破壊の理論 ― 理論強度・Griffith の式・破壊靱性・Weibull 統計を導く

このページは fracture-simulator.html の対になる解説です． シミュレーターで見た「理論強度と実際の強度の数十–数百倍の差」「き裂の長さの −1/2 乗で下がる強度」 「同じ条件でつくってもばらつく強度と Weibull 係数 m」が，どこから出てくるのかを，途中式を省略せずに導きます． 必要なのは，Hooke の法則と弾性ひずみエネルギー σ²/2E，微分で極大を求めること， そして「独立な事象の確率は掛け算」という確率の初歩だけです．学部 2・3 年生を想定しています． シミュレーターで目に見えるようにした現象 ―― 引張試験片のくびれ，楕円孔のまわりの応力場，き裂先端の塑性域と原子の模式図，試験片を壊すごとに積み上がる強度の分布，曲げ試験の応力分布，熱衝撃の温度と熱応力の分布，Vickers 圧子の圧痕と隅から伸びるき裂 ―― の物理も， §1.1–§1.5，§3.2–§3.5，§5.5–§6.7，§8.5，§9.5–§9.6，§10.2–§10.5，§12 で導きます（§3.2 の複素関数と §10.4 の数値解法は，考え方と結果の使い方が分かれば十分です）．

1. はじめに ― セラミックスの壊れ方

茶碗を床に落とすと割れます．金属のスプーンは，落としても曲がることはあっても割れはしません． 引張試験で比べると違いははっきりしていて，セラミックスは応力とひずみが比例したまま，ある応力で突然壊れます． 壊れる直前のひずみはアルミナで 0.092 %，ソーダ石灰ガラスで 0.071 % にすぎません． 金属は降伏したあと塑性変形で大きく伸び，くびれてから壊れます（§1.1–§1.5）．

この違いの根は，転位が動けるかどうかにあります．金属結合は方向性がなく，原子面は比較的楽にすべります． イオン結晶では，すべりの途中で同符号のイオンどうしが向かい合うので大きなエネルギーが要り， 共有結合結晶では結合に方向性があるので，すべりには結合を切り替える必要があります． そのため室温の多結晶セラミックスでは，転位が動きにくいうえに独立なすべり系も足りず（MgO などの単結晶は室温でも少しすべります），き裂の先端が塑性変形で丸まることがありません． 先端が鋭いままのき裂が，強度を支配することになります．

壊れるまでに単位体積が蓄えられる弾性エネルギーは，応力–ひずみ直線の下の三角形の面積 σ_f²/2E です． アルミナで 0.16 MJ m⁻³，ガラスで 0.018 MJ m⁻³，Y-TZP でも 2.4 MJ m⁻³ です． 金属は塑性変形の仕事が加わるので，これよりはるかに大きなエネルギーを吸収してから壊れます． このページでは，表 1 の値を例に使います．

1.1 引張試験 ― 公称応力と真応力

シミュレーターの①は，学生実験の引張試験を画面の中で行います． 平行部の長さ（標点距離）L₀，断面積 A₀ の試験片を荷重 F で引き，伸び ΔL を測ります． 試験機が直接記録するのは F と ΔL なので，これをはじめの寸法で割った量がまず得られます．

ところが引っ張ると試験片は細くなるので，いまの断面 A が本当に受けている応力は F/A です． ひずみも，長さが L から L + dL に伸びるときの増分 dL/L を足し合わせて定義します． これが真応力 σ_t と真ひずみ ε_t です．

金属の塑性変形では原子が並び替わるだけで，体積はほとんど変わりません．AL = A₀L₀ とおくと A = A₀L₀/L = A₀/(1 + e) なので，

弾性の範囲では体積は少し変わりますが，ひずみが 0.1 % 程度なので違いは無視できます． くびれが始まったあとは試験片の中で断面が一様でなくなるので，真応力と真ひずみはいちばん細いところの断面 A_min で σ_t = F/A_min，ε_t = ln(A₀/A_min) と読みます（シミュレーターの読み取り値もこの定義です）．

1.2 加工硬化 ― Hollomon の式

金属は降伏したあとも，転位どうしが絡み合って動きにくくなるので，変形を続けるにはより大きな応力が要ります（加工硬化）． 真応力–真ひずみの関係は，多くの金属で次のべき関数でよく表せます（Hollomon，1945）．

n を加工硬化指数，K を強度係数と呼びます（この節の K と n は，§5 の応力拡大係数 K_I や §7 の欠陥の数 n とは別の量です）． シミュレーターでは，弾性の直線 σ_t = Eε_t が降伏応力 σ_y に達したあと， σ_t = max(σ_y, Kε_tⁿ) としています． 式 (4) をそのまま降伏ひずみ σ_y/E に当てはめると，構造用鋼で 209 MPa と σ_y = 250 MPa を下回ってしまうので， Kε_tⁿ が σ_y に追いつくひずみ ε₁ = (σ_y/K)^1/n（鋼 0.36 %，Al 合金 0.47 %）までは σ_y で一定とします． これは軟鋼で見られる降伏点伸び（Lüders 帯が試験片を伝わる間の平らな部分）を形の上で置き換えたものです． n と K は，次の §1.3 の結果を使って，表 1 の引張強さと，一様伸び（構造用鋼 18 %，アルミニウム合金 8 %．教材用の目安）から決めます．

1.3 くびれはいつ始まるか ― Considère の条件

加工硬化で材料は強くなりますが，同時に断面は細くなります．荷重 F = σ_tA がどう変わるかは，この 2 つの競争で決まります． 積の微分をとると

体積一定 AL = 一定 を微分すると L dA + A dL = 0，すなわち dA/A = −dL/L = −dε_t です． これを入れると

荷重が最大になる（dF = 0）のは

のときです（Considère，1885）．意味は次のとおりです．試験片のどこか 1 か所がたまたま少し細くなったとします． そこでは応力が上がりますが，そこだけ余分にひずむので加工硬化で強くもなります． 加工硬化率 dσ_t/dε_t が σ_t より大きいうちは「強くなる」ほうが勝ち，細いところは変形を止めて，変形は試験片全体に広がります（一様伸び）． 加工硬化率が σ_t を下回ると「細くなる」ほうが勝ち，変形はその 1 か所に集中します．これがくびれです． 式 (6) から分かるように，これは荷重が増加から減少に転じる点，つまり公称応力–公称ひずみ曲線の最高点と一致します．

Hollomon の式 (4) なら dσ_t/dε_t = nKε_tⁿ⁻¹ = (n/ε_t)σ_t なので，式 (7) は

となります（2 つ目は式 (3) の σ_n = σ_te^−ε_t に ε_t = n を入れたもの）． くびれが始まる真ひずみは加工硬化指数 n に等しいという，簡単で重要な結果です． 逆に一様伸び e_u（最高点での公称ひずみ）が分かれば n = ln(1 + e_u)，引張強さ σ_UTS が分かれば K = σ_UTS/(nⁿe⁻ⁿ) です． 構造用鋼（e_u = 18 %，σ_UTS = 400 MPa）では n = 0.166，K = 636 MPa で，くびれの始まりの真応力は 472 MPa， そこでの加工硬化率も確かに 472 MPa です．アルミニウム合金（8 %，310 MPa）では n = 0.077，K = 408 MPa で，どちらも 334.8 MPa になります． 加工硬化指数の小さい Al 合金は，早くくびれます． なお，公称ひずみで書き直すと dσ_t/de = σ_t/(1 + e) となり，σ_t–e のグラフの上で e = −1 の点から曲線に引いた接線の接点が最高点になります．これが教科書によく出てくる Considère の作図です． シミュレーターでは「真応力–真ひずみと加工硬化率（Considère の条件）も表示」をチェックすると，dσ_t/dε_t の曲線（緑）と σ_t の曲線の交点として同じ点を示します．

1.4 くびれの中の応力 ― Bridgman の補正

くびれができると，いちばん細い断面の外側の輪郭は曲がり，その断面は太い部分に上下からはさまれます． 細い部分は横に縮もうとしますが，まわりの太い部分がそれを引き止めるので，断面の内部には軸の向き以外にも引張の応力（半径方向と円周方向）が生じます． その結果，軸方向の応力 σ_zz は断面の中で一様でなくなり，中心で高く，表面で低くなります． Bridgman（1952 の著書にまとめられた解析）は，丸棒のくびれについて，最小断面の半径を a，くびれの輪郭の曲率半径を R として， 次の分布を導きました（r は中心からの距離，σ_eq は材料の流れ応力（相当応力））．

荷重 F を最小断面 πa² で割った平均の応力 σ̄ = F/πa² を，この分布から計算してみます． u = a² − r²（du = −2r dr）と置換すると ∫₀^a ln(1 + (a² − r²)/2aR) 2r dr = ∫₀^a2 ln(1 + u/2aR) du = 2aR[(1 + x) ln(1 + x) − x] （x = a/2R．∫ ln t dt = t ln t − t を使った）なので，

右辺の係数 B = (1 + 2R/a) ln(1 + a/2R) は 1 以上で，a/R → 0（くびれがない）で 1 に戻ります． つまり，くびれの後に測った F/A_min は材料の流れ応力を B 倍だけ高く見せており，σ_eq = σ̄/B と割り戻すのが Bridgman の補正です． 構造用鋼のモデルで破断の直前（a/R = 0.646）では B = 1.146 で，式 (9) の中心の値は σ̄ の 1.12 倍，表面の値は 0.87 倍です． 中心で応力が高く，しかも 3 方向に引張になっていることが，次の §1.5 で延性破壊が中心から始まる理由です．

1.5 延性破壊と脆性破壊

延性破壊（金属）．金属の中には，酸化物や硫化物などの介在物や第 2 相の粒子が散らばっています． 塑性変形が進むと，粒子が割れたり粒子と母相の界面がはがれたりして，小さな空洞（ボイド）ができます． ボイドは塑性変形とともに引き伸ばされて育ち，3 方向に引張の応力がかかっているところほど速く育ちます． くびれの中心は式 (9) のとおりその条件がそろう場所なので，ボイドは中心で育ってつながり，軸に垂直な中央のき裂になります． 最後に外周の部分が約 45° の面ですべってちぎれ，カップアンドコーンと呼ばれる破面ができます．破面を電子顕微鏡で見ると，ボイドの跡のくぼみ（ディンプル）が一面に並んでいます． 介在物の量とボイドの生成・成長から延性の大きさを説明するモデルは，Le Roy ら（1981）が示しています． シミュレーターの拡大図（模式図）はこの順序を描いていますが，ボイドの育ち方は形を示すだけで，成長の式を解いてはいません．

脆性破壊（セラミックス）．転位がほとんど動かないので，応力は直線のまま上がり， もともとあった小さなき裂の先端で応力拡大係数が破壊靱性に達した瞬間（§5），き裂は加速しながら断面を横切ります． 破面は荷重の向きに垂直な平らな面になり，塑性変形の跡はありません． 表 1 の値で表面き裂（Y = 1.12）とすると，強度 σ_f で壊れるき裂の深さ a = (K_IC/1.12σ_f)²/π（式 (43)）は， アルミナで 25 μm，Y-TZP で 16 μm，ソーダ石灰ガラスで 57 μm です．シミュレーターの拡大図は，この深さのき裂を描いています．

壊れるまでに吸収するエネルギー（公称応力–公称ひずみ曲線の下の面積）は， シミュレーターのモデルで構造用鋼 94 MJ m⁻³，アルミニウム合金 35 MJ m⁻³ で，アルミナ（0.16 MJ m⁻³）のそれぞれ約 590 倍と約 215 倍です． 強度そのものはアルミナ（350 MPa）のほうが鋼の降伏応力（250 MPa）より高いのに，決定的に違うのは壊れるまでに吸収できるエネルギーです．

2. 理論強度を見積もる（Orowan）

まず，き裂も欠陥もない完全な結晶を引っ張り，原子面どうしを引き離すのに必要な応力 ―― 理論強度 ―― を見積もります． 原子面の間隔を a₀，平衡位置からの面の変位を x とします． x を増やすと，応力ははじめ Hooke の法則にしたがって増え，最大値 σ_th に達したあと， 結合が切れていくにつれて 0 に戻ります．この山の形を，正弦関数の半周期で近似します（Orowan の近似）．

λ/2 は，応力が 0 に戻る（結合が完全に切れる）変位です．未知数は σ_th と λ の 2 つなので，条件を 2 つ用意します．

2.1 条件 1：変位が小さいところでは Hooke の法則

x ≪ λ では sin θ ≈ θ なので，式 (11) は σ ≈ σ_th·2πx/λ です． 一方，ひずみは ε = x/a₀ なので，Hooke の法則は σ = Eε = Ex/a₀． x の係数を等しいとおいて

2.2 条件 2：引き離す仕事は，新しくできる 2 枚の表面のエネルギー

単位面積の原子面を完全に引き離すまでに応力がする仕事は，式 (11) の曲線の下の面積です． 引き離すと表面が 2 枚できるので，これが 2γ_s に等しくなります．

（cos π = −1，cos 0 = 1 を使った．）したがって λ = 2πγ_s/σ_th です．

2.3 λ を消去する

この λ を式 (12) の右の式に代入すると

アルミナ相当の値 E = 380 GPa，γ_s = 1.0 J m⁻²，a₀ = 0.2 nm を入れると

表 1 のアルミナの強度は 350 MPa なので，理論強度は実際の強度の約 125 倍です． このとき λ = 2πγ_s/σ_th = 0.144 nm，結合が完全に切れる変位 λ/2 は 0.072 nm で， a₀ の 0.36 倍 ―― 原子間距離の 4 割弱引き伸ばせば結合は切れる，という妥当な大きさです．

3. 応力集中（Inglis）

この大きな差を説明する最初の手がかりは，穴やき裂の先端に応力が集中することです． Inglis（1913）は，無限に広い板にあいた長径 2a，短径 2b の楕円の穴に，長径と垂直な向きに一様な引張応力 σ をかけたときの弾性解を求め， 長径の端での応力が

になることを示しました．円孔（a = b）なら 3σ で，よく知られた「応力集中係数 3」です． 楕円 (x/a)² + (y/b)² = 1 の長径の端 (a, 0) の近くでは y² ≈ 2(b²/a)(a − x) と放物線で近似でき，これを半径 ρ の円の y² ≈ 2ρ(a − x) と比べると，曲率半径は ρ = b²/a です．これより b = √(aρ)，したがって 2a/b = 2a/√(aρ) = 2√(a/ρ) と書き直せます．

集中の度合いを決めるのは，穴の大きさそのものではなく「長さと先端の鋭さの比」です． たとえば a = 10 μm のき裂の先端が原子 1 個ぶんまで鋭い（ρ = a₀ = 0.2 nm）とすると， √(a/ρ) = √(5×10⁴) = 223.6 で，集中係数は 1 + 2 × 223.6 ≈ 448 です． 外から σ = 100 MPa をかけただけで，先端の応力は 44.8 GPa ―― 式 (16) の理論強度 43.6 GPa を超えます．

3.1 Orowan と Inglis を組み合わせると

先端の応力が理論強度に達したら壊れる，つまり σ_max = σ_th とし，ρ = a₀ とおきます． 式 (18) の近似形と式 (15) から

a₀ が消えました．a = 10 μm では σ_f ≈ 97 MPa で，実際の強度の桁が出ます． しかも「強度はき裂の大きさの平方根に反比例する」という形まで出ています．

3.2 楕円孔のまわりの応力場 ― 等角写像と複素ポテンシャル

シミュレーターの②は，式 (17) の「先端の 1 点の値」だけでなく，楕円孔のまわり全体の応力をカラーマップで描きます． その計算の考え方をまとめます．無限に広い板（平面応力でも平面ひずみでも，面内の応力は ν によりません）に， x 方向の半径 a，y 方向の半径 b の楕円孔があり，孔の縁には力がかかっていない（自由表面）とします． 遠方では一様な応力 σ_xx = S_x，σ_yy = S_y，σ_xy = 0 がかかっています． ②の荷重「上下」は (S_x, S_y) = (0, σ)，「左右」は (σ, 0)，「等二軸」は (σ, σ) です．

手順 1：応力を 2 つの複素関数で表す． つり合いの式と適合条件を満たす平面の応力は，z = x + iy の解析関数 φ(z)，ψ(z) を使って次のように書けることが知られています（Kolosov–Muskhelishvili の式．導出は弾性論の教科書に譲ります：Muskhelishvili，1953）．

たとえば φ = Γz，ψ = Γ′z（Γ，Γ′ は実数）とすると Φ = Γ，Φ′ = 0，Ψ = Γ′ なので， σ_xx + σ_yy = 4Γ，σ_yy − σ_xx = 2Γ′，σ_xy = 0 の一様な応力になります． 遠方の応力に合わせるには

とすればよく，孔があるときの φ，ψ は，遠方でこの形に近づき，孔の縁で力が 0 になるように決めます．

手順 2：楕円の外側を円の外側に写す． 楕円の縁の上で条件を課すのは面倒なので，別の複素数 ζ の平面の単位円の外側 |ζ| ≥ 1 を，楕円孔の外側に写す関数を使います．

確かめてみます．単位円の上の点 ζ = e^iθ では 1/ζ = e^−iθ なので z = R[(1 + m) cos θ + i(1 − m) sin θ]． R(1 + m) = (a + b)/2 × 2a/(a + b) = a，同じく R(1 − m) = b なので， z = a cos θ + ib sin θ ―― ちょうど楕円の縁です． b = a なら m = 0 で円孔，b → 0 なら m → 1 で長さ 2a のき裂になります． このように角度を保って形を写す関数を等角写像と呼びます．

手順 3：縁で力が 0 になる関数を決める． ζ の平面で，遠方で手順 1 の形になる関数を ζ と 1/ζ のべきで表し，単位円の上で縁の力が 0 になるように係数を決めると，次の形になります．

Inglis（1913）は楕円座標を使って同じ問題を解きました．式 (23) は，それを複素ポテンシャルの形で書き直したもので， シミュレーターは z から ζ を逆に求め（ζ = (z ± √(z² − a² + b²))/2R のうち |ζ| の大きいほう）， Φ = φ′(ζ)/ω′(ζ)，Ψ = ψ′(ζ)/ω′(ζ) を式 (20) に入れて各点の応力を計算しています． 孔の縁で力が 0 になること，遠方で一様な応力に戻ること，つり合いと適合の式を満たすことは，数値的に確かめてあります（付録 A.9）．

手順 4：孔の縁の応力． 自由な縁では縁に垂直な応力 σ_nn が 0 なので，縁に沿った応力 σ_tt は，座標の向きによらない和 σ_xx + σ_yy = σ_nn + σ_tt に等しく，4 Re Φ です． ζ = e^iθ で Φ = φ′/ω′ = (Γ − Ae^−2iθ)/(1 − me^−2iθ) です． 分母を実数にするため分子と分母に (1 − me^2iθ) を掛けると，分母は 1 − 2m cos 2θ + m²， 分子の実部は Γ + mA − (A + mΓ) cos 2θ です．A + mΓ = −Γ′，Γ + mA = Γ(1 − m²) − mΓ′ を使うと

上下の荷重（Γ = σ/4，Γ′ = σ/2，A = −σ(2 + m)/4）で先端 θ = 0 を計算すると， 分子は 4(1 − m)(Γ − A) = (1 − m)(3 + m)σ，分母は (1 − m)² なので σ_tt = σ(3 + m)/(1 − m) です． 1 − m = 2b/(a + b)，3 + m = (4a + 2b)/(a + b) を入れると σ(4a + 2b)/2b = σ(1 + 2a/b) ―― 式 (17) が出てきました． 上下の縁 θ = π/2（cos 2θ = −1）では，分子が −(1 + m)²σ，分母が (1 + m)² で σ_tt = −σ（圧縮）です．

3.3 荷重の向きで変わる ― 円孔の Kirsch の解との比較

式 (24) で荷重の向きを変えると，縁のどこに応力が集中するかが入れ替わります．表にまとめます（σ で割った値）．

き裂のような細長い孔を，き裂に沿った向き（左右）に引っ張っても，応力はほとんど集中しません（上下の縁で 1 + 2b/a → 1）． 危険なのはき裂の面を開く向きの応力だけです．等二軸では先端で 2a/b と，上下の荷重とほぼ同じだけ集中します．

円孔では，孔の中心を原点とする極座標 (r, θ)（θ は荷重の向きの x 軸から測る）で，x 方向の一様な引張 σ に対する解が Kirsch（1898）によって閉じた形で求められています．

縁 r = a では σ_rr = σ_rθ = 0（自由表面）で，σ_θθ = σ(1 − 2 cos 2θ)． 荷重と垂直な位置 θ = 90° で 3σ，荷重の向きの位置 θ = 0 で −σ です． r → ∞ では σ_rr → (σ/2)(1 + cos 2θ) = σ cos²θ と一様な引張に戻ります． 式 (24) で m = 0 とおいた値とも一致します． 符号を逆にした一様な圧縮では，荷重の向きの縁に +σ の引張が現れます．圧縮しかかけていないのに孔や欠陥の縁から小さなき裂が伸びうるのはこのためで，§1 の誤解 1 の説明と対応します．

き裂に近い細長い楕円（b ≪ a）では，先端の前方の応力も簡単な形になります． b → 0 の極限（長さ 2a のき裂）では，き裂の延長線上で先端から r 離れた点の応力は σ_yy = σ(a + r)/√((a + r)² − a²) で， r ≪ a では (a + r)² − a² = 2ar + r² ≈ 2ar なので σ_yy ≈ σ√(a/2r) = σ√(πa)/√(2πr) ―― §5 の式 (37)(38) の K_I/√(2πr) です（§5.5 で導きます）． たとえば b/a = 0.005，r = 0.01a の点では，楕円孔の解 7.128σ，き裂の厳密解 7.124σ，K 場の近似 7.071σ と，ほぼ一致します． カラーマップで先端の高い σ₁ の領域がき裂の線の上下にふくらんだ腎臓形に見えるのは，§5.5 の式 (47) で説明できます．

3.4 主応力の向きと，き裂の進む向き

ある点の応力 (σ_xx, σ_yy, σ_xy) を，x 軸から角 ϑ だけ回した向きの面で見ると，その面に垂直な応力は

です（力のつり合いを小さな三角形の要素で書くと出ます）．ϑ で微分して 0 とおくと tan 2ϑ_p = 2σ_xy/(σ_xx − σ_yy)， そのときの cos 2ϑ，sin 2ϑ を戻すと最大値と最小値が得られます．これが主応力です．

