第3章素粒子の動力学 — 四つの力と保存則

例：電子の異常磁気モーメント $g-2$

摂動展開がどれほど効くかを示す，物理学で最も有名な例である．Dirac 方程式（第9章）は電子の $g$ 因子をちょうど $2$ と予言する．ところが実測はわずかにずれる．このずれ $a_e = (g-2)/2$ を QED は次のように展開する（Schwinger 1948）：

最低次の項だけで

実測値は $a_e = 1.15965218\times10^{-3}$．1つの図を描いただけで有効数字3桁が合う．5次（$\alpha^5$）まで計算すると，$a_e$ の有効数字で約10桁にわたって理論と実験が一致する（第10章 10.6.5 項）．これが「物理学で最も精密に検証された予言」と言われるゆえんである．ただし比較には独立に測った $\alpha$ が必要で，現在の一致の限界は，理論の桁数ではなく $\alpha$ の測定値どうしの食い違い（Cs と Rb の原子干渉計）が決めている．

なお，同じ量をミューオンについて測ると話はもっと込み入っている．2021 年時点では，$e^+e^-$ のデータに基づいてハドロン真空偏極を評価した標準模型予言と実測値に $\sim2.5\times10^{-9}$（約 $5\sigma$）のずれが報告され，「ミューオン $g-2$ 問題」と呼ばれた．しかしハドロン真空偏極を格子 QCD で計算した結果（BMW 2021 以降）と 2025 年の理論白書では，標準模型予言と実験はほぼ一致する．したがって現在の焦点は「実験 vs 理論」ではなく，格子計算と $e^+e^-$ データという理論側の二つの評価法の食い違いの解明に移っている．詳しくは第15章 15.1.5 項で扱う．

例：$\alpha_s$ を $m_Z$ から 1 TeV まで走らせる

$\alpha_s(m_Z)=0.118$，$m_Z=91.188\ \mathrm{GeV}$，$n_f=5$（$b_0=23/3=7.667$）とする．$\mu=1\ \mathrm{TeV}$ まで走らせよう．

1桁エネルギーを上げると結合が3割弱まる．逆に低エネルギー側へ走らせると $1/\alpha_s$ がゼロに達する点があり，そこが

である（1ループ・5フレーバーの粗い見積り．フレーバー閾値と2ループ効果を入れると $\Lambda^{(3)}_{\overline{\mathrm{MS}}}\approx0.33\ \mathrm{GeV}$）．いずれにせよ $10^2\ \mathrm{MeV}$ のオーダー，すなわちハドロンの質量スケールが結合定数の発散点として自動的に現れる．QCD は無次元のパラメータ $\alpha_s$ からハドロンの質量スケールを作り出す（次元転換，dimensional transmutation）．

例：ひも張力を SI 単位で実感する

$\sigma = 0.9\ \mathrm{GeV/fm}$ を N（ニュートン）に直す．$1\ \mathrm{GeV}=1.602\times10^{-10}\ \mathrm{J}$，$1\ \mathrm{fm}=10^{-15}\ \mathrm{m}$ だから

すなわち約 15 トン重である．クォーク1個を引きずるのに，中型トラックを持ち上げるのと同じ力が要る．しかもこの力は距離によらないので，1 m 引き離せば $1.44\times10^5\ \mathrm{J}$（TNT 火薬 約 34 g 分）のエネルギーが要る計算になる．もちろんそんなことは起こらない．

例：$\phi$ と $J/\psi$ — OZI 則の威力

$\phi(1020)$（$s\bar s$，$m=1019.5\ \mathrm{MeV}$）：

• $\phi\to K^+K^-$：$Q = 1019.5-2\times493.7 = 32.1\ \mathrm{MeV}$（きわめて窮屈），分岐比 49.1 %
• $\phi\to K^0_LK^0_S$：分岐比 34.0 %（合計 $K\bar K$ で 83 %）
• $\phi\to\rho\pi\ (\to3\pi)$：$Q = 1019.5-775.3-135.0 = 109.2\ \mathrm{MeV}$（余裕たっぷり），分岐比 15.2 %

