第19章フックの法則・弾性係数と材料試験

例題19.1　応力とひずみからフックの法則の比例定数を求める

ある材料に垂直応力 $\sigma=150\ \mathrm{MPa}$ を加えたところ，縦ひずみ $\varepsilon=7.3\times10^{-4}$ が生じた．この材料の弾性係数（縦弾性係数）を求めよ．

解答　法則19.1（フックの法則）$\sigma/\varepsilon=\text{一定}$ より，

（$\mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}$，ひずみは無次元量なので，弾性係数の単位は応力と同じ $\mathrm{Pa}$ になる．$205\ \mathrm{GPa}$ という値は，19.5節の表19.1 にある鋼のヤング率の代表値にほぼ一致する——この材料は鋼であると見当がつく）

例題19.2　鋼線の伸びを求める

直径 $2.0\ \mathrm{mm}$，長さ $l_0=1.5\ \mathrm{m}$ の鋼線に，質量 $20\ \mathrm{kg}$ のおもりを吊るした．鋼のヤング率を $E=206\ \mathrm{GPa}$，重力加速度を $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ として，鋼線の伸び $\lambda$ を求めよ．

解答　荷重は $P=mg=20\times9.8=196\ \mathrm{N}$．断面積は，直径 $d=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ より

式 \eqref{eq:19-E-def} を $\lambda$ について解くと $\lambda=l_0P/(EA_0)$ なので，

（次元の確認：$[\mathrm{m}\cdot\mathrm{N}]/[\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^2}]=[\mathrm{m\,N}]/[(\mathrm{N/m^2})\cdot\mathrm{m^2}]=[\mathrm{m\,N}]/[\mathrm{N}]=\mathrm{m}$ となり左辺の単位と一致する）

例題19.3　ゴムブロックのせん断変形

一辺 $10\ \mathrm{cm}$ の立方体のゴムブロック（上面の面積 $A=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，高さ $l_0=0.10\ \mathrm{m}$，横弾性係数 $G=1.0\ \mathrm{MPa}$）の上面に，下面を固定したまま水平方向のせん断荷重 $Q=400\ \mathrm{N}$ を加えた．上面が水平にずれる量 $\lambda$ を求めよ．

解答　せん断応力は $\tau=Q/A=400/(1.0\times10^{-2})=4.0\times10^{4}\ \mathrm{Pa}$．定義19.2 の $G=\tau/\gamma$ とせん断ひずみの定義 $\gamma=\lambda/l_0$（18.5節）より，

（ゴムの横弾性係数 $1.0\ \mathrm{MPa}$ は，鋼の横弾性係数（$E=206\ \mathrm{GPa}$，$\nu=0.3$ として次節の公式19.1 で $G=E/\{2(1+\nu)\}\approx79\ \mathrm{GPa}$）の約 $10^{-5}$ 倍にすぎない．そのため，わずかな力でも大きくずれる．）

例題19.4　深海での球の体積収縮

海面から深さ $h=1000\ \mathrm{m}$ の海水中に，体積弾性係数 $K=226\ \mathrm{GPa}$ のアルミナ（酸化アルミニウム）製の中実球を沈めた（この $K$ は，アルミナのヤング率 $E=380\ \mathrm{GPa}$，ポアソン比 $\nu=0.22$ から，次節の公式19.2 $K=E/\{3(1-2\nu)\}$ で求めた値である）．海水の密度を $\rho=1.03\times10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度を $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ として，球の体積収縮率 $|\Delta V/V|$ を求めよ（大気圧は無視してよい）．

解答　深さ $h$ での静水圧は $p=\rho gh$（高校物理の水圧の公式）である：

定義19.3 の注意にあるとおり $\sigma=-p$ なので，$K=\sigma/\varepsilon_V=-p/\varepsilon_V$ より，

体積は約 $0.0045\%$ しか収縮しない——固体の体積弾性係数は非常に大きいので，深海のような極端な環境でも体積変化はわずかであることが分かる．

例題19.5　アルミニウムの $G,K$ を求める

アルミニウムのヤング率を $E=70\ \mathrm{GPa}$，ポアソン比を $\nu=0.33$ として，横弾性係数 $G$ と体積弾性係数 $K$ を求めよ．

