減衰振動と強制振動はどう解くのか ― ロンスキアン・微分演算子法・Green 関数

― ばねに繋がれた質点が空気抵抗を受けるとき，x(0) = L，x′(0) = v₀ から出発して数秒後どうなっているか（学部 1・2 年生向け）

ばね定数 k のばねに繋がれた質量 m の質点が，速度に比例する空気抵抗 $- γ \frac{d x}{d t}$ を受けながら動きます．運動方程式は $m \ddot{x} + γ \dot{x} + k x = 0$ ．たった 1 行の式ですが，これを解くために使う道具 ―― 重ね合わせ・ロンスキアン・特性方程式・微分演算子法・定数変化法 ―― は，このあと出てくる微分方程式のほとんどすべてで，そのまま使いまわせます．ここでは途中式をひとつも飛ばさずに，最後まで解ききります．

この先の道すじ §1〜§2　なぜ「解を 2 つ見つければ終わり」なのか（解空間が 2 次元であること，ロンスキアン）．
§3〜§4　なぜ

e^{λ t}

を代入してよいのか，そして重根のとき，なぜ t が 1 つ増えるのか（微分演算子法）．
§5〜§6　初期条件を入れて，3 つの場合の答えを完成させる．
§7　外から揺すったとき（強制振動）．演算子法なら「D に iω を代入するだけ」で特解が出ます．
§8　どんな外力でも解ける公式（定数変化法）．そこに現れるのが Green 関数で，そのまま線形応答理論の入口になります．

目で見て動かせる版はシミュレーターにあります．

0. 設定 ― 運動方程式を立てる

質点にはたらく力は 2 つ．ばねの復元力 $- k x$ と，速度に逆らう抵抗力 $- γ \dot{x}$ です．どちらもマイナスがつくのは，「のびた向きと逆に引き戻す」「動いている向きと逆に効く」からです． Newton の運動方程式 $m \ddot{x} = F$ に入れて

(1)

m \ddot{x} + γ \dot{x} + k x = 0, x (0) = L, \dot{x} (0) = v_{0}

m で割って，2 つの記号を導入しておきます．あとの式がすっかり見通しよくなります．

(2)

\ddot{x} + 2 β \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}, β \equiv \frac{γ}{2 m}

$ω_{0}$ は抵抗がないときの角振動数， β は振幅が減っていく速さです（あとで $e^{- β t}$ という形で出てきます）．この 2 つの比

(3)

ζ \equiv \frac{β}{ω_{0}} = \frac{γ}{2 \sqrt{m k}}

を減衰比といいます．結論を先にいえば， この 1 つの数（正確にはその 1 との大小）だけで，運動の顔つきが決まります． m, k, γ の 3 つを別々に気にする必要はありません．

単位を確かめる癖をつけましょう

γ

は [N·s/m] = [kg/s]，

β = γ / 2 m

は [1/s]，

ω_{0}

も [1/s]（rad/s）．だから

ζ

は無次元です．無次元の量が出てきたら，それがたいてい物理の分かれ目になります．

1. 30 秒で見通しをつける

(2) は「x を 2 回微分したもの，1 回微分したもの，そのものを足すと 0」という式です．微分しても形が変わらない関数といえば，指数関数 $e^{λ t}$ しかありません．そこで代入してみると， $e^{λ t}$ が共通因子になって外に出て，

(4)

(λ^{2} + 2 β λ + ω_{0}^{2}) e^{λ t} = 0 ⟹ λ_{\pm} = - β \pm \sqrt{β^{2} - ω_{0}^{2}}

微分方程式が，ただの 2 次方程式になってしまいました．あとは根号の中身の符号だけで話が 3 つに分かれます．

根号の中	減衰比	特性根	運動	呼び名
$β^{2} < ω_{0}^{2}$	ζ < 1	複素共役の 2 根	振動しながら減る	不足減衰（減衰振動）
$β^{2} = ω_{0}^{2}$	ζ = 1	重根（1 つだけ）	振動せずに戻る	臨界減衰
$β^{2} > ω_{0}^{2}$	ζ > 1	相異なる 2 実根	ゆっくり戻る	過減衰

ここで手を止めてはいけません「指数関数を代入したら，たまたまうまくいった」では， 重根のときに解が 1 つしか出てこないという壁にぶつかります（2 階の方程式なのに任意定数が 1 つでは，初期条件 2 つを満たせません）．なぜ代入してよいのか，足りない解はどこから来るのか ―― それを §2〜§4 でつぶします．

2. 「解を 2 つ見つければ終わり」の理由

2.1　線形性と重ね合わせ

左辺を 1 つの記号にまとめます．

ℒ [x] \equiv m \ddot{x} + γ \dot{x} + k x

微分は線形な操作なので（ $(a x_{1} + b x_{2})' = a x_{1}^{'} + b x_{2}^{'}$ ），

(5)

ℒ [a x_{1} + b x_{2}] = a ℒ [x_{1}] + b ℒ [x_{2}]

