第2章素粒子物理学の歴史

2.1 古典時代 1897–1932

2.1.1 Thomson の $e/m$ ——「原子より小さいもの」の発見

19世紀末，真空放電管から出る陰極線（cathode ray）の正体が論争になっていた．ドイツの研究者は「エーテル中の波」と考え，イギリスの研究者は「荷電粒子の流れ」と考えていた．決着をつけたのが J. J. Thomson の1897年の実験である．

Thomson の装置は単純である．陰極線を，長さ $L$ の平行平板コンデンサ（電場 $E$）と，同じ領域にかけた磁場 $B$ の中を通す．粒子の電荷を $q$，質量を $m$，速さを $v$ とする．手順は2段階（速さの決定と偏向角の測定）で，最後に両者を組み合わせる．

ここで論理が効いてくる．$q/m$ が大きいのは，(a) 電荷が異常に大きいか，(b) 質量が異常に小さいか，のどちらかである．Thomson は，陰極の材料（アルミニウム・鉄・白金）を変えても，管の中の気体（空気・水素・二酸化炭素）を変えても $q/m$ が同じ値になることを示した．すなわちこの粒子は物質の種類によらない普遍的な構成要素である．ならば (b)，つまり質量が小さいと解釈するのが自然である．こうして「原子より小さいもの」＝電子が発見された．

2.1.2 Rutherford 散乱 —— 原子核の発見

Thomson は，発見した電子が原子の中でどう配置されているかについて，正電荷の一様な球（プディング）の中に電子が埋まっているという模型を提案した．これを検証したのが，Rutherford の指導のもとで Geiger と Marsden が行った $\alpha$ 粒子散乱実験（1909–1911）である．

実験は次のとおりである．ラジウム系列の放射性核種から出る $\alpha$ 粒子（運動エネルギー $E \approx 7.7\ \mathrm{MeV}$，電荷 $+2e$）を，厚さ $0.4\ \mu\mathrm{m}$ 程度の金箔に当てる．散乱された $\alpha$ 粒子は硫化亜鉛 ZnS の蛍光板に当たり，微弱な閃光を出す．それを暗室の中で顕微鏡を覗きながら人間の目で数える．これが史上最初のシンチレーション検出器である（後にシンチレータ ＋ 光電子増倍管に置き換わり，今日まで使われ続けている）．

2.1.3 Bohr 模型 —— 古典力学の破綻を認める

Rutherford 模型には致命的な欠陥があった．円運動する電子は加速度運動をしているので，古典電磁気学によれば電磁波を放射してエネルギーを失う．計算すると，水素原子は $10^{-11}\ \mathrm{s}$ 程度で原子核に落ち込んでしまう．原子が安定に存在すること自体が説明できない．

Bohr（1913）はこれを，角運動量の量子化 $L = n\hbar$（のちに Wilson と Sommerfeld が位相積分の量子条件 $\oint p\,\dd q = n h$ に一般化した）を要請することで回避した．結果として得られるエネルギー準位は

である．ここで $\alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) = 1/137.036$ が微細構造定数で，本書の主役の一つになる．検算しておくと $\tfrac12\times0.511\times10^6\ \mathrm{eV}\times(1/137.036)^2 = 13.6\ \mathrm{eV}$ である．

Bohr 半径は $a_0 = \hbar/(m_e c\,\alpha) = 0.0529\ \mathrm{nm}$．ここで注目したいのは，$\hbar/(m_e c)$ という組み合わせが顔を出していることである．これが次節の Compton 波長で，$a_0 = (\hbar/m_ec)/\alpha = 137\times 386\ \mathrm{fm}$ という関係にある．素粒子物理の長さのスケールと，物質科学の長さのスケールが $\alpha$ 一つで結ばれている．

2.1.4 中性子の発見（1932）

原子核の質量は，陽子の数から期待される値のおよそ2倍あった．1930年，Bothe と Becker はベリリウムに $\alpha$ 粒子を当てると，極めて透過力の強い中性放射線が出ることを見つけた．Joliot-Curie 夫妻はこれを高エネルギーの $\gamma$ 線と解釈したが，Chadwick（1932）はこれを否定した．論法は運動学だけである．

中性子の発見で，原子核は陽子と中性子からできているという描像が完成した．そして直ちに次の問いが立つ．正電荷どうしが Coulomb 反発しているのに，なぜ原子核は壊れないのか．核子を束縛する新しい力があるはずである．その力を担う粒子を探す旅が，2.3節の主題になる．

2.2 光子 1900–1924

2.2.1 三段階で確立した「光の粒子性」

光子の受容は，一度に起きたのではなく三段階を踏んだ．それぞれの段階で「何が新しく証明されたか」を区別しておくと，議論の構造がよく見える．

Planck は自分の量子仮説を「絶望的な行為」と呼び，光そのものが粒子だとは考えなかった．エネルギーの授受が離散的なのは，壁の振動子の性質かもしれないからである．Einstein はその逃げ道を塞いだ．そして Compton が，粒子であるための最後の条件（運動量を持ち，衝突の運動学に従うこと）を実験で示した．

2.2.2 光電効果 —— 仕事関数という材料量

金属表面に振動数 $\nu$ の光を当てると電子が飛び出す．Einstein の主張は次の一行である．

$W$ は仕事関数（work function），すなわち固体内部の Fermi 準位から真空準位まで電子を引き上げるのに要る最小のエネルギーである．この式が古典波動論と決定的に違うのは次の3点である．

• 閾値の存在：$h\nu < W$ ならどんなに強い光を当てても電子は出ない．波動論では光を強くすればいずれ出るはずである．
• $K_{\max}$ が強度によらない：強度は飛び出す電子の数だけを変える．
• 傾きが $h$：$K_{\max}$ を $\nu$ に対してプロットすると，直線の傾きが材料によらず Planck 定数になる．Millikan が1916年にこれを精密に確認した（彼自身は Einstein の光量子仮説を信じておらず，反証するつもりで実験した）．

