第11章クォークの電気力学と色力学

物理的意味：Mott 断面積の3つの因子

• $\dfrac{\alpha^2}{4E^2\sin^4(\theta/2)}$：これはRutherford 断面積そのものである（$\sin^{-4}(\theta/2)$ の依存性）．Coulomb 場からの散乱の古典的結果で，$1/q^4$ に由来する（$q^2=-4EE'\sin^2(\theta/2)$）．
• $\cos^2(\theta/2)$：電子のスピンによる因子．相対論的な電子はヘリシティを保存するので，真後ろ（$\theta=\pi$）への散乱が禁止される．$\theta\to\pi$ で $\cos^2(\theta/2)\to0$ がそれを表す．
• $E'/E$：標的の反跳による因子．標的が重ければ $E'\simeq E$ で 1 に近い．

この式に「陽子らしさ」はまだ何も入っていない．入っているのは標的の電荷 $+e$ と反跳，そして電子のスピンだけである．標的がスピン $1/2$ の Dirac 粒子なら，その磁気モーメントによる項 $2\tau\tan^2(\theta/2)$ がさらに加わる（11.2.4 項）．

材料科学との接点：形状因子は X 線・中性子回折の原子形状因子と同じものである

式 \eqref{eq:11-formfactor} を見て「これは見たことがある」と思った読者は正しい．X 線回折における原子形状因子（atomic form factor）は

と定義される．$\rho_e$ は原子内の電子密度である．文字が $\rho\to\rho_e$，$F\to f$ に変わっただけで，式はまったく同じである．物理も同じで，「散乱振幅は散乱体の密度分布の Fourier 変換である」という一行に尽きる．

対応表を作っておこう．

中性子回折で「核形状因子は $q$ に依存しない定数 $b$ である」と習うのは，核が中性子の波長に比べて点にしか見えないからである．同じことが電子–陽子散乱でも起こる．運動量移行が小さいうちは陽子は広がって見える（$G_E$ が $Q^2$ とともに落ちる）が，$Q^2$ を上げていくと，やがて陽子の中身の点状構成要素が見えてくる．その構成要素からの散乱には形状因子がかからず，断面積は $Q^2$ に対して落ちなくなる．これが 11.2.6 項の Bjorken スケーリングであり，論理は「中性子回折で核が点に見える」のと完全に同じである．

要するに，材料科学者が結晶構造解析でやっていること（散乱強度の $q$ 依存性から実空間の密度分布を再構成する）を，$10^5$ 倍細かいスケールでやったのが電子–陽子散乱である．道具は同じで，見えるものが違うだけだ．

物理的意味：縦偏極光子が吸収されないこと

Callan–Gross 関係には，もっと直感的な言い方がある．仮想光子は縦偏極（ヘリシティ $0$）と横偏極（ヘリシティ $\pm1$）をもつ．その吸収断面積の比を

と書けば，Callan–Gross 関係は $\sigma_L=0$ と等価である．

なぜ縦偏極光子は吸収されないのか．Breit 系（brick-wall 系．仮想光子がエネルギーを運ばず運動量だけを運ぶ系）で考えるのが一番はっきりする．この系ではクォークは光子を吸収して運動量の向きを反転する（$p_z\to-p_z$）．質量ゼロのスピン $1/2$ 粒子はヘリシティ（＝運動方向へのスピン射影）を保存するから，運動方向が反転すれば $z$ 軸に対するスピン射影は $+1/2\to-1/2$ と 1 単位変わる．この角運動量を供給できるのはヘリシティ $\pm1$ の横偏極光子だけであり，ヘリシティ $0$ の縦偏極光子では収支が合わない．結果として $\sigma_L=0$ である．

実験値は $R_L\approx0.1$–$0.2$ と小さいが，正確にゼロではない．そのずれは (i) クォークの質量，(ii) 横方向運動量，(iii) グルーオン放出（$\gamma^*g\to q\bar q$）から来ており，QCD で計算できる．「破れの大きさが理論で予言できる」ことが，この関係の真の価値である．

材料科学との接点：構造関数と動的構造因子 $S(\qq,\omega)$ は同じ形をしている

式 \eqref{eq:11-dis-cross} をもう一度眺めてほしい．「既知のプローブの断面積」×「標的の内部構造を表す関数」という構造をしている．中性子非弾性散乱の断面積とまったく同じ構造である：

