第7章ベクトル

7.1 ベクトルの演算——相等・加法・減法・実数倍

「東へ3km歩く」と「北へ3km歩く」は，歩いた距離（大きさ）はどちらも3kmで同じだが，歩いた方向はまったく違う．この「大きさ」と「向き」の両方を持つ量をベクトル（vector）といい，$\vec a,\ \vec b$ のように文字の上に矢印を付けて表す．図では，向きを矢印の向きで，大きさを矢印の長さで表す．ベクトル $\vec a$ の大きさは $|\vec a|$ と書く．これに対して，向きを持たず大きさだけで決まる量（長さ・質量・温度など）をスカラー（scalar，実数のこと）という．

矢印の始点を$A$，終点を$B$とするベクトルを $\vec{AB}$ と書くこともある．このとき $\vec{AB}$ の大きさ $|\vec{AB}|$ は，2点$A,B$間の距離に等しい．重要なのは，ベクトルは大きさと向きだけで決まり，矢印をどこから描き始めても構わないという点である．同じ大きさ・同じ向きを持つ矢印は，出発点がどこであっても同じ1つのベクトルを表す．

7.1.1 ベクトルの加法

2つのベクトル $\vec a,\vec b$ の和 $\vec a+\vec b$ は，次のように作る（三角形の法則）．$\vec a=\vec{OA}$ となるように矢印を描き，続けてその終点$A$から $\vec b$ と同じ向き・大きさの矢印 $\vec{AB}$ を描く．このとき，出発点$O$から終点$B$へ向かう矢印 $\vec{OB}$ が和 $\vec a+\vec b$ である．

7.1.2 零ベクトルと逆ベクトル

始点と終点が一致する（動かない）ベクトルを考えると都合がよい．これを零ベクトルという．

（Ⅰ）は，三角形の法則で $\vec a=\vec{OA}$，続けて$-\vec a=\vec{AO}$（$A$から$O$へ戻る矢印）をつなぐと，出発点と終点がともに$O$になる，すなわち大きさ$0$のベクトルになることからわかる．（Ⅱ）は，動かない矢印 $\vec 0$ を付け加えても始点・終点は変わらないことからわかる．

逆ベクトルを使うと，ベクトルの減法（引き算）を，加法の言葉だけで定義できる：$\vec a-\vec b:=\vec a+(-\vec b)$．図でいえば，$\vec a=\vec{OA}$，$\vec b=\vec{OB}$ と同じ始点$O$から描いたとき，$\vec a-\vec b=\vec{BA}$（$B$から$A$へ向かう矢印）になる．実際，三角形の法則を$B$を経由する形で読むと，$\vec{OB}+\vec{BA}=\vec{OA}$，すなわち $\vec b+\vec{BA}=\vec a$ となり，両辺から $\vec b$ の逆ベクトルを加えれば $\vec{BA}=\vec a-\vec b$ が得られる．

7.1.3 ベクトルの実数倍

ベクトル $\vec a$ を$k$倍する（$k$は実数）とは，$k\gt0$ なら $\vec a$ と同じ向きで大きさを$k$倍にしたベクトル，$k\lt0$ なら $\vec a$ と反対の向きで大きさを$|k|$倍にしたベクトル，$k=0$ なら零ベクトル $\vec 0$ を表すと約束する．これを $k\vec a$ と書く．

（Ⅰ）は「$\vec a$を$l$倍してからさらに$k$倍する」ことと「$\vec a$を最初から$kl$倍する」ことが，向き・大きさのどちらで見ても一致することからわかる．（Ⅱ）（Ⅲ）は，向きが同じ場合には長さの分配法則 $(k+l)|\vec a|=k|\vec a|+l|\vec a|$ そのものであり，向きが反転する場合も符号を追えば同様に確かめられる．

7.2 平行条件・単位ベクトルと線形独立

7.2.1 ベクトルの平行条件

ベクトルの実数倍の定義（7.1.3節）から，ただちに次の必要十分条件が得られる．$k\gt0$ なら $k\vec a$ は $\vec a$ と同じ向きで平行，$k\lt0$ なら反対向きで平行になるからである．

7.2.2 単位ベクトル

任意のベクトル $\vec a\ (\ne\vec 0)$ と平行で大きさが$1$である単位ベクトルは，$\pm\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$ である．実際，$\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$ は $\vec a$ を実数 $\dfrac1{|\vec a|}\ (\gt0)$ 倍したベクトルだから，$\vec a$ と同じ向きで，大きさは $|\vec a|\times\dfrac1{|\vec a|}=1$ になる．符号を反転させた $-\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$ は，向きだけが反対の，もう1つの単位ベクトルである．