したがって $x_{1}$ と $x_{2}$ が (1) の解なら，そのどんな定数倍の和も解です（重ね合わせの原理）．この一言のおかげで，あとは「土台になる解」を見つける仕事だけになります．

2.2　解の空間は，ちょうど 2 次元

(1) を 1 階の連立に書き直してみます． $v = \dot{x}$ とおくと

(6)

\frac{d}{d t} (\begin{matrix} x \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 β \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ v \end{matrix})

右辺は $(x, v)$ について滑らかなので，解の存在と一意性の定理が使えます．つまり 出発点 $(L, v_{0})$ を 1 つ決めれば，未来も過去も 1 本に決まる．逆にいえば，解全体の集合と，出発点の集合 $ℝ^{2}$ が 1 対 1 に対応します．

だから解の空間はちょうど 2 次元です． 1 次独立な解を 2 つ見つけたら，それが基底（基本解系）になり， ほかのすべての解はその 1 次結合で書けます．「解が 2 つ見つかったから，もう探さなくてよい」の根拠がこれです．

2.3　ロンスキアン ― 1 次独立かどうかの判定

では，見つけた 2 つの解 $x_{1}$ , $x_{2}$ が 1 次独立かどうかは，どう確かめるのでしょう．「 $c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} = 0$ がすべての t で成り立つのは $c_{1} = c_{2} = 0$ のときだけか」を調べたいのですが，これを t ごとに確かめるのは大変です．そこで，この式と，これを微分した式を並べます．

(\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{1}^{'} & x_{2}^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

これが $c_{1} = c_{2} = 0$ 以外の解をもつのは，行列式が 0 のときだけ．この行列式をロンスキアンといいます．

(7)

W (t) \equiv | \begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{1}^{'} & x_{2}^{'} \end{matrix} | = x_{1} x_{2}^{'} - x_{1}^{'} x_{2}

$W \neq 0$ なら 1 次独立，というわけです．向きを取り違えやすいので，理由ごと覚えてください．もし 2 つが平行（ $x_{2} = c x_{1}$ ）なら， $W = x_{1} \cdot c x_{1}^{'} - x_{1}^{'} \cdot c x_{1} = 0$ と必ず打ち消えます．「平行なら W = 0」の対偶が「W ≠ 0 なら独立」です．ただし，これだけだと「どの t で調べればいいのか」が残ります．次がその答えです．

2.4　Abel の公式 ― ロンスキアンは指数関数で縮む

$W$ を微分してみます． $x_{1} x_{2}^{″}$ と $x_{1}^{'} x_{2}^{'}$ の項が出ますが，後者は打ち消し合って消えます．

W^{'} = x_{1} x_{2}^{″} - x_{1}^{″} x_{2}

ここで両方とも (2) の解なので $x^{″} = - 2 β x^{'} - ω_{0}^{2} x$ を代入すると， $ω_{0}^{2}$ の項もきれいに消えて

(8)

W^{'} = - 2 β W ⟹ W (t) = W (0) e^{- 2 β t} = W (0) e^{- (γ / m) t}

これが Abel（アーベル）の公式です．3 つのことが，ただちに分かります．

指数関数は決して 0 にならないので，W はどこかで 0 なら至るところ 0，どこかで 0 でないなら至るところ 0 ではない．だから t = 0 の 1 点で調べれば十分です．
$W$ は解の中身を知らなくても分かってしまいます．方程式の係数 $γ / m$ だけで決まります．
$W$ は，位相空間 $(x, v)$ で 2 つの解ベクトルが張る平行四辺形の面積です．それが $e^{- γ t / m}$ で縮んでいく ―― これが「散逸」の幾何学的な意味です．
§2.3 では「W ≠ 0 なら独立」という片方向だけを示しましたが， この方程式の解どうしに限れば，逆向きも成り立ちます． $W (0) = 0$ なら 2 つの初期ベクトル $(x (0), x^{'} (0))$ が平行で，§2.2 の一意性から 2 つの解は永遠に定数倍のままだからです．つまり解については W ≠ 0 ⟺ 1 次独立．

摩擦がないとき（

γ = 0

） (8) は

W =

一定になります．位相空間の面積が保存する ―― これはLiouville の定理そのもので，統計力学の出発点になる性質です．摩擦を入れると，その面積が指数関数で縮んでいく． 「情報が失われていく」ことが，1 行の式で見えています．下の図で確かめてください．

図 1．ロンスキアン $W (t)$ は，2 つの解が位相空間で張る平行四辺形の面積です． γ を動かすと，面積が $e^{- γ t / m}$ で縮んでいくのが見えます（左：位相空間，右： $W$ の対数）．解は数値積分（Runge–Kutta）で求めていて，公式 (8) と一致します．

抵抗 γ = 0.60 kg/s 時刻 t = 1.50 s

3. なぜ $e^{λ t}$ を代入してよいのか

微分するという操作そのものに，名前をつけます．

D \equiv \frac{d}{d t}, ℒ = m D^{2} + γ D + k \equiv f (D)

