フーリエ級数とフーリエ変換

― 三角関数はなぜ「直交基底」なのか，そして微分方程式がなぜ割り算で解けるのか（学部 1 年生向け）

フーリエ級数は，物理でいちばんよく使う道具のひとつです．第一原理計算では波動関数を平面波（＝三角関数）で展開しますし，熱伝導方程式や波動方程式は，解を波の重ね合わせで書くことで解けてしまいます．ところが講義では「係数はこう」という公式だけが天下り式に出てきて， なぜそれで係数が取り出せるのかが置き去りになりがちです．

この文書はベクトルの内積から始めます．高校で習った $\vec{a} \cdot \vec{b}$ が分かっていれば，最後の Thomas–Fermi 遮蔽まで，途中でつまずくところはひとつもありません．

この文書のあらすじ ① ベクトルの成分は，基底との内積を取れば出てくる．他の成分は「直交しているから」勝手に消える．
② 関数どうしにも内積

⟨ f, g ⟩ = \int f g d x

を決めてやる．
③ すると，波数のちがう三角関数はたがいに直交していた．だから同じ手口で係数が取り出せる．
④ 微分は

i k

を掛けるだけになる．だから微分方程式は割り算で解ける．
⑤ その実例が Thomas–Fermi 遮蔽．

1. まず，ベクトルの成分の取り出し方

3 次元の単位ベクトル $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ を考えます．これらは

(1)

e_{i} \cdot e_{j} = {\begin{array}{l} 1 (i = j) \\ 0 (i ≠ j) \end{array}}

という性質を持っています．これを正規直交といいます．「正規」は長さが 1，「直交」はたがいに 90°，という意味です．さて，あるベクトルを $v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + v_{3} e_{3}$ と書いたとき， 第 1 成分 $v_{1}$ だけを取り出したいとします．どうしますか．

$e_{1}$ との内積を取ればよいのでした．

(2)

v \cdot e_{1} = v_{1} \underset{e_{1} \cdot e_{1} = 1}{⏟} + v_{2} \underset{e_{2} \cdot e_{1} = 0}{⏟} + v_{3} \underset{e_{3} \cdot e_{1} = 0}{⏟} = v_{1}

これがすべての出発点です 直交しているおかげで，欲しい成分だけが生き残り，他は全部 0 になって消えます． 「基底で展開する」ことに意味があるのは，この一点にかかっています．

フーリエ級数がやっているのは，これと 1 ミリも違わないことです．違うのは「ベクトル」が「関数」に，「内積」が「積分」に変わるだけ．以下，それを 1 段ずつ確かめます．

2. 関数どうしの「内積」を決める

ベクトルの内積は「成分どうしを掛けて，全部足す」でした．

(3)

\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i = 1}^{N} a_{i} b_{i}

では関数はどうでしょう．区間 $[a, b]$ を N 等分して，各点での値を並べてみます． $f \to (f (x_{1}), f (x_{2}), \dots)$ ―― これは N 次元のベクトルそのものです．だから内積は $\sum_{i} f (x_{i}) g (x_{i})$ ．ここで N → ∞ とするのですが，このまま足していくと項の数がいくらでも増えてしまいます．そこで刻み幅 $Δ x = \frac{b - a}{N}$ を掛けてから極限を取ります．これが区分求積法で， $\sum_{i} f (x_{i}) g (x_{i}) Δ x$ は積分に化けて

(4)

⟨ f (x), g (x) ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x

これが関数の内積です（講義ノート (6)）．長さ（ノルム）も，ベクトルとまったく同じように決めます．

(5)

‖ f (x) ‖ = \sqrt{⟨ f, f ⟩} = \sqrt{\int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x}

関数はベクトルですここが最初の山ですが，言っていることは単純です． 関数を「各点の値を並べた，成分が無限個あるベクトル」だと思う．そう思えば，内積も長さも角度も，全部そのまま持ち込めます．講義ノートの「内積とノルムって，ベクトルと似ている！」は，まさにこのことです．

ついでに Schwarz の不等式

| ⟨ f, g ⟩ | \leq ‖ f ‖ ‖ g ‖

も，ベクトルの

| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |

がそのまま移ったものです．

3. 三角関数どうしの内積を，実際に計算する

区間は $- π < x \leq π$ に取ります．講義ノート (1)〜(5) の計算を，ひとつずつたどりましょう． 使う道具は，積を和に直す公式と半角の公式だけです．