2.2.3 Compton 散乱の導出

Compton は，モリブデンの特性X線（Mo K$\alpha$，波長 $\lambda = 0.0709\ \mathrm{nm}$，エネルギー $17.5\ \mathrm{keV}$）を黒鉛（グラファイト）に当て，散乱X線の波長を方解石結晶の Bragg 分光器で測った．すると，入射波長と同じ成分のほかに，波長が伸びた成分が現れ，そのずれが散乱角とともに増えた．古典的な Thomson 散乱（振動する電子が同じ振動数で再放射する）では，波長は絶対に変わらない．

2.3 中間子 1934–1947

2.3.1 核力に課された二つの条件

中性子の発見（1932年）が突きつけた問題は明確である．原子核の中では，$1\ \mathrm{fm}$ 程度の距離に陽子どうしが押し込められている．この距離での Coulomb 反発エネルギーは

これに打ち勝って核子を束縛する力が要る．しかもその力には，実験から二つの条件が課されていた．

1. 非常に強い．核子あたりの結合エネルギーは約 $8\ \mathrm{MeV}$ で，Coulomb エネルギーより一桁大きい．
2. 到達距離が極端に短い．原子核の半径は $R\approx1.2A^{1/3}\ \mathrm{fm}$ で，体積が $A$ に比例する（＝密度が一定）．もし力が長距離なら，すべての核子が互いに引き合って密度は $A$ とともに増えるはずである．密度が飽和するのは，各核子が隣接する数個としか相互作用していないことを意味する．また，原子（$10^5\ \mathrm{fm}$ のスケール）には核力の痕跡がまったくない．

電磁気力は無限に届く．重力も無限に届く．分子間力（van der Waals）や Debye–Hückel の遮蔽のように短距離で切れる力は当時も知られていたが，基本的な相互作用として指数関数的に切れる有限の到達距離をもつ力は，そもそも当時の物理学に存在しなかった．湯川秀樹（1934年に着想，1935年発表）は，この「有限の到達距離」を媒介粒子の質量として説明した．

2.3.2 取り違え —— ミュオンという偽物

1937年，Neddermeyer と Anderson，そして Street と Stevenson が，宇宙線の中に質量 $\approx 200\,m_e$ の荷電粒子を霧箱で見つけた．湯川の予言した値とぴたりと合う．「中間子が見つかった」と誰もが思った．

ところが，この粒子（当初「mesotron」，のちに $\mu$ 粒子・ミュオン）には辻褄の合わない性質があった．

• 透過力が強すぎる．核力を担う粒子なら，物質中の原子核と激しく相互作用してすぐ吸収されるはずである．ところが mesotron は大気を貫通し，地下深くまで到達する．
• 負電荷のものが原子核に捕まらない．決定打は Conversi・Pancini・Piccioni の実験（1947年，ローマ）である．負の mesotron を炭素に止めると，本来なら $\mu^-$ は原子軌道に落ちたのち $10^{-18}\ \mathrm{s}$ 程度で原子核に吸収されるはずだった．しかし実際には吸収されず，寿命 $\approx2\ \mu\mathrm{s}$ で崩壊した．核との相互作用の強さは，湯川の予言より $10^{12}$ 倍も弱い．

Fermi・Teller・Weisskopf がこの見積もりを与え，「mesotron は湯川粒子ではない」という結論が確定した．湯川の理論が正しいなら，本物の中間子はまだどこかにいるはずである．

2.3.3 $\pi$ 中間子の発見（1947）—— 原子核乾板という材料

Powell，Occhialini，Lattes らは，ピレネー山中のピク・デュ・ミディ観測所（標高 $2877\ \mathrm{m}$）とアンデスのチャカルタヤ（$5200\ \mathrm{m}$）に原子核乾板（nuclear emulsion）を置いた．

原子核乾板は，直径 $0.2$–$0.3\ \mu\mathrm{m}$ の臭化銀 AgBr 微結晶をゼラチン中に高密度に分散させた，写真乳剤の一種である．荷電粒子が通過すると AgBr がイオン化されて潜像核（Ag 原子のクラスタ）ができ，現像すると銀粒子の列として飛跡が浮かび上がる．特徴は次の点にある．

• 位置分解能 $\sim1\ \mu\mathrm{m}$．今日の半導体検出器（$10\ \mu\mathrm{m}$）よりなお細かく，現在でもこの点で最高の検出器である．
• 常時感度．電源もトリガーも要らない．山に置いて数週間待ち，回収して現像するだけでよい．宇宙線実験にうってつけである．
• 粒子識別ができる．単位長さあたりの銀粒子数は電離損失 $-\dd E/\dd x$ に比例し，Bethe–Bloch 式より $-\dd E/\dd x \propto z^2/\beta^2$ である．飛跡の終端に近づくほど粒つぶが密になり，その「濃くなり方」と全飛程から質量が決まる．

1947年，彼らはこの乾板の中に決定的な事象を見つけた．一本の飛跡が止まり，そこから別の飛跡が出て，それがまた止まって電子が出る．$\pi\to\mu\to e$ の連鎖である．そして重要なのは，$\mu$ の飛跡の長さがどの事象でもほぼ同じ（乳剤中で約 $600\ \mu\mathrm{m}$）だったことである．

$\pi$ 中間子の質量は $m_{\pi^\pm}=139.570\ \mathrm{MeV}$，$m_{\pi^0}=134.977\ \mathrm{MeV}$．湯川の予言（$\sim100$–$140\ \mathrm{MeV}$）から12年後のことであった．湯川は1949年，日本人初のノーベル賞を受賞した．

2.4 反粒子 1930–1956

2.4.1 負エネルギー解という「病」

Dirac（1928年）は，相対論的な電子の波動方程式を求めていた．エネルギーと運動量の関係は

である．素直に $E\to\ii\hbar\partial_t$, $\bm p\to-\ii\hbar\nabla$ と置き換えると Klein–Gordon 方程式になるが，これは時間について2階なので確率密度が正定値にならない．Dirac は時間について1階の方程式を要求し，$4\times4$ 行列（$\gamma$ 行列）を導入して

を得た（詳細は第9章）．この方程式はスピン $1/2$ を自動的に含み，電子の磁気モーメント $g=2$ を予言するという劇的な成功を収めた．しかし同時に，避けられない副作用があった．平面波解を入れると

