y = sin x を，原点のまわりで 1 次・2 次・3 次…と近似していきます． 次数を上げるほど，x = 0 から離れた場所でも重なってくるのが見えます． どこまで離れても大丈夫なのか，そしていくら次数を上げても近づけない関数があるのはなぜか，まで見ます．
東京理科大学 望月研究室 ／ 講義ノート「Taylor's theorem（テイラーの定理）」より． 導出は こちらのページにあります．