解答　公式19.1 より，

公式19.2 より，

アルミニウムのカタログ値（$G\approx26\ \mathrm{GPa}$，$K\approx70\ \mathrm{GPa}$ 程度）とよく一致する．

例題19.6　応力–ひずみ線図から特徴点を読み取る

図19.5 の応力–ひずみ線図を見て，(1) 比例限度を超えたあと最初に現れる応力のピークの名称，(2) その後応力がほとんど変化せずひずみだけが進む区間で材料に起きている変形の種類，(3) 曲線の最高点の名称を答えよ．

解答　(1) 比例限度を超えた直後に現れる小さなピークは上降伏点である．(2) その後の，応力がほぼ一定でひずみだけが増加する区間（降伏棚）では，材料は弾性変形ではなく塑性変形（除荷しても元に戻らない永久変形．18.1節の定義18.4で見た「弾性」の逆）を起こしている．(3) 曲線の最高点は引張強さ（極限強さ）であり，その材料が公称応力の意味で耐えられる最大の応力を表す（19.5節でこれらの定義をさらに詳しく扱う）．

例題19.7　引張試験のデータから $E$・比例限度・降伏応力・引張強さ・伸び・絞りを求める

直径 $d=10.0\ \mathrm{mm}$（断面積 $A_0=\pi d^2/4=78.5\ \mathrm{mm^2}$），標点間距離 $l_0=50.0\ \mathrm{mm}$ の鋼の丸棒を引張試験にかけ，次の荷重 $P$ と標点間の伸び $\lambda$ を得た．荷重が $P=23\ \mathrm{kN}$ に達したところで，荷重がほとんど増えずに伸びだけが進みはじめ（表の最後の行は，その途中の値），その後，最大荷重 $P_{\max}=35\ \mathrm{kN}$ に達してくびれが生じ，破断した．破断後の標点間距離は $L_f=65.0\ \mathrm{mm}$，破断部の直径は $d_f=6.0\ \mathrm{mm}$ であった．

(1) 各点の公称応力 $\sigma=P/A_0\ [\mathrm{MPa}]$ と公称ひずみ $\varepsilon=\lambda/l_0$ を表にまとめよ．(2) 直線部の傾きからヤング率 $E$ を求めよ．(3) 比例限度 $\sigma_{\mathrm p}$，降伏応力 $\sigma_{\mathrm y}$，引張強さ $\sigma_{\mathrm{UTS}}$ を求めよ．(4) 伸び $[\%]$ と絞り $[\%]$ を求めよ．

解答　(1) $A_0=\pi\times10.0^2/4=78.54\ \mathrm{mm^2}$．荷重を $\mathrm N$，断面積を $\mathrm{mm^2}$ で使えば，応力はそのまま $\mathrm{MPa}$（$=\mathrm{N/mm^2}$）で求まる（19.4節の応用を参照）．たとえば $P=5\ \mathrm{kN}=5000\ \mathrm N$ の点では，$\sigma=5000/78.54=63.7\ \mathrm{MPa}$，$\varepsilon=0.016/50.0=3.2\times10^{-4}$ である．すべての点について計算すると，次の表になる．

(2) $P=0$ から $20\ \mathrm{kN}$ までの4点では，$\sigma/\varepsilon$ がどれも $199\ \mathrm{GPa}$ で一定，つまり $\sigma$–$\varepsilon$ の点は原点を通る直線の上に並んでいる（フックの法則）．この直線の傾きが $E$ で，$E\approx199\ \mathrm{GPa}\approx2.0\times10^{2}\ \mathrm{GPa}$（鋼の代表値，表19.1 と一致する）．

