第27章熱容量・エンタルピーとジュール＝トムソン効果

27.1 膨張の仕事 — 定圧・自由・可逆・等温可逆膨張

第26章で見たように，気体（系）を外圧 $p_{\mathrm{ex}}\ [\mathrm{Pa}]$ に逆らって体積 $\dd V\ [\mathrm{m^3}]$ だけ膨張させるとき，気体が外部からされる仕事 $\dd'W$（不完全微分であることを表す記号 $\dd'$ については第26章を見よ）は

であった．気体が体積 $V_1$ から $V_2$ まで変化するときにされる仕事の総量は，式 \eqref{eq:27-work-diff} を積分して

となる．気体が外部にする仕事は $W'=-W$ である（本書の符号の約束，第23章 この部を通じての約束）．以下では，外圧 $p_{\mathrm{ex}}$ のかけ方によって式 \eqref{eq:27-work-int} がどう具体化するかを，4つの典型的な場合について見ていく．

27.1.1 定圧膨張（$p_{\mathrm{ex}}$ が一定の場合）

おもりを乗せたピストンのように，外圧 $p_{\mathrm{ex}}$ が変化の間じゅう一定に保たれる場合を考える．$p_{\mathrm{ex}}$ は積分変数 $V$ に依存しない定数なので，積分の外に出せる：

したがって

である．膨張（$\Delta V\gt0$）なら $W\lt0$（気体は外部から負の仕事をされる，すなわち気体が外部に正の仕事をする），圧縮（$\Delta V\lt0$）なら $W\gt0$ となる．

27.1.2 自由膨張（$p_{\mathrm{ex}}=0$ の場合）

真空に向かって気体を膨張させる場合（自由膨張，free expansion）は，外圧が終始 $p_{\mathrm{ex}}=0$ である．式 \eqref{eq:27-work-int} に $p_{\mathrm{ex}}=0$ を代入すると，被積分関数がすべての $V$ で $0$ になるから，

となる．真空には押し返す力が何もないので，気体は仕事をされも，しもしない．自由膨張は，容器の仕切りを取り払うような一瞬の出来事であり，膨張の途中で気体の圧力や温度が一様に定まらない——つまり，$p\text{-}V$ 図の上に描けるような「経路」をもたない典型的な不可逆過程（第26章）である．

27.1.3 可逆膨張（準静的変化）

外圧 $p_{\mathrm{ex}}$ を，気体自身の圧力 $p$ よりほんのわずかだけ小さく保ちながら，ゆっくり膨張させる場合を考える．力のつり合いが常にほぼ成り立っているとみなせるので，

とおいてよい（可逆膨張，reversible expansion，あるいは準静的変化，quasi-static process．第26章で導入した用語である）．このとき式 \eqref{eq:27-work-int} は，容器の中の気体自身の圧力 $p$（気体の状態方程式で決まる量）を使って

と書き直せる．外圧という「外部の設定」の代わりに，気体自身の状態方程式 $p=p(V,T)$ を積分の中に持ち込めるようになった点が，27.1.1・27.1.2 との決定的な違いである．次の 27.1.4 で，これを理想気体について具体的に計算する．

27.1.4 理想気体の等温可逆膨張

27.2 熱容量・定積熱容量とエンタルピー・定圧熱容量

27.1節では，気体が外部からされる仕事 $W$ が，どのように体積変化させるか（定圧・自由・可逆）によって値の変わる量であることを見た．次に問題にしたいのは，気体を「温める」ときに必要な熱量である．高校物理では，物体の温度を $1\ \mathrm{K}$ 上げるのに必要な熱量を熱容量 $C$ といい，比熱 $c$ との関係 $C=mc$ を習った．気体の場合，事情は少し複雑になる．なぜなら，気体を温める際に体積を一定に保つか（定積），それとも圧力を一定に保つか（定圧）で，同じだけ温度を上げるのに必要な熱量が違ってくるからである——定圧の場合は，気体は温まりながら同時に膨張して外部に仕事もするので，その分だけ余計に熱を吸収する必要がある．この節では，まず熱容量を偏微分で定義し直し，定積の場合の定積熱容量 $C_V$ を導く．続いて，定圧の場合を扱いやすくするための新しい状態量エンタルピー $H$ を導入し，定圧熱容量 $C_p$ を定義する．

