第9章運動座標系と慣性力 — 遠心力とコリオリ力

導出：並進加速度系での運動方程式

S の原点 O から見た S′ の原点 O′ の位置ベクトルを $\bm R(t)$，質点 P の S から見た位置ベクトルを $\bm r$，S′ から見た位置ベクトル（すなわち O′ から P までのベクトル）を $\bm r'$ とすると，

$$ \bm r=\bm R+\bm r' $$

という関係がある．S′ は回転していないので，$\bm r'$ の成分（S′ に固定した座標軸で測った $x',y',z'$）をそのまま時間で微分すれば速度・加速度になる（回転する場合の微妙な違いは9.2節で扱う）．両辺を時刻 $t$（非相対論的力学では S でも S′ でも同じ時刻が流れるとする）で2回微分すると，

$$ \ddot{\bm r}=\ddot{\bm R}+\ddot{\bm r}' $$

を得る．$\ddot{\bm R}\equiv\bm A(t)$ は，S から見た S′ の原点（＝電車やエレベーターそのもの）の加速度である．質点 P には実在する力 $\bm F$（重力・垂直抗力など，何らかの相互作用として説明できる力の合計）が働いているとすると，S（慣性系）でのニュートンの運動方程式は $m\ddot{\bm r}=\bm F$ だから，

$$ m(\bm A+\ddot{\bm r}')=\bm F \qquad\therefore\quad m\ddot{\bm r}'=\bm F-m\bm A $$

となる．左辺の $m\ddot{\bm r}'$ は，S′ に乗っている観測者が測る質点の加速度に質量をかけたものである．つまり，S′ の観測者から見ると，実在する力 $\bm F$ に，$-m\bm A$ という余分な項を足したものが「見かけの合力」になっている．

（導出終わり）

導出（その1）：回転する基底ベクトルの時間微分 $\dd\bm e_i'/\dd t=\bm\omega\times\bm e_i'$

まず，回転軸が $z$ 軸（$\bm\omega=\omega\bm e_z$，$\omega=\dot\psi$ は回転角 $\psi(t)$ の時間微分）に一致する具体的な場合を考える．このとき，S′ の基底ベクトルは

$$ \bm e_x'(t)=\cos\psi\,\bm e_x+\sin\psi\,\bm e_y,\qquad \bm e_y'(t)=-\sin\psi\,\bm e_x+\cos\psi\,\bm e_y,\qquad \bm e_z'=\bm e_z $$

と書ける（これは第3章・第6章で極座標の基底ベクトル $\bm e_r,\bm e_\theta$ を直交座標の基底で表したときと，$\psi\leftrightarrow\theta$ の読み替えでまったく同じ式である）．時間で微分すると，

$$ \dot{\bm e}_x'=\dot\psi(-\sin\psi\,\bm e_x+\cos\psi\,\bm e_y)=\dot\psi\,\bm e_y'=\omega\,\bm e_y' $$ $$ \dot{\bm e}_y'=\dot\psi(-\cos\psi\,\bm e_x-\sin\psi\,\bm e_y)=-\dot\psi\,\bm e_x'=-\omega\,\bm e_x' $$

となる（図9.3）．一方，$\bm\omega=\omega\bm e_z$ と各基底ベクトルの外積を計算すると（$\bm e_z\times\bm e_x'=\bm e_y'$，$\bm e_z\times\bm e_y'=-\bm e_x'$，$\bm e_z\times\bm e_z'=\bm 0$ は，$\bm e_x',\bm e_y',\bm e_z'$ も $\bm e_x,\bm e_y,\bm e_z$ と同じ右手系の正規直交基底であることから成り立つ），

$$ \bm\omega\times\bm e_x'=\omega\,\bm e_y',\qquad \bm\omega\times\bm e_y'=-\omega\,\bm e_x',\qquad \bm\omega\times\bm e_z'=\bm 0=\dot{\bm e}_z' $$