(a) 1 本だけの積分

(6)

\int_{- π}^{π} \sin m x d x = {- \frac{1}{m} \cos m x} |_{x = - π}^{x = π} = - \frac{1}{m} \cos m π + \frac{1}{m} \cos m π = 0

$\cos (- m π) = \cos m π$ を使っただけです．同じように $\int_{- π}^{π} \cos m x d x = 0$ （ $m \neq 0$ のとき）． 波は上と下で同じだけ振れるので，1 周期ぶん足すと 0 になる ―― それだけのことです．

(b) sin と cos の積

積を和に直す公式 $\sin m x \cos n x = \frac{1}{2} {\sin (m + n) x + \sin (m - n) x}$ を使えば，右辺はどちらも (a) の形なので

(7)

\int_{- π}^{π} \sin m x \cos n x d x = 0 （m, n がどんな整数でも）

もっと速い見方

\sin m x

は奇関数，

\cos n x

は偶関数． 奇 × 偶 = 奇ですから，原点について対称な区間で積分すれば必ず 0 です．講義ノートの「別証」がこれです．計算しなくても分かります．

(c) cos どうし，sin どうしの積

ここだけ， $m = n$ かどうかで話が変わります．まず $m \neq n$ のとき．積を和に直すと $\cos m x \cos n x = \frac{1}{2} {\cos (m + n) x + \cos (m - n) x}$ ． $m \pm n$ はどちらも 0 でない整数なので，(a) からどちらも 0．

ところが $m = n$ だと， $m - n = 0$ になって $\cos 0 = 1$ ―― 0 になりません．半角の公式で書けば

(8)

\int_{- π}^{π} \cos^{2} m x d x = \int_{- π}^{π} \frac{1 + \cos 2 m x}{2} d x

= \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} 1 d x + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos 2 m x d x \underset{= 0（(a) より）}{⏟} = \frac{1}{2} \cdot 2 π = π

$\sin m x$ についても， $\sin^{2} m x = \frac{1 - \cos 2 m x}{2}$ でまったく同じ．まとめると:

(9)

\int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x = {\begin{array}{l} π (m = n ≠ 0) \\ 0 (m ≠ n) \end{array}}

\int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x = {\begin{array}{l} π (m = n ≠ 0) \\ 0 (m ≠ n) \end{array}}

(1) の

e_{i} \cdot e_{j}

と，見比べてください 形がまったく同じです． ちがうのは，内積が 0 でないときの値が 1 ではなく π だという点だけ．つまり三角関数は「長さが

\sqrt{π}

の直交基底」だったのです．

なお

m = 0

のときは

\cos 0 = 1

で，

\int_{- π}^{π} 1 \cdot 1 d x = 2 π

． この 1 本だけ長さが

\sqrt{2 π}

で，他と違います．あとで

a_{0}

だけ 1/2π になるのは，これが理由です．（

\sin 0 = 0

は中身が空なので，基底には数えません．）

4. だから，三角関数は直交基底

講義ノート (8) の例をそのまま見ましょう．

(10)

y = \sum_{k = 1}^{3} \frac{\sin (2 k - 1) x}{2 k - 1} = \sin x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{5} \sin 5 x

(9) から，この 3 本はたがいに直交しています．

	⟨·, sin x⟩	⟨·, sin 3x⟩	⟨·, sin 5x⟩
sin x	π	0	0
sin 3x	0	π	0
sin 5x	0	0	π

ですから，この 3 本を軸だと思えば $e_{1} = \sin x, e_{2} = \sin 3 x, e_{3} = \sin 5 x$ ， $y = e_{1} + \frac{1}{3} e_{2} + \frac{1}{5} e_{3}$ ．これは3 次元ベクトル $Y = [1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}]$ とまったく同じ構造です．講義ノートの図 1.1 が描いていたのは，これです．

波数がちがえば，直交している 波数のちがう三角関数は，たがいに 90° を向いている． だから足し合わせても混ざらず，あとから 1 本ずつ取り出せます．ちがうのは，軸が無限本あるということだけ ――

\sin x

，

\sin 2 x

，

\sin 3 x

，… と，いくらでも続きます． 無限次元の直交座標系を張っているわけです．

5. 係数の取り出し方 ―― (2) と同じ手口

ここまで来れば，あとは一本道です．周期 2π の関数を

(11)