7.2.3 ベクトルの分解と線形独立

平面上で，向きの違う2本の矢印があれば，どんな矢印も「その2本を何倍かして足し合わせる」ことで作れる——これが本節の主定理である．まず，「向きが違う」という条件を正確に述べる言葉を用意する．

7.3 ベクトルの成分表示と内分点・外分点

7.3.1 ベクトルの成分（平面）

座標平面上の原点を$O$とし，ベクトル $\vec a$ に対して $\vec a=\vec{OA}$ となるように点$A$をとり，$A(x_1,y_1)$ とする．ここで，$x$軸上の点$E(1,0)$，$y$軸上の点$F(0,1)$をとり，$\vec{OE}=\vec e_x$，$\vec{OF}=\vec e_y$ とする．$\vec e_x,\vec e_y$ はどちらも大きさ$1$のベクトル（単位ベクトル）であり，かつ平行ではないから，7.2.3節の定理7.5（一次独立なベクトルによる分解）が使える基底になっている．

点$A$から$x$軸，$y$軸にそれぞれ垂線$AX,AY$を下ろすと，三角形の法則（7.1.1節）から $\vec{OA}=\vec{OX}+\vec{OY}$ が成り立つ．ここで，$X$は$x$軸上で$O$から$x_1$（$X$の座標）だけ離れた点だから $\vec{OX}=x_1\vec e_x$ であり，同様に $\vec{OY}=y_1\vec e_y$ である．したがって，

の形にただ1通りに表すことができる（一次独立な$\vec e_x,\vec e_y$による分解の一意性は，まさに定理7.5そのものである）．

7.3.2 内分点・外分点の位置ベクトル

点$A,B$の位置ベクトルをそれぞれ $\vec a=\vec{OA}$，$\vec b=\vec{OB}$ とする（原点$O$を基準に，点の位置をベクトルで表したものを位置ベクトル（position vector）という）．線分$AB$を$m:n$に内分する点を$P$とすると，$\vec{AP}=\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$ が成り立つ（これは中学以来の内分点の考え方を，そのままベクトルの言葉に置き換えただけである）．したがって，

（最後の変形は，分子を$(m+n)\vec a-m\vec a+m\vec b=(m+n-m)\vec a+m\vec b=n\vec a+m\vec b$ とまとめ直しただけである）．外分点についても同様に，$\vec{AP}=\dfrac{m}{m-n}\vec{AB}$（$m\ne n$）から出発して整理すると，

が得られる．

7.3.3 成分によるベクトル演算

ベクトルが成分で与えられているときは，加法・実数倍を成分ごとの計算に置き換えられる．$\vec a=(a_1,a_2)$，$\vec b=(b_1,b_2)$ とするとき，次の式が成り立つ．

これらは，$\vec a=a_1\vec e_x+a_2\vec e_y$，$\vec b=b_1\vec e_x+b_2\vec e_y$ を代入し，定理7.1・定理7.3の分配法則を使って整理すれば，そのまま出てくる（例えば $\vec a+\vec b=(a_1\vec e_x+a_2\vec e_y)+(b_1\vec e_x+b_2\vec e_y)=(a_1+b_1)\vec e_x+(a_2+b_2)\vec e_y$）．また，$2$点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$を結ぶベクトルは，$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)$ であり，その大きさは三平方の定理から $|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ となる（これは第4章で学んだ2点間の距離の公式そのものである）．

7.4 ベクトルの内積

7.4.1 内積の定義

ベクトルの加法・実数倍は，答えがまたベクトルになる演算だった．ここでは，2つのベクトルから1つの実数（スカラー）を作る新しい演算を導入する．物理で「した仕事」を求めるとき，力$\vec F$と変位$\vec s$が同じ向きなら仕事は$|\vec F||\vec s|$だが，ずれた向きにはたらく力は，変位方向に射影した分だけしか仕事をしない．この「向きのずれを$\cos$で割り引く」という考え方を，ベクトル一般に対する演算として定式化したものが内積である．

7.4.2 ベクトルの垂直と内積

$\theta=90^\circ$のとき，$\cos90^\circ=0$だから内積は$0$になる．逆に，$\vec a,\vec b$がともに$\vec 0$でなければ，$|\vec a||\vec b|\ne0$なので，内積が$0$になるのは$\cos\theta=0$，すなわち$\theta=90^\circ$のときに限る．