この記号のご利益は， $e^{λ t}$ に当てたときに出ます． $D e^{λ t} = λ e^{λ t}$ ―― つまり指数関数は，微分演算子の固有関数で，固有値が λ です．何回微分しても同じことなので，

(9)

f (D) e^{λ t} = f (λ) e^{λ t}

演算子の多項式に，ただ数を代入すればよいのです．だから $ℒ [x] = 0$ を $e^{λ t}$ の形で探すと，条件は $f (λ) = 0$ ，すなわち (4) の特性方程式になります．

この手が使えるのは「定数係数」のときだけたとえば

x^{″} + t x^{'} = 0

のように係数に t が入ると，

D

と t は交換しません（

D (t x) = x + t x^{'}

）．多項式のように因数分解できるのは，係数がぜんぶ定数だからです．

4. 微分演算子法 ― 重根の $t e^{λ t}$ はどこから来るのか

4.1　演算子を因数分解する

$f (λ) = m (λ - λ_{+}) (λ - λ_{-})$ と同じことが，演算子のままでもできます．

(10)

m (D - λ_{+}) (D - λ_{-}) x = 0

実際に展開すると $m [D^{2} - (λ_{+} + λ_{-}) D + λ_{+} λ_{-}]$ で，解と係数の関係 $λ_{+} + λ_{-} = - γ / m$ , $λ_{+} λ_{-} = k / m$ を使えば (1) に戻ります．順番を入れかえても同じ（定数係数だから可換）です．

4.2　2 段階に分けて，1 階ずつ解く

$u \equiv (D - λ_{-}) x$ とおけば，(10) は $(D - λ_{+}) u = 0$ ． 1 階の線形方程式は，積分因子を掛ければ必ず解けます． $e^{- λ t}$ を掛けると左辺がまとまって

e^{- λ t} (u^{'} - λ u) = \frac{d}{d t} (e^{- λ t} u)

なので， $(D - λ_{+}) u = 0$ の解は $u = C_{1} e^{λ_{+} t}$ ．これを $u$ の定義に戻して，もう一度同じ手を使います．

(11)

\frac{d}{d t} (e^{- λ_{-} t} x) = C_{1} e^{(λ_{+} - λ_{-}) t}

あとは右辺を積分するだけ．ここでちょうど 2 つに分かれます．

2 根が異なるとき （ $λ_{+} \neq λ_{-}$ ）：右辺は本物の指数関数なので，積分しても指数関数のまま． $x = A e^{λ_{+} t} + B e^{λ_{-} t}$ ．
重根のとき （ $λ_{+} = λ_{-} = λ$ ）：右辺の指数が消えてただの定数 $C_{1}$ になります．定数を積分すれば t が出るので $e^{- λ t} x = C_{1} t + C_{2}$ ，すなわち $x = (C_{1} t + C_{2}) e^{λ t}$ ．

「重根のときは

t e^{λ t}

を足す」の正体は， 定数を 1 回積分したら t が出てきた，ただそれだけです．公式として丸暗記する必要はありません．そして，これで任意定数が 2 つ揃うので，初期条件 2 つをちゃんと満たせます．

4.3　一般化 ― shift（ずらし）定理

$D (e^{λ t} u) = e^{λ t} (D + λ) u$ を繰り返し使うと，どんな多項式 $f$ についても

(12)

f (D) [e^{λ t} u (t)] = e^{λ t} f (D + λ) u (t)

これを使うと重根の話が一瞬で片づきます． ${(D - λ)}^{2} x = 0$ に $x = e^{λ t} u$ を入れると $e^{λ t} D^{2} u = 0$ ，つまり $u^{″} = 0$ なので $u$ は 1 次式．n 重根なら $D^{n} u = 0$ で， $u$ は $n - 1$ 次の多項式です．同じ定理は，§7 で強制振動の特解を出すときにも活躍します．

5. 初期条件を入れて，答えを完成させる

5.1　不足減衰（ζ < 1）― 揺れながら減る

$β^{2} < ω_{0}^{2}$ のとき，根号の中が負なので

λ_{\pm} = - β \pm i ω_{d}, ω_{d} \equiv \sqrt{ω_{0}^{2} - β^{2}}

一般解は $A e^{λ_{+} t} + B e^{λ_{-} t}$ ですが， x は実数の量です．Euler の公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ で書き直し，実数の定数 2 つで表すと

(13)

x (t) = e^{- β t} (C_{1} \cos ω_{d} t + C_{2} \sin ω_{d} t)

ここに初期条件を入れます． $t = 0$ とおけば $C_{1} = L$ ．微分してから $t = 0$ とおくと $- β C_{1} + ω_{d} C_{2} = v_{0}$ ，したがって

(14)

x (t) = e^{- β t} [L \cos ω_{d} t + \frac{v_{0} + β L}{ω_{d}} \sin ω_{d} t]

三角関数の合成でひとまとめにすると，包絡線が見えます（位相 φ は $\tan φ = \frac{v_{0} + β L}{ω_{d} L}$ で決まります）．