シミュレーター②の既定の表示は最大主応力 σ₁ で，短い灰色の線がその向き（ϑ_p）を示します． 脆い材料のき裂は，先端の近くで最大主応力の向きに垂直に進みます． Erdogan と Sih（1963）は，先端のまわりで円周方向の応力が最大になる向きにき裂が伸びるという条件（最大円周応力説）で，斜めのき裂の曲がり方を実験と比べ， Gol'dstein と Salganik（1974）は，き裂は先端の場がずれの成分（モード II）をもたない向きに進むという局所対称の原理を示しました． どちらも「き裂は先端を開く向きの引張に垂直に進む」という同じ直感の表現です． ②の緑の矢印は，縁で σ₁ が最大になる点からこの向き（縁の外向きの法線）に描いてあります． 上下の荷重ではき裂は先端から x 方向に，左右の荷重では上下の縁から y 方向に伸びます． 円孔に等二軸をかけると縁全体が同じ 2σ なので，どこから割れるかはその場所にある小さな欠陥で決まり，矢印は描きません．

自由な縁のすぐそばでは，主応力の向きは必ず縁に沿った向きと縁に垂直な向きになります． 縁では面に垂直な応力もずれの応力も 0 なので，縁に沿った向きの応力 σ_tt と，0 の垂直応力が主応力になるからです． σ_tt > 0 なら σ₁ は縁に沿い，それに垂直に進むき裂は縁に直角に突き当たります． ②で「σ₁ の向きを短い線で重ねる」をチェックすると，孔の縁の近くの線が縁に沿って並ぶことを確かめられます．

3.5 考察：ガラスの破片に三角形が多いと感じるのはなぜか

事実 1：き裂は局所の σ₁ に垂直に進む（§3.4）．したがって破片の形は，割れる瞬間の板の中の主応力の向きの模様を写し取ります．

事実 2：あとから来たき裂は，先にできたき裂にほぼ直角に突き当たる． 先にできたき裂の面は自由表面なので，その近くでは §3.4 のとおり σ₁ が面に沿い，あとから来たき裂は面に垂直に向きを変えます． 陶磁器の釉薬や乾いた泥の割れのように，き裂が1 本ずつ順にできて領域を分けていく場合には，T 字形の交点が多くなり， できる区画の辺の数は平均して 4 になることが報告されています（Bohn，Douady，Couder，2005．Bohn，Pauchard，Couder，2005）． 「順に分割するだけなら，破片は三角形より四角形になりやすい」ということです．

事実 3：速く走るき裂は枝分かれする． ガラスのように蓄えた弾性エネルギーが大きいまま割れると，き裂は加速して 2 本に分かれ，さらに分かれていきます． Yoffe（1951）は，速く走るき裂の先端では円周方向の応力が最大になる向きが進行方向から斜めにずれることを示し，枝分かれの古典的な説明の 1 つとされています（枝分かれの原因は現在も研究が続いています）． 枝分かれの角度は応力状態で変わり，一軸の引張では 30–45° 程度（ばらつきは大きい），二軸の引張ではそれより大きいことが，破面解析の文献でまとめられています（Quinn，2020）． また，板に点状の衝撃や曲げがかかると，荷重点から放射状に伸びるき裂（放射き裂）と，それを横切る円周状のき裂ができることもよく知られています（Quinn，Swab，Patel，2021．Bradt，2011）．

そこから言えそうなこと． 1 点から鋭い角度で出た 2 本のき裂（枝分かれの 2 本，または隣り合う放射き裂）の間の細長いくさびを，3 本目のき裂が横切ると，三角形に近い破片ができます． 枝分かれの角度が 30–45° 程度と鋭いことは，くさびの先端の角が鋭い三角形の破片ができやすいことと矛盾しません． 一方，事実 2 の T 字の交わりが続くと四角形に近づきます． したがって「三角形が多い」と感じられるとすれば，それはエネルギーの大きい速い破壊で枝分かれや放射き裂が多くできたことの表れと考えるのが自然です． ただし，三角形が本当に多数派なのか，どの割れ方でどれだけ多いのかは，破片の形を数えてみないと言えません． シミュレーター②の楕円孔の図は静的な弾性解で，速く走るき裂や枝分かれそのものは表していないことにも注意してください． 学生への問い：②で荷重の向きを変え，σ₁ の線の模様から「き裂がどこでどちらに曲がるか」を予想し，実際の割れたガラスの写真と比べてみましょう．

4. Griffith のエネルギー収支【核心】

Griffith（1921）の着想は，き裂の先端で何が起きているかを問わず，き裂が少し伸びたときのエネルギーの帳尻だけを見ることでした． き裂が伸びると，(i) 新しい表面ができるのでエネルギーが要り，(ii) き裂のまわりの材料がゆるむので弾性ひずみエネルギーが解放されます． (ii) が (i) を上回るなら，き裂は外から何もしなくても伸びていきます．

状況を次のように決めます．無限に広い，厚さ 1（単位厚さ）の板に，全長 2a の貫通き裂があり， き裂と垂直な向きに遠方から一様な引張応力 σ がかかっている．平面応力とする． き裂を入れることで，(i)(ii) がそれぞれいくらになるかを a の関数として求め，足し合わせます．

4.1 き裂が口を開く形

弾性論（§3 の Inglis の楕円の穴で b → 0 とした極限）によれば，このき裂は楕円形に口を開きます． き裂の中心を原点，き裂に沿って x 軸をとると，上側のき裂面の変位は

です（下側の面は −v(x) だけ動く）．この結果は弾性論から借ります． 口の開きは中央で最大の 4σa/E で，a = 10 μm，σ = 156 MPa でも 16 nm にすぎません．

4.2 き裂を入れると解放される弾性エネルギー

次の手順を考えます．き裂のない板に σ がかかった状態から出発し，き裂を入れる面を切りますが， 切った面にはもともとかかっていた応力 σ を「押さえの力」として残しておきます．押さえている間は何も変わりません． この押さえの力を σ から 0 までゆっくり減らすと，き裂面は 0 から v(x) まで開きます． このとき材料が押さえの力に対してする仕事が，き裂を入れることで解放されるエネルギーです．

線形弾性体では押さえの力と開きが比例して変わるので，仕事は「最初の力 × 最終の変位 × 1/2」（力–変位の直線の下の三角形）です． 上下 2 枚の面について足すと

最後の積分は，y = √(a² − x²)（半径 a の上半円）の下の面積，すなわち半円の面積 πa²/2 です．したがって

4.3 新しくできる表面のエネルギー

き裂の長さは 2a，厚さは 1，そして面は上下 2 枚です．

4.4 全エネルギーの極大を求める

き裂のない状態を基準にした系のエネルギーの変化は，式 (30) の解放ぶんを引き，式 (31) を足して

第 1 項は a² で下がり，第 2 項は a で上がります．小さい a では第 2 項が勝ち，大きい a では第 1 項が勝つので，U(a) は山の形になります． a で微分すると

dU/da > 0 のうちは，き裂が伸びるとエネルギーが増えるので伸びません． dU/da < 0 になると，伸びるほどエネルギーが下がるので止まりません．境目 dU/da = 0 は

これを，与えられた a で壊れる応力（強度）として読むか，与えられた σ で伸び始めるき裂の半長として読むかで，2 つの形になります．

2 階微分は d²U/da² = −2πσ²/E < 0 なので，この点は極大です． 山の高さは，式 (34) の左の式から πσ²a_c/E = 2γ_s を使って U(a_c) = −2γ_sa_c + 4γ_sa_c = 2γ_sa_c です． アルミナ相当の値で a = 10 μm とすると

理論強度 43.6 GPa の 1/280 です．平面ひずみ（E → E/(1 − ν²)，ν = 0.22）なら 159 MPa になります． 逆に，γ_s = 1.0 J m⁻² のままアルミナの強度 350 MPa を説明するには，a = 2.0 μm のき裂があればよいことになります．

5. 応力拡大係数とエネルギー解放率

Griffith は系全体のエネルギーを見ました．Irwin（1957）は視点をき裂の先端に移し， 先端近くの応力場の「強さ」を 1 つの数で表しました．両者は同じ破壊条件の 2 つの顔です．

5.1 先端の応力場と応力拡大係数 K

線形弾性体では，先端からの距離 r が a より十分小さいところで，き裂面の延長上の引張応力は

という形になります．r → 0 で 1/√r のように発散しますが，発散の形はき裂の長さや試料の形によらず同じで， それらの違いはすべて係数 K_I に入ります．これを応力拡大係数と呼びます（添字 I は，き裂を口開きの向きに開くモード I を表す）． 幅の広い板では

Y は形状係数です．板の縁（自由表面）から入った，前縁がまっすぐなき裂は，片側の拘束がないぶん口を開きやすいので，Y は 1 より大きい 1.12 になります． 表面にできる半円形の小さなき裂では，Y は前縁に沿って 0.66（いちばん深い点）から 0.73（表面と交わる点）ほどで，代表値として円板状のき裂の係数 2/π に表面の補正 1.12 を掛けた Y ≈ 0.71 がよく使われます．いずれにしても 1 より小さくなります． 本ページとシミュレーターでは簡単のため，表面のき裂を Y = 1.12 で代表させます（K_I を大きめに見積もる，安全側の扱い）． K_I の単位は MPa m^1/2 です．

5.2 エネルギー解放率 G

き裂が単位面積だけ進むときに解放される弾性エネルギーをエネルギー解放率 G と定義します． 全長 2a のき裂には先端が 2 つあり，a が da 増えると両端がそれぞれ da 進むので，き裂の面積（厚さ 1）は 2da 増えます． 式 (30) を使って

Y = 1 の式 (38) を 2 乗すると K_I² = πσ²a なので，これはそのまま

と書けます．全体のエネルギー（G）と先端の応力場（K）が，1 本の式でつながりました．

5.3 2 つの破壊条件は同じもの

表面エネルギーの側も同じ規則で数えます．き裂の面積が単位量増えると表面は上下 2 枚ぶん増えるので，必要なエネルギーは 2γ_s です． 「G が 2γ_s に達したら壊れる」という条件を書くと

となり，式 (35) と一致します．K の言葉では「K_I が臨界値 K_IC に達したら壊れる」です． 式 (40) で G を臨界値 G_c に置き換えれば，両者の関係は次のようになります．

G_c を破壊エネルギー（き裂進展抵抗），γ_eff = G_c/2 を実効表面エネルギーと呼びます（文献によっては片側の破面あたりの γ_eff のほうを破壊エネルギー γ_f と呼ぶので，値を比べるときは 2 倍の違いに注意してください）． K_IC は試験で直接測れる材料の値で，これが破壊靱性です． 理想的な脆性体なら γ_eff = γ_s で，アルミナ相当の値では K_IC = √(2Eγ_s) = 0.87 MPa m^1/2 になるはずです． 表 1 の 3.5 MPa m^1/2 はその 4.0 倍，G_c にすれば 16 倍です．この差の由来が §6 の主題です．

5.4 許容できるき裂の大きさ

式 (42) の左の式を a について解くと，応力 σ のもとで許容できる最大のき裂が決まります．

設計応力 σ = 300 MPa，表面のき裂（Y = 1.12）とすると， アルミナで 34.5 μm，ソーダ石灰ガラスで 1.6 μm，Y-TZP で 180 μm です． a_c は K_IC の 2 乗に比例するので，K_IC が 2.3 倍（アルミナ → Y-TZP）になると許容できるき裂は 5.2 倍になります． ガラスの 1.6 μm は，表面を軽くこすった傷でも超えてしまう大きさです． §4 の最後で見た「γ_s = 1.0 J m⁻² なら 350 MPa には 2.0 μm のき裂で足りる」という見積もり（貫通き裂）に対し， 実際のアルミナ（K_IC = 3.5 MPa m^1/2）が 350 MPa で壊れるき裂の大きさは，同じ貫通き裂なら 32 μm（G_c の比と同じ 16 倍），表面き裂（Y = 1.12）なら 25 μm です．

5.5 き裂先端の応力場の全体 ― Westergaard の解と K 場

式 (37) はき裂の延長線の上だけの式でした．シミュレーター③の上の図は，先端のまわり全体の σ_yy を塗り分けています． その場を，Westergaard（1939）の方法で導きます．長さ 2a のき裂（y = 0，|x| < a）をもつ広い板に，遠方から σ がかかっているとき，複素関数

を使うと，き裂の面（y = 0，|x| < a）で √(z² − a²) が純虚数になって σ_yy = σ_xy = 0，遠方で Z → σ になります （この Z は遠方で σ_xx も σ にする二軸の解なので，一軸の引張では σ_xx から σ を引きます．σ_yy と σ_xy は変わりません）． 延長線の上（y = 0，x = a + r）では σ_yy = σ(a + r)/√((a + r)² − a²) で，§3.3 のき裂の厳密解と同じです．

先端の近くを，先端を原点とする極座標 z = a + re^iθ（r ≪ a）で調べます． z² − a² = (z − a)(z + a) ≈ re^iθ × 2a なので

（K_I = σ√(πa) とおいた．Z′ は Z ∝ (z − a)^−1/2 を微分した．） Re Z = (K_I/√(2πr)) cos(θ/2)，y Im Z′ = r sin θ × (K_I/2√(2π))r^−3/2 sin(3θ/2)， sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) を使ってまとめると，モード I のK 場が得られます．

θ = 0 で式 (37) に戻ります．角度の関数は a にも σ にもよらず，それらは K_I だけに入っている ―― これが「K が先端の場の強さを 1 つの数で表す」ことの中身です． 式 (27) に入れると，(σ_xx + σ_yy)/2 = (K_I/√(2πr)) cos(θ/2)， ((σ_xx − σ_yy)/2)² + σ_xy² = (K_I²/2πr) cos²(θ/2) sin²(θ/2)[sin²(3θ/2) + cos²(3θ/2)] なので

s = sin(θ/2) とおくと角度の部分は √(1 − s²)(1 + s) で，s で微分して 0 とおくと s = 1/2，すなわち θ = ±60° で最大値 1.30 になります． 同じ距離なら，き裂の正面（1.00）より斜め 60° の方向のほうが σ₁ が 3 割高いので，②の σ₁ のカラーマップで高い領域は上下にふくらんだ腎臓形になります． ③の上の図が塗っている σ_yy（き裂を開く成分）も，式 (46) の角度の部分 cos(θ/2)[1 + sin(θ/2)sin(3θ/2)] が θ = ±60° で 1.30（正面の 1.3 倍）になるので，やはりき裂の線の上下にふくらんだ形です． σ₁ との違いは，σ_yy がき裂を開く向きの成分だけであることと，先端の後ろ側で速く小さくなること（θ = 90° で σ_yy は 1.06，σ₁ は 1.21）です．

5.6 塑性域の大きさ ― Irwin の見積もり

式 (46) は先端で無限大になりますが，金属では応力が降伏応力 σ_y を超えたところで塑性変形が起きます． 延長線上で K_I/√(2πr) = σ_y となる距離を求めると

です．ところが r < r_p の部分は σ_y より大きな応力を支えられないので，そのぶんの力は外側に押し出され，塑性域はおよそ 2 倍の 2r_p に広がります． Irwin はこれを「き裂が r_p だけ長くなったように振る舞う」と考えて補正しました（この補正の導き方は Anderson，2017 にまとめられています）． シミュレーター③では，先端から r_p 先を中心とする直径 2r_p の破線の円で，この塑性域を示しています． 平面ひずみ（厚い板の内部）では 3 軸の拘束で降伏しにくくなり，塑性域はおよそ 1/3 になります．

表 1 の値で K_I = K_IC のときの r_p を計算すると，構造用鋼で 6.4 mm，アルミニウム合金で 2.0 mm です． セラミックスは室温で転位がほとんど動かないので降伏応力は定義しにくいのですが，硬さ H と降伏応力の目安の関係 σ_y ≈ H/3（Tabor，1951．§12.4．押し込みの下では静水圧がかかるので，そこで起きる塑性変形から見積もった名目的な値）を使うと， アルミナ（H ≈ 16 GPa，σ_y ≈ 5.3 GPa）で 69 nm，ソーダ石灰ガラスで 27 nm，Y-TZP でも 0.6 μm で，粒の大きさ程度以下，き裂の大きさ（数十 μm）に比べて桁違いに小さく ―― 事実上 0 です． なお H ≈ 3σ_y は E/σ_y の大きい金属で成り立つ関係で，セラミックスでは H/σ_y が 1.5–2 程度と小さくなります（Marsh，1964）．H/3 は σ_y を低めに見積もるので，ここでの r_p は上限の目安（実際は 1/2–1/4 程度）です． セラミックスの先端は，塑性で丸まる余地がほとんどありません．

式 (48) に K_I = Yσ√(πa) を入れると r_p/a = Y²σ²/(2σ_y²) で，σ = σ_y では 0.63 にもなります． K で破壊を論じてよいのは，塑性域がき裂や試験片の寸法に比べて十分小さいとき（小規模降伏）だけで，金属で応力が降伏応力に近いときは目安にとどまります（§6 の誤解 5）． 塑性域があると先端は開いて丸まり，先端の開口変位は帯状降伏のモデルで δ ≈ K_I²/(Eσ_y) です（Anderson，2017）． 構造用鋼で K_I = K_IC なら δ ≈ 48 μm で，§15 の問題 2 で見たように，先端が丸まれば応力集中は大きく下がります．

6. 破壊靱性の値と強化機構

表 1 の K_IC を，式 (40)(42) で破壊エネルギー G_c と実効表面エネルギー γ_eff に直してみます．

金属の a_c に括弧をつけたのは，300 MPa が表 1 の降伏応力（鋼 250，Al 合金 270 MPa）を超えていて，き裂が伸びる前に降伏してしまうからです． 降伏応力より低い 200 MPa で同じ計算をすると，鋼で 1.6 cm，Al 合金で 5.7 mm で，降伏応力以下の応力なら金属が許容できるき裂は mm 以上の大きさになります（ただし §5.6 のとおり塑性域が大きいので目安です）．

ガラスの γ_eff = 4.0 J m⁻² は，表面エネルギー（1 J m⁻² 前後）の数倍にとどまります． Griffith が理論をガラスで確かめられたのは，ガラスが理想的な脆性体に近いからでした． ところが多結晶のセラミックスでは，アルミナ 16.1，窒化ケイ素 58.1，Y-TZP 152 J m⁻² と，表面エネルギーより 1–2 桁大きい． 金属の G_c はさらに大きく，鋼でアルミナの約 370 倍，Al 合金で約 400 倍です． き裂を伸ばすのに，新しい表面をつくる以外の仕事が大量に使われているということです．

6.1 靱性はどこから来るか ― 先端の遮蔽

き裂の先端のまわりや後ろで，き裂を閉じようとする作用がはたらくと，先端が実際に感じる応力拡大係数は，外から加えた K_I より小さくなります． これを遮蔽（shielding）と呼び，遮蔽ぶんを K_sh と書くと

です．先端の材料そのものは K_tip が固有の値 K₀（結合を切るだけの靱性）に達したときに壊れるので， 外から見た破壊靱性は K₀ + K_sh になります． 先端の結合を強くするのは難しいので，セラミックスの強化は K_sh を大きくすることを目指します．代表的な方法が次の 3 つです．

6.2 変態強化 ― ジルコニア

ZrO₂ は，高温の正方晶（t 相）から冷やすと単斜晶（m 相）に変態し，体積が約 4 % 増えます（文献によって 3–5 % と幅があります）． 純粋な ZrO₂ の焼結体は，冷却中にこの膨張で自分自身を割ってしまいます． Y₂O₃ などを少量固溶させ，粒を小さく保つと，室温でも t 相を準安定に残すことができます．これが Y-TZP（イットリア安定化正方晶ジルコニア多結晶体）です．

この材料にき裂が近づくと，先端の大きな引張応力が引き金になって，き裂のまわりの帯状の領域で t → m 変態が起きます． 変態した粒は膨張しようとしますが，まわりの変態していない材料に押さえ込まれるので，き裂の面を閉じる向きの圧縮応力が生じ，これが式 (49) の K_sh になります． Garvie ら（1975）は，鋼の焼入れで起きるマルテンサイト変態と同じ型の変態を強化に使えることを示し，論文に「Ceramic steel?」という題をつけました． 変態強化のしくみと，それを生かすジルコニア系材料の設計は，Hannink ら（2000）の総説にまとめられています． 表 1 の Y-TZP の K_IC = 8.0 MPa m^1/2 は，アルミナの 2.3 倍です（ジルコニアの K_IC は測定法による差が大きく，規格化された切欠き梁の方法では 4–6 MPa m^1/2 程度と出ることもあります）．

6.3 き裂の偏向と架橋

変態強化のほかにも，微構造で遮蔽をつくる方法がいくつもあります（Evans，1990 の総説が詳しい）．

• 偏向．弱い粒界や第 2 相に沿ってき裂がジグザグに曲がると，先端での口開きの成分が減り，破面の面積も増えます．
• 架橋．き裂の後ろに，細長い粒・粗大な粒・繊維が破断せずにつながったまま残ると，き裂の面を引き寄せる力になります． 窒化ケイ素の K_IC が高いのは，焼結中に育つ柱状の粒による架橋が大きいためです．
• 微小き裂．先端のまわりに微小なき裂が多数でき，エネルギーを散逸させ，先端の応力をゆるめます．

6.4 R 曲線 ― 伸びるほど伸びにくくなるき裂

架橋や変態の領域は，き裂が伸びるにつれて後ろにたまっていくので，遮蔽はき裂が伸びるほど大きくなります． き裂進展抵抗 R（G_c と同じ次元）が，き裂の伸び Δa とともに増える曲線を R 曲線と呼びます． 式 (39) の G = πσ²a/E は a に比例する直線なので，破壊が不安定になる条件は

です．R が一定なら dR/da = 0 なので，G が R に達した瞬間に不安定になります（§4 の突然の破壊）． R が上がっていく材料では，G = R になってもき裂は安定に少しだけ伸びて止まり， 応力をさらに上げて G の直線が R 曲線に接したところで初めて不安定になります． その結果，強度が最初のき裂の大きさに鈍感になり，ばらつきが小さくなりやすい，という利点があります． 一方，小さなき裂では遮蔽がまだ育っていないので，定常値の K_IC ほどの恩恵は受けられません．

6.5 転位を出すか，結合を切るか ― Rice–Thomson の考え方

§5.6 の塑性域は連続体の見方でした．同じ問題を原子のスケールで見ると，原子 1 個ぶんまで鋭いき裂の先端で，先に起きるのはどちらかという競争になります． (i) 先端の結合が切れてき裂が 1 原子ぶん進む（へき開）．(ii) 先端から転位が出て，すべり面に沿って逃げていく． (ii) が先に起きれば，転位が出るたびに先端は 1 段ずつずれて丸まり（鈍化），応力集中が下がって延性的に振る舞います． (i) が先なら先端は鋭いまま進み，脆性的に割れます．この見方を示したのが Rice と Thomson（1974）で，Rice（1992）はそれを Peierls のモデルで定量化しました．