の両方が解になる．負号のほうを捨てられない．なぜなら，Dirac 方程式の解は完全系をなさなければならず，正エネルギー解だけでは相互作用のもとで閉じないからである．

これは深刻である．正エネルギーの電子は光子を放出して $E=-mc^2$ 以下の状態へ落ち込め，そこからさらに下へ落ちられる．エネルギーに下限がないので，すべての電子は無限に光を出しながら落ちていくことになる．物質は瞬時に消滅するはずである．

2.4.2 空孔理論 —— 「埋まっている」という解決

Dirac の解決（1930年）は大胆である．負エネルギー状態は，すでにすべて電子で埋まっている．電子は Fermi 粒子なので Pauli の排他律が働き，正エネルギーの電子は落ちる先がない．この埋まった負エネルギー状態の海を Dirac の海（Dirac sea）と呼ぶ．

この描像は，直ちに次の予言を生む．海の中の電子1個に $E\ge 2mc^2$ のエネルギーを与えれば，正エネルギー状態に叩き上げられる．すると海に空孔（hole）が残る．空孔は

• 電荷 $-(-e) = +e$ をもち，
• エネルギー $-(-E) = +E > 0$ をもち，
• 電子と同じ質量 $m$ をもつ

ように振る舞う．つまり電子と質量が等しく電荷が逆の粒子である．Dirac は当初これを陽子だと思ったが，Weyl と Oppenheimer が「対称性から質量は電子と同じでなければならない」と指摘し，1931年に Dirac は「未知の新粒子」であることを認めた．

2.4.3 陽電子の発見（1932）—— 鉛板1枚の工夫

Anderson は，磁場 $1.5\ \mathrm{T}$ をかけた霧箱で宇宙線を観測していた．霧箱（Wilson, 1911年）は，過飽和にした水蒸気・アルコール蒸気の中を荷電粒子が通ると，生じたイオンを凝結核として微小な液滴の列ができ，飛跡が見える装置である．

磁場中の飛跡の曲率半径 $\rho$ から，運動量と電荷の比が $p = qB\rho$ で決まる．しかし曲がり方だけでは，正電荷が上から下へ飛んだのか負電荷が下から上へ飛んだのかを区別できない．

Anderson の工夫は，霧箱の中央に厚さ $6\ \mathrm{mm}$ の鉛板を1枚置いたことである．粒子は鉛板を通るとエネルギーを失うので，通過後は運動量が減り，曲率半径が小さくなる．どちら側の曲率が大きいかを見れば，進行方向が一義に決まる．こうして曲がる向きと進む向きが両方確定し，電荷の符号が定まった．

1932年8月2日の1枚の写真には，$63\ \mathrm{MeV}$ で入射し鉛板通過後に $23\ \mathrm{MeV}$ になった正電荷の飛跡が写っていた．飛跡の長さ（$5\ \mathrm{cm}$ 以上）と電離の程度から，質量は電子の $20$ 倍未満（陽子の $1/90$ 以下）で，電離密度は電子と同程度．すなわち，正電荷をもつ軽い粒子——陽電子である．Dirac の予言から2年後であった（Anderson は Dirac の論文を知らずに実験していた）．

翌1933年，Blackett と Occhialini は，霧箱の上下に Geiger 計数管を置いて宇宙線が通ったときだけ膨張させる「計数管制御霧箱」を作り，$e^+e^-$ が対で生成される事象を多数記録した．これで対生成が確立し，同時に「原子核の Coulomb 場中での対生成 $\gamma+N\to e^+e^-+N$ には $2m_ec^2 = 1.022\ \mathrm{MeV}$ 以上が要る」という閾値も確認された．孤立した光子が単独で $e^+e^-$ になることはない（$p_\gamma^2=0$ に対し $(p_{e^+}+p_{e^-})^2\ge(2m_ec)^2>0$ で，エネルギーと運動量の保存を同時に満たせない）．第三体の反跳があって初めて起こる過程であり，閾値は核の場中で $\approx2m_ec^2$，電子の場中では $4m_ec^2$ になる．

2.4.4 反陽子の発見（1955）—— 加速器を閾値で設計する

陽電子が見つかっても，反陽子が存在するかは自明でなかった．陽子は複合粒子かもしれず，Dirac 方程式が適用できるとは限らないからである．必要なのは加速器である．

1955年，Chamberlain，Segrè，Wiegand，Ypsilantis は，磁場で運動量 $1.19\ \mathrm{GeV}/c$ の負電荷粒子だけを選び，$12\ \mathrm{m}$ の飛行距離を通る飛行時間（time of flight）とチェレンコフ計数管で速度 $\beta$ を測った．$m = p\sqrt{1-\beta^2}/\beta$ から質量が出る．$\pi^-$ が $4\times10^4$ 個に対して $\bar p$ が1個という背景の中から，$m=m_p$ の粒子を選り分けた．翌1956年には反中性子も見つかった．

2.5 ニュートリノ 1930–1962

2.5.1 連続スペクトルという難問

β崩壊は，原子核が電子を放出して原子番号を1つ増やす現象である．核子のレベルで書けば

である．1914年，Chadwick は放出される電子のエネルギーが連続分布していることを見出した．これは深刻な矛盾である．

逃げ道はないかと，さまざまな可能性が検討された．

• 電子が核外で二次的にエネルギーを失っているのでは？ Ellis と Wooster（1927年）が量熱計で答えを出した．$^{210}\mathrm{Bi}$ の崩壊で発生する熱を丸ごと測ると，1崩壊あたり $0.35\ \mathrm{MeV}$．これは電子の平均エネルギーであって最大値 $1.05\ \mathrm{MeV}$ ではない．失われたエネルギーは熱にもなっていない．
• エネルギー保存則が微視的には破れているのでは？ Bohr は本気でこれを提案した．
• 角運動量も合わない．$n$（スピン $1/2$）$\to p$（$1/2$）$+\,e^-$（$1/2$）では，右辺の合成スピンが $0$ か $1$ の整数になり，左辺の半整数と一致しない．統計性（Fermi 統計か Bose 統計か）も合わない．

