第5章対称性・群・保存則

例1：空間並進 $\to$ 運動量保存

自由粒子 $L=\frac{1}{2}m\dot q^2$（あるいは $q$ に依らないポテンシャル）を考える．変換は $q\to q+\varepsilon$，つまり $K=1$，$\dot K=0$ である．このとき $\delta L = \varepsilon\,\partial L/\partial q = 0$（$L$ が $q$ を含まないから）で，確かに不変である．保存量は

すなわち運動量である．「空間のどこでも物理法則が同じ」ということと「運動量が保存する」ということが，同じ事実の二つの言い方だと分かる．

例2：空間回転 $\to$ 角運動量保存

2次元中心力場 $L=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2)-V(\sqrt{x^2+y^2})$ を考える．$z$ 軸まわりの微小回転は

である（回転行列 $\begin{pmatrix}\cos\varepsilon&-\sin\varepsilon\\ \sin\varepsilon&\cos\varepsilon\end{pmatrix}$ を $\varepsilon$ の1次まで展開したもの）．運動エネルギーは $\dot x^2+\dot y^2$ の形なので回転で不変，ポテンシャルも $x^2+y^2$ にしか依らないので不変．よって $\delta L=0$．保存量は多自由度版の式から

すなわち角運動量の $z$ 成分である．中心力場で角運動量が保存するのは，力が中心を向いているからではなく，ポテンシャルが回転で不変だからである．

例3：時間並進 $\to$ エネルギー保存

これだけは少し形が違う．時間をずらす変換 $t\to t+\varepsilon$ は座標だけでなく時刻そのものを動かすので，上の枠組みを直接は使えない．かわりに直接計算する．$L$ が $t$ を陽に含まないとき（$\partial L/\partial t=0$），

（2つ目の等号で Euler–Lagrange 方程式を使った．）移項すれば

$H$ は Hamiltonian，すなわちエネルギーである．「昨日実験しても今日実験しても同じ結果になる」ことと「エネルギーが保存する」ことが同値なのである．

例：$\Delta(1232)$ 共鳴における $\pi^+p$ と $\pi^-p$ の断面積比

入射 $\pi$ の運動エネルギーが $T_\pi\simeq 190\ \mathrm{MeV}$（重心系エネルギー $\sqrt s\simeq1232\ \mathrm{MeV}$）のとき，$\pi N$ 系は $\Delta(1232)$ という共鳴状態を作る．$\Delta$ は $I=3/2$ の四重項なので，このエネルギーでは $A_{3/2}$ が共鳴的に増大し，$\abs{A_{3/2}}\gg\abs{A_{1/2}}$ となる．そこで $A_{1/2}\to0$ と近似する．

(1) 弾性散乱 $\pi^+p\to\pi^+p$．$\ket{\pi^+p}=\ket{\frac32,\frac32}$ は純粋な $I=3/2$ 状態なので

(2) 弾性散乱 $\pi^-p\to\pi^-p$．式 \eqref{eq:5-pi-minus-p} を始状態にも終状態にも使い，$I=3/2$ 成分だけを拾う：

(3) 電荷交換 $\pi^-p\to\pi^0n$．始状態の $I=3/2$ 成分は $\sqrt{1/3}$，終状態の $I=3/2$ 成分は $\sqrt{2/3}$ だから

結論．共鳴のピークにおいて

とくに弾性散乱どうしの比が $9:1$ である．全断面積（弾性＋電荷交換）で比べると

という，実験で直接確かめられる予言が得られる．$A_{3/2}$ の値はまったく知らないのに，比だけは決まってしまう．これが対称性の威力である．

例：$\Omega^-$ の質量予言 —— 対称性が新粒子を当てた瞬間

1962 年，十重項のうち $\Omega^-$ だけが未発見であった．十重項の質量は $Y$ が 1 下がるごとにほぼ一定量ずつ増える．実測値から間隔を測ると（以下は現在の質量値で予言を再現した計算である．1962 年当時の値 $\Delta\simeq1238$，$\Sigma^*\simeq1385$，$\Xi^*\simeq1530\ \mathrm{MeV}$ から Gell-Mann が出した予言は約 $1685\ \mathrm{MeV}$ であった）

