どんな周期関数も，波数のちがう三角関数を足し合わせるだけで作れます． なぜそんなことができるのかというと， 波数のちがう三角関数どうしの内積が 0 ―― つまり互いに直交しているからです． 足す本数を 1 本ずつ増やしていく様子，内積がほんとうに 0 になるところ， そして偏微分方程式が波ごとにばらばらに解けてしまうことを見ます． 最後はフーリエ変換で微分が割り算になる話（Thomas–Fermi 遮蔽）まで．
東京理科大学 望月研究室 ／ 講義ノート「フーリエ級数」(1)〜(14) より． 直交基底の意味，ak・bk が波の本数ごとの重みであること， フーリエ変換で微分が割り算になること，そして Thomas–Fermi 遮蔽の式変形は こちらのページにあります．