(15)

x (t) = R e^{- β t} \cos (ω_{d} t - φ), R = \sqrt{L^{2} + {(\frac{v_{0} + β L}{ω_{d}})}^{2}}

ここが試験によく出ます 抵抗があると，振動は「遅く」なります．

ω_{d} = \sqrt{ω_{0}^{2} - β^{2}} < ω_{0}

ですから，周期は減衰なしのときより長くなります．ただし ζ = 0.1 なら

ω_{d} / ω_{0} = \sqrt{1 - 0.01} = 0.995

で，実験ではほとんど気づけません．効くのは減衰が強いときだけです．

5.2　臨界減衰（ζ = 1）― 重根の場合

$β = ω_{0}$ のとき， §4.2 で見たように $e^{- β t}$ と $t e^{- β t}$ が基本解です．初期条件を入れると

(16)

x (t) = e^{- β t} [L + (v_{0} + β L) t]

5.3　過減衰（ζ > 1）― 2 つの実根

$s \equiv \sqrt{β^{2} - ω_{0}^{2}}$ とおくと $λ_{\pm} = - β \pm s$ ．どちらも負です．

(17)

x (t) = A_{+} e^{λ_{+} t} + A_{-} e^{λ_{-} t}, A_{\pm} = \pm \frac{v_{0} - λ_{\mp} L}{λ_{+} - λ_{-}}

$| λ_{+} | < | λ_{-} |$ なので，しばらくすると $e^{λ_{-} t}$ の方は消えてしまい，ゆっくりの根だけが残ります． $γ$ が大きいとき $λ_{+} \approx - k / γ$ ですから，抵抗を強くするほど，戻るのが遅くなります．

3 つの場合を，複素平面で 1 枚の絵にする不足減衰では

λ_{\pm} = - β \pm i ω_{d}

なので

{| λ_{\pm} |}^{2} = β^{2} + ω_{d}^{2} = ω_{0}^{2}

． m と k を固定して γ だけを 0 から増やすと，2 つの根は 半径 $ω_{0}$ の円の上をすべっておりてきて， ζ = 1 で実軸の

- ω_{0}

でぶつかり（重根），そこから実軸上を左右に分かれます．円から外れたところが過減衰で，それでも積

λ_{+} λ_{-} = ω_{0}^{2}

は変わりません．シミュレーターの ② で動かせます．

5.4　3 つは，切れ目なくつながっている

場合分けをすると「別々の 3 つの世界」に見えますが，そうではありません． 3 つとも，次の 1 本の式にまとまります．

(18)

x (t) = e^{- β t} [L C (t) + (v_{0} + β L) S (t)]

	ζ < 1（不足減衰）	ζ = 1（臨界）	ζ > 1（過減衰）
$C (t)$	$\cos ω_{d} t$	1	$\cosh s t$
$S (t)$	$\frac{\sin ω_{d} t}{ω_{d}}$	$t$	$\frac{\sinh s t}{s}$
ロンスキアン $W$ （基本解 $x_{1} = e^{- β t} C$ , $x_{2} = e^{- β t} S$ での値）	$e^{- 2 β t}$	$e^{- 2 β t}$	$e^{- 2 β t}$

ロンスキアンの行が 3 つとも同じになっていることに気づいたでしょうか． $C (0) = 1$ , $S (0) = 0$ , $C^{'} (0) = 0$ , $S^{'} (0) = 1$ はどの場合でも共通なので $W (0) = 1$ ，あとは (8) の Abel の公式が $W = e^{- 2 β t}$ と決めてしまうからです（Abel の公式は場合分けを知りません）．もちろん基底の取り方を変えれば頭の定数は変わります ―― §8.2 で使う $x_{2} = e^{- β t} \sin ω_{d} t$ （ $1 / ω_{d}$ を付けない流儀）なら $W = ω_{d} e^{- 2 β t}$ です．

$S (t)$ を $ω_{d}^{2}$ で展開すると

\frac{\sin ω_{d} t}{ω_{d}} = t - \frac{ω_{d}^{2} t^{3}}{6} + \dots (ω_{d} \to 0)

―― $t$ に近づきます．過減衰側でも $\sinh s t / s \to t$ ．つまり臨界減衰は，両側からの極限としてつながっています．「重根のときだけ特別な公式を使う」のではなく， $ω_{d}^{2} = ω_{0}^{2} - β^{2}$ の関数として，最初から 1 本の滑らかな式なのです．

図 2．ζ をゆっくり動かしてみてください．不足減衰から過減衰まで，曲線はどこでも切れずに変形します．右は (18) の $S (t)$ で， $ζ = 1$ でちょうど直線 t を通ります．

減衰比 ζ = 0.30 はじめの速度 v₀ = 0.00 m/s 参考の曲線

6. 減り方を数で読む ― 対数減衰率と Q 値

不足減衰の答え (15) には，測定できる量が 2 つ入っています． 振幅がどれくらいで小さくなるかと，どれくらいの周期で往復するかです．

1 往復（周期 $T_{d} = 2 π / ω_{d}$ ）ごとに，包絡線は $e^{- β T_{d}}$ 倍になります．その対数を対数減衰率といいます．

(19)