位相空間だけで判断すれば $\rho\pi$ が圧勝するはずである．実際は逆になっているのは，OZI 則が $\rho\pi$ を抑制しているからにほかならない．

$J/\psi$（$c\bar c$，$m=3096.9\ \mathrm{MeV}$）：より劇的である．$J/\psi$ は $D\bar D$（$c$ を含む中間子対）を作るには軽すぎる（最も軽い閾値でも $2m_{D^0}=3730\ \mathrm{MeV}$）ので，OZI 許容の崩壊路が閉じている．残る崩壊路はすべて OZI 抑制であり，結果として崩壊幅は

典型的な強い崩壊（$\Gamma\sim100\ \mathrm{MeV}$，表3.2）の千分の一である．1974年の $J/\psi$ 発見時，この異常な細さが「新しいクォークがある」ことの決定的な証拠となった（第2章）．

なお OZI 抑制の強さ自体も，漸近的自由から理解できる．$J/\psi$ のスケール（$3\ \mathrm{GeV}$）では $\alpha_s\approx0.25$ と小さく，3本のグルーオンを出す崩壊率が $\alpha_s^3$（振幅では $\alpha_s^{3/2}$）で抑えられる．$\phi$ のスケール（$1\ \mathrm{GeV}$）では $\alpha_s$ が大きいので抑制が緩い．ただし両者を比べるときに分岐比を使ってはならない．$J/\psi$ は OZI 許容の崩壊路が閉じているので，全崩壊がそもそも OZI 抑制だからである．比べるべきは部分幅で，$\Gamma(\phi\to\rho\pi)=4.25\ \mathrm{MeV}\times0.152=0.65\ \mathrm{MeV}$ に対し $\Gamma(J/\psi\to ggg)=92.6\ \mathrm{keV}\times0.64=0.06\ \mathrm{MeV}$ と，位相空間がはるかに広いのに $J/\psi$ のほうが1桁小さい．

例：$\mu$ の寿命を計算する

図3.9(a) を第8章の Feynman 則で読むと，$\mu$ の崩壊率は

となる（導出は第12章）．いま数値を入れて，実測と比べてみよう．

ステップ1：$m_\mu^5$ を計算する．$m_\mu = 0.105658\ \mathrm{GeV}$ だから

ステップ2：$G_F^2$ を計算する．$G_F = 1.1664\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$ より $G_F^2 = 1.3605\times10^{-10}\ \mathrm{GeV^{-4}}$．

ステップ3：分母を計算する．$192\pi^3 = 192\times31.006 = 5953$．

ステップ4：割る．

ステップ5：寿命に直す．$\hbar = 6.582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$ を使って

実測値は $\tau_\mu = 2.1970\times10^{-6}\ \mathrm{s}$．0.4 % の一致である（残差はほぼすべて $\mathcal{O}(\alpha)$ の輻射補正 $-\frac{\alpha}{2\pi}\left(\pi^2-\frac{25}{4}\right)\approx-0.42\ \%$ による．電子質量による位相空間補正 $1-8m_e^2/m_\mu^2$ は $0.019\ \%$ で無視できる）．図を1枚描いて，2つの実測定数 $G_F$ と $m_\mu$ を入れるだけで，マイクロ秒の寿命が3桁合う．これが Feynman ダイアグラムの威力である．

ついでに $m^5$ という強い質量依存に注目せよ．$\tau$ レプトン（$m_\tau=1776.86\ \mathrm{MeV}$）は $\mu$ の16.8倍重いので，同じ式なら寿命は $16.8^5 = 1.3\times10^6$ 倍短い．実際 $\tau_\tau = 2.903\times10^{-13}\ \mathrm{s}$ で，$\tau_\mu/\tau_\tau = 7.6\times10^{6}$．$\tau$ には $\mu^-\bar\nu_\mu\nu_\tau$（$17.4\ \%$）とハドロン（約 $65\ \%$）への崩壊路もあり，$\mu$ の崩壊に対応する $e^-\bar\nu_e\nu_\tau$ の分岐比が $17.8\ \%$ しかないので，全崩壊率は $1/0.178\approx5.6$ 倍になる．これで辻褄が合う．