7.4.3 内積の成分表示

内積の定義には角$\theta$が入っていて，成分だけからは直接計算しにくい．そこで，第3章で学んだ余弦定理を使って，内積を成分だけの式に書き直そう．$\vec a=(a_1,a_2)$，$\vec b=(b_1,b_2)$ とし，$O(0,0)$を始点として$\vec{OA}=\vec a$，$\vec{OB}=\vec b$ となる点$A(a_1,a_2)$，$B(b_1,b_2)$をとる．三角形$OAB$に余弦定理を適用すると，

（最後の等号は，定義7.7 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ をそのまま代入しただけである）．一方，$|AB|^2$は2点間の距離の公式（7.3.3節）から成分でも計算できる．

（$|\vec a|^2=a_1^2+a_2^2$，$|\vec b|^2=b_1^2+b_2^2$ を使ってまとめ直した）．2通りに計算した$|AB|^2$を比べると，$|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\,\vec a\cdot\vec b=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2(a_1b_1+a_2b_2)$ となり，両辺から$|\vec a|^2+|\vec b|^2$を引いて$-2$で割れば，次の公式が得られる．

7.4.4 内積の性質

7.5 直線のベクトル方程式と法線ベクトル（平面図形）

7.5.1 直線のベクトル方程式

これまで，直線の方程式は $y=ax+b$ という形で表してきた．ここでは，ベクトルを使って直線を表す方法を学ぶ．

あるベクトル $\vec a=(\alpha,\beta)$（$\vec 0$でない）があるとする．また，$t$をすべての実数とし，動く点$(x,y)$を表すベクトルを $t\vec a=(t\alpha,t\beta)=(x,y)$ とおく．

成分で比べると，

である．$\alpha\ne0$なら第1式から$t=\dfrac{x}{\alpha}$なので，これを第2式に代入して，

となる．これは原点を通り，傾き$\dfrac{\beta}{\alpha}$の直線の方程式（$y=ax+b$の$b=0$の場合）にほかならない．つまり，$(x,y)=t\vec a$ は直線のベクトル方程式である．

次に，原点を通るとは限らない一般の直線を考える．点$A(\alpha,\beta)$，点$P(p,q)$とし，点$P$を通り$\vec a=\vec{PA}=(\alpha,\beta)$に平行な直線を考える．

動く点を$(x,y)$とすると，三角形の法則（7.1.1節）から，

すなわち，

となる．第1式から$t=\dfrac{x-p}{\alpha}$（$\alpha\ne0$）なので，これを第2式$y=\beta t+q$に代入すると，

となり，確かに傾きが$\dfrac{\beta}{\alpha}$で点$P(p,q)$を通る直線になっている（これは中学以来おなじみの「点$(p,q)$を通り傾き$m$の直線」$y-q=m(x-p)$の公式と一致する）．

7.5.2 直線と法線ベクトル

直線に垂直なベクトルを使っても，直線の方程式を作ることができる．

定点を$A(x_1,y_1)$，動点を$P(x,y)$とおく．$\vec{AP}$に垂直なベクトルを$\vec n=(a,b)$とおく．点$P$はある直線上を動く点とし，点$A$はその直線上にあるとする．

すると，定理7.6（垂直と内積）より $\vec n\cdot\vec{AP}=0$，すなわち $\vec n\cdot(\vec{OP}-\vec{OA})=0$ となり，成分で書くと

となる．この求めた直線の方程式が，点$A$と$P$がのっている直線である．

7.6 空間における平面・直線・球面の方程式

ここからは空間（3次元）のベクトルを扱う．成分は$(X,Y,Z)$のように丸括弧で表す（もとのノートでは角括弧$[X,Y,Z]$も使われているが，本書では平面のときと表記をそろえるため丸括弧に統一する）．

7.6.1 平面と法線ベクトル

空間では，直線ではなく平面に垂直なベクトルを考える．ある平面上での定点を$A(x_1,y_1,z_1)$，動点を$P(x,y,z)$とおく．$\vec{AP}$に垂直なベクトルを$\vec n=(a,b,c)$とおく．点$P$はある平面上を動く点とする．

すると，平面のときとまったく同じ議論により，$\vec n\cdot\vec{AP}=0$，すなわち$\vec n\cdot(\vec{OP}-\vec{OA})=0$となり，