結合が切れる条件は §5.3 と同じで G = 2γ_s です．転位が出る条件は，すべり面の上下を 1 原子ぶんずらすときに越える山の高さ ―― 不安定積層エネルギー γ_us ―― で決まり， き裂面から角 θ 傾いたすべり面について（モード I）

です（θ = 60° では 1 + cos θ = 3/2，sin² θ = 3/4 なので分母は 9/8）． G_e < 2γ_s なら転位の放出が先（延性），G_e > 2γ_s なら結合が切れるのが先（脆性）です． 応力拡大係数に直すには，平面ひずみの K = √(GE/(1 − ν²)) を使います． シミュレーター③の下の図（原子の模式図）と「Rice–Thomson の目盛」は，この 2 つの値と先端の G を比べています．

金属の γ_s は Tyson と Miller（1977）が液体の表面張力から見積もった値と同じ桁です． 鋼では 2γ_s = 4.8 と G_e = 3.6 の差が小さく，条件しだいで逆転しうるほどの近さです． 実際，表 4 の γ_us = 0.50 J m⁻² は原子間ポテンシャル（EAM）の計算値の低い側で，第一原理計算（DFT）による bcc 鉄の {110}〈111〉の値 1 J m⁻² 程度を使うと G_e ≈ 7 J m⁻² > 4.8 となり，この単純な判定では bcc 鉄そのものが脆性側に分類されます．判定が γ_us の見積もりの幅の中で入れ替わることは，温度や拘束，不純物しだいで同じ鋼が延性にも脆性にもなりうることと対応します．bcc の鉄が低温で脆くなること（延性–脆性遷移）を，この近さと結びつけて論じる研究もあります． アルミニウムのような fcc 金属では差が大きく，低温でも延性を保ちます．

6.6 セラミックスで転位が動きにくい理由

§1 で述べた理由を，もう少し定量的に見ます．

• Peierls 応力が大きい．転位が 1 原子間隔だけ動くとき，芯の原子は結合を組み替えながら山を越えます．その山を越えるのに要るせん断応力が Peierls 応力で， Peierls–Nabarro のモデルでは，すべり面の間隔を d，Burgers ベクトルの大きさを b，剛性率を μ として， τ_P ≈ [2μ/(1 − ν)] exp[−2πw/b]，芯の幅 w = d/(1 − ν) と見積もられます（Hull と Bacon，2011）． 芯の幅に対して指数関数的に効くことが要点です．方向性のない金属結合では芯が広がって τ_P が小さく， 方向性の強い共有結合では芯が狭く τ_P が桁違いに大きくなります（この式の数値そのものは粗い見積もりです）．
• イオン結晶では，すべれる向きが限られる．すべりの途中で同じ符号のイオンが向かい合わない面と向きしか使えません．岩塩型の結晶の主なすべり系は {110}〈110〉です．
• 独立なすべり系が足りない．多結晶の粒が互いに隙間なく任意の形に変形するには，独立なすべり系が 5 つ必要です（von Mises の条件）． 岩塩型の {110}〈110〉は独立なものが 2 つしかありません（Groves と Kelly，1963）． 単結晶の MgO が室温で少しすべっても，多結晶では粒界で変形が合わずにき裂ができます．
• Burgers ベクトルが長い．Al₂O₃ のように単位胞の大きい結晶では b が長く，転位のエネルギー（∝ μb²）が大きくなります．
• ガラスには結晶の転位がない．原子の並びに周期がないので，すべり面という考え方がそもそも当てはまりません．

これらはすべて温度が上がるとゆるみ，高温ではセラミックスも塑性変形やクリープを示します．室温で「転位が動けない」ことが，式 (51) で G_e が大きいことと，§5.6 の r_p が事実上 0 であることの背景です．

6.7 変態強化の領域の形と遮蔽

§6.2 の t → m 変態は，体積が増える変態なので，静水圧の引張成分（平均応力 σ_m）が大きいところで起きやすくなります． 平面ひずみでは σ_zz = ν(σ_xx + σ_yy) なので，式 (46) から σ_m = (σ_xx + σ_yy + σ_zz)/3 = (1 + ν)(σ_xx + σ_yy)/3 です． σ_xx + σ_yy = 2(K_I/√(2πr)) cos(θ/2) を入れ，変態の起きる臨界値 σ_m^c と等しいとおくと，変態域の境界は

となり，先端の前方にふくらんだ形になります（McMeeking と Evans，1982）． 興味深いのは，先端の前方にできた変態域だけでは遮蔽にならないことで，McMeeking と Evans は，き裂が伸びて変態域がき裂の後ろに帯として残ったときに初めて先端を閉じる向きの遮蔽が生じることを示しました． 帯の半幅を h，変態した体積分率を V_f，変態の体積ひずみを e^T（約 0.04）とすると，定常状態の遮蔽は ΔK ∝ EV_fe^T√h/(1 − ν) の形になり，係数は 0.2 程度と求められています（McMeeking と Evans，1982．Budiansky ら，1983）． 帯が伸びるほど遮蔽が育つので，Y-TZP は §6.4 の R 曲線を示します． シミュレーター③では，Y-TZP の原子の図で，式 (52) の形の領域の原子を橙色にし，き裂が進んだあとも帯として残しています（大きさは模式的です）．

7. 最弱リンクから Weibull 分布を導く【核心】

§4〜§6 で，強度はいちばん危険なき裂の大きさで決まることが分かりました． ところが試料の中のき裂の大きさは，同じ粉を同じ条件で焼いた試料どうしでもそろいません．だから強度はばらつきます． しかも大きな試料ほど大きなき裂を含みやすいので，強度は平均して下がります． この 2 つを定量的に扱うのが Weibull 統計です．

7.1 最弱リンクの考え方

鎖は，いちばん弱い輪が切れたら全体が切れます．n 個の輪がそれぞれ独立に確率 p_s(σ) で応力 σ に耐えるなら， 鎖全体が耐える確率は，独立な事象の確率の積です．

体積 V の試料を，体積 V₁ の小片 V/V₁ 個に分けて同じことを言えば， P_s(V) = [P_s(V₁)]^V/V₁ です． 対数をとると ln P_s(V) = (V/V₁) ln P_s(V₁)，つまり ln P_s は体積に比例します． そこで単位体積あたりの「危険度」φ(σ) = −ln P_s(V₁)/V₁（≥ 0）を定義すると

P_s は応力 σ をかけたとき試料が生き残る（壊れない）確率です． ここまでは「小片は独立で，どれか 1 つが壊れれば全体が壊れる」という最弱リンクの仮定だけから出ます． φ(σ) の形は，この仮定からは決まりません．Weibull（1939）は φ をべき関数とおいて次の形を提案し，1951 年の論文でそれが多くの材料のデータに合うことを示しました．

m が Weibull 係数（ばらつきの小ささ），σ₀ が体積 V₀ の試料の特性強度です． V = V₀ なら，σ = σ₀ で P_f = 1 − 1/e = 63.2 % になります． べき関数は実験によく合う簡単な形として選ばれたもので，Weibull 自身はこれを理論から導いてはいません． 次に，この形が欠陥の大きさの分布から導けることを示します．

7.2 欠陥の分布から導く ― シミュレーターのモデル

次の 4 つを仮定します．シミュレーターの④はこの仮定どおりに試料をつくって壊しています．

1. 欠陥の数．体積 V の試料に含まれる欠陥の数 n は，平均 λV の Poisson 分布に従う（欠陥は互いに無関係にばらまかれている）．
2. 欠陥の大きさ．各欠陥の大きさ a は互いに独立で，a_min 以上について Pareto 則（べき乗則）に従う．k が大きいほど大きな欠陥が出にくい．
3. 各欠陥の強度．大きさ a_i の欠陥は，式 (42) で K_I = K_IC となる応力 σ_i = K_IC/(Y√(πa_i)) で破壊の起点になる．
4. 最弱リンク．試料の強度は，すべての欠陥の σ_i のうち最小のもの．

手順 1：応力 σ で危険な欠陥． 仮定 3 より，σ_i ≤ σ となるのは欠陥が次の大きさ以上のときです（式 (43) と同じ形）．

手順 2：1 個の欠陥が危険である確率．式 (56) の右の式に a = a^* を入れます． a_min/a^* = πa_minY²σ²/K_IC² なので

σ^* は，いちばん小さな欠陥 a_min が壊れる応力です．式 (58) は σ ≤ σ^* で成り立ち， σ > σ^* ではすべての欠陥が危険（q = 1）になります．

手順 3：どの欠陥も危険でない確率．欠陥が n 個あるとき，すべてが危険でない確率は (1 − q)ⁿ です（大きさは独立なので積）． これを式 (56) の Poisson 分布で平均し，指数関数の級数 Σxⁿ/n! = e^x を使うと

手順 4：q を代入する．式 (58) を入れると

手順 5：Weibull の形と比べる．V = V₀ とおく（σ₀ をこの体積の試料の特性強度と読む）と，式 (55) は P_s = exp[−(σ/σ₀)^m] と書けます． すべての σ で λV(σ/σ^*)^2k = (σ/σ₀)^m が成り立つには， σ の指数がそろって m = 2k，係数がそろって λV(σ^*)^−m = σ₀^−m でなければなりません．

σ ≤ σ^* の範囲で，Weibull 分布が欠陥の分布から厳密に出てきました．しかも σ₀ ∝ V^−1/m なので，式 (55) の V/V₀ の形もそのまま再現されています． シミュレーターの既定値（K_IC = 3.5 MPa m^1/2，Y = 1.12，a_min = 5 μm，k = 5，λV = 300）では

です．σ > σ^* の試料が現れる確率は e^−λV = e⁻³⁰⁰ で，事実上 0 です．

7.3 平均値と変動係数

強度の確率密度は p(σ) = −dP_s/dσ です．平均を部分積分すると，境界項 [−σP_s]₀^∞ は 0 なので ⟨σ⟩ = ∫₀^∞ P_s dσ と書けます （σ > σ^* の部分の e^−λV は 0 とみなす）． t = (σ/σ₀)^m，すなわち σ = σ₀t^1/m，dσ = (σ₀/m)t^1/m−1dt と置換すると

（ここで ∫₀^∞ t^z−1e^−tdt をガンマ関数 Γ(z) と呼びます．部分積分で Γ(z + 1) = zΓ(z) が示せ，整数では Γ(n + 1) = n! です．最後にこの関係を使いました．）同じく部分積分で ⟨σ²⟩ = ∫₀^∞ 2σP_s dσ で， 2σ dσ = σ₀²(2/m)t^2/m−1dt と置換すれば

したがって変動係数（標準偏差 ÷ 平均）は

近似は m が大きいときのものです．ln Γ(1 + x) = −γ_Ex + (π²/12)x² + ⋯（γ_E は Euler 定数）を使うと ln[Γ(1 + 2/m)/Γ(1 + 1/m)²] ≈ (π²/12)(4 − 2)/m² = π²/(6m²) で 1 次の項が打ち消し合い， CoV² = Γ(1 + 2/m)/Γ(1 + 1/m)² − 1 ≈ π²/(6m²) となります．

既定値（m = 10，σ₀ = 446 MPa）では Γ(1.1) = 0.95135，Γ(1.2) = 0.91817 なので， 平均 ⟨σ⟩ = 446 × 0.951 ≈ 424 MPa，CoV = √(0.91817 − 0.95135²)/0.95135 ≈ 0.120（近似式では 0.128）． m = 20 なら CoV は 0.062 まで小さくなります．

8. Weibull プロットと m の推定

8.1 直線にする

試料の大きさを V = V₀ にそろえると，式 (55) は 1 − P_f = exp[−(σ/σ₀)^m] です． 逆数の対数をとると ln[1/(1 − P_f)] = (σ/σ₀)^m，もう一度対数をとると

横軸を x = ln σ，縦軸を y = ln ln[1/(1 − P_f)] にとれば，傾き m，y = 0 での x が ln σ₀ の直線になります． これが Weibull プロットです．

8.2 N 本の試験データから

N 本の強度を小さい順に σ₁ ≤ σ₂ ≤ ⋯ ≤ σ_N と並べ，i 番目の試料の破壊確率を

で見積もります．i/N とすると最も強い試料で F = 1 になり，y が無限大になってしまうので，半分だけずらします． 点 (x_i, y_i) = (ln σ_i, ln ln[1/(1 − F_i)]) に最小二乗法で直線を当てはめると， 傾きと，直線が平均の点 (x̄, ȳ) を通ること（ȳ = m x̄ − m ln σ₀）から

図 3 は，§7.2 のモデルを，シミュレーターと同じ既定値のもとで，シード 20261119 の擬似乱数を使って N = 100 本ぶん壊した結果です． 式 (68) で m_est = 9.34，σ_0,est = 447 MPa となり，理論値（m = 10，σ₀ = 446 MPa）に近い値が得られています． 100 本のうち最も弱い試料は 289 MPa，最も強い試料は 510 MPa でした．

8.3 試験の本数と，推定のばらつき

m_est は標本ごとにばらつきます．同じモデルでシードだけを変えて試験を 2000 回繰り返すと，次のようになりました．

σ₀ は少ない本数でもそこそこ決まるのに，m は決まりにくいことが分かります． 10 本の試験で「m = 15 の材料だ」と推定されても，真の値は 10 かもしれません． N = 10 では，中央値は 9.9 でも分布が大きい側に長く裾を引くので平均は 10.5 となり，平均としては m を大きめに見積もります． セラミックスの強度データの規格（JIS R 1625，ASTM C1239 など）では，最小二乗法ではなく最尤法で推定し，本数による偏りを補正する方法が定められています．

8.4 設計強度 ― 破壊確率を決めて許容応力を求める

式 (55)（V = V₀）を σ について解くと，破壊確率 P_f を許すときの応力は

（P_f ≪ 1 では −ln(1 − P_f) ≈ P_f．） P_f = 10⁻⁶（100 万個に 1 個）とすると，σ_d/σ₀ は m = 10 で 0.251，m = 20 で 0.501 です． 既定値（σ₀ = 446 MPa，m = 10）なら P_f = 1 % で 281 MPa，10⁻⁶ で 112 MPa ―― 平均強度 424 MPa の 4 分の 1 近くまで下げなければなりません． 図 3 の推定値（m_est = 9.34，σ_0,est = 447 MPa）を使うと 102 MPa で，m を 7 % 低く見積もっただけで設計応力は 9 % 下がります．

8.5 1 本ずつ壊すとヒストグラムは理論の分布に近づく ― 大数の法則

シミュレーター④では，棚に並んだ試験片を 1 本ずつ，または 10 本ずつ試験機にかけ，強度をヒストグラムに積み上げていきます． 赤い曲線は，壊した本数 n に合わせた理論の期待本数で，ビンの幅を Δσ，強度の確率密度を p(σ) として

です（p は P_s = exp[−(σ/σ₀)^m] を微分したもの．P_s は応力 σ で生き残る確率です）． はじめの数本では棒は曲線とまったく合いませんが，壊すほど曲線に近づきます．その近づき方を見積もります．

あるビンに入る確率を q（≈ Δσ p）とします．i 本目がそのビンに入れば 1，入らなければ 0 となる量 X_i の平均は q， X_i² = X_i なので分散は q − q² です．試験片は独立なので，n 本のうちそのビンに入る本数 N = ΣX_i の平均と分散はそれぞれの和になり

棒の高さの相対的なばらつきは 1/√n で小さくなります．q = 0.1 のビンでは，n = 10 本で 1 ± 0.95 本（ばらつき 95 %）， 100 本で 10 ± 3 本（30 %），1000 本で 100 ± 9.5 本（9.5 %）です． 割合 N/n が確率 q に近づくこと ―― これが大数の法則で，ヒストグラムの形が赤い曲線に近づいていく理由です． N = 20000 本で確かめると，Kolmogorov–Smirnov の統計量（経験分布と理論分布の差の最大値）は 0.0073 で，5 % の有意水準の臨界値 0.0096 を下回りました．

Weibull プロットの点のばらつき． どの試験片でも，その強度 σ を理論の破壊確率 F(σ) = 1 − P_s(σ) に直した値は，0 と 1 の間の一様乱数になります（F(σ) ≤ u となる確率がちょうど u だから）． n 本を小さい順に並べた i 番目の F は，一様乱数 n 個の i 番目の値で，その平均と分散は次のとおりです（順序統計量の標準的な結果）．

式 (67) の F_i = (i − 0.5)/n は，この平均に近い値を代表として使うものです． Weibull プロットの縦軸 y = ln ln[1/(1 − F)] は，F が小さいところで y ≈ ln F，すなわち dy ≈ dF/F と引き伸ばされます． n = 100 で i = 1（いちばん弱い 1 本）では F の標準偏差が平均と同じ 0.0098 なので，y のばらつきは 1 以上（数値計算で 1.29）になります． i = 50（中央）では 0.14，i = 100（いちばん強い 1 本）では 0.23 です． プロットの上では縦の位置 F_i を決めて横の位置 ln σ がばらつくので，横方向のばらつきはこれを m で割った値 ―― m = 10 なら最弱の点で ln σ が ±0.13 程度，中央の点で ±0.014 程度です． 左下の数点ほど大きくぶれ，最小二乗の直線の傾きを振り回すので，本数が少ないと m の推定が大きくばらつきます（表 5）． シミュレーターの既定値で 100 本すべてを壊すと，m の推定値は 9.34，σ₀ の推定値は 447 MPa，平均 424 MPa，最弱 289 MPa，最強 510 MPa です（図 3 と同じ擬似乱数）．

9. 体積効果と有効体積

9.1 一様な引張での体積効果

同じ材料の体積 V₁，V₂ の試料に一様な引張をかけ，同じ破壊確率になる応力 σ₁，σ₂ を比べます． 式 (55) で P_f が等しいなら，指数の中身が等しいので

試験片の 1000 倍の体積の部品なら，強度は m = 10 で 1000^−1/10 = 0.501 倍，m = 20 でも 0.708 倍になります． 体積が 10 倍なら m = 10 で 0.794 倍です． 中央値（P_f = 1/2 の応力）は σ₀(ln 2)^1/m なので，中央値の比も式 (73) に従います． シミュレーターの⑤では，§7.2 のモデルで V₁ と 10V₁ の試料を実際に壊して，これを確かめられます（記号の意味と模式図は §9.5）．

9.2 応力が一様でないとき ― 有効体積

曲げ試験では，応力は場所によって違います．§7.1 で ln P_s が小片の寄与の和だったことに戻り， 体積 dV の小片ごとにその場所の応力 σ(r) で危険度を足し合わせます（圧縮の部分 σ ≤ 0 は壊れないので含めない）．

試料の中の最大応力 σ_max をくくり出すと

V_eff は「最大応力が一様にかかっているとみなしたとき，同じ危険度になる体積」です． m 乗が効くので，最大応力に近い場所だけが実質的に数えられます．

9.3 3 点曲げの有効体積を積分で求める

支点間の距離 L，幅 b，高さ h の角棒の中央に荷重をかけます． 曲げモーメントは支点で 0，中央で最大で，その間は直線的に変わります．断面の中の曲げ応力は中立軸からの距離 y に比例します． 支点から測った位置を x，引張側を y > 0 とすると，左半分（0 ≤ x ≤ L/2）で

右半分は対称なので左半分の 2 倍とし，y < 0 の圧縮側は含めません．式 (75) に入れると，x と y の積分が分かれて

u = 2x/L と置換すると dx = (L/2)du で，∫₀^L/2(2x/L)^mdx = (L/2)∫₀¹u^mdu = (L/2)/(m + 1)． y の積分も同じく (h/2)/(m + 1) です．したがって

4 点曲げ（内側の荷重点の間隔 L_i）では，内側の区間でモーメントが一定なので長さ方向の積分が L_i，外側の 2 区間が合わせて (L − L_i)/(m + 1) になり， V_eff = bh[L_i + (L − L_i)/(m + 1)]/[2(m + 1)] = bh(mL_i + L)/[2(m + 1)²] です． L_i = L/2 を入れ，支点間の体積 V = bLh で書くと

9.4 曲げ強度と引張強度の比

同じ棒を一様な引張（V_eff = V）と 3 点曲げで壊すと，同じ破壊確率を与える σ_max の比は，式 (73) の体積を有効体積に置き換えて

m = 10 では 242^1/10 = 1.73，4 点曲げでは 40.3^1/10 = 1.45 です． つまり同じ材料でも，引張強度に比べて 3 点曲げでは 1.7 倍，4 点曲げでは 1.45 倍の強度が測られます（3 点曲げは 4 点曲げの 1.2 倍）． ばらつきの大きい材料ほど差は開き，m = 5 では 3 点曲げ 2.35 倍・4 点曲げ 1.83 倍，ばらつきの小さい m = 20 では 1.40 倍・1.25 倍です．

9.5 V₁，V₂，σ₁，σ₂ の意味 ― いちばん大きいき裂で見る体積効果

記号の意味を改めて確認します．V₁ は小さい試験片（たとえば強度を測った試験片）の体積，V₂ は大きい試験片や部品の体積（V₂ = nV₁）， σ₁，σ₂ はそれぞれが同じ破壊確率で壊れる応力で，シミュレーター⑤では破壊確率 50 %（中央値）にそろえています． 曲げ試験のように応力が一様でないときは，V を有効体積 V_eff（§9.2）と読みます．

⑤の模式図 1 は，同じ密度 λ でき裂を含む小さい試験片と大きい試験片を並べ，それぞれのいちばん大きいき裂に赤い丸を付けています． §7.2 のモデルで，体積 V の試験片の中に大きさが a を超えるき裂が 1 つもない確率を求めます． 1 個のき裂が a を超える確率は (a_min/a)^k なので，式 (59) と同じ計算（Poisson 分布で平均）で

です．これが 1/2 になる a，すなわちいちばん大きいき裂の中央値は，λV(a_min/a)^k = ln 2 を解いて

です（λV ≥ ln 2 のとき．m = 2k）．試験片の強度 σ = K_IC/(Y√(πa_max)) は a_max が大きいほど小さい単調な関係なので， 強度の中央値はき裂の中央値から計算した強度に等しく，その比は (a_med,2/a_med,1)^−1/2 = (V₁/V₂)^1/m ―― 式 (73) と同じです． k = 5（m = 10）では，体積が 10 倍で最大き裂は 1.58 倍，強度は 0.794 倍，100 倍で 2.51 倍と 0.631 倍，1000 倍で 3.98 倍と 0.501 倍です． 4000 回のモンテカルロで確かめると，10 倍で最大き裂の比 1.567，強度の比 0.799，100 倍で 2.511 と 0.631 でした． 体積を大きくすると「き裂の密度」は同じでも「いちばん大きいき裂」が大きくなる ―― これが体積効果の中身です．