例：Cabibbo 抑制を実測から読む — $K\to\mu\nu$ 対 $\pi\to\mu\nu$

$\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$ は $u\bar d$ の消滅なので Cabibbo 許容（$\propto\abs{V_{ud}}^2$），$K^+\to\mu^+\nu_\mu$ は $u\bar s$ の消滅なので Cabibbo 抑制（$\propto\abs{V_{us}}^2$）である．崩壊率の理論式は（第12章）

である．$f_M$ は中間子の崩壊定数（クォーク対が同じ点にいる確率の目安）．いま仮に $f_K=f_\pi$ として比をとると

数値を入れる．$m_K/m_\pi = 493.68/139.57 = 3.537$．位相空間因子は $(1-0.0458)^2 = 0.9105$（$K$）と $(1-0.5731)^2=0.1823$（$\pi$）で，比は $4.996$．$\abs{V_{us}/V_{ud}}^2 = (0.2243/0.97373)^2 = 0.0531$．したがって

実測はどうか．$\tau_\pi = 2.603\times10^{-8}\ \mathrm{s}$，分岐比ほぼ 100 % より $\Gamma_\pi = 3.84\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}$．$\tau_K=1.238\times10^{-8}\ \mathrm{s}$，$\mathrm{BR}(K\to\mu\nu)=63.6$ % より $\Gamma_K = 5.13\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}$．比は $1.337$．

予言 $0.938$ に対し実測 $1.337$．ずれは $1.337/0.938 = 1.43$ で，これが $(f_K/f_\pi)^2$ にあたる．すなわち

格子 QCD の計算値は $f_K/f_\pi = 1.193\pm0.003$．みごとに一致する．弱い相互作用（Cabibbo 抑制）と強い相互作用（崩壊定数）が，2つの中間子の寿命の中で分離して読み取れたわけである．

例1：$p \to e^+ + \pi^0$（陽子崩壊）

エネルギー：$938.3 > 0.511+135.0 = 135.5$．OK．

電荷：$+1 \to +1+0 = +1$．OK．

バリオン数：$B: 1 \to 0+0 = 0$．破れている．

レプトン数：$L_e: 0 \to -1+0 = -1$．破れている．

判定：絶対禁止．実際，スーパーカミオカンデはこのモードの寿命に $\tau > 2.4\times10^{34}$ 年という下限を与えている（宇宙年齢の $10^{24}$ 倍）．ただし大統一理論はこの崩壊を予言するので，「見つからないこと」自体が理論を絞り込む重要なデータである（第15章）．

なお $B-L$ は保存している（$1-0 = 0-(-1)$）ことに注意．多くの大統一理論はこの組合せを保存する．

例2：$\pi^- + p \to K^0 + \Lambda$ と $\pi^- + p \to K^0 + n$

前者：$Q: -1+1 = 0 \to 0+0 = 0$ ○．$B: 0+1=1 \to 0+1=1$ ○．$S: 0+0=0 \to (+1)+(-1)=0$ ○．すべて保存するので強い相互作用で起こる．断面積はミリバーン級で，実験室で日常的に見られる．$K$ と $\Lambda$ が必ず一緒に生成されるので随伴生成（associated production）と呼ばれる．

後者：$Q$ ○，$B$ ○．しかし $S: 0 \to (+1)+0 = +1$．$\Delta S = 1$ なので強い相互作用では起こらない．弱い相互作用でなら起こりうるが，振幅が $G_F m_p^2\approx10^{-5}$ の程度に落ちるので断面積は $\sim10^{-10}\text{–}10^{-11}$ 倍になり，実質的に観測されない．

この「$K$ は必ずハイペロンと組で作られる」という規則が，ストレンジネスという量子数が発見された経緯そのものである（第2章）．

例3：$\Xi^- \to n + \pi^-$ はなぜ見えないのか

エネルギー：$1321.7 > 939.6+139.6 = 1079.2$．OK．

電荷：$-1 \to 0 + (-1)$．OK．　バリオン数：$1\to1$．OK．　レプトン数：両辺 $0$．OK．

ストレンジネス：$-2 \to 0$．すなわち $\abs{\Delta S}=2$．$W$ 頂点は1回で $\abs{\Delta S}\le1$ しか変えられないので，この崩壊には $W$ を2本使う図が必要である．振幅は $G_F^2$，率は $G_F^4$ に比例し，1本の場合よりはるかに小さい．