熱容量は物体全体についての量なので，物体が大きいほど大きい．物質ごとの性質を比べるには，物質量 $n$ あたりのモル熱容量 $C_{\mathrm m}$（単位 $\mathrm{J/(mol\,K)}$．定積・定圧では $C_{V,\mathrm m}$，$C_{p,\mathrm m}$．第23章 23.7節で定積モル比熱・定圧モル比熱と呼んだものと同じ量で，モル定積熱容量・モル定圧熱容量ともいう），質量 $m$ あたりの比熱 $c$（単位 $\mathrm{J/(kg\,K)}$）を使う．高校で習った $C=mc$ は，$C=nC_{\mathrm m}=mc$ という関係の一部である．

$Q$ は状態量ではなく径路によって値が変わる量（第26章）なので，式 \eqref{eq:27-heat-capacity-def} の熱容量 $C$ も，一般には「どのような径路で温度を上げたか」に依存する．熱容量も，「何を一定に保って温めるか」を指定してはじめて決まる量なのである．そこで以下では，一定に保つ量を偏微分の添字（$(\ \ )_V$，$(\ \ )_p$）で明示しながら，径路を具体的に指定した2つの熱容量を定義する．まず，体積を一定に保ちながら温度を上げる場合を考えよう．本書の第1法則の符号の約束（第23章 この部を通じての約束）

において，体積一定（$\dd V=0$）の準静的変化なら $\dd'W=-p_{\mathrm{ex}}\,\dd V=0$ となるから，$\dd U=\dd'Q$，すなわち定積変化で吸収した熱量はそのまま内部エネルギーの増加分に等しい．したがって，定積のもとでの熱容量は

と書ける．右辺を偏微分で書いたのは，$U$ が一般に温度 $T$ と体積 $V$ の両方に依存する2変数関数 $U=U(T,V)$ だからである（大学数学 第6章 6.2節）．「体積を一定に保って $T$ で微分する」という操作を，添字 $V$ を付けて明示している．

次に，圧力を一定に保ちながら温度を上げる場合を考える．この場合は，$\dd'W=-p\,\dd V\neq0$ なので，$\dd U=\dd'Q+\dd'W$ の右辺から $\dd'Q$ だけを取り出すのに $\dd U$ と $\dd'W$ を分けて扱わねばならず，$C_V$ のときのように「$\dd'Q$ がそのままある状態量の変化に等しい」という単純な関係が使えない．そこで，$U$ と圧力・体積の積 $pV$ を組み合わせた，新しい状態量を導入する．

定圧変化（$\dd p=0$）の場合を考えよう．式 \eqref{eq:27-enthalpy-def} の全微分は，今度は

となる．一方，この変化で吸収する熱量は，第1法則 $\dd U=\dd'Q+\dd'W=\dd'Q-p\,\dd V$（可逆変化で $p_{\mathrm{ex}}=p$ としてよい）より $\dd'Q=\dd U+p\,\dd V$ である．これは，上で求めた $\dd H$ の式の右辺とまったく同じ形をしている．したがって，

という関係が得られる——定積のときに $\dd U=\dd'Q$ が成り立ったのと，ちょうど対をなす関係である．式 \eqref{eq:27-dH-dQ-const-p} を使うと，定積熱容量とまったく同じ論法で，定圧のもとでの熱容量を定義できる．

27.3 断熱変化の関係式とポアソンの公式

27.2節では，熱を出し入れしながら気体を温める過程を考えた．ここでは逆に，熱の出入りをまったく許さない断熱変化（adiabatic process，$\dd'Q=0$）——たとえば，自転車の空気入れを素早く押すとポンプが熱くなる現象や，音波が空気中を伝わるときの圧縮・膨張——を考える．断熱変化のもとで気体を可逆的（準静的）に圧縮・膨張させたときに，圧力・体積・温度がどのような関係を保つかを表す式が，本節で導くポアソンの公式（Poisson's law）である．

理想気体の状態方程式 $p=nRT/V$（第23章）を式 \eqref{eq:27-adiabatic-relation} に代入すると，

となる．ここで $C_V$ は温度によらず一定とみなす（単原子・二原子分子の理想気体の室温付近ではよい近似である）．両辺を $T$ で割ると $C_V\dfrac{\dd T}{T}=-nR\dfrac{\dd V}{V}$ となる．左辺は $T$ だけの式，右辺は $V$ だけの式になった（このように変数を左右に分けることを変数分離という）．これを，状態1（$T_1,V_1$）から状態2（$T_2,V_2$）まで積分する：