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)

と書けたとします． $a_{m}$ だけを取り出したい． (2) と同じで， $\cos m x$ との内積を取ります．つまり両辺に $\cos m x$ を掛けて，−π から π まで積分します．

(12)

\int_{- π}^{π} f (x) \cos m x d x = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} \int_{- π}^{π} \cos k x \cos m x d x + \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k} \int_{- π}^{π} \sin k x \cos m x d x

= a_{m} \cdot π + 0 = π a_{m}

第 2 項は (7) からいつでも 0（ここは $m \geq 1$ とします． $m = 0$ は基底の長さだけが違うので，すぐ下で別に書きます）．第 1 項も (9) から $k = m$ の 1 つだけを残して全部 0． ほしい成分だけが生き残りました．だから

(13)

a_{m} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos m x d x b_{m} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin m x d x

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) d x

a_{0}

だけ 1/2π なのは，なぜか

k = 0

の基底は

\cos 0 x = 1

という「平らな関数」．その長さの 2 乗は

\int_{- π}^{π} 1 \cdot 1 d x = 2 π

で，他の基底の π ではなく2πです．割る数がその長さの 2 乗ですから，

a_{0}

だけ 1/2π になります． 特別なルールではなく，この 1 本だけ長さが違うというだけのことです．

ちなみに

a_{0}

は

f (x)

の平均の高さそのものです．教科書によっては

a_{0} / 2

と書きますが，中身は同じです．

図 1：係数が「取り出される」ところ． 上は f(x) と cos mx（または sin mx），下はその積です． 積の面積（緑と赤の差し引き）が，そのまま π a_m（sin を選べば π b_m，m = 0 のときは 2π a₀）になります． m を動かしてみてください．ほとんどの m では緑と赤が打ち消して 0 になり，中身のある m でだけ値が残ります ―― これが (12) の計算そのものです．

どの関数か波数 m = 1 かける相手

6. a_k, b_k は「波の本数」ごとの重み

$\cos k x$ は， $0 \leq x < 2 π$ のあいだにちょうど k 回振動する波です．波長でいえば $λ = \frac{2 π}{k}$ ．

k	2π のあいだの波の本数	波長 λ	担当する構造
0	0（平ら）	—	f の平均の高さ
1	1 本	2π	いちばん大まかな形
2	2 本	π	左右の非対称など
10	10 本	π/5	細かい起伏
100	100 本	π/50	角・跳びのようなごく細かい構造

だから「スペクトル」を見れば，関数の性格が分かります k が大きい係数まで大きいまま残っている関数は，細かい構造を持っている． 逆に，なめらかな関数は k が大きくなるとすぐ係数が小さくなります．

実際，係数の落ち方はなめらかさで決まります．跳びがあると

a_{k} \sim 1 / k

， 折れ目（1 階微分が跳ぶ）だと

a_{k} \sim 1 / k^{2}

，何度でも微分できる関数なら，どんな冪よりも速く（解析的な関数なら指数関数的に）落ちます．シミュレーターのタブ ① で，矩形波（跳び）と三角波（折れ目）のスペクトルを見比べてみてください．

跳びのそばだけは，いつまでも直りません ―― Gibbs 現象ただし，係数が小さくなっていくことと，足した波がきれいに重なることとは別の話です．矩形波やのこぎり波のように跳びのある関数では， N をどれだけ増やしても，跳びのすぐそばに行きすぎが残ります．行きすぎる幅は N とともに狭くなっていくのに， 高さは跳びの約 8.95 % のまま減りません．これが Gibbs 現象です．

部分和は，跳びの点をのぞけばどの点でも

f (x)

に近づいています（各点収束）．それでも行きすぎが消えないのは，近づき方が場所によってそろわないから ―― つまり一様収束ではないからです．シミュレーターのタブ ① で矩形波を選び，N を 10 → 30 → 60 と上げながら，跳びのきわだけを見ていてください．山は細くなるのに，背は縮みません．

第一原理計算の「カットオフエネルギー」平面波基底の計算では，波動関数を

e^{i k \cdot r}

の重ね合わせで表し，

\frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 m} < E_{cut}

までの波数を使います． カットオフを上げる＝細かい波まで使うということ．原子核のすぐそばで波動関数が急に変わるので，そこを表すには細かい波が要るのです．擬ポテンシャル（pseudopotential）が「核のそばをなめらかにならす」道具なのは， 係数の落ち方を速くして，必要な波の本数を減らすためです．