2.5.2 Pauli の手紙と Fermi の理論

1930年12月4日，Pauli はチュービンゲンの放射能会議に宛てて有名な手紙を書いた（本人は舞踏会があるので欠席した）．「親愛なる放射性のご婦人・紳士諸君」で始まるこの手紙で，彼は次の性質をもつ未知の粒子を提案した．

• スピン $1/2$（角運動量と統計性を救う）
• 電荷 $0$（電荷保存を壊さない）
• 質量は電子と同程度で，少なくとも陽子の $1/100$ 以下（これが手紙の文言である）
• 物質とほとんど相互作用しない（だから量熱計に引っかからない）

Pauli 自身はこれを「絶望的な逃げ道」と呼び，「検出できない粒子を予言してしまった，物理学者として最悪のことをした」と述べている．なお「質量は電子よりはるかに軽いか，ゼロ」という現在の言い方は手紙のものではない．それは Fermi の理論（1934年）とスペクトル端点の形の解析を経て，のちに絞り込まれた結論である．

Fermi は1934年，これを定量的な理論にした．彼はこの粒子を「小さな中性のもの」＝ニュートリノ（neutrino）と名づけ，4つの Fermi 場が1点で結合する相互作用

を書き，電子のエネルギースペクトルを計算した．Fermi の原論文はこのようにベクトルカレントだけで書かれていた．現代の形ではカレントが $\gamma^\mu(1-\gamma^5)$ という $V\!-\!A$ 構造に置き換わる（第12章）が，係数 $G_F/\sqrt2$ は現代の $G_F$ の規約に合わせた因子で，後で出てくる式 \eqref{eq:2-GF-gW} もこの規約である．結果は

である（$m_\nu=0$ の場合）．ここで $N$ は放出された電子の個数であり，$\dd N/\dd T$ は単位運動エネルギーあたりの電子数，すなわち図2.5(a) の縦軸＝エネルギースペクトルそのものである．各因子の役割は次のとおりである．

• $T$：電子の運動エネルギー（$0\le T\le Q$）．$Q$ は崩壊で解放される全エネルギーで，中性子なら $Q=0.782\ \mathrm{MeV}$ である．
• $p_eE_e$：電子側の位相空間因子．終状態の電子の数え上げにあたる．
• $(Q-T)^2$：ニュートリノ側の位相空間因子．$m_\nu=0$ なら $p_\nu E_\nu = E_\nu^2 = (Q-T)^2$ で，残ったエネルギーをニュートリノが持ち去るときの重みである．
• $F(Z,T)$：Fermi 関数（Coulomb 補正因子）．娘核の Coulomb 場が電子の波動関数を歪める効果を表す．

この形は実測とみごとに一致した．なお，この論文を Nature 誌は「現実からかけ離れすぎている」として掲載を断った．結合定数は今日の値で $G_F = 1.166\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$ である．

2.5.3 Reines–Cowan 実験（1956）—— 「捕まえられない粒子」を捕まえる

ニュートリノは仮説のままで20年以上使われ続けた．直接検出したのが Reines と Cowan である．彼らが使ったのは，β崩壊の逆過程

である．難しさは断面積の小ささにある．Bethe と Peierls（1934年）は Fermi の理論から $\sigma\lesssim10^{-44}\ \mathrm{cm^2}$ と見積もった．数 MeV の原子炉ニュートリノに対する現代の値は $\sigma\sim10^{-43}\ \mathrm{cm^2} = 10^{-19}\ \mathrm{barn}$ 程度であり，以下ではこの値を使う．どれくらい小さいかを実感するために平均自由行程を計算しておく．

Reines と Cowan は Savannah River の原子炉のそばに，塩化カドミウム $\mathrm{CdCl_2}$ を溶かした水のタンクと液体シンチレータ層を交互に重ねた検出器を置いた．鍵は遅延同時計数である．

1. 生成された $e^+$ が即座に電子と対消滅し，$511\ \mathrm{keV}$ の $\gamma$ 線2本が出る（プロンプト信号）．
2. 生成された $n$ は水中で減速され，約 $5\ \mu\mathrm{s}$ 後に $\mathrm{Cd}$ に捕獲される．$^{113}\mathrm{Cd}$ の熱中性子捕獲断面積は $2\times10^4\ \mathrm{barn}$ と極端に大きく，捕獲後に総エネルギー $9\ \mathrm{MeV}$ の $\gamma$ 線カスケードを出す（遅延信号）．

この「$511\ \mathrm{keV}$ 対 → $5\ \mu\mathrm{s}$ → $9\ \mathrm{MeV}$」という時間パターンを要求すると，偶然の背景事象がほぼ完全に落ちる．原子炉稼働時と停止時で計数率を比較し，1956年，有意な差が確認された．彼らは Pauli に「あなたの予言した粒子を確かに見つけた」と電報を打った．

2.5.4 ニュートリノは1種類ではない（1962）

次の問いは「$\mu$ 崩壊に出てくるニュートリノは，β崩壊のニュートリノと同じものか」であった．同じなら，$\mu\to e+\gamma$ という崩壊が起こってよいはずである．ところがこの崩壊は徹底的に探しても見つからなかった（現在の上限は分岐比 $<3.1\times10^{-13}$）．

Lederman，Schwartz，Steinberger は1962年，BNL の AGS で $15\ \mathrm{GeV}$ の陽子ビームから $\pi$ を作り，その崩壊 $\pi^+\to\mu^++\nu$ から出るニュートリノビームを，$13.5\ \mathrm{m}$ 厚の鉄（解体した戦艦の装甲板を使ったことで知られる）で他の粒子を止めたうえでスパークチェンバー（10 t のアルミ板を積層し，高電圧で放電の筋を見る装置）に当てた．

もしニュートリノが1種類なら，反応 $\nu+n\to\mu^-+p$ と $\nu+n\to e^-+p$ が同程度起きるはずである．結果は，$\mu$ と同定された事象が $34$ 例あったのに対し，電子と解釈しうるシャワー事象は背景（中性子や $\nu_e$ の混入）で説明できる数（$6$ 例）しかなく，ニュートリノが1種類なら期待される約 $29$ 例の電子事象は現れなかったというものであった．したがって $\pi$ 崩壊に伴うニュートリノ（$\nu_\mu$）は，β崩壊のニュートリノ（$\nu_e$）とは別物である．レプトンには「世代」があり，各世代のレプトン数が別々に保存する．これが標準模型の3世代構造（2.11節）の最初の兆候であった．