Λ \equiv \ln \frac{x (t)}{x (t + T_{d})} = β T_{d} = \frac{2 π β}{ω_{d}} = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

実験で ζ を測るときの定石です．となり合う 2 つのピークの高さの比を対数に取るだけで， $γ$ の値が分かってしまいます．

もうひとつ，工学でも物理でもいちばんよく使われるのが Q 値です．

(20)

Q \equiv \frac{ω_{0}}{2 β} = \frac{\sqrt{m k}}{γ} = \frac{1}{2 ζ}

エネルギーは振幅の 2 乗なので $E \propto e^{- 2 β t}$ ， 1 周期で失う割合は $2 β T_{d} \approx 2 π / Q$ ．つまり

Q \approx 2 π \times \frac{蓄えているエネルギー}{1 周期で失うエネルギー}

―― これが Q 値の意味です．「Q が大きい＝よく響く＝長く鳴る」． §7 で見るように，同じ Q が共鳴の鋭さも決めます．

系	ζ の目安	Q の目安	ようす
水晶振動子	5×10⁻⁷ 〜 5×10⁻⁶	10⁵ 〜 10⁶	何十万回も鳴り続ける
音叉	〜 5×10⁻⁴	〜 10³	数秒間うなる
建物（鉄骨）	0.01 〜 0.03	17 〜 50	地震で共振しうる
自動車のサスペンション	0.2 〜 0.4	1.3 〜 2.5	1 回ふわっと沈んで戻る
ドアクローザー・計器の針	≒ 1	0.5	行き過ぎずに止まる

「臨界減衰がいちばん速い」は，条件つきです 一度も行き過ぎない（オーバーシュートしない）ことを求めるなら，最速はちょうど臨界減衰です．振動しない解のうち，減り方

e^{- | λ_{+} | t}

がいちばん速いのが

β = ω_{0}

だからです．いっぽう，「もとの 5 % 以内に収まればよい」という決め方にすると，少し行き過ぎてもよいぶん，ζ ≒ 0.7 のわずかな不足減衰が最短になります（臨界の 0.6 倍ほどの時間）．制御工学で ζ ≒ 0.7 がよく選ばれるのはこのためです．この値は，§7 で出てくる共鳴の山が消える $ζ = 1 / \sqrt{2}$ にたいへん近いのですが，由来のちがう別の条件です（整定時間を最短にする ζ は，初期条件と「5 %」という基準の取り方で少し動きます）．整定時間はシミュレーターの ②，共鳴の山はシミュレーターの ④ で確かめられます． どちらの基準でも，過減衰は臨界減衰より遅くなります．

7. 強制振動 ― 外から揺すってみる

こんどは右辺に外力を入れます．

(21)

m \ddot{x} + γ \dot{x} + k x = F_{0} \cos ω t

非同次方程式の一般解は，同次解（余関数）＋特解です．同次解は §5 で求めたものがそのまま使えるので，特解を 1 つ見つければ終わりです．

7.1　なぜ複素数にするのか

$\cos ω t = Re e^{i ω t}$ ですから，代わりに

f (D) z = F_{0} e^{i ω t}

を解いて，最後に実部を取ります（ $ℒ$ は実係数なので $ℒ [Re z] = Re ℒ [z]$ ，つまり実部を取る操作と微分は交換します）．三角関数のままだと「cos の項」と「sin の項」を別々に係数比較しなければなりませんが，指数関数なら (9) の固有関数の性質がそのまま使えます．これが複素数にする唯一の理由です．

7.2　「D に iω を代入する」だけ

(9) をそのまま使いましょう． $f (D) e^{i ω t} = f (i ω) e^{i ω t}$ なので， $f (i ω) \neq 0$ でありさえすれば

(22)

z_{p} = \frac{1}{f (D)} F_{0} e^{i ω t} = \frac{F_{0} e^{i ω t}}{f (i ω)} = \frac{F_{0} e^{i ω t}}{k - m ω^{2} + i γ ω}

微分方程式が，複素数の割り算 1 回になりました． $1 / f (D)$ という書き方（逆演算子）は，「両辺に $f (D)$ を当てるともとに戻る関数」という意味で，(9) がその保証を与えています．

分母を極形式 $k - m ω^{2} + i γ ω = ρ e^{i δ}$ に直せば， $z_{p} = (F_{0} / ρ) e^{i (ω t - δ)}$ ．実部を取って，

(23)

x_{p} (t) = A \cos (ω t - δ), A = \frac{F_{0} / m}{\sqrt{{(ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 β ω)}^{2}}}, \tan δ = \frac{2 β ω}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}