分けても「長さ」は失われません ―― Parseval の等式直交する軸に分けただけですから，(5) で決めた長さは係数の側でも数えられます．

⟨ f, f ⟩ = 2 π a_{0}^{2} + π \sum_{k \geq 1} (a_{k}^{2} + b_{k}^{2})

―― これが Parseval の等式です．3 次元で

{| v |}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}

だったのと，まったく同じことです．

π

と

2 π

の違いは，(9) で見た基底の長さの違いそのもの．

係数の 2 乗が，そのモードの「取り分」だと読めます．シミュレーターのタブ ① には「Parseval の和」と「‖f‖²（本当の値）」が並べて出ているので， N を増やすと前者が後者に近づいていくのを数字で追えます．

7. 周期 2L へ，そして複素形へ

周期が 2π でなく 2L のときは， $t = \frac{π}{L} x$ と置き換えるだけです（講義ノート (12)）．

(14)

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k} \cos \frac{k π}{L} x + b_{k} \sin \frac{k π}{L} x)

a_{k} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) \cos \frac{k π}{L} x d x b_{k} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) \sin \frac{k π}{L} x d x (k \geq 1)

a_{0} = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) d x

さらに Euler の公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ を使って，cos と sin をまとめてしまいます． $k \geq 1$ では $c_{k} = \frac{a_{k} - i b_{k}}{2}$ ， $c_{- k} = \frac{a_{k} + i b_{k}}{2}$ ． $k = 0$ では $c_{0} = a_{0}$ ．こう置けば

(15)

f (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} c_{k} e^{i \frac{k π}{L} x}

c_{k} = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i \frac{k π}{L} x} d x

なぜ複素数にするのか cos と sin の 2 本立てが，1 本にまとまります．そのかわり k が負まで走るようになりますが，式はずっと見やすくなります．そして次の節で見るように，微分がきれいな形になるのが最大の利点です．実の関数なら

c_{- k} = {c_{k}}^{*}

なので，情報は失われていません．

8. フーリエ変換 ―― 周期を無限に大きくする

(15) で L → ∞ にしてみましょう．波数は $k \to \frac{k π}{L}$ というとびとびの値でしたが，その間隔 $Δ k = \frac{π}{L}$ が 0 に近づくので， k は連続な変数になり，和は積分に変わります．結果だけ書くと

(16)

F (k) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i k x} d x

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (k) e^{i k x} d k

上がフーリエ変換，下が逆フーリエ変換です．やっていることは (13) とまったく同じ ―― $e^{- i k x}$ との内積を取って，波数 k の成分を取り出しているだけです．

いよいよ本題：微分が掛け算になる

$e^{i k x}$ を x で微分すると，どうなりますか．

(17)

\frac{d}{d x} e^{i k x} = i k e^{i k x}

\frac{d^{2}}{d x^{2}} e^{i k x} = - k^{2} e^{i k x}

形が変わらず，数が 1 つ掛かるだけです．だからフーリエ変換したあとの世界では

(18)

f^{'} ⟶ i k F (k) f^{″} ⟶ - k^{2} F (k) \nabla^{2} ⟶ - k^{2}

いちばん身近な例 ―― 熱伝導方程式と波動方程式はじめの形を

u (x, t) = \sum_{k} u_{k} (t) e^{i k x}

と波に分けておけば， (17) から

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}

は各モードで $- k^{2}$ というただの数に変わります．

だから熱伝導方程式

\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

は，波 1 本ごとに

\frac{d u_{k}}{d t} = - κ k^{2} u_{k}

というただの常微分方程式に分かれ，

u_{k} (t) = u_{k} (0) e^{- κ k^{2} t}

と解けてしまいます．肩に

k^{2}

が乗っているので，k の大きい（細かい）波ほど速く消えます．でこぼこが先にならされて，大まかな形だけがゆっくり崩れていくのは，これが理由です．

波動方程式

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

でも手順は同じで，

\frac{d^{2} u_{k}}{d t^{2}} = - c^{2} k^{2} u_{k}

―― 単振動の式です．はじめの速さを 0 に取れば

u_{k} (t) = u_{k} (0) \cos c k t

で， こちらは消えずに，いつまでも行ったり来たりします．

偏微分方程式が「波ごとの，ばらばらの常微分方程式」に分かれる ―― シミュレーターのタブ ③ で見ているのは，これです．

これがフーリエ変換のいちばんの効き目です 微分方程式が，ただの代数方程式になります． 微分が「割り算のできる数」に化けるので， 「解く」という作業が「割る」という作業に変わるのです．