$C_V$（上で一定とおいた）を積分の外に出し，$\displaystyle\int\frac{\dd x}{x}=\ln x+\text{定数}$（大学数学 第5章 5.1節）を使うと，

対数の性質 $a\ln x=\ln x^a$ を使って両辺を整理すると，

両辺を $1/(nR)$ 乗すると $\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{C_V/(nR)}=\dfrac{V_1}{V_2}$ となり，これを整理すると，

が得られる．つまり，量 $VT^{C_V/(nR)}$ が，断熱可逆変化のあいだ一定に保たれる．

この結果を式 \eqref{eq:27-poisson-form1} に代入すると，$V_1T_1^{1/(\gamma-1)}=V_2T_2^{1/(\gamma-1)}$ となる．両辺を $\gamma-1$ 乗すれば，

という，より見慣れた形が得られる．さらに，理想気体の状態方程式から $T=pV/(nR)$ を式 \eqref{eq:27-poisson-TV} に代入すると，

両辺の $nR$（定数）を払い，$V^1\cdot V^{\gamma-1}=V^{\gamma}$（指数法則）を使ってまとめると，

が得られる．式 \eqref{eq:27-poisson-form1}・\eqref{eq:27-poisson-TV}・\eqref{eq:27-poisson-pV} は，どれも同じ断熱可逆変化を異なる変数の組で表しただけの，同値な関係式である．

27.4 内部エネルギーの全微分・内圧・膨張率・等温圧縮率

前節では，「理想気体では $\dd U=C_V\,\dd T$」という事実を先取りして使った．この節では，その理由を内部エネルギー $U$ の全微分にさかのぼって確かめ，あわせて，気体（一般には固体・液体も含む物質）の体積が温度や圧力でどう変わるかを表す2つの量，膨張率 $\alpha$ と等温圧縮率 $\kappa_T$ を導入する．

内部エネルギー $U$ は，一般に温度 $T$ と体積 $V$ の2変数関数 $U=U(T,V)$ である（気体の状態は，$T,V$（または同値な組 $p,V$ や $p,T$）の2つを指定すれば決まる，第23章）．2変数関数の全微分の公式（大学数学 第6章 6.4節）を $U(T,V)$ に適用すると，

となる．右辺第2項の係数は，定義27.2 の定積熱容量 $C_V$ そのものである．第1項の係数 $\left(\pdiff{U}{V}\right)_T$（温度を一定に保ったまま，体積を変えたときの内部エネルギーの変化率）には，特別な名前と記号が与えられている．

理想気体の場合，内圧が実際に0になることを確かめよう．理想気体の状態方程式 $p=nRT/V$ は，圧力が温度と体積だけで決まり，分子間力に相当する項を含まない．理想気体の内部エネルギーも同様に，分子の熱運動の運動エネルギーの総和だけからなり，分子間力によるポテンシャルエネルギーを持たない（気体分子運動論とエネルギー等分配則，第24章 24.3節）．したがって理想気体では $U$ は体積によらず温度だけの関数になり，

である．これを式 \eqref{eq:27-U-total-diff-piT} に代入すると，

となる——これが，27.3節で断熱変化について先取りして使った関係式の正体である．式 \eqref{eq:27-dU-ideal} には「断熱」という条件が一切入っていないことに注意しよう．理想気体であれば，断熱変化でも等温変化でも定圧変化でも，$\dd U=C_V\,\dd T$ がつねに成り立つ．これは，理想気体という特別な物質モデルの性質であって，一般の物質（内圧が0でない実在気体や液体・固体）では成り立たない．

次に，体積が温度や圧力によってどう変わるかを表す2つの係数を定義する．

理想気体について，$\alpha$ と $\kappa_T$ を具体的に計算してみよう．理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を，圧力 $p$ を一定に保ったまま $V$ について解くと $V=nRT/p$ となる．これを $T$ で偏微分すると，