位相の遅れ δ は 0 から π まで ゆっくり揺する（

ω ≪ ω_{0}

）と

δ \approx 0

：ばねが手についてくる（ばねが支配）．
ちょうど共鳴（

ω = ω_{0}

）で

δ = π / 2

：分母の実部が 0 になるからで，γ の値によりません．このとき力と速度が同位相になり，エネルギーがいちばんよく吸われます．
速く揺する（

ω ≫ ω_{0}

）と

δ \approx π

：手と逆向きに動く（慣性が支配）．

7.3　一般解 ―― 過渡解は必ず消える

(24)

x (t) = \underset{過渡解}{\underset{⏟}{x_{h} (t)}} + \underset{定常解}{\underset{⏟}{A \cos (ω t - δ)}}

初期条件を担うのは過渡解のほうです． $x_{h} (0) = L - A \cos δ$ , $x_{h}^{'} (0) = v_{0} - A ω \sin δ$ と決めて，§5 の公式に入れるだけです．

β > 0

なら特性根の実部はどちらも負（不足減衰なら

x_{h} \propto e^{- β t}

）なので，過渡解はどんな初期条件から出発しても必ず消えます．時定数は

1 / β

―― ただしこれは ζ ≤ 1 のときで，過減衰では §5.3 の遅い根

λ_{+} = - β + s

が決めます（

γ

が大きいと

λ_{+} \approx - k / γ

で，かえって長くなります）．つまり十分に時間が経つと，質点は「自分がどこから出発したか」を忘れて，外力の振動数 ω でだけ揺れます．実験で「定常状態を測る」と言えるのは，このおかげです．

7.4　共鳴 ―― 「山の場所」はひとつではない

(23) の A を ω で微分して 0 とおくと，分母の中身 ${(ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + 4 β^{2} ω^{2}$ が最小になる条件から

(25)

ω_{r} = \sqrt{ω_{0}^{2} - 2 β^{2}}, A_{\max} = \frac{F_{0}}{γ ω_{d}}

根号の中が正でなければ山はできません．その条件が $ζ < 1 / \sqrt{2} \approx 0.707$ です．いっぽう速度の振幅 $ω A$ と吸収パワーの山は，β によらず ちょうど $ω_{0}$ にあります．

(26)

\bar{P} (ω) = ⟨ F \dot{x} ⟩ = \frac{1}{2} γ ω^{2} A^{2}, {\bar{P}}_{\max} = \frac{F_{0}^{2}}{2 γ} (ω = ω_{0})

この山（Lorentz 型）の半値全幅を求めてみましょう． $\bar{P}$ が半分になるのは $| ω_{0}^{2} - ω^{2} | = 2 β ω$ のときで，2 つの解の差はちょうど

(27)

Δ ω = 2 β = \frac{γ}{m} = \frac{ω_{0}}{Q} かつ \frac{A (ω_{0})}{A (0)} = Q

Q は「どれくらい増幅するか」と「山がどれくらい狭いか」を同時に決めます． 分光でスペクトルの線幅から寿命を読むのも，回路の Q から帯域を読むのも，全部この式です．

7.5　摩擦がないときの共鳴 ―― 重根がまた出てくる

$γ = 0$ で $ω = ω_{0}$ だと， $f (i ω_{0}) = 0$ になって (22) が使えません．外力が同次解と同じ形になってしまったからです． §4.3 の shift 定理を使えば，このときの規則もすぐ出ます． $f (λ) = 0$ ， $f^{'} (λ) \neq 0$ なら

(28)

\frac{1}{f (D)} e^{λ t} = \frac{t e^{λ t}}{f^{'} (λ)}

$f (λ) = m λ^{2} + k$ , $f^{'} = 2 m λ$ , $λ = i ω_{0}$ を入れて実部を取ると

(29)

x_{p} (t) = \frac{F_{0}}{2 m ω_{0}} t \sin ω_{0} t

振幅が t に比例して，いくらでも大きくなります． ここでも「重なったときに t が 1 つ増える」という，同じことが起きています．

$ω$ を $ω_{0}$ から少しずらすと，今度はうなりになります． $γ = 0$ ， $x (0) = \dot{x} (0) = 0$ で解くと

(30)

x (t) = \frac{2 F_{0} / m}{ω_{0}^{2} - ω^{2}} \sin \frac{(ω_{0} - ω) t}{2} \sin \frac{(ω_{0} + ω) t}{2}

速い振動 $(ω_{0} + ω) / 2$ が，ゆっくりした包絡線 $(ω_{0} - ω) / 2$ に包まれた形です． $ω \to ω_{0}$ の極限をとると $\sin ε \approx ε$ で (29) に一致します ―― 共鳴は「周期が無限に長いうなり」だったわけです．

8. どんな外力でも解く ― 定数変化法と Green 関数

外力が $\cos ω t$ でなく，たとえば「1 回だけ叩く」「途中から一定の力を加える」のような場合はどうするか．ここでロンスキアンがもう一度，しかも決定的な形で出てきます．以下，外力を $f (t)$ と書きます ―― §3 の特性多項式 $f (D)$ と字は同じですが，別ものです（(21) の $F_{0} \cos ω t$ にあたるものです）．