(3) 比例限度：$20\ \mathrm{kN}$ の点までは $\sigma/\varepsilon=199\ \mathrm{GPa}$ で一定だが，$22\ \mathrm{kN}$ の点では $189\ \mathrm{GPa}$ と約 $5\%$ 小さくなり，直線から外れはじめている．したがって，データから読み取れる比例限度は $\sigma_{\mathrm p}\approx255\ \mathrm{MPa}$（$255\ \mathrm{MPa}$ 以上，$280\ \mathrm{MPa}$ 未満）である．降伏応力：荷重がほとんど増えずに伸びだけが進みはじめた $P=23\ \mathrm{kN}$ の点で，$\sigma_{\mathrm y}=23000/78.54\approx293\ \mathrm{MPa}$．引張強さ：最大荷重 $P_{\max}=35\ \mathrm{kN}$ を変形前の断面積で割って，$\sigma_{\mathrm{UTS}}=35000/78.54\approx446\ \mathrm{MPa}$（公称応力の最大値なので，$A_0$ で割ることに注意）．

(4) 伸び $=(L_f-l_0)/l_0\times100=(65.0-50.0)/50.0\times100=30\%$．破断部の断面積は $A_f=\pi\times6.0^2/4=28.27\ \mathrm{mm^2}$ なので，絞り $=(A_0-A_f)/A_0\times100=(78.54-28.27)/78.54\times100\approx64\%$．伸び・絞りがともに大きく，この鋼は延性に富むことが分かる．

例題19.8　0.2%耐力を求める

ヤング率 $E=70\ \mathrm{GPa}$ のアルミニウム合金の応力–ひずみ曲線が，次のように表されるとする．弾性域（$\sigma\le\sigma_{\mathrm y}=180\ \mathrm{MPa}$）では $\sigma=E\varepsilon$．それを超える塑性域では，全ひずみを $\varepsilon=\sigma/E+\varepsilon_{\mathrm{pl}}$（$\sigma/E$ が弾性ひずみ，$\varepsilon_{\mathrm{pl}}$ が塑性ひずみ）として，$\sigma=\sigma_{\mathrm y}+H\varepsilon_{\mathrm{pl}}^{\,n}$（$H=800\ \mathrm{MPa}$，$n=0.4$）．0.2%オフセット法で耐力 $\sigma_{0.2}$ を求めよ．

解答　0.2%オフセット法では，弾性直線をひずみ軸方向に $0.002$ だけ平行移動した直線 $\sigma=E(\varepsilon-0.002)$ を引き（図19.6），この直線と応力–ひずみ曲線の交点の応力を求める．交点 $(\varepsilon^*,\sigma^*)$ は曲線上にあるので $\varepsilon^*=\sigma^*/E+\varepsilon_{\mathrm{pl}}$，直線上にあるので $\sigma^*=E(\varepsilon^*-0.002)$，すなわち $\varepsilon^*-\sigma^*/E=0.002$ である．2つを見比べると，交点では塑性ひずみがちょうど $\varepsilon_{\mathrm{pl}}=0.002$（0.2%）になっている——これが「0.2%の永久ひずみが残る応力」という名前の由来である．したがって，塑性域の式に $\varepsilon_{\mathrm{pl}}=0.002$ を代入して，

交点のひずみは $\varepsilon^*=\sigma_{0.2}/E+0.002=246.6/(70\times10^{3})+0.002\approx5.5\times10^{-3}$（$0.55\%$）である．なお，オフセット直線 $\sigma=E(\varepsilon-0.002)$ は $\varepsilon=0.002$ で $\sigma=0$ となり，ひずみ軸の $0.2\%$ の点を通る．

例題19.9　真応力・真ひずみを計算する

ある引張試験で，公称応力 $\sigma=350\ \mathrm{MPa}$，公称ひずみ $\varepsilon=0.20$（$20\%$）であった．真応力 $\sigma_{\mathrm t}$ と真ひずみ $\varepsilon_{\mathrm t}$ を求めよ．また，比較のため，公称ひずみが小さい場合（$\varepsilon=0.001$）についても真ひずみを求め，公称ひずみとどれだけ違うか比べよ．