手順はいつも 3 段です． ① フーリエ変換する　② 割り算する　③ 逆フーリエ変換して実空間に戻す．次の節で，この 3 段をひとつ最後まで通します．

9. Thomas–Fermi 遮蔽 ―― 3 段の手順を最後まで

(a) 何を考えているのか

金属の中には，伝導電子が海のように詰まっています．そこへ点電荷 q を 1 つ放り込むと，何が起きるでしょうか．

真空中なら答えは Coulomb ポテンシャル $φ = q / r$ です．これは Poisson 方程式

(19)

\nabla^{2} φ = - 4 π q δ (r)

の解です（Gauss 単位系）．ところが金属の中では， まわりの電子が寄ってきて，この電荷を打ち消しにかかります．これを遮蔽（screening）といいます．

(b) 電子はどれだけ寄ってくるか

$q > 0$ なら，その近くでは電子の位置エネルギーが $e φ$ だけ下がります（電子の電荷は −e）．すると，そこはエネルギー的に「お得な場所」になるので，電子が集まってきます．

どれだけ集まるか．金属では Fermi 準位 $E_{F}$ がどこでも同じ高さでなければなりません（でないと電子が流れてしまいます）．底が $e φ$ だけ下がって Fermi 準位が動かないのですから，そのぶん詰まる電子が増えます．増えた数は 「1 eV あたりに入れる席の数」×「下がった量」，つまり

(20)

δ n = N (E_{F}) \cdot e φ

ここで $N (E_{F})$ は状態密度（単位体積・単位エネルギーあたりの状態数）です．電子 1 個の電荷は −e ですから，増えた電荷（誘起電荷）は

(21)

ρ_{ind} = - e \cdot δ n = - e^{2} N (E_{F}) φ

符号を，日本語で確かめておきましょう正の電荷を置いた（

φ > 0

）→ 電子が集まる → そこは負に帯電する（

ρ_{ind} < 0

）． (21) の右辺にマイナスが付いているのは，そういうことです． 置いた電荷を打ち消す向きに応答する ―― これが遮蔽の中身です．

(c) 方程式を立てる

Poisson 方程式の右辺には，全部の電荷を入れなければなりません．置いた点電荷と，寄ってきた電子の両方です．

(22)

\nabla^{2} φ = - 4 π {q δ (r) + ρ_{ind}} = - 4 π q δ (r) + 4 π e^{2} N (E_{F}) φ

\nabla^{2} φ - k_{TF}^{2} φ = - 4 π q δ (r)

ここで $k_{TF}^{2} \equiv 4 π e^{2} N (E_{F})$ と置きました． (22) の下の式が，解くべき方程式です． Poisson 方程式に $- k_{TF}^{2} φ$ という項が 1 つ増えただけ ―― しかし $φ$ が両辺にいるので，真空のときのようには解けません．

(d) ① フーリエ変換する

ここでフーリエ変換の出番です．(18) から $\nabla^{2} \to - k^{2}$ ．また，デルタ関数のフーリエ変換は $\int δ (r) e^{- i k \cdot r} d^{3} r = 1$ ―― ただの 1 です．ですから (22) は

(23)

- k^{2} φ (k) - k_{TF}^{2} φ (k) = - 4 π q

微分がどこにもありません．ただの 1 次方程式です．

(e) ② 割り算する

(24)

φ (k) = \frac{4 π q}{k^{2} + k_{TF}^{2}}

これだけです 偏微分方程式を解く作業が，割り算 1 回で終わりました．

k_{TF} = 0

（遮蔽なし）と置けば

φ (k) = 4 π q / k^{2}

で，これは Coulomb ポテンシャル

q / r

のフーリエ変換です． $k_{TF}^{2}$ は，k → 0 での発散を止める働きをしています． 実空間で「遠くまで届かない」ということが，k 空間では「小さい k で発散しない」に対応します．