である（$p$ は定数として扱う）．式 \eqref{eq:27-alpha-def} に代入し，さらに $V=nRT/p$（同じ状態方程式）を使うと，

すなわち，理想気体では膨張率が温度の逆数に等しい：$\alpha=1/T$（理想気体）．次に，$V=nRT/p$ を，今度は温度 $T$ を一定に保ったまま $p$ について偏微分する．$V$ は $p$ の$-1$乗に比例する形（$V=nRT\cdot p^{-1}$）なので，べき関数の微分公式より，

（最後の等号で，ふたたび $V=nRT/p$ を使って $nRT=pV$ と書き換えた）．式 \eqref{eq:27-kappaT-def} に代入すると，

となる．理想気体の等温圧縮率は，圧力の逆数に等しい——気体の種類（分子の質量や大きさ）にはいっさいよらず，圧力だけで決まるという，理想気体に特有の単純な結果である．

27.5 マイヤーの関係式 — 理想気体と一般の場合

ここまでの節で，何度か「マイヤーの関係式 $C_p-C_V=nR$」を証明抜きで先取りして使ってきた．この節では，まず理想気体についてこの関係式を導出し，続いて，理想気体にかぎらない一般の物質について成り立つマイヤーの関係式を導く．

公式27.2 は理想気体だけで成り立つ特別な関係式である．では，分子間力がはたらく実在気体や，液体・固体では，$C_p-C_V$ はどう表されるだろうか．これを調べるには，途中で使う数学の道具を先に準備しておく必要がある．

27.6 エンタルピーの全微分とジュール＝トムソン効果

いよいよ本章の主題であるジュール＝トムソン効果に入る．まず，エンタルピー $H$ の全微分を，圧力 $p$ と温度 $T$ を独立変数として書き下すところから始める．

エンタルピーは一般に $H=H(p,T)$（圧力と温度の2変数関数）とみなせる．全微分の公式（大学数学 第6章 6.4節）より，

である．右辺第2項の係数は，定義27.4 の定圧熱容量 $C_p$ そのものである．第1項の係数 $\left(\pdiff{H}{p}\right)_T$ には，これから定義する新しい量が関わってくる．

（この $\mu$ は，あとで登場する化学ポテンシャルの $\mu$ とは別の量である．同じ文字を使うのが慣習なので，混同しないように注意しよう．）

式 \eqref{eq:27-H-total-diff} の $\left(\pdiff{H}{p}\right)_T$ を，$\mu$ と $C_p$ を使って書き換えよう．27.5節で示した循環関係式 \eqref{eq:27-cyclic-relation} を，$x=H,\,y=p,\,z=T$ として適用すると，

となる．ここで，逆数関係（27.5節で確認した，1変数関数の逆関数の微分公式と同じ考え方）より，

である．これらを代入すると，

となる．したがって，式 \eqref{eq:27-H-total-diff} は次のように書ける：

ここまでは，$\mu$ の定義を使って $\dd H$ の形を書き換えただけである．次に，$\mu$ が実際にどのような現象を表す量なのかを見ていこう．

この過程で，気体の状態がどう変化するかを詳しく調べよう．容器全体は断熱されているので，出入りする熱はゼロ（$Q=0$）である．気体のかたまり（体積 $V_1$，圧力 $p_1$，温度 $T_1$ の状態）が，障壁を通り抜けて，体積 $V_2$，圧力 $p_2$，温度 $T_2$ の状態になる過程を，図27.7のように2つのピストンで押し出す思考実験として捉えると，仕事の出入りを追いやすい．気体を1つの固まりとして追いかけ，左のピストンは常に一定の圧力 $p_1$ で押し，右のピストンは常に一定の圧力 $p_2$ で押し返される，と考える．

27.7 等温ジュール＝トムソン係数の測り方・逆転温度と液体ヘリウムの製造

ジュール＝トムソン係数 $\mu=(\partial T/\partial p)_H$ は，圧力差 $\Delta p$ が小さいとき，図27.6の装置で $\mu\approx\Delta T/\Delta p$ として直接測ることができる（ジュール＝トムソン過程はひとりでに等エンタルピーになるからである）．しかし，1回の絞りで生じる温度差 $\Delta T$ は小さい（例題27.9）ので，精密に測るのは難しい．そこで，温度差を熱量の測定に置き換える方法がよく使われる．そのために導入するのが，本節の等温ジュール＝トムソン係数である．

ところで，$\mu_T$ は27.6節ですでに計算した量そのものである．式 \eqref{eq:27-H-total-diff-mu} の直前で，循環関係式を使って $\left(\pdiff{H}{p}\right)_T=-\mu C_p$ を示していた．したがって，