となり，3本の基底ベクトルすべてについて $\dot{\bm e}_i'=\bm\omega\times\bm e_i'$ が成り立つことが確かめられた．

次に，回転軸の向きが時間とともに変わってもよい一般の場合を考える．このときも，各時刻に「瞬間の角速度ベクトル」$\bm\omega(t)$ が存在して同じ式が成り立つことを示そう．基底を $\bm e_1',\bm e_2',\bm e_3'$（$=\bm e_x',\bm e_y',\bm e_z'$）と書く．基底の直交性・長さ1という条件 $\bm e_i'\cdot\bm e_j'=\delta_{ij}$（$i=j$ なら1，$i\neq j$ なら0）を時間で微分すると，

$$ \dot{\bm e}_i'\cdot\bm e_j'+\bm e_i'\cdot\dot{\bm e}_j'=0 $$

となる．そこで $\Omega_{ij}\equiv\dot{\bm e}_i'\cdot\bm e_j'$ とおくと，上の式は $\Omega_{ij}+\Omega_{ji}=0$，すなわち $\Omega_{ji}=-\Omega_{ij}$ である（とくに $i=j$ なら $\Omega_{ii}=0$）．$\dot{\bm e}_i'$ を基底 $\bm e_j'$ で展開したときの係数が $\Omega_{ij}$ なので，独立な成分は $\Omega_{12},\Omega_{23},\Omega_{31}$ の3つだけであり，$\omega_3\equiv\Omega_{12},\ \omega_1\equiv\Omega_{23},\ \omega_2\equiv\Omega_{31}$ とおくと，

$$ \dot{\bm e}_1'=\omega_3\bm e_2'-\omega_2\bm e_3',\qquad \dot{\bm e}_2'=-\omega_3\bm e_1'+\omega_1\bm e_3',\qquad \dot{\bm e}_3'=\omega_2\bm e_1'-\omega_1\bm e_2' $$

と書ける．一方，$\bm\omega\equiv\omega_1\bm e_1'+\omega_2\bm e_2'+\omega_3\bm e_3'$ と各基底ベクトルの外積を，$\bm e_1'\times\bm e_2'=\bm e_3'$ などの関係から計算すると，$\bm\omega\times\bm e_1'=\omega_2\bm e_2'\times\bm e_1'+\omega_3\bm e_3'\times\bm e_1'=-\omega_2\bm e_3'+\omega_3\bm e_2'$，同様に $\bm\omega\times\bm e_2'=\omega_1\bm e_3'-\omega_3\bm e_1'$，$\bm\omega\times\bm e_3'=\omega_2\bm e_1'-\omega_1\bm e_2'$ となり，上の3式とちょうど一致する．したがって，一般に

\begin{equation} \diff{\bm e_i'}{t}=\bm\omega\times\bm e_i' \qquad(i=x,y,z) \label{eq:9-basis-derivative} \end{equation}

が成り立つ．この $\bm\omega$ が S′ の瞬間の角速度ベクトルである．実際，$\bm\omega$ に平行なベクトルは $\bm\omega\times\bm\omega=\bm 0$ より，その瞬間には向きを変えない．つまり $\bm\omega$ の向きが瞬間の回転軸であり，大きさが単位時間あたりの回転角である．軸が $z$ 軸に固定されている先ほどの場合は，$\bm\omega=\omega\bm e_z$ にほかならない．

（導出終わり）

導出（その2）：定理9.1の証明

ベクトル $\bm Q(t)$ を S′ の基底で成分表示する：

$$ \bm Q(t)=Q_x'(t)\,\bm e_x'(t)+Q_y'(t)\,\bm e_y'(t)+Q_z'(t)\,\bm e_z'(t) $$

慣性系 S から見た時間微分（積の微分法則をそのまま適用する）は，

$$ \left(\diff{\bm Q}{t}\right)_{\text{慣性}} =\underbrace{\dot Q_x'\bm e_x'+\dot Q_y'\bm e_y'+\dot Q_z'\bm e_z'}_{\text{(i)}} +\underbrace{Q_x'\dot{\bm e}_x'+Q_y'\dot{\bm e}_y'+Q_z'\dot{\bm e}_z'}_{\text{(ii)}} $$