(f) ③ 逆フーリエ変換して，実空間に戻る

$φ (k)$ は $k$ の向きによらない（ $| k |$ だけの関数）ので，角度の積分が先にできます． $\int d Ω e^{i k \cdot r} = \frac{4 π \sin k r}{k r}$ を使うと

(25)

φ (r) = \frac{1}{{(2 π)}^{3}} \int d^{3} k e^{i k \cdot r} φ (k) = \frac{1}{2 π^{2} r} \int_{0}^{\infty} k \sin k r φ (k) d k

あとは $\int_{0}^{\infty} \frac{k \sin k r}{k^{2} + a^{2}} d k = \frac{π}{2} e^{- a r}$ という積分公式を使えば

(26)

φ (r) = \frac{1}{2 π^{2} r} \cdot 4 π q \cdot \frac{π}{2} e^{- k_{TF} r} = \frac{q}{r} e^{- k_{TF} r}

積分公式が気持ち悪いという人へ ―― 答えを代入して確かめましょう (26) が本当に (22) を満たすことは，公式を知らなくても確かめられます．球対称なら

\nabla^{2} φ = \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}} (r φ)

でしたから，

r > 0

では

\nabla^{2} φ = \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}} (q e^{- k_{TF} r}) = \frac{1}{r} q k_{TF}^{2} e^{- k_{TF} r} = k_{TF}^{2} φ

．
つまり

\nabla^{2} φ - k_{TF}^{2} φ = 0

が

r > 0

で成り立っています．そして

r \to 0

では

e^{- k_{TF} r}

→ 1 なので

φ \to q / r

，つまり原点のふるまいは裸の Coulomb と同じ．

\nabla^{2} (\frac{1}{r}) = - 4 π δ (r)

から，右辺のデルタ関数もぴったり出てきます．これで証明は完結です．

10. 答えを読む ―― 遮蔽長はどれくらいか

(26) は湯川型（Yukawa）のポテンシャルとよばれる形です． $1 / k_{TF}$ が遮蔽長 $λ$ で，これより遠くではポテンシャルが指数関数的に消えます．

自由電子ガスでは $N (E_{F}) = \frac{3 n}{2 E_{F}}$ なので， $E_{F} = ℏ^{2} k_{F}^{2} / 2 m$ と $n = k_{F}^{3} / 3 π^{2}$ を入れると

(27)

k_{TF}^{2} = \frac{4 k_{F}}{π a_{B}} k_{F} a_{B} = \frac{{(\frac{9 π}{4})}^{1 / 3}}{r_{s}} = \frac{1.9192}{r_{s}}

ここで $r_{s}$ は電子 1 個あたりの半径をボーア半径で測ったもの．小さいほど電子が濃いことになります．まとめると $k_{TF} a_{B} = 1.5632 / \sqrt{r_{s}}$ ．

金属	r_s	k_TF [1/a_B]	遮蔽長 λ [a_B]	同じものを Å で
Al（アルミニウム）	2.07	1.086	0.920	0.487
Mg（マグネシウム）	2.66	0.958	1.043	0.552
Cu（銅）	2.67	0.957	1.045	0.553
Na（ナトリウム）	3.93	0.789	1.268	0.671
K（カリウム）	4.86	0.709	1.410	0.746

0.5 Å ―― 原子 1 個ぶんも離れれば，電荷は見えない金属の原子間距離は 2〜3 Å ですから，遮蔽長 0.5 Å というのは 隣の原子まで届かないということです．

だから金属の中では，イオンどうしが長距離の Coulomb 力を及ぼし合いません（イオンはどれも正電荷ですから，裸の Coulomb 力なら反発です）． 「金属では電子が自由に動き回れる」「イオンは硬い球のように振る舞う」 という描像が使えるのは，この遮蔽のおかげです．ただし遮蔽が消すのは長距離の部分だけで，短距離には電子が仲立ちする相互作用が残ります．金属の凝集エネルギーや弾性が，イオン結晶とはまるで違う性格を持つ理由でもあります．

正直なところ ―― Thomas–Fermi は近似です (21) で「電子の応答は φ に比例する」と置きました．これはφ がゆっくり変わることを暗に仮定しています（線形応答かつ長波長近似）．もっと丁寧にやると（Lindhard 関数），

k = 2 k_{F}

で微妙な折れ目が現れ，実空間では

\cos 2 k_{F} r / r^{3}

というゆっくり減る振動が残ります．これが Friedel 振動で，STM で実際に見えます．それでも「遮蔽長は 1 Å に満たず，原子間距離 2〜3 Å よりずっと短い」という結論は変わりません．