9.6 曲げ試験の応力分布と，高い応力がかかる体積

§9.3 で使った曲げの応力 σ ∝ M(x)y を，はりの理論から確かめます． 曲げられたはりの断面は平面のまま回転し，中立軸から y の位置のひずみは曲率半径を ρ として ε = y/ρ です． σ = Ey/ρ を断面で積分した曲げモーメントは M = ∫σy dA = (E/ρ)∫y² dA = EI/ρ （幅 b，高さ h の長方形で I = bh³/12）なので，E/ρ を消去して

です．荷重 P，支点間 L の 3 点曲げでは各支点の反力が P/2 で，M = Px/2（x ≤ L/2），中央で M_max = PL/4，σ_max = 3PL/(2bh²)． 4 点曲げ（P/2 ずつを 2 点に加える）で内側の荷重点の間隔が外側の支点間の 1/2（ASTM C1161 の配置．シミュレーター⑤と式 (79) はこの配置）なら，内側の区間で M = PL/8 の一定値，σ_max = 3PL/(4bh²) です． 内側の間隔が 1/3 の配置（JIS R 1601）では M = PL/6，σ_max = PL/(bh²) で，§9.3 の V_eff = bh(mL_i + L)/[2(m + 1)²] に L_i = L/3 を入れて V_eff = V(m/3 + 1)/[2(m + 1)²]，m = 10 で V/55.8，引張に対する強度の比は 1.50 になります（1/2 の配置では 1.45）．

⑤の模式図 2 は，この σ = My/I を塗り分け，σ ≥ 0.9σ_max の部分を黄色で示しています．その体積の割合を計算します． 支点間の長さで割った位置 ξ ∈ [−1/2, 1/2]，高さの半分で割った位置 η = y/(h/2) ∈ [−1, 1] を使うと，3 点曲げでは σ/σ_max = (1 − 2|ξ|)η です． 引張側（体積の半分）の高さ η ≥ q の層で，σ ≥ qσ_max となる長さの割合は 1 − 2|ξ| ≥ q/η から 1 − q/η なので

（4 点曲げ（内側 1/2）では σ/σ_max = min(1, 2 − 4|ξ|)η で，長さの割合が 1 − q/2η になる．） q = 0.9 では，引張試験の 100 % に対して 3 点曲げで 0.26 %，4 点曲げで 2.6 % にすぎません． 最大に近い引張がかかるのは下の表面のごく薄い層だけなので，その層に大きなき裂がなければ高い強度が測られます． これを m 乗の重みで数えたのが有効体積で，m = 10 では V_eff/V = 1/242（3 点），1/40.3（4 点）です． 破壊の起点が表面の傷にある場合は，体積の代わりに有効面積で同じ換算をします（Quinn と Morrell，1991．Quinn，2003）． はりの理論は荷重点や支点の下の接触応力を含まず，引張試験片のつかみ部の肩の応力集中も無視しています．

10. 熱衝撃

熱いセラミックスを冷水に入れると割れることがあります．急冷すると表面だけが先に冷えて縮もうとするのに， まだ熱い内部に引き止められて縮めない．その結果，表面に引張応力が生じます． セラミックスは引張に弱く，しかも表面には研削傷などのき裂があるので，この応力で割れます．

10.1 表面の熱応力を導く

表面を x–y 面，表面の法線を z 方向とします．表面の薄い層の温度が，内部に比べて ΔT だけ急に下がったとします． この層は，自由なら各方向に αΔT だけ縮みますが， (i) 厚い内部につながっているので面内の寸法は変えられず（ε_x = ε_y = 0）， (ii) 表面の法線方向には何も押さえるものがない（σ_z = 0）とします． Hooke の法則に熱ひずみ −αΔT を加えると，面内の 2 方向について次のようになります（y 方向の引張 σ_y は Poisson 効果で x 方向を νσ_y/E だけ縮めるので，その分を引きます）．

（σ_z = 0 なので −νσ_z/E の項はない．） 面内は等方的なので σ_x = σ_y ≡ σ です．ε_x = 0 とおくと

1 方向だけ拘束された棒なら σ = EαΔT ですが，面内の 2 方向から拘束されるので 1/(1 − ν) 倍になります（アルミナで 1.28 倍）． この応力が強度 σ_f に達する温度差が，割れ始める限界です．

この R（§6.4 の R 曲線の R とは別の量）を熱衝撃抵抗パラメーターと呼びます（熱応力に対する抵抗をこうしたパラメーターで整理したのは Kingery（1955））．表 1 の値で計算すると次のようになります．

石英ガラスの R がソーダ石灰ガラスの 20 倍以上（アルミナの約 16 倍）と大きく，熱衝撃に特に強いのは，熱膨張係数がソーダ石灰ガラスの約 1/16 と小さいからです．赤熱した石英ガラスを水に入れても割れないのはこのためです． 窒化ケイ素は，強度が高く熱膨張が小さいので，セラミックスの中では熱衝撃に強い代表です． アルミナは強度が高くても Eα が大きいので，R は 90 K にとどまります．

10.2 試料の中の温度 ― 非定常熱伝導と Fourier 数

式 (87) は「表面だけが ΔT 冷え，内部はまだ冷えていない」瞬間の値でした．シミュレーター⑦は，四角い試料の中で温度が時間とともにどう広がり，熱応力がどう変わるかを計算します． まず温度です．小さな体積 dV に出入りする熱を考えます．熱流束（単位面積・単位時間に流れる熱）は Fourier の法則 q = −k∇T（k は熱伝導率）で， 流れ込んだ正味の熱 −∇·q dV が温度を上げる（密度 ρ，比熱 c）ので，ρc ∂T/∂t = k∇²T，すなわち

です（κ は熱拡散率．長い角棒の断面を考え，長さの方向には温度が変わらないとした 2 次元の式）． 座標を一辺 L で割り（x̂ = x/L，ŷ = y/L），時間を

で測ると，材料にも大きさにもよらない式になります．Fourier 数 Fo は「熱が L だけ広がるのに要る時間 L²/κ」を単位にした時間です． ⑦の問題は，はじめ一様に T₀ の正方形の断面で，時刻 0 に上面を T_top，下面を T_bottom に保ち，側面は断熱（熱が出入りしない）とするものです． 表面の温度が一瞬で変わる，もっとも厳しい急冷・急熱にあたります（§10.1 の囲みの Biot 数が無限大の場合）．

式 (89) は温度について線形なので，「上面だけ 1，はじめと下面は 0」の解 φ(ŷ, Fo) を 1 つ求めれば， T = T₀ + (T_top − T₀)φ(ŷ, Fo) + (T_bottom − T₀)φ(1 − ŷ, Fo) と重ね合わせで書けます． 側面が断熱ではじめの温度が一様なので，温度は ŷ だけの関数（1 次元）です．φ は時間がたつと直線 1 − ŷ に落ち着くので，φ = 1 − ŷ − u とおくと， u は両端で 0，はじめ 1 − ŷ の熱伝導の解です．変数分離で u = Σ b_n sin(nπŷ) exp(−n²π²Fo) とおき， はじめの形を sin の級数に展開すると，部分積分で b_n = 2∫₀¹(1 − ŷ) sin(nπŷ) dŷ = 2/(nπ) となるので

です．いちばん遅く消える n = 1 の項も，Fo = 0.5 では e^−π2/2 = 0.007 倍まで小さくなるので，Fo ≈ 0.5 で温度分布はほぼ直線に落ち着きます． 実時間は t = Fo·L²/κ で，シミュレーターは材料ごとに表 7 の κ（目安）を使っています．

10.3 熱応力 ― 温度が直線からずれている間だけ生じる

自由な板の熱応力．厚さ方向を y とし，面内（x，z）に十分広い自由な板を考えます．温度の変化を ϑ(y) = T − T₀ とします． 板は面内で一体なので，面内のひずみは y の 1 次式 ε_x = ε_z = c₀ + c₁y に限られ（断面は平面のまま），厚さ方向には押さえがない（σ_y = 0）とします． 面内は等方的なので σ_x = σ_z ≡ σ で，熱ひずみを加えた Hooke の法則 ε_x = (σ_x − νσ_z)/E + αϑ から

ここで ϑ_lin = (c₀ + c₁y)/α は，外から力もモーメントもかかっていない条件 ∫σ dy = 0，∫σy dy = 0 で決まる直線で， ϑ(y) に最小二乗で当てはめた直線と同じものです（この 2 つの条件が，最小二乗の正規方程式そのものだから）． 温度が位置の 1 次式なら ϑ = ϑ_lin で，熱応力は 0 です．自由な物体は，直線的な温度分布には一様な伸びと曲がりで応じられるからです． したがって，上を加熱して下を冷やし続けても，温度が直線に落ち着いたあと（Fo ≳ 0.5）には熱応力は消えます．熱応力は温度が直線からずれている過渡のあいだだけ生じます．

急冷の直後は，表面の薄い層だけ ϑ = −ΔT，内部は ϑ = 0 で，当てはめた直線はほぼ 0 なので，表面で σ = EαΔT/(1 − ν) ―― 式 (87) に一致します． 上下の両面を同時に急冷する場合，対称なので ϑ_lin は平均の温度変化だけで，式 (91) の対称な形から表面の応力は

となります（両面を 0 にしたときの解は 1 − Σ_{奇数 n}(4/nπ) sin(nπŷ)e^−n2π2Fo の形で，sin(nπŷ) を 0 から 1 まで積分すると 2/nπ になることを使った）． Fo = 0 では Σ_奇数 8/(n²π²) = (8/π²)(π²/8) = 1 で式 (87) に戻り， Fo = 4×10⁻⁶ で 0.995，2×10⁻⁴ で 0.968，10⁻³ で 0.929，0.014 で 0.733，0.05 で 0.496，0.1 で 0.302，0.3 で 0.042，0.5 で 0.006 と下がります． 急冷の直後が最も危険で，割れるならそこで割れることと，最大の応力 EαΔT/(1 − ν) は試料の大きさにも κ にもよらない（表面温度が瞬時に変わるとき）ことが分かります． 大きさや熱伝導率が効くのは，熱伝達が有限で表面温度がすぐには変わらないときです（§10.1 の囲み，Kingery，1955．Hasselman，1969）．

正方形の断面（平面ひずみ）．シミュレーターは長い角棒の断面を平面ひずみ（長さ方向のひずみ ε_z = 0）として解いています． 表面の薄い層で ε_x = 0，σ_y = 0，ε_z = 0 とおくと，ε_z = [σ_z − νσ_x]/E + αϑ = 0 から σ_z = νσ_x − Eαϑ， これを ε_x = [σ_x − νσ_z]/E + αϑ = 0 に入れると σ_x(1 − ν²) = −Eαϑ(1 + ν)， すなわち σ_x = −Eαϑ/(1 − ν) で，ϑ = −ΔT なら同じ EαΔT/(1 − ν) です． 平面ひずみでは面内の問題が「熱ひずみ (1 + ν)αϑ をもつ 2 次元の弾性体」になり，面内の応力は直線の温度分布でやはり 0 です． ただし正方形の試料は側面が自由なので，無限に広い板より応力がゆるみやすく，上下対称の急冷で表面中央の応力（EαΔT/(1 − ν) で割った値）は 急冷の直後の Fo = 4×10⁻⁶ で板の 0.995 に対して 0.988，Fo = 3.2×10⁻³ で 0.87 に対して 0.71，Fo = 1.4×10⁻² で 0.73 に対して 0.49 と，時間がたつほど板の値より低くなります（断面の幅を 4 倍に広げて同じ計算をすると，これらの時刻で板の値との差が 0.001 以下になることを確かめてあります）． 加熱した面は膨張しようとして圧縮になり，内部や反対側の面，角の近くに引張が生じます．

10.4 数値解法の概要と，格子による誤差

温度（厳密解）．温度は ŷ だけの 1 次元の問題なので，数値的に時間を進めず，φ(ŷ, Fo) の厳密解をそのまま計算しています． 式 (91) の級数は Fo が小さいと多くの項が要るので，同じ解を誤差関数の鏡像の級数 φ = Σ_{k = 0}^∞ [erfc((2k + ŷ)/(2√Fo)) − erfc((2k + 2 − ŷ)/(2√Fo))] で書いて使います （erfc(ŷ/2√Fo) は半無限の物体の表面温度を 1 にしたときの解で，温度 0 に保つ下面の条件を満たすように，ŷ = 1 と ŷ = 0 で鏡に映した項を交互に足し引きしたもの．Fo が小さいと最初の数項で足りる）． erfc は Chebyshev 近似（相対誤差 1.2×10⁻⁷ 以下）で計算し，式 (91) の級数（多くの項まで足したもの）との差は 10⁻⁷ 程度です． カラーマップ用には 9 × 241 の格子点で評価した表を作り，間を線形に補間しています．有限要素法の熱ひずみには，各 Gauss 点の高さで直接評価した値を使います．

応力（有限要素法）．断面を節点 33 × 77（四角形要素 32 × 76）に分けています． 横方向は座標 s − 0.75 sin(2πs)/2π（s は 0 から 1 まで等間隔）で側面の近くを細かくし（側面の要素は中央の約 1/7）， 縦方向は表面の要素を 5×10⁻⁴L として内側へ 1.15 倍ずつ広げ（0.04L で頭打ち），上下対称に並べています． 最初のコマ Fo = 4×10⁻⁶ で熱がしみ込んだ深さ √Fo ≈ 0.002 を表面の 4 要素ほどで分解するためです． 各要素の中の変位を 4 つの節点の値から双一次の関数で補間し，弾性エネルギーから熱ひずみの仕事を引いた全ポテンシャルエネルギーが最小になる節点変位を求めます（2 × 2 点の Gauss 積分）． これは連立 1 次方程式 Ku = f になり，係数行列を帯行列の Cholesky 分解で ν ごとに 1 度だけ分解して，全時刻に使い回しています． 温度についても応力についても線形なので，「EαΔT = 1」の単位の問題を解いておき，材料と温度差を掛けて重ね合わせます． 節点の応力は Gauss 点の値を外挿してまわりの要素で平均したあと，自由表面では面に垂直な応力とせん断応力を 0（σ_nn = σ_nt = 0）にしています（面に沿ったひずみは保つので，面に沿った応力を −ν/(1 − ν) × σ_nn だけ補正する）． 図に塗っているのは面内の最大主応力 σ₁（式 (27)）で，長さ方向の σ_z は判定に入れていません．

精度の確かめ．上下の両面を同時に急冷したとき，試料全体の σ₁ の最大値は最初のコマ（Fo = 4×10⁻⁶）の表面中央にあり， EαΔT/(1 − ν) で割ると 0.988 で，ν によりません（0.16–0.30 で 4 桁まで同じ）． 同じ時刻の無限に広い板の厳密な値（式 (93)）は 0.995 です．差の 0.007 は格子の誤差ではなく正方形の側面が自由なためで， 節点を 65 × 141（表面の要素 2.5×10⁻⁴L）に細かくしても 0.02 % も変わらず，断面の幅を 4 倍に広げると 0.995 になります． 式 (87) の限界 σ = σ_f は ΔT = R ですが，カラーマップの計算ではこの 0.988 倍の応力しか出ないので，急冷では ΔT ≈ 1.01R から割れます（セラミックス 6 種すべてで 1.012R）． 上を加熱し下を冷やした定常状態（Fo = 1，温度は直線）では応力は本来 0 ですが，EαΔT/(1 − ν) の 0.15 % が残ります（65 × 141 で 0.04 %）． 拘束点の反力は 10⁻¹² 程度以下です． 表示の数値はこの程度の誤差を含む目安として読んでください．

10.5 割れる様子の描き方（模式）

⑦では，各時刻で試料全体の σ₁ の最大値が表 1 の強度 σ_f に初めて達した時刻に「割れた」とします． 表 1 のアルミナ（R = 90 K）で確かめると，ΔT = 90 K では最大 347 MPa で割れず，95 K では 366 MPa で割れ，式 (88) とよく合います（割れ始めは 90.9 K = 1.01R，§10.4）． き裂は，σ₁ ≥ σ_f となった点から，局所の σ₁ の向きに垂直に（§3.4）0.01L ずつ両側へ伸ばし， き裂の面を開く応力が 0.1σ_f を下回るか，向きが最初から 60° 以上曲がるか，試料の外に出たところで止めています． 急冷ではき裂が表面から入り，圧縮になっている内部の手前（アルミナの 110–200 ℃ の急冷で深さ 0.12–0.18L）で止まります． 上を加熱すると，引張になる下面や，加熱面のすぐ下の角の近くから割れます． これは割れていない試料の応力場の上に描いた模式で，き裂ができたあとの応力の再配分や，き裂が走るときの動的な効果は計算していません． いったん走ったき裂がどこまで伸びるかは §10 の誤解 9（Hasselman，1969）の問題です．

11. 気孔と強度

焼結体に残った気孔は，強度を大きく下げます．理由は 3 つあります． ①荷重を支える断面積が減る．②気孔のまわりで応力が集中する（§3 の板の円孔では 3 倍，球形の気孔でも約 2 倍）． ③気孔が大きな欠陥として破壊の起点になる（気孔と，その縁の小さなき裂を合わせた大きさが a としてはたらく）． さらに Young 率 E も下がります．

気孔率 P（体積分率）と強度の関係には，次の経験式がよく使われます．

σ_f0 は気孔のない材料の強度，b は 4–7 程度の定数です（シミュレーターの既定値は 5）． Ryshkewitch（1953）は，多孔質のアルミナとジルコニアの圧縮強度が，気孔率が 10 % 増えるごとにほぼ半分になることを報告しました． exp(−b × 0.1) = 1/2 とおくと b = ln 2/0.1 = 6.9 に相当します． 両辺の対数をとると ln σ_f = ln σ_f0 − bP で，片対数のグラフで直線になります． P が小さいときは exp(−bP) ≈ 1 − bP なので，気孔率 1 % あたり強度はおよそ b % 下がります（b = 5 なら exp(−0.05) = 0.951）．

相対密度 95 %（P = 0.05）で b = 5 なら exp(−0.25) = 0.779 ―― わずか 5 % の気孔で強度は 2 割以上下がります． b = 4–7 の範囲では 0.819–0.705，P = 0.1 では 0.607 です． 焼結で相対密度をあと数 % 上げることにこだわるのは，このためです．気孔をどう減らすかは 焼結の理論（sintering-simulator.html）で扱っています．

12. Vickers 硬さと押し込み破壊

セラミックスの硬さを測るときに最もよく使われるのが Vickers 硬さ試験です． ダイヤモンドでできた正四角錐の先端（圧子）をある荷重で試料に押し付け，荷重を取り去ったあとに残ったくぼみ（圧痕）の大きさから硬さを求めます． 手順は単純ですが，セラミックスでは荷重が大きいと圧痕の隅からき裂が伸び出し，そこに §5 の応力拡大係数がそのまま顔を出します． この節では，圧子の幾何から硬さの式を導き（§12.2），規格の要点（§12.3）と金属との違い（§12.4）を見たあと，圧痕から伸びるき裂の長さの式と，それを破壊靱性の見積もりに使う方法の限界（§12.5–§12.7）を扱います． シミュレーターでは⑥のタブ（付録 A.7）に対応します．

12.1 硬さとは何か ― Brinell，Vickers，Knoop

硬さは「押し込みに対する抵抗」で，Young 率や降伏応力のような 1 つの物性値ではありません． 圧子の下では，まず弾性変形が起き，圧力が上がると塑性変形（セラミックスではごく狭い範囲の流動や高密度化）が加わります． 荷重を取り去ると弾性変形のぶんは戻り，塑性変形のぶんが圧痕として残ります． 硬さの値はこの残った圧痕から計算するので，おもに塑性変形のしにくさを表しますが，弾性の戻りの影響も受けます． JIS R 1610 も，金属の圧痕はおもに塑性変形でできるのに対し，セラミックスでは弾塑性変形が関わるので，金属の硬さと比べるときは注意するように，と注記しています．

圧子の形で試験の名前が変わります． Brinell 硬さは硬い球を押し付け，くぼみ（球の一部の形）の表面積で荷重を割ります．球では，くぼみが深くなるほど形が変わる（くぼみの直径 d と球の直径 D の比が変わる）ので，荷重を変えると値が変わりえます． Vickers 硬さ（Smith と Sandland，1922）は正四角錐の圧子で，どの荷重でもくぼみの形が相似になるので，理想的には荷重によらない値が得られます． Knoop 硬さは細長い（対角線の比がおよそ 7 : 1 の）ひし形の四角錐で，浅い圧痕ができます．JIS R 1610 は，Vickers 圧子のほうが Knoop 圧子よりき裂が出やすいと記しています．

硬さは「強さ」ではありません．「Vickers 強度」という言い方を見かけることがありますが，Vickers 試験で測るのはVickers 硬さ（ビッカース硬さ）で，引張強さ・破壊強度・破壊靱性とは測っているものが違います． 下の表のように，硬さは押し込みで残る塑性変形のしにくさ，強度は試験片が壊れる応力，破壊靱性はき裂の伸びにくさです． 硬い材料ほど強い・割れにくいとは限らず，炭化ケイ素は窒化ケイ素より硬いのに，表 1 の K_IC は低めです（誤解 11）．

12.2 圧子の幾何 ― 136° と接触面積

Vickers 圧子は，底面が正方形の四角錐で，向かい合う 2 つの面のなす角（対面角）が 136° です． 角錐の軸と各面のなす角はその半分の 68°，試料の表面と面のなす角は 90° − 68° = 22° です． 圧痕を上から見ると正方形で，その対角線の長さを d とします（図 5 (b)）．

接触面積．正方形の一辺を s とすると，対角線は d = √2 s です． 1 つの面は底辺 s の三角形で，その高さ（底辺の中点から頂点までの斜面に沿った長さ）を ℓ とします． 図 5 (a) の断面で，底辺の中点は軸から水平に s/2 離れていて，斜面は軸と 68° をなすので，s/2 = ℓ sin 68° です． 4 つの面の面積を足すと

です．Vickers 硬さは，荷重をこの斜面の面積（接触面積）で割った値と定義されています（ISO 6507-1，JIS Z 2244）． 歴史的な単位 kgf/mm² で書くと