である．項(i)は，成分 $Q_i'(t)$ だけを時間微分して同じ基底 $\bm e_i'$ に掛け戻したものであり，これはまさに「S′ に乗った観測者が測る $\bm Q$ の時間変化率」，すなわち回転座標系から見た時間微分 $(\dd\bm Q/\dd t)_{\text{回転}}$ にほかならない．項(ii)は，式 \eqref{eq:9-basis-derivative} の $\dot{\bm e}_i'=\bm\omega\times\bm e_i'$ を代入すると，

$$ \text{(ii)}=Q_x'(\bm\omega\times\bm e_x')+Q_y'(\bm\omega\times\bm e_y')+Q_z'(\bm\omega\times\bm e_z') =\bm\omega\times(Q_x'\bm e_x'+Q_y'\bm e_y'+Q_z'\bm e_z')=\bm\omega\times\bm Q $$

となる（外積の分配法則——$\bm\omega\times(\ )$ が線形な演算であること——を使った）．以上をまとめると，式 \eqref{eq:9-rotating-derivative}（定理9.1）が任意のベクトル $\bm Q(t)$ について成り立つ．

（証明終わり）

導出：回転座標系での加速度と運動方程式

9.1節と同じく，慣性系 S の原点 O に対して S′ の原点 O′ が位置ベクトル $\bm R(t)$（速度 $\bm V=\dot{\bm R}$，加速度 $\bm A=\ddot{\bm R}$）で並進運動し，さらに S′ が S に対して角速度ベクトル $\bm\omega(t)$ で回転しているとする．質点 P の O′ から見た位置ベクトルを $\bm r'$ とすると，S から見た P の位置ベクトルは $\bm r=\bm R+\bm r'$ である．S′ に乗った観測者が測る P の相対速度・相対加速度を，

$$ \bm v_{\text{相対}}\equiv\left(\diff{\bm r'}{t}\right)_{\text{回転}},\qquad \bm a_{\text{相対}}\equiv\left(\diff{\bm v_{\text{相対}}}{t}\right)_{\text{回転}} $$

と定義する（S′ に固定した座標軸で測った，ふつうの意味での速度・加速度）．まず，$\bm r'$ に定理9.1（式 \eqref{eq:9-rotating-derivative}）を適用すると，S から見た $\bm r'$ の時間微分は，

$$ \left(\diff{\bm r'}{t}\right)_{\text{慣性}}=\bm v_{\text{相対}}+\bm\omega\times\bm r' $$

である．したがって，S から見た P の速度は，

\begin{equation} \bm v=\dot{\bm r}=\bm V+\bm v_{\text{相対}}+\bm\omega\times\bm r' \label{eq:9-velocity-composition} \end{equation}

となる．次に，この式全体をもう一度 S から見て時間微分する．右辺の各項について，通常の積の微分法則（フレームによらず成り立つ）を使うと，

$$ \dot{\bm v}=\dot{\bm V}+\left(\diff{\bm v_{\text{相対}}}{t}\right)_{\text{慣性}}+\left(\diff{\bm\omega}{t}\right)_{\text{慣性}}\times\bm r'+\bm\omega\times\left(\diff{\bm r'}{t}\right)_{\text{慣性}} $$

ここで，$\dot{\bm V}=\bm A$，$\left(\dd\bm\omega/\dd t\right)_{\text{慣性}}=\left(\dd\bm\omega/\dd t\right)_{\text{回転}}+\bm\omega\times\bm\omega=\dot{\bm\omega}$（$\bm\omega\times\bm\omega=\bm 0$ なので，$\bm\omega$ 自身の時間微分はどちらの系で見ても同じ．これを $\dot{\bm\omega}$ と書く），そして $\bm v_{\text{相対}}$ に定理9.1を適用すると $\left(\dd\bm v_{\text{相対}}/\dd t\right)_{\text{慣性}}=\bm a_{\text{相対}}+\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}$，さらに上の途中式より $\left(\dd\bm r'/\dd t\right)_{\text{慣性}}=\bm v_{\text{相対}}+\bm\omega\times\bm r'$ である．これらをすべて代入すると，

$$ \bm a=\bm A+\left(\bm a_{\text{相対}}+\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}\right)+\dot{\bm\omega}\times\bm r'+\bm\omega\times\left(\bm v_{\text{相対}}+\bm\omega\times\bm r'\right) $$