なので，等間隔則から

と予言される．さらに，ストレンジネスを保存する最も軽い終状態は $\Xi\bar K$ であり，その閾値 $m_{\Xi^0}+m_{K^-}=1314.9+493.7\simeq1809\ \mathrm{MeV}$ が $m_\Omega$ を上回るため，$\Omega^-$ は強い相互作用では崩壊できず弱崩壊しかできない（したがって寿命が長く，泡箱で飛跡が見える）ことも同時に予言された．1964 年，ブルックヘブンの泡箱で $\Omega^-$ が発見され，八重道は決定的に確立した（発見論文が1事象から報告した質量は $1686\pm12\ \mathrm{MeV}$ で，寿命は下限の推定にとどまる．現在の値は $m=1672.45\ \mathrm{MeV}$，$\tau=0.82\times10^{-10}\ \mathrm{s}$ である）．予言 $1681\ \mathrm{MeV}$ と現在の実測値との差は $0.5\%$ である．

八重項については $Y$ の1次だけでなく $I(I+1)-Y^2/4$ の項が要る．そこから導かれる Gell-Mann–大久保の質量公式

を実測値で検算する．ここで $m_N,m_\Xi,m_\Sigma$ は各アイソスピン多重項の平均質量であって個々の荷電状態の質量ではない（表5.4 から $m_N=(938.272+939.565)/2=938.9$，$m_\Xi=(1314.86+1321.71)/2=1318.3$，$m_\Sigma=(1189.37+1192.64+1197.45)/3=1193.2\ \mathrm{MeV}$．図5.7(a) に併記した $\Sigma^0$ の $1192.6$ を単独で代入すると値がわずかに変わる）．すると左辺 $=(938.9+1318.3)/2=1128.6\ \mathrm{MeV}$，右辺 $=(3\times1115.7+1193.2)/4=1135.1\ \mathrm{MeV}$．$0.6\%$ の一致である．

演習5.1　$\mathrm{SU}(2)$ が群であること，生成子の数え上げ

(1) $U_1,U_2\in\mathrm{SU}(2)$ のとき $U_1U_2\in\mathrm{SU}(2)$ であること（閉性），および $U^{-1}=U^\dagger\in\mathrm{SU}(2)$ であること（逆元）を示せ．

(2) $\mathrm{SU}(N)$ の生成子の個数が $N^2-1$ 個であることを，$N\times N$ 複素行列のパラメータ数から数え上げよ．$N=2,3$ でそれぞれ 3, 8 になることを確かめよ．

(3) $\mathrm{SU}(2)$ の一般元は，実数 $a,b,c,d$（$a^2+b^2+c^2+d^2=1$）を用いて $U=a\,\mathbb{1}-\ii(b\sigma_1+c\sigma_2+d\sigma_3)$ と書けることを示せ．この表示から，$\mathrm{SU}(2)$ の多様体が4次元空間の単位球面 $S^3$ であることを説明せよ．

ヒント：(1) $\det(U_1U_2)=\det U_1\det U_2=1$，$(U_1U_2)^\dagger(U_1U_2)=U_2^\dagger U_1^\dagger U_1U_2=\mathbb{1}$．(2) 複素成分 $N^2$ 個 $\Rightarrow$ 実 $2N^2$ 個．ユニタリ条件は Hermite 行列の等式で実 $N^2$ 個，$\det=1$ が 1 個．$2N^2-N^2-1=N^2-1$．(3) 式 \eqref{eq:5-rotation-explicit} で $a=\cos(\theta/2)$，$(b,c,d)=\bm{n}\sin(\theta/2)$．$S^3$ が単連結であることが「$\mathrm{SU}(2)$ が $\mathrm{SO}(3)$ の普遍被覆」であることの幾何的な意味である．

演習5.2　Noether の定理を使う

(1) 一様重力場中の質点 $L=\frac12 m\dot z^2 - mgz$ を考える．$z\to z+\varepsilon$ という並進で $L$ はどう変わるか．運動量 $p_z$ は保存するか．一方で $x$ 方向の並進についてはどうか．

(2) 2次元の等方調和振動子 $L=\frac12 m(\dot x^2+\dot y^2)-\frac12 m\omega^2(x^2+y^2)$ について，$z$ 軸まわりの回転不変性から $L_z=xp_y-yp_x$ が保存することを，式 \eqref{eq:5-noether} を使って確かめよ．