2.6 ストレンジ粒子 1947–1960

2.6.1 V 粒子 —— 「奇妙な」振る舞い

1947年，Rochester と Butler はマンチェスターで宇宙線を霧箱（磁場付き）で観測し，何もないところから2本の飛跡が V 字型に現れる事象を2例見つけた．一つは中性粒子が2本の荷電粒子（$\pi^+\pi^-$）に崩壊したもの（「中性 V」．いまの $K^0$），もう一つは荷電粒子の飛跡が飛行の途中で折れ曲がったもの（「荷電 V」．いまの $K^\pm$ の崩壊）である．前者では親粒子が中性なので飛跡を残さず，崩壊点だけが V 字として見える．$p\pi^-$ に崩壊する中性 V（いまの $\Lambda$）の同定は1950–51年で，Hopper–Biswas（メルボルン）や Anderson のグループ（Caltech）の霧箱による．

1950年代に入り，チャカルタヤなどの高山観測とブルックヘブン（BNL）の Cosmotron（$3\ \mathrm{GeV}$）で多数の同種粒子が見つかると，はっきりしたパラドックスが浮かび上がった．

強い相互作用で作られるのに，強い相互作用では壊れない．同じ粒子・同じ場に対して，一方向にだけ強い力が働くというのは不可能である．したがって，崩壊を禁止している保存則が存在し，それが弱い相互作用では破れると考えるほかない．

さらに Pais（1952年）が指摘したのは，これらの粒子が必ず2個以上同時に作られることである（随伴生成，associated production）．$\pi^-+p\to K^0+\Lambda$ は起こるが，$\pi^-+p\to\pi^0+\Lambda$ は起こらない．これは新しい加法的量子数が保存していることを強く示唆する．

2.6.2 ストレンジネスと Gell-Mann–西島の関係式

Gell-Mann と，中野董夫・西島和彦は，1953年に独立に，新しい量子数 ストレンジネス $S$ を導入した（下の関係式は中野–西島–Gell-Mann の関係式とも呼ばれる）．規約は次のとおりである．

これで両方の謎が解ける．$\pi^-+p\to K^0+\Lambda$ は $0+0\to(+1)+(-1)=0$ で $S$ 保存を満たすから強い相互作用で起こる．一方 $\Lambda\to p+\pi^-$ は $(-1)\to0$ で $\Delta S=+1$，強い相互作用では禁止され，弱い相互作用でしか進まないので寿命が $10^{-10}\ \mathrm{s}$ になる．随伴生成も自動的に説明される．

2.7 八道説 1961–1964

2.7.1 粒子の氾濫と，秩序への希求

1950年代末までに，加速器はハドロンを次々に生み出した．$\pi,K,\eta,\rho,\omega,\Lambda,\Sigma,\Xi,\Delta,\dots$ その数は100を超え，「粒子の動物園」と呼ばれた．Fermi は「これだけ多くの粒子の名前を覚えられるくらいなら，私は植物学者になっていた」と言い，Lamb は1955年のノーベル講演で「かつては新粒子の発見者にノーベル賞が与えられたものだが，いまやそういう発見には1万ドルの罰金を科すべきだろう」と皮肉った．

周期表がそうであったように，多すぎるということは，それらが基本的でないことの徴候である．必要なのは分類の原理であった．

手がかりは式 \eqref{eq:2-gmn} にある．ハドロンの状態は $(I_3, Y)$ という2つの数で指定される．そこで，$I_3$ と $Y$ を座標軸として平面上に粒子を並べてみる．これをウェイト図（weight diagram）と呼ぶ．Gell-Mann（1961年）と Ne'eman（1961年）は，独立に，そこに現れる図形が驚くほど規則的であることに気づいた．

2.7.2 なぜ「八」なのか —— SU(3)

アイソスピン SU(2) は，$u$ と $d$ に相当する2つの状態を混ぜる群であった．ストレンジネスをもつ粒子まで含めるには，3つの状態を混ぜる群 SU(3) が必要になる．Gell-Mann と Ne'eman は，ハドロンが SU(3) の既約表現に属すると仮定した．

SU(3) は階数2の群である（互いに可換な生成子が2個ある）．その2個をそれぞれ $I_3$ と $Y$ にとるのが自然な選択であり，これで図2.6 の2つの軸が説明される．既約表現の次元は $1, 3, \bar3, 6, 8, 10, 27,\dots$ で，八重項（8次元表現）は SU(3) の随伴表現である．

Gell-Mann はこの分類を，仏教の「八正道」（Eightfold Way）になぞらえて命名した．$J^P=\tfrac12^+$ のバリオン八重項，$0^-$ と $1^-$ の中間子八重項（どちらも一重項を加えて九重項として扱うのが普通である．2.8.1 項），そして $\tfrac32^+$ のバリオン十重項が見つかった．

2.7.3 $\Omega^-$ の予言と発見

1962年のジュネーブ会議の時点で，十重項のうち9個が見つかっていた．$\Delta$（4個），$\Sigma^*$（3個），$\Xi^*$（2個）．図2.6(c) の三角形の頂点だけが空席であった．

Gell-Mann は会場で立ち上がり，欠けている粒子の性質を等間隔則から読み上げた．

• 電荷 $Q=-1$，アイソスピン $I=0$（単独），ストレンジネス $S=-3$
• 質量 $\approx 1533 + 150 = 1683\ \mathrm{MeV}$
• $S=-3$ なので，$\Delta S=\pm1$ しか許さない弱い相互作用でしか壊れない．したがって寿命は $10^{-10}\ \mathrm{s}$ 程度で，泡箱の中に目に見える飛跡を残すはずである