となり，$\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}$ の項が2回現れることに注意して整理すると，

\begin{equation} \bm a=\bm A+\bm a_{\text{相対}}+2\,\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}+\bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r')+\dot{\bm\omega}\times\bm r' \label{eq:9-general-accel} \end{equation}

が得られる．ニュートンの運動方程式 $m\bm a=\bm F$（$\bm F$ は実在する力の合計）に式 \eqref{eq:9-general-accel} を代入し，$\bm a_{\text{相対}}$（＝S′ に乗った観測者が実際に測る加速度）について解くと，

\begin{equation} m\bm a_{\text{相対}}=\bm F\ \underbrace{-\,m\bm A}_{\text{並進の慣性力}}\ \underbrace{-\,2m\,\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}}_{\text{コリオリ力}}\ \underbrace{-\,m\bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r')}_{\text{遠心力}}\ \underbrace{-\,m\dot{\bm\omega}\times\bm r'}_{\text{オイラー力}} \label{eq:9-rotating-eom} \end{equation}

となる．9.1節の並進の慣性力 $-m\bm A$ に加えて，回転に特有の3つの見かけの力が現れた．

式 \eqref{eq:9-general-accel} の $2\,\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}$ の「2」は，上の「イメージ」の(ア)と(イ)に対応している．1つ目は，$\bm v_{\text{相対}}$ 自身が座標系の回転で向きを変える効果（定理9.1を $\bm v_{\text{相対}}$ に適用したときに出る項．(イ)に当たる）．2つ目は，位置 $\bm r'$ が回転で運ばれて速度 $\bm\omega\times\bm r'$ をもち，その $\bm r'$ が $\bm v_{\text{相対}}$ の分だけ変わることで，$\bm\omega\times(\dd\bm r'/\dd t)$ の中に現れる効果（(ア)に当たる）．この2つがまったく同じ大きさなので，合わせて2倍になる．次の9.5節で，極座標の加速度の $2\dot r\dot\theta$ の項として，これがもう一度現れる．

（導出終わり）

導出：遠心力の向きと大きさ

式 \eqref{eq:9-centrifugal-def} の向きと大きさを具体的に求めよう．計算がいちばん簡単になるように，その瞬間だけ座標軸を選び直して $\bm\omega=\omega\bm e_z$（$z$ 軸を回転軸に一致させる）とし，質点の位置を $\bm r=(x,y,z)$ とする．まず，

$$ \bm\omega\times\bm r=\omega\bm e_z\times(x\bm e_x+y\bm e_y+z\bm e_z)=\omega(x\,\bm e_z\times\bm e_x+y\,\bm e_z\times\bm e_y)=\omega(x\bm e_y-y\bm e_x) $$

（$\bm e_z\times\bm e_x=\bm e_y$，$\bm e_z\times\bm e_y=-\bm e_x$，$\bm e_z\times\bm e_z=\bm 0$ を使った）．もう一度 $\bm\omega=\omega\bm e_z$ との外積をとると，

$$ \bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r)=\omega\bm e_z\times\omega(x\bm e_y-y\bm e_x)=\omega^2(x\,\bm e_z\times\bm e_y-y\,\bm e_z\times\bm e_x)=\omega^2(-x\bm e_x-y\bm e_y)=-\omega^2\bm\rho $$

となる．ここで $\bm\rho\equiv x\bm e_x+y\bm e_y$ は，$\bm r$ を回転軸（$z$ 軸）に垂直な平面へ正射影したベクトル，すなわち「回転軸から質点までの，軸に垂直な向きのベクトル」である（大きさ $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ は回転軸からの距離．なお，この $\rho$ は第3章の曲率半径 $\rho$ とは別のもので，本章では回転軸からの距離だけを表す）．したがって，

\begin{equation} \bm F_{\text{遠心}}=-m\bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r)=m\omega^2\bm\rho \label{eq:9-centrifugal-result} \end{equation}