で，2 sin 68° = 1.85437 です．荷重を N で測るときは 1 kgf = 9.80665 N（標準重力加速度 g_n）で割って

となります．HV は kgf/mm² の数値を単位を付けずに書くのが慣習で，「1 500 HV 1」は試験力 9.807 N（1 kgf）で HV = 1500 だったことを表します． ISO 6507-1 の書き方では，硬さの値を先に，記号 HV のあとに試験力を kgf で表した数値を書きます．試験力そのものの記号は F（単位 N）で，硬さの記号 HV とは別です． したがって「HV 10」だけなら試験の条件（試験力 98.07 N）を表し，硬さの値ではありません．例えば 294.2 N（30 kgf）で測って 640 だったときは「640 HV 30」と書きます（この例の数値は，⑥の答えにならないように，どの材料の値でもない数にしてある）． 1 kgf/mm² = 9.80665 MPa なので，SI の硬さ H_V は HV の 0.009807 倍の GPa です（1500 HV は 14.7 GPa）． JIS R 1610 は，セラミックスの硬さを「12.5 GPa HV 9.807 N」のように GPa で書く表記を望ましいとしています． 2 本の対角線 d₁，d₂ は，試料の傾きや結晶の異方性でわずかに違うので，平均 d = (d₁ + d₂)/2 を使います．

深さ．図 5 (a) で，軸と斜面が 68° をなすので tan 68° = (s/2)/h です．s = d/√2 を入れて

で，圧痕の深さは対角線のほぼ 1/7 です（荷重を取り去る前の，圧子の形どおりの深さ）． 逆に，硬さ H_V（SI）の材料を荷重 F で押したときの対角線は，式 (96) を SI で書き直して解くと

です．例えば H_V = 15.2 GPa のアルミナを 9.807 N で押すと d = √(1.8544 × 9.807/15.2×10⁹) m = 34.6 μm，h = 4.9 μm， 98.07 N では d = 109 μm，h = 15.6 μm です．H_V = 5.5 GPa のガラスを 9.807 N で押すと d = 57.5 μm になります． 荷重を 10 倍にしても対角線は √10 = 3.16 倍にしかならず，形は相似のままです．

12.3 試験の手順と規格の要点

金属の Vickers 硬さ試験は ISO 6507-1:2023（JIS Z 2244-1 は ISO 6507-1 に対応する日本の規格）で，ファインセラミックスの硬さ試験は JIS R 1610:2003（ISO 14705:2000 に対応）で定められています． 規格の本文は有料なので，ここでは要点だけを言い換えて示します．実際に試験をするときは規格の本文に従ってください．

厚さや間隔の条件は，圧痕のまわりの塑性域や弾性の場が，試料の裏面や隣の圧痕，試料の縁に届かないようにするためのものです． セラミックスで c（き裂の長さ）の条件が加わるのは，き裂のまわりの応力場も同じように広がるからです． 圧痕の中心から 5c 以上離すと，式 (99) と §12.5 の値で，アルミナを 98.07 N で押したとき（c ≈ 170 μm）には 0.85 mm 以上の間隔が必要になります．

12.4 金属とセラミックス ― Tabor の関係と押し込みサイズ効果

金属．金属の圧痕は塑性流動だけでできていて，割れることはありません． 圧子の真下の材料はまわりに拘束されて自由に流れ出せないので，塑性変形を始めるには一軸の流動応力よりずっと高い平均の圧力が要ります． Tabor（1951）は，圧子の下の塑性変形を解析して，金属では

となることを示しました．σ_r は代表ひずみでの流動応力で，Vickers 圧子では代表ひずみが約 8 % です．加工硬化しきった金属なら σ_r は降伏応力とほぼ同じです． 加工硬化する金属では σ_r は降伏応力 σ_y より大きいので，H/3 は σ_y を高めに見積もります． §5.6 で使った σ_y ≈ H/3 は，この関係を目安として逆向きに使ったものです． セラミックスやガラスは E/H が小さく，圧子のまわりの弾性変形の割合が大きいので，H/σ_y は 3 より小さく 1.5–2 程度になります（Marsh，1964．§5.6）．

セラミックス．セラミックスの硬さ（10–25 GPa 程度）は，鋼（1–2 GPa 程度．焼入れ鋼で 7 GPa 程度，いずれも目安）より 1 桁高い値です． §6.6 で見たように，共有結合やイオン結合の結晶では転位が動きにくく，圧子の下の塑性変形そのものが起きにくいからです． ところが同じ理由で，塑性変形で応力を逃がすことができず，荷重が大きいと圧痕の隅からき裂が出ます． 荷重を取り去ったあと，対角線はほとんど戻らず，深さのほうが弾性で戻ります（Lawn と Marshall，1984）．そのため，対角線から計算する HV は，深さから計算する硬さより弾性の戻りの影響を受けにくいと考えられます．

押し込みサイズ効果．理想的な角錐では HV は荷重によらないはずですが，実際には荷重が小さいほど見かけの硬さが高く出ることが多く，これを押し込みサイズ効果と呼びます． 荷重と対角線の関係を Meyer の式

で表すと，n = 2 なら HV は一定，n < 2 なら d が小さい（荷重が小さい）ほど HV が大きくなります． Li と Bradt（1993）は，荷重の一部が表面近くの抵抗（d に比例）に使われると考えて

という形を提案しました．d が大きいと HV は 1.8544A₂ の一定値（荷重によらない硬さ）に近づき，小さいと A₁/d のぶんだけ高くなります． 原因については，圧子の先端の丸み，表面の加工層，圧痕のまわりの割れなど，いくつもの説明があります（Bull ら，1989）． 表 9 の窒化ケイ素の標準試料では，9.8 N で 17.3 GPa，98 N で 16.0 GPa でした．セラミックスの硬さを比べるときは，必ず荷重をそろえる必要があります．

12.5 押し込み破壊 ― 残留応力とハーフペニーき裂

き裂の種類．鋭い圧子でセラミックスやガラスを押すと，次のようなき裂ができます． 表面で圧痕の隅から対角線の延長上に伸びるラジアルき裂，圧痕の真下で軸を含む面にできるメディアンき裂， 両者がつながって表面から見ると 1 本，断面では半円形になるハーフペニーき裂（図 5 (c)）， 表面とほぼ平行に広がって表面の欠け（チッピング）の原因になる横き裂， そして荷重が小さいときに隅のまわりだけに浅くできる Palmqvist き裂です． 実際のき裂は枝分かれや交差があり，きれいな半円形は理想化にすぎません（Cook と Pharr，1990）．

き裂を開く力はどこから来るか．Marshall と Lawn（1979），Lawn, Evans と Marshall（1980）は，圧痕の下の塑性域を「まわりの弾性体の中で膨らんだ空洞」とみなしました． 塑性変形で押しのけられた体積をまわりの弾性体が受け止めるので，荷重を取り去ったあとも，塑性域はまわりを外向きに押し続けます（残留応力）． この押し広げる作用が，塑性域を囲むき裂の面をくさびのように開きます． ソーダ石灰ガラスの観察では，負荷中にき裂は主に下向きに伸び，表面のラジアルき裂や横き裂は主に荷重を取り去る間に広がります．空気中では，荷重を取り去ったあともしばらく伸び続けます（Lawn と Marshall，1984）．

K の形を次元で決める．き裂が圧痕より十分大きい（c ≫ a）とき，き裂から見ると塑性域は中心の 1 点に集中した力のように見えます． 半径 c の円板状のき裂の中心で，上下の面を大きさ P_r の力で引き離すときの応力拡大係数は，破壊力学の標準的な解として

です．係数を気にしなければ，これは次元だけから分かります．K の単位は Pa m^1/2 = N m^−3/2 で，使える量が力 P_r [N] と長さ c [m] だけなら， N m^−3/2 をつくる組み合わせは P_r/c^3/2 しかありません． 残留応力の力 P_r は押し込み荷重 F に比例するので，P_r = (定数) × F とおき，定数と形の係数をまとめて χ と書くと

になります．ここが §4，§5 のき裂との大きな違いです． 一様な引張では K_I = Yσ√(πa) がき裂とともに増えるので，いったん K_IC に達すると止まらずに走ります（不安定）． 押し込みのき裂では K_I がき裂とともに減るので，K_I = K_c になった長さで安定に止まります． 止まったき裂の長さは材料の靱性で決まるので，それを測れば靱性が見積もれる ―― これが押し込み破壊法（IF 法，indentation fracture）の考え方です．

IF 法の式．膨張空洞のモデルでは，塑性域の大きさと，それがまわりを押す強さが E/H で決まり，χ ∝ (E/H)^1/2 になります（Lawn, Evans と Marshall，1980．導出は省きます）． 比例係数 ξ を，ほかの方法で靱性の分かっている 8 種類のセラミックスとガラスに合わせて決めたのが Anstis ら（1981）の式です．

c は圧痕の中心から測ったき裂の長さ（表面で端から端まで測った長さの半分），a = d/2 は半対角線です． 日本の JIS R 1607:2015 は，単一エッジ予き裂はり（SEPB）法を優先し，それが使えない場合の選択肢として，三好ら（1985）の係数と HV を使う次の式を残しています．

同じ測定値を入れると，式 (106) は式 (105) より 0.018/0.016 × √1.0785 = 1.17 倍大きい値を出します（Quinn，2006）． JIS R 1607 は，き裂が隅から対角線の延長上に出ていること，直交する 2 方向のき裂の長さの差が平均の 10 % 以下であること，き裂の長さが対角線の長さの 2.5 倍以上（c/a ≥ 2.5）であることを条件にしています． 結果の記号が K_IC ではなく K_C であることにも注意してください．

き裂の長さは荷重とともにどう伸びるか．式 (104) で K_I = K_c とおいて c について解くと

です（a ∝ F^1/2 は式 (99)）．荷重を上げると，き裂は圧痕より速く伸びます．荷重を 10 倍にすると c/a は 10^1/6 = 1.47 倍です． 例えば表 1 のアルミナ（E = 380 GPa，K_c = 3.5 MPa m^1/2）で H_V = 15.2 GPa（H = 16.4 GPa）とすると，式 (105)(107) から 9.807 N で c ≈ 36 μm（a = 17 μm，c/a ≈ 2.1），98.07 N で c ≈ 170 μm（a = 55 μm，c/a ≈ 3.1）になります． JIS R 1607 が荷重をなるべく大きく選ぶように求め，c/a ≥ 2.5 を条件にしているのは，c ≫ a という式 (104) の前提に近づけることにもなっています．なお，Anstis ら（1981）自身が式 (105) の条件としたのは，よく発達したき裂であること（c ≥ 2a）で，2.5 は JIS R 1607 の値です．⑥ の補足では 2.5 で判定し，画面にもそう書いています．

12.6 IF 法の精度と限界

NIST の標準試料 SRM 2100（ホットプレスの窒化ケイ素．破壊靱性の認証値 K_IC = 4.57 ± 0.23 MPa m^1/2）に，Quinn（2006）が IF 法を試した結果が表 9 です．

F/c^3/2 は荷重を 10 倍にしても 4 % しか変わらず，式 (107) の c ∝ F^2/3 はよく成り立っています． c/a は 2.04 から 2.79 へ 1.37 倍で，式 (107) の 1.47 倍より少し小さくなっています．低荷重ほど硬く出る押し込みサイズ効果で，低荷重の a が小さめになることが一因です． ところが，靱性の値はどの式も認証値 4.57 に一致しませんでした．c/a ≥ 2.5 の 49 N 以上で比べても，式 (105) は約 19 % 低く，Niihara の式は約 20 % 高く，式 (106) は約 5 % 低い値です．

Anstis ら自身も，この方法の誤差は 30–40 % 程度に収まるだろう，という見積もりにとどめていました．Quinn と Bradt（2007）などは，次の問題を指摘しています．

• IF 法の式は数十種類あり，同じ測定値から出る値が大きく違う．係数 ξ は材料によって変わる．
• 実際のき裂は理想的なハーフペニー形ではなく，枝分かれや横き裂がある．
• 表面でき裂の先端の位置を読むのが難しい．K ∝ c^−3/2 なので，c を 10 % 長く読むと K は 1.1^−3/2 = 0.87 倍，13 % も低くなる．
• 水分によるき裂の遅い成長があると，押し込んでから測るまでの時間で c が変わりうる（JIS R 1607 は押し込みから 10 分以内に測るように定めている）．

NIST の Quinn と Alabama 大学の Bradt（2007）は，これらを踏まえて，IF 法は破壊試験として信頼できず，何を測っているのかも明確に定義できないので，セラミックスの破壊靱性試験としては認めるべきではないと結論しています（NIST が公開している論文の要旨による）． JIS R 1607 も SEPB 法を優先し，IF 法は SEPB 法が使えない場合の方法として残しているだけです． IF 法の値は標準の K_IC 試験の値ではなく「押し込み破壊抵抗」とみなし，使うとしても，同じ式・同じ試験力で測った材料どうしの比較や品質管理の目安にとどめます（これは本ページの立場で，Quinn と Bradt の要旨にある言葉ではありません）． 部品の設計や材料の仕様には，予き裂を入れた試験片で測る SEPB 法などの値を使います．

12.7 割れ始める荷重と脆性指数

荷重が小さいと，圧痕はできてもき裂は出ません． Lawn と Evans（1977）は，塑性域の縁にあった小さな欠陥が塑性域の応力で伸び出す条件から，き裂が出始める荷重 F^* を見積もりました． 係数を除いた形は次元から導けます．材料の量として硬さ H [Pa] と靱性 K_c [Pa m^1/2] だけを使うと，長さをつくる組み合わせは (K_c/H)² しかないので，き裂が出始めるときの圧痕の大きさは a^* ∝ (K_c/H)² です． そのときの荷重は，硬さの定義 F ∝ Ha² から

となります．F^* は K_c の 4 乗に比例するので，靱性の少しの差が大きく効きます． 表 1 の K_IC と表 10 の H_V（アルミナ 15.2，ガラス 5.5 GPa）で比べると，アルミナの F^* はガラスの (3.5/0.75)⁴ × (5.5/15.2)³ = 約 22 倍です． ガラスでは，き裂が出始めるときの圧痕の大きさは数十 μm 程度で，水があるとき裂が出始める荷重が 2 桁も下がることがあります（Lawn と Marshall，1984）． 比例係数は原典で確認できなかったので，ここでは比だけを示します．多結晶体では粒界や気孔の影響が大きく，この比がそのまま成り立つとは限りません．

式 (108) の中の H/K_c を，Lawn と Marshall（1979）は脆性指数と呼びました．

H は「変形しにくさ」，K_c は「割れにくさ」なので，B が大きいほど，押されたときに変形より割れが先に起きやすい材料です． 表 1 の K_IC と表 10 の H_V で計算すると，ソーダ石灰ガラス 5.5×10⁹/0.75×10⁶ ≈ 7300，炭化ケイ素 ≈ 6600，アルミナ ≈ 4300，窒化ケイ素 ≈ 2300，Y-TZP ≈ 1500 m^−1/2 です． シミュレーター⑥の補足に出る脆性指数は，表 10 ではなく表 A3 の H_V（アルミナ 16，窒化ケイ素 15 GPa）を使うので，アルミナ 4600，窒化ケイ素 2500 m^−1/2 と少し大きくなります． Quinn と Quinn（1997）は，荷重を変えたときの圧痕とき裂の大きさの関係から B を求める方法を提案しています．

12.8 材料の硬さの値

シミュレーター③で塑性域の目安に使い（§5.6），⑥で圧痕の大きさに使う硬さは，アルミナ 16，炭化ケイ素 23，窒化ケイ素 15，Y-TZP 12，ソーダ石灰ガラス 5.5，石英ガラス 8 GPa です（付録 A.7 の表 A3）． セラミックスの値は表 10 のメーカー値と 1 割以内でそろえた丸めた値ですが，硬さは荷重や微構造で変わるので，教材用の目安として読んでください．

材料の区分．⑥では，材料名の脇に区分を表示します．アルミナと Y-TZP は酸化物焼結体，炭化ケイ素と窒化ケイ素は非酸化物焼結体，ソーダ石灰ガラスと石英ガラスはガラス（非晶質），構造用鋼と Al 合金は金属です． ガラスと金属は粉末を焼き固めたものではないので，「焼結体」とは呼びません． セラミックスの 4 種を焼結体としたのは多結晶セラミックスの一般的なつくり方によるもので，表の値は特定の製品ではなく，製法（常圧焼結，加圧焼結，焼結助剤の有無など）を出典で確かめていないので，画面では「（仮）」を付けています． 参考に挙げた SRM 2100 の窒化ケイ素はホットプレス（加圧焼結）でつくられたものです（表 9）．

13. シミュレーターのモデルについて

fracture-simulator.html の各タブは，本ページの次の式をその場で計算しています．材料定数は表 1 の値で，表 1 にない量（硬さ，表面エネルギー，熱拡散率など）は付録 A の目安です． 各タブの画面の読み方・操作の意味・この節に書いていない設定は，付録 A にまとめてあります．

• ① 応力–ひずみ（#ss）：金属は §1.2 の弾性 → 降伏 → Hollomon の式 (4)，n = ln(1 + e_u)，K は式 (8) で引張強さに合わせる． くびれは Considère の条件 (7) の点（荷重最高点）から始まり，くびれの中の応力の分布は Bridgman の式 (9)(10)，破断伸び e_f で破断する． セラミックスは σ = Eε の直線で ε_f = σ_f/E で破断し，吸収エネルギーは σ_f²/2E．拡大図のき裂の深さは式 (43)．
• ② Griffith（#griffith）：楕円孔のまわりの応力は式 (20)–(23)，縁の応力は式 (24)，主応力は式 (27)． エネルギー収支の図は式 (32)(35)，理論強度は式 (15)，Inglis の見積もりは式 (18) で ρ = a₀，σ_max = σ_th とおき，近似せずに σ_f = σ_th/(1 + 2√(a/a₀)) としたもの． a ≫ a₀ では §3.1 の式 (19) と一致し（a = 10 μm でどちらも 97 MPa），スライダーの下限 a = 1 nm では 7.97 GPa と，式 (19) の 9.75 GPa より 18 % 低い．
• ③ 破壊靱性（#kic）：K_I は式 (38)（Y = 1.12），許容き裂は式 (43)，先端のまわりの σ_yy は式 (44) を縁き裂に近似したもの，塑性域は式 (48)， 原子の図の判定は式 (51)，Y-TZP の変態域の形は式 (52)．
• ④ Weibull（#weibull）：§7.2 のモデルで，1 本ごとに欠陥数を Poisson 分布から， 指数分布 Exp(1) の到着時刻を足していって λV を超えるまでの個数として厳密に生成し， 各欠陥の大きさを a = a_minU^−1/k（U は 0 と 1 の間の一様乱数）でつくる． 欠陥が 1 個もない試料（確率 e^−λV．λV がスライダーの下限 10 でも 4.5×10⁻⁵）は σ^* で壊れるとみなす． 擬似乱数は mulberry32，既定のシードは 20261119 で，「新しい試験片を用意する」を押すと次のシードに進む． ヒストグラムの赤い曲線は式 (70)，m_est と σ₀ の推定は式 (67)(68)，理論値は式 (61)(63)(65)．
• ⑤ 体積効果と試験法（#volume）：強度比は式 (73)，最大き裂の中央値は式 (82)，曲げの応力は式 (83)，高い応力の体積の割合は式 (84)，有効体積は式 (79)，曲げと引張の強度比は式 (80)． モンテカルロでは④のモデルで体積 V₁ と 10V₁ の試料を 200 本ずつ壊し，中央値の比を 10^−1/m と比べる．
• ⑥ Vickers 硬さ（ビッカース硬さ）（#vickers）：圧痕の対角線は式 (99)，深さは式 (98)，学生が測定線で測った対角線からの硬さは式 (97)（答え合わせの値はモデルの対角線から同じ式で計算）． セラミックスの隅のき裂の長さは式 (105) を c について解いたもの（ξ = 0.016，H = 1.0785H_V．c ∝ F^2/3 は式 (107)），補足の IF 法の値は，学生が測った d と c を式 (105)(106) に入れたもの，脆性指数は式 (109)． 硬さ H_V，き裂を描き始める試験力，塑性域と深さの戻りの描き方は付録 A.7．押し込みサイズ効果は入れていない．
• ⑦ 熱衝撃と気孔（#shock）：温度は式 (90) の厳密解（誤差関数の鏡像の級数）を使い，熱応力は平面ひずみの熱弾性を有限要素法で解く（§10.2–§10.5）． 限界の目安は式 (87)(88)，気孔の効果は式 (94)．

14. さらに深く学ぶために

15. 演習問題と解答

解答．(1) σ_th = √(410×10⁹ × 1.0/(0.2×10⁻⁹)) = √(2.05×10²¹) = 4.53×10¹⁰ Pa = 45.3 GPa（E/9.1）． 実際の強度の約 113 倍である．
(2) a_c = 2 × 410×10⁹ × 1.0/[π × (400×10⁶)²] = 1.63×10⁻⁶ m = 1.63 μm．
(3) a_c = (1/π)[3.5/(1.12 × 400)]² m = 1.94×10⁻⁵ m = 19.4 μm で，(2) の 11.9 倍． 実際の SiC では γ_eff = K_IC²/2E = 14.9 J m⁻² と，表面エネルギーの 15 倍近いき裂進展抵抗があるためである （11.9 は γ_eff/γ_s = 14.9 を表面き裂の Y² = 1.25 で割った値に等しい）．

解答．(1) √(a/ρ) = √(20×10⁻⁶/(0.5×10⁻⁹)) = √(4×10⁴) = 200 なので，集中係数は 1 + 2 × 200 = 401． σ_max = 50 × 401 = 2.005×10⁴ MPa = 20.05 GPa．
(2) √(20×10⁻⁶/(5×10⁻⁹)) = √4000 = 63.2 で，集中係数は 1 + 2 × 63.2 = 127.5，σ_max = 6.37 GPa． 401/127.5 = 3.15 なので約 1/3.15．a ≫ ρ では σ_max ∝ ρ^−1/2 なので，ρ を 10 倍にすると √10 = 3.16 分の 1 になる，と見積もってもよい． 金属でき裂の先端が塑性変形で丸まると強くなるのは，このためである．

解答．(1) σ_f ∝ a^−1/2 なので 4^−1/2 = 1/2 倍．
(2) a_c = 2 × 380×10⁹ × 1.0/[π × (200×10⁶)²] = 6.05×10⁻⁶ m = 6.05 μm． 山の高さは §4.4 より U(a_c) = 2γ_sa_c = 1.21×10⁻⁵ J m⁻¹ = 12.1 μJ m⁻¹（単位厚さあたり）．
(3) E を E/(1 − ν²) に置き換えるので，a_c は 1/(1 − 0.22²) = 1.051 倍の 6.36 μm．

