$f=50\ \mathrm{Hz}$（東日本の商用交流の周波数）で回転させる．起電力の振幅 $V_0$ を求めよ．

解答　角速度は $\omega=2\pi f=2\pi\times50\approx314.2\ \mathrm{rad/s}$ である．公式40.6より，

$$ V_0=NBA\omega=100\times0.50\times0.020\times314.2\approx314\ \mathrm V $$

例題40.13　交流の実効値と平均消費電力

日本の家庭用コンセントの電圧は，実効値が $V_{\mathrm{eff}}=100\ \mathrm V$ である．(1) この電圧の振幅（最大値）$V_0$ を求めよ．(2) 抵抗 $R=20\ \Omega$ の電熱器をつないだとき，平均消費電力を求めよ．また，電圧が最大値に達した瞬間の消費電力はいくらか．

解答　(1) 公式40.7より，

$$ V_0=\sqrt2\,V_{\mathrm{eff}}=\sqrt2\times100\ \mathrm V\approx141\ \mathrm V $$

(2) 平均消費電力は

$$ \langle P\rangle=\frac{V_{\mathrm{eff}}^2}{R}=\frac{100^2}{20}\ \mathrm W=500\ \mathrm W $$

電圧が最大値 $V_0$ に達した瞬間の消費電力は，

$$ \frac{V_0^2}{R}=\frac{(100\sqrt2)^2}{20}\ \mathrm W=\frac{20000}{20}\ \mathrm W=1000\ \mathrm W $$

で，平均値のちょうど2倍である（$\sin^2$ の最大値は $1$，平均値は $1/2$）．

例題40.14　変圧器による電圧・電流の変換

一次コイルの巻数 $N_1=2000$ 回，二次コイルの巻数 $N_2=100$ 回の理想的な変圧器の一次側に，$V_1=6600\ \mathrm V$ の交流電圧を加えたところ，二次側に $I_2=33\ \mathrm A$ の電流が流れた．(1) 二次側の電圧 $V_2$ を求めよ．(2) 一次側の電流 $I_1$ を求めよ．

解答　(1) 式\eqref{eq:40-transformer-voltage}より，

$$ V_2=V_1\times\frac{N_2}{N_1}=6600\times\frac{100}{2000}=330\ \mathrm V $$

(2) 式\eqref{eq:40-transformer-current}より，

$$ I_1=I_2\times\frac{N_2}{N_1}=33\times\frac{100}{2000}=1.65\ \mathrm A $$

（確認：一次側の電力 $V_1I_1=6600\times1.65=10\,890\ \mathrm W$，二次側の電力 $V_2I_2=330\times33=10\,890\ \mathrm W$ で一致し，理想的な変圧器の仮定（電力の保存）と整合している）．

演習40.1　磁石をコイルに通り抜けさせる

N極を先頭にした棒磁石を，コイルの軸に沿って，左から右へ一定の速さで動かし，コイルの中を通り抜けさせる．磁石がコイルに近づいてくる間と，通り抜けて遠ざかっていく間とで，コイルを流れる誘導電流の向きは，磁石の側（コイルの左側）から見てそれぞれ時計回りか反時計回りか．また，磁石がコイルの中央にあるとき，誘導電流はどうなっているか．レンツの法則（表40.1）を使って説明せよ．

ヒント：コイルを貫く磁束の向きと，その大きさが磁石の位置とともにどう変わるか（増加→最大→減少）を順に考える．磁石の外側の磁力線は，N極から出てS極に入る．

→ 解答

演習40.2　$\rot\bm E=-\partial\bm B/\partial t$ と $\operatorname{div}\bm D=\rho$ の比較

ファラデーの法則の微分形 $\rot\bm E=-\pdiff{\bm B}{t}$（式\eqref{eq:40-faraday-differential}）と，第35章で学んだガウスの法則の微分形 $\operatorname{div}\bm D=\rho$（真空中では $\bm D=\varepsilon_0\bm E$ なので，$\operatorname{div}\bm E=\rho/\varepsilon_0$ と同じ）を比べ，(1) 左辺の演算子（発散と回転）の違いが，それぞれの法則の物理的な意味にどう対応しているか，(2) 右辺の「源」の違い（電荷密度 $\rho$ に対応するものが，ファラデーの法則には無いこと）が何を意味するか，を100〜200字程度で論じよ．

ヒント：40.2節の「イメージ」の内容と，大学数学 第19章19.2節の発散の物理的な意味（湧き出し）を参考にせよ．

→ 解答

演習40.3　動く導体棒の起電力の次元解析

動く導体棒の起電力の公式 $V=B\ell v$（式\eqref{eq:40-motional-emf-magnitude}）について，右辺の単位が電圧の単位 $\mathrm V$ に一致することを，ローレンツ力の式 $F=qvB$ と，電圧の単位 $\mathrm V=\mathrm W/\mathrm A$ を出発点にして，SI基本単位（$\mathrm{kg,m,s,A}$）まで分解して確かめよ．