となり，遠心力は，大きさ $m\omega^2\rho$（$\rho$ は回転軸からの距離）で，向きは回転軸から質点へ向かう向き（軸から外向き）であることがわかる．第5章で等速円運動の向心力の大きさが $m\omega^2r$（$r$ は回転半径）だったことを思い出すと，遠心力はちょうどその向心力と大きさが等しく向きが逆——回転座標系に乗って一緒に等速円運動している観測者から見れば，実在する向心力（糸の張力など）と遠心力がつり合って質点が静止して見える，という辻褄合わせになっていることがわかる．

（導出終わり）

証明：定理9.2

観測者を $+z$ 側（上）に置き，$\bm\omega=\omega\bm e_z$（$\omega\gt0$）とする．$\bm\omega$ に垂直な面内の速度を $\bm v_{\text{相対}}=(v_x,v_y,0)$ とすると，$\bm e_z\times\bm e_x=\bm e_y$，$\bm e_z\times\bm e_y=-\bm e_x$ より，

$$ \bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}=\omega(v_x\,\bm e_z\times\bm e_x+v_y\,\bm e_z\times\bm e_y)=\omega(-v_y,\ v_x,\ 0) $$

したがって，式 \eqref{eq:9-coriolis-def} のコリオリ力は

\begin{equation} \bm F_{\text{Co}}=-2m\,\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}=2m\omega\,(v_y,\ -v_x,\ 0) \label{eq:9-coriolis-plane} \end{equation}

である．大きさは $2m\omega\sqrt{v_x^2+v_y^2}=2m\omega v_{\text{相対}}$．また $(v_x,v_y)\cdot(v_y,-v_x)=0$ なので $\bm F_{\text{Co}}\perp\bm v_{\text{相対}}$ である．向きについては，$(v_x,v_y)\mapsto(v_y,-v_x)$ が「反時計回りを正とする座標平面上で，ベクトルを時計回りに $90^\circ$ 回す」操作であることを確かめればよい．たとえば東向き（$+x$ 向き）$(1,0)$ は $(0,-1)$（南向き）に，北向き $(0,1)$ は $(1,0)$（東向き）に，西向き $(-1,0)$ は $(0,1)$（北向き）に，南向き $(0,-1)$ は $(-1,0)$（西向き）に移る（図9.5）．どれも進行方向を向いて右手側である．$\omega\lt0$（時計回り）なら式 \eqref{eq:9-coriolis-plane} の符号が反転するので，力は左向きになる．

（証明終わり）

導出：見かけの重力加速度 $g_{\text{eff}}(\varphi)$

地球を，密度が球対称に分布した完全な球（半径 $R_{\text{地}}$）として近似すると，真の重力加速度 $g_0$ は，地表のどこでも大きさが同じで，向きは地球の中心を向く．遠心加速度 $\omega_{\text{地}}^2\rho=\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}\cos\varphi$ は，自転軸に垂直な向き（地表の鉛直方向に対して，赤道側にわずかに傾いた向き）を向く．見かけの重力加速度 $\bm g_{\text{eff}}$ はこの2つのベクトル和であり，一般には地心方向から少しだけ傾く（この傾きが「鉛直下向き」の定義そのものに使われており，測地学的な意味での鉛直はこの合成方向を指す）．

まず大きさを近似的に求める．遠心加速度は真の重力の高々0.3%程度と小さいので，1次近似として，遠心加速度のうち鉛直方向（地心方向）の成分だけを $g_0$ から引けばよい．鉛直方向と遠心加速度の向きのなす角はちょうど $\varphi$ なので，鉛直成分は $\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}\cos\varphi\times\cos\varphi=\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}\cos^2\varphi$ となり，

\begin{equation} g_{\text{eff}}(\varphi)\approx g_0-\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}\cos^2\varphi \label{eq:9-latitude-g} \end{equation}

を得る（右辺第2項の単位は $\mathrm{(rad/s)^2\cdot m}=\mathrm{m/s^2}$ で，加速度と一致する．緯度依存性は図9.8）．$\varphi=0^\circ$（赤道）で減少量が最大 $\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}$，$\varphi=90^\circ$（極）で減少量は0（自転軸上なので $\rho=0$，遠心力そのものがはたらかない）となる．