$S(\qq,\omega)$ が動的構造因子で，密度揺らぎの相関関数の Fourier 変換である．DIS の $W_1,W_2$ と役割が完全に対応する．

最後の行が特に面白い．中性子散乱でも $q$ を十分大きくすると，散乱は「個々の原子核からの非干渉的な反跳」に還元され，測定量は運動量分布だけで書けるようになる（deep inelastic neutron scattering，あるいは Compton profile と呼ばれる）．これはパートン模型とまったく同じ論理であり，実際 $y$ スケーリングという名前でスケーリング則まで成り立つ．素粒子の $x$ と液体ヘリウムの $y$ は，同じ数学の兄弟である．

さらに，どちらの場合も断面積は前方散乱振幅の虚部（光学定理）であり，物性の言葉では応答関数の虚部，すなわち散逸である．『線形応答理論入門』第8章の揺動散逸定理 $S(\qq,\omega)=-\dfrac{\hbar}{\pi}\dfrac{\mathrm{Im}\,\chi^R(\qq,\omega)}{1-\ee^{-\beta\hbar\omega}}$（同書の規約では遅延応答関数の虚部が $\omega>0$ で負になるので，全体としては正である）が，素粒子側では「全断面積＝Compton 振幅の虚部」に対応する．叩いて返事を聞く，という構図は分野を越えて同じである．

材料科学との接点：Heisenberg 交換相互作用とまったく同じ代数である

式 \eqref{eq:11-casimir} の形を，磁性の教科書で見たことがあるはずである．2つのスピン $1/2$ の間の Heisenberg 交換相互作用

を対角化するとき，我々はまったく同じ手を使う．$\bm{S}=\bm{S}_1+\bm{S}_2$ として

これは式 \eqref{eq:11-casimir} で「$C_2\to S(S+1)$，$SU(3)\to SU(2)$」と置き換えたものにほかならない．$S(S+1)$ は $SU(2)$ の2次 Casimir 固有値である．結果は

色の場合の $-4/3$ と $+1/6$ に，構造がそっくりである．並べてみよう．

どちらの場合も，Casimir が一番小さい（最も反対称な）表現が最も強く引力になる．H$_2$ 分子では空間対称な結合軌道が Pauli 原理からスピン一重項と組み，空間反対称な反結合軌道が三重項と組む（有効 Heisenberg 交換が反強磁性的，すなわち一重項が低い場合である）．これと，中間子が色一重項でだけ束縛することは，同じ代数の別の顔である．ただし同じなのは Casimir による対角化の代数だけであって，引力になる符号そのものは別々に決まる．QCD では1グルーオン交換がベクトル結合であることから必然的に一重項が引力になるが，スピン系では交換積分と重なり積分が決める $J$ の符号次第であり，強磁性的（$J>0$）なら三重項の方が低い．

さらに面白いのは $qq$ の反三重項である．これはダイクォークと呼ばれ，カラー因子 $-2/3$ の引力をもつ．引力があるということは，フェルミ面のあるところでは Cooper 対を組むということである．実際，中性子星の中心のような超高密度クォーク物質では，このチャネルで対凝縮が起こるカラー超伝導が予言されている．BCS のギャップ方程式

と同じ機構——引力チャネルがあればフェルミ面は必ず不安定になる——がそのまま働く．ただし式の形までは同じではない．QCD では遮蔽されない磁気的グルーオン交換が長距離まで効くため，弱結合でのギャップは $\Delta\sim\mu\,g^{-5}\exp[-3\pi^2/(\sqrt2\,g)]$（Son 1999）となり，肩が $1/g$ に比例する．BCS の $\exp[-1/N(0)V]$ は $V\propto\alpha_s\propto g^2$ と読めば肩が $1/g^2$ なので，そこが本質的に違う（接触相互作用で近似した NJL 模型なら BCS 形に戻る）．とはいえ Cooper 不安定性という骨格は共通なので，超伝導の理論を知っている材料科学者は，中性子星の芯の物理を大筋で翻訳しながら読めるのである．

物理的意味：色一重項に近づくほど引力が強い

4つの数を眺めると，一つの規則が読み取れる．式 \eqref{eq:11-casimir} より，$C_2(R_{\rm tot})$ が小さい表現ほどカラー因子が負に大きい．すなわち