解答　式 \eqref{eq:19-true-from-nominal} より，

真応力（$420\ \mathrm{MPa}$）は公称応力（$350\ \mathrm{MPa}$）よりかなり大きく，真ひずみ（$0.1823$）は公称ひずみ（$0.20$）よりわずかに小さい．一方，$\varepsilon=0.001$ のときは $\varepsilon_{\mathrm t}=\ln(1.001)\approx0.0009995$ となり，公称ひずみ $0.001$ とほとんど一致する（弾性変形のようにひずみが小さい範囲では，公称と真の違いを気にしなくてよい理由がここにある）．

例題19.10　公称応力と真応力の乖離（くびれ域）

ある軟鋼が，Hollomonの式 \eqref{eq:19-hollomon} で $K_{\mathrm H}=636\ \mathrm{MPa}$，$n=0.166$ と近似できるとする．(1) くびれが始まる真ひずみ $\varepsilon_{\mathrm t}$ と，そのときの公称ひずみ $\varepsilon$ を求めよ．(2) くびれが始まる点での真応力 $\sigma_{\mathrm t}$ と公称応力 $\sigma$ をそれぞれ求め，両者を比べよ．(3) くびれが進み，最小断面の真ひずみが $\varepsilon_{\mathrm t}=0.30$ になったときの，真応力 $\sigma_{\mathrm t}$ と荷重を初めの断面積で割った量 $P/A_0$ を求めよ．

解答　(1) Considèreの条件（式 \eqref{eq:19-considere} の帰結）より，くびれが始まる真ひずみは $\varepsilon_{\mathrm t}=n=0.166$．一様に伸びている間の関係 \eqref{eq:19-true-from-nominal} の逆から $1+\varepsilon=e^{\varepsilon_{\mathrm t}}$ なので，公称ひずみは

(2) Hollomonの式 \eqref{eq:19-hollomon} より，真応力は

式 \eqref{eq:19-true-from-nominal} $\sigma_{\mathrm t}=\sigma(1+\varepsilon)$ を $\sigma$ について解くと，

くびれが始まる点（公称応力–公称ひずみ曲線の最高点，すなわち引張強さ）ですでに，真応力（$\approx472\ \mathrm{MPa}$）は公称応力（$\approx400\ \mathrm{MPa}$，これが引張強さ $\sigma_{\mathrm{UTS}}$ に相当する）よりおよそ $18\%$ も高い．

(3) くびれ部の最小断面では $A=A_0e^{-\varepsilon_{\mathrm t}}$（定義19.13）で，$P=\sigma_{\mathrm t}A$ だから，$P/A_0=\sigma_{\mathrm t}e^{-\varepsilon_{\mathrm t}}$ である．$\varepsilon_{\mathrm t}=0.30$ では（Hollomonの式がくびれ部でも成り立つと仮定して）

真応力は $472\to521\ \mathrm{MPa}$ とまだ増加しているのに，荷重を $A_0$ で割った量は $400\to386\ \mathrm{MPa}$ と減少している．断面積 $A$ の減り方が，加工硬化による真応力の増え方を上回っているからである（図19.9 参照）．

演習19.1　縦弾性係数の計算

断面積 $A_0=5.0\times10^{-5}\ \mathrm{m^2}$，長さ $l_0=2.0\ \mathrm{m}$ の棒に荷重 $P=1.0\times10^{4}\ \mathrm N$ を加えたところ，棒は $\lambda=2.0\ \mathrm{mm}$ 伸びた．この棒の縦弾性係数 $E$ を求めよ．また，表19.1 の値と比べて，何でできた棒と考えられるか答えよ．

ヒント：式 \eqref{eq:19-E-def}（$E=l_0P/(\lambda A_0)$）にそのまま数値を代入する．単位をすべて SI 単位（m，N，Pa）にそろえてから計算するとよい．

→ 解答

演習19.2　$E,\nu$ から $G,K$ を求める

ある銅合金のヤング率が $E=120\ \mathrm{GPa}$，ポアソン比が $\nu=0.35$ であるとき，横弾性係数 $G$ と体積弾性係数 $K$ を求めよ．

