第4章図形と方程式

公式4.1の証明

$P$は線分$AB$上にあり $a\lt x\lt b$ だから，$AP=x-a$，$PB=b-x$ はどちらも正の数である（座標の差がそのまま長さになる）．定義より $AP:PB=m:n$ だから，

$$ m:n = AP:PB = (x-a):(b-x) $$

比例式 $m:n=(x-a):(b-x)$ に外項・内項の関係 $ad=bc$（$a,b,c,d$ の順に $m,n,(x-a),(b-x)$ を当てる）を使うと，

$$ n(x-a) = m(b-x) $$

となる．両辺を展開すると（分配法則 $n(x-a)=nx-na$，$m(b-x)=mb-mx$ を使う），

$$ nx-na = mb-mx $$

$x$を含む項を左辺に，定数項を右辺に移項すると，

$$ nx+mx = na+mb $$

左辺を$x$でくくると，

$$ (n+m)x = na+mb $$

両辺を $m+n$（$m,n\gt0$ だから $m+n\neq0$）で割ると，

$$ x = \frac{na+mb}{m+n} \qquad \therefore\ P\left(\frac{na+mb}{m+n}\right) $$

（証明終わり）

公式4.2の証明

図4.2のように $m\gt n$ の場合で示す（$m\lt n$ の場合も同様である）．このとき $A,B,Q$ がこの順に並ぶので，$QA=x-a$，$QB=x-b$ はどちらも正の数である．定義より $QA:QB=m:n$ だから，

$$ m:n = QA:QB = (x-a):(x-b) $$

外項・内項の関係を使うと，

$$ m(x-b) = n(x-a) $$

両辺を展開すると，

$$ mx-mb = nx-na $$

$x$を含む項を左辺に，定数項を右辺に移項すると，

$$ mx-nx = mb-na $$

左辺を$x$でくくると，

$$ (m-n)x = -na+mb $$

ここで $m\neq n$ だから $m-n\neq0$ であり，両辺を $m-n$ で割ってよい．

$$ x = \frac{-na+mb}{m-n} \qquad \therefore\ Q\left(\frac{-na+mb}{m-n}\right) $$

（証明終わり）

なぜ$x$座標・$y$座標に独立に同じ式が使えるのか

平面上の2点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ を $m:n$ に内分する点を $P(x,y)$ とする．$P$は線分$AB$上にあるので，$A$から$P$までの道のりは，線分$AB$全体のちょうど $\dfrac{m}{m+n}$ 倍である（$AP:PB=m:n$ より $AP:AB=m:(m+n)$ だから）．そこで $s=\dfrac{m}{m+n}$ とおくと，

$$ P = A+s\,(B-A) = (1-s)A+sB $$

が成り立つ（「$A$から出発して，$B$へ向かう向きに全体の$s$倍だけ進んだ点」という意味で，$x$座標・$y$座標のどちらでも同時に成り立つ関係である）．ここで使った「点の和」「点の実数倍」は，$x$座標・$y$座標をそれぞれ独立に計算する略記（$x=(1-s)x_1+sx_2$，$y=(1-s)y_1+sy_2$ をまとめて書いたもの）にすぎず，その正式な取り扱いは，4.3節冒頭で導入する最小限のベクトルの道具，および第7章で学ぶベクトルの特別な場合として正当化される．$1-s=\dfrac{n}{m+n}$ に注意して座標ごとに書き下すと，

$$ x = (1-s)x_1+sx_2 = \frac{n}{m+n}x_1+\frac{m}{m+n}x_2 = \frac{nx_1+mx_2}{m+n} $$

となり，$y$座標についても同じ式

$$ y = \frac{ny_1+my_2}{m+n} $$

が成り立つ．どちらも4.1節の公式4.1と全く同じ形（$a,b$を$x_1,x_2$または$y_1,y_2$に置き換えただけ）になっていることに注目してほしい．

（証明終わり）

公式4.4の証明

辺$BC$の中点を$M$，辺$CA$の中点を$N$とする．公式4.3の中点の式より，

$$ M\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right),\qquad N\left(\frac{x_3+x_1}{2},\frac{y_3+y_1}{2}\right) $$

である．重心$G$は中線$AM$上にあり，$AG:GM=2:1$ に内分する点である（第2章の性質）から，公式4.3で $A(x_1,y_1)$，$M\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right)$，$m:n=2:1$ として内分点の座標を計算すればよい．公式4.3の分子 $nx_1+mx_2$ にあたる部分は，$1$番目の点（$A$）の係数が$n=1$，$2$番目の点（$M$）の係数が$m=2$になることに注意すると，

$$ G\left(\frac{1\times x_1+\dfrac{x_2+x_3}{2}\times2}{2+1},\ \frac{1\times y_1+\dfrac{y_2+y_3}{2}\times2}{2+1}\right) $$