である．QCD は色を打ち消す方向に力が働く理論だと言ってよい．電磁気で正電荷と負電荷が引き合って中性の原子を作るのと同じことが，色の言葉で起きている．違うのは，色の「打ち消し方」が2通り（$q\bar q$ と $qqq$）あることだ．これが $SU(3)$ が $U(1)$ より豊かである理由である．

物理的意味：ひもが切れる —— ハドロン化の描像

$q$ と $\bar q$ が離れていくと何が起こるか．QCD のポテンシャルは短距離では Coulomb 的だが，長距離では距離に比例して増える：

これをCornell ポテンシャルという．第1項が 11.4 節で計算したカラー因子 $-4/3$ をもつ1グルーオン交換の項，第2項が閉じ込め項である．$\sigma$ をストリング張力と呼び，格子 QCD とチャーモニウム分光から $\sigma\approx0.18\ \mathrm{GeV^2}\approx0.91\ \mathrm{GeV/fm}$ と決まっている．

この $\sigma$ を SI に直してみよう．$1\ \mathrm{GeV}=1.602\times10^{-10}\ \mathrm{J}$，$1\ \mathrm{fm}=10^{-15}$ m だから

クォークどうしは，どんなに離しても約15トンの力で引き合っている．距離に依存しない一定の力である．鋼鉄のワイヤーならとうに切れている．

そしてまさに切れるのである．引き離すために注ぎ込んだエネルギーが $2m_q$ を超えると，途中に新しい $q\bar q$ 対が生まれ，ひもは2本に分かれる．これを繰り返して，最終的にすべてのエネルギーが色一重項のハドロンに分配される．元のクォークの運動量は保存しているから，生成物は元の方向に沿って飛ぶ——これがジェットである．

材料科学者への注意：この「引っ張ると新しい対ができて切れる」という描像で数学的な骨格まで同じなのは，強い電場中の Schwinger 対生成である．一定の色電場の中でひもが切れる確率は $\exp(-\pi m_q^2/\sigma)$（Casher–Neuberger–Nussinov, 1979）となり，第1章 1.2.3 項で見た真空の絶縁破壊・半導体の Zener 降伏とまったく同じ指数関数の形をしている．一方，塑性変形における転位の増殖（Frank–Read 源）や第II種超伝導体への渦糸の侵入は，「エネルギーを溜め込む細い管」と「閾値での欠陥生成による緩和」という現象の骨格を共有するにとどまり，トンネル過程としての対応ではない．とくに「場のエネルギー密度が一定の細いチューブ」という点では，QCD のひもは第II種超伝導体の量子化磁束線ときわめて近い（実際，閉じ込めの有力な描像は「双対超伝導体模型」，すなわち磁気単極子が凝縮した真空における色電場の Meissner 効果である）．

物理的意味：発散の意味とジェットの定義

式 \eqref{eq:11-3jet} は $x_1\to1$ または $x_2\to1$ で発散する．$x_1\to1$ は $q$ が最大エネルギーをもつ場合，すなわち $\bar q$ と $g$ が同じ方向に飛ぶ（共線発散）か，$g$ のエネルギーがゼロになる（赤外発散）場合である．

これらの発散は病気ではなく，「2ジェットと3ジェットの区別がつかない領域」を表している．グルーオンがクォークにぴったり寄り添っていたら，測定器はそれを1本のジェットとしか認識できない．したがって物理的な問いは「3ジェット事象は何回起きたか」ではなく「ジェット分解能 $y_{\rm cut}$ で3本に分解できる事象は何回起きたか」でなければならない．そう問い直せば，答えは有限になる．

そして，仮想グルーオン交換による2ジェットへの補正（ループ）にも同じ発散が符号を変えて現れ，全断面積（2ジェット＋3ジェット）では完全に相殺する．これが式 \eqref{eq:11-Rqcd} の $R$ が有限だった理由である．この相殺は Kinoshita–Lee–Nauenberg 定理として一般的に保証されている．

材料科学の側でこれに対応するのは，たとえば非弾性中性子散乱におけるフォノンの「1フォノン過程と多フォノン過程の分離」で，どこまでを1フォノンと呼ぶかは分解能に依存し，全散乱強度（和則）だけが分解能によらない，という状況である．測定可能な量は測定の定義を含んでいる．