判定：絶対禁止ではないが強く抑制される．実測の上限は $\mathrm{BR} < 1.9\times10^{-5}$ である．実際の $\Xi^-$ はもっぱら $\abs{\Delta S}=1$ の $\Xi^-\to\Lambda+\pi^-$（$\mathrm{BR}=99.887$ %）で崩壊する．$\Lambda$ がさらに $\Lambda\to p\pi^-$ で崩壊するので，$\Delta S=2$ は2段階に分けて実現される．これが「カスケード崩壊」の名の由来で，$\Xi$ が cascade particle と呼ばれる理由でもある．

例4：$\pi^0\to\gamma\gamma$ は起きるが $\pi^0\to\gamma\gamma\gamma$ は起きない

どちらもエネルギー・電荷・$B$・$L$・$S$ をすべて保存する．違いは荷電共役 $C$ にある．

$\pi^0$ の $C$ 固有値は $+1$（$\pi^0\to\gamma\gamma$ が実際に起きることから決まる）．光子の $C$ 固有値は $-1$ なので，$n$ 個の光子の系は $C=(-1)^n$ をもつ：

電磁相互作用は $C$ を保存するので（表3.6），$\pi^0\to3\gamma$ は禁止される．実測上限は $\mathrm{BR}<3.1\times10^{-8}$ で，$\pi^0\to2\gamma$（$\mathrm{BR}=98.8$ %）と比べて7桁以上小さい．

同じ論理はポジトロニウムにも効く．スピン一重項（パラポジトロニウム，$C=+1$）は2光子に，スピン三重項（オルソポジトロニウム，$C=-1$）は3光子にしか崩壊できない．そのため寿命が $0.125\ \mathrm{ns}$ 対 $142\ \mathrm{ns}$ と3桁違う．この寿命差を使うのが陽電子寿命測定（PALS）であるが，材料による使い分けがある．高分子や多孔質シリカではオルソポジトロニウムができ，その $142\ \mathrm{ns}$ が周囲の電子との pick-off 消滅で数 ns まで短縮されるので，短縮量から自由体積（細孔サイズ）を見積もる（Tao–Eldrup 模型）．一方，金属や半導体ではポジトロニウムがほとんど生成せず，空孔（vacancy）の検出は捕獲された自由陽電子自身の寿命の延び（たとえば Al でバルク $160\ \mathrm{ps}$ から単空孔 $240\ \mathrm{ps}$ へ）で行う．どちらも「陽電子寿命測定」と呼ばれるが，測っている量は別物である．

演習3.1　結合定数の無次元化 （解答）

本文 3.1.2 項にならって，重力の無次元結合定数を評価する．$G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$，$\hbar c = 3.161\times10^{-26}\ \mathrm{J\,m}$ を用いよ．

(1) 電子2個の間の重力に対する $\alpha_G^{(e)} = Gm_e^2/(\hbar c)$ を計算せよ（$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$）．

(2) $\alpha/\alpha_G^{(e)}$ を求め，陽子の場合（$1.2\times10^{36}$）と比べよ．なぜ電子のほうが比が大きいのか説明せよ．

(3) 「重力が電磁気力と同じ強さになる」ためには，粒子の質量がいくらでなければならないか．すなわち $Gm^2/(\hbar c)=\alpha$ を満たす $m$ を求め，GeV 単位で表せ．

ヒント：(1) $\alpha_G^{(e)}=1.75\times10^{-45}$．(2) $4.2\times10^{42}$．質量比 $(m_p/m_e)^2=3.4\times10^6$ 倍だけ電子のほうが重力が弱い．(3) $m=\sqrt{\alpha\hbar c/G}=1.86\times10^{-9}\ \mathrm{kg}=1.04\times10^{18}\ \mathrm{GeV}$．これは Planck 質量 $M_{\mathrm{Pl}}=\sqrt{\hbar c/G}=1.22\times10^{19}\ \mathrm{GeV}$ の $\sqrt\alpha$ 倍である．