となる．分子の第2項は $\dfrac{x_2+x_3}{2}\times2=x_2+x_3$（$2$倍すると分母の$2$が消える）と簡単になるので，

$$ G\left(\frac{x_1+(x_2+x_3)}{3},\ \frac{y_1+(y_2+y_3)}{3}\right) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) $$

を得る．中線$BN$を使って計算しても（$BG:GN=2:1$ に内分する点として），同じ結果になることは演習4.3で確かめられる．

（証明終わり）

公式4.5の証明

$\ell$上の異なる2点を $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$ とすると，どちらも$\ell$の方程式を満たすから，

$$ ax_1+by_1+c=0,\qquad ax_2+by_2+c=0 $$

である．辺々を引く（下の式から上の式を引く）と，定数項$c$が消えて，

$$ a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0 $$

となる．$\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ は$\ell$の方向ベクトルであり，上の式はちょうど $\vec n\cdot\overrightarrow{P_1P_2}=0$（$\vec n=(a,b)$ との内積が$0$）という形をしている．先ほどの判定条件より，これは $\vec n\perp\overrightarrow{P_1P_2}$ を意味する．よって $\vec n=(a,b)$ は$\ell$の法線ベクトルである．

（証明終わり）

公式4.6の証明（点と直線の距離）

直線 $\ell:ax+by+c=0$ と，点 $P(x_1,y_1)$ を考える．$P$から$\ell$に下ろした垂線の足を$H$とすると，点$P$と直線$\ell$の距離$d$は，ベクトル$\overrightarrow{PH}$の大きさで表される：

$$ d = |\overrightarrow{PH}| $$

ここで $\vec n=(a,b)$ とおくと，公式4.5より$\vec n$は$\ell$の法線ベクトルである．$\overrightarrow{PH}$は（$H$が垂線の足だから）$\ell$の方向ベクトルに垂直であり，$\vec n$も$\ell$の方向ベクトルに垂直だから，2つとも同じベクトルに垂直である．ベクトルの道具（本節冒頭）で確かめたとおり，あるベクトルに垂直なベクトルどうしは互いに実数倍だから，

$$ \overrightarrow{PH}=t\,\vec n $$

を満たす実数$t$が必ず存在する．また，ベクトルの和の関係 $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{OH}$ から，$H$の位置ベクトルは $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+t\vec n=(x_1+ta,\ y_1+tb)$ となるので，$H$の座標は

$$ H(x_1+ta,\ y_1+tb) $$

である．点$H$は直線$\ell$上の点でもあるから，$\ell$の方程式 $ax+by+c=0$ に $x=x_1+ta$，$y=y_1+tb$ を代入しても成り立つ．

$$ a(x_1+ta)+b(y_1+tb)+c=0 $$

左辺を展開して$t$について整理すると（$a\cdot ta=a^2t$，$b\cdot tb=b^2t$ をまとめて $t(a^2+b^2)$ とし，$t$を含まない項をまとめる），

$$ t(a^2+b^2)+(ax_1+by_1+c)=0 $$

$(a,b)\neq(0,0)$ より $a^2+b^2\neq0$ だから，両辺を$a^2+b^2$で割って$t$について解くと，

$$ t = -\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} $$

を得る．ここで，$\overrightarrow{PH}=t\vec n$ の大きさを取ると（ベクトルの道具の「実数倍」の性質 $|t\vec n|=|t|\,|\vec n|$ より），

$$ d = |\overrightarrow{PH}| = |t|\cdot|\vec n| = \left|-\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}\right|\cdot\sqrt{a^2+b^2} $$

である．絶対値の中の$-1$倍は外に出しても符号（つねに正）を変えないから $\left|-\dfrac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}\right|=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{a^2+b^2}$ となり（分母の$a^2+b^2$はつねに正なので絶対値の外に出せる），

$$ d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2} $$

となる．最後に，$a^2+b^2=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}$（$a^2+b^2\gt0$ の平方根を2つ掛け合わせれば元に戻る）と書き直すと，分母の$\sqrt{a^2+b^2}$の一方が右側の$\sqrt{a^2+b^2}$と約分され，絶対値の記号はそのまま生き残って，

$$ d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sqrt{a^2+b^2} = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

を得る．

（証明終わり）