解答．(1) a_c = (1/π)(K_IC/560 MPa)² より，アルミナ 12.4 μm，窒化ケイ素 36.5 μm，Y-TZP 65.0 μm．
(2) 検査で見逃しうるのは深さ 50 μm 未満のき裂である．a_c がそれより大きいのは Y-TZP だけで， アルミナと窒化ケイ素は，見逃した 50 μm 未満のき裂で壊れるおそれがある．
(3) 窒化ケイ素：G_c = (6.0×10⁶)²/(310×10⁹) = 116 J m⁻²，γ_eff = 58.1 J m⁻²． Y-TZP：G_c = (8.0×10⁶)²/(210×10⁹) = 305 J m⁻²，γ_eff = 152 J m⁻²． いずれも γ_s = 1.0 J m⁻² の 58 倍，152 倍で，架橋や変態による遮蔽（§6）の大きさを表している．

解答．(1) (300/400)¹⁰ = 0.0563 なので，P_f = 1 − exp(−0.0563) = 0.0548 ≈ 5.5 %．
(2) 式 (69) より σ_d ≈ 400 × (10⁻⁴)^1/10 = 400 × 0.398 = 159 MPa．
(3) 式 (63) より ⟨σ⟩ = 400 × Γ(1.1) = 400 × 0.95135 = 381 MPa，式 (65) より CoV = 0.120． 381 MPa では (0.95135)¹⁰ を指数に入れて P_f = 0.455，約 46 % が壊れる． 「平均強度」は設計に使える数字ではない．

解答．式 (58)(61) より m = 2k，σ₀ = σ^*(λV)^−1/m，σ^* ∝ a_min^−1/2．
(1) m = 15．σ₀ = 788.5 × 300^−1/15 = 788.5 × 0.684 = 539 MPa．ばらつきが減るだけでなく，特性強度も上がる．
(2) λV = 600 になり，m = 10 のまま，σ₀ = 446 × 2^−1/10 = 446 × 0.933 = 416 MPa（式 (73) の体積効果そのもの）．
(3) σ^* が √2 倍の 1115 MPa になり，σ₀ も √2 倍の 630 MPa（丸める前の値から計算）．m は 10 のまま．

解答．(1) 式 (80) より 600/242^1/10 = 600/1.731 = 347 MPa．
(2) 式 (79) より V_eff(4 点)/V_eff(3 点) = (1/40.3)/(1/242) = 6.0 なので，600/6.0^1/10 = 600/1.196 = 502 MPa．
(3) 部品の有効体積は 100V，3 点曲げは V/242 なので体積比は 24200．式 (73) より 600/24200^1/10 = 600/2.744 = 219 MPa． カタログの 3 点曲げ強度の約 0.36 倍（3 分の 1 強）である．

解答．(1) アルミナは R = 90 K < 150 K なので割れる．炭化ケイ素は R = 205 K > 150 K なので割れない． ただし R は無限に速い急冷での下限なので，アルミナが実際に割れるかどうかは冷却の速さや試料の大きさにもよる（§10 の注）．
(2) σ_f = 350 × exp(−0.25) = 350 × 0.779 = 273 MPa． R = 273×10⁶ × 0.78/(380×10⁹ × 8.0×10⁻⁶) = 70 K（緻密なときの 90 K から下がる）．
(3) R ∝ σ_f/E なので，E が下がると R は上がる．(2) の見積もりは実際より小さい側にずれている（強度の低下の一部が打ち消される）．

解答．(1) d = (34.4 + 34.8)/2 = 34.6 μm で，差 0.4 μm は平均の 1.2 % なので満たす． 式 (97) より HV = 0.1891 × 9.807/(0.0346)² = 1.8545/1.1972×10⁻³ = 1550（1 550 HV 1），H_V = 0.009807 × 1549 = 15.2 GPa． 式 (98) より h = 34.6/7.00 = 4.94 μm．
(2) d = 2a = 140 μm = 1.40×10⁻⁴ m なので，H_V = 1.8544 × 196/(1.40×10⁻⁴)² Pa = 363.5/1.96×10⁻⁸ Pa = 1.85×10¹⁰ Pa = 18.5 GPa．c/a = 300/70.0 = 4.29（2.5 以上）． F/c^3/2 = 196/(3.00×10⁻⁴)^3/2 = 196/5.196×10⁻⁶ = 3.772×10⁷ N m^−3/2 なので， 式 (106)：K_C = 0.018 × √(365/18.5) × 3.772×10⁷ = 0.018 × 4.442 × 3.772×10⁷ Pa m^1/2 = 3.02 MPa m^1/2． 式 (105)：H = 2F/d² = 392/1.96×10⁻⁸ Pa = 20.0 GPa で，K_c = 0.016 × √(365/20.0) × 3.772×10⁷ = 0.016 × 4.272 × 3.772×10⁷ Pa m^1/2 = 2.58 MPa m^1/2． 同じ圧痕から 1.17 倍違う値が出る（§12.5）．(2) の数値は JIS R 1607 の計算例と同じ値にしてある．
(3) K ∝ c^−3/2 なので 1.1^−3/2 = 0.867 倍，約 13 % 低く（3.02 → 2.61 MPa m^1/2）なる．き裂の先端を読む精度が，そのまま靱性の値の精度を決める．

付録 A. シミュレーター（fracture-simulator.html）で見ていること

A.1 ページ全体 ―― タブと授業との対応

セラミックスは硬く，強度も金属の降伏応力に負けないものが多いのに，ほとんど変形しないまま突然割れます． シミュレーターのタブは，この「なぜ」を目で見て分かるように並べてあります． ①では引張試験で金属とセラミックスの試験片の伸び方と壊れ方を比べ，②では穴やき裂の先端に応力が集中する様子と Griffith のエネルギー収支を見ます． ③では原子の模式図で，転位が動ける金属ではき裂の先端が鈍くなり，動けないセラミックスでは結合が切れて割れることを確かめ，材料ごとに許容できるき裂の大きさを求めます． ④では試験片を 1 本ずつ壊して強度のばらつきが Weibull 分布になることを，⑤では体積と試験法による強度の違いを見ます．⑥では試験機でダイヤモンドの圧子を押し付け，残った圧痕の対角線を自分で測って Vickers 硬さ（ビッカース硬さ）を計算し，セラミックスでは圧痕の隅からき裂が出ることを，⑦では熱衝撃で試料の中に生じる温度と応力の分布を見ます．

東京理科大学「無機材料学」の第 10 回（熱的性質と機械的性質）で扱うのは ①〜④ と ⑥ の 5 つで， 指定教科書『よくわかる無機材料化学』の 4-2 節「機械的性質」（p. 74–83）に対応します（参考文献 18）． ⑥ のうち，硬さの測り方は第 10 回の範囲で，き裂の長さから靱性を見積もる IF 法の式とその限界（§12.5–§12.7）は発展です． ⑤・⑦ は発展で，セラミックスの部品を設計したり，試料を急冷したりする場面で効いてくる内容です．

どのタブも，左に図（キャンバス），その下に凡例・「ひとこと」の欄・読み取り値の表が並び（⑥は図が 2 段で，下の段の右に測定と計算の欄があり，読み取り値の下に補足・測定の記録・材料の比較の図が続く．画面の幅が 760 px 以下のときは全体図と断面図のすぐ下に「押し込む（再生）」のボタンが付く），右（画面が狭いときは下）に操作欄があります． 図の幅は画面の幅に合わせて描き直すので，スマートフォンでも文字の大きさはほぼ変わりません． 「ひとこと」は，操作するたびにいまの状態に合わせて書き換わる短い知らせです． アニメーションは，タブが隠れているときやブラウザのタブが裏にあるときは止まります． 材料定数はすべて表 1 の値（教材用の目安）で，表 1 にない量（一様伸び，硬さ，表面エネルギー，熱拡散率など）も目安です． アドレスの末尾に #ss，#griffith，#kic，#weibull，#volume，#vickers，#shock を付けると，そのタブを開いた状態でページが表示されます． ?embed=1 を付けると見出しと導入文を隠した埋め込み用の表示になり（タブは残る）， ?only=kic のように書くとそのタブだけを，タブの列も隠して表示します．

A.2 ① 応力–ひずみ ― 脆性と延性

何が見えるか．上の段の左は，引っ張られる平板のダンベル形の試験片です（平行部の長さ = 標点距離 50 mm，幅 10 mm，厚さ 2 mm，肩の半径 15 mm，つかみ部の幅 20 mm）． 下のつかみは固定で，上のつかみが引かれます．試験片の中の軸方向の応力 σ_zz を，0（灰色がかった白）→ 黄 → 赤 → 暗い赤の色で塗り，右の色の帯に MPa の目盛があります． 金属は実際の寸法どおりに伸び，荷重最高点を過ぎると 1 か所がくびれ，くびれの中でカップアンドコーンの形にちぎれます． セラミックスは伸びが小さすぎて見えないので，伸びと幅の変化を誇張しています（ガラスとアルミナは 200 倍，Y-TZP は 20 倍．倍率は図の中に表示）． セラミックスは表面からき裂が入り，平らな面で 2 つに割れます． 図の中の小さなグラフは，くびれの中央（くびれる前は平行部の中央）の断面の σ_zz の分布で，破線が平均 F/A です． 試験片の上の輪は，右の拡大図の場所です．

上の段の右は拡大図（走査電子顕微鏡で見たような模式図．縮尺の棒つき）です． 鋼（粒径 25 μm，視野 400 μm）と Al 合金（60 μm，800 μm）では，Voronoi 分割で描いた粒が真ひずみ ε に合わせて長さ方向に e^ε 倍，幅方向に e^−ε/2 倍に変形し， 塑性ひずみとともに ±45° 付近のすべり線が密になります．くびれのあとは介在物のまわりでボイドが育ち，つながってちぎれます（§1.5）． アルミナ（粒径 5 μm）と Y-TZP（0.4 μm．この倍率では粒は細かい模様にしか見えません）では粒は変形せず，表面から深さ a = (K_IC/1.12σ_f)²/π のき裂と気孔が描かれ，破断の瞬間にき裂が横切ります． ガラスは非晶質なので粒はなく，き裂だけです．

下の段は公称応力–公称ひずみ曲線で，いまの点までの経路を太く描きます． 「真応力–真ひずみと加工硬化率（Considère の条件）も表示」をチェックすると，真応力–真ひずみ（破線）と加工硬化率 dσ_t/dε_t（緑）が加わり， 2 つの曲線の交点（式 (7)，緑の点）と荷重最高点（赤の点）は同じ状態です．ただし横軸は 1 本なので，緑の点は真ひずみ ε_t = n，赤の点は公称ひずみ e_u = eⁿ − 1 の位置に描かれ，少しずれて見えます（鋼では n = 16.6 % に対して e_u = 18 %）． 金属では弾性域（0 から降伏ひずみの 3 倍まで）を拡大した小さな図も付きます．破断のあとは応力が縦の線で 0 に落ちます．

操作．材料（構造用鋼，アルミニウム合金，アルミナ，Y-TZP，ソーダ石灰ガラス），公称ひずみのスライダー（右端で破断．金属ではスライダーの最初の 15 % を降伏ひずみの 2 倍までに割り当てて弾性域を見やすくしている）， 「引張試験を再生」（金属 8 秒，セラミックス 3.5 秒で破断まで進み，短い破断のアニメーションが続く），真応力の表示のチェックです．

読み取り値．段階（弾性／塑性（一様伸び）／くびれ／破断），公称ひずみ，公称応力，真ひずみと真応力（くびれの中央の断面），荷重 F，伸び ΔL，ここまでと破断までの吸収エネルギー（J）． 標点間の体積が 50 mm × 20 mm² = 1.0×10⁻⁶ m³ なので，J の値はそのまま MJ m⁻³ の値です． 金属では加工硬化指数 n，強度係数 K，降伏応力と引張強さ，くびれの a/R，くびれ中央の σ_zz の中心と縁の値，破断時の断面減少率， セラミックスでは E，σ_f，破断ひずみ，き裂の深さ a が出ます．

Y-TZP は E が小さく（210 GPa）強度が高い（1000 MPa）ので，破断ひずみ σ_f/E が 0.48 % と，セラミックスとしては例外的に大きなひずみまで耐えます（アルミナの約 5 倍）．

構造用鋼はアルミナの約 590 倍のエネルギーを吸収します．強度そのものはアルミナのほうが高いことに注意してください（§1.5）． 金属が伸び，セラミックスが弾性変形のまま割れる理由は §1 と §6.6 に，セラミックスが圧縮には強いことは §1 の誤解 1 にあります．

A.3 ② Griffith ― き裂が強度を決める

何が見えるか（上の図）．楕円孔（長径 2a，短径 2b）をもつ無限に広い板の応力のカラーマップが 2 枚並びます（図の幅が 600 px 未満では上下に並ぶ）． 左は孔のまわり（横幅 ±2.3a）で，孔の中は灰色，板の縁の黒い矢印が引っ張る向きです． 青い点線の枠が右の拡大図の範囲で，右は右側の先端の拡大（半幅は min(a, max(5ρ, 0.08a))．ρ を単位とする縮尺の棒つき）です． 色は σ/σ_∞ で，引張が赤，0 が白，圧縮が青，色の範囲を超えた値は最も濃い色になります（帯の端に「≥ 上限」と表示）． 灰色の短い線は各点の σ₁ の向き（σ₁ < 0 の所は薄く，2 つの主応力が等しく向きが決まらない所は省略）， 緑の矢印は縁で σ₁ が最大になる点から出る，き裂が伸びる向き（§3.4）です．

操作．b/a（対数目盛で約 0.02–1，既定 0.25），荷重の向き（上下，左右，等二軸），表示する量（最大主応力 σ₁，σ_yy，σ_xx）， 色の上限（対数目盛で 2–100，既定 5）と「上限を最大値に合わせる」，σ₁ の向きの線の表示です． 読み取り値は，a と b（a は下のエネルギー収支のき裂の半長），先端の曲率半径 ρ = b²/a，応力集中係数 1 + 2a/b， 荷重の向きごとの縁の最大・最小の応力とその場所です（表 2 の値）． ρ を原子間距離 a₀ = 0.2 nm にとれば，集中係数 1 + 2√(a/a₀) が §3.1 と下の図の Inglis の見積もりになります．

何が見えるか（下の 2 つの図）．エネルギー収支の部分は，Young 率 E（50–500 GPa），表面エネルギー γ_s（0.2–5 J m⁻²），き裂の半長 a（対数目盛で 1 nm–1 mm），応力 σ（10–1000 MPa）を変えられます． 既定値はアルミナ相当（380 GPa，1.0 J m⁻²，10 μm，100 MPa）で，原子間距離は a₀ = 0.2 nm に固定です． 1 つ目の図は全エネルギー U(a)（式 (32)，板厚 1 m あたり）と，その成分 +4γ_sa（緑）と −πσ²a²/E（紫）で，横軸は a_c の 2.5 倍まで，縦軸の単位は自動で切り替わります． 2 つ目の図は強度 σ_f と a の両対数グラフで，Griffith の式 (35) が傾き −1/2 の直線，赤の水平線が理論強度，青緑の破線が Inglis の見積もりです． a ≫ a₀ では Inglis と Griffith の比は 2√(2/π) ≈ 1.60 に近づきます（§3 の誤解 3）． 読み取り値の「σ_th/σ_f」は，理論強度に比べてこのき裂で強度が何分の 1 になったかを表します． 式はすべて平面応力で，平面ひずみでは E を E/(1 − ν²) に置き換えます（ν = 0.22 なら σ_f は 2.5 % 大きくなるだけ）．

モデルと近似．応力の場は §3.2 の式 (20)–(23) による線形弾性の厳密解で，無限に広い 2 次元の板を仮定しています． 塑性，粒，先端の原子の結合の非線形性は入っていません．細長い孔では左の図の画素が先端の急な変化を解像しきれないので，先端は右の拡大図で見てください． ガラスの破片の形の考察は §3.5 にあります．

A.4 ③ 破壊靱性 ― 許容できるき裂の大きさ

何が見えるか（上の図：試験片のスケール）．左は幅 50 mm の板全体で，上下の矢印が引張，色は遠方の応力です．青い枠が右の拡大の範囲です． 右は縁き裂（表面からの深さ a）の先端のまわりの σ_yy で，−2σ_ref から +2σ_ref を青–白–赤で塗ります（σ_ref はセラミックスで σ_f，金属で σ_y）． 拡大の幅はいつも 2.6a です．金属では塑性域の中の応力を σ_y で頭打ちにし（弾完全塑性の目安），応力集中が平らになる様子を見せます． 図には，き裂と a の寸法線，Irwin の塑性域（先端から r_p 先を中心とする直径 2r_p の破線の円．セラミックスでは「塑性域はほぼ 0」）， 許容き裂 a_c の位置（緑の破線），状態（安全／割れた（へき開）／塑性域で鈍化／全面降伏）が描かれます． K_I ≥ K_IC になるとき裂が 0.7 秒で走り，板が 2 つに分かれて応力が抜けます．

何が見えるか（下の図：原子のスケール，模式図）．三角格子の原子を式 (46) の変位で動かし，結合の伸びで色を付けています（伸び 赤，縮み 青．ガラスと石英ガラスは格子をずらして非晶質に見せる）． セラミックスでは K_I/K_IC とともに先端の結合が伸び，K_IC に達すると結合が 1 本ずつ切れて，先端は鋭いまま進みます． Y-TZP では変態域（式 (52) の形）の原子が橙色になり，き裂の後ろに帯として残ります． 金属では K が放出の条件 K_e を超えると，±60° の 2 つのすべり面に ⊥ 印の転位が対で出てすべり面に沿って逃げ，先端に段ができて丸まります． 図の下の目盛は対数の G 軸（0.01–100 J m⁻²）で，2γ_s（結合が切れる）と G_e（転位が出る）の位置と，いまの先端の G を示します（§6.5，表 4）． この図は分子動力学の計算ではなく，転位の数・速さ・芯の形は見せるための約束です．

操作．材料（表 1 の 8 種），応力 σ（対数目盛で 1–1000 MPa），き裂の長さ a（対数目盛で 1 μm–5 mm）， 「▶ 荷重を上げていく」（σ を 1 MPa から 7 秒かけて上げる．もう一度押すと止まる）です．Y は 1.12（縁き裂）に固定です． 既定値（アルミナ，a = 50 μm）では 249 MPa で割れます．

読み取り値．K_I，K_IC，K_I/K_IC，許容き裂 a_c，σ_y（セラミックスは H/3 の目安），塑性域 r_p と r_p/a，状態， Rice–Thomson の欄に 2γ_s，G_e ≈ 7.1γ_us と判定，金属ではさらに放出の始まる K_e と先端の開き δ = K_I²/(Eσ_y)（と，それに相当する転位の対の数 δ/(√3 b)）が出ます． その下の K–a の両対数グラフでは，いまの σ の K_I = Yσ√(πa)（傾き 1/2）と各材料の K_IC の水平線の交点が a_c で，いまの a に点が付きます． 表（K_IC，σ_y，a_c，K = K_IC での r_p，先端で起きること）の行をクリックすると材料が切り替わります．

本文から外した説明．G = K²/E（平面ひずみでは (1 − ν²)K²/E）は式 (40)，γ_eff は式 (42) と表 3 にあります． K_IC は本来は平面ひずみの値ですが，表 3 では平面応力の式で G_c に換算しているので，表 1 のセラミックスでは G_c が約 3–10 % 大きめです． 表面の半円形のき裂の Y ≈ 0.71 は §5.1 にあります．a_c は K_IC² に比例するので，靱性が 2 倍なら許容できるき裂は 4 倍です．

A.5 ④ Weibull ― 強度はばらつく

何が見えるか．(a) 試験片の棚：N 本の棒が並び，それぞれの大きい順 6 個のき裂が縁から入る短い線（長さは誇張），小さなき裂が点（10 個まで）で描かれます． 次に試験する棒は青い枠，試験中の棒の場所は点線の空き，壊れた棒はいちばん大きいき裂の位置で 2 つに分かれて起点に赤い点が付き，強度に応じた色（色の帯つき）で塗られます． (b) 試験機：つかみと赤い矢印の間の試験片が公称応力の色で塗られ，応力が 0 から強度まで上がると，赤いき裂が起点から横切り，2 つに分かれます． き裂の先端の丸の大きさと色は K_I/K_IC を表し，右の 6 本の棒に大きい順のき裂の深さ a と K_I/K_IC が出ます． 破壊の瞬間には最大のき裂だけが 1.000 に達し，ほかは 0.9 や 0.8 にとどまる ―― 最弱リンク（§7.1）がそのまま見えます． (c) ヒストグラム：壊した試験片が 1 本ずつ積み上がり（最新の 1 本は赤），赤い実線が壊した本数に合わせた理論の期待本数（式 (70)），薄い破線が N 本すべてを壊したときの期待本数です． 軸は最初から N 本ぶんに固定してあるので，積み上がる様子が見えます． (d) Weibull プロット：壊した試験片ごとに点が増え（F_i = (i − 0.5)/n を毎回計算し直す），3 本目から最小二乗の直線，理論の直線（赤の破線）は常に表示されます．

操作．「1 本壊す」「10 本壊す」「残りを全部壊す」，「新しい試験片を用意する」（シードを 1 つ進めて最初から），「シードを最初（20261119）に戻す」， アニメーションの速さ（ゆっくり 2.6 秒／ふつう 1.3 秒／速い 0.52 秒／一瞬．待ちが 2 本以上なら 1 本あたり 1/2.5，30 本以上なら 1/10 に短縮）． き裂の分布のスライダーは，指数 k（1–15），最小のき裂 a_min（1–20 μm．σ^* がラベルに出る），平均のき裂数 λV（対数目盛で 10–3000 個），試験片の数 N（10–200 本）で， 動かすと同じシードのまま最初からやり直します．K_IC = 3.5 MPa m^1/2，Y = 1.12（アルミナ程度）は固定です．