(3) 複素場 $\psi$ に対する Lagrangian（Schrödinger 場）

が $\psi\to\ee^{\ii\alpha}\psi$（$\alpha$ は定数）で不変であることを示し，対応する保存量が $\int\abs{\psi}^2\dd^3x$（粒子数，あるいは電荷）であることを示せ．

ヒント：(1) $z$ 並進では $\delta L=-mg\varepsilon\ne0$ なので $p_z$ は保存しない（重力が対称性を破っている）．ただし $\delta L$ は全微分 $\varepsilon\,\dd(-mgt)/\dd t$ の形をしているので，5.1.3節の補足の一般形 $I=(\partial L/\partial\dot q)K-\Lambda$ を使えば $p_z+mgt$ が保存量になる（$\dot p_z=-mg$ と整合）．$x$ 並進では $\delta L=0$ で $p_x$ は保存．(3) $\delta\psi=\ii\varepsilon\psi$，$\delta\psi^*=-\ii\varepsilon\psi^*$．場の理論版の Noether カレントは $j^0=(\partial\Lag/\partial\dot\psi)(\ii\psi)+(\partial\Lag/\partial\dot\psi^*)(-\ii\psi^*)=(\ii\psi^*)(\ii\psi)+0=-\abs{\psi}^2$ に比例する（$\Lag$ は $\dot\psi^*$ を含まないので第2項は零である）．

演習5.3　Pauli 行列と回転行列

(1) 式 \eqref{eq:5-pauli-product} を使って $(\bm{a}\cdot\bm{\sigma})(\bm{b}\cdot\bm{\sigma})=(\bm{a}\cdot\bm{b})\mathbb{1}+\ii(\bm{a}\times\bm{b})\cdot\bm{\sigma}$ を示せ．

(2) $U=\exp(-\ii\theta\sigma_3/2)$ を明示的に $2\times2$ 行列として書き，$\theta=\pi,\,2\pi,\,4\pi$ での値を求めよ．

(3) $U\sigma_1U^\dagger = \cos\theta\,\sigma_1+\sin\theta\,\sigma_2$ を示し，これがベクトル $\hat{\bm{x}}$ の $z$ 軸まわり角 $\theta$ の回転に対応することを確かめよ．$U$ の中の角度は $\theta/2$ なのに，ベクトルは $\theta$ 回ることに注意せよ．

(4) スピン $1/2$ の状態 $\ket{\uparrow}$ を $y$ 軸まわりに $\theta$ 回転させた状態を求め，$z$ 方向のスピンを測って上向きが得られる確率が $\cos^2(\theta/2)$ であることを示せ．

ヒント：(2) $U=\mathrm{diag}(\ee^{-\ii\theta/2},\ee^{\ii\theta/2})$．$\theta=\pi$ で $\mathrm{diag}(\ee^{-\ii\pi/2},\ee^{\ii\pi/2})=\mathrm{diag}(-\ii,\ii)$，$\theta=2\pi$ で $-\mathbb{1}$，$\theta=4\pi$ で $+\mathbb{1}$．(3) 行列成分を直接計算すると非対角成分が $\ee^{\mp\ii\theta}$ になる．(4) $U(\hat{\bm{y}},\theta)\ket{\uparrow}=\cos\frac\theta2\ket{\uparrow}+\sin\frac\theta2\ket{\downarrow}$．これは Stern–Gerlach 実験の角度依存性そのものである．

演習5.4　CG 係数を自分で作る（$1\otimes1=2\oplus1\oplus0$）

スピン1の粒子2個を合成する．次元の勘定は $3\times3=9=5+3+1$ である．

(1) 最高ウェイト状態 $\ket{2,2}=\ket{1,1}\ket{1,1}$ から出発し，$J_-=J_-^{(1)}+J_-^{(2)}$ を1回作用させて $\ket{2,1}$ を求めよ．

(2) $m=1$ の空間は2次元である．(1) で得た $\ket{2,1}$ に直交する規格化状態を作り，それが $\ket{1,1}_{\text{tot}}$（合成スピン $J=1$ の最高ウェイト）であることを $J_+$ を当てて確かめよ．

(3) $m=0$ の空間は3次元である．$\ket{2,0}$ と $\ket{1,0}_{\text{tot}}$ を降下演算子で求め，両者に直交する状態として $\ket{0,0}$ を構成せよ．