演習3.2　媒介粒子の質量と到達距離 （解答）

湯川ポテンシャル \eqref{eq:3-yukawa} の到達距離 $R=\hbar c/(mc^2)$ を用いる．

(1) $\rho$ 中間子（$m_\rho = 775.3\ \mathrm{MeV}$）と $Z^0$（$m_Z=91.188\ \mathrm{GeV}$）が媒介する力の到達距離を fm 単位で求めよ．

(2) 核力の到達距離が実験的に $1.4\ \mathrm{fm}$ 程度と分かっているとき，湯川の議論から媒介粒子の質量を推定せよ．それは実際のどの粒子か．

(3) $r = 2\ \mathrm{fm}$ における湯川ポテンシャルの値は，同じ位置での Coulomb ポテンシャル（$m=0$）の何倍か．$\pi$ 中間子交換（$R=1.41\ \mathrm{fm}$）の場合について計算せよ．

ヒント：(1) $R_\rho = 197.3/775.3 = 0.254\ \mathrm{fm}$，$R_Z = 197.3/91188 = 2.16\times10^{-3}\ \mathrm{fm}$．(2) $m = 197.3/1.4 = 141\ \mathrm{MeV}$．$\pi$ 中間子（$139.57\ \mathrm{MeV}$）である．湯川は1935年にこの逆算から中間子の存在を予言した．(3) $\ee^{-2/1.41}=\ee^{-1.418}=0.242$．すなわち約 24 %．

演習3.3　QED の図を数える （解答）

時間は左から右に流れるものとし，最低次（頂点が最も少ない）の図だけを考える．

(1) $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の最低次の図をすべて描け．何枚あるか．$t$ チャンネルや $u$ チャンネルが描けない理由を，頂点の性質から説明せよ．

(2) $\gamma\gamma\to e^+e^-$（Breit–Wheeler 過程）の最低次の図をすべて描け．何枚あるか．

(3) 光と光の散乱 $\gamma\gamma\to\gamma\gamma$ には，頂点2つの図が描けない．最低次は電子ループを1周する図で，頂点は4つになる．この過程の断面積が $\alpha$ の何乗に比例するかを述べ，その数値を求めよ．「なぜ2本のレーザー光は互いに素通りするのか」に答えよ．

ヒント：(1) 1枚（$s$ チャンネルのみ）．QED の頂点は入るフェルミオンと出るフェルミオンが同種でなければならず，$e$ と $\mu$ をつなぐ頂点は存在しない．よって $e$ 線と $\mu$ 線を直接つなぐ $t,u$ チャンネルは描けない．(2) 2枚（$t$ と $u$）．図3.4(c)(d) の時間を逆にしたもの．(3) 振幅が $e^4$，断面積が $e^8\propto\alpha^4=(7.297\times10^{-3})^4=2.8\times10^{-9}$．10億分の3の確率なので，実質的に素通りする．なお LHC の超周辺衝突では実際に光子・光子散乱が見えており，ATLAS が 2017 年に証拠（$4.4\sigma$），2019 年に観測（$>5\sigma$）を報告している．

演習3.4　色一重項と8個のグルーオン （解答）

色状態を $\ket{r},\ket{g},\ket{b}$，反色を $\ket{\bar r},\ket{\bar g},\ket{\bar b}$ と書き，これらは正規直交系とする．

(1) $\ket{\psi_1}=\frac{1}{\sqrt3}(r\bar r+g\bar g+b\bar b)$，$\ket{\psi_2}=\frac{1}{\sqrt2}(r\bar r-g\bar g)$，$\ket{\psi_3}=\frac{1}{\sqrt6}(r\bar r+g\bar g-2b\bar b)$ が正規直交であることを確かめよ．