11. もうひとつの応用 ―― 力定数とフォノン

第一原理計算でフォノン（格子振動）を求めるときにも， フーリエ変換と逆フーリエ変換の往復が使われます．ここは望月研でも日常的に走らせている計算そのものです．

結晶の中で原子を少し動かしたとき，他の原子が受ける力の効き方を 力定数（force constants，実質は Hessian 行列）といいます． $Φ_{α β} (0 κ, R κ^{'}) = \frac{\partial^{2} E}{\partial u_{α} \partial u_{β}}$ です．これをフーリエ変換したものが動力学行列で，

(28)

D_{α β} (q) = \frac{1}{\sqrt{M_{κ} M_{κ^{'}}}} \sum_{R} Φ_{α β} (0 κ, R κ^{'}) e^{i q \cdot R}

Φ_{α β} (R) = \frac{\sqrt{M_{κ} M_{κ^{'}}}}{N} \sum_{q} D_{α β} (q) e^{- i q \cdot R}

この $D_{α β} (q)$ を対角化すると，固有値が $ω^{2}$ になります（対角化のシミュレーター ③で 2 個の質点の場合を見られます）．

なぜ「行って，戻る」のか ―― フーリエ内挿第一原理計算では，粗いメッシュ（たとえば 4×4×4）の上の

q

でしか

D (q)

を計算できません．計算量が大きすぎるからです．

そこで ① いったん逆フーリエ変換して実空間の $Φ (R)$ にします． 力定数は遠い原子ほど小さいので， $R$ が大きいところは無視できます．つまり，有限個の

Φ (R)

さえあれば十分．

② その $Φ (R)$ を，こんどは好きな $q$ でフーリエ変換すれば，メッシュに乗っていない q でも $D (q)$ が作れます． フォノンの分散曲線がなめらかな線として描けるのは，この往復のおかげです．これをフーリエ内挿（Fourier interpolation）といいます．

同じ発想が，あちこちにあります・平面波基底：運動エネルギー

- (ℏ^{2} / 2 m) \nabla^{2}

が

ℏ^{2} k^{2} / 2 m

というただの数になり，行列が対角になる．
・Ewald 和：長距離の Coulomb 和を，実空間と k 空間に分けて両方で速く収束させる．
・Poisson 方程式の求解：

φ (k) = 4 π ρ (k) / k^{2}

―― 毎ステップこの割り算をしています．
・畳み込み定理：実空間の畳み込みが，k 空間ではただの掛け算になる．

12. まとめ

ベクトルの成分は，基底との内積で取り出せる．他は直交していて消えるから．
関数にも内積 $⟨ f, g ⟩ = \int f g d x$ を決めれば，関数はベクトルになる．
三角関数は，波数がちがえば内積が 0 ―― 直交基底だった．同じものどうしなら π（ただし $\cos 0 = 1$ だけ 2π）．
だから $a_{m}$ は $\cos m x$ を掛けて積分するだけで取り出せる． $a_{m} = (1 / π) \int f \cos m x d x$ ．
$a_{k}$ , $b_{k}$ は「2π のあいだに k 本入る波」の重み．なめらかな関数ほど，k が大きい係数が速く小さくなる．
周期を無限に大きくするとフーリエ変換になり，微分が $i k$ を掛けるだけになる．
だから微分方程式は割り算で解ける．① 変換 ② 割る ③ 逆変換の 3 段．
その実例が Thomas–Fermi 遮蔽． $φ (k) = \frac{4 π q}{k^{2} + k_{TF}^{2}}$ を逆変換して $φ (r) = \frac{q}{r} e^{- k_{TF} r}$ ．アルミニウムなら遮蔽長は 0.49 Å．
フォノン計算のフーリエ内挿も，平面波基底も，Ewald 和も，根は全部同じ．

東京理科大学望月研究室／講義ノート「フーリエ級数」(1)〜(14) より．目で見て動かせる版はシミュレーターにあります．関連：Taylor 展開（1 点のまわりで足していく展開），基準振動とフォノン，熱伝導方程式，水素原子の軌道．