(4) $J=2$（対称），$J=1$（反対称），$J=0$（対称）という交換対称性のパターンを確認せよ．

ヒント：(1) $\ket{2,1}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{1,1}\ket{1,0}+\ket{1,0}\ket{1,1})$．(2) $\ket{1,1}_{\text{tot}}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{1,1}\ket{1,0}-\ket{1,0}\ket{1,1})$．(3) $\ket{0,0}=\frac{1}{\sqrt3}\left(\ket{1,1}\ket{1,-1}-\ket{1,0}\ket{1,0}+\ket{1,-1}\ket{1,1}\right)$．この $\ket{0,0}$ が2つのベクトルの内積 $\bm{a}\cdot\bm{b}$ に対応する不変量である．

演習5.5　アイソスピンによる断面積比の予言

重陽子 $d$ はアイソスピン一重項（$I=0$），$\pi$ は $I=1$，核子は $I=1/2$ である．

(1) $\ket{pp}$ と $\ket{nn}$ はそれぞれ $\ket{I,I_3}$ のどれか．また $\ket{pn}$ を $\ket{1,0}$ と $\ket{0,0}$ で展開せよ．

(2) 反応 $pp\to d\pi^+$ と $np\to d\pi^0$ について，遷移行列要素をアイソスピン振幅 $A_1$（$I=1$ の振幅）で表せ．

(3) $\abs{\mathcal{M}(pp\to d\pi^+)}^2 / \abs{\mathcal{M}(np\to d\pi^0)}^2 = 2$ を示せ．

(4) $\Delta^0$ の崩壊分岐比 $\Gamma(\Delta^0\to n\pi^0)/\Gamma(\Delta^0\to p\pi^-)$ を，5.4.3節で作った CG 係数を使って求めよ．

ヒント：(1) $\ket{pp}=\ket{1,1}$，$\ket{nn}=\ket{1,-1}$，$\ket{pn}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{1,0}+\ket{0,0})$．(2) 終状態 $d\pi^+$ は $I=1,I_3=1$，$d\pi^0$ は $I=1,I_3=0$．$\mathcal{M}(pp\to d\pi^+)=A_1$，$\mathcal{M}(np\to d\pi^0)=\frac{1}{\sqrt2}A_1$．(4) $\ket{\Delta^0}=\ket{\frac32,-\frac12}=\sqrt{\frac13}\ket{\pi^-p}+\sqrt{\frac23}\ket{\pi^0n}$ より比は $2$．$\Delta^+$ の場合（式 \eqref{eq:5-delta-branching}）と同じ値になる．

演習5.6　$\mathrm{SU}(3)$ のウェイト図と $\Omega^-$

(1) $(I_3,Y)$ 平面に $u,d,s$ の3点を打ち（表5.6），それらを結ぶと正三角形になることを確かめよ．同様に $\bar u,\bar d,\bar s$ を打ち，上下反転した三角形になることを示せ．

(2) $\bm{3}\otimes\bar{\bm{3}}$ の $9$ 個のウェイトを，$q$ のウェイトと $\bar q$ のウェイトの和としてすべて書き出せ．原点 $(0,0)$ が3重に現れることを確かめ，$\bm{8}\oplus\bm{1}$ という分解と整合することを説明せよ．

(3) 十重項の等間隔則を用いて $\Omega^-$ の質量を予言し，実測値 $1672.45\ \mathrm{MeV}$ と比べよ．

(4) Gell-Mann–西島の関係 \eqref{eq:5-gellmann-nishijima} を用いて，$\Omega^-$（$I=0$, $B=1$, $S=-3$）の電荷が $-1$ であることを確かめよ．また $\Delta^{++}$（$I_3=+3/2$, $B=1$, $S=0$）の電荷が $+2$ であることも確かめよ．

ヒント：(2) 原点は $u\bar u,d\bar d,s\bar s$ の3つ．うち2つが八重項（$\pi^0,\eta_8$），1つが一重項（$\eta_1$）になる．(3) $m_\Omega\simeq m_{\Xi^*}+(m_{\Xi^*}-m_{\Sigma^*})=1533+148=1681\ \mathrm{MeV}$．誤差 $0.5\%$．(4) $\Omega^-$：$Y=B+S=1-3=-2$，$Q=0+(-2)/2=-1$．$\Delta^{++}$：$Y=1$，$Q=3/2+1/2=2$．