次に傾きを見積もる．遠心加速度の地表に沿う（水平な）成分は，鉛直方向と垂直な成分なので $\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}\cos\varphi\sin\varphi$ で，これが見かけの重力の向きを赤道側へ傾ける．$\varphi=45^\circ$ で最大になり，その値は $\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}/2\approx0.017\ \mathrm{m/s^2}$ である．傾きの角は $\omega_{\text{地}}^2R_{\text{地}}\sin\varphi\cos\varphi/g_0\approx1.7\times10^{-3}\ \mathrm{rad}\approx0.1^\circ$ にすぎない．

（導出終わり）

導出：フーコーの振り子の周期（概略）

緯度 $\varphi$ の地点で，地表に固定した局所的な直交座標（水平面内に $x$ 軸（東），$y$ 軸（北），鉛直上向きに $z$ 軸）をとる．振り子の運動は水平面内が主で，鉛直方向の速度 $v_z$ はごくわずかなので，式 \eqref{eq:9-coriolis-local} のうち，水平面内のコリオリ加速度は $2\Omega_z(v_y,-v_x)$，$\Omega_z=\omega_{\text{地}}\sin\varphi$ だけを考えればよい（$\omega_{\text{地}}\cos\varphi\,v_z$ の項は無視する）．北極 $\varphi=90^\circ$ で $\Omega_z=\omega_{\text{地}}$，赤道 $\varphi=0^\circ$ で $\Omega_z=0$ である．振り子の水平方向の変位を $x,y$，通常の（自転を無視した）単振り子の角振動数を $\omega_0=\sqrt{g/l}$（$l$ は振り子の長さ．第7章の単振り子の結果）とすると，復元力に加えてコリオリ力の水平成分を加えた運動方程式は，

$$ \ddot x=-\omega_0^2x+2\Omega_z\dot y,\qquad \ddot y=-\omega_0^2y-2\Omega_z\dot x $$

となる．複素数 $\zeta\equiv x+iy$（第7章で強制振動を解いたときと同じ複素数のテクニック）を導入して2式をまとめると，

$$ \ddot\zeta+2i\Omega_z\dot\zeta+\omega_0^2\zeta=0 $$

という1つの複素数の微分方程式になる（$\ddot x+i\ddot y=-\omega_0^2(x+iy)+2\Omega_z(\dot y-i\dot x)=-\omega_0^2\zeta-2i\Omega_z(\dot x+i\dot y)=-\omega_0^2\zeta-2i\Omega_z\dot\zeta$ を確かめよ）．これは第7章と同じ特性方程式の手法（$\zeta=e^{\lambda t}$ を代入）で解け，特性方程式 $\lambda^2+2i\Omega_z\lambda+\omega_0^2=0$ の根は $\lambda=-i\Omega_z\pm i\sqrt{\Omega_z^2+\omega_0^2}$．振り子の周期は数秒〜十数秒（パンテオンの $l=67\ \mathrm m$ で $2\pi/\omega_0\approx16\ \mathrm s$，$\omega_0\approx0.38\ \mathrm{rad/s}$）であるのに対し，自転は $\omega_{\text{地}}\approx7\times10^{-5}\ \mathrm{rad/s}$ とはるかにゆっくりで，$\Omega_z\ll\omega_0$（$\Omega_z/\omega_0\lt10^{-3}$）なので $\sqrt{\Omega_z^2+\omega_0^2}\approx\omega_0$ と近似すると，一般解は

$$ \zeta(t)\approx e^{-i\Omega_zt}\left(C_1e^{i\omega_0t}+C_2e^{-i\omega_0t}\right) $$