という関係が，改めて名前を付けるだけで得られる．式 \eqref{eq:27-muT-relation} を使うと，$\mu_T$ を測定すれば $\mu$ が求まる．$\mu_T$ は等温条件（$T$ を一定に保つ）のもとで，加えた熱量から求める量なので，微小な温度差を読み取るよりも精度よく測れる．測定した $\mu_T$ と，別途測定できる $C_p$ から，式 \eqref{eq:27-muT-relation} を $\mu$ について解けば，本来知りたかった $\mu=-\mu_T/C_p$ が求まる．

具体的な測り方は次のとおりである．図27.8のように，多孔質障壁の直後にヒーターを置いた装置で，気体を障壁に通す．障壁の前後の圧力差 $\Delta p=p_2-p_1$ を圧力計で測り，障壁の前後の温度が等しくなる（等温に保たれる）ようにヒーターの加熱を調整して，供給した熱量 $Q$ を測る．この $Q$ は，気体が障壁を通る前後のエンタルピーの差に等しい．27.6節の導出で「容器は断熱されている」という条件を外し，ヒーターから熱 $Q$ が入るとすると，第1法則は $U_2-U_1=Q+p_1V_1-p_2V_2$ となる．これを整理すると，

である（断熱なら $Q=0$ で，$H_1=H_2$ に戻る）．供給した熱量が，そのままエンタルピーの変化 $H_2-H_1\equiv\Delta H$ になる．これが，ヒーターの熱量を $\Delta H$ と書く理由である．温度 $T$ は障壁の前後で等しいので，$\Delta H$ は「$T$ 一定のもとで圧力を $p_1$ から $p_2$ に変えたときのエンタルピーの変化」であり，$\Delta p$ が小さければ，

として $\mu_T$ が求まる（式 \eqref{eq:27-muT-def} の偏微分を，有限の変化量の比で近似したもの）．別途，同じ気体の定圧熱容量 $C_p$ を（通常の熱量計で）測定しておけば，式 \eqref{eq:27-muT-relation} を使って

としてジュール＝トムソン係数 $\mu$ が得られる．

最後に，$\mu$ の符号がどのように決まるかを，測定量の符号から直接確認しておこう．式 \eqref{eq:27-muT-measure} の近似式 $\mu_T\approx\Delta H/\Delta p$ と，式 \eqref{eq:27-muT-relation} の $\mu=-\mu_T/C_p$（$C_p\gt0$）を組み合わせて考える．

(i) ジュール＝トムソン効果で冷却される場合　気体が障壁を通って膨張すると温度が下がろうとするので，等温に保つにはヒーターで熱を加えてやる必要がある（$\Delta H\gt0$）．また，障壁を通ると圧力は下がる（$\Delta p\lt0$）．したがって $\mu_T\approx\Delta H/\Delta p\lt0$（正を負で割るので負）である．$C_p\gt0$ なので，$\mu=-\mu_T/C_p=-(\text{負})/(\text{正})\gt0$ となる．すなわち，

(ii) ジュール＝トムソン効果で発熱する場合　気体が膨張すると温度が上がろうとするので，等温に保つには気体から熱を取り去らなければならない（$\Delta H\lt0$）．圧力はやはり下がる（$\Delta p\lt0$）ので，$\mu_T\approx\Delta H/\Delta p\gt0$（負を負で割るので正）となり，$\mu=-\mu_T/C_p=-(\text{正})/(\text{正})\lt0$ である．すなわち，

このように，$\mu$ の符号は気体の種類・温度・圧力によって変わる．$T$–$p$ 平面で，$\mu\gt0$ の領域と $\mu\lt0$ の領域の境目を描くと，図27.9のようなドーム状の曲線になる．これを逆転曲線という．ある圧力のもとで，$\mu$ の符号がちょうど切り替わる温度を，特別に次のように呼ぶ．