となる．

7.6.2 空間における直線の方程式

座標空間において，点$A(x_0,y_0,z_0)$を通り，方向ベクトル$\vec d=(X,Y,Z)$の直線のベクトル方程式は，動く点を表すベクトル$\vec P=(x,y,z)$を用いて，

と書ける（$\vec d=(X,Y,Z)$は直線に平行なベクトルである）．成分で書くと，

すなわち，

である．$X,Y,Z$がいずれも$0$でないとき，それぞれの式を$t=\cdots$の形に解くと，

（3つの式がどれも同じ$t$を表しているので，右辺どうしを等号でつなげる）．

7.6.3 球面の方程式

座標空間において，点$A(x_0,y_0,z_0)$を中心とし，半径$r\ (\gt0)$の球面の方程式を求めよう．動く点を表すベクトル$\vec P$を用いると，球面は「中心$A$からの距離がつねに$r$である点の集まり」だから，

と表せる．ここで，$\vec P=(x,y,z)$とおくと，$\vec P-\vec{OA}=(x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0)$である．両辺を2乗すると（絶対値を含む方程式は，2乗すれば根号が消えて扱いやすくなる），

となり，左辺をベクトルの大きさの成分表示（定理7.7（Ⅳ）と公式7.3を空間に拡張したもの）で書き直せば，

となる．

7.7 共線・共点・共面条件と三角形の面積

7.7.1 直線のベクトル方程式（2点を通る形）

これまで学んだ直線のベクトル方程式を，定点と方向ベクトルの形，および異なる2点を通る形として改めてまとめる．

②は，①で方向ベクトルとして$\vec d=\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$を採用すれば，$\vec{OP}=\vec{OA}+t(\vec{OB}-\vec{OA})=(1-t)\vec{OA}+t\vec{OB}$ となって得られる（$s=1-t$とおけば$s+t=1$の形になる）．なぜ$s+t=1$という条件が付くのか，図で確認しよう．

7.7.2 共線・共点・共面条件

①の1つ目の同値は定理7.4（平行条件）と定義そのものであり，2つ目の同値は定理7.8②で$k=t$とおけば得られる．③は，定理7.8②の「2点を通る直線は$s+t=1$」という考え方を，3点$A,B,C$が張る平面に1次元分拡張したものである（平面上の点は，一次独立な2つのベクトルの1次結合でただ1通りに表せた——定理7.5——のと同じ理由で，空間内の平面上の点も，一次独立な$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$の1次結合のうち「係数の和が1」であるものとして特徴づけられる）．

7.7.3 三角形の面積

三角形$OAB$の面積を，内積を使って求めよう．なす角を$\theta$とすると，高校数学ですでに知っている面積公式は

である．ここで，$0^\circ\le\theta\le180^\circ$より$\sin\theta\ge0$であるから，$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$と書ける（$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を$\sin\theta$について解き，符号は$\sin\theta\ge0$から正の根を選ぶ）．したがって，

（根号の前の$|\vec{OA}||\vec{OB}|$を根号の中に入れるため2乗して掛けた）．最後に，定義7.7 $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta$ を使って，根号の中の$\big(|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta\big)^2$を内積の式に置き換えると，

が得られる．

7.8 まとめと演習

7.8.1 まとめ

• ベクトルは「大きさ」と「向き」を持つ量．加法は三角形の法則，実数倍は同じ向き（$k\gt0$）・反対向き（$k\lt0$）に長さを$|k|$倍する操作．
• $\vec 0$でなく平行でない2つのベクトル（一次独立）があれば，平面上の任意のベクトルはその1次結合でただ1通りに表せる（定理7.5）．空間では一次独立な3つのベクトルが必要．
• 成分表示は基本ベクトル$\vec e_x,\vec e_y(,\vec e_z)$による分解の係数．内分点・外分点の位置ベクトルは公式7.1．
• 内積 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ は，成分では $a_1b_1+a_2b_2(+a_3b_3)$（公式7.3）．内積が$0$になることと垂直は同値（定理7.6）．
• 直線・平面はベクトル方程式（媒介変数$t$を使う形）と，法線ベクトルを使う形の2通りで表せる．空間の球面は$|\vec P-\vec{OA}|=r$から2乗して座標の式にする．
• 点$P$が直線$AB$上にあることは，$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}\ (s+t=1)$と同値．平面$ABC$上にあることは$s+t+u=1$の3項版．
• 三角形の面積は$S=\dfrac12\sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-(\vec{OA}\cdot\vec{OB})^2}$，成分では$S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$．

7.8.2 演習問題

7.8.3 参考文献