8.1　定数変化法

同次方程式の基本解 $x_{1}$ , $x_{2}$ が手に入っているとします．特解を，定数のところを関数に格上げした形で探します．

x_{p} = u_{1} (t) x_{1} + u_{2} (t) x_{2}

未知の関数が 2 つあるのに，方程式は 1 本しかありません．余っているぶん，都合のよい条件を 1 つ勝手に課してよいのです． $u_{1}^{'} x_{1} + u_{2}^{'} x_{2} = 0$ と決めると（こうすると $x_{p}^{'}$ に $u^{'}$ が出てこないので， 2 階微分しても $u^{″}$ が出ません），もとの方程式に入れて $ℒ [x_{1}] = ℒ [x_{2}] = 0$ を使うと，残るのは

{\begin{cases} u_{1}^{'} x_{1} + u_{2}^{'} x_{2} = 0 \\ u_{1}^{'} x_{1}^{'} + u_{2}^{'} x_{2}^{'} = f (t) / m \end{cases}

という， $u_{1}^{'}$ , $u_{2}^{'}$ についてのただの連立 1 次方程式です． Cramer の公式で解けば，係数行列式がまさにロンスキアン $W$ ：

(31)

u_{1}^{'} = - \frac{x_{2} f}{m W}, u_{2}^{'} = \frac{x_{1} f}{m W}

積分して代入すれば，どんな外力に対しても使える特解の公式が得られます．

(32)

x_{p} (t) = \int_{0}^{t} \frac{x_{1} (t^{'}) x_{2} (t) - x_{1} (t) x_{2} (t^{'})}{m W (t^{'})} f (t^{'}) d t^{'}

ロンスキアンは「1 次独立かどうかの判定道具」で終わりではありません． 非同次方程式を解く公式の分母として，本番に登場します．

W \neq 0

―― つまり基本解がちゃんと 2 本そろっていること ―― が，ここで効いてきます．

8.2　Green 関数 ― 「1 回叩いたときの応答」

不足減衰の基本解 $x_{1} = e^{- β t} \cos ω_{d} t$ , $x_{2} = e^{- β t} \sin ω_{d} t$ と，Abel の公式から出た $W (t^{'}) = ω_{d} e^{- 2 β t^{'}}$ を (32) に入れます．分子は加法定理でまとまって $e^{- β (t + t^{'})} \sin ω_{d} (t - t^{'})$ になるので，

(33)

x_{p} (t) = \int_{0}^{t} G (t - t^{'}) f (t^{'}) d t^{'}, G (τ) = \frac{e^{- β τ} \sin ω_{d} τ}{m ω_{d}} (τ \geq 0)

この $G$ を Green 関数（インパルス応答）といいます．性質を 3 つ確かめておきましょう．

$G (0) = 0$ , $G^{'} (0) = 1 / m$ ―― 止まっている質点に力積 1 を与えたときの応答そのものです（ $m Δ v = 1$ ）．
$τ < 0$ では 0． 叩く前には動かない ―― 因果律です．
時間差 $τ = t - t^{'}$ にしか依りません．系が時間によらないからです（時間並進対称性）．

(33) は畳み込み積分です．「外力を細かい撃力に刻んで，それぞれの応答 $G$ を足し合わせる」という，重ね合わせの原理そのものの姿になっています．

8.3　フーリエ変換すると，§7 に戻る

畳み込みはフーリエ変換するとただの掛け算になります． (33) を $e^{- i ω t}$ で変換すると（規約は $f \propto e^{i ω t}$ ）

(34)

χ (ω) = \int_{0}^{\infty} G (τ) e^{- i ω τ} d τ = \frac{1}{k - m ω^{2} + i γ ω}

―― (22) の分母の逆数，そのものです． 時間の言葉（Green 関数）と，振動数の言葉（応答関数）は，同じものの表と裏でした．この $χ$ を感受率あるいは応答関数と呼びます．

極の位置と因果律 (34) の分母が 0 になるのは

ω = \pm ω_{d} + i β

． 実軸から β だけ離れた（この規約では上半面の）2 点です．逆変換

\int χ e^{i ω t} d ω

を

t < 0

で計算するときは下半面に閉じますが，そこには極が 1 つもないので積分は 0 ―― 「叩く前は動かない」が自動的に出ます． 因果律 ⟺ 応答関数が半平面で正則，という対応で，ここから Kramers–Kronig の関係式（実部と虚部が互いを決める）が導かれます．
（

e^{- i ω t}

を使う教科書では，極は下半面になります．どちらでも中身は同じです．）

吸収されるパワー (26) は $- Im χ$ に比例します（この規約では $Im χ < 0$ です． $e^{- i ω t}$ を使う教科書なら符号が逆で $+ Im χ$ ） ―― 虚部が散逸，実部が「蓄える応答」．この構造はそっくりそのまま，誘電関数・電気伝導度・磁化率などの線形応答理論に受け継がれます．減衰振動子は，そのいちばん小さな完全な実例なのです．