(2) $SU(N)$ のゲージ場の個数は $N^2-1$ である．$N=2,3,5$ について求めよ．また $U(3)$ なら何個になるか．

(3) $\mathbf3\otimes\mathbf3 = \mathbf6\oplus\bar{\mathbf3}$ であって一重項 $\mathbf1$ を含まない．次元の勘定 $3\times3=6+3$ を確かめ，このことから「2個のクォークだけからなる粒子（ダイクォーク）は単独で存在できない」と結論せよ．一方 $\mathbf3\otimes\mathbf3\otimes\mathbf3$ は $\mathbf{10}\oplus\mathbf8\oplus\mathbf8\oplus\mathbf1$ で，次元は $27 = 10+8+8+1$．一重項が1つあるのでバリオンは存在できる．

ヒント：(1) 規格化は係数の2乗和が1．直交性は $\braket{\psi_1|\psi_2}=\frac{1}{\sqrt6}(1-1)=0$，$\braket{\psi_1|\psi_3}=\frac{1}{\sqrt{18}}(1+1-2)=0$，$\braket{\psi_2|\psi_3}=\frac{1}{\sqrt{12}}(1-1)=0$．(2) $3,8,24$．$U(3)$ なら $9$ 個で，余分な1個が色一重項グルーオン（存在しない）．

演習3.5　ひも張力を実感する （解答）

ひも張力 $\sigma = 0.9\ \mathrm{GeV/fm}$，軽いクォークの構成子質量 $m_q\approx0.33\ \mathrm{GeV}$，$m_\pi = 0.140\ \mathrm{GeV}$ とする．

(1) クォークと反クォークを $1\ \mathrm{fm}$ 引き離すのに要するエネルギーを求め，$\pi^+\pi^-$ 対（$2m_\pi$）を作るのに必要なエネルギーと比べよ．

(2) $q\bar q$ 対を作れるだけのエネルギー（$2m_q$）がひもに蓄えられる距離を求めよ．

(3) $\sigma$ を N（ニュートン）に直し，何トン重に相当するか求めよ．また，同じ計算を銅の転位の線張力 $T=\mu b^2/2$（$\mu=48\ \mathrm{GPa}$，$b=0.256\ \mathrm{nm}$）について行い，両者の比を求めよ．なぜ両者を同一視してはならないのか，本文の警告を自分の言葉でまとめよ．

ヒント：(1) $E=0.9\ \mathrm{GeV}$，$2m_\pi=0.28\ \mathrm{GeV}$．3倍以上あるので余裕で対生成する．(2) $d = 0.66/0.9 = 0.73\ \mathrm{fm}$．(3) $\sigma = 1.44\times10^5\ \mathrm{N} = 14.7$ トン重．転位は $T = 1.6\times10^{-9}\ \mathrm{N}$ で，比は $9\times10^{13}$，すなわち14桁違う．

演習3.6　Cabibbo 抑制の二段構え — $D^0$ 中間子の崩壊 （解答）

$D^0=c\bar u$ の崩壊 $c\to s+W^+$（あるいは $c\to d+W^+$）と，$W^+\to u\bar d$（あるいは $u\bar s$）の組合せを考える．表3.5 の CKM 行列要素を使う．

(1) $D^0\to K^-\pi^+$ は $c\to s$，$W^+\to u\bar d$ で起こる．振幅の2乗に現れる CKM 因子 $\abs{V_{cs}V_{ud}}^2$ を求めよ（Cabibbo 許容）．

(2) $D^0\to\pi^-\pi^+$ は $c\to d$，$W^+\to u\bar d$ で起こる（1回抑制），$D^0\to K^+\pi^-$ は $c\to d$，$W^+\to u\bar s$ で起こる（2回抑制）．それぞれの CKM 因子を求め，(1) に対する比を計算せよ．

(3) 実測の分岐比は $\mathrm{BR}(K^-\pi^+)=3.95$ %，$\mathrm{BR}(\pi^-\pi^+)=0.145$ %，$\mathrm{BR}(K^+\pi^-)=0.0150$ % である．(2) の予言と比べ，一致の度合いを述べよ．