ヒント：$F=qvB$ から磁束密度の単位 $1\ \mathrm T=1\ \mathrm N/(\mathrm A\,\mathrm m)$ を出し（$q=It$ に注意），$1\ \mathrm N=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$，$1\ \mathrm W=1\ \mathrm{J/s}=1\ \mathrm{kg\,m^2/s^3}$ を使う．

→ 解答

演習40.4　RL回路の時定数とエネルギー

抵抗 $R=100\ \Omega$，自己インダクタンス $L=0.50\ \mathrm H$，起電力 $V_0=20\ \mathrm V$ のRL回路がある．スイッチを閉じてから十分に時間が経ち，定常状態に達したとき，(1) コイルに流れている電流 $I_\infty$ を求めよ．(2) コイルに蓄えられているエネルギー $U_L$ を求めよ．(3) この状態から電池を切り離してコイルと抵抗だけの閉回路にしたとき，電流が定常値の半分になるまでにかかる時間を求めよ．

ヒント：(3)は式\eqref{eq:40-rl-decay}を使い，$\exp(-t/\tau)=1/2$ を $t$ について解け（$\ln2\approx0.693$）．

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演習40.5　LC回路の周期を変える

あるLC回路の周期は $T=1.0\times10^{-3}\ \mathrm s$ であった．自己インダクタンス $L$ を変えずに，電気容量を $C$ から $4C$（4倍）に変えたとき，新しい周期 $T'$ は元の周期の何倍になるか．また，コンデンサーの初期電荷 $Q_0$ を変えなかったとすると，電流の振幅は元の何倍になるか．

ヒント：公式40.5の $\omega=1/\sqrt{LC}$（したがって $T=2\pi\sqrt{LC}$）と，電流の振幅 $I_{\max}=Q_0\omega$ を使う．

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演習40.6　レンツの法則とエネルギー保存則

もしレンツの法則の向きが逆——コイルを貫く磁束の変化を助長する向きに誘導電流が流れる——と仮定すると，エネルギー保存則にどのような矛盾が生じるか，40.1節「イメージ」の議論を自分の言葉で書き直して説明せよ．さらに，電磁ブレーキ（40.1節の「応用」）の場合について，もし逆向きだったら何が起こるかも考察せよ．

ヒント：磁石を近づけるときに，誘導電流のつくる磁場と磁石との間にはたらく力の向きが，磁石を引き寄せる向きになるか，押し返す向きになるかを考える．

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演習40.7　発電機の起電力の最大値と実効値

巻数 $N=50$ 回，面積 $A=0.040\ \mathrm{m^2}$ のコイルを，磁束密度 $B=0.30\ \mathrm T$ の一様な磁場の中で，磁場に垂直な軸のまわりに $f=60\ \mathrm{Hz}$ で回転させる．(1) 起電力の最大値（振幅）$V_0$ と実効値 $V_{\mathrm{eff}}$ を求めよ．(2) 実効値をちょうど $100\ \mathrm V$ にするには，回転の周波数を何 $\mathrm{Hz}$ にすればよいか．

ヒント：公式40.6（$V_0=NBA\omega$，$\omega=2\pi f$）と公式40.7（$V_{\mathrm{eff}}=V_0/\sqrt2$）を使う．$V_0$ は $\omega$ に比例する．

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演習40.8　渦電流ブレーキの力はなぜ速さに比例するか

電気伝導率 $\sigma$ の金属の板が，一様な磁束密度 $\bm B$（板に垂直）の中を，板の面内で速さ $v$ で動いている．板の中の自由電荷にはたらく単位電荷あたりの力を $\bm v\times\bm B$ とし，電荷の蓄積による電場や電流の通り道の制限は無視して（大きさの目安を求める簡単なモデル），次の問いに答えよ．(1) 板の中に生じる電流密度 $\bm j=\sigma\,\bm v\times\bm B$ の大きさを求めよ．(2) 板の単位体積あたりにはたらく磁気力 $\bm f=\bm j\times\bm B$ の大きさと向きを求め，それが速さ $v$ に比例することを示せ．(3) $\sigma=3.5\times10^{7}\ \mathrm{S/m}$（アルミニウム），$B=0.50\ \mathrm T$，$v=2.0\ \mathrm{m/s}$ のとき，$f$ を求め，体積 $1.0\ \mathrm{cm^3}$ の部分にはたらく力と，その部分で発生するジュール熱の仕事率を求めよ．

ヒント：$\bm j\perp\bm B$ に注意する．$(\bm v\times\bm B)\times\bm B=-B^2\bm v$（$\bm v\perp\bm B$ のとき）．単位体積あたりのジュール熱の仕事率は $j^2/\sigma$．

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