図 3．Green 関数 $G (τ)$ （左）と，それを外力に畳み込んで作った答え（右）です． 畳み込み (33) の結果（青の実線）と， もとの微分方程式を Runge–Kutta で直接解いた答え（赤い○）を重ねてあります．外力の形を切り替えて，どんな外力でも一致することを確かめてください．わずかに残るずれ（相対で 10⁻⁵ 程度）は， 物理の食い違いではなく，積分を刻んで足したことによる数値誤差です．

外力の形抵抗 γ = 0.60 kg/s 外力の角振動数 ω = 4.00 rad/s

9. 同じ式に，あちこちで出会う

ここまでの式は「ばねとおもり」の話でしたが， 安定なつり合いの近くで，小さく揺れて，速度に比例して減る系は，例外なく同じ形になります．変数の名前が違うだけです．

	質点とばね	LCR 直列回路	光と束縛電子（Lorentz 模型）
変数	変位 x	電荷 q	電子の変位 x
慣性	m	インダクタンス L	電子質量 m_e
散逸	γ	抵抗 R	放射・衝突による減衰
復元	k	1/C	m_e $ω_{0}^{2}$
外力	F(t)	電圧 V(t)	−eE(t)
$ω_{0}$	$\sqrt{k / m}$	$1 / \sqrt{L C}$	吸収線の中心
Q	$\sqrt{m k} / γ$	$\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$	吸収線の鋭さ（中心／線幅）

たとえば Lorentz 模型で誘電関数を書くと，(22) の分母がそのまま現れます．

(35)

\frac{ε (ω)}{ε_{0}} = 1 + \frac{n e^{2} / (ε_{0} m_{e})}{ω_{0}^{2} - ω^{2} + 2 i β ω}

地震と建物：地面の揺れの卓越周期と建物の $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ が近いと共振します．制振ダンパーは，γ を足して Q を下げる装置です．
分光：吸収線の幅がそのまま $Δ ω = 2 β$ ，つまり励起状態の寿命の逆数になります．
フォノン：調和近似だとピークは無限に鋭い（ $γ = 0$ ）のですが，非調和項が入ると有限の幅をもちます．ラマン散乱や中性子散乱で見えるピーク幅は，まさにこの $γ$ です．

10. まとめ

使った道具	何のためか	結論
線形性・重ね合わせ	解を組み合わせてよい根拠	$ℒ [a x_{1} + b x_{2}] = a ℒ [x_{1}] + b ℒ [x_{2}]$
存在と一意性	解空間の次元	2 次元．解を 2 つ見つければ終わり
ロンスキアン	1 次独立の判定／特解の公式	$W = x_{1} x_{2}^{'} - x_{1}^{'} x_{2}$
Abel の公式	W の時間変化	$W = W (0) e^{- γ t / m}$ （位相空間の面積が縮む）
特性方程式	微分方程式 → 代数方程式	$λ_{\pm} = - β \pm \sqrt{β^{2} - ω_{0}^{2}}$
微分演算子法	因数分解して 1 階ずつ	重根で $t e^{λ t}$ が出る理由
shift 定理	重根・共鳴の処理	$f (D) [e^{λ t} u] = e^{λ t} f (D + λ) u$
逆演算子	強制振動の特解	$x_{p} = F_{0} e^{i ω t} / f (i ω)$
定数変化法	任意の外力	Green 関数 $G (τ) = e^{- β τ} \sin ω_{d} τ / (m ω_{d})$

この 1 問から持ち帰ってほしいこと ① 定数係数の線形微分方程式は，指数関数を入れるだけで代数の問題になります． ② 重根で t が 1 つ増えるのは，定数を積分したからであって，覚える公式ではありません． ③ 過渡解は消え，定常解が残ります．だから「十分あとの様子」は初期条件によりません． ④ 応答関数

χ (ω)

の 極の位置が減衰を，実軸からの距離が線幅を，半平面での正則性が因果律を表します．この見方が，そのまま線形応答理論の入口になります．

東京理科大学望月研究室／動かして確かめる版は減衰振動と強制振動シミュレーターにあります．関連：調和振動子（量子），フーリエ級数， Green 関数と Feynman 図形，基準振動とフォノン， Taylor 展開．

減衰振動と強制振動はどう解くのか ― ロンスキアン・微分演算子法・Green 関数

0. 設定 ― 運動方程式を立てる

1. 30 秒で見通しをつける

2. 「解を 2 つ見つければ終わり」の理由

2.1 線形性と重ね合わせ

2.2 解の空間は，ちょうど 2 次元

2.3 ロンスキアン ― 1 次独立かどうかの判定

2.4 Abel の公式 ― ロンスキアンは指数関数で縮む

3. なぜ eλt を代入してよいのか

4. 微分演算子法 ― 重根の teλt はどこから来るのか

4.1 演算子を因数分解する

4.2 2 段階に分けて，1 階ずつ解く

4.3 一般化 ― shift（ずらし）定理

5. 初期条件を入れて，答えを完成させる

5.1 不足減衰（ζ < 1）― 揺れながら減る

5.2 臨界減衰（ζ = 1）― 重根の場合

5.3 過減衰（ζ > 1）― 2 つの実根

5.4 3 つは，切れ目なくつながっている