ヒント：(1) $(0.975\times0.97373)^2 = 0.901$．(2) 1回抑制は $(0.221\times0.97373)^2=0.0463$，比 $0.0514$．2回抑制は $(0.221\times0.2243)^2=0.00246$，比 $0.00273$．(3) 実測比は $0.145/3.95=0.0367$ と $0.0150/3.95=0.00380$．予言に対する比はそれぞれ $0.0367/0.0514=0.71$ 倍，$0.00380/0.00273=1.39$ 倍で，どちらも1.5倍以内に収まる．「1回抑制で約20分の1，2回抑制で約400分の1」という桁の構造は正しく再現されている．残るずれは $SU(3)$ の破れ，位相空間，終状態相互作用による．

演習3.7　禁止則の判定 （解答）

表3.7 の量子数を使い，3.5.2 項の手順に従って，次の各過程について (i) 起こるか否か，(ii) 起こるならどの相互作用が担うか，(iii) 起こらないならどの保存則が破れているかを判定せよ．

1. $\Sigma^-\to n+\pi^-$
2. $\Delta^{++}\to p+\pi^+$
3. $\mu^-\to e^-+e^++e^-$
4. $n\to p+e^-$
5. $K^+\to\pi^++\pi^0$
6. $\Omega^-\to\Xi^0+\pi^-$
7. $p+\bar p\to\pi^++\pi^-$
8. $\Lambda\to n+\pi^0+\gamma$

ヒント：1. 弱い（$\Delta S=1$，$\tau=1.48\times10^{-10}\ \mathrm{s}$）．2. 強い（すべて保存，$\tau=5.6\times10^{-24}\ \mathrm{s}$）．3. 禁止（$L_e$ と $L_\mu$．実測上限 $\mathrm{BR}<1.0\times10^{-12}$）．4. 禁止（$L_e$ が $0\to1$．さらに角運動量も：$1/2\to1/2\otimes1/2$ は整数しか作れない）．5. 弱い（$\Delta S=1$，$\mathrm{BR}=20.7$ %）．6. 弱い（$S:-3\to-2$，$\Delta S=1$，$\tau=8.2\times10^{-11}\ \mathrm{s}$）．7. 強い（$B:1-1=0\to0$，すべて保存）．8. 弱い（$\Delta S=1$）だが，光子を伴うぶん $\alpha$ だけ余分に抑制される（$\mathrm{BR}\sim10^{-3}$ 程度）．

演習3.8　走る結合定数と Kondo 温度 （解答）

1ループの走り \eqref{eq:3-running-as} を使う．$\alpha_s(m_Z)=0.118$，$m_Z=91.188\ \mathrm{GeV}$，$n_f=5$（$b_0=23/3=7.667$）とする．

(1) $\mu=10\ \mathrm{GeV}$ での $\alpha_s$ を求めよ．$m_Z$ での値と比べて何倍か．

(2) $1/\alpha_s(\mu)=0$ となる $\mu$（＝$\Lambda_{\mathrm{QCD}}$）を求めよ．

(3) Kondo 問題のスケーリング方程式 $\dd j/\dd\ln D = -2j^2$ を積分し，$1/j(D)=1/j(D_0)+2\ln(D/D_0)$ を導け．さらに $j$ が発散するスケール（Kondo 温度）が $T_K = D_0\exp[-1/(2j_0)]$ で与えられることを示せ．

(4) $D_0=3\ \mathrm{eV}$，$j_0=\rho J=0.05$ のとき $T_K$ を eV と K の両方の単位で求めよ（$k_B = 8.617\times10^{-5}\ \mathrm{eV/K}$）．

ヒント：(1) $\ln(10/91.188)=-2.210$，$1/\alpha_s = 8.475-2.697=5.778$，$\alpha_s=0.173$．約1.47倍に増える．(2) $\ln(\mu/m_Z)=-2\pi/(b_0\alpha_s)=-6.945$，$\mu=91.188\times\ee^{-6.945}=0.088\ \mathrm{GeV}$．(3) $\dd(1/j)/\dd\ln D = 2$ を積分するだけ．(4) $T_K=3\times\ee^{-10}=1.36\times10^{-4}\ \mathrm{eV}=1.6\ \mathrm{K}$．希薄 Kondo 合金の典型値である．(2) と (4) の指数関数の中身を見比べれば，$2\pi/(b_0\alpha_s)$ と $1/(2j)$ が同じ役割を果たしていることが分かる．