演習5.7　結晶点群での既約分解 —— $\mathrm{NH_3}$ の振動モード

$\mathrm{NH_3}$ は三角錐型で点群 $C_{3v}=\{E,\,2C_3,\,3\sigma_v\}$（位数 6）に属する．指標表は $A_1=(1,1,1)$，$A_2=(1,1,-1)$，$E=(2,-1,0)$．並進は $z\to A_1$，$(x,y)\to E$，回転は $R_z\to A_2$，$(R_x,R_y)\to E$ である．

(1) 各操作で動かない原子の数を数え，$\chi_{\text{total}}=(12,\,0,\,2)$ を導け．

(2) 簡約公式 \eqref{eq:5-reduction} を使って $\Gamma_{\text{total}}$ を既約分解せよ．

(3) 並進と回転を差し引いて $\Gamma_{\text{vib}}$ を求め，次元が $3N-6=6$ になることを確かめよ．

(4) 赤外活性・Raman 活性なモードをそれぞれ挙げよ．また，5.4.3節で行った $\pi N$ 散乱の断面積比の計算と，この計算のどこが同じでどこが違うかを2〜3行で述べよ．

ヒント：(1) $E$ で4原子，$C_3$ で N のみ（1個），$\sigma_v$ で N と1個の H（2個）．$\chi_{\text{vec}}(E)=3$，$\chi_{\text{vec}}(C_3)=1+2\cos120^\circ=0$，$\chi_{\text{vec}}(\sigma)=1$．(2) $n_{A_1}=\frac16(12+0+6)=3$，$n_{A_2}=\frac16(12+0-6)=1$，$n_E=\frac16(24+0+0)=4$．よって $\Gamma_{\text{total}}=3A_1\oplus A_2\oplus 4E$．(3) $\Gamma_{\text{vib}}=2A_1\oplus2E$（次元 $2+4=6$）．(4) $A_1$ は $z$ と $z^2$ を，$E$ は $(x,y)$ と $(xz,yz)$ を含むので全モードが赤外・Raman ともに活性．

演習5.8　二重群と光スピン注入（GaAs）

GaAs の $\Gamma$ 点では，価電子帯が $\Gamma_8$（$j=3/2$，4重）と $\Gamma_7$（$j=1/2$，2重，$\Delta_{\mathrm{SO}}=341\ \mathrm{meV}$ 下），伝導帯が $\Gamma_6$（$j=1/2$，2重）である．

(1) $p$ 的な軌道（$\ell=1$）にスピン $1/2$ を合成すると $j=3/2$ と $j=1/2$ が出ることを，式 \eqref{eq:5-cg-decomposition} で確かめよ．状態数が $3\times2=4+2$ で合うことも確かめよ．

(2) 光子エネルギーを $E_g < \hbar\omega < E_g+\Delta_{\mathrm{SO}}$ に取ると，$\Gamma_7$ からの励起は起こらない．なぜか．

(3) $\sigma^+$ 円偏光（$\Delta m_j=+1$）で $\Gamma_8\to\Gamma_6$ の遷移を起こすとき，$m_j=-3/2\to-1/2$ と $m_j=-1/2\to+1/2$ の2つの経路がある．Wigner–Eckart の定理により両者の遷移確率の比は $3:1$ である．生成される伝導電子のスピン偏極度

を求めよ．

(4) $\Delta_{\mathrm{SO}}$ が十分小さい物質（たとえば Si，$44\ \mathrm{meV}$）では，この $50\%$ という上限がどう変わるかを定性的に論ぜよ．

ヒント：(1) $1\otimes\frac12=\frac32\oplus\frac12$，$3\times2=6=4+2$．(2) $\hbar\omega$ が $\Gamma_7$ の束縛エネルギー分だけ足りないから．(3) $P=(3-1)/(3+1)=+0.5$，すなわち偏極度 $50\%$．これが光スピン注入の理論上限であり，$\Gamma_8$ の内部構造（$j=3/2$ という既約表現の次元 4）が直接の起源である．(4) $\Gamma_7$ からの励起が同時に起きると逆向きスピンが混ざり，偏極度は $50\%$ より小さくなる．重い元素ほど $\Delta_{\mathrm{SO}}$ が大きく有利である．