材料科学との接点：Pauli 常磁性 対 Landau 反磁性 —— まったく同じ競合

ステップ3〜4の「スピンの常磁性が軌道の反磁性に勝つ」という構図は，自由電子気体の磁化率でおなじみのものである．自由電子気体では

であり，$m^*=m$ なら

すなわちスピン項が軌道項に3対1で勝ち，全体として常磁性になる．QCD の $12:1$ と，構造がそっくりである．並べると

係数の $1$ が $4$ になるのは，グルーオンのスピンが $1$ で電子のスピンが $1/2$ だからである（磁気モーメントの2乗に比例するので $(1/(1/2))^2=4$ 倍）．軌道項の $-1/3$ はどちらも同じである．

面白いのは，$m^*$ が小さい半金属（Bi など）では $(m/m^*)^2$ が大きくなり Landau 反磁性が勝つことである．Bi の巨大反磁性も，$m^*$ が小さい（Dirac 型分散の）ことに起因するバンド間の軌道反磁性として理解されており，向きの議論はこの $(m/m^*)^2$ の競り合いと同じである（ただし定量的には自由電子の Landau 公式では足りず，Fukuyama–Kubo のバンド間理論が要る）．QCD の側で言えば「もし $n_f$ が $17$ 以上あれば $\beta_0<0$ になり，QCD も QED のように遮蔽する理論になっていた」ことに対応する．どちらも係数の競り合いで符号が決まるという同じ構造をもつ．

物理的意味：次元転換 —— 無次元の理論から質量が生まれる

式 \eqref{eq:11-lambda} は，深く考えると驚くべき式である．クォークの質量をすべてゼロと置いた QCD の Lagrangian には，次元をもつパラメータが一つも入っていない（$g_s$ は無次元である）．それなのに，くりこみを行うと $\Lambda$ という質量スケールが必然的に現れる．これを次元転換（dimensional transmutation）と呼ぶ．

そして，これが我々の身の回りの質量の起源である．陽子の質量 $938$ MeV のうち，$u,d$ クォークの質量（それぞれ $\sim2$ MeV，$\sim5$ MeV，計 $\sim9$ MeV）が占めるのはわずか $1\%$ にすぎない．残りの $99\%$ は，$\Lambda_{\rm QCD}$ で決まる場のエネルギーである．Higgs 機構（第13章）はクォークやレプトンの質量を与えるが，我々の体重のほとんどは Higgs 由来ではなく QCD 由来なのである．

物理的意味：2つの顔をもつ理論

本節の冒頭で提起した矛盾に戻ろう．

• 深非弾性散乱（$Q^2\sim10\ \mathrm{GeV^2}$）では $\alpha_s\approx0.2$ と小さく，光子がクォークに当たっている短い時間（$\sim1/Q$）の間，クォークは自由に見える．だからパートン模型が成り立ち，Bjorken スケーリングが観測される．
• ハドロンのサイズのスケール（$Q\sim\Lambda_{\rm QCD}$）では $\alpha_s\gtrsim1$ となり，グルーオンの多重放出が効いて摂動論が破綻する．そこでは Cornell ポテンシャルの $\sigma r$ 項が支配し，クォークは閉じ込められる．

同じ理論の，違うスケールにおける振る舞いである．矛盾はどこにもない．むしろ，一つの理論が「近くでは自由・遠くでは閉じ込め」という2つの実験事実を同時に説明できることが，QCD が正しいことの最も強い状況証拠である．

材料科学の言葉に翻訳すれば，「同じ物質が，短距離では独立な原子のように振る舞い，長距離では強く相関する」という状況であり，これは Kondo 系や重い電子系で実際に起きていることそのものである（11.7 節）．

材料科学との接点：$\Lambda_{\rm QCD}$ と Kondo 温度 $T_K$ は同じ式である

希薄磁性不純物を含む金属を考える．伝導電子スピン $\bm{s}$ と不純物スピン $\bm{S}$ の交換相互作用を

と書く．Anderson の「poor man's scaling」（1970）は，バンド幅 $D$ を少しずつ切り落として有効相互作用にくりこむ操作を行い，次のスケーリング方程式を得た：