図27.10のモデルは簡略化した近似で，最大逆転温度の値は実測とは異なる．実測の最大逆転温度は，$\mathrm{N_2}$ でおよそ $620\ \mathrm{K}$，$\mathrm{H_2}$ でおよそ $200\ \mathrm{K}$，$\mathrm{He}$ でおよそ $40\ \mathrm{K}$ である（文献によって値に幅がある）．以下では，この実測値を使って議論する．室温（およそ $300\ \mathrm{K}$）は，窒素の最大逆転温度（約 $620\ \mathrm{K}$）より低いので，室温の窒素はジュール＝トムソン膨張で冷える（$\mu\gt0$）．一方，水素やヘリウムの最大逆転温度は室温よりずっと低い（水素はおよそ $200\ \mathrm{K}$，ヘリウムはおよそ $40\ \mathrm{K}$）ので，室温の水素やヘリウムをそのままジュール＝トムソン膨張させても，むしろ発熱してしまう（$\mu\lt0$）——「気体を膨張させれば必ず冷える」とは限らないことが，ここでも確認できる．

27.8 まとめと演習

27.8.1 まとめ

• 気体が外部からされる仕事は $W=-\int p_{\mathrm{ex}}\,\dd V$（式 \eqref{eq:27-work-int}）．定圧・自由・可逆膨張でそれぞれ具体的に計算でき，理想気体の等温可逆膨張では $W=nRT\ln(V_1/V_2)$（式 \eqref{eq:27-work-isothermal}）．
• 定積熱容量 $C_V=(\partial U/\partial T)_V$（定義27.2）と，エンタルピー $H=U+pV$（定義27.3）を使った定圧熱容量 $C_p=(\partial H/\partial T)_p$（定義27.4）．定積では $\dd U=\dd'Q$，定圧では $\dd H=\dd'Q$ が成り立つ．
• 断熱可逆変化の関係式 $C_V\,\dd T=-p\,\dd V$ から，理想気体のポアソンの公式 $TV^{\gamma-1}=\text{一定}$，$pV^\gamma=\text{一定}$（公式27.1，$\gamma=C_p/C_V$．2つは $T=pV/(nR)$ で結ばれる）が導かれる．
• 内部エネルギーの全微分 $\dd U=\pi_T\,\dd V+C_V\,\dd T$（内圧 $\pi_T=(\partial U/\partial V)_T$，理想気体では0）．膨張率 $\alpha=\frac1V(\partial V/\partial T)_p$，等温圧縮率 $\kappa_T=-\frac1V(\partial V/\partial p)_T$（体積弾性係数 $K=1/\kappa_T$）．理想気体では $\alpha=1/T,\ \kappa_T=1/p$．
• マイヤーの関係式：理想気体で $C_p-C_V=nR$（公式27.2），一般の物質で $C_p-C_V=\alpha^2TV/\kappa_T$（公式27.3）．証明には循環関係式 $(\partial x/\partial y)_z(\partial y/\partial z)_x(\partial z/\partial x)_y=-1$（式 \eqref{eq:27-cyclic-relation}）を使う．
• エンタルピーの全微分 $\dd H=-\mu C_p\,\dd p+C_p\,\dd T$（式 \eqref{eq:27-H-total-diff-mu}）．ジュール＝トムソン係数 $\mu=(\partial T/\partial p)_H$（定義27.8）．ジュール＝トムソン過程は等エンタルピー変化（$H_1=H_2$，式 \eqref{eq:27-JT-isenthalpic}）．
• 等温ジュール＝トムソン係数 $\mu_T=(\partial H/\partial p)_T=-C_p\mu$（式 \eqref{eq:27-muT-relation}）は実験で測定しやすく，そこから $\mu$ を求める．$\mu$ の符号が変わる温度が逆転温度（定義27.11）で，理想気体では $\mu=0$．ヘリウムの最大逆転温度は室温よりずっと低いので，室温から液体ヘリウムをつくるには，最大逆転温度がより高い気体（窒素・水素）で順に予冷するカスケード冷却を用いる．
• 内圧は $\pi_T=T(\partial p/\partial T)_V-p$（式 \eqref{eq:27-piT-maxwell}，証明は第31章）で状態方程式から計算でき，理想気体で $0$，ファンデルワールス気体で $an^2/V^2$ になる．

関連シミュレーター：Joule–Thomson 効果 ― 絞ると冷える理由と，エアコンの中身，Joule–Thomson 効果はどこから来るのか ― エンタルピーの全微分から，逆転曲線とエアコンまで（本章で導いた $\mu_T=-C_p\mu$ や逆転曲線を，パラメータを動かしながら確かめられる）．

27.8.2 演習問題

27.8.3 参考文献