の形になる（$C_1,C_2$ は複素数の定数）．振り子を $x$ 軸方向にずらして静かに離す（$t=0$ で $\zeta=x_0$，$\dot\zeta=0$）と，$C_1=\tfrac{x_0}2(1+\Omega_z/\omega)$，$C_2=\tfrac{x_0}2(1-\Omega_z/\omega)$（$\omega=\sqrt{\Omega_z^2+\omega_0^2}$）となり，$C_1\approx C_2$（差は $\Omega_z/\omega_0$ 程度）である．$C_2=C_1^*$ のとき括弧の中身は実数 $2\mathrm{Re}(C_1e^{i\omega_0t})$ になり，コリオリ力を無視したふつうの単振り子の振動（一定方向の直線往復運動）を表す．その外側にかかる因子 $e^{-i\Omega_zt}$ は，複素平面上で角度 $-\Omega_zt$ だけ全体を回転させる操作にほかならない．つまり，振り子の振動面（直線往復運動の向き）は，角速度 $\Omega_z=\omega_{\text{地}}\sin\varphi$ で（北半球では時計回りに）ゆっくり回転していく．振動面が1回転するのにかかる時間，すなわちフーコーの振り子の周期は，

\begin{equation} T_{\text{F}}=\frac{2\pi}{\Omega_z}=\frac{T_{\text{日}}}{\sin\varphi} \label{eq:9-foucault-period} \end{equation}

である．

（導出終わり）

導出：本章の一般公式から第6章の極座標公式を再現する

質点の位置を $\bm r'=r(t)\bm e_r$ とおき，角速度 $\bm\omega=\dot\theta\bm e_z$（回転座標系の原点は動かさない，すなわち $\bm A=\bm 0$）の回転座標系で式 \eqref{eq:9-general-accel} を使う（この場合，質点自身がこの回転座標系に対してどう動くかを $\bm v_{\text{相対}},\bm a_{\text{相対}}$ として計算すればよい）．質点は回転座標系の中では，常に動径方向にだけ動くので，

$$ \bm v_{\text{相対}}=\dot r\,\bm e_r,\qquad \bm a_{\text{相対}}=\ddot r\,\bm e_r $$

である（回転座標系に乗った観測者からは，質点は $x'$ 軸の上を1次元的に運動しているだけに見える）．また $\dot{\bm\omega}=\ddot\theta\bm e_z$ である．式 \eqref{eq:9-general-accel}（$\bm A=\bm 0$）の各項を計算する．まず，式 \eqref{eq:9-centrifugal-result} の導出と同じ計算（$\bm\omega=\dot\theta\bm e_z$，$\bm r'=r\bm e_r$ で，$\bm e_r$ は自転軸 $\bm e_z$ に垂直な単位ベクトルだから $\bm\rho=r\bm e_r$ そのもの）より，

$$ \bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r')=-\dot\theta^2\,r\bm e_r $$

次に，$\bm e_z\times\bm e_r=\bm e_\theta$（極座標の基底も直交右手系であることから）を使うと，

$$ 2\,\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}=2\dot\theta\bm e_z\times\dot r\bm e_r=2\dot r\dot\theta\,\bm e_\theta, \qquad \dot{\bm\omega}\times\bm r'=\ddot\theta\bm e_z\times r\bm e_r=r\ddot\theta\,\bm e_\theta $$

である．これらをすべて式 \eqref{eq:9-general-accel} に代入すると，

$$ \bm a=\bm a_{\text{相対}}+2\,\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}+\bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r')+\dot{\bm\omega}\times\bm r' =\ddot r\bm e_r-\dot\theta^2r\bm e_r+2\dot r\dot\theta\bm e_\theta+r\ddot\theta\bm e_\theta $$

すなわち，

\begin{equation} \bm a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\,\bm e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\,\bm e_\theta \label{eq:9-polar-correspondence} \end{equation}

となり，第6章の極座標の加速度の公式とまったく同じ式が得られた．各項の対応は，$\ddot r\bm e_r=\bm a_{\text{相対}}$，$-r\dot\theta^2\bm e_r=\bm\omega\times(\bm\omega\times\bm r')$（遠心力の項），$2\dot r\dot\theta\bm e_\theta=2\bm\omega\times\bm v_{\text{相対}}$（コリオリ力の項），$r\ddot\theta\bm e_\theta=\dot{\bm\omega}\times\bm r'$（オイラー力の項）である．

（導出終わり）