読み取り値．壊した本数 n/N，平均強度，最弱と最強，m と σ₀ の推定値，理論の m = 2k，σ₀，平均 σ₀Γ(1 + 1/m)，σ^*，き裂の総数． 既定値（k = 5，a_min = 5 μm，λV = 300，N = 100）では，理論が m = 10，σ^* = 788.5 MPa，σ₀ = 445.7 MPa，平均 424.1 MPa，変動係数 12.0 %， 100 本すべてを壊すと推定 m = 9.34，σ₀ = 446.9 MPa，平均 423.9 MPa，範囲 288.8–509.6 MPa，き裂の総数 30281 個です． 画面の式 P_s = exp[−(σ/σ₀)^m] は，§7.2 の式 (60) exp[−λV(σ/σ^*)^2k] を式 (61) で書き直したものです． 本数と推定の幅（表 5），破壊確率 10⁻⁶ の設計応力（m = 10 で σ₀ の 0.251 倍，m = 20 で 0.501 倍．§8.4），ヒストグラムの近づき方と点のばらつき（§8.5）は本文にあります．

模式図の部分．棚と試験機のき裂の長さは，最大き裂の中央値 a_min(λV/ln 2)^1/k で割った縮尺（1.5 倍で頭打ち）で，位置（長さ方向，左右どちらの縁か）は物理的な意味のない乱数です． 強度の計算そのものは描き方と独立で，同じシードでは §8.2 の図 3 と同じ強度になります． 実際の欠陥（気孔，介在物，加工傷，粗大粒）は理想的な Pareto 分布ではなく，最小二乗による m の推定は本数が少ないと偏ります（規格では最尤法．§8.3）．

A.6 ⑤ 体積効果と試験法

何が見えるか．上から順に 4 つの図があります． 模式図 1（体積効果）：小さい試験片 V₁ と大きい試験片 V₂ が面積を体積に比例させて並び，同じ密度のき裂（V₁ に平均 8 個）が §7.2 と同じ分布の大きさで描かれ，いちばん大きいき裂に赤い丸が付きます． V₂ が描ききれない大きさになると中央を省略し（「中央を省略」の表示），省略した部分のき裂の数と最大のき裂も確率に従って選んでいます． 図の中の文は V₁，V₂，σ₁，σ₂ の意味（§9.5）と，いまの m と V₂/V₁ での σ₂/σ₁ です． 強度比のグラフ：両対数で，横軸 V₂/V₁（1–10⁶），縦軸 σ₂/σ₁，傾き −1/m の直線です． 模式図 2（試験法）：引張（ダンベル形），3 点曲げ，4 点曲げ（内側の間隔 = 外側の支点間の 1/2）の 3 段で，σ/σ_max を青（圧縮）–白–赤（引張）で塗り， σ ≥ 0.9σ_max の部分を黒い縁の黄色で示します．各段に，その体積の割合（式 (84)），V_eff/V（式 (79)），引張を 1 とした強度の比（式 (80)）が出ます． m = 10 では，引張 100 %，1，×1.000，3 点曲げ 0.26 %，1/242，×1.731，4 点曲げ 2.6 %，1/40.3，×1.447 です． 曲げの黄色い帯は厚さの 5 % しかないので線のように見えますが，誇張はしていません． 引張試験片のつかみ部は σ/σ_max = 平行部の幅/つかみ部の幅 = 0.6 とした 1 次元の見方で，肩の応力集中は入れていません． モンテカルロの Weibull プロット：④と同じモデル（k = m/2，a_min = 5 μm）で λV₁ = 300 個と λV₂ = 3000 個の試験片を 200 本ずつ壊した点と理論の直線， F = 50 % の破線と，理論の中央値 σ₁，σ₂ の縦線です．σ₁，σ₂ が「50 % が壊れる応力」であることが読み取れます． 体積 V₂ の点（橙）は V₁ の点（青）と平行なまま左へずれて並びます．傾き m は体積によらず，強度の目盛が 10^−1/m 倍に縮むだけだからです（式 (73)）．

操作と読み取り値．Weibull 係数 m（4–30），体積の比 V₂/V₁（対数目盛で 1–10⁶），「同じ条件でもう一度試験する」（シードを進め，模式図 1 のき裂もモンテカルロも引き直す）です． 読み取り値には，式 (73) の強度比，各試験法の V_eff と強度比，モンテカルロの中央値の比と理論の比が並びます． モンテカルロの比は 200 本の標本のばらつきのぶんだけ理論からずれ，「もう一度試験する」を押すたびに少し変わります． 曲げ強度をそのまま設計に使わず，有効体積の比で換算すること（§9 の誤解 8）がこのタブの結論です． JIS R 1601 の 1/3 の配置の有効体積は §9.6 にあります．

A.7 ⑥ Vickers 硬さ（ビッカース硬さ）

このタブで見ること．試験機でダイヤモンドの正四角錐（対面角 136°）を試料に押し付け，荷重を取り去ったあとに残る圧痕の対角線 d₁，d₂ を自分で測り，d = (d₁ + d₂)/2 から HV = 0.1891F/d²（F [N]，d [mm]．式 (97)）を計算し，最後に自動測定で答え合わせをする ―― Vickers 硬さ試験の手順そのものを動かして見ます（§12.1–§12.3）． 同じ試験力でも，柔らかい金属には大きな圧痕が，硬いセラミックスには小さな圧痕が残ります． セラミックスとガラスでは，試験力が大きいと圧痕の隅からき裂が伸び，その長さは荷重の 2/3 乗で圧痕より速く伸びます（§12.5，式 (107)）． き裂の長さから靱性を見積もる IF 法は，硬さの測定とは別の「補足」の折りたたみに分けてあり，その限界（§12.6）とあわせて発展の話題です． 硬さが引張強さ・破壊強度・破壊靱性とは別の量であること（§12.1 の表）も，画面の下の囲みに書いてあります．

画面の並び．上の段の左が試験機の全体図，右が圧子の先の断面の拡大，中の段の左が顕微鏡で上から見た像，右が測定と計算の欄です． その下に荷重–時間のグラフ，凡例，ひとこと，読み取り値，補足（IF 法），測定の記録，材料の比較（折りたたみ．初めは閉じている），硬さと強さの違いの囲みが続きます． 画面の幅が狭いときは 1 列に並び，全体図と断面図のすぐ下に「押し込む（再生）」のボタンが出ます（操作欄のボタンと同じ働き）．

何が見えるか（試験機の全体図）．側面から見た模式図で，縮尺は正確ではありません． 台，柱とアーム，アームの中のおもり（試験力をかける機構），おもりの力を伝える軸，回転台（ターレット）に付いた圧子と対物レンズ，試料，試料台と昇降ねじ（ハンドル）を描きます．試料の色は材料の区分ごとに変えます． 試験前は圧子が試料の上に離れていて，押し込み（負荷）で圧子が下がって試料に触れ，少し沈み込みます（3 px 以内に誇張した動き）．試験力の赤い矢印 F は負荷とともに太くなり，除荷で細くなって圧子が離れます． 試験が終わると回転台を回して対物レンズを試料の真上に置いた状態（観察）になり，圧子は横に退きます． 押し込みの間は圧子の先に青い点線の枠を描き，その中を拡大したのが右の断面図であることを下の説明に書きます． いちばん下の帯の 4 つ（押し込み，保持，除荷，測定）のうち，いまの段階が紺色になります（圧子を近づける間は「押し込み」）． 実際の試験機には，おもりとてこで試験力をかける型と，荷重センサーで制御する型があり，この図は前者を単純にした模式です．

何が見えるか（圧子の先の断面の拡大）．試料を透かして描いた模式図です． 荷重の赤い矢印と試験力 F（負荷とともに矢印が太くなる．最大荷重での太さはどの試験力でも同じ），136° の圧子，圧痕とその深さ，圧痕の下の塑性域（橙の半円，破線の縁），き裂（赤）が描かれ，左下に縮尺の棒，右下に画面上の倍率の目安（1 CSS px = 0.2646 mm として計算）が付きます． 深さのラベルは負荷中と保持中は「深さ h」，除荷中は「深さ（戻る）」，試験後は「残留深さ h_r」で，数値は答え合わせのあとだけ付けます（h ≈ d/7 なので，先に数値を出すと d が分かってしまうため）． 圧痕は面の中央を通る断面（図 5 (a)）の形で，表面での幅は正方形の一辺 s = d/√2 です． き裂は対角線を含む面にあるので，この向きから透かすと横幅が 1/√2 に縮んだ半楕円に見えます． 縮尺は，最大の試験力での圧痕・塑性域・き裂が収まるように材料と試験力ごとに決め，再生中は変えません． 隠すのは数値だけで，縮尺の棒や顕微鏡像の目盛と見比べれば，測る前でも d のおよその大きさは図から分かります．d と HV の数値は，自分で線を合わせて測って確かめます． 答えを隠すのは⑥の画面の中だけです．この解説の表 A3・表 A4 には全材料の HV とモデルの d・c が並び，③の表の σ_y ≈ H/3 からも H が分かります．§12.7・§12.8 の本文にも⑥で使う硬さの値が並んでいて，この解説ページには答えが載っています．表 A3・表 A4 は答え合わせのあとに見る値として使ってください（本文と画面の書き方の例には，どの材料の値でもない「640 HV 30」「12.5 GPa HV 9.807 N」を使っています）． 見出しの下に，段階（試験前，圧子を近づける，負荷中，保持中（10 倍の早送り），除荷中，除荷後（圧子が離れる），試験後）と試験の時刻 t が出ます．

再生すると，負荷中は圧子が沈み込み，塑性域が広がります．ハーフペニー型（c/a ≥ 2.5）では，荷重が F_on を超え，き裂が図の塑性域より十分長くなったところで，塑性域の下にメディアンき裂が円板として現れて下向きに育ち，表面のき裂はまだ見えません（下の「き裂の育ち方」）．それより前の荷重では，き裂は見えません． 保持中は変化しません．除荷中は深さが弾性の分だけ浅くなり，残留応力でき裂が表面に広がって，断面ではメディアンき裂が表面につながったハーフペニー形（図 5 (c)）になります． 「負荷中はき裂が主に下向きに伸び，表面のき裂は除荷の間に広がる」という順序はソーダ石灰ガラスの観察（Lawn と Marshall，1984．§12.5）に合わせたもので，き裂の形と伸びる速さは模式です． き裂が短い場合（1 < c/a < 2.5）は，除荷中に角の外側に浅い半楕円のき裂が広がります（Palmqvist き裂のつもりの模式）．

何が見えるか（顕微鏡で上から見た像）．正方形の視野に，4 つの面を左上からの光で塗り分けた圧痕（深さが戻って浅くなるほど淡く描く）と，隅から対角線の延長上に伸びるき裂（赤い線）が見えます． 試験中（接近，負荷，保持，除荷）は，見出しが「試験中：圧子の下を透かした模式」に変わります（圧子に隠れて実際には見えない圧痕を，透かして描いた模式）． 視野の幅は 20，30，50，100，200，300，500，1000，2000，3000，5000 μm のうち，max(d, 2c) の 1.3 倍が入る最小のものです（「き裂を表示」を外すか，「圧痕に合わせて拡大」をオンにすると d だけで決める．拡大したときは，き裂は視野の外で切れる．ただし補足を開いている間は，き裂を測れるように拡大しない）． 上の縁に目盛があり，1 目盛は視野の幅の 1/50 を 1，2，2.5，5 の系列に丸めた値です（視野 20 μm で 0.5 μm，30・50 μm で 1 μm，100 μm で 2 μm，200 μm で 5 μm，300・500 μm で 10 μm，1000 μm で 20 μm，2000 μm で 50 μm，3000・5000 μm で 100 μm）．5 目盛ごとに長い線です． 左下に縮尺の棒，右下に「視野 ○ μm ／ 1 目盛 ○ μm」が出ます． 測定線は縦の 2 本（青緑．d₁ を測る）と横の 2 本（紫．d₂ を測る）で，ドラッグして圧痕の角に合わせると，d₁ = |x₂ − x₁|，d₂ = |y₂ − y₁| が図の中に出ます（d₂ の数値は上の横線のすぐ上の右端に置き，横のき裂の先端を隠さないようにしています）． 線の位置は 0.1 μm に丸め，線に触れたとみなす幅はマウスで 8 px，タッチで 16 px です．線に触れてドラッグするときだけページのスクロールを止めます． 最初と，材料や試験力を変えたとき，新しく押し込むときは，4 本の線は視野の幅の ±0.45 倍の位置にあり，「未測定」です． 視野の幅が変わったときは，まだ測っていなければ線をこの位置に戻し，測ったあとなら線を視野の中に収めます． 「答え合わせ」を押すと，自動測定の線（圧痕の角 ±a の位置．黒の破線）と「自動 ○ μm」が重なります．学生の線は消さないので，ずれがそのまま見えます． 補足（IF 法）を開いている間は，き裂の長さを測る赤の点線 2 本（つまみは下の縁の三角で，縮尺と視野のラベルに隠れないように白い縁取りを付けて最後に描く．初めは視野の幅の ±0.40 倍）が出て，「2c ＝ ○ μm」が表示されます．

測定と計算の欄．顕微鏡像の右（狭い画面では下）にあり，学生の測定だけから計算します． d₁ ／ d₂，その差（平均に対する割合．小数 1 桁で表示し，5 % の判定も表示と同じ丸めた値で行う），d = (d₁ + d₂)/2 を μm と mm で， HV = 0.1891 × F/d² に数値を入れた式と結果（測る前は「○○○ HV 10」で，測ると ○○○ に値が入る）が並びます． そのあとの行は材料で変わります（表 8）．金属は ISO 6507-1（題名は Metallic materials）に従い，差は「5 % を超えたら報告に書く」，GPa 換算（HV × 0.009807），d が 20–1400 μm に入るかを示します． 焼結体（アルミナ，Y-TZP，SiC，Si₃N₄）はファインセラミックスの JIS R 1610 に従い，差は「5 % 以上の圧痕は除く」，望ましい書き方「12.5 GPa HV 9.807 N」の形（GPa を有効数字 3 桁，試験力を N で．測る前は「○○○ GPa HV 98.07 N（3 桁）」），試験力が 4.903–98.07 N（推奨 9.807 N）に入るかを示します． ガラスはどちらの規格の対象でもないので，このページでは JIS R 1610 の条件を借りて同じように示します（読み取り値の「試験の区分」にもそう書く）． 最後に， d を ±1 目盛読み違えたときの HV の変化と，±1 μm 読み違えたときの変化（HV ∝ d⁻² なので，(d/(d ± δ))² − 1．長く読むと HV は下がる）が並びます． その下の「答え合わせ（自動測定）」の 3 行（自動測定の d，自動測定の硬さ（セラミックスとガラスは「○○○ HV 10（○○○ GPa HV 98.07 N）」，金属は「○○○ HV 10（○.○ GPa）」の形），あなたの値との差）は，「答え合わせ」を押すまで表示しません． 答え合わせは試験が終わってからだけ使えます（前に押すと，ひとことに注意が出る）．答え合わせのあとに線を動かすと，この欄の差は更新されますが，記録の行は答え合わせの時点の値のままです． 欄の下にも「答え合わせ（自動測定を重ねる）」のボタンがあります（操作欄の「答え合わせ」と同じ働き）．

何が見えるか（荷重–時間のグラフ）．横軸は試験の時間 0–25 s で，押し込み（負荷）5 s（青の帯），保持 15 s（緑の帯），除荷 3 s（赤の帯）の予定を灰色の破線で，ここまでの経過を赤の実線で描きます．再生中はいまの時刻に縦の点線が付きます．縦軸は F（N），見出しは「試験力 F ＝ 98.07 N ＝ 10 kgf」の形です．

読み取り値．見出しは材料名と区分，行は試験力 F（N と kgf），試験の区分（金属は ISO 6507-1 の区分で，F ≥ 49.03 N で「ビッカース硬さ試験」，1.961 N 以上で「低試験力ビッカース硬さ試験」，それ未満で「マイクロビッカース硬さ試験」．焼結体は「JIS R 1610（ファインセラミックス）」，ガラスは「ISO 6507-1，JIS R 1610 とも対象外（JIS R 1610 の条件で見る）」で，試験力が 4.903–98.07 N の外なら「試験力が範囲外」を付けて強調．表 8）， 最大荷重での深さ h ≈ d/7（答え合わせの前は測った d から「約」を付けて，あとはモデルの値），き裂（試験後）（あり／短い／なし），欠けやすい試験力では「横き裂による欠け（チッピング）」です． HV は有効数字 3 桁（1000 以上は 10 の位に丸める）で，d と 2c は有効数字 4 桁（末尾の 0 も残す．例 250.0 μm）で表示します．

補足（IF 法）．折りたたみの中に，考え方の説明，Quinn（NIST）と Bradt（2007）の結論の要旨（破壊試験として信頼できず，K_IC の試験として認めるべきではない）と，使うとしても比較や品質管理の目安にとどめるという本ページの立場（画面にも「NIST の要旨の言葉ではない」と書き分ける），式 (105) のカード，見積もりの表があります． 表は，き裂の長さ 2c，c と c/a（a は測った d の半分．2.5 未満なら「JIS R 1607 の条件外」．本文には，Anstis らの条件は c ≥ 2a，JIS R 1607 は c/a ≥ 2.5 で，ここでは 2.5 で判定すると書き分けている），測った d と c を入れた IF 法の K_c（式 (105)，ξ = 0.016）と K_C（式 (106)，JIS R 1607），脆性指数 H_V/K_IC（式 (109)．表 1 の K_IC と表 A3 の H_V で計算．答え合わせのあと）です． K の行は，試験が終わり，き裂が見えていて，d と c の両方を測り，c > a のときだけ値が出ます（そうでなければ「試験のあと」「先に d を測る」「c を測る」などの案内）．金属では「き裂なし（使えない）」と出ます． 以前の版にあった「真の d と，K_IC から計算した c を入れた K_c」と「表の K_IC（参考）」は，一致が当然の循環した値なので表示をやめました．

測定の記録．「答え合わせ」を押すと，材料 ／ 区分，試験力，d₁ ／ d₂，あなたの値，自動測定，差（2 % 未満を緑）が 1 行残ります（新しい順，1 つの試験につき 1 行，最大 8 行）． あなたの値と差は答え合わせを押した時点の測定で固定し，あとから線を動かしたり答え合わせを押し直したりしても書き換えません（答えを見てから線を黒の破線に重ねると差が 0 になり，答えを見る前の測定が消えてしまうため）． 答えを見たあとに測り直した値が元と違うときは，「答えを見たあと ○○○ HV 10」として同じ行に小さく添えます．行を作るのは「答え合わせ」だけで，線のドラッグは既にある行にこの添え書きを付けるだけです． d₁ と d₂ の差が大きい測定（セラミックスとガラスは 5 % 以上，金属は 5 % を超える）で答え合わせをした行には，「d₁ と d₂ の差 ○.○ %（JIS R 1610 では除く）」（金属は「ISO 6507-1 では報告に書く」）を赤で添えます． 材料や試験力を変えても記録は残り，「記録を消す」で消えます（材料の比較の図の表示もはじめに戻る）．消したあと，同じ試験で答え合わせを押し直したり線を動かしたりしても行は作りません（答えを見たあとの測定が「あなたの値」として残らないように．次の試験から記録する）．ページを読み込み直すと消えます． 表の説明（値を固定すること，試験力と差の関係，緑の意味）は表の下に書きます．幅が 560 px 以下の画面では，試験力を材料の欄に，d₁ ／ d₂ をあなたの値の欄に小さく入れて 4 列にし，横にスクロールしなくても差と自動測定が見えるようにします．

何が見えるか（材料の比較）．折りたたみの中にあり，初めは閉じています（狭い画面でページが長くなりすぎないように）．開くと，いまの試験力で 8 つの材料を押したときの試験後の圧痕（とき裂）を並べます（図の幅が 560 px 未満では 4 列 × 2 段）． 答え合わせをした材料だけ圧痕と値を出し，まだの材料はマスに「？」だけを出します（ページを開いたときは 8 つとも「？」）． このモデルは押し込みサイズ効果を入れていないので HV は試験力によらず，ほかの材料の値を先に見せると，その材料を選んだときの答えが分かってしまうためです． 値を出した材料は硬さの高い順に，隠した材料はそのあとに元の順で並べます（並び順から硬さの範囲が分からないように）．いま選んでいる材料は，前に答え合わせをしていても，いまの試験の答え合わせまで隠します． 圧痕はすべて同じ縮尺で，縮尺は材料によらない基準の硬さ 0.8 GPa の圧痕がマスに収まるように決めます（隠した材料の大きさが縮尺から分からないように）．長いき裂はマスの縁で切れます． マスの地の色は材料の区分（酸化物焼結体，非酸化物焼結体，ガラス，金属．いちばん下に色見本）で，マスの下に材料名，区分，「○○○ HV 10」の形の硬さ，d が出ます． 選んでいる材料は紺の枠で囲みます． その下は硬さの GPa 換算（HV × 0.009807，横軸 0–25）の横棒グラフで，棒は灰色，選んでいる材料だけ紺で，「○○.○ GPa（○○○ HV 10）」の形の数値が付きます（隠した材料は棒を描かず「？（答え合わせで表示）」）． 式 (99) の d ∝ H_V^−1/2 のとおり，同じ試験力で鋼や Al 合金の圧痕は SiC の 4–5 倍，アルミナの 3.5–4 倍の大きさです．

操作．材料（表 1 の 8 種．選択肢に区分が付く．既定はアルミナ）と，その下の区分の表示，試験力のスライダー（0.1，0.2，0.3，0.5，1，2，3，5，10，20，30，50 kgf の 12 段．既定は 10 kgf）， 「押し込む（再生）」（再生中は「一時停止」，止めると「続きを再生」．新しく押し込むときは測定線と答え合わせを戻す），「リセット」（圧子が上にある試験前の状態に戻し，測定線と答え合わせを戻す）， 「答え合わせ」，「測定線を戻す」，「き裂を表示」と「圧痕に合わせて拡大」のチェックです． スライダーのラベルは「試験力 F ＝ 98.07 N（10 kgf）」の形で，F は kgf の数値 × 9.80665 N を 4 桁で表示した値（ISO 6507-1 の試験力と同じ数値）です．その下に「この試験力で測った硬さは『○○○ HV 10』と書く」という案内が出ます（セラミックスとガラスでは，JIS R 1610 の望ましい書き方「○○○ GPa HV 98.07 N」（○○○ は有効数字 3 桁の値）と試験力の範囲も添え，範囲の外なら強調）． 操作欄の数式のカードの書き方の例（640 HV 30，12.5 GPa HV 9.807 N）は，どの材料の値でもない数にしてあります（例から答えが分からないように）． 材料や試験力を変えると，再生を止めて試験前の状態に戻し，測定線と答え合わせを戻します（ページを開いたときも試験前です）． 再生は，接近 1 s（グラフには出さない），負荷 5 s，保持 15 s，除荷 3 s，圧子が離れる 2 s の試験の時間を，それぞれ 2 倍，2 倍，10 倍，1.5 倍，3 倍の速さで進めるので，全体で約 7 秒です．