最後の点が決定的である．他の十重項粒子は，$\Delta\to N\pi$，$\Sigma^*\to\Lambda\pi$，$\Xi^*\to\Xi\pi$ のようにストレンジネスを保ったまま強い相互作用で崩壊できるので，寿命が $10^{-23}\ \mathrm{s}$ しかなく飛跡を残さない（共鳴として質量分布の山に見えるだけ）．ところが $\Omega^-$ は $S=-3$ なので，$S$ を保つ強い崩壊の終状態は $\Xi K$ しかない．その閾値は $m(\Xi^0)+m(K^-) = 1314.9+493.7 = 1808.6\ \mathrm{MeV}$ で，$\Omega^-$ の質量 $1672\ \mathrm{MeV}$ より上にある．一方 $\Xi\pi$ は軽いが $\Delta S=1$ なので強い相互作用では禁止される．こうして $\Omega^-$ には弱い崩壊しか残らず，寿命 $8.2\times10^{-11}\ \mathrm{s}$，飛行距離にして数 cm の飛跡を残すことになる．

1964年2月，Samios らのグループが BNL の $80$ インチ液体水素泡箱で，$5\ \mathrm{GeV}$ の $K^-$ ビームを使って

を捉えた．その $\Omega^-$ は $\Xi^0\pi^-$ に崩壊し，$\Xi^0\to\Lambda\pi^0$，$\pi^0\to\gamma\gamma$ と続き，2本の $\gamma$ がどちらも泡箱の中で対生成したという幸運な事象であった．測定質量は $1686\pm12\ \mathrm{MeV}$（現在の値 $1672.45\ \mathrm{MeV}$）．

2.8 クォーク模型 1964

2.8.1 3 と 3̄ から八重項と十重項を作る

周期表に元素が並ぶのは，原子が陽子・中性子・電子でできているからである．ハドロンが SU(3) の既約表現に並ぶのは，ハドロンがSU(3) の3次元表現に属する何かでできているからではないか．1964年，Gell-Mann と Zweig は独立にこの結論に達した．Gell-Mann はそれを Joyce の『フィネガンズ・ウェイク』から取ってクォーク（quark）と呼び，Zweig はエース（ace）と呼んだ．前者の名が残った．

Gell-Mann–西島の関係式 \eqref{eq:2-gmn} がクォークのレベルで成立していることに注目したい．これは偶然ではなく，$Q$，$I_3$，$Y$ がいずれも加法的量子数だからである．

構成則は次の2つである．

• 中間子 $= q\bar q$：$B = 1/3-1/3 = 0$．群論的には $3\otimes\bar3 = 8\oplus1$，すなわち八重項1つと一重項1つ．実際，$0^-$ 中間子は $\pi,K,\eta$ の8個＋$\eta'$ の1個である．
• バリオン $= qqq$：$B = 3\times1/3 = 1$．$3\otimes3\otimes3 = 10\oplus8\oplus8\oplus1$，すなわち十重項1つ，八重項2つ，一重項1つ．十重項と八重項が実際に見つかっているものと一致する．

たとえば $p = uud$（$Q = 2/3+2/3-1/3 = 1$ ✓），$n = udd$（$Q = 2/3-1/3-1/3 = 0$ ✓），$\Lambda = uds$（$S=-1$ ✓），$\Omega^- = sss$（$Q=-1$，$S=-3$ ✓），$\pi^+ = u\bar d$，$K^+ = u\bar s$．図2.6 の三角形の頂点 $\Omega^-$ が $sss$ であることは，図の一番下（$Y=-2$，$I_3=0$）という位置から直ちに読める．

2.8.2 $\Delta^{++}$ の危機と色の導入

クォーク模型には，ただちに致命的な問題が現れた．十重項の隅にいる $\Delta^{++}$ である．

色が「余分な自由度を足しただけの弥縫策」でないことは，独立な証拠が複数あることで裏づけられた．なかでも直接的なのが $e^+e^-$ 消滅の $R$ 比である．

色は単なる分類ラベルではなく，強い相互作用のゲージ電荷であることが後に判明する．色 SU(3) を局所ゲージ対称性とする理論が量子色力学（QCD）であり，第11章の主題になる．「観測されるハドロンはすべて色の一重項（無色）である」という要請が，クォークが単独で取り出せない理由（閉じ込め）につながる．

2.9 11月革命 1974–1995

2.9.1 GIM 機構 —— 第4のクォークが要る理由

1970年の時点で，クォークは $u,d,s$ の3つ，レプトンは $e,\nu_e,\mu,\nu_\mu$ の4つであった．この非対称性そのものは，美意識の問題にすぎないと片づけられた．しかし，はっきりした実験的問題があった．

弱い相互作用における $u,d,s$ の混ざり方は，Cabibbo 角 $\theta_C$（$\sin\theta_C=0.225$）を使って

と書けば，$\beta$ 崩壊とストレンジ粒子の崩壊が同時に説明できる．ところがこの $d'$ を中性カレントに入れると，$\bar d s$ というフレーバーを変える中性カレント（flavour-changing neutral current, FCNC）の項が $\cos\theta_C\sin\theta_C$ の係数で残る．これが樹木レベルで $Z$ の交換に効くなら，$K_L\to\mu^+\mu^-$ の分岐比は $K^+\to\mu^+\nu$ と同程度の $O(0.1$–$1)$ になってしまい，論外である．荷電カレントだけの理論にとどめても，$W$ を2本使う箱型図（1ループ）が $\bar d s\mu\mu$ を生み，$u$ クォークだけを回したのでは $10^{-5}$ 程度の分岐比を予言する．実測は $6.8\times10^{-9}$ で，3桁も小さい．

Glashow，Iliopoulos，Maiani（1970年）の解決は明快である．第4のクォーク $c$ を導入し，$d'$ と直交する組み合わせ

と対にする．すると中性カレントの $\bar d s$ 項が，$(u,d')$ からの寄与と $(c,s')$ からの寄与でちょうど符号が逆になって相殺する．$\cos\theta_C\sin\theta_C - \sin\theta_C\cos\theta_C = 0$ という，直交性そのものである．