$\rho=N(\varepsilon_F)$ は Fermi 準位での状態密度である．QCD の式 \eqref{eq:11-rge}

とまったく同じ形である．どちらも「エネルギースケールを下げると結合が強くなる」を意味する．係数まで揃えたいなら Kondo 側も $\ln D^2$ で書けばよく，$\dd J/\dd\ln D^2=-\rho J^2$ となる．したがって対応する無次元結合は $\rho J\leftrightarrow\dfrac{\beta_0\alpha_s}{4\pi}$ であり（$\beta_0=9$ なら $\alpha_s=1.40\,\rho J$），後の表11.7 と演習11.7 (1) はこの対応で書かれている．

解も同じ形になる．式 \eqref{eq:11-kondo-rg} を積分すると

右辺がゼロになる（$J$ が発散する）スケールが Kondo 温度である：

指数関数の肩が「$-1/(\text{結合定数})$」である点まで同じである．この形は結合定数について非解析的で，$J_0=0$ のまわりで Taylor 展開できない．だからどれだけ高次まで摂動論を続けても $T_K$（や $\Lambda_{\rm QCD}$）は出てこない．「摂動論では原理的に到達できない量」が，くりこみ群を使うと出てくるのである．

対応表を作る．

いちばん美しい対応は「低エネルギーの基底状態」の行である．QCD の低エネルギー基底状態は色一重項で，Kondo 問題の基底状態はスピン一重項である．どちらも「高温／高エネルギーでは自由に振る舞う自由度が，低温／低エネルギーで一重項に束縛される」現象なのである．11.4 節で色一重項が最も引力の強いチャネルだったことを思い出せば，これが偶然でないことが分かる．

そして Wilson は，Kondo 問題を解くための数値くりこみ群と，QCD を解くための格子ゲージ理論を，同じ数年間に，同じ発想で作った人物である．物性と素粒子は，くりこみ群という一つの言語で結ばれている．

材料科学との接点：物質は常に遮蔽する，真空だけが反遮蔽できる

金属中の点電荷が作るポテンシャルは，Thomas–Fermi 近似で

である．誘電関数で書けば

Al では $k_F\approx1.75\ \mathrm{\AA^{-1}}$ なので $k_{\rm TF}=\sqrt{4k_F/(\pi a_0)}\approx2.1\ \mathrm{\AA^{-1}}$，すなわち遮蔽長 $1/k_{\rm TF}\approx0.5\ \mathrm{\AA}$ である．格子定数より短い．だから金属中でイオンの電荷はほとんど見えず，自由電子模型がうまくいく．

QCD ではこれが逆転する．$\varepsilon<1$，すなわち色荷は距離とともに増えて見える．なぜ物質中ではこれが起こらないのか．理由は 11.6.2 項で見たとおり，物質は静止系をもつので $\varepsilon$ と $\mu$ が独立に選べるからである．真空は Lorentz 不変で $\varepsilon\mu=1$ が課されるため，「常磁性なら必ず反遮蔽」という強い制約が働く．

ただし物質にも例外に見える現象がある．安定性の条件は正確には Kirzhnits の不等式 $\varepsilon^{-1}(\qq,0)\le1$ であって，$\varepsilon(\qq,0)>1$ に加えて $\varepsilon(\qq,0)<0$（過剰遮蔽，overscreening）も許される．実際，金属中でフォノンを介した有効電子間相互作用が引力になるのは，イオンの応答が電子を過剰に遮蔽するからである．BCS 超伝導はこの過剰遮蔽の産物である．「遮蔽が強すぎて符号が反転する」という点で，反遮蔽と近い雰囲気をもつ．

材料科学との接点：$J/\psi$ の融解と励起子の Mott 転移は同じ機構で理解できる

反遮蔽は真空の話だが，高温・高密度の QCD 物質（クォーク・グルーオンプラズマ，QGP）では通常の Debye 遮蔽が復活する．周囲に色荷をもつクォークとグルーオンが自由に動き回るので，色荷が遮蔽されるのである．遮蔽されたポテンシャルは