ひとこと．段階ごとに書き換わります（接近中は「圧子を近づけています」）．試験後は 2 文までで，1 文目は，測る前は測定の案内，測ったあとは「あなたの測定：○○○ HV 10」，答え合わせのあとは自動測定の値とあなたの値との差です． 2 文目は，欠けの注意，セラミックスとガラスで試験力が JIS R 1610 の 4.903–98.07 N の外にあるときの注意，金属で d が ISO 6507-1 の 20–1400 μm の範囲外のときの注意（20 μm 未満と 1400 μm 超で文を分ける．答え合わせの前は測った d で判定），石英ガラスの注記のうち当てはまる最初の 1 つで，どれも当てはまらないときだけき裂の様子を書きます． ただし，測った d₁ と d₂ の差が大きいとき（セラミックスとガラスは 5 % 以上，金属は 5 % を超えるとき．表示と同じ小数 1 桁の値で判定）は，答え合わせの前はその注意だけを出し，答え合わせのあとは 1 文目の答え合わせの結果に続けて 2 文目にその注意を出します（ほかの注意より優先）．セラミックスとガラスでは「JIS R 1610 ではこの圧痕は除く」，金属では「ISO 6507-1 では報告に書く」と書き分けます．

測ってみると分かること．HV は d の −2 乗に比例するので，平均の d を 1 % 長く読むと HV は約 2 % 低くなります． d ≈ 100 μm の圧痕では，d を 1 μm 読み違えても HV は約 2 % しか変わりませんが，d ≈ 10 μm の圧痕（硬いセラミックスを 0.1 kgf で押したときの大きさ）では同じ 1 μm で −17 %〜＋23 % も変わります．低い試験力の小さな圧痕が測りにくく，規格が d ≥ 20 μm を対象にしている（表 8）理由が実感できます． 目盛で読むときの誤差も同じ考え方で，d ≈ 100 μm の圧痕を視野 500 μm（1 目盛 10 μm）で読むと ±1 目盛で −17 %〜＋23 % ですが，「圧痕に合わせて拡大」で視野 200 μm（1 目盛 5 μm）にすると −9 %〜＋11 % に縮みます（数値は⑥の画面の「読み違えると」の行で確かめられる）． 補足で c を測ると IF 法の値が出ますが，このシミュレーターの c は式 (105) で表 1 の K_IC から決めているので，正確に測ると表の値に戻るだけです（画面にも注記）． 画面で見える違いは，d と c の測り違い（K_c ∝ d c^−3/2）と，式 (106) が同じ測定値から 1.17 倍の値を出すことだけで，IF 法そのものの精度（§12.6）を確かめる実験にはなりません．

§12.5 のアルミナの例（H_V = 15.2 GPa）は 98.07 N で c ≈ 170 μm，c/a ≈ 3.1 で，H_V = 16 GPa の表 A4 の値（164 μm，3.08）とほぼ同じです． §12.7 の脆性指数は表 10 のメーカー値で計算しているので，アルミナ 4300，窒化ケイ素 2300 m^−1/2 と，表 A3 より少し小さくなっています．

モデルと近似．すべて閉じた式で，数値計算はしていません．

• 硬さと圧痕：材料ごとに H_V（表 A3）を与え，対角線 d = √(1.8544F/H_V)（式 (99)），深さ h = d/7.0006（式 (98)），真の HV = H_V[GPa]/0.009807 とします． 測った HV は測定線の平均 d から HV = 0.1891F/d²（式 (97)）で計算し，答え合わせの「自動測定」はモデルの d（圧痕の角 ±a）を同じ式に入れた値（= 真の HV）です． 押し込みサイズ効果（§12.4）は入れていないので，真の HV はどの試験力でも同じで，2 本の対角線も等しく，d₁ と d₂ の差は測り違いだけで生じます．
• き裂の長さ：式 (105) を c について解いた c = [ξ(E/H)^1/2F/K_IC]^2/3 で，ξ = 0.016，H = 2F/d² = 1.0785H_V（投影面積で割った硬さ．§12.2 の囲み）です． 表 9 の Quinn の値は，E = 320 GPa とおくと，式 (105) を投影面積の H，式 (106) を H_V で計算したときにどちらも ±1.2 % で再現できるので，式 (105) の H を投影面積の硬さとしました． 式 (105) は c ≫ a を前提にした式なので，c/a < 2.5 の短いき裂の長さは外挿した目安です． c ∝ K_IC^−2/3 なので，K_IC を 2 割低くとると c は 1.16 倍になります．表 1 の K_IC は同じ名前の材料でも製法や組成で幅がある目安なので，き裂の長さも目安として見てください．
• き裂を描く条件：セラミックスで F ≥ F_on かつ c > a のときだけ描き，c/a ≥ 2.5（JIS R 1607 の条件）ならハーフペニー型，1 < c/a < 2.5 なら短いき裂とします． F_on は表示のための目安です．ガラスは，き裂が出始めるときの圧痕が数十 μm という記述（Lawn と Marshall，1984．§12.7）に合わせて，HV 0.2（d = 26 μm）からき裂が出るようにしました． 式 (108) の F^* ∝ K_c⁴/H³ の係数は確認できなかったので，ほかの材料の F_on もこの式からは決めていません． 欠けの注意は，ガラスが 49 N 以上（目安），炭化ケイ素が 196 N 以上です．炭化ケイ素の値は，196 N や 294 N で SiC や B₄C に激しい欠けや砕けが出るという Quinn（2006）の原稿の記述によります．金属は割れません．
• 塑性域の大きさ（図の大きさにだけ使い，数値は表示しない）：セラミックスは Lawn, Evans と Marshall（1980）の形 b/a = (E/H)^1/2(cot ψ)^1/3（H = 1.0785H_V，ψ = 74°）です． ハーフペニー型では，き裂が塑性域の外に出て見えるように，図に描く塑性域の半径を b_d = min(b, 0.65c) に抑えています（表 A4 の b/a は抑える前のモデルの値）． ψ を 74° とするか 68° とするかは原典で確かめられなかったので，b には 1.12 倍の不確かさがあります． 金属は Johnson（1970）の空洞膨張モデル (b/a_e)³ = E tan β/[6(1 − ν)Y] + 2(1 − 2ν)/[3(1 − ν)] で， a_e = a√(2/π)（投影面積が同じ円の半径），tan β = √(2π)/7.0006 = 0.358（投影面積と深さが同じ円錐の面と表面のなす角 β = 19.7°），Y = H_V/3（式 (100) の目安）としました． 負荷中は a と b を荷重の割合の 1/2 乗で大きくします．
• 深さの戻り（図の見た目の目安）：除荷後の深さを h_f/h = 1 − 5H_V/E_r（下限 0.3），1/E_r = (1 − ν²)/E + (1 − ν_i²)/E_i とし， ダイヤモンドの E_i = 1141 GPa，ν_i = 0.07 は Oliver と Pharr（1992）が用いた値です． 係数 5 は文献の値ではなく，H/E の大きい材料ほど深さが大きく戻る，という傾向を見せるための仮の値です．除荷中は深さを直線で戻し，対角線は戻しません（§12.4）．
• き裂の育ち方（模式）：ハーフペニー型の材料で，負荷中のメディアンき裂を中心の深さ (b_d + c)/2，半径 (c − b_d)/2 の円板とし， 荷重の割合 g に対して c ∝ g^2/3（式 (107)），b_d ∝ g^1/2 で育てます（gF ≥ F_on かつ c > 1.15b_d のときだけ）． b_d ≤ 0.65c なので，最大荷重（g = 1）では後の条件がいつも成り立ち，途中の荷重でも遅くとも g ≈ 0.17（= (1.15 × 0.65)⁶）から成り立ちます． 除荷中は円板の中心を表面へ動かしながら半径を c まで広げ，表面のき裂の長さを a から c まで直線で伸ばします．
• 時間：負荷 5 s は ISO 6507-1 の 2–8 s，保持 15 s は JIS R 1610 の保持時間（表 8）に合わせ，除荷 3 s と接近・離れる時間は表示のための値です．
• 材料の値：H_V のうち，アルミナ 16，炭化ケイ素 23，窒化ケイ素 15，Y-TZP 12 GPa は，表 10 のメーカー値（15.2，23.0，14.0，12.3 GPa）や SRM 2100 の 98 N での 16.0 GPa と 1 割以内でそろう丸めた目安です． ソーダ石灰ガラス 5.5 GPa は表 10 の目安 5–6 GPa の中ほど，石英ガラス 8.0 GPa，構造用鋼 1.3 GPa，アルミニウム合金 1.0 GPa は，出典の数値を確認できなかった一般的な目安です． ③の σ_y ≈ H/3 と同じ値を使っています（§5.6，A.9）．
• 材料の区分：酸化物焼結体（アルミナ，Y-TZP），非酸化物焼結体（炭化ケイ素，窒化ケイ素），ガラス（ソーダ石灰ガラス，石英ガラス），金属（構造用鋼，Al 合金）．セラミックスの 4 種は製法を出典で確かめていないので「（仮）」を付けています（§12.8）． 区分は表示と色分けだけに使い，計算には使いません．
• 目盛と読み違いの感度：1 目盛 δ は視野の幅の 1/50 を 1，2，2.5，5 の系列に丸めた値（上の本文）．HV の変化は (d/(d + δ))² − 1（長く読む）と (d/(d − δ))² − 1（短く読む）で，d は学生が測った平均です．

模式としての限界．次のものは入れていません． 押し込みサイズ効果（§12.4），圧子の先端の丸み，粒や気孔（角が気孔にかかった圧痕），横き裂による欠けの形（注意の表示だけ），水分によるき裂の遅い成長，き裂の枝分かれ（§12.5）． 石英ガラスは塑性流動より高密度化で変形し，ソーダ石灰ガラスとはき裂の出方が違うことが知られているので（Arora ら，1979），石英ガラスのき裂の長さは式 (105) の目安から外れます（画面にも注記が出ます）． 倍率は画面の 1 px を 0.2646 mm とみなした目安で，実際の顕微鏡の倍率とは対応しません． 試験機の全体図は形と動きの順序だけを示す模式で，寸法，圧子の沈み込み（誇張），回転台の回し方は実際の装置と対応しません．

A.8 ⑦ 熱衝撃と気孔

何が見えるか．いちばん上の図は，長い角棒の正方形の断面（一辺 L）の 2 枚のカラーマップです（幅 560 px 未満では上下に並ぶ）． (a) 温度（低温の紺から青緑・緑を経て高温の黄に至る色，帯に ℃ の目盛．上面と下面の温度を表示し，側面は「断熱」）． (b) 面内の最大主応力 σ₁（引張 赤，圧縮 青，帯に MPa の目盛と強度 σ_f の印．色の範囲は 1 回の再生の間は固定）． σ₁ > 0.15S（S は色の範囲）の所には引張の向きの短い線が付きます．割れると，ぎざぎざの線でき裂が両方の図に描かれ，「割れた（t = …）」と表示されます（§10.5）． 図の下には時刻 t と Fo = κt/L²，その下の行に L²/κ と温度がほぼ直線になる Fo ≈ 0.5 の時刻が出ます． 2 つ目の図 (c) は応力の時間変化（横軸は対数の時間）で，上面中央・下面中央・中心の σ_xx と，試料全体の σ₁ の最大値（破線），σ_f の線，いまの時刻，割れた時刻の赤い点です．

操作．材料（セラミックス 6 種），はじめの温度 T₀，上面 T_top，下面 T_bottom（0–1500 ℃，10 ℃ 刻み）， 3 つの設定ボタン「急冷（200 ℃ → 上下 20 ℃）」「穏やかな急冷（70 ℃ → 上下 20 ℃）」「上を加熱・下を冷却（300 ℃ → 上 800 ℃，下 20 ℃）」（押すと最初から再生）， 一辺 L（5–100 mm），「再生」「リセット」と時刻のスライダーです． 時刻は 121 コマで，0 が急冷の直前，1–120 が Fo = 4×10⁻⁶ から 1 まで対数で等間隔です（再生は 1 コマ 60 ms，全体で約 7 秒）． 最初の表示はアルミナ，200 ℃ → 20 ℃ の急冷の途中で，上下の表面から割れています．

読み取り値．t と Fo，上面・中心・下面の温度，いまの σ₁ の最大値とその場所，上下の表面中央の σ_xx と同じ時刻の無限に広い板の値（式 (93) の考え方）， ΔT = max|T_表面 − T₀|，EαΔT/(1 − ν)，全時間での σ₁ の最大値と σ_f，R，判定，割れた時刻（Fo と t）と起点，κ（目安，表 7）です． 「ひとこと」は，急冷・加熱・その両方で文面が変わります．熱応力は Fo ≈ 0.5 で温度分布が直線に近づくと，ほぼ 0 に戻ります（§10.3）．

その下の図．熱衝撃抵抗 R（式 (88)）の横棒グラフ（対数の横軸，温度のスライダーから決めた ΔT の破線．R < ΔT は赤，それ以外は緑）， 気孔率 P（0–0.40）と経験定数 b（4–7）による Ryshkewitch–Duckworth の式 (94) の曲線（b = 4，5，7 の破線と選んだ b の赤の実線），材料の表（κ の列つき）です． 強度が半分になる気孔率は ln 2/b で，b = 5 なら 0.139（相対密度 86.1 %）です． R は表面温度が瞬時に変わる場合の値で，熱伝達が有限なら割れる温度差は R より大きくなります（§10.1 の囲み）． 緻密な焼結体をつくる方法は焼結の教材で扱います： 焼結シミュレーター ⑥ 緻密化と粒成長の競争， 焼結の理論「気孔の取り残しと 2 段階焼結」．

モデルと近似．温度は 1 次元の熱伝導の厳密解，応力は平面ひずみの有限要素法（§10.4）で，表面の熱伝達は無限大（表面温度が瞬時に変わる），材料定数は温度によらないとしています． 長さ方向の応力 σ_z は判定に入れていません．計算の精度（上下の急冷の直後の表面で EαΔT/(1 − ν) の 0.988 倍なので ΔT ≈ 1.01R から割れる，定常の残り 0.15 % 程度）は §10.4，割れ方が模式であることは §10.5 にあります．

A.9 計算のモデルと注意

各タブがどの式をその場で計算しているかは §13 にまとめてあります．ここでは，§13 に書いていない設定と，画面の数値を読むときの注意を補います．

• ①の金属のくびれ：くびれの部分の真ひずみの分布を ε(ζ) = n + Δ/[1 + (ζ/ℓ)²]（ζ は標点間の中央からの距離，ℓ = 1.5 mm は厚さ程度の目安）とし， くびれの外は ε = n のまま（弾性の戻りは無視）とします．くびれによる余分の伸び ∫eⁿ(e^ΔL(ζ) − 1)dζ（L(ζ) = 1/[1 + (ζ/ℓ)²]．Simpson 積分）を L₀(e_f − e_u) に合わせて，破断時の Δ_f を 2 分法で決めます（鋼 0.627，Al 合金 0.370）． 一様伸び e_u と破断伸び e_f は，構造用鋼 18 % と 26 %，アルミニウム合金 8 % と 12 % の目安です． 最小断面は A_min = A₀e^−(n+Δ)（幅と厚さが同じ割合で縮む），荷重は F = A_minKεⁿ で，荷重最高点のあとは単調に下がります． くびれの形は幾何から a/R = a²Δe^−2ε/ℓ²（a = (w₀/2)e^−ε/2）で，破断時の鋼で 0.646 は，Le Roy ら（1981）の経験式 a/R = 1.1(ε − n) の 0.690 に近い値です． Bridgman の係数 B を荷重に掛けないのは，a/R が Δ とともに増えるこのモデルで B を掛けると，くびれの直後に荷重がわずかに上がり，Considère の条件と荷重最高点の一致が崩れるためです．B は断面の中の配り直し（式 (9)）にだけ使い，長さ方向には L(ζ) の重みで弱めています． 破断時の公称応力は引張強さの 0.69 倍（鋼），0.79 倍（Al 合金）になります． 肩の応力集中係数 K_t = 1.08（直径比 2，半径比 1.5 の肩の目安）を肩の近く ±3 mm に重みを付けて入れ，金属では塑性ひずみが 0.2 % を超えると消します． 吸収エネルギーは表にした曲線の台形積分（20 万分割の積分と一致）で，肩とつかみ部の変形は無視しています． 拡大図のすべり線は粒ごとに 0–2 % の塑性ひずみで現れ，間隔を 0.45d/(1 + 30ε_p) としています．ボイドの育ち方は形を見せるためのもので，成長の式は解いていません．
• ②の応力場の確かめ：孔の縁の力の残り（σ に対する比）は b/a = 1 で 4×10⁻⁹，0.1 で 2×10⁻⁶， 遠方 (300a, 400a) では一様な応力と 10⁻⁵ で一致，先端の値は b/a = 1，0.5，0.25，0.1，0.02 で 3，5，9，21，101， 円孔では Kirsch の式 (25) と 10⁻¹⁵ で一致，差分で調べたつり合い（div σ）と適合条件の残りは打ち切り誤差の大きさでした． エネルギー収支は平面応力の貫通き裂を板厚 1 m あたりに換算した値です．
• ③の縁き裂の応力場：中央き裂の Westergaard の解 σ_W の乱れの部分を Y 倍した σ_yy ≈ σ[1 + Y(σ_W/σ − 1)]（Y = 1.12）で縁き裂を近似しています． 先端では式 (46) の K 場と一致し，遠方で σ に戻りますが，自由表面 x = 0 の条件は厳密には満たさず，き裂の面には −0.12σ が残ります． Y = 1.12 は板の幅に比べてき裂が浅い極限の値で，a/W = 0.1（a = 5 mm）では実際には 1.19 程度に上がります． 原子の図の変位は平面ひずみの K 場（ν = 0.25）で，√r は原子間隔の 4 倍で頭打ちにし，先端の結合がちょうど 100 % 伸びる振幅を二分法で求めて ε_b = 0.2 を掛けた値を K_tip = K_cleave での振幅にしています．伸びは振幅に比例しないので，そのときの伸びは約 19 %（結合の色は 20 % を 1 とした 0.95）です． 転位の対の数は 1 + floor(3 ln(K/K_e)/ln(K_IC/K_e))（最大 4），Burgers ベクトルは Fe 0.248 nm，Al 0.286 nm です． 硬さ H の目安はガラス 5.5，石英ガラス 8，アルミナ 16，SiC 23，Si₃N₄ 15，Y-TZP 12 GPa（⑥と共通．表 A3）で，σ_y ≈ H/3 はアルミナ 5.3 GPa，SiC 7.7 GPa です．γ_s と γ_us は表 4 です． 割れた状態はいまの σ と a から決めるので，割れたあとに σ や a を下げると新しい試験片に戻ります．
• ④⑤の試験片：平均 λV 個（Poisson 分布）のき裂を含み，き裂の大きさ a（表面から入ったき裂の深さ）は Pareto 分布 P(> a) = (a_min/a)^k にしたがい，それぞれが σ = K_IC/(Y√(πa)) で壊れ， いちばん大きい（いちばん低い応力で伸び始める）き裂が試験片の強度を決める，というモデルです（§7.2）． ④の強度は mulberry32(シード) を §8.2 の計算と同じ順と回数で使うので完全に一致し，描き方の乱数は別の系列（シードと 0x5bd1e995 の排他的論理和）です． ④のヒストグラムのビンの数は 1.6√N を 8–24 の範囲に丸めた値です． ⑤の模式図 1 は λV₁ = 8 個で，き裂の長さは 2.2 px × a/a_min（42 px で頭打ち．縮尺どおりではない）， 省略した部分のき裂は約 8V₂/V₁ − (描いた個数) 個で，その最大は u_min = 1 − R^1/N（R は一様乱数）から選んでいます． V₁ と V₂ は別の乱数の系列なので，V₂/V₁ = 1 でも描かれるき裂は同じではありません． ⑤のモンテカルロでは，1 つのシードから続けて体積 V₁ の 200 本，V₂ = 10V₁ の 200 本の順に乱数を使います．
• ⑥の計算：物理量はすべて付録 A.7 の閉じた式で，材料と試験力が決まれば一意に決まります． 確かめたこと：JIS R 1607 の計算例（196 N，d = 140 μm）から H_V = 18.5 GPa，SRM 2831（9.807 N，d = 34.6 μm）から 1549 HV 1， 12 段の試験力を 4 桁で表示した値が ISO 6507-1 の試験力の数値（0.9807–490.3 N）と一致，表 9 の式 (105)(106) の値を E = 320 GPa で ±1.2 % 以内に再現， 真の d を入れた IF 法の K_c が K_IC に 10⁻⁹ の精度で戻り，式 (106) との比が 1.1683 で一定． 鋼の塑性域では，Johnson（1970）の平均圧力 p_m = (2/3)Y[1 + ln(E tan β/3Y)] が Y = 0.43 GPa で 1.46 GPa になり，投影面積の硬さ 1.0785 × 1.3 = 1.40 GPa と 4 % で合います． 横から見た図の縮尺と顕微鏡の視野は最大の試験力の圧痕とき裂から決め，再生中は変えません．材料の比較の図は，いまの試験力の試験後の状態だけを描きます．
• ⑦の計算：温度は厳密解（表示用の表は 9 × 241 点），有限要素の節点 33 × 77（横は座標 s − 0.75 sin(2πs)/2π で側面側を，縦は表面の要素 5×10⁻⁴L から 1.15 倍ずつ広げて表面側を細かくする），剛体の動きは左下の節点の 2 方向と右下の節点の上下の変位を 0 にして除いています（荷重が自分でつり合っているので応力は変わらず，反力は 10⁻¹² 程度以下）． き裂の起点は，σ₁ ≥ σ_f の節点を大きい順に互いに 0.2L 以上離して最大 6 個選び，各時刻には最も長いき裂を表示します． 割れた時刻はコマの間を log Fo で線形に補間した値です． κ は表 7 の目安で，気孔の式 (94) は経験式であり，E や α が気孔で変わる効果は入れていません（演習問題 8 の (3)）．
• 材料定数はすべて教材用の目安で，特定の製品の実測値ではありません．実際の値は組成・微構造・試験法によって大きく変わります． セラミックスの σ_f は小さな試験片の曲げ強度程度の値で，⑤で見るように同じ材料の引張強度はこれより低くなります． 金属の K_IC は，試験片が十分に厚くないと平面ひずみの有効な値にならないことが多く，表の値は比較のための目安です（§6 の誤解 5）． このモデルで言えること・言えないことは §13 の囲みにまとめてあります．