相殺は完全ではなく，$m_c\ne m_u$ のぶんだけ残る．残差の大きさは $K^0$–$\bar K^0$ 混合の質量差 $\Delta m_K$ に現れるので，逆にそれを使って $m_c$ が予言できた．Gaillard と Lee（1974年）の見積もりは $m_c\approx1.5\ \mathrm{GeV}$．これは的中する．

2.9.2 1974年11月11日 —— $J/\psi$ の同時発見

1974年11月11日，2つのまったく異なる実験が同じ粒子の発見を発表した．

• Ting のグループ（BNL）：$28\ \mathrm{GeV}$ の陽子をベリリウム標的に当て，出てくる $e^+e^-$ 対の不変質量を精密測定した．$3.1\ \mathrm{GeV}$ に鋭いピーク．$J$ と名づけた．
• Richter のグループ（SLAC，SPEAR）：$e^+e^-$ 衝突型加速器のエネルギーを走査していたところ，$3.1\ \mathrm{GeV}$ でハドロン生成断面積が100倍に跳ね上がった．$\psi$ と名づけた．

両者は同じ粒子であり，$J/\psi$ という折衷的な名前が定着した．2人は2年後の1976年にノーベル賞を受けている（発見から受賞までの期間として史上最短級である）．

この発見が「革命」と呼ばれたのは，質量が大きいからではなく，幅が異常に狭いからである．

$c\bar c$ の束縛状態は，水素原子やポジトロニウムのようにきれいな準位構造をもつのでチャーモニウムと呼ばれる．準位間隔を再現する非相対論的ポテンシャルとして

（Cornell ポテンシャル）が使われる．短距離では Coulomb 的（1グルーオン交換），長距離では距離に比例して増大する（閉じ込め）．線形項があるためクォークは無限遠に引き離せない．第7章でこの Schrödinger 問題を実際に解く．

2.9.3 第3世代へ —— $\tau$，ボトム，トップ

チャームで「$u,d,e,\nu_e$」「$c,s,\mu,\nu_\mu$」の2世代が揃った．ところが，そこで話は終わらなかった．

• $\tau$ レプトン（1975年）：Perl は SPEAR の Mark I 検出器で，$e^+e^-\to e^\pm\mu^\mp + (\text{何も見えないもの})$ という異常事象を見つけた．レプトン数保存を守るには，新しい重いレプトン $\tau$ が対生成し，それぞれ $\tau\to e\nu\bar\nu$ と $\tau\to\mu\nu\bar\nu$ に崩壊したと考えるほかない．$m_\tau = 1776.86\ \mathrm{MeV}$ で，陽子の $1.9$ 倍も重い「重いレプトン」である．第3世代の最初の住人が，クォークではなくレプトンだったことになる．
• ボトムクォーク（1977年）：Lederman らは Fermilab の実験 E288 で，$400\ \mathrm{GeV}$ 陽子ビームから出る $\mu^+\mu^-$ 対の不変質量に $9.46\ \mathrm{GeV}$ のピークを見つけた．$\Upsilon$（ウプシロン）と名づけられたこの粒子は $b\bar b$ 束縛状態（ボトモニウム）であり，$J/\psi$ と同じ論理でその狭い幅が説明された．
• トップクォーク（1995年）：$b$ の相方はなかなか見つからなかった．理由は単純で，異常に重かったからである．CDF と D0 が Tevatron（$p\bar p$，$\sqrt s = 1.8\ \mathrm{TeV}$）でようやく捉えた．発見時の測定値は $176\pm13\ \mathrm{GeV}$（CDF）・$199\pm30\ \mathrm{GeV}$（D0）で，現在の世界平均は $m_t = 172.7\ \mathrm{GeV}$，金の原子1個ぶんに匹敵する．

2.10 仲介ベクトルボソン 1983

2.10.1 Fermi 理論が壊れる場所

式 \eqref{eq:2-fermi-int} の Fermi 理論は，4つのフェルミオンが1点で結合する接触相互作用である．低エネルギーの実験は見事に説明できたが，高エネルギーでは必ず破綻することが分かっていた．

2.10.2 中性カレントから $W$・$Z$ の発見へ

Glashow（1961年）・Weinberg（1967年）・Salam（1968年）の電弱統一理論は，$W^\pm$ に加えて中性のゲージボソン $Z^0$ を予言した．$Z^0$ が媒介する反応は「電荷を変えない弱い過程」＝中性カレントであり，たとえば $\nu_\mu+e^-\to\nu_\mu+e^-$ がそれである．

1973年，CERN の巨大泡箱 Gargamelle（フレオン $\mathrm{CF_3Br}$ を $12\ \mathrm{m^3}$ 詰めた重液泡箱．重い液体を使うのは $\gamma$ 線を確実に対生成させて中性粒子まで再構成するためである）が，ミュオンを伴わないニュートリノ事象を捉えた．中性カレントの発見である．その頻度から Weinberg 角が $\sin^2\theta_W\approx0.23$ と決まり，理論の関係式

に代入すると $m_W\approx78\ \mathrm{GeV}$，$m_Z\approx89\ \mathrm{GeV}$（輻射補正を入れると $80$ と $91$）と予言された．係数 $37.28\ \mathrm{GeV}$ は $\sqrt{\pi\alpha/(\sqrt2 G_F)}$ の値である．探すべき質量が分かったので，あとは作れる加速器を用意すればよい．

Rubbia は，既存の SPS 陽子シンクロトロンを陽子・反陽子衝突型に改造することを提案した．難点は反陽子ビームの質（エミッタンス）である．これを van der Meer の確率冷却（stochastic cooling：ビームの位置揺らぎを検出して下流でキックし，位相空間体積を縮める手法）が解決した．

1983年，$\sqrt s = 546\ \mathrm{GeV}$ の $p\bar p$ 衝突で UA1 と UA2 が

• $W\to e\nu$：高い横運動量の電子1個と，それと釣り合う消失横エネルギー（missing $E_T$，ニュートリノが持ち去った分）
• $Z\to e^+e^-,\ \mu^+\mu^-$：レプトン対の不変質量が $91\ \mathrm{GeV}$ に立つピーク

を観測した．UA1 の最初の論文では $W$ が $6$ 事象，$Z$ が $5$ 事象（$e^+e^-$ が4，$\mu^+\mu^-$ が1）という少なさだったが，背景がほぼゼロなので疑いの余地はなかった．Rubbia と van der Meer は翌1984年にノーベル賞を受けた．現在の値（PDG 2022）は $m_W = 80.377\ \mathrm{GeV}$，$m_Z = 91.1876\ \mathrm{GeV}$ である．

2.11 標準模型 1978–?