となり，Debye 半径 $r_D=1/m_D$ より大きい束縛状態は存在できなくなる．$J/\psi$（$c\bar c$）の半径は $\approx0.25$ fm なので，$r_D<0.25$ fm になる温度で $J/\psi$ は「融ける」．これが Matsui–Satz（1986）の予言した$J/\psi$ 抑制である．$J/\psi$ の収量が減ること自体は NA50・PHENIX・ALICE で確かに観測されている．ただし抑制のどこまでが色遮蔽による融解なのかには留保が要る．核吸収やパートン分布のシャドウイングといった「冷たい核物質効果」も収量を減らすし，LHC のエネルギーでは逆に $c\bar c$ の再結合（regeneration）が収量を戻す向きに働く．抑制の分解は現在も精密化が続いている．

これは半導体物理の励起子の Mott 転移と同じ機構——遮蔽が束縛状態を壊す——で理解できる（系も温度・密度のスケールもまったく違うので，「同じ現象」ではなく「同じ機構」である）．励起子（電子–正孔の束縛状態）は，キャリア密度 $n$ を上げていくと，遮蔽長が Bohr 半径 $a_B$ より短くなった時点で解離する．Mott 条件は

である．半導体レーザーで注入密度を上げると励起子が消えて電子正孔プラズマになるのも，重イオン衝突で温度を上げると $J/\psi$ が消えてクォーク・グルーオンプラズマになるのも，遮蔽が束縛状態を壊すという同じ機構による．

「新しい相の発見」を主張するとき，どちらの分野でも同じことをしている——束縛状態が消えたことを分光で示す．

材料科学との接点：格子 QCD と DFT は方法論的に同じ営みである

$\alpha_s\gtrsim1$ の領域では摂動論が使えない．そこで Wilson（1974）が導入したのが格子ゲージ理論である．時空を格子間隔 $a$ の4次元格子に離散化し，経路積分を有限次元の積分に落として数値評価する．

この手続きは，第一原理電子状態計算（DFT）でやっていることと，驚くほどよく対応する．

とりわけ本質的なのは，Wick 回転である．時間を虚数にする置き換え $t\to-\ii\tau$ を行うと，経路積分の重み $\ee^{\ii S}$（振動して収束しない）が $\ee^{-S_E}$（正の実数）になる．すると

は，4次元の古典統計力学の分配関数と数学的に同一になり，Metropolis 法や Hybrid Monte Carlo をそのまま適用できる．「場の量子論＝4次元の統計力学」という等価性が，格子計算を可能にしている．

材料科学者にとって，この虚時間経路積分は他人事ではない．核の量子効果を扱う経路積分分子動力学（PIMD）で，1個の原子核を $P$ 個のビーズからなる環状ポリマーに置き換えるあの操作は，虚時間 $\tau\in[0,\beta\hbar]$ を $P$ 分割する離散化にほかならない．格子 QCD の $a\to0$ 外挿と，PIMD の $P\to\infty$ 外挿は，同じ極限操作である．軽元素を含む材料（水素貯蔵材料，プロトン伝導体）や，負熱膨張のように非調和性が本質的な系で PIMD を使ったことのある読者は，すでに格子場の理論の道具を使っていたことになる．

さらに，両分野は同じ困難も共有している．有限バリオン密度の QCD（中性子星の内部）では $\ee^{-S_E}$ が複素数になって重みとして使えない——符号問題である．これは Hubbard 模型のドープ領域における量子モンテカルロの符号問題と，どちらもフェルミオン行列式が複素になることに起因するという点で同じ構造をもつ．ただし符号問題は一般には NP 困難であることが示されており（Troyer–Wiese, 2005），一方の解法が他方にそのまま移るわけではない．実際には，複素 Langevin 法・Lefschetz thimble・テンソルネットワークといった一方で開発された手法が，他方でも試みられているという段階である．

そして最後に，格子 QCD の成果を挙げておく．格子間隔 $a$ を決めるための1つのハドロン質量と，$u=d,s,c$ のクォーク質量——合わせて $4$–$5$ 個の入力だけから，陽子・中性子・$\pi$・$K$ など主要ハドロンの質量が数 % の精度で再現される．入力に「陽子の質量」は含まれていない（$\alpha_s$ も入力ではない．むしろ逆に，格子計算は $\alpha_s$ を決める側である）．これは，原子番号だけから格子定数と弾性定数を出す第一原理計算と，同じ種類の成功である．どちらの分野でも，計算機が「実験をせずに物質を知る」道具になったのは，くりこみ群と離散化という同じ二つの発明のおかげである．