ヒント：公式19.1・公式19.2 にそのまま数値を代入する．$\nu=0.35$ が19.3.4項で述べた $-1\lt\nu\lt0.5$ の範囲に収まっているかどうかも確認しておくとよい．

→ 解答

演習19.3　直列に接続した棒の合成弾性率

断面積が等しく長さが等しい2種類の棒（縦弾性係数 $E_1,E_2$）を，同じ断面積のまま端と端を継いで1本の棒にし，全体に荷重 $P$ を加える．合成した棒全体の（見かけの）縦弾性係数 $E_{\mathrm{合成}}$ を，$E_1,E_2$ を用いて表せ．

ヒント：「棒が伸びる」ことと「ばねが伸びる」ことのアナロジーを使う．ばね定数 $k_1,k_2$ のばねを直列につないだときの合成ばね定数が $1/k_{\mathrm{合成}}=1/k_1+1/k_2$（高校物理の公式）になったことを思い出し，棒のばね定数 $k=P/\lambda=EA_0/l_0$（式 \eqref{eq:19-bar-spring}）に注目する．2本の棒の伸び $\lambda_1,\lambda_2$ を足し合わせたものが全体の伸びになることを使うとよい．

→ 解答

演習19.4　くびれの後も真応力が増加し続ける理由

引張強さ（公称応力–公称ひずみ曲線の最高点）を過ぎたあとも，真応力–真ひずみ曲線（Hollomonの式）は単調に増加し続けるにもかかわらず，荷重を初めの断面積で割った量 $P/A_0$（公称応力）は減少する．この一見矛盾するようにみえる事実を，荷重 $P=\sigma_{\mathrm t}A$ と，体積一定のもとでの断面積の変化 $A=A_0e^{-\varepsilon_{\mathrm t}}$ を使って，定性的に説明せよ．

ヒント：$P/A_0=\sigma_{\mathrm t}e^{-\varepsilon_{\mathrm t}}$ を $\varepsilon_{\mathrm t}$ で微分し，Hollomonの式 $\sigma_{\mathrm t}=K_{\mathrm H}\varepsilon_{\mathrm t}^{\,n}$ を使って，符号が変わるのはどこかを調べる．「断面積の減り方」と「加工硬化による強度の増え方」のどちらが「勝つ」かを考えるとよい．例題19.10 の数値も参考にせよ．

→ 解答

演習19.5　材料試験の分類

次の8つの材料試験——引張試験，圧縮試験，ねじり試験，曲げ試験，硬度試験，クリープ試験，疲労試験，衝撃試験——を，静荷重試験と動荷重試験に分類し，それぞれの試験で何を測ろうとしているのか（目的）を一言で説明せよ．

ヒント：定義19.5 の分類を見直す．「クリープ試験」は一定の荷重を長時間かけ続けたときの，ゆっくり進む変形を調べる試験であることに注意する（荷重自体は一定でも，長時間という時間の要素が関わる点で，他の静荷重試験とは少し性格が異なる）．

→ 解答

演習19.6　身近な材料のヤング率の大小関係（発展課題）

ゴム，鋼，ガラス，木材（繊維方向）の4つの材料を，ヤング率の小さい順に並べ替え，その順番になる理由を，原子・分子レベルの結合の種類や構造（19.5.4項・19.5節末の「応用」を参照）から説明せよ．そのうえで，表19.1 や文献値と照らし合わせて，自分の予想がどの程度合っていたか確認せよ．

ヒント：ゴムは炭化水素の長い鎖（高分子）がゆるく絡み合った構造で，変形の大部分は鎖のからまりがほどける（結合そのものを伸ばすのではない）ことによる．鋼は金属結合，ガラスは共有結合主体のネットワーク構造，木材（繊維方向）はセルロース分子が並んだ繊維に沿った共有結合が効いている．「結合を直接伸ばす変形」ほどヤング率が大きくなりやすいと考えるとよい．

→ 解答