2.11.1 完成した絵

1978年ごろまでに，理論の骨格は出揃った．物質はスピン $1/2$ のフェルミオン（クォークとレプトン）でできており，力はスピン $1$ のゲージボソン——グルーオン $g$，光子 $\gamma$，$W^\pm$，$Z$——が媒介する．この一文には読み違えやすい点が2つあるので，下の2つの注記で先に断っておく．対称性は

で，第1因子が色（強い相互作用，第11章），第2・第3因子が合わさって電弱相互作用（第12・13章）を与える．Higgs 場の真空期待値が $\mathrm{SU}(2)_L\times\mathrm{U}(1)_Y$ を $\mathrm{U}(1)_{\mathrm{EM}}$ へ破り，$W,Z$ とフェルミオンに質量を与える．これが標準模型である．

ニュートリノの質量欄について一言補う．$0.45\ \mathrm{eV}$ はトリチウムβ崩壊（KATRIN）が与える $\nu_e$ の実効質量の上限である．$\nu_\mu$・$\nu_\tau$ の直接測定の上限はそれぞれ $0.19\ \mathrm{MeV}$，$18.2\ \mathrm{MeV}$ しかなく，けっして $0.45\ \mathrm{eV}$ ではない．3つの質量固有値すべてがこの程度以下だと言えるのは，振動実験から $\Delta m^2$ が小さい（$\lesssim2.5\times10^{-3}\ \mathrm{eV^2}$，第14章）と分かっているからで，直接測定の上限と振動の結果を組み合わせて初めて出る結論である．

2.11.2 発見の年表

2.11.3 何が説明できて，何ができないか

標準模型は，これまでに行われたほぼすべての加速器実験を説明する．精度の一例を挙げれば，電子の異常磁気モーメント $a_e=(g-2)/2$ は，$g$ の値として数えれば $12$–$13$ 桁，$a_e$ 自身として数えれば約 $10$ 桁の精度で理論と実験が一致している（どの量で桁を数えるかで言い方が変わる．また理論側の不確かさは，入力する $\alpha$ の独立測定の精度で決まる）．物理学史上，これほど精密に検証された理論は他にない．

それでも，標準模型は最終理論ではない．説明できないことを列挙しておく．

2.12 まとめと演習

2.12.1 まとめ

• 新粒子は「説明できない一つの事実」から要求される．$q/m$ の異常（電子），大角度散乱の頻度（原子核），波長シフト（光子の運動量），核力の到達距離（中間子），負エネルギー解（反粒子），連続スペクトル（ニュートリノ），随伴生成と長寿命（ストレンジネス），$\Delta^{++}$ のスピン統計（色），$K_L\to\mu\mu$ の抑制（チャーム）．どれも同じ形の推論である．
• Rutherford の散乱公式 $\dd\sigma/\dd\Omega\propto\sin^{-4}(\theta/2)$ は，標的が点であることの帰結である．公式からのずれが内部構造を教える．この論法が陽子の形状因子，そしてクォークの発見まで一直線につながり，材料分析では RBS として使われている．
• Compton 波長 $\lambda_C=h/(m_ec)=2.426\ \mathrm{pm}$．4元運動量を2乗して測らない粒子を消すという技法が，本書で繰り返し使う道具である．Compton ピークの「幅」は電子運動量密度 $n(\bm p)$ を与える．
• 到達距離と質量は $R\sim\hbar/(mc)$ で結ばれる．$\pi$（$140\ \mathrm{MeV}$）で $1.4\ \mathrm{fm}$，$W$（$80\ \mathrm{GeV}$）で $2.5\times10^{-3}\ \mathrm{fm}$．同じ関数形が金属の Thomas–Fermi 遮蔽と超伝導体の London 侵入長に現れ，「実効的な光子質量」として読み替えられる（ただし常伝導金属で読み替えられるのは静的な縦応答に限る．横波の光子まで質量を得るのは超伝導体である）．
• Dirac の空孔＝半導体の正孔．ギャップ $2m_ec^2=1.022\ \mathrm{MeV}$ を $E_g$ に置き換えれば論理は同一である．陽電子消滅分光は，寿命で空孔濃度を，Doppler 幅と角度相関で電子運動量分布を測る．
• Gell-Mann–西島の関係式 $Q=I_3+(B+S)/2$ は，$(I_3,Y)$ 平面という2次元の秩序を示唆し，SU(3) の八重項・十重項，そしてクォーク模型に至った．同じ形の式は電弱理論で $Q=T_3+Y/2$（$Y$ は弱ハイパー荷．第12章）として再登場する．
• $\Delta^{++}=uuu$ の Fermi 統計問題が色を要求した．色の数は $R$ 比 $=N_c\sum q_i^2$ で直接数えられ，$N_c=3$ である．
• Fermi 理論は $\sqrt s\approx300\ \mathrm{GeV}$ でユニタリティを破る．重い $W$ を入れることで救われ，$G_F/\sqrt2 = g^2/(8m_W^2)$．弱い力が弱いのは結合が小さいからではなく，$W$ が重いからである（$g=0.65 > e=0.30$）．
• 標準模型は $\mathrm{SU}(3)_C\times\mathrm{SU}(2)_L\times\mathrm{U}(1)_Y$，3世代，19 パラメータ．世代数は LEP の $Z$ 幅から $N_\nu=2.984\pm0.008$ と直接測られた．ニュートリノ質量・暗黒物質・物質優勢・重力は説明できない．
• どの発見も，その時代に作れた材料の性能で決まった．過飽和蒸気，AgBr 乳剤，液体水素，Cd／Gd 添加シンチレータ，高純度 Ge，シリコンマイクロストリップ，$\mathrm{PbWO_4}$ 単結晶．素粒子実験は，その相当部分が材料開